苏教版高中数学必修五教学案第课时正余弦定理的应用(1)

1．在ABC ∆中，求证：)cos cos cos (2222C ab B ca A bc c b a ++=++．2．作用于同一点的三个力321F F F ，，平衡，且21F F ，的夹角为1θ，32F F ，的夹角 为2θ，31F F ，的夹角为3θ，求证：332211sin sin sin θθθF F F ==．例题剖析例 1 如图，为了测量河对岸两点A ，B 之间的距离，在河岸这边取C ，D 两点，测得︒=∠75ADC ，︒=∠60BDC ，︒=∠45ACD ，︒=∠75BCD ，m CD 100=，设A ，B ，C ，D 在同一平面内，试求A ，B 之间的距离．例2 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为︒45，距离为mile n 10的C 处，测出该渔轮正沿方位角为︒105的方向，以h mile n /10 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以h mile n /310 的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．例3 一船由西向东航行的船，测得某岛的方位角为︒60，前进km 5后测得此岛的方位角为︒45，已知该岛周围km 3内有暗礁，如果继续东行，有无触礁危险？课堂小结正余弦定理在实际问题中的应用；建立三角函数模型．课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．已知山顶上有一座高为m 30的铁塔，在塔底测得山下A 点处的俯角为︒30，在塔顶测得A 点处的俯角为︒45，则山相对于A 点的垂直高度为 ．2．如图，货轮在海上以h mile n /40 的速度由B 向C 航行，航行的方位角︒=∠150NBC ，A 处有灯塔，其方位角︒=∠120NBA ，在C 处观察灯塔A 的方位角︒=∠45/CA N ， 由B 到C 需行h 50． ，求C 到灯塔A 的距离．二 提高题3．某人在高出海面m 600的山上P 处，测得海面上的航标A 在正东，俯角为︒30，航标B 在南偏东︒60，俯角为︒45，求这两个航标间的距离．4．从m 200高的电视塔顶A 测得地面上两点B ，C 的俯角分别为︒30和︒45，︒=∠45BAC ，求这两个点之间的距离．A45°30° 600 水平视线 B A C P三 能力题5．甲、乙两船, 甲船在海岛的正南方向A 处, 10=AB 海里, 向正北方向以h mile n /4 的速度航行，同时乙船以h mile n /6 的速度从岛B 出发，向北偏西︒60的方向驶去，则几分钟后两船之间的距离最近? (精确到1分钟)C 北。

听课随笔第2课时【学习导航】知识网络⎪⎩⎪⎨⎧数学问题航海测量学正、余弦定理的应用 学习要求1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。

2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。

【课堂互动】自学评价运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：①_______：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；②_______：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； ③_______：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解；④_______：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。

【精典范例】【例1】作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60o，求3F 的大小与方向（精确到0.1o）.【解】【例2】半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积. 【解】追踪训练一1. 如图，用两根绳子牵引重为Ｆ１＝１００Ｎ的物体，两根绳子拉力分别为Ｆ２，Ｆ３，保持平衡．如果Ｆ２＝８０Ｎ，Ｆ２与Ｆ３夹角α＝１３５°．（１）求Ｆ３的大小（精确到１Ｎ）； （２）求Ｆ３与Ｆ１的夹角β的值（精确到０.１°）．听课随笔 2. 从２００ｍ高的电视塔顶Ａ测得地面上某两点Ｂ，Ｃ的俯角分别为３０°和４５°，∠ＢＡＣ＝４５°，求这两个点之间的距离． 3．在△ABC 中，若1=a ，B=45°，△ABC 的面积为2，那么，△ABC 的外接圆直径为____________【选修延伸】【例3】ABC ∆中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，① 求最大角的余弦值； ② 求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积. 【解】追踪训练二1．我国潜艇外出执行任务，在向正东方向航行时，测得某国的雷达站在潜艇的东偏北300方向的100n mile 处，已知该国的雷达扫描半径为70n mile ，若我国潜艇不改变航向，则行驶多少路程后会暴露目标（ ） A 50 B )225(310- C 620 D 350 2．在△ABC 中，若B A >，则A sin 与B sin 的大小关系是 （ ）A 大于B 大于等于C 小于D 小于等于3．两艘快艇在水面上一前一后前进，后一艘快艇的速度是前一艘的两倍，前一艘快艇突然向与原前进方向成300角行驶，若后一快艇想在最短的时间内赶上前艇，则它行驶的方向与原方向的夹角为_________。

