2010-2019北京高考数学(文)真题分类汇编专题三导数的综合应用

2010-2019年北京高考导数汇编2019整体法（h(x)=f(x)-g(x)≥0，左侧当成一个成体，求最小值≥0）+讨论参数(求h(x)的导数会出现未知参数进行讨论)2018（18）（本小题13分）设函数2()[(41)43]e x f x ax a x a =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围．直接讨论f(x)的性质+讨论参数201719．（13分）已知函数f （x ）=e x cosx ﹣x ．（1）求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值．简单二次求导问题2016（18）（本小题13分）设函数f(x)=x a x e - +bx ，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e -1)x+4，（I ）求a,b 的值；(I I) 求f(x)的单调区间。

简单二次求导问题18．（本小题13分）已知函数()1ln1x f x x +=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．第三问结合第二问去讨论参数问题2014(18)（本小题13分）已知函数()cos sin f x x x x =-，[0,]2x ∈π（Ⅰ）求证：()0f x ≤；（Ⅱ）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．构造新函数（sinx -ax>0,sinx -bx<0,再用整体法求a,b 的值）2013（18）（本小题共13分）设L 为曲线ln :x C y x=在点()1,0处的切线． （Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线L 的下方．位置问题用作差法（求证L -y>0）18．（2012•北京）已知函数f （x ）=ax 2+1（a ＞0），g （x ）=x 3+bx（1）若曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值；（2）当a 2=4b 时，求函数f （x ）+g （x ）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．简单讨论导数零点大小问题201118．（本小题共13分）已知函数2()()x k f x x k e =-。

专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用答案部分 2019年1.解析（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； 若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增； 若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. （2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是 3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩ 所以332,02,27,2 3.27a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩ 当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227⎛⎫⎪⎝⎭.当23a ≤<时，327a 单调递减，所以M m -的取值范围是8[,1)27.综上，M m -的取值范围是8[,2)27. 2.解析（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+． 令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =．又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-，即y x =与6427y x =-．（Ⅱ）要证()6x f x x -剟，即证()60f x x--剟，令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-．由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-． 令()0g'x =得0x =或83x =．(),()g'x g x 在区间[]2,4-上的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0． 故6()0g x -剟，即6()x f x x -剟．（Ⅲ）()()()[],2,4F x f x x a g x a x =--=-∈-，由（Ⅱ）知，()[]6,0g x ∈-， 当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =． 综上，当()M a 最小时，3a =-．3.解析（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=． 因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得121133b b x x ++==．列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤．4.解析 （1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=. 当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈„时，ax ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.5.解析 （1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=. 当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈„时，ax ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.6.解析（1）()f x 的定义域为（0，+∞）.11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-. 因为ln y x =单调递增，1y x=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<，1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=.又当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因此，()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知()0(1)2f x f <=-，又()22e e 30f =->，所以()0f x =在()0,x +∞内存在唯一根x α=. 由01x α>>得011x α<<.又1111()1ln 10f f αααααα⎛⎫⎛⎫=---==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1α是()0f x =在()00,x 的唯一根. 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 7.解析（Ⅰ）由已知，()f x 的定义域为(0,)+∞，且211e ()e (1)e x x xax f x a a x x x'-⎡⎤=-+-=⎣⎦， 因此当0a ≤时，21e 0x ax -> ，从而()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知21()x ax e f x x '-=.令2()1xg x ax e =-，由10a e<<，可知()g x 在(0,)+∞内单调递减，又(1)10g ae =->，且221111ln 1ln 1ln 0g a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故()0g x =在(0,)+∞内有唯一解，从而()0f x '=在(0,)+∞内有唯一解，不妨设为0x ，则011lnx a<<. 当()00,x x ∈时，()0()()0g x g x f x x x'=>=，所以()f x 在()00,x 内单调递增；当0(),x x ∈+∞时，()0()()0g x g x f x x x'=<=，所以()f x 在0(),x +∞内单调递减，因此0x 是()f x 的唯一极值点.令()ln 1h x x x =-+，则当1x >时，1()10h x x'=-<，故()h x 在(1,)+∞内单调递减，从而当1x >时，()()10h x h <= ，所以ln 1x x <-.从而1ln 111111ln ln ln ln 1e ln ln ln 1ln 0a f a h a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()0(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞内有唯一零点.又()f x 在()00,x 内有唯一零点1，从而，()f x 在(1,)+∞内恰有两个零点.（ii ）由题意，()()010,0,f x f x '⎧=⎪⎨=⎪⎩即()120111ln 1x x ax e x a x e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，从而1011201ln x x x x e x --=，即102011ln 1x x x x ex -=-.因为当1x >时，ln 1x x <- ，又101x x >>，故()102012011e 1x x x x x x --<=-，两边取对数，得120ln ln x x e x -<，于是()10002ln 21x x x x -<<-，整理得0132x x ->. 8.解析（Ⅰ）当34a =-时，3()ln 04f x x x =-+>．3()4f 'x x =-=， 所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（Ⅱ）由1(1)2f a≤，得04a <≤．当04a <≤时，()2f x a≤等价于22ln 0x a a --≥． 令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥，则()2ln g t g x ≥=．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x ==. 故所以，()(1)0p x p ≥= ．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g =…．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫ ⎪⎝⎭„．由（i ）得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，()<0q x ．因此()0g t g =>…．由（i ）（ii ）得对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞…，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a „． 综上所述，所求a的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦．2010-2018年1．C 【解析】由2(1)()(2)x f x x x -'=-，02x <<知，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，排除A 、B ；又(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=， 所以()f x 的图象关于1x =对称，C 正确．2．D 【解析】由导函数的图象可知，()y f x =的单调性是减→增→减→增，排除 A 、C ；由导函数的图象可知，()y f x =的极值点一负两正，所以D 符合，选D ． 3．C 【解析】函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，等价于2245()1cos2cos cos cos 0333f x x a x x a x '=-+=-++… 在(,)-∞+∞恒成立． 设cos x t =，则245()033g t t at =-++…在[1,1]-恒成立， 所以45(1)03345(1)033g a g a ⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=--+⎪⎩……，解得1133a-剟．故选C ． 4．D 【解析】因为2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-，令()0f x '=，2x =±，当(,2)x ∈-∞-时()0f x '>，()f x 单调递增；当(2,2)x ∈-时()0f x '<，()f x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增．所以2a =．故选D ． 5．D 【解析】∵()ln f x kx x =-，∴1()f x k x'=-，∵()f x 在（1，+∞）单调递增， 所以当1x > 时，1()0f x k x '=-≥恒成立，即1k x≥在（1，+∞）上恒成立，∵1x >，∴101x<<，所以k ≥1，故选D ．6．C 【解析】由正弦型函数的图象可知：()f x 的极值点0x 满足0()f x =，则22x k m πππ=+()k Z ∈，从而得01()()2x k m k Z =+∈．所以不等式()22200[]x f x m +<，即为2221()32k m m ++<，变形得21[1()]32m k -+>，其中k Z ∈．由题意，存在整数k 使得不等式21[1()]32m k -+>成立．当1k ≠-且0k ≠时，必有21()12k +>，此时不等式显然不能成立，故1k =-或0k =，此时，不等式即为2334m >，解得2m <-或2m >． 7．C 【解析】当(0,1]x ∈时，得321113()4()a x x x --+≥，令1t x=，则[1,)t ∈+∞，3234a t t t --+≥，令()g t =3234t t t --+，[1,)t ∈+∞，则()2981(1)(91)g x t t t t '=--+=-+-，显然在[1,)+∞上，()0g t '<，()g t 单调递减，所以max ()(1)6g t g ==-，因此6a -≥；同理，当[2,0)x ∈-时，得2a -≤．由以上两种情况得62a --≤≤．显然当0x =时也成立，故实数a 的取值范围为[6,2]--．8．C 【解析】设()ln xf x e x =-，则1()xf x e x'=-，故()f x 在(0,1)上有一个极值点，即()f x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断1()f x 与2()f x 的大小，故A 、B 错；构造函数()x e g x x =，2(1)()x e x g x x -'=，故()g x 在(0,1)上单调递减，所以()()12g x g x >，选C ．9．B 【解析】当0a =，可得图象D ；记2()2af x ax x =-+， 232()2()g x a x ax x a a R =-++∈，取12a =，211()(1)24f x x =--，令()0g x '=，得2,23x =，易知()g x 的极小值为1(2)2g =，又1(2)4f =，所以(2)(2)g f >，所以图象A 有可能；同理取2a =，可得图象C 有可能；利用排除法可知选B ．10．C 【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。

专题三 导数及其应用第七讲 导数的计算与导数的几何意义答案部分 2019年1.解析 因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31xy x x =++（），所以当0x =时，'3y =，所以23e x y x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =， 又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =． 2.解析 由y =2sin+cos ，得2cos sin y x x '=-，所以π2cos πsin π=-2x y ='=-，所以曲线y =2sin+cos 在点(π,1)-处的切线方程为12(π)y x +=--， 即2210x y +-π+=． 故选C ．3.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1xy a x =++， 又函数e ln x y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+， 可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-. 故选D ． 4.解析 由题意，可知1sin 2y x '=--.因为1sin 002y x '=--==所以曲线cos y x =)0,1处的切线方程112y x -=-，即220x y +-=． 5.解析 设00(,ln )A x x ，由ln y x =，得1'y x=，所以001'|x x y x ==，则该曲线在点A 处的切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，因为切线经过点(e,1)--， 所以00e 1ln 1x x --=--，即00eln x x =，则0e x =．2010-2018年1．D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇年函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ，因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0) 处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二 易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ． 2．A 【解析】对于选项A ，1()2()2-==xx f x ， 则1()()()22=⋅=x x x x e e f x e ，∵12>e，∴()xe f x )在R 上单调递增，∴()2-=x f x 具有M 性质．对于选项B ，2()=f x x ，2()=x x e f x e x ，2[()](2)'=+x x e f x e x x ，令2(2)0+>x e x x ，得0>x 或2<-x ；令2(2)0+<x e x x ，得20-<<x ，∴函数()xe f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，∴2()=f x x 不具有M 性质．对于选项C ，1()3()3-==x xf x ，则1()()()33=⋅=xxxxe ef x e ，∵13<e ，∴()3=x ey 在R 上单调递减，∴()3-=x f x 不具有M 性质．对于选项D ，()cos =f x x ，()cos =xxe f x e x ，则[cos ](cos sin )0'=-≥xxe x e x x 在R 上不恒成立，故()cos =xxe f x e x 在R 上不是单调递增的，所以()cos =f x x 不具有M 性质．3．A 【解析】设两个切点分别为11(,)x y ，22(,)x y ，选项A 中，cos y x '=，12cos cos 1x x =-，当120,x x π==时满足，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A.4．A 【解析】设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得 12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭． 分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为211121121(,ln )11x x P x x x -+++．∵11x >， ∴2112211211||||1211PABA B P x x S y y x x x ∆+=-⋅=<=++，∴01PAB S ∆<<，故选A ． 5．B 【解析】由导函数图像可知函数的函数值在[1,1]上大于零，所以原函数递增，且导函数值在[1,0]递增，即原函数在[1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选B ． 6．D 【解析】11y a x '=-+，由题意得0|2x y ='=，即3a =． 7．A 【解析】∵236y x x '=-+∴切线斜率为3，则过（1,2）的切线方程为23(1)y x -=-，即31y x =-，故选A.8．A 【解析】xy e '=，0x =，01e =．9．C 【解析】∵23y x '=，切点为(1,12)P ，所以切线的斜率为3， 故切线方程为390x y -+=，令0x =得9y =．10．B 【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--'==++，所以2112(sincos )444y x πππ'===+。

