18-19高数A上试题解答北邮

中国传媒大学2009-2010学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷）参考解答与评分标准考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2009级工科各班 考试方式： 闭卷命题教师：一. 填空题（将正确答案填在横线上。

本大题共3小题，每小题3分，总计9分 ） 1、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 增加 ，曲线是 上凸 的。

2、设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=232322t t y tt x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d )1(23t +。

3、=⎰dx x x1cos 12C x +-1sin 。

二. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中。

本大题共3小题，每小题3分，总计 9分）1、设A x x ax x x =-+--→14lim 231，则必有 .104)( ; 64)(;104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A ，　，，　，答( C )2、设211)(xx f -=，则)(x f 的一个原函数为 xx D x x C x B x A -++-11ln21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )( 答( D ) 3、设f 为连续函数，又，⎰=xe x dt tf x F 3)()(则=')0(F)0()1()( 0)()1()( )(f f D C f B e A - 答( B )三. 解答下列各题（本大题共2小题，每小题5分，总计10分 ）1、求极限xe e x x x cos 12lim 0--+-→。

解：=--+-→x e e x x x cos 12lim 0xe e xx x sin lim 0-→- （3分） 2cos lim 0=+=-→xe e x x x 。

课程名称:高等数学（A-2）期末A 卷参考答案第1 页 （共 6 页）学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――提示：请将答案写在答题纸上，写在试卷页或草稿纸上的无效。