§1.3正弦定理和余弦定理的应用 （1）一、学习目标：1．掌握用正弦定理，余弦定理解任意三角形的方法；2．会利用数学建模的思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题。

二、学法指导1．了解常用的测量相关术语；2.体会数学建模的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的解题一般步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案。

三、课前预习1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫_____,在水平线下方的角叫_______.2．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的角方位角的其他表示：（1）正南方向（2）东南方向（3）北偏东α（4）南偏西β3．坡角：坡面与水平面的二面角的度数。

四、课堂探究题型1距离问题【例1】如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=o ，60BDC ∠=o ，47ACD ∠=o ，72BCD ∠=o ，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.规律归纳(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决．(2)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．题型2高度问题【例2】如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.规律归纳解决测量高度问题的一般步骤是：(1)根据已知条件画出示意图；(2)分析与问题有关的三角形；(3)运用正、余弦定理解相关的三角形．在解题过程中，要综合运用立体几何与平面几何的知识，注意方程思想的运用．题型3角度问题【例3】如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘鱼船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?五、巩固训练1．某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，然后退后30米，测得山顶的仰角为39°，则山高为(sin42°＝0.669 1，sin39°＝0.629 3，sin 3°＝0.052 3)( )A．180米B．214米 C．242米 D．266米2.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A．a km B.3a km C.2a km D．2a km3.某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10 n mile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是________．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30度和60度，则塔高为 _ ___.六、反思总结1.距离问题(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题这实际上是已知三角形两个角和一条边解三角形的问题，用正弦定理可解决问题．(2)测量两个不可到达的点之间的距离问题首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．2.高度问题测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为直角三角形的问题．3.角度问题测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．。

总 课 题 解三角形 总课时 第 2 课时 分 课 题正弦定理（二）分课时 第 2 课时教学目标 初步运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 重点难点 正弦定理的应用 引入新课1．在ABC ∆中，若5:4:3sin :sin :sin =C B A ，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形2．在ABC ∆中，若2cos2cos2cosC c B b A a ==，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形3．在ABC ∆中，若︒=60A ，3=a ，则=++++CB A cb a sin sin sin ________________．4．在ABC ∆中，C a b cos =，则ABC ∆是________________三角形．5．在ABC ∆中，计算)sin (sin )sin (sin )sin (sin B A c A C b C B a -+-+-的值．例题剖析例1 如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东︒30，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东︒45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？ 在ABC ∆中，已知CcB b A a cos cos cos ==，试判断ABC ∆的形状．D ACB例2在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：DCBDBD AB =．巩固练习1．根据下列条件，判断ABC ∆的形状： （1）C B A 222sin sin sin =+；（2）B b A a cos cos =．2．已知ABC ∆的外接圆的面积是π4，求CB A cb a sin sin sin ++++的值．3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B ，要测算出A ，B 两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得m BC 78=，︒=∠60B ，︒=∠45C ，试计算AB 的长．课堂小结正弦定理的应用．例3课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．在ABC ∆中，已知2cos sin sin 2AC B =，则ABC ∆的形状是________________． 2．在ABC ∆中，已知，B C 3=，则bc的取值范围是________________． 3．在ABC ∆中，已知︒<<<90C B A ，︒=60B ，213)2cos 1)(2cos 1(-=++C A ，则b a 2+________c 2（填不等号）． 4．在ABC ∆中，已知21tan =A ，31tan =B ，且最长边为1，则最短边的长为________． 5．在ABC ∆中，已知)(4122b a S ABC+=∆，求C B A ，，． 6．为了测量校园里旗杆AB 的高度，学生们在D C ，两处测得A 点的仰角分别为︒30和︒45，测得DC 的距离为m 10，那么旗杆的高度是多少米？二 提高题 7．海上有B A ，两个小岛相距10海里，从A 岛观测C 岛与B 岛成︒60的视角，从B 岛观测A 岛和C 岛成︒75的视角，那么B 岛与C 岛之间的距离是多少海里？8．在ABC ∆中，A ∠的外角平分线交BC 的延长线于D ，用正弦定理证明：DCBDAC AB =．9．在ABC ∆中，设a BC =，b CA =，c AB =，已知a c c b b a •=•=•， 证明ABC ∆为正三角形．三 能力题 10．在ABC ∆中，已知D 为AB 上一点，α=∠ACD ，β=∠BCD ，BD AD CD •=2，求证：βαsin sin sin sin =B A ．ABC D。