专题三 导数及其应用第八讲 导数的综合应用2019年1.（2019全国Ⅲ文20）已知函数32()22f x x ax =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围.2.（2019北京文20）已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．3.（2019江苏19）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （）的极大值为M ，求证M ≤427． 4.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f （）=2sin －cos －，f ′（）为f （）的导数． （1）证明：f ′（）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若∈[0，π]时，f （）≥a ，求a 的取值范围．5.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f （）=2sin －cos －，f ′（）为f （）的导数． （1）证明：f ′（）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若∈[0，π]时，f （）≥a ，求a 的取值范围．6.（2019全国Ⅱ文21）已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.7.（2019天津文20）设函数()ln (1)x f x x a x e =--，其中a R ∈.（Ⅰ）若0a ≤，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10a e<<， （i ）证明()f x 恰有两个零点（ii ）设x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->.8.（2019浙江22）已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +> （1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注：e=2.71828…为自然对数的底数.2010-2018年一、选择题1．（2017新课标Ⅰ）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在(0,2)单调递增B ．()f x 在(0,2)单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于点(1,0)对称2．（2017浙江）函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是x xA．B．xxC．D．3．（2016年全国I卷）若函数1()sin2sin3f x x x a x=-+在(,)-∞+∞单调递增，则a的取值范围是A．[1,1]-B．1[1,]3-C．11[,]33-D．1[1,]3--4．（2016年四川）已知a为函数3()12f x x x=-的极小值点，则a=A．4 B．2 C．4 D．25．（2014新课标2）若函数()lnf x kx x=-在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是A．(],2-∞-B．(],1-∞-C．[)2,+∞D．[)1,+∞6．（2014新课标2）设函数()xf xmπ=．若存在()f x的极值点x满足()22200x f x m+<⎡⎤⎣⎦，则m的取值范围是A．()(),66,-∞-⋃+∞B．()(),44,-∞-⋃+∞C．()(),22,-∞-⋃+∞D．()(),11,-∞-⋃+∞7．（2014辽宁）当[2,1]x∈-时，不等式32430ax x x-++≥恒成立，则实数a的取值范围是A ．[5,3]--B ．9[6,]8--C ．[6,2]--D ．[4,3]--8．（2014湖南）若1201x x <<<，则A ．2121ln ln x x e e x x ->-B ．2121ln ln x x e e x x -<-C ．1221x x x e x e >D ．1221x x x e x e <9．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数22a y ax x =-+与2322y a x ax x a =-++ ()a R ∈的图像不可能．．．的是B10．（2013新课标2）已知函数()32f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是A ．∃()00,0x R f x ∈=B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则()0'0f x =11．（2013四川）设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）．若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,]eB ．[1,1]e +C ．[,1]e e +D ．[0,1]12．（2013福建）设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点13．（2012辽宁）函数x x y ln 212-=的单调递减区间为 A ．(－1,1] B ．(0,1]C ． [1,+)D ．(0,+)14．（2012陕西）设函数()x f x xe =，则A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点15．（2011福建）若0a >，0b >，且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9 16．（2011浙江）设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是A B C D17．（2011湖南）设直线x t = 与函数2()f x x =，()ln g x x = 的图像分别交于点,M N ，则当MN 达到最小时t 的值为 A ．1 B ．12 C 5 D 2 二、填空题18．（2016年天津）已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为____.19．（2015四川）已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+(其中a ∈R )．对于不相等的实数12,x x ，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --．现有如下命题： ①对于任意不相等的实数12,x x ，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数12,x x ，都有0n >；③对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =；④对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-．其中真命题有___________(写出所有真命题的序号)．20．（2011广东）函数32()31f x x x =-+在x =______处取得极小值．三、解答题21．（2018全国卷Ⅰ）已知函数()ln 1=--x f x ae x ．(1)设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；(2)证明：当1e a ≥时，()0≥f x ．22．（2018浙江）已知函数()ln f x x =．(1)若()f x 在1x x =，2x (12x x ≠)处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>-；(2)若34ln 2a -≤，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．23．（2018全国卷Ⅱ）已知函数321()(1)3=-++f x x a x x ． (1)若3=a ，求()f x 的单调区间；(2)证明：()f x 只有一个零点．24．（2018北京）设函数2()[(31)32]e xf x ax a x a =-+++．(1)若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a ；(2)若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围． 25．（2018全国卷Ⅲ）已知函数21()e xax x f x +-=． (1)求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程；(2)证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥．26．（2018江苏）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．(1)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；(2)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；(3)已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x =．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．27．（2018天津）设函数123()=()()()f x x t x t x t ---，其中123,,t t t ∈R ，且123,,t t t 是公差为d 的等差数列．(1)若20,1,t d == 求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)若3d =，求()f x 的极值；(3)若曲线()y f x =与直线2()y x t =---求d 的取值范围．28．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()()x x f x e e a a x =--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()0f x ≥，求a 的取值范围．29．（2017新课标Ⅱ）设函数2()(1)x f x x e =-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，()1f x ax +≤，求a 的取值范围．30．（2017新课标Ⅲ）已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0a <时，证明3()24f x a--≤． 31．（2017天津）设,a b ∈R ，||1a ≤．已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．32．（2017浙江）已知函数()(x f x x e -=1()2x ≥． （Ⅰ）求()f x 的导函数；（Ⅱ）求()f x 在区间1[,)2+∞上的取值范围．33．（2017江苏）已知函数32()1f x x ax bx =+++(0,)a b >∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >；34．（2016年全国I 卷）已知函数22()(2)(1)f x x e a x =-+-.(I)讨论()f x 的单调性；(II)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.35．（2016年全国II 卷）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.(Ⅰ)当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；(Ⅱ)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.36．（2016年全国III 卷）设函数()ln 1f x x x =-+．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->．37．（2015新课标2）已知函数()ln (1)f x x a x =+-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围．38．（2015新课标1）设函数()2e ln x f x a x =-．（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a >时()22lnf x a a a +≥． 39．（2014新课标2）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为－2．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．40．(2014山东）设函数())ln 2(2x xk x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828e =L 是自然对数的底数）（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围．41．（2014新课标1）设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠， 曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0（Ⅰ）求b ； （Ⅱ）若存在01,x ≥使得()01a f x a <-，求a 的取值范围． 42．（2014山东）设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数． （Ⅰ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．43．(2014广东) 已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈U ，使得01()()2f x f =．44．(2014江苏)已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：)(x f 是R 上的偶函数；（Ⅱ）若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立．试比较1e -a与1e -a 的大小，并证明你的结论．45．（2013新课标1）已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值．46．（2013新课标2）已知函数2()x f x x e -=．（Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．47．（2013福建）已知函数()1x a f x x e=-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极值；（Ⅲ）当1a =的值时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值．48．(2013天津)已知函数2l ()n f x x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ） 证明：对任意的0t >，存在唯一的s ，使()t f s =．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =，证明：当2t e >时，有2ln ()15ln 2g t t <<． 49．（2013江苏）设函数()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数．（Ⅰ）若()f x 在()1,+∞上是单调减函数，且()g x 在()1,+∞上有最小值，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论．50．（2012新课标）设函数f ()=x e －a －2（Ⅰ）求()f x 的单调区间（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值51．（2012安徽）设函数1()(0)x x f x ae b a ae=++> （Ⅰ）求()f x 在[0,)+∞内的最小值；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =；求,a b 的值。

专题04导数及其应用历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科05】函数f（x）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x），x∈[﹣π，π]，∴f（﹣x）f（x），∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（），因此排除B，C；故选：D．2．【2018年新课标1文科06】设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．3．【2017年新课标1文科08】函数y的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y，可知函数是奇函数，排除选项B，当x时，f（），排除A，x＝π时，f（π）＝0，排除D．故选：C．4．【2017年新课标1文科09】已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称【解答】解：∵函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），∴f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx，即f（x）＝f（2﹣x），即y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，故选：C．5．【2016年新课标1文科09】函数y＝2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝y＝2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）＝2（﹣x）2﹣e|﹣x|＝2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x＝±2时，y＝8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）＝y＝2x2﹣e x，∴f′（x）＝4x﹣e x＝0有解，故函数y＝2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．6．【2016年新课标1文科12】若函数f（x）＝x sin2x+a sin x在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[，] D．[﹣1，]【解答】解：函数f（x）＝x sin2x+a sin x的导数为f′（x）＝1cos2x+a cos x，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1cos2x+a cos x≥0，即有cos2x+a cos x≥0，设t＝cos x（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t＝0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t，由4t在（0，1]递增，可得t＝1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t，由4t在[﹣1，0）递增，可得t＝﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a．综上可得a的范围是[，]．另解：设t＝cos x（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[，]．故选：C．7．【2014年新课标1文科12】已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：∵f（x）＝ax3﹣3x2+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2），f（0）＝1；①当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）3•1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．8．【2013年新课标1文科09】函数f（x）＝（1﹣cos x）sin x在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：f（﹣x）＝（1﹣cos x）sin（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故可排除B，又因为当x∈（0，π）时，1﹣cos x＞0，sin x＞0，故f（x）＞0，可排除A，又f′（x）＝（1﹣cos x）′sin x+（1﹣cos x）（sin x）′＝sin2x+cos x﹣cos2x＝cos x﹣cos2x，故可得f′（0）＝0，可排除D，故选：C．9．【2010年新课标1文科04】曲线y＝x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝x﹣1 B．y＝﹣x+1 C．y＝2x﹣2 D．y＝﹣2x+2【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y＝x3﹣2x+1，y′＝3x2﹣2，所以k＝y′|x﹣1＝1，得切线的斜率为1，所以k＝1；所以曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．故选：A．10．【2019年新课标1文科13】曲线y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线方程为．【解答】解：∵y＝3（x2+x）e x，∴y'＝3e x（x2+3x+1），∴当x＝0时，y'＝3，∴y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3x．故答案为：y＝3x．11．【2017年新课标1文科14】曲线y＝x2在点（1，2）处的切线方程为．【解答】解：曲线y＝x2，可得y′＝2x，切线的斜率为：k＝2﹣1＝1．切线方程为：y﹣2＝x﹣1，即：x﹣y+1＝0．故答案为：x﹣y+1＝0．12．【2015年新课标1文科14】已知函数f（x）＝ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a＝．【解答】解：函数f（x）＝ax3+x+1的导数为：f′（x）＝3ax2+1，f′（1）＝3a+1，而f（1）＝a+2，切线方程为：y﹣a﹣2＝（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2＝（3a+1）（2﹣1），解得a＝1．故答案为：1．13．【2012年新课标1文科13】曲线y＝x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．【解答】解：求导函数，可得y′＝3lnx+4，当x＝1时，y′＝4，∴曲线y＝x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1＝4（x﹣1），即y＝4x﹣3．故答案为：y＝4x﹣3．14．【2019年新课标1文科20】已知函数f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x，∴f′（x）＝2cos x﹣cos x+x sin x﹣1＝cos x+x sin x﹣1，令g（x）＝cos x+x sin x﹣1，则g′（x）＝﹣sin x+sin x+x cos x＝x cos x，当x∈（0，）时，x cos x＞0，当x时，x cos x＜0，∴当x时，极大值为g（）0，又g（0）＝0，g（π）＝﹣2，∴g（x）在（0，π）上有唯一零点，即f′（x）在（0，π）上有唯一零点；（2）由（1）知，f′（x）在（0，π）上有唯一零点x0，使得f′（x0）＝0，且f′（x）在（0，x0）为正，在（x0，π）为负，∴f（x）在[0，x0]递增，在[x0，π]递减，结合f（0）＝0，f（π）＝0，可知f（x）在[0，π]上非负，令h（x）＝ax，作出图示，∵f（x）≥h（x），a≤0，∴a的取值范围是（﹣∞，0]．15．【2018年新课标1文科21】已知函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a时，f（x）≥0．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．∴x＞0，f′（x）＝ae x，∵x＝2是f（x）的极值点，∴f′（2）＝ae20，解得a，∴f（x）e x﹣lnx﹣1，∴f′（x），当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）证明：当a时，f（x）lnx﹣1，设g（x）lnx﹣1，则，由0，得x＝1，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴x＝1是g（x）的最小值点，故当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0，∴当a时，f（x）≥0．16．【2017年新课标1文科21】已知函数f（x）＝e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝e x（e x﹣a）﹣a2x＝e2x﹣e x a﹣a2x，∴f′（x）＝2e2x﹣ae x﹣a2＝（2e x+a）（e x﹣a），①当a＝0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增，②当a＞0时，2e x+a＞0，令f′（x）＝0，解得x＝lna，当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，③当a＜0时，e x﹣a＞0，令f′（x）＝0，解得x＝ln（），当x＜ln（）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞ln（）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，综上所述，当a＝0时，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（））上单调递减，在（ln（），+∞）上单调递增，（2）①当a＝0时，f（x）＝e2x＞0恒成立，②当a＞0时，由（1）可得f（x）min＝f（lna）＝﹣a2lna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，③当a＜0时，由（1）可得：f（x）min＝f（ln（））a2ln（）≥0，∴ln（），∴﹣2a＜0，综上所述a的取值范围为[﹣2，1]17．