交卷时请将答题纸（5-6页）和试卷页分开上交。

写在背面或写错位置的一定要在原题位置注明写到了答题纸何处。

一、 填空题（3分×5=15分）1.设L 为任意一条逆时针方向的简单闭曲线，则曲线积分d 2d Lx y +=⎰0 ；2. 设∑为柱面221x y +=在01z ≤≤之间的部分，则曲面积分d S ∑=⎰⎰ 2π ；3.已知级数1n n u ∞=∑的部分和为212n n n S -=，则级数1n n u ∞=∑的和s = 1 ； 4.如果幂级数1nn n a x∞=∑与1nn n b x∞=∑的收敛半径分别是2和3，且n n a b ≠，则幂级数()1n nn n ab x ∞=-∑的收敛半径为 2 ；5.微分方程()31y y '''+=是 2 阶微分方程.二、 单项选择题（3分×8=24分）1. 若空间区域Ω由抛物面22y x z +=及平面1z =围成，则Ω的体积不可以．．．表示为（ A ）．（A ）22(1)d d d x y x y z Ω--⎰⎰⎰； （B ）222211111d d d x xx y x y z ----+⎰⎰⎰；（C ）22110d d d rr r z πθ⎰⎰⎰； （D ）221d d d x y zzx y +≤⎰⎰⎰.2.设L 为直线12+=x y 上从点(0,1)到点(1,3)的一段，则对弧长的曲线积分d Lx s =⎰（ B ）．（A ）10d x x ⎰； （B ）105d x x ⎰； （C ）102d x x ⎰； （D ）()3111d 2y y -⎰.3.设L 为曲线ln y x =上从点(1,0)到点(e,1)的一段，则对坐标的曲线积分d Lx y =⎰（ C ）．（A ）e ； （B ）1； （C ）e 1-； （D ）2e 12-.4. 设∑为柱面222x y R +=在01z ≤≤之间的部分的外侧，则下列积分为零的是（A ）d d x y z ∑⎰⎰； （B ）d d y x z ∑⎰⎰； （C ）d d z x y ∑⎰⎰； （D ）d S ∑⎰⎰.5.下列级数收敛的是（ B ）． （A）11n ∞=； （B ）211tan n n ∞=∑； （C ）21115n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； （D ）1ln n n ∞=∑.6.若幂级数1nn n a x∞=∑在2x =-发散，则当2x >时，幂级数1nn n a x∞=∑（ C ）．（A ）条件收敛； （B ）绝对收敛； （C ）发散； （D ）敛散性不能确定.7.若11lim 3n n na a +→∞=，则幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛区间为（ D ）． （A ）11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭； （B ）()3,3-； （C ）24,33⎛⎫⎪⎝⎭； （D ）()2,4-.8. 若()1y x 是线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的解，()2y x 是对应的齐次微分方程()0y p x y '+=的解，则（ A ）也是()()y p x y q x '+=的解（C 为任意常数）.（A ）21()()y Cy x y x =+； （B ）12()()y Cy x y x =+； （C ）[]21()()y C y x y x =+； （D ）21()()y Cy x y x =-.三、三重积分解答题（6分× 2=12分）1. 利用直角坐标计算三重积分6d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面1x =，0y =， 1y =，0z =及x z =所围成的区域（如图）. 解：116d d d d d 6d xz x y z x y z z Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3分，每个积分上下限1分）1120d 3d x x y =⎰⎰（4分）1203d x x =⎰（5分）1=.（6分）2. 若空间区域Ω是由圆柱面221x y +=与平面0,1z z ==围成，计算三重积分(d d z x y z Ω⎰⎰⎰.解：()211000(d d d d d d z x y z z z πθρρρΩ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （4分，每个积分上下限各1分，被积函数1分）221002d d πρθρρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰ （5分）6π=-（6分） 四、曲线和曲面积分解答题（6分× 2=12分）课程名称:高等数学（A-2）期末A 卷参考答案第1 页 （共 6 页）学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――1. 利用格林公式计算曲线积分22(2)d (2)d Ly xy x x x y y ++++⎰，其中L 是圆周24y x x =-上从点(4,0)A 到点(0,0)O 的一段有向圆弧．解：令:0, (04)OA y x =≤≤（2分）22(2)d (2)d d d 2DL OAy xy x x x y y x y π+++++==⎰⎰⎰ （4分）22(2)d (2)d 0OAy xy x xx y y ++++=⎰ （5分）22(2)d (2)d 2Ly xy x x x y y π++++=⎰. （6分） 注：若直接变为定积分，如下，则给2分:0222242(2)d (2)d 4(12)6d 4Lx y xy x x x y y x x x x x x x ⎡⎤-++++=-++⎢⎥-⎣⎦⎰⎰. 2.若∑是上半球面221z x y=--上侧，利用高斯公式计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ．解一：令221:0, (1)z x y ∑=+≤，取下侧（2分）1d d d d d d 3d d d 2x y z y z x z x y x y z π∑+∑Ω++==⎰⎰⎰⎰⎰（4分）1d d d d d d 0x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰（5分）d d d d d d 2x y z y z x z x y π∑++=⎰⎰（6分）解二：221d d d d d d d d 1Dx y z y z x z x y x y x y∑++=--⎰⎰⎰⎰（3分）21200d d 1r r rπθ=-⎰⎰（5分）2π=（6分）五、无穷级数解答题（6分× 2=12分）1. 讨论级数1(1)1sin n n n n ∞=-∑的收敛性，收敛时，说明是条件收敛，还是绝对收敛. 解：11(1)111sin sin n n n n n n n ∞∞==-=∑∑（本步骤写不写都行）32lim 1n n→∞=， （3分，其中分母找对了2分，极限对了1分） 又因为3121n n∞=∑收敛，（4分）所以11n n ∞=∑收敛，（5分）故1(1)n n n ∞=-∑. （6分） 2. 将1()21f x x =+展开成1x -的幂级数，并指出收敛区间.解：()1111()22132(1)3113f x x x x ===⨯++-+- （2分） ()012133nnn x ∞=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑, （4分） 10(1)2(1)3n n n n n x ∞+=-=-∑ （5分）()21113x --<<，即收敛区间是15(,)22-.（6分）六、常微分方程解答题（6分×3=18分）1. 求微分方程2(1)2x y xy '+=的通解； 解：分离变量得2d 2d 1y xx y x=+， （2分） 两端同时积分得 2ln ln1+ln y x C =+（） （5分，两个原函数各1分，任意常数1分）方程通解为 ()21+y C x = （6分）2.求微分方程xy y '-=(1)1y =的特解；解：y y x '=+（1分） 设y u x =，（2分）则方程变为d d ux x=（3分）分离变量得2d x x=，则ln x C =+ （4分）ln x C =+（5分） (1)1y =，得1C =，方程特解为 ()21+ln y x x = （6分）课程名称:高等数学（A-2）期末A 卷参考答案第1 页 （共 6 页）学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――3. 已知曲线()y y x =过点(1,2)，且在点(,)x y 处的法线．．斜率为2xy x-，求该曲线方程. 解：12x y y x -='- （1分）， 即12y y x'+= （2分） ()d ()d e ()e d P x xP x x y Q x x C -⎰⎡⎤⎰=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰ （3分，本步骤可省略） 11d d e 2e d xx x x x C -⎰⎡⎤⎰=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰ （4分）()12d x x C x =+⎰ ()21x C x=+ （5分） 带入(1,2)，得1C =，因此1y x x=+. （6分） 七、综合题（7分）已知011,0a a ==，且111(), 1,2,1n n n a na a n n +-=+=+，设()s x 是幂级数nn n a x∞=∑的和函数，其中(1,1)x ∈-，（1）证明(1)()()0x s x xs x '--=；（2）求()s x 的表达式. （1）证：111()(1)n n nn n n s x na xn a x ∞∞-+=='==+∑∑（1分）111100(1)()()(1)(1)nn n n n n n n n x s x xs x n a x n a xa x ∞∞∞++++==='--=+-+-∑∑∑（2分）111111(1)nnn n n n n n n a n a x na x a x ∞∞∞+-====++--∑∑∑[]1111(1)n n n n n a n a na a x ∞+-==++--∑0=（4分）（2）解：d d 1s xx s x =-，ln ln(1)ln s x x C =---+，()1e xC s x =-（5分）， 0(0)1s a ==，（6分）1C =，()1()1exs x x =-（7分）。