总 课 题解三角形 总课时 第 4 课时 分 课 题 余弦定理（二） 分课时 第 2 课时 教学目标 初步运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 重点难点 熟练运用余弦定理．引入新课1．在ABC ∆中，5=AB ，7=AC ，8=BC ，则=•BC AB ____________________．2．已知C a b sin =，B a c cos =，则ABC ∆一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．若钝角三角形的边长为连续自然数n ，1+n ，2+n ，则三边长为（ ）A ．1，2，3B ．2，3，4C ．3，4，5D ．4，5，64．在ABC ∆中，已知7=a ，8=b ，1413cos =C ，则最大角的余弦值是_____________． 5．在ABC ∆中，a b 2=，︒=45C ，且ABC ∆的外接圆半径2=R ，则=a _______． 例题剖析例1 在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状．AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+=．例3 为了测量学校操场四边形ABCD 的周长和面积，在操场中间取一点O ，测得m OA 40=，m OB 37=，m OC 42=，m OD 44=，且︒=∠120DOA ，︒=∠60AOB ，︒=∠45BOC ，︒=∠135COD ．（1）试求四边形的周长；（2）试求四边形的面积．例2巩固练习1．在ABC ∆中，若4:3:2sin :sin :sin =C B A ，则=C cos ___________________．2．在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ，︒=60C ，试证明此三角形为锐角三角形．3．在ABC ∆中，设a CB =，b AC =，且2||=a ，3||=b ，3-=•b a ，求AB ．课堂小结熟练运用余弦定理．课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．在ABC ∆中，已知B a c cos 2=，试判断ABC ∆的形状．2．用余弦定理证明：在ABC ∆中，（1）B c C b a cos cos +=；（2）C a A c b cos cos +=；（3）A b B a c cos cos +=．3．在ABC ∆中，已知c b a +=2，C B A sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状．4．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于C ，D ，已知ACD ∆为边长等于a 的正三角形．当目标出现于B 时，测得︒=∠45CDB ，︒=∠75BCD ，试求炮击目标的距离AB ．二 提高题5．在ABC ∆中，若)())((c b b c a c a -=-+且C B A cos sin 2sin =，求证ABC ∆是等边三角形．A CB D6．在ABC ∆中，若︒=60A ，3=a ，3=+c b ，求ABC ∆的面积．7．在四边形ABCD 中，1=BC ，2=DC ，四个内角D C B A ，，，的度数之比为10:4:7:3．求（1）BD 的长； （2）AB 的长．三 能力题8．证明：在ABC ∆中，222sin )sin(c b a C B A -=-．。

［学习目标］1•利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题2利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题 .3•利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关 角度的测量问题产知识梳理知识点一有关的几个术语1•方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的角•如图所示的 d 、也即表示点A 和点B 的方位角•故方位角的范围是［0 ° 360°.2•方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式.如图，左图中表示北偏东 30°右图中表示南偏西60°.4.视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做视角 ___ .§ L3 正弦定理、余弦定理的应用（一）自主学习思考30°左图）,240° （右图）.3.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时h（tan a= 了），如图.上两图中的两个方向,5坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度坡面水半而知识点二解三角形应用题解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题⑴解题思路mJS运算(2) 基本步骤运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解(3) 主要类型詳题型探究重点突破题型一测量距离问题例1 (1)海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75 的视角，贝U B，C间的距离是_________ 海里.答案56解析根据题意，如图所示.在厶 ABC 中，A = 60° B = 75° AB = 10,C = 45°.即 10 — BC 即上二，2 2(2)在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为-"2-的军事基地C 和D测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且/ ADB — 30° / BDC — 30° / DCA — 60°/ACB — 45°如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离解 •••/ ADC — Z ADB + Z CDB — 60°,又/ DCA — 60° •••/ DAC — 60°在厶 BCD 中，Z DBC — 45°, •- BC — CD •=昼'si n 30 ° sin 45，。