【2016年新课标1文科21】已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）＝（x﹣1）e x+2a（x﹣1）＝（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图）若a，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）＝﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a＝0时，f（x）＝（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x＝2；③当a＜0时，若a时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．18．【2015年新课标1文科21】设函数f（x）＝e2x﹣alnx．（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝e2x﹣alnx的定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝2e2x．当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f′（x）没有零点，当a＞0时，∵y＝e2x为单调递增，y单调递增，∴f′（x）在（0，+∞）单调递增，又f′（a）＞0，假设存在b满足0＜b＜ln时，且b，f′（b）＜0，故当a＞0时，导函数f′（x）存在唯一的零点，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所欲当x＝x0时，f（x）取得最小值，最小值为f（x0），由于0，所以f（x0）2ax0+aln2a+aln．故当a＞0时，f（x）≥2a+aln．19．【2014年新课标1文科21】设函数f（x）＝alnx x2﹣bx（a≠1），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0），求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）（x＞0），∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，∴f′（1）＝a+（1﹣a）×1﹣b＝0，解得b＝1．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）＝alnx，∴．①当a时，则，则当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，∴存在x0≥1，使得f（x0）的充要条件是，即，解得；②当a＜1时，则，则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．∴存在x0≥1，使得f（x0）的充要条件是，而，不符合题意，应舍去．③若a＞1时，f（1），成立．综上可得：a的取值范围是．20．【2013年新课标1文科20】已知函数f（x）＝e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝e x（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）＝e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4∴f（0）＝4，f′（0）＝4∴b＝4，a+b＝8∴a＝4，b＝4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）＝4e x（x+2）﹣2x﹣4＝4（x+2）（e x），令f′（x）＝0，得x＝﹣ln2或x＝﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）＝4（1﹣e﹣2）．21．【2012年新课标1文科21】设函数f（x）＝e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【解答】解：（I）函数f（x）＝e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）＝e x﹣a，若a≤0，则f′（x）＝e x﹣a≥0，所以函数f（x）＝e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＝e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＝e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a＝1，所以，（x﹣k）f′（x）+x+1＝（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0等价于k（x＞0）①令g（x），则g′（x）由（I）知，当a＝1时，函数h（x）＝e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）＝e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）＝0，可得eα＝α+2所以g（α）＝α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．22．【2011年新课标1文科21】已知函数f（x），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）．【解答】解：（I）．由于直线x+2y﹣3＝0的斜率为，且过点（1，1）所以解得a＝1，b＝1（II）由（I）知f（x）所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）＝0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，23．【2010年新课标1文科21】设函数f（x）＝x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【解答】解：（I）a时，f（x）＝x（e x﹣1）x2，（e x﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；（II）f（x）＝x（e x﹣1﹣ax）．令g（x）＝e x﹣1﹣ax，则g'（x）＝e x﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）＝0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）＝0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．另解：当x＝0时，f（x）＝0成立；当x＞0，可得e x﹣1﹣ax≥0，即有a的最小值，由y＝e x﹣x﹣1的导数为y′＝e x﹣1，当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减，可得函数y 取得最小值0，即e x ﹣x ﹣1≥0，x ＞0时，可得1，则a ≤1． 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数10()ln ,0x x f x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( ) A ．(21e -，0) B ．(12e -，0) C ．(0，12e ) D ．(0，21e) 【答案】C 【解析】由题意，函数10()ln ,0x x f x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 当0x >时，令()()0F x f x kx =-=，可得2ln x k x=， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和()2ln x g x x =有两个交点，又由()312ln xg x x -'=，令12ln 0x -=，可得x =当x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x =()max 12g x e =，若直线y k =和()2ln xg x x =有两个交点，则1(0,)2k e ∈，当0x <时，y k =和()1g x x =有一个交点，则0k >，综上可得，实数k 的取值范围是1(0,)2e ，故选C.2．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（） A ．2παβ+< B ．2παβ+= C ．αβ< D ．αβ> 【答案】C【解析】由题意，sin sin βααβ>，sin sin αβαβ∴>，设()sin ,0,2xf x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()2cos sin ',0,2x x xf x x x π-⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，设()cos sin ,0,2g x x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()'cos sin cos sin 0g x x x x x x x ∴=--=-<， ()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且()()00g x g <=，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭递减， ()()sin sin ,f f αβαβαβ>⇔>αβ∴<，故选C.3．已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】 '()ln 2()=1a a x f x a x x f x x x-=-+⇒-=，当x a >时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当0x a <<时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，故max ()()ln 2f x f a a a a ==-+，又当0,()x f x →→-∞，所以函数()f x 的值域为(,ln 2]a a a -∞-+，令'()ln 2()ln 11ln ,t a a a a t a a a =-+⇒=+-= '1,()0a a Z t a >∈∴>因此()t a 是单调递增函数，因此当2,a a Z ≥∈时，()(2)2ln 20t a t ≥=>，令()ln 2f x a x x n =-+=由上可知：ln 2n a a a ≤-+，(())()y f f x f n ==，由上可知函数(n)f 在0x a <<时，单调递增，在x a >时，单调递减，要想(())()y f f x f n ==的值域为(,ln 2]a a a -∞-+，只需ln 2a a a a ≤-+，即ln 220a a a -+≥，设()ln 22g a a a a =-+，2,a a Z ≥∈，'()ln 1g a a =-，所以当3,a a Z ≥∈时，函数()g a 单调递增，(2)2ln 240,(3)3ln 340g g =-<=-<，(4)4ln 460,(5)5ln 580g g =-<=->，所以a 的最小值是5，故本题选A.4．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12113a cb d +-==+-，则22()()ac bd -+-的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．2D 【答案】D【解析】ln 12113a cb d +-==+- ln 11ln 1a b a b +∴=⇒=+，2113c d c d -=⇒=+- ∴可以看成()ln f x x =和()1g x x =+之间的最小值'1()f x x =∴当111x x=⇒=时，即点()1,0到直线()1g x x =+的距离最小∴d ==5．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】因为函数()ln f x x a x =，所以()1a f x x '==令()22g x x a =，因为()2g x '==，当(1,)x ∈+∞ 时，10,0>>，所以()0g x '>所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点.当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，min 0()()f x f x =，因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞，故答案选D.6．已知函数1()2x a f x e ax x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B ．,2eC．3,2e D ．2,e【答案】D【解析】令2()()(21)x g x xf x x e ax a ==-+-，则()()()g x f x xf x ''=+，因为对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，所以()()()0g x f x xf x ''=+≥在(0,)x ∈+∞上恒成立；即()(21)20x g x x e ax '=++≥在(0,)x ∈+∞上恒成立； 即(21)122x x x e a e x x +⎛⎫-≤=+ ⎪⎝⎭在(0,)x ∈+∞上恒成立； 令1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(0,)x ∈+∞， 则22211(21)()2x x x x x h x e e e x x x +-⎛⎫'=-++= ⎪⎝⎭，由()0h x '=得2210x x +-=，解得1x =-（舍）或12x =， 所以，当102x <<时，22(21)()0x x x h x e x+-'=<，1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减； 当12x >时，22(21)()0x x x h x e x+-'=<，1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增；所以min 1()2h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭因为(21)122x x x e a e x x +⎛⎫-≤=+ ⎪⎝⎭在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以只需2a -≤a ≥-故选D7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为( )A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A【解析】设()()2g x x f x =， 因为()f x 为R 上奇函数，所以()()()()22g x x f x x f x -=--=-，即()g x 为R 上奇函数对()g x 求导，得()()()2f g f x x x x x '=+'⎡⎤⎣⎦，而当0x >时，有()()220f x xf x x '>+≥ 故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，所以()g x 在R 上单调递增不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋ ()()()22018+201842x f x f +<--， ()()()22018+201842x f x f +< 即()()20182g x g +<所以20182x +<，解得2016x <-故选A 项.8．已知函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ）A ．-3B ．-2C ．-1D ．0【答案】D【解析】 根据题意，函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，其导数24681012()1f x x x x x x x '=-+-+-+，0x ≠时，()f x '可以看成是1为首项，2x -为公比的等比数列，则有24681012()1f x x x x x x x '=-+-+-+142101x x +=>+， 函数()f x 在R 上为增函数， 又由111111(1)1(1)()()()035791113f -=+-+-+-+->， 35791113222222(2)1(2)035791113f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-+-+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则函数()f x 在(2,1)--上存在唯一的零点，设其零点为t ，(1)011f x x t x t ->⇒->⇒>+，又由21t -<<-，则110t -<+<，故不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为0；故选：D ．9．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____．【答案】1【解析】解：∵1ln y x =+，∴1y x '= 设切点为(,1ln )m m +，得切线的斜率为1m ， 所以曲线在点(),1ln m m +处的切线方程为：1ln 1()y m x m m--=⨯-． 即：1ln y m x m-= 它过原点，∴ln 0m -=，∴1m =，∴11a m==． 故答案为：1．10．函数()2x f x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为_________．【答案】1a【解析】()21g x x x =--关于x 轴对称的函数为()21h x x x =-++，因为函数()2x f x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点， 所以()2x f x ae x =-与()21h x x x =-++的图象有交点，方程221x ae x x x -=-++有解，即1x ae x =+有解，0a =时符合题意，0a ≠时转化为()11x e x a =+有解， 即()1,1x y e y x a==+的图象有交点， ()11y x a =+是过定点()1,0-的直线，其斜率为1a， 设()1,1x y e y x a==+相切时，切点的坐标为(),m m e ， 则111m m e m a e a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，解得1a =，切线斜率为11a =， 由图可知，当11a ≥，即1a ≤且0a ≠时，()1,1x y e y x a==+的图象有交点， 此时，()2x f x ae x =-与()21h x x x =-++的图象有交点，函数()2x f x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，综上可得，实数a 的取值范围为1a ≤，故答案为1a ≤.11．已知函数()1x f x e =-，若存在实数,()a b a b <使得()()f a f b =，则2+a b 的最大值为________.【答案】32ln27【解析】 作出函数()1xf x e =-图像如下：由题意，令,a b 为方程()f x m =的两个根，由图像易得01m <<；由1xe m -=得1x e m =±，解得ln(1)x m =+或ln(1)x m =-，因为a b <，所以ln(1)b m =+，ln(1)a m =-，因此22ln(1)2ln(1)ln(1)(1)a b m m m m +=-++=-+，令232()(1)(1)1g m m m m m m =-+=--++，01m <<，则2()321(31)(1)g m m m m m '=--+=--+，因为01m <<，所以由()0g m '>得103m <<；由()0g m '<得113m <<， 即函数()g m 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 所以2max 11132()1133327g m g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此2+a b 的最大值为32ln27. 故答案为32ln 2712．已知实数a ，b ，c 满足2121a c b c e a b e +--+++≤（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______． 【答案】15【解析】设()(1)x u x e x =-+，则()1x u x e '=-，所以函数u(x)的增区间为（0，+∞），减区间为(-∞,0),所以()(0)0u x u ≥=，即e 1x x ≥+；可知21121121a c b c e a c b a e c b +--++++--+=++≥，当且仅当210a c b c +=--=时取等；因为2121a c b c e a b e +--+++≤所以2121a c b c e a b e +--+=++，210a c b c +=--=． 所以1,2c a c b +=-=，解得22222(1)51144245c c a b c c ++=+=++≥，当且仅当15c =时，取等号． 故答案为：1513．已知直线x t =与曲线()()()ln 1,x f x x g x e =+=分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________ 【答案】1.【解析】令()()()ln(1)th t g t f t e t =-=-+， 1'()()()1t h t g t f t e t =-=-+，显然为增函数，且'(0)0h = 所以当(1,0)t ∈-时，'()0,()h t h t <单调递减；当(1,)t ∈+∞时，'()0,()h t h t >单调递增.所以min ()(0)1h t h ==.故答案为1.14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____．【答案】206x y π-= 【解析】解：曲线cos y a x =，可得'sin y a x =-，曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12， 可得1sin 62a π-=， 所以1a =-.所以切点坐标为：(,6π，则切线l 的方程为：126y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.即：2306x y π---=．故答案为：2306x y π---=．15．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】作出()f x 的函数图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得(),1f x a a =>， 即1a >， 不妨设12x x < ，则2212x x e a ==(1)a t t =>，则12,ln 2t x x t ==， 12ln 2t x x t ∴+=-()ln 2t g t t =-42'()4t g t t-=， ∴当 18t <<时，()'0g t >，g t 在()1,8上递增；当8t 时，()'0g t <，g t 在()8,+∞上递减；∴当8t =时，g t 取得最大值g(8)=ln82=3ln22--,故答案为3ln 22-.16．已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______. 