北京交通大学2018~2019学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）一．（本题满分8分）某中学学生期末考试中数学不及格的为%11，语文不及格的为%7，两门课程都不及格的为%2．⑴已知一学生数学考试不及格，求他语文考试也不及格的概率（4分）；⑵已知一学生语文考试不及格，求他数学考试及格的概率（4分）．解：设=A “某学生数学考试不及格”，=B “某学生语文考试不及格”．由题设，()11.0=A P ，()07.0=B P ，()02.0=AB P ．⑴所求概率为()()()11211.002.0===A P AB P A B P ．⑵所求概率为()()()()()()7507.002.007.0=-=-==B P AB P B P B P B A P B A P ．二．（本题满分8分）两台车床加工同样的零件，第一台车床加工出现不合格品的概率为0.03，第二台车床加工出现不合格品的概率为0.05；把两台车床加工的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工的零件多一倍．现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件，发现是不合格品，求这个零件是第二台车床加工的概率．解：设=A “任取一个零件是不合格品”，=B “任取一个零件是第一台车床加工的”．所求概率为()A B P ．由Bayes 公式得()()()()()()()B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=11503.03205.03105.031=⨯+⨯⨯=．三．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它02cos πx x C x f ．⑴求常数C （3分）；⑵现对X 独立重复地观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求()2Y E （5分）．解：⑴由密度函数的性质，()1=⎰+∞∞-dx x f ，得()C xC dx x C dx x f 22sin 22cos 10====⎰⎰+∞∞-ππ，因此，21=C ．⑵由于()212112sin 2cos 213333=-====⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎰⎰+∞ππππππx dx x dx x f X P ．所以，随机变量Y 的分布列为()kk C k Y P ⎪⎭⎫⎝⎛⋅==214，()4,3,2,1,0=k ．所以()()∑==⋅=422k k Y P kYE 51614164316621641161022222=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=．四．（本题满分8分）在正方形(){}1,1,≤≤=q p q p D ：中任取一点()q p ,，求使得方程02=++q px x 有两个实根的概率．解：设=A “方程02=++q px x 有两个实根”，所求概率为()A P ．设所取的两个数分别为p 与q ，则有11<<-p ，11<<-q ．因此该试验的样本空间与二维平面点集(){}11,11,<<-<<-=q p q p D ：中的点一一对应．随机事件A 与二维平面点集(){}04,2≥-=q p q p D A ：，即与点集()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=q p q p D A 4,2：中的点一一对应．所以，()241312412214113112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==--⎰p p dp p D D A P A 的面积的面积．五．（本题满分8分）一个工厂生产某种产品的寿命X （单位：年）的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00414x x ex f x．该工厂规定：该产品在售出的一年内可予以调换．若工厂售出一个该产品，赢利100元，而调换一个该产品，需花费300元．试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望．解：设Y 为工厂售出一个产品的净赢利，则⎩⎨⎧<-≥=13001100X X Y 所以，{}{}300300100100-=⋅-=⋅=Y P Y P EY {}{}13001100<⋅-≥⋅=X P X P ⎰⎰-+∞-⋅-⋅=14144130041100dxe dx e xx5203.1113001004141=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅=--e e六．（本题满分9分）设G 是由X 轴、Y 轴及直线022=-+y x 所围成的三角形区域，二维随机变量()Y X ,在G 内服从均匀分布．求X 与Y 的相关系数YX ,ρ．解：由于区域G 的面积为1，因此()Y X ,的联合密度函数为()()()⎩⎨⎧∉∈=Gy x G y x y x f ,,1,．当10<<x 时，()()()x dy dy y x f x f xX -===⎰⎰-+∞∞-12,220，所以，()()⎩⎨⎧<<-=其它01012x x x f X ．当20<<y 时，()()21,210ydy dx y x f y f yY -===⎰⎰-∞+∞-，所以，()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它2021y y y f Y ．()()()3131212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E X ，()()32212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y y dy y yf Y E Y ，()()()6141312121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x XE X，()()32212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y ydy y f y YE Y，所以，()()()()1813161var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X ，()()()()923232var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y ，()()⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-⋅===1220222012,dx y x xydy dxdxdy y x xyf XY E xx，()()6121324122212123102=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x ，所以，()()()()181323161,cov -=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ．()()()2192181181var var ,cov ,-=-==Y X Y X YX ρ．七．（本题满分9分）某餐厅每天接待400位顾客，假设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间()100,20上的均匀分布，并且每位顾客的消费额是相互独立的．试求：⑴该餐厅每天的平均营业额（3分）；⑵用中心极限定理计算，该餐厅每天的营业额在其平均营业额的760±元之间的概率（6分）．