解三角形一、根底知识1、解三角形〔的定义〕：由三角形六个元素〔即三条边和三个内角〕中的三个元素〔其中至少有一个是边〕求其它未知元素的过程叫做解三角形．〔广义地，这里所说的元素还包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等．〕2、解三角形的工具：〔1〕角的关系：在中，；〔〕〔2〕边的关系：设、、是的角、、的对边，且是最大边；那么有：①〔填大小关系〕；②假设角，那么是直角三角形；假设角，那么是锐角三角形；假设角，那么是钝角三角形〔3〕边角关系：①正弦定理：= = =正弦定理的推论:= = =②余弦定理：= ； = ； = 或；； =3解三角形的题型：〔1〕用正弦定理解三角形的题型：①两角和任意一边，求其他的两边及一角；②两边和其中一边的对角，求其他边和角；〔2〕用余弦定理解三角形的题型：①两边和他们的夹角，求第三边和其他两角；②三边求三角注：①“两边和其中一边的对角，求其他边和角〞问题可能有两解;②“两边和其中一边的对角，求第三边〞的问题，可以用正弦定理也可以选择用余弦定理解决二、根底练习1 在中，假设，，那么2 在中，假设，，，那么．3 在中，如果，那么角等于．4在△ABC中，，，，那么的值为．5在中，假设，那么为三角形．6假设锐角三角形的边长分别为1，3，，那么实数的取值范围是．三．典型例题题型一：正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用例1〔1〕在中，，，，那么；〔2〕在中，，，，那么．题型二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状例2在以下条件下，试判断的形状〔1〕；〔2〕．题型三：正弦定理、余弦定理的综合应用例3△满足：，，求△的面积四．随堂反应1 假设把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么新的三角形的形状为三角形．2 在中，，，，那么________，__________3 的三边长分别为5、7、8，那么其最小角与最大角的和为___ _____．4．在半径为1的圆内接锐角△ABC中，假设acoB＋bcoA=，那么5 假设的三边和其面积满足：2，且,那么面积S的最大值为．6如图，在平面四边形ABCD中，AD＝错误!，CD＝错误!，∠ABD＝60°，∠ADB＝75°，∠ADC＝12021〔1〕求BD的长；〔2〕求△ABC的面积．。

第 4 课时： §1.2 余弦定理（2）【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；二、过程与方法通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性三、情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.余弦定理的内容？2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材16P 例6）在ABC ∆中，AM 是BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+= 例2 （教材15P 例5）在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状例3 在ABC ∆中，证明：C B A cb a sin )sin(222-=- 例4 已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。

例5三角形有一个角是060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是π12，求这个三角形的面积。

四、巩固深化，反馈矫正1．在ABC ∆中，设=−→−CB a r ,=−→−AC b r ，且|a r |2=,|b r |3=,a r •b r 3-=，则_____=AB 2. 在ABC ∆中，已知060=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则ac b c b a +++的值等于________3.已知a b a ,6,13=+=边上的中线，2338-=a m ,则_____=c 4.已知圆内接四边形ABCD 中，4,6,2====CD AD BC AB ,求四边形ABCD 的面积五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：（2）方法总结：六、承上启下，留下悬念1．书面作业七、板书设计（略）八、课后记：。

正余弦定理实际应用教学目标（一）知识与能力目标1．通过对正余弦定理的应用，加深对正余弦定理的理解．会用正余弦定理解实际应用问题．(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其它的边和角．（3）已知三边，用余弦定理，必有唯一解；2．理解掌握已知两边和其中一边的对角解三角形时，有一解或两解或无解三种情况，并会判断哪些条件使解三角形时出现一解、两解、无解．（二）过程与方法目标能够利用正余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题。

（三）情感态度与价值观感受正余弦定理与其他知识间的紧密联系，体会万事万物间也存在着千丝万缕的关系。

教学重点和难点重点：1、正余弦定理的应用，用正余弦定理解三角形，特别是在已知实际应用问题能够抽象为解三角形的数学模型。

2、利用正余弦定理解决实际应用问题，提高用数学方法解决实际问题的能力。

难点：在具体的实际问题抽象概括伟数学模型。

教学设计：由复习引入到本节主要三个环节，分环节进行，典例剖析，讲练结合，层层递进，环环相扣。

教学过程设计一、复习正余弦定理1、正弦定理：正弦定理精确地表达了三角形中各边和它所对角的正弦成正比．a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ． 2、余弦定理：二、引入新课． ．测量距离和高度的问题。