【答案】0a <或2a >【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过第二、三象限，当0x >时，33(1)2,2()(1)2,02x a x x f x x a x x ⎧---=⎨-++<<⎩，所以223(1),2()3(1),,02x a x f x x a x ⎧--=⎨-+<<⎩'，①若1a -时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解13x =<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在2⎫⎪⎪⎭上单调递增，又(2210f a ⎛=+=-> ⎝所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得x =2<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为21f ⎛= ⎝，令2102211f a a ⎛=<⇒>∴<< ⎝.211a ≥⇒≥时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得x =21113a <⇒≤<，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为(2)82f a =-，令8204a a -<⇒>，所以1113a ≤<；213a ≥⇒≥，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为2f =，显然20<，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >.17．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析 【解析】（Ⅰ）函数()f x 可化为ln ,()ln ,0x x a x af x a x x x a --≥⎧=⎨--<<⎩，当0x a <<时，1()10f x x'=--<，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的， 当x a ≥时，11()1x f x x x-=-='，此时要考虑a 与1的大小. 若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减， 在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以 当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增；当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.所以 222222ln 2ln 3ln 23n n+++22211111123n <-+-+-222111123n n ⎛⎫=--+++⎪⎝⎭11112334(1)n n n ⎛⎫<--+++⎪⨯⨯+⎝⎭11121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭1(1)2(1)n n n -=--+ 2221(1)(21)2(1)2(1)n n n n n n --+-+==++. 18．已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ．（1）讨论()f x 的单调性； （2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：()()21212+44282f x f x a a x x f +++⎛⎫-> ⎪⎝⎭.【答案】（1）当2a <-时，()f x 在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭减函数，,2a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数．（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()210x ax f x x x'++=>，对于函数21y x ax =++，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．()210x ax f x x++'∴=≥在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数；②当∆>0，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <x >，0<<()f x ∴在0,2a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，22a a ⎛⎫---+⎪ ⎪⎝⎭减函数，2a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭为增函数， 当2a >时，由()210x ax f x x++'=>在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数．综上，当2a <-时，()f x在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭减函数，⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数； 当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数．（2）由（1）知2a <-，且1212,1x x a x x +=-=， 故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭()()21222111222121211ln ln 222ln 2222x x x x ax x x ax x x x x a +⎛⎫+++++ ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21ln +228a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭故只需证明ln 1022a a⎛⎫----> ⎪⎝⎭，令2at =-，故1t >， 原不等式等价于ln 1t t 对1t >成立， 令1()ln (1),'()0t g t t t g t t，所以()ln (1)g t t t 单调递减，有()ln (1)(1)0g t t t g得证.19．已知函数()ln(1)1(1)f x ax x a =+-+. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()e f x e +对1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）[1,e] 【解析】（Ⅰ）当1a =时，()ln(1)1f x x x =+-+，定义域为(1,)-+∞. 1()111xf x x x -'=-=++. 令()0f x '=，得0x =.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以max ()(0)1f x f ==. （Ⅱ）()11a f x ax '=-+11ax a ax -+-=+，1x a >-.令()0f x '=，得1a x a-=. 当11,a x a a -⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,a x a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以max 11()ln a f x f a a a -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 依题意有11ln e a a e ++，设1()ln (1)g a a a a=+， 则22111()0a g a a a a-'=-=，所以()g a 在[1,)a ∈+∞上单调递增. 又1e 1(e)ln e e e g +=+=，故1e 1ln ea a++()(e)g a g ⇔1e a ⇒， 即实数a 的取值范围为[1,e].20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在()()f x g x +上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间()()f x g x +是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤ （1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值范围．【答案】（1）22y x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）(231,4,2164e e⎛⎤⎤ ⎦⎥⎝⎦【解析】（1）当2a =时，()()2ln 20f x x x x =->∴当0x >时，()22f x x '=-，则：()22f e e'=-，又()22f e e =- ()f x ∴在()(),e f e 处的切线方程为：()()2222y e x e e⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭即：22y x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤ ()()2,000ax x f x a x ⎧->⎪⎪∴=>⎨≤' 列表如下：设函数()f x 存在“单调倍区间”是()()f x g x + ①当0m n <≤时，由()f x 在(),0-∞上单调递减，则有2222a n a m==()2n m =- 2=12=，代入2222a na m==得：12221222a na m⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩要使此关于,m n的方程组在0m n<≤时有解，则使得2y a=与()21202y x x x=-+≥的图象有两个公共点当14x=时，min38y=，当0x=时，12y=结合两函数图象，则31282a<≤，即：31164a<≤即此时满足()f x存在“单调倍区间”的a的取值范围是31,164⎛⎤⎥⎝⎦②当02am n<<≤时，由()f x在0,2a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则有ln22ln22a m m ma n n n-=⎧⎨-=⎩即：1ln41ln4ma mna n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设()ln4xg xx=，则()21ln4xg xx-'=当()0,x e∈时，()0g x'>，()g x为增函数当(),x e∈+∞时，()0g x'<，()g x为减函数要使方程1ln4xa x=有两解，则1ya=与()ln4xg xx=的图象在0,2a⎛⎤⎥⎝⎦有两个交点结合两函数图象，则()212a e a g g e a⎧>⎪⎪⎨⎛⎫⎪≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，即：2ln 122114a e a a a a e ⎧>⎪⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪<⎪⎪⎩解得：242e a e <≤即此时满足()f x 存在“在单调倍区间”的a 的取值范围是(24,2e e ⎤⎦③当2a m n <<时，由()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则有ln 22ln 22a m m n a n n m-=⎧⎨-=⎩两式相减得：()ln ln 0a m n -=，此式不成立，即此时()f x 不存在“单调倍区间” 综上，函数()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值范围是(231,4,2164e e⎛⎤⎤ ⎦⎥⎝⎦21．已知函数2()(0)4x x a f x e a x ++=⋅≥+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当[0,1)b ∈时，设函数22(3)()(2)(2)x e b x g x x x +-+=>-+有最小值()h b ，求()h b 的值域. 【答案】(1)见解析；(2) 21(),24e h b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】解：（1）()f x 定义域为(,4)(4,)-∞--+∞，224(4)4x a x a e x x +⎛⎫-+=+ ⎪++⎝⎭222(4)34(4)x x a x a ex +++++=⋅+. 令2(4)340x a x a ++++=，①22(4)4(34)4a a a a ∆=+-+=-，1︒当04a ≤≤时，0∆≤，2(4)340x a x a ++++≥，即'()0f x ≥且不恒为零，故()f x 单调递增区间为(,4)-∞-，(4,)-+∞，2︒当4a >时，∆>0，方程①两根为142a x --=，242a x --+=，由于1(4)0x --=<，2(4)0x --=>.故124x x <-<，因此当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 单调递增，1(,4)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(4,)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增，综上，当04a ≤≤时，()f x 在(,4)-∞-单调递增，(4,)-+∞单调递增，当4a >时，()f x在(-∞单调递增，4)-，(-单调递减；在4()2a --++∞单调递增.（2）23(4)'()(2)x xe b x g x x +++=+23(4)4(2)x x x e b x x +⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=+，设2()(2)4x x k x e b x x +=+>-+， 由（1）知，0a =时，2()4x x f x e x +=+在(2,)-+∞单调递增，由于(0)0k b =≥，(2)10k b -=-+<， 故在(2,0]-存在唯一0x ，使0()0k x =，02004x x b e x +-=+， 又当0(2,)x x ∈-，()0k x <，即'()0g x <，()g x 单调递减，0(,)x x ∈+∞，()0k x >，即'()0g x >，()g x 单调递增，故(2,)x ∈-+∞时，()()0200203()2x e bx bh b g x x +--==+()()002200020342x x x e e x x x +++++=+0204x e x +=+，0(2,0]x ∈-. 又设2()4x e m x x +=+，(2,0]x ∈-，22222(4)(3)'()0(4)(4)x x x e x e e x m x x x ++++-+==>++，故()m x 单调递增，故()((2),(0)]m x m m ∈-，即21(),24e m x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即21(),24e h b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.22．已知函数1()x f x xe alnx -=-（无理数 2.718e =…）． （1）若()f x 在(1,)+∞单调递增，求实数a 的取值范围： （2）当0a =时，设2()()eg x f x x x x=⋅--， 证明：当0x >时，ln 2ln 2()122g x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭． 【答案】（1）2]-∞（，； （2）见解析.最新修正版【解析】（1）解：由题意可得()211()(1)0x x x x e a a f x x e x x -'-+-=+-=≥在1（，）+∞上恒成立． ∴21x a x x e -≤+（），令21())(x h x x x e -=+，则21130x h x x x e -'=++（）（）＞，∴函数21())(x h x x x e-=+在1（，）+∞上单调递增． ∴12a h ≤=（）． ∴实数a 的取值范围是2]-∞（，． （2）证明：当0a =时，22()()x e g x f x x x e x x x=⋅--=--． ()21x g x e x '=--，令()()21x u x g x e x '==--，则2x u x e '=-（），可得2x ln =时，函数u x （）取得极小值，221220g ln u ln ln '==-（）（）＜． ∵00g '=（），又11ln 2211'1ln 221ln 213ln 2022g e +⎛⎫⎛⎫+=-+-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∴存在012122x ln ln ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，，使得()00000210,21x x g x e x e x '=--==+． 由单调性可得：0x x =时，函数()g x 取得极小值，即最小值，∴()0222200000000015()21124x g x g x e x x x x x x x x ⎛⎫≥=--=+--=-++=--+ ⎪⎝⎭． 由012122x ln ln ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，，可得函数0y g x =（）单调递减，故()20115())1ln 2224g x g x ⎛⎫≥>-+-+ ⎪⎝⎭2ln 2ln 2122⎛⎫>-- ⎪⎝⎭． ∴当0x >时，2ln 2ln 2()122g x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．。

专题13算法
历年考题细目表
历年高考真题汇编
1．【2019年北京文科04】执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：模拟程序的运行，可得
k＝1，s＝1
s＝2
不满足条件k≥3，执行循环体，k＝2，s＝2
不满足条件k≥3，执行循环体，k＝3，s＝2
此时，满足条件k≥3，退出循环，输出s的值为2．
故选：B．
2．【2018年北京文科03】执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：执行循环前：k＝1，S＝1．
在执行第一次循环时，S＝1．
由于k＝2≤3，
所以执行下一次循环．S，
k＝3，直接输出S，
故选：B．
3．【2017年北京文科03】执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．2 B．C．D．
【解答】解：当k＝0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k＝1，S＝2，当k＝1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k＝2，S，
当k＝2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k＝3，S，
当k＝3时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为：，
故选：C．
4．【2016年北京文科03】执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）
A．8 B．9 C．27 D．36 【解答】解：当k＝0时，满足进行循环的条件，故S＝0，k＝1，。

专题03函数概念与基本初等函数历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年北京文科03】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y【解答】解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数．故选：A．2．【2018年北京文科05】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．故选：D．3．【2017年北京文科05】已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数【解答】解：f（x）＝3x﹣（）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝（）x为减函数，故函数f（x）＝3x﹣（）x为增函数，故选：B．4．【2017年北京文科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．1093【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴1093，故选：D．5．【2016年北京文科04】下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y B．y＝cos x C．y＝ln（x+1）D．y＝2﹣x【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x 减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y＝cos x在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y＝ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选：D．6．【2016年北京文科08】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B．7．【2015年北京文科03】下列函数中为偶函数的是（）A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|lnx| D．y＝2﹣x【解答】解：对于A，（﹣x）2sin（﹣x）＝﹣x2sin x；是奇函数；对于B，（﹣x）2cos（﹣x）＝x2cos x；是偶函数；对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣x）＝2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函数；故选：B．8．【2015年北京文科08】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升B．8升C．10升D．12升【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6＝8；故选：B．9．【2014年北京文科02】下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y＝e﹣x B．y＝x C．y＝lnx D．y＝|x|【解答】解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．10．【2014年北京文科06】已知函数f（x）log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）【解答】解：∵f（x）log2x，∴f（2）＝2＞0，f（4）0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C．11．【2014年北京文科08】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p＝at2+bt+c，可得，解得a＝﹣0.2，b＝1.5，c＝﹣2，∴p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t 3.75．故选：B．12．【2013年北京文科03】下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y＝e﹣x C．y＝lg|x| D．y＝﹣x2+1【解答】解：A中，y为奇函数，故排除A；B中，y＝e﹣x为非奇非偶函数，故排除B；C中，y＝lg|x|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增，所以y＝lg|x|在（0，+∞）上不单调，故排除C；D中，y＝﹣x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，故选：D．