（附：标准正态分布的分布函数()x Φ的某些取值：x 55.160.165.170.1()x Φ9394.09452.09505.09554.0解：⑴设i X 表示第i 位顾客的消费额，()400,,2,1 =i ．则有40021,,,X X X 相互独立，()100,20~U X i ，()400,,2,1 =i ．所以，()60=i X E ，()316001280var 2==i X ．再设X 表示餐厅每天的营业额，则∑==4001i i X X ．所以，()()240006040040014001=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==i i i i X E X E X E （元）．⑵由独立同分布场合下的中心极限定理，有{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯≤⨯-≤⨯-=≤-≤-3160040076031600400240003160040076076024000760X P X P ()901.019505.021645.123160040076031600400760=-⨯=-Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-Φ-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯Φ≈．八．（本题满分8分）设总体X 服从参数为p 的几何分布，其分布律为{}1-==k pq k X P () ,3,2,1=k ．其中10<<p 是未知参数，p q -=1．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求参数p 的极大似然估计量．解：似然函数为(){}{}{}{}n n n n x X P x X P x X P x X x X x X P p L ======== 22112211,,,()()()()nx nx x x nk k n p p p p p p p p ----∑-=--⋅-==1211111111所以，()()p n x p n p L n k k -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1．所以，()01ln 1=---=∑=pnxpnp L dp d nk k，解方程，得x p 1=．因此p 的极大似然估计量为ξ1ˆ=p．九．（本题满分8分）设总体X 存在二阶矩，记()μ=X E ，()2var σ=X ，()n X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，X 是其样本均值．求()X E （4分）及()X D （4分）．解：()()μμμ=⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===n n n X E n X n E X E n i ni i n i i 1111111，()()n n n n X nX n X ni n i i n i i 22212212111var 11var var σσσ=⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===．十．（本题满分9分）两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X 和Y ，假设X 与Y 相互独立，都服从参数为5=λ的指数分布，其密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0055x x e x f xX ．现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止．令：T ：从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T 的概率密度函数．解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-00055x x e x f xX ，Y 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0055y y e y f yY 由题意，知Y X T +=，设T 的密度函数为()t f T ，则()()()()⎰⎰+∞-+∞∞--=-=55dxx t f edx x t f x f t f Y xYXT 作变换x t u -=，则dx du -=，当0=x 时，t u =；当+∞→x 时，-∞→u ．代入上式，得()()()()⎰⎰∞---∞--=-=tY utt Y u t T duu f eedu u f et f 55555当0≤t 时，由()0=y f Y ，知()0=t f T ；当0>t 时，()t tu u tT te du e e et f 55552555-∞---=⋅=⎰综上所述，可知随机变量T 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-00255t t te t f tT ．十一．（本题满分9分）设总体X 服从指数分布，其概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex f xθθ，()n X X X ,,,21是取自该总体中的一个样本．⑴求出统计量()i n i X X ≤≤=11min 的密度函数()()x f 1，并指出该分布是什么分布？⑵求常数a ，使得i ni X a T ≤≤=1min 为θ的无偏估计．解：①由于总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex f xθθ，因此其分布函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤==-∞-⎰0100x ex dt t f x F x xθ．所以()i ni X X ≤≤=11min 的密度函数为()()()()()θθθθθnxxn x n enee n xf x F n x f -----=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=11111，()0>x ．即随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为nθ的指数分布．②由于随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为n θ的指数分布，所以()()()nX E X E i n i θ==≤≤11min ．所以，若使()()()θθ=⋅==≤≤n a X aE X E i n i 11min ，只需取n a =即可．即若取n a =，即i ni X n T ≤≤=1min ，则T 是未知参数θ的无偏估计量．十二．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布()2,σμN ．令aY X U +=，bY X V -=（a与b 都是常数），试给出随机变量U 与V 相互独立的充分必要条件．解：由于随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布，又aY X U +=，bY X V -=，所以U 与V 也都是服从正态分布的随机变量．所以，U 与V 相互独立的充分必要条件是()0,cov =V U ．而()()bY X aY X V U -+=,cov ,cov ()()()()Y Y ab X Y a Y X b X X ,cov ,cov ,cov ,cov -+-=()()()21σab Y abD X D -=-=．因此，随机变量U 与V 相互独立的充分必要条件是01=-ab ．。