用到的工具经纬仪和钢卷尺。

（一）距离例一：设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在河岸边先定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=51°，∠ACB=75°，求A 、B 两点间的距离（精确到0.1m ），2bca cb cosA 222-+=2R sinCc 2R，sinB b 2R，sinA a ===)(2sin sin sin 外接圆的半径表示ABC R R Cc B b A a ∆===，2cab ac cosB 222-+=。

2ab c b a cosC 222-+=2Rc ，sinC 2R b ，sinB 2R a sinA ===解：已知两角和一边，可以用正弘定理解三角形B答：A 、B 两点间距离为65.7m. A 55 C例2：如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。

正弦定理、余弦定理的应用（一）教学目标：1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等； 4通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定教学过程：一．复习回顾：1．正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === 2．余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=，⇔ab c b a C 2cos 222-+= 3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用二、讲解范例：例1：如图，为了测量河对岸,A B 两点间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得0085604747100ADC BDC ACD BCD CD m A B C D ∠=∠=∠=︒∠=︒=，，，，，设，，，在同一平面内，求AB 之间的距离（精确到1m ）例2:某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间例3:如图所示，已知半圆的直径AB ＝2，点C 在AB 的延长线上，BC ＝1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值三．随堂练习1．已知,A B 两地的距离为10,,km B C 两地的距离为20km ，现测得120ABC ∠=，则,A C 两地的距离为 （ ）A. 10kmB.C.D.四．小结通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(75) 必修5_01正弦定理、余弦定理的应用（1）班级 姓名目标要求：1.能将三角形的边角关系紧密联系，使许多解三角形问题得到简化；2.结合正、余弦定理和三角函数的有关知识，判断三角形的形状，证明三角形中的有关恒等式，解决较复杂的解三角形问题. 重点难点：重点：利用正、余定理进行边角互换时的转化方向 难点：三角恒等式证明中结论和条件之间的内在联系 典例剖析：例1.在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为a b 、、c ，设a b 、、c满足条件22212b c bc a +-==c 和b ，求Ａ和tanB 的值.例2.在ABC ∆中，求证：cos sin cos sin a c B Bb c A A-⋅=-⋅.例3.判断在ABC ∆的形状：（1）cos cos cos ,2cos a A b B c C a b C +==； （2）sin()sin()A B b cA B c-+=+学后反思1. 应用正、余定理判断三角形的形状时，要综合运用三角形的性质和三角函数关系式2. 体会正、余定理的边角互换功能。

课堂练习1、ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对的边分别为a b 、、c .设向量(,),p a c b =+(,),q b a c a =--若//,p q 则角Ｃ的大小为2、在ΔABC 中,若60,8A b =︒=,面积S =则a =___________.3、在ABC ∆中，102(sin sin 10sin ),60a b c A B C A ++=++=，则a 等于4、若三角形三边分别为2223,33,2(0)x x x x x x ++++>则三角形的最大内角为5、在ABC ∆中，a b 、、c 分别是,,A B C ∠∠∠所对的边，已知222,b ac a c ac bc =-=-，求A ∠的大小，及sin b B c的值.6、ABC ∆中，已知lg lg lg sin lg a c B -==-，且Ｂ为锐角，试判断ABC ∆的形状.江苏省泰兴中学高一数学作业(75)班级 姓名 得分1.已知三角形的两边之差为2，夹角的余弦为35，且这个三角形的面积为14，那么这两边长为 . 2. 在ABC ∆中，sin 2sin cos ,A B C =且3a b c bb c a c ++=+-，则ABC ∆的形状为3．若ABC ∆的三边为a b 、、c ，它的面积为2221()4a b c +-，那么内角Ｃ等于4．在ΔABC 中,2,2b c AB AC ===-则ABC ∆的面积S=_____________.5．三角形的两边的长分别为1第三边上的中线长为１，则三角形的外接圆的半径为 6．如图，在四边形ABCD 中，已知︒=∠==⊥60,14,10,BDA AB AD CD AD ,︒=∠135BCD ,求BC 的长.7．设c b a ,,分别是ABC ∆中C B A ∠∠∠,,的对边，且C B A C B A C B sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin =-+++，边c b 和是关于x 的方程：0cos 432=+-A x x 的两根（b>c ）。