13．【2012年北京文科05】函数f（x）（）x的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，+∞）∵y在定义域上为增函数，y在定义域上为增函数∴函数f（x）在定义域上为增函数而f（0）＝﹣1＜0，f（1）0故函数f（x）的零点个数为1个故选：B．14．【2012年北京文科08】某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选：C．15．【2011年北京文科03】如果x y＜0，那么（）A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x【解答】解：不等式可化为：又∵函数的底数0 1故函数为减函数∴x＞y＞1故选：D．16．【2010年北京文科06】给定函数①，②，③y＝|x﹣1|，④y＝2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y＝x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选：B．17．【2017年北京文科11】已知x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2的取值范围是．【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2＝x2+（1﹣x）2＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，则令f（x）＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x，开口向上，所以函数的最小值为：f（）．最大值为：f（1）＝2﹣2+1＝1．则x2+y2的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．18．【2016年北京文科10】函数f（x）（x≥2）的最大值为．【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x＝2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．19．【2016年北京文科14】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．20．【2015年北京文科10】2﹣3，，log25三个数中最大数的是．【解答】解：由于0＜2﹣3＜1，12，log25＞log24＝2，则三个数中最大的数为log25．故答案为：log25．21．【2014年北京文科14】顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为个工作日．【解答】解：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15＝42 个工作日．故答案为：42．22．【2013年北京文科13】函数f（x）的值域为．【解答】解：当x≥1时，f（x）；当x＜1时，0＜f（x）＝2x＜21＝2．所以函数的值域为（﹣∞，2）．故答案为（﹣∞，2）．23．【2012年北京文科12】已知函数f（x）＝lgx，若f（ab）＝1，则f（a2）+f（b2）＝．【解答】解：∵函数f（x）＝lgx，f（ab）＝lg（ab）＝1，f（a2）+f（b2）＝lga2+lgb2＝lg（ab）2＝2lg（ab）＝2．故答案为：2．24．【2012年北京文科14】已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2．若∀x∈R，f（x）＜0或g （x）＜0，则m的取值范围是．【解答】解：∵g（x）＝2x﹣2，当x≥1时，g（x）≥0，又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴此时f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0故答案为：（﹣4，0）25．【2011年北京文科13】已知函数若关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实根，则数k的取值范围是．【解答】解：函数的图象如下图所示：由函数图象可得当k∈（0，1）时方程f（x）＝k有两个不同的实根，故答案为：（0，1）26．【2011年北京文科14】设A（0，0），B（4，0），C（t+4，3），D（t，3）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（0）＝，N（t）的所有可能取值为．【解答】解：当t＝0时，平行四边形ABCD内部的整点有（1，1）；（1，2）；（2，1）；（2，2）；（3，1）；（3，2）共6个点，所以N（0）＝6作出平行四边形ABCD将边OD，BC变动起来，结合图象得到N（t）的所有可能取值为6，7，8故答案为：6；6，7，827．【2010年北京文科09】已知函数y，如图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y 的程序框图，①处应填写；②处应填写．【解答】解：由题目可知：该程序的作用是计算分段函数y的值，由于分段函数的分类标准是x是否大于2，而满足条件时执行的语句为y＝2﹣x，易得条件语句中的条件为x＜2不满足条件时②中的语句为y＝log2x故答案为：x＜2，y＝log2x．28．【2010年北京文科14】（北京卷理14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则f（x）的最小正周期为；y＝f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为说明：“正方形PABC沿X轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．【解答】解：不难想象，从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：故其与x轴所围成的图形面积为．故答案为：4，π+1．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：函数，函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，幂函数与二次函数，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知是定义域为[a ，a +1]的偶函数，则2b a a -＝（ ）A ．0B ．34CD ．4 【答案】B【解析】∵f （x ）在[a ，a +1]上是偶函数，∴﹣a ＝a +1⇒a 12=-， 所以f （x ）的定义域为[12-，12]， 故：f （x ）12=-x 2﹣bx +1， ∵f （x ）在区间[12-，12]上是偶函数， 有f （12-）＝f （12），代入解析式可解得：b ＝0； ∴2b a a -13144=-=． 故选：B ．2．已知函数()y f x =的定义域为R ,)1(+x f 为偶函数,且对121x x ∀<≤,满足.若(3)1f =,则不等式的解集为（ ） A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．)8,1(C ．D ．【答案】A【解析】因为对121x x ∀<≤,满足，所以()y f x =当1≤x 时，是单调递减函数，又因为)1(+x f 为偶函数，所以()y f x =关于1x =对称，所以函数()y f x =当1>x 时，是增函数，又因为(3)1f =，所以有1)1(=-f ，当2log 1x ≤时，即当02x <≤时，当2log 1x >时，即当2x >时，，综上所述：不等式的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，故本题选A.3．函数的单调减区间为（ ） A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞ 【答案】A【解析】 函数,所以或1x <-，所以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，当3(,)2-∞时，函数是单调递减，而1x <-，所以函数的单调减区间为(),1-∞-，故本题选A 。

2020高考冲刺 提分必备2010-2019十年高考真题专项训练专题三 导数及其应用第八讲 导数的综合应用答案部分1．A 【解析】∵21()[(2)1]x f x x a x a e-'=+++-，∵(2)0f '-=，∴1a =-， 所以21()(1)x f x x x e -=--，21()(2)x f x x x e -'=+-，令()0f x '=，解得2x =-或1x =，所以当(,2)x ∈-∞-，()0f x '>，()f x 单调递增；当(2,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为11(1)(111)1f e -=--=-，选A ．2．D 【解析】由导函数的图象可知，()y f x =的单调性是减→增→减→增，排除 A 、C ；由导函数的图象可知，()y f x =的极值点一负两正，所以D 符合，选D ．3．D 【解析】当0x ?时，令函数2()2xf x x e =-，则()4x f x x e '=-，易知()f x '在[0，ln 4）上单调递增，在[ln 4，2]上单调递减，又(0)10f '=-<，1()202f '=->，(1)40f e '=->，2(2)80f e '=->，所以存在01(0,)2x ∈是函数()f x 的极小值点，即函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,2)x 上单调递增，且该函数为偶函数，符合 条件的图像为D ．4．B 【解析】（解法一）2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--．据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤．262m n +≤≤Q 18mn ∴≤．由2m n =且212m n +=得3,6m n ==．当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤．292m n +≤≤Q 812mn ∴≤．由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>．所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18．选B ．（解法二）由已知得()(2)8f x m x n '=-+-，对任意的1[,2]2x ∈，()0f x '≤，所以1()02()0f f x ⎧'⎪⎨⎪'⎩≤≤，即0,021822m n m n m n ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤≤．画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令mn t =，则当0n =时，0t =，当0n ≠时，t m n=，由线性规划的相关知识，只有当直线212m n +=与曲线t m n =相切时，t 取得最大值，由212192t n tn n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得6n =，18t =，所以max ()18mn =，选B ．5．A 【解析】令()()f x h x x=，因为()f x 为奇函数，所以()h x 为偶函数，由于 2()()()xf x f x h x x'-'=，当0x >时，'()()xf x f x - 0<，所以()h x 在(0,)+∞ 上单调递减，根据对称性()h x 在(,0)-∞上单调递增，又(1)0f -=，(1)0f =， 数形结合可知，使得()0f x >成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-U ．6．D 【解析】由题意可知存在唯一的整数0x ，使得000(21)-<-xe x ax a ，设 ()(21)=-x g x e x ，()=-h x ax a ，由()(21)x g x e x '=+，可知()g x 在1(,)2-∞- 上单调递减，在1(,)2-+∞上单调递增，作出()g x 与()h x 的大致图象如图所示，-a故(0)(0)(1)(1)>⎧⎨--⎩h g h g ≤，即132<⎧⎪⎨--⎪⎩a a e ≤，所以312a e <≤． 7．D 【解析】∵()ln f x kx x =-，∴1()f x k x'=-，∵()f x 在(1,)+∞单调递增， 所以当1x > 时，1()0f x k x '=-≥恒成立，即1k x≥在(1,)+∞上恒成立， ∵1x >，∴101x<<，所以k ≥1，故选D ． 8．A 【解析】法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y x =-，在(2，0)处的切线方程为36y x =-，以此对选项进行检验．A 选项，321122y x x x =--，显然过两个定点，又2312y x x '=--， 则02|1,|3x x y y ==''=-=，故条件都满足，由选择题的特点知应选A ．法二 设该三次函数为32()f x ax bx cx d =+++，则2()32f x ax bx c '=++由题设有(0)0(2)0(0)1(2)3f f f f =⎧⎪=⎪⎨'=-⎪⎪'=⎩，解得11,,1,022a b c d==-=-=． 故该函数的解析式为321122y x x x =--，选A ． 9．C 【解析】由正弦型函数的图象可知：()f x 的极值点0x 满足0()f x =，则022x k m πππ=+()k Z ∈，从而得01()()2x k m k Z =+∈．所以不等式 ()22200[]x f x m +<，即为2221()32k m m ++<，变形得21[1()]32m k -+>， 其中k Z ∈．由题意，存在整数k 使得不等式21[1()]32m k -+>成立．当1k ≠-且0k ≠时，必有21()12k +>，此时不等式显然不能成立，故1k =-或0k =，此时，不等式即为2334m >，解得2m <-或2m >． 10．A 【解析】设所求函数解析式为()y f x =，由题意知(5)2,52f f =--=（），且(5)0f '±=，代入验证易得3131255y x x =-符合题意，故选A ． 11．C 【解析】当(0,1]x ∈时，得321113()4()a x x x --+≥，令1t x =，则[1,)t ∈+∞， 3234a t t t --+≥，令()g t =3234t t t --+，[1,)t ∈+∞，则()2981(1)(91)g x t t t t '=--+=-+-，显然在[1,)+∞上，()0g t '<， ()g t 单调递减，所以max ()(1)6g t g ==-，因此6a -≥；同理，当[2,0)x ∈-时，得2a -≤．由以上两种情况得62a --≤≤．显然当0x =时也成立，故实数a 的取值范围为[6,2]--．12．C 【解析】设()ln x f x e x =-，则1()x f x e x'=-，故()f x 在(0,1)上有一个极值点，即()f x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断1()f x 与2()f x 的大小，故A 、B 错；构造函数()x e g x x =，2(1)()x e x g x x-'=，故()g x 在(0,1)上单调递减，所以()()12g x g x >，选C ．13．【解析】B 当0a =，可得图象D ；记2()2a f x ax x =-+，232()2g x a x ax =-+ ()x a a R +∈，取12a =，211()(1)24f x x =--，令()0g x '=，得2,23x =，易知 ()g x 的极小值为1(2)2g =，又1(2)4f =，所以(2)(2)g f >，所以图象A 有可能；同理取2a =，可得图象C 有可能；利用排除法可知选B ．14．C 【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得 32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为（0,0），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0(,)x -∞单调递减是错误的，D 正确．选C ．15．A 【解析】法一：由题意可得，00sin y x =[1,1]∈-，而由()f x =0[0,1]y ∈，当0a =时，()f x∴0[0,1]y ∈时，0()[1f x ∈．∴0(())1f f y >．∴ 不存在0[0,1]y ∈使00))((y y f f =成立，故B ，D 错；当1a e =+时，()f x当0[0,1]y ∈时，只有01y =时()f x 才有意义，而(1)0f =，∴ ((1))(0)f f f =，显然无意义，故C 错．故选A ．法二：显然，函数()f x 是增函数，()0f x ≥，从而以题意知0[0,1]y ∈．于是，只能有00()f y y =．不然的话，若00()f y y >，得000(())()f f y f y y >>， 与条件矛盾；若00()f y y <，得000(())()f f y f y y <<，与条件矛盾．于是，问题转化为()f t t =在[0,1]上有解．由t =2t t e t a =+-，分离变量，得2()t a g t e t t ==-+，[0,1]t ∈ 因为()210tg t e t '=-+>，[0,1]t ∈，所以，函数()g t 在[0,1]上是增函数，于是有1(0)()(1)g g t g e ==≤≤，即[1,]a e ∈，应选A ．16．D 【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点；B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点；C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系；D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对称，再关于x 轴的对称图像．故D 正确．17．B 【解析】∵21ln 2y x x =-,∴1y x x '=-,由0y '…，解得11x -剟，又0x >，∴01x <…故选B ．18．D 【解析】()x f x xe =，()(1)xf x e x '=+，0>x e 恒成立，令()0f x '=，则1-=x 当1-<x 时，()0f x '<，函数单调减，当1->x 时，()0f x '>，函数单调增， 则1x =-为()f x 的极小值点，故选D ．19．D 【解析】2()1222f x x ax b '=--，由(1)0f '=，即12220a b --=，得6a b +=．由0a >，0b >，所以2()92a b ab +=≤，当且仅当3a b ==时取等号．选D ．20．D 【解析】若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则易知a c =，∵选项A ，B 的函数为2()(1)f x a x =+，∴[()][()()](1)(3)x x x f x e f x f x e a x x e '=+=++，∴1x =-为函数()x f x e 的一个极值点满足条件；选项C 中，对称轴02b x a =->， 且开口向下，∵0,0a b <>，∴(1)20f a b -=-<，也满足条件；选项D 中，对称轴02b x a=-<，且开口向上，∴0,2a b a >>， ∴(1)20f a b -=-<，与题图矛盾，故选D ．21．D 【解析】由题2||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2()ln h x x x =-，则1'()2h x x x=-，令'()0h x =解得2x =，因2x ∈时，'()0h x <，当)x ∈+∞时，'()0h x >，所以当x =时，||MN 达到最小．即2t =． 22．①③④⑤ 【解析】 令32(),()3f x x ax b f x x a '=++=+，当0a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在R 上单调递增函数，此时30x ax b ++=仅有一个实根，所以(4)(5)对； 当3a =-时，由2()330f x x '=-<得11x -<<，所以1x = 是()f x 的极小值点．由(1)0f >，得31310b -⋅+>,即2b >，(3)对．1x =- 是()f x 的极大值点， 由(1)0f -<，得3(1)3(1)0b --⋅-+<，即2b <-，(1)对．23．①④【解析】（1）设12x >x ，函数2x 单调递增，所有122>2x x ，120x x ->， 则m =1212()()f x f x x x --=121222x x x x -->0，所以正确； （2）设1x >2x ，则120x x ->，则1212()()g x g x n x x -=-22121212()x x a x x x x -+-=- 12121212()()x x x x a x x a x x -++==++-，可令1x =1，2x =2，4a =-， 则10n =-<，所以错误；（3）因为m n =，由（2）得：2121)()(x x x f x f --12x x a =++，分母乘到右边， 右边即为12()()g x g x -，所以原等式即为12()()f x f x -=12()()g x g x -，即为12()()f x g x -=12()()f x g x -，令()()()h x f x g x =-，则原题意转化为对于任意的a ，函数()()()h x f x g x =-存在不相等的实数1x ， 2x 使得函数值相等，2()2x h x x ax =--，则()2ln 22x h x x a '=--，则()2(ln 2)2xh x ''=-，令0()0h x ''=，且012x <<，可得0()h x '为极小值． 若10000a =-，则0()0h x '>，即0()0h x '>，()h x 单调递增，不满足题意， 所以错误．（4）由(3) 得12()()f x f x -=12()()g x g x -，则1122()()()()f x g x g x f x +=+， 设()()()h x f x g x =+，有1x ，2x 使其函数值相等，则()h x 不恒为单调． 2()2x h x x ax =++，()2ln 22x h x x a '=++，()2()2ln 220x h x ''=+>恒成立， ()h x '单调递增且()0h '-∞<，()0h '+∞>．所以()h x 先减后增，满足题意，所以正确．24．4【解析】当01x <≤时，()ln f x x =-，()0g x =，此时方程|()()|1f x g x +=即为ln 1x =或ln 1x =-，故x e =或1x e =，此时1x e=符合题意，方程有一个实根． 当12x <<时，()ln f x x =，22()422g x x x =--=-，方程|()()|1f x g x +=即为2ln 21x x +-=或2ln 21x x +-=-，即2ln 10x x +-=或2ln 30x x +-=，令2ln 1y x x =+-，则120y x x¢=-<，函数2ln 1y x x =+-在(1,2)x Î上单调递减，且1x =时0y =，所以当12x <<时，方程2ln 10x x +-=无解；令2ln 3y x x =+-，则120y x x¢=-<，函数2ln 3y x x =+-在(1,2)x Î上单调递减，且1x =时20y =>，2x =时ln 210y =-<，所以当12x <<时，方程2ln 30x x +-=有一个实根．当2x ≥时，()ln f x x =，2()6g x x =-，方程|()()|1f x g x +=即为2ln 61x x +-=或2ln 61x x +-=-，即2ln 70x x +-=或2ln 50x x +-=，令2y ln 7x x =+-， 则120y x x¢=+>，函数2y ln 7x x =+-在[2,)x ??上单调递增，且2x =时 ln 230y =-<，3x =时ln320y =+>，所以当2x ≥时方程2ln 70x x +-= 有1个实根；同理2ln 50x x +-=在[2,)x ??有1个实根．