中国传媒大学2009-2019学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷）参考解答与评分标准考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2009级工科各班 考试方式： 闭卷命题教师：9分 ） 1、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 增加 ，曲线是 上凸 的。

2、设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=232322tt y tt x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d )1(23t +。

3、=⎰dx x x 1cos 12C x +-1sin 。

中。

本大题共3小题，每小题3分，总计 9分）1、设A x x ax x x =-+--→14lim 231，则必有 .104)( ; 64)(;104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A ，　，，　，答( C )2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为xx D x x C x B x A -++-11ln21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )( 答( D ) 3、设f 为连续函数，又，⎰=xe x dt tf x F 3)()(则=')0(F)0()1()( 0)()1()( )(f f D C f B e A - 答( B ) 2小题，每小题5分，总计10分 ）1、求极限xe e x x x cos 12lim 0--+-→。

解：=--+-→x e e x x x cos 12lim 0xe e xx x sin lim 0-→- （3分） 2cos lim 0=+=-→xe e x x x 。

（5分） 2、x y 2ln 1+=,求y '。

解: xx y 22ln 121)ln 1(+⋅'+=' （3分）x x x 2ln 1211ln 2+⋅⋅=xx x2ln 1ln +=。

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==201X全国卷数学答案篇一：201X年高考理科数学试题全国卷及详细答案201X年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A?{1,2,3,4,5}，B?{(x,y)|x?A,y?A,x?y?A}，则B中所含元素的个数为（A） 3（B） 6 （C） 8（D） 10（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（A） 12种（B） 10种（C） 9种（D）8种（3）下面是关于复数z?2?1?i的四个命题2p1：|z|?2 p2: z?2i p3:z的共轭复数为1?ip4 ：z的虚部为?1 其中真命题为(A ) p2 , p3 （B） p1 , p2（C） p2，p4 （D） p3, p4xa22（4）设F1,F2是椭圆E:直线x?3a?yb22?1(a?b?0)的左、右焦点，P为2E的离心率为12上的一点，?F2PF1是底角为30的等腰三角形，则?(A)(B)23(C)34(D)45（5）已知{an}为等比数列，a4?a7?2，a5a6??8，则a1?a10?(A) 7 (B) 5 (C) ?5 (D) ?7 （6）如果执行右边的程序图，输入正整数N(N?2)和实数a1,a2,...,aN输入A,B,则(A)A?B为a1,a2,...,aN的和（B）A?B2为a1,a2,...,aN的算式平均数（C）A和B分别是a1,a2,...,aN中最大的数和最小的数（D）A和B分别是a1,a2,...,aN中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6 (B)9（C）12 （D）18（8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2?16x的准线交于A,B两点，|AB|?C的实轴长为（A）（B）（C）4（D）8（9）已知??0，函数f(x)?sin(?x?151324????)在?,??单调递减，则?的取值范围 4?2?(A) [,] (B) [,] (C) (0,] (D)(0,2]2421（10）已知函数f(x)?1ln(x?1)?x，则y?f(x)的图像大致为（11）已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上，?ABC是边长为1的正三角形，SC为O的直径，且SC?2，则此棱锥的体积为(A)6(B)12632（12）设点P在曲线y?xe上，点Q在曲线y?ln(2x)上，则|PQ|的最小值为(A)1?ln2(B)?ln2)(C)1?ln2(D)?ln2)第Ⅱ卷。