高一数学导学案71.3正、余弦定理的应用(1)― 【学习目标】1. 综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海等有关的实际问题2. 分清仰角、俯角、张角、 视角和方位角及坡度、经纬度等概念3. 将实际问题转化为解三角形问题上士W-【学习要求】请同学们预习课本第 18页，完成下面的问题回答和练习1•正弦定理、余弦定理及其变形形式,(2) 正弦定理的变形： __________________________(3) 余弦定理： 1) [林Z”k.Co”]变形：2) _________________________2•运用正弦定理、余弦定理解决实际问 题的基本步骤是:【例1】为了测量河对岸两点代B 之间的距离，在河岸这边取点C,D .ADC =120, B D C=4 5 , A C D =3 0. BCD =75 , CD = 3km 。

设 A,B,C,D【例2】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，测出该渔 角为45：,距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105的方向，以9n mile /h 的速度向(1)正弦定理、三角形面积公式:[来源:],测得在同一平 面内，试求A,B 之间的距离?【解】轮在方位小岛B 靠拢，我海军舰 艇立即以21 nmile/h 的速度前去营救•求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1；，时间精确到1min ）［来源学科网ZXXK ］[来源：Z&xx&]jr【例3】某 海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海 岛北偏东一的C 处，12时20分测得轮31T船在海岛北偏西 一的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方 5km 的E 港口 .如果轮船始终匀速前进，3求船速•【解】上W … 【问题导练】1 .在"ABC 中，已知A= 300，且3a = • 3b = 12，则C 的值为 _____________2•有一广告气球，直径为 6m ,放在公司大楼的上空，当行人仰望气球中心的仰角为 300时，测得 气球的视角：=1°，若二很小时可取sin^ - v ,则估算该气球离地高度为 _______________3.山顶上有一座电视塔，在塔顶 B 处测得地面上一点A 的俯角60：，在塔底C 处测得 点A 的俯角1 = 45。

正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤．教学过程一．问题情境1．复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，（1）正弦定理、三角形面积公式：R Cc B b A a 2sin sin sin ===； B ac C ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆． （2）正弦定理的变形：①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===； ②Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； ③sin sin sin ::::A B C a b c =． （3）余弦定理：bc a c b A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=． 二．学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三．建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角.（2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了.（4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案.四．数学运用1．例题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=，60BDC ∠=，47ACD ∠=，72BCD ∠=，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.解：在ADC ∆中，85ADC ∠=，47ACD ∠=，则48DAC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC m DAC ∠==≈∠. 在BDC ∆中，60BDC ∠=，72BCD ∠=，则48DBC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC m DBC ∠==≈∠. 在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠()22134.05116.542134.05116.54cos 7247=+-⨯⨯- 3233.95≈，所以 ()57AB m ≈答,A B 两点之间的距离约为57m .本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .引申：如果A ，B 两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量A ，B 两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展 第8题.例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）.解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=.由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即()()222211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠.化简，得 2369100x x --=， 解得()()240min 3x h ==（负值舍去）. 由正弦定理，得sin 9sin1203sin 21BC ACB x BAC AB x ∠∠===， 所以21.8BAC ∠≈，方位角为4521.866.8+=.答 舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠. 例3．如图，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3π的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3π的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.图1-3-1图1-3-2解：设ABE θ∠=，船的速度为/km h υ，则43BC υ=，13BE υ=. 在ABE ∆中，153sin sin 30υθ=，15sin 2θυ∴=. 在ABC ∆中，()43sin120sin 180AC υθ=-，AC ∴===. 在ACE ∆中，2252525cos1503υ⎛⎫=+-⨯⨯⋅ ⎪⎝⎭， 22540077525100933υ=++=，293υ∴=， ∴船的速度/h υ=.2．练习：书上P20 练习1，3，4题.五．回顾小结：1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六．课外作业： 书上P21页习题1.3 第2，3，4题.普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。