故方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为4个．25．2【解析】由题意2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或2x =．因0x <或2x >时，()0f x '>，02x <<时，()0f x '<．∴2x =时()f x 取得极小值． 26．【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-． （i ）若2≤a ，则()0'≤f x ，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减．（ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =．当)x ∈+∞U 时，()0f x '<；当x ∈时，()0f x '>．所以()f x在，)+∞单调递减，在单调递增． (2)由(1)知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<． 设函数1()2ln g x x x x=-+，由(1)知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <． 所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--． 27．【解析】(1)当1=a 时，()1≥f x 等价于2(1)e10-+-≤x x ． 设函数2()(1)1-=+-x g x x e ，则22()(21)(1)--=--+=--x x g'x x x e x e ． 当1≠x 时，()0<g'x ，所以()g x 在(0,)+∞单调递减．而(0)0=g ，故当0≥x 时，()0≤g x ，即()1≥f x ．(2)设函数2()1e -=-xh x ax ． ()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0≤a 时，()0>h x ，()h x 没有零点；（ii ）当0a >时，()(2)e xh'x ax x -=-．当(0,2)∈x 时，()0<h'x ；当(2,)∈+∞x 时，()0>h'x ．所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1e=-a h 是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0>h ，即2e 4<a ，()h x 在(0,)+∞没有零点； ②若(2)0=h ，即2e 4=a ，()h x 在(0,)+∞只有一个零点； ③若(2)0<h ，即2e 4>a ，由于(0)1=h ，所以()h x 在(0,2)有一个零点， 由(1)知，当0>x 时，2e >x x ， 所以33342241616161(4)11110e (e )(2)=-=->-=->a a a a a h a a a． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2e 4=a ． 28．【解析】(1)当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1x f x x x '=+-+． 设函数()()ln(1)1x g x f x x x'==+-+，则2()(1)x g x x '=+． 当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>．故当1x >-时，()(0)0g x g =≥，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=．所以()f x 在(1,)-+∞单调递增．又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >．(2)（i ）若0a ≥，由(1)知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ++->=≥，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾．（ii ）若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x x h x x x ax x ax ==+-++++．由于当||min{x <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点．2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++．如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且||min{x <时，()0h x '>， 故0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>； 当(0,1)x ∈时，()0h x '<．所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点 综上，16a =-． 29．【解析】(1)因为2()[(41)43]xf x ax a x a e =-+++，所以2()[2(41)][(41)43]xxf x ax a e ax a x a e '=-++-+++（x ∈R ） =2[(21)2]xax a x e -++．(1)(1)f a e '=-．由题设知(1)0f '=，即(1)0a e -=，解得1a =． 此时(1)30f e =≠． 所以a 的值为1．(2)由(1)得2()[(21)2](1)(2)x xf x ax a x e ax x e '=-++=--．若12a >，则当1(,2)x a∈时，()0f x '<； 当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>． 所以()0f x <在2x =处取得极小值． 若12a ≤，则当(0,2)x ∈时，20x -<，11102ax x --<≤， 所以()0f x '>．所以2不是()f x 的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是1(,)2+∞．30．【解析】(1)由已知，()ln xh x a x a =-，有()ln ln xh x a a a '=-．令()0h x '=，解得0x =．由1a >，可知当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞．(2)证明：由()ln xf x a a '=，可得曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线斜率为1ln x a a ．由1()ln g x x a'=，可得曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线斜率为21ln x a．因为这两条切线平行，故有121ln ln x a a x a =，即122(ln )1x x a a =．两边取以a 为底的对数，得21log 2log ln 0a a x x a ++=，所以122ln ln ()ln ax g x a+=-． (3)证明：曲线()y f x =在点11(,)xx a 处的切线1l ：111ln ()xxy a a a x x -=⋅-．曲线()y g x =在点22(,log )a x x 处的切线2l ：2221log ()ln a y x x x x a-=⋅-． 要证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线，只需证明当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，2(0,)x ∈+∞，使得l 1和l 2重合．即只需证明当1e e a ≥时，方程组1112121ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②有解，由①得1221(ln )x x a a =，代入②，得111112ln ln ln 0ln ln x x a a x a a x a a-+++=． ③ 因此，只需证明当1ee a ≥时，关于1x 的方程③有实数解． 设函数12ln ln ()ln ln ln x xau x a xa a x a a=-+++， 即要证明当1ee a ≥时，函数()y u x =存在零点．2()1(ln )x u x a xa '=-，可知(,0)x ∈-∞时，()0u x '>；(0,)x ∈+∞时，()u x '单调递减，又(0)10u '=>，21(ln )21()10(ln )a u a a '=-<， 故存在唯一的0x ，且00x >，使得0()0u x '=，即0201(ln )0x a x a-=．由此可得()u x 在0(,)x -∞上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减．()u x 在0x x =处取得极大值0()u x ．因为1ee a ≥，故ln(ln )1a -≥， 所以0000012ln ln ()ln ln ln xxau x a x a a x a a=-+++02012ln ln 22ln ln 0(ln )ln ln a ax x a a a+=++≥≥． 下面证明存在实数t ，使得()0u t <． 由(1)可得1ln xa x a +≥， 当1ln x a>时， 有12ln ln ()(1ln )(1ln )ln ln a u x x a x a x a a+-+++≤ 2212ln ln (ln )1ln ln aa x x a a=-++++，所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，使得1()0u x =．所以，当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线．31．【解析】(1)函数()f x x =，2()22g x x x =+-，则()1f x '=，()22g x x '=+．由()()f x g x =且()()f x g x ''=，得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，()f x 与()g x 不存在“S 点”． (2)函数2()1f x ax =-，()ln g x x =， 则1()2()f x ax g x x'='=，． 设0x 为()f x 与()g x 的“S 点”，由00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*） 得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为()f x 与()g x 的“S 点”．因此，a 的值为e 2． (3)对任意0a >，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且()h x 的图象是不间断的，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0h x =．令03002e (1)x x b x =-，则0b >．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′．由()()f x g x =且()()f x g x ''=，得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩，（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数()f x 与()g x 在区间(0,1)内的一个“S 点”． 因此，对任意0a >，存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”． 32．【解析】(1)函数()f x的导函数1()f x x'=-， 由12()()f x f x ''=1211x x -=-， 因为12x x ≠12=．= 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=+=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=，所以所以()g x 在[256,)+∞上单调递增， 故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-． (2)令(||)a k m e-+=，2||1()1a n k+=+，则 ()||0f m km a a k k a -->+--≥，()))0a f n kn a n k n k n --<---<≤ 所以，存在0(,)x m n ∈使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及(0,)k ∈+∞，直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点．由()f x kx a =+得ln x ak x-=．设ln ()x ah x x-=，则22ln 1()12()x ag x a h x x x --+--+'==，其中()ln 2g x x =-． 由(1)可知()(16)g x g ≥，又34ln 2a -≤， 故()1(16)134ln 2g x a g a a --+--+=-++≤，所以()0h x '≤，即函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．综上，当34ln 2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．33．【解析】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减． （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-．当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增． （2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点．（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+．①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<． 又422(2)e(2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点．设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20nnnnf n a a n n n =+-->->->． 由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1)．34．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．设()ln g x ax a x =--，则()()f x xg x =，()0f x ≥等价于()0g x ≥． 因为(1)0g =，()0g x ≥，故(1)0g '=，而1()g x a x'=-，(1)1g a '=-，得1a =． 若1a =，则1()1g x x'=-．当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．所以1x =是()g x 的极小值点，故()(1)0g x g =≥．综上，1a =．（2）由（1）知2()ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--． 设()22ln h x x x =--，则1()2h x x'=-． 当1(0,)2x ∈时，()0h x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0h x '>．所以()h x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增．又2()0h e ->，1()02h <，(1)0h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2+∞有唯一零点1，且当0(0,)x x ∈时，()0h x >；当0(,1)x x ∈时，()0h x <；当(1,)x ∈+∞时，()0h x >．因此()()f x h x '=，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点． 由0()0f x '=得00ln 2(1)x x =-，故000()(1)f x x x =-． 由0(0,1)x ∈得，01()4f x <． 因为0x x =是()f x 在(0,1)的最大值点，由1(0,1)e -∈，1()0f e -'≠得120()()f x f e e -->=．所以220()2ef x --<<．35．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．①若a 0≤，因为11()ln 2022f a =-+<，所以不满足题意； ②若＞0a ，由()1a x a f 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，故x a =是()f x 在(0,)+∞的唯一最小值点．由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥． 故a =1．（2）由（1）知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0x x -->令112n x =+得11ln(1)22n n+<，从而 221111111ln(1)ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-<故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<而23111(1)(1)(1)2222+++>，所以m 的最小值为3．36．【解析】（Ⅰ）因为(21)121x x x '--=--，()x xe e --'=- 所以 ()(1)(21)21x x f x e x x e x --'=----- (1)(212)21xx x e x ----=-1()2x > （Ⅱ）由(1)(212)()021xx x e f x x ----'==-解得 1x =或52x =． 因为x12（12，1） 1 （1，52） 52 （52，+∞） ()f x '- 0 +0 - ()f x↘↗↘又2()(211)02x f x x e -=-≥， 所以()f x 在区间1[,)2+∞上的取值范围是121[0,]2e -．37．【解析】（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-.当3ax =-时，()f x '有极小值23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a-=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=x 2x 列表如下故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞.（2）由（1=+． 设23()9t g t t=+，则22222227()39t g t t t -'=-=．当(,)2t ∈+∞时，()0g t '>，所以()g t 在(,)2+∞上单调递增．因为3a >，所以>(g g >=> 因此23b a >．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以213()=9h a a a-+，3a >. 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤.因此a 的取值范围为(36]，.38．【解析】（Ⅰ）由432()2336f x x x x x a =+--+，可得 32()()8966g x f x x x x '==+--，进而可得2()24186g x x x '=+-.令()0g x '=，解得1x =-，或14x =. 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，()g x 的单调递增区间是(,1)-∞-，(,)4+∞，单调递减区间是1(1,)4-. （Ⅱ）证明：由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，000()()()()h x g x m x f m =--.令函数10()()()()H x g x x x f x =--，则10()()()H x g x x x ''=-.由（Ⅰ）知，当[1,2]x ∈时，()0g x '>，故当0[1,)x x ∈时，1()0H x '<，1()H x 单调递减；当0(,2]x x ∈时，1()0H x '>，1()H x 单调递增.因此，当00[1,)(,2]x x x ∈U 时，1100()()()0H x H x f x >=-=，可得1()0,()0H m h m >>即.令函数200()()()()H x g x x x f x =--，则20()()()H x g x g x '=-.由（Ⅰ）知，()g x 在[1,2]上单调递增，故当0[1,)x x ∈时，2()0H x '>，2()H x 单调递增；当0(,2]x x ∈时，2()0H x '<，2()H x 单调递减.因此，当00[1,)(,2]x x x ∈U 时，220()()0H x H x <=，可得20()0,()0H m h x <<即.所以，0()()0h m h x <.（Ⅲ）证明：对于任意的正整数p ，q ，且00[1)(,],2px x q∈U ， 令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--. 由（Ⅱ）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点； 当0(,2]m x ∈时，()h x 在区间0(),x m 内有零点. 所以()h x 在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为1x ， 则 110()()()()0p ph g x f q x qx =--=. 由（Ⅰ）知()g x 在[1,2]上单调递增，故10()()12()g x g g <<<，于是432234041()|()||2336|||||()()(2)2p p f f p p p q p q pq aq q q x q g x g g q +--+-==≥. 因为当[12],x ∈时，()0g x >，故()f x 在[1,2]上单调递增， 所以()f x 在区间[1,2]上除0x 外没有其他的零点，而0p x q≠，故()0pf q ≠.又因为p ，q ，a 均为整数，所以432234|2336|p p q p q pq aq +--+是正整数， 从而432234|2336|1p p q p q pq aq +--+≥. 所以041|2|()p x q g q -≥.所以，只要取()2A g =，就有041||p x q Aq-≥. 39．【解析】（Ⅰ）由题意()22f ππ=-又()22sin f x x x '=-， 所以()2f ππ'=，因此曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x πππ--=-，即 222y x ππ=--．（Ⅱ）由题意得2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+， 因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =- 则()1cos 0m x x '=-≥ 所以()m x 在R 上单调递增． 因为(0)0,m =所以 当0x >时，()0,m x >当0x <时，()0m x < (1)当0a ≤时，x e a -0>当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--； (2)当0a >时，()()()ln 2sin x ah x e e x x '=--由 ()0h x '=得 1ln x a =，2=0x ①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增； 当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增． 