2018-2019学年北京师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若集合，，则A. RB.C.D.【答案】C【解析】解：集合，，则．故选：C．化简集合A、B，根据交集的定义写出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2. i为虚数单位，则复数A. B. C. D.【答案】A【解析】解：．故选：A．直接利用复数的除法运算进行化简计算．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3. 在极坐标系中，曲线是A. 过极点的直线B. 半径为2 的圆C. 关于极点对称的图形D. 关于极轴对称的图形【答案】D【解析】解：曲线化为，，配方为，因此表示以为圆心，1为半径的圆，关于极轴对称．故选：D．曲线化为，可得，即可得出．本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. “”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当时，反之，当时，有，或，故选：A．本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断属于基础知识、基本运算的考查将代入易得成立，但时，却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．判断充要条件的方法是：若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．5. 若偶函数满足且时，，则方程的根的个数是A. 2个B. 4个C. 3个D. 多于4个【答案】B【解析】解：偶函数满足，故函数的周期为2．当时，，故当时，．则方程的根的个数，等于函数的图象与函数的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数的图象与函数的图象，如图所示：显然函数的图象与函数的图象有4个交点，故选：B．在同一个坐标系中画出函数的图象与函数的图象，这两个函数图象的交点个数即为所求．本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．6. 在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边经过点，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边经过点，且，则，，，故选：D．由题意利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，得出结论．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，得出结论．7. 已知函数，函数，若对任意的，总存在使得，则实数M的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：的导数为，当时，递增；时，递减，即时，取得极小值，且为最小值；由，，可得在的值域为，由在递增，可得的值域为，由对任意的，总存在而，使得，可得，即为，解得，故选：B．由题意可得在的值域包含于的值域，运用导数和函数的单调性，即可得到所求范围．本题考查任意存在性问题解法，注意运用转化思想，考查函数的值域的求法，以及运算能力和推理能力，属于中档题．8. 已知在直角三角形ABC中，A为直角，，，若AM是BC边上的高，点P在内部或边界上运动，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图，由，，可得，以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，直线BC方程为则直线AM方程为，联立，解得：，由图可知，当P在线段BC上时，有最大值为0，当P在线段AC上时，有最小值，设，．的范围是．故选：D．由题意画出图形，然后建系，求出M的坐标，数形结合可得的最大值为0，且可知当P在线段AC上时，有最小值，设，写出数量积的坐标表示，由y的范围求得最小值．本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标运算，考查了数形结合的解题思想方法，想到建系是解答该题的关键，是中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 等比数列的前n项和为，且，，成等差数列若，则______【答案】7【解析】解：根据题意，等比数列中，，，成等差数列，则有，变形可得，解可得，若，则；故答案为：7．根据题意，分析可得，变形可得，解可得q的值，代入等比数列的前n项和公式计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．10. 设函数，则______；函数的极小值是______．【答案】2【解析】解：函数，则，，当时，，，当时，函数递减，当时，函数递增，即有处取得极小值，且为2，当，的导数为，当时，，函数递减；当时，，函数递增．即有处取得极大值，且为4．故答案为：，2．运用分段函数的各段的解析式，代入即可得到，，讨论，，求出函数的单调区间，即可得到极值．本题主要考查导数的运用：求单调区间、极值，同时考查分段函数的运用，属于基础题．11. 函数的图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最大值是______．【答案】【解析】解：函数的图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，，，即，的最大值，故答案为：．故答案为：．利用函数的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，属于基础题．12. 在四边形ABCD中，若，则______．【答案】3【解析】解：四边形ABCD中，，且，则．故答案为：3．利用平面向量的线性运算与数量积运算法则，计算即可．本题考查了平面向量的数量积运算和线性运算问题，是基础题．13. 已知函数的图象由的图象向右平移个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则______．【答案】【解析】解：的图象在y轴的右侧的第一个对称轴为，，，图象中与函数值相同的右侧相邻点的横坐标为，故，故答案为．根据所给的图象，依据，的图象变换规律，求得图象中与函数值相同的右侧相邻点的横坐标为，根据求得结果．本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，的图象变换规律，属于中档题．14. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，其中______若的值域是R，则a的取值范围是______【答案】【解析】解：；因为是R上的奇函数，且值域为R，所以时，，解得：或；故答案为：；根据奇函数的性质；结合奇函数的性质以及二次函数的图象分析可得．本题考查了了函数奇偶性的性质与判断属基础题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 已知函数．Ⅰ求函数的单调递增区间；Ⅱ当时，求函数的最大值和最小值．【答案】解：Ⅰ函数．由，得，所以，函数的单调递增区间是，Ⅱ由Ⅰ可知由时，得当，即时，取得最大值，即；当，即时，取得最小值，即．【解析】Ⅰ利用和与差，二倍角辅助角公式化简，结合三角函数的性质即可求函数的单调递增区间；Ⅱ当时，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质即可求函数的最大值和最小值．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．16. 设等差数列的前n项和为，，．求数列的通项公式；求的最小值及相应的n的值；在公比为q的等比数列中，，，求．【答案】解：，．，解得，，则数列的通项公式．，当时，取得最小值，最小值为，此时相应的；，，，设公比为q，则，则，即，解得或．若，则，若，则【解析】建立方程组关系求出首项和公差即可求数列的通项公式；求出的表达式，结合一元二次函数的性质即可求最小值及相应的n的值；根据等比数列的通项公式求出公比，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可．本题主要考查等比数列和等差数列通项公式的求解，以及数列求和的计算，利用方程组思想求出首项和公比，公差是解决本题的关键．17. 在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足Ⅰ求角B的大小；Ⅱ若，，求的面积．【答案】解：在锐角中，，由正弦定理得，所以，因为三角形ABC为锐角三角形，所以．由余弦定理得，，所以，所以的面积为．【解析】在锐角中，由条件利用正弦定理求得的值，即可求得B的值．由余弦定理求得，再由，所以，由此求得的面积．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．18. 已知函数．Ⅰ当时，求函数在处的切线方程；Ⅱ求函数的单调区间；Ⅲ求证：当时，函数的图象与函数的图象在区间上没有交点．【答案】解：Ⅰ当时，函数，，，，故切线方程是：，整理得：；Ⅱ，当时，，函数的单调增区间是；当时，令，解得：，令，解得：，故函数的单调增区间是，单调减区间是；Ⅲ证明：令，，当时，显然有，在区间上是单调增函数，故函数的最小值是，所以恒成立，所以两个图象没有交点．【解析】Ⅰ求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；Ⅱ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅲ令，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．19. 已知函数在处的切线与直线平行．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ如果函数在区间上有两个零点，求实数m的取值范围；Ⅲ求证：函数有极大值，而且的极大值小于1．【答案】解：Ⅰ，因为函数在处的切线与直线平行，所以，解得：；当时，函数在处的切线是，与直线平行，符合题意；所以；Ⅱ由Ⅰ，，时，，在递增，不合题意，时，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，若函数在区间上有两个零点，则解得：；Ⅲ证明：，，令，，则函数在上单调递减，，，所以存在唯一的，当时，，当时，，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，其中，所以函数有极大值．函数的极大值是，由，得，所以，因为，所以，即，所以的极大值小于1．【解析】Ⅰ求出函数的导数，根据直线的平行关系求出a的值，检验即可；Ⅱ求出的解析式，通过讨论a的范围，求出的单调性，结合函数的零点个数得到关于m的不等式组，解出即可；Ⅲ求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值，判断即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．20. 已知数集，具有性质P：对任意的，，，使得成立．Ⅰ分别判断数集3，与2，3，是否具有性质P，并说明理由；Ⅱ求证：；Ⅲ若，求数集A中所有元素的和的最小值．【答案】解：Ⅰ因为，所以3，不具有性质P．因为，，，所以2，3，具有性质P分Ⅱ因为集合具有性质P：即对任意的，，，使得成立，又因为，，所以，所以，，所以即，，，，分将上述不等式相加得所以分Ⅲ最小值为147．首先注意到，根据性质P，得到所以易知数集A的元素都是整数．构造2，3，6，9，18，36，或者2，4，5，9，18，36，，这两个集合具有性质P，此时元素和为147．下面，我们证明147是最小的和假设数集，，满足最小存在性显然，因为满足的数集A只有有限个．第一步：首先说明集合，中至少有8个元素：由Ⅱ可知，又，所以，，，，，，所以第二步：证明，，：若，设，因为，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素，使得，从而；假设，根据性质P，对，有，，使得显然，所以而此时集合A中至少还有5个不同于，，的元素，从而，矛盾，所以，进而，且；同理可证：，同理可以证明：若，则．假设．因为，根据性质P，有，，使得显然，所以，而此时集合A中至少还有4个不同于，，，的元素从而，矛盾，所以，且同理可以证明：若，则假设因为，根据性质P，有，，使得显然，所以而此时集合A中至少还有3个不同于，，，，的元素从而，矛盾，所以，且至此，我们得到了，，，．根据性质P，有，，使得我们需要考虑如下几种情形：，，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素，才能得到元素8，则；，此时集合中至少还需要一个大于4的元素，才能得到元素7，则；，，此时集合2，3，6，9，18，36，的和最小，为147；，，此时集合2，4，5，9，18，36，的和最小，为分【解析】Ⅰ利用性质P的概念，对数集3，与2，3，判断即可；Ⅱ利用集合具有性质P，可分析得到，，从而，3，，将上述不等式相加得即可证得结论；Ⅲ首先注意到，根据性质P，得到，构造2，3，6，9，18，36，或者2，4，5，9，18，36，，这两个集合具有性质P，此时元素和为147．再利用反证法证明满足最小的情况不存在，从而可得最小值为147．本题考查数列的求和，突出考查反证法的应用，考查分类讨论思想与转化思想，考查构造函数的思想，，的证明是难点，属于难题．。

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==201X高考数学答案篇一：201X年北京市高考数学试卷(理科)201X年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）23．（5分）（201X?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（）4．（5分）（201X?北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）6．（5分）（201X?北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）7．（5分）（201X?北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B （2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S，S，S分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）8．（5分）（201X?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（201X?北京）复数（10．（5分）（201X?北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且11．（5分）（201X?北京）设双曲线C经过点（2，2），且与渐近线方程为_________ ．12．（5分）（201X?北京）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n= _________ 时，{an}的前n项和最大．13．（5分）（201X?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 _________ 种．14．（5分）（201X?北京）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[上具有单调性，且f（三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（13分）（201X?北京）如图，在△ABC中，∠B=（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为 _________ ．，]﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为 _________ ；+=（λ∈R），则|λ|= _________ ．）=2；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．17．（14分）（201X?北京）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．18．（13分）（201X?北京）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．]19．（14分）（201X?北京）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．20．（13分）（201X?北京）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），记T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），其中max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}表示Tk﹣1（P）和a1+a2+…+ak两个数中最大的数，（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）﹣1和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．201X年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）23．（5分）（201X?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（）4．（5分）（201X?北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）6．（5分）（201X?北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）篇二：201X年高考全国卷1理科数学试题及答案-(word版)201X年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。