所以 当ln x a =时()h x 取得极大值．极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =，所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； ③当1a >时，ln 0a >所以 当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增；当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增； 所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取得极小值．极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦．综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； 当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦．40．【解析】(Ⅰ) 因为322)11(=)(′xx x a x f －－－322)(1(=x ax x )－－，当0a ≤时，(0,1)x ∈，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， (1,)x ∈+∞，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；当0>a 时，3322+(2)(1(=2)(1(=)(′x ax a x x a x ax x x f ))－－)－－①当02a <<时，1>2a，(0,1)x ∈或)x ∈+∞，0>)(′x f ，)(x f 单调递增，x ∈，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； ②当2a =时，1=2a， (0,)x ∈+∞，()0f x '≥，)(x f 单调递增， ③当2a >时，1<2<0a，x ∈或(1,)x ∈+∞，0>)(′x f ，)(x f 单调递增，x ∈，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，1=a 时，221()ln x f x x x x -=-+，2323(1)(212()1x x f x x x x x--'==--+)2 于是2232112()()ln 1)x f x f x x x x x x x-'-=-+---+2(， 2332ln x x x x x=--++-11，]2,1[∈x令g()ln x x x =- ，2332()h x x x x=-++-11，]2,1[∈x ，于是()()g(()f x f x x h x '-=+）， 1g ()10x x x x-'=-=1≥，)g(x 的最小值为1=g(1)； 又22344326326()x x h x x x x x--+'=--+= 设2()326x x x θ=--+，则()x θ在]2,1[∈x 上单调递减，因为(1)1θ=，(2)10θ=-，所以存在]2,1[0∈x ，使得0()0x θ=，且0<<1x x 时，()0x θ>，)(x h 单调递增； 2<<0x x 时，()0x θ<，)(x h 单调递减；又1=)1(h ，21=)2(h ，所以)(x h 的最小值为21=)2(h ．所以13()()g(()g(1(2)122f x f x x h x h '-=+>+=+=））． 即23)()(+'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立． 41．【解析】（I ）由题意，()2121'2,0ax f x ax x x x-=-=>①当0a …时，2210ax -≤，()'0f x ≤，()f x 在()0,+∞上单调递减.②当0a >时，令()0f x '=，有x =，当x ∈时，()'0f x <；当)x ∈+∞时，()'0f x >.故()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增. （II ）令111()x g x x e-=-，1()x s x e x -=-．则1()1x s x e -'=-．而当1x >时， ()0s x '>，所以()s x 在区间(1,)+∞内单调递增．又由(1)0S =，有()0s x >，从而当1x >时，()0g x >．当0a …，1x >时，2()(1)ln 0f x a x x =--<．故当()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立时，必有0a >．当12a <<1>． 由（I ）有(1)0f f <=，而0g >， 所以此时()()f x g x >在区间(1,)+∞内不恒成立．当12a …时，令()()()(1)h x f x g x x =-…． 当1x >时，12211111()2x h x ax e x x x x x x-'=-+->-+- 322221210x x x x x x-+-+=>>， 因此，()h x 在区间(1,)+∞内单调递增．又(1)0h =，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立． 综上，1[,)2a ∈+∞42．【解析】(I)()()31f x x ax b =---，可得2()3(1)f x x a '=--，下面分两种情况讨论：①0a …，有2()3(1)0f x x a '=--…恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；②0a >，令()0f x '=，解得1x =+1x =- 当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：调递增(II)因为()f x 存在极值点，所以由(I)知0a >，且01x ≠．由题意得200()3(1)0f x x a '=--=，即20(1)3a x -=，而3000()(1)f x x ax b =---=0233a a xb --- ()()()()32000032223132f x x x x b -=----- ()[]200018896x x x b =---+-()()200=121x x b ----∴00(32)()f x f x -=且0032x x -≠，由题意及(I)知，存在唯一实数1x 满足10()()f x f x =，且10x x ≠，因此1032x x =-，所以1023x x +=（Ⅲ）证明：设)(x g 在区间]2,0[上的最大值为M ，},max{y x 表示y x ,两数的最大值.下面分三种情况同理： （1）当3≥a时，1021-<+剟，由（Ⅰ）知，)(x f 在区间]2,0[上单调递减，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]0(),2([f f ，因此()g x 在区间[0,2]上的最大值|}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=1(),01(),0a ab a b a a b a b -+++⎧=⎨--++<⎩…，所以1||2M a a b =-++…. （2）当334a <…时，1011213333-<-<+<+剟，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，(0)(1(1f f f =+…，(2)(1(1f f f +=-…， 所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]331(),331([af a f -+，因此max{|(1)|,|(1)|}33M f f =+-max{||}a b a b =-- |})(392||,)(392max{|b a a ab a a a +-+--=231||944a b =+⨯=….（3）当304a <<时，0112<-<+<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，(0)(1(133f f f <-=+，(2)(1(133f f f >+=-， 所以()f x 在区间[0,2]上的取值范围为[(0),(2)]f f ，因此max{|(0)|,|(2)|}max{|1|,|12|}M f f b a b ==---- |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=11||4a ab =-++>． 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[0,2]上的最大值不小于14． 43．【解析】（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =-+-=-+．（i ）设0a =，则()(2)xf x x e =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >． 所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2ab <，则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->，故()f x 存在两个零点． （iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若2ea ≥-，则ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >， 因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点． 若2ea <-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <； 当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -上单调递减， 在(ln(2),)a -+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <， 所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞， 又()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-， 即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x ea x --=-+-，而22222()(2)(1)0xf x x e a x =-+-=，所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)xx g x xex e -=---，则2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<． 44．【解析】（I ）证明：()2e 2xx f x x -=+ ()()()22224e e 222xxx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭∵当x ∈()()22,-∞--+∞U ，时，()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增 ∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+ ∴()2e 20x x x -++>（Ⅱ）33(2)(2)2()(())x x e a x x g x f x a x x-+++'==+， 由（Ⅰ）知，()f x a +单调递增，对任意的[)01a ∈，，(0)10f a a +=-<， (2)0f a a +=…，因此，存在唯一(0,2]a x ∈，使得()0a f x a +=，即()0a g x '=当0a x x <<时，()0f x a +<，()0g x '<,()g x 单调递减； 当a x x >时，()0f x a +>，()0g x '>,()g x 单调递增．。

2010-2019北京高考数学（文）真题分类 导数的计算与 几何意义1.（2019全国Ⅰ文13）曲线2)3(e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________． 2.（2019全国Ⅱ文10）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=3.（2019全国三文7）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．a=e ，b =-1B ．a=e ，b =1C ．a=e -1，b =1D ．a=e -1，1b =-4.（2019天津文11）曲线在点处的切线方程为__________.5.（2019江苏11）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的 切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)=+-+f x x a x ax ．若()f x 为奇函数，则曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为A ．2=-y xB ．y x =-C ．2=y xD ．=y x2．（2017山东）若函数e ()xf x (e=2．71828，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是A ．()2x f x -=B ．2()f x x =C ．()3xf x -=D ．()cos f x x =3．（2016年山东）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是A ．B ．C ．D ．4．（2016年四川）设直线1l ，2l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩，图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ． (0,+∞) D．(1,+ ∞)cos 2xy x =-()0,1()y f x =()y f x =sin y x =ln y x =e xy =3y x =5．（2013浙江）已知函数()y f x =的图像是下列四个图像之一，且其导函数()y f x '=的图像如右图所示，则该函数的图像是6．（2014新课标）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．(2011重庆)曲线223y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为A ．31y x =-B ．33y x =-+C ．35y x =+D ．2y x = 8．（2011江西）曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ）A ．1B ．2C ．D ．1e9．（2011山东）曲线211y x =+在点(1,12)P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是A ．-9B ．-3C ．9D ．1510．（2011湖南）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．22-D ．2211．（2010新课标）曲线3y 21x x =-+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+12．（2010辽宁）已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A ．[0,4π)B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 二、填空题13．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln =y x 在点(1,0)处的切线方程为__________．e14．(2018天津)已知函数()ln x f x e x =，()f x '为()f x 的导函数，则(1)f '的值为__．15．（2017新课标Ⅰ）曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为____________． 16．（2017天津）已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 ． 17．（2016年全国III 卷）已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________．18．（2015新课标1）已知函数3()1f x ax x =++的图像在点(1,(1))f 的处的切线过点(2,7)，则a =． 19．（2015陕西）函数xy xe =在其极值点处的切线方程为____________．20．（2015天津）已知函数()ln f x ax x =，()0,x ∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为．21．（2015新课标2）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则． 22．（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线(a ，b 为常数)过点，且该曲线在点P 处的切线与直线平行，则的值是．23．（2014江西）若曲线P x x y 上点ln =处的切线平行于直线P y x 则点,012=+-的坐标是_______． 24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α=． 26．（2012新课标）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________．x x y ln +=)1,1(1)2(2+++=x a ax y =a xOy xbax y +=2)5,2(-P 0327=++y x b a +三、解答题27．（2017山东）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R ． (Ⅰ)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(Ⅱ)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 28．（2017北京）已知函数()e cos xf x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．29．（2016年北京）设函数（I ）求曲线在点处的切线方程；（II ）设，若函数有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.30．（2015山东）设函数()()ln f x x a x =+，2()x x g x e=，已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 平行．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在自然数k ，使的方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（{}min ,p q 表示,p q 中的较小值），求)(x m 的最大值．31．(2014新课标1)设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0 （Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01x ≥，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围． 32．（2013北京）已知函数()32.f x x ax bx c =+++().y f x =()()0,0f 4a b ==()f x 230a b -＞()f x 2()sin cos f x x x x x =++（1）若曲线在点处与直线相切，求与的值． （2）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围．()y f x =(,())a f a y b =a b ()y f x =y b =b2010-2019北京高考数学（文）真题分类汇编专题三导数的计算与导数的几何意义参考答案2019年1.解析因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31xy x x =++（），所以当0x =时，'3y =，所以23e x y x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =， 又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =． 2.解析由y =2sin x +cos x ，得2cos sin y x x '=-，所以π2cos πsin π=-2x y ='=-，所以曲线y =2sin x +cos x 在点(π,1)-处的切线方程为12(π)y x +=--， 即2210x y +-π+=． 故选C ．3.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1xy a x =++， 又函数e ln x y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+， 可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-. 故选D ．4.解析由题意，可知1sin 2y x '=--.因为1sin 002y x '=--==所以曲线cos y x =)0,1处的切线方程112y x -=-，即220x y +-=． 5.解析设00(,ln )A x x ，由ln y x =，得1'y x=，所以001'|x x y x ==，则该曲线在点A 处的切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，因为切线经过点(e,1)--， 所以00e 1ln 1x x --=--，即00eln x x =，则0e x =．2010-2018年1．D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇年函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ，因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0) 处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二 易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．2．A 【解析】对于选项A ，1()2()2-==xx f x ， 则1()()()22=⋅=x x x x e e f x e ，∵12>e，∴()x e f x )在R 上单调递增，∴()2-=x f x 具有M 性质．对于选项B ，2()=f x x ，2()=x x e f x e x ，2[()](2)'=+xxe f x e x x ，令2(2)0+>x e x x ，得0>x 或2<-x ；令2(2)0+<x e x x ，得20-<<x ，∴函数()x e f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，∴2()=f x x 不具有M 性质．对于选项C ，1()3()3-==x x f x ，则1()()()33=⋅=x xxxe ef x e ，∵13<e ，∴()3=x ey 在R 上单调递减，∴()3-=x f x 不具有M 性质．对于选项D ，()cos =f x x ，()cos =xxe f x e x ，则[cos ](cos sin )0'=-≥xxe x e x x 在R 上不恒成立，故()cos =xxe f x e x 在R 上不是单调递增的，所以()cos =f x x 不具有M 性质．3．A 【解析】设两个切点分别为11(,)x y ，22(,)x y ，选项A 中，，12cos cos 1x x =-，当120,x x π==时满足，故A 正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A.4．A 【解析】设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得 12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-， 切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭． cos y x '=3ln ,,x y x y e y x ===分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为211121121(,ln )11x x P x x x -+++．∵11x >， ∴2112211211||||1211PABA B P x x S y y x x x ∆+=-⋅=<=++，∴01PAB S ∆<<，故选A ． 5．B 【解析】由导函数图像可知函数的函数值在[-1,1]上大于零，所以原函数递增，且导函数值在[-1,0]递增，即原函数在[-1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选B ．6．D 【解析】11y a x '=-+，由题意得0|2x y ='=，即3a =． 7．A 【解析】∵236y x x '=-+∴切线斜率为3，则过（1,2）的切线方程为23(1)y x -=-，即31y x =-，故选A.8．A 【解析】xy e '=，0x =，01e =．9．C 【解析】∵23y x '=，切点为(1,12)P ，所以切线的斜率为3， 故切线方程为390x y -+=，令0x =得9y =．10．B 【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--'==++，所以2112(sin cos )444y x πππ'===+。

专题9 导数的综合应用一、十年大数据二、大数据分析考点30 生活中的最优化问题【试题分类与归纳】1.（2017全国卷1理16）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 .【答案】【解析】如下图，连接DO 交BC 于点G ，设D ，E ，F 重合于S 点，正三角形的边长为x (x >0)，则13OG ==. ∴5FG SG ==，SO h ===， ∴三棱锥的体积21133ABC V S h x =⋅=△=设()455n x x =，x >0，则()3420n x x '=，令()0n x '=，即4340x -=，得x =()n x 在x =处取得最大值.∴max 48V =【考点总结与提高】先利用相关知识讲实际问题转化为函数问题，再利用导数研究该函数的图像与性质，求解出出数学结论，再对实际问题作出解释.考点31 利用导数解决恒成立问题与探索性问题【试题分类与归纳】1.（2019天津理8）已知a ∈R ，设函数⎩⎨⎧>-≤+-=1,ln 1,22)(2x x a x x a ax x x f ，若关于x 的不等式0)(≥x f 在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e【解析】当1x =时，()112210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，()2222021x f x x ax a a x =-+⇔-厖恒成立， 令()()()()22221112111111x x x x x g x x x x x -----+==-=-=-=----()112201x x ⎛⎫--+--= ⎪ ⎪-⎝⎭?，所以()max 20a g x =…，即0a >． 当1x >时，()ln 0ln xf x x a x a x =-⇔厔恒成立，令()ln x h x x =，则()()()221ln ln 1ln ln x x x xh x x x -⋅-'==，当e x >时，()0h x '>，()h x 递增，当1e x <<时，()0h x '<，()h x 递减，所以当e x =时，()h x 取得最小值()e e h =.所以()min e a h x =….综上，a 的取值范围是[]0,e ．2.（2014辽宁）当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 【答案】C 【解析】当(0,1]x ∈时，得321113()4()a x x x --+≥，令1t x =，则[1,)t ∈+∞，3234a t t t --+≥，令()g t =3234t t t --+，[1,)t ∈+∞，则()2981(1)(91)g x t t t t '=--+=-+-，显然在[1,)+∞上，()0g t '<，()g t 单调递减，所以max ()(1)6g t g ==-，因此6a -≥；同理，当[2,0)x ∈-时，得2a -≤．由以上两种情况得62a --≤≤．显然当0x =时也成立，故实数a 的取值范围为[6,2]--．3.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．【解析】（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=.当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=- ⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x ….又当0,[0,π]a x ∈…时，ax ≤0，故()f x ax ….因此，a 的取值范围是(,0]-∞.4.（2017新课标Ⅰ文21）已知函数2()()x x f x e e a a x =--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()0f x ≥，求a 的取值范围． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2(2)()x x x x f x e ae a e a e a '=--=+-，①若0a =，则2()x f x e =，在(,)-∞+∞单调递增．②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =．当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增．③若0a <，则由()0f x '=得ln()2a x =-． 当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>， 故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a -+∞单调递增． （2）①若0a =，则2()x f x e =，所以()0f x ≥．②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-．从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥．③若0a <，则由（1）得，当ln()2a x =-时，()f x 取得最小值，最小值为 23(ln())[ln()]242a a f a -=--． 从而当且仅当23[ln()]042a a --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥． 综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-．5.（2017新课标Ⅱ）设函数2()(1)x f x x e =-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，()1f x ax +≤，求a 的取值范围．【解析】（1）2()(12)x f x x x e '=--令()0f x '=得 1x =-1x =-+当(,1x ∈-∞-时，()0f x '<；当(11x ∈---+时，()0f x '>；当(1)x ∈-+∞时，()0f x '<．所以()f x 在(,1-∞-，(1)-++∞单调递减，在(11---+单调递增．（2）()(1)(1)xf x x x e =+-．当1a ≥时，设函数()(1)x h x x e =-，()0x h x xe '=-<，因此()h x 在[0,)+∞单调递减，而(0)1h =，故()1h x ≤，所以()(1)()11f x x h x x ax =+++≤≤．当01a <<时，设函数()1xg x e x =--，()10(0)x g x e x '=->>，所以()g x 在[0,)+∞单调递增，而(0)0g =，故1x e x +≥．当01x <<时，2()(1)(1)f x x x >-+，22(1)(1)1(1)x x ax x a x x -+--=---，取0x =，则0(0,1)x ∈，2000(1)(1)10x x ax -+--=， 故00()1f x ax <+．当0a ≤时,取012x =,则0(0,1)x ∈,20000()(1)(1)11f x x x ax >-+=+≥． 综上，a 的取值范围是[1,)+∞．6.（2017全国卷3理21）已知函数()1ln f x x a x =--.（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值. 【解析】1）()f x 的定义域为()0∞，+.①若0a ≤，因为11ln 2022f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭=-+，所以不满足题意； ②若a >0，由()1a x a f 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()f 'x <0；当()，+x a ∈∞时，()f 'x >0，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x =a 是()f x 在()0∞，+的唯一最小值点.由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥.故a =1.7.（2016年全国II 文21）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.(Ⅰ)当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；(Ⅱ)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，1()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+-f x x x x f x x x，(1)2,(1)0.'=-=f f 曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（Ⅱ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x 令(1)()ln 1-=-+a x g x x x ，则 222122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ，（i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，222(1)1210+-+≥-+>x a x x x ， 故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ； （ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得1211=-=-+x a x a由21>x 和121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在2(1,)∈x x 单调递减，因此()(1)0g x g <=.综上，a 的取值范围是(],2.-∞ 8.(2015新课标Ⅱ理21）设函数2()mxf x ex mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；(Ⅱ)若对于任意1x ，2x [1,1]∈-，都有12|()()|f x f x -1e -≤，求m 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)()(e 1)2mxf x m x '=-+． 若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mxe -≤，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，10mxe-≥，()0f x '>．若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10mxe ->，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，10mxe-<，()0f x '>．所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增． 故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意1x ，2x [1,1]∈-，12|()()|1f x f x e --≤的充要条件是：(1)(0)1(1)(0)1f f e f f e --⎧⎨---⎩≤≤，即11m m e m e e m e -⎧--⎨+-⎩≤≤ ① 设函数()1tg t e t e =--+，则()1tg t e '=-． 当0t <时，()0g t '<；当0t >时()0g t '>． 故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞ 单调递增．又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤． 当[1,1]m ∈-时，()0,()0g m g m -≤≤，即①式成立； 当1m >时，由()g t 得单调性，()0g m >，即1me m e ->-； 当1m <-时，()0g m ->，即1mem e -+>-综上，m 的取值范围是[1,1]-．9.（2013全国卷1理21）已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()xe cx d +，若曲线()yf x =和曲线()y g x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。

专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用答案部分 2019年1.解析（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得=0或3a x =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； 若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增； 若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. （2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是 3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩ 所以332,02,27,2 3.27a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩ 当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227⎛⎫⎪⎝⎭.当23a ≤<时，327a 单调递减，所以M m -的取值范围是8[,1)27.综上，M m -的取值范围是8[,2)27. 2.解析（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+． 令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =．又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-，即y x =与6427y x =-．（Ⅱ）要证()6x f x x -剟，即证()60f x x--剟，令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-．由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-． 令()0g'x =得0x =或83x =．(),()g'x g x 在区间[]2,4-上的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0． 故6()0g x -剟，即6()x f x x -剟．（Ⅲ）()()()[],2,4F x f x x a g x a x =--=-∈-，由（Ⅱ）知，()[]6,0g x ∈-， 当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =． 综上，当()M a 最小时，3a =-．3.解析（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=． 因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得12x x ==．列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =．解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤．4.解析 （1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=. 当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈„时，a ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.5.解析 （1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=. 当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈„时，a ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.6.解析（1）()f x 的定义域为（0，+）.11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-. 因为ln y x =单调递增，1y x=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<，1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=.又当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因此，()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知()0(1)2f x f <=-，又()22e e 30f =->，所以()0f x =在()0,x +∞内存在唯一根x α=. 由01x α>>得011x α<<.又1111()1ln 10f f αααααα⎛⎫⎛⎫=---==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1α是()0f x =在()00,x 的唯一根. 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 7.解析（Ⅰ）由已知，()f x 的定义域为(0,)+∞，且211e ()e (1)e x x xax f x a a x x x'-⎡⎤=-+-=⎣⎦， 因此当0a ≤时，21e 0x ax -> ，从而()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知21()x ax e f x x '-=.令2()1xg x ax e =-，由10a e<<，可知()g x 在(0,)+∞内单调递减，又(1)10g ae =->，且221111ln 1ln 1ln 0g a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故()0g x =在(0,)+∞内有唯一解，从而()0f x '=在(0,)+∞内有唯一解，不妨设为0x ，则011lnx a<<. 当()00,x x ∈时，()0()()0g x g x f x x x'=>=，所以()f x 在()00,x 内单调递增；当0(),x x ∈+∞时，()0()()0g x g x f x x x'=<=，所以()f x 在0(),x +∞内单调递减，因此0x 是()f x 的唯一极值点.令()ln 1h x x x =-+，则当1x >时，1()10h x x'=-<，故()h x 在(1,)+∞内单调递减，从而当1x >时，()()10h x h <= ，所以ln 1x x <-.从而1ln 111111ln ln ln ln 1e ln ln ln 1ln 0a f a h a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()0(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞内有唯一零点.又()f x 在()00,x 内有唯一零点1，从而，()f x 在(1,)+∞内恰有两个零点.（ii ）由题意，()()010,0,f x f x '⎧=⎪⎨=⎪⎩即()120111ln 1x x ax e x a x e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，从而1011201ln x x x x e x --=，即102011ln 1x x x x ex -=-.因为当1x >时，ln 1x x <- ，又101x x >>，故()102012011e 1x x x x x x --<=-，两边取对数，得120ln ln x x e x -<，于是()10002ln 21x x x x -<<-，整理得0132x x ->. 8.解析（Ⅰ）当34a =-时，3()ln 04f x x x =->．3()4f 'x x =-=所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）．（Ⅱ）由1(1)2f a≤，得04a <≤．当04a <≤时，()2f x a≤等价于22ln 0x a a --≥． 令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥，则()2ln g t g x ≥=．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x ==. 故所以，()(1)0p x p ≥= ．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g =…．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫ ⎪⎝⎭„．由（i ）得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，()<0q x ．因此()0g t g =>…．由（i ）（ii ）得对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞…，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a „． 综上所述，所求a的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦．2010-2018年1．C 【解析】由2(1)()(2)x f x x x -'=-，02x <<知，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，排除A 、B ；又(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=， 所以()f x 的图象关于1x =对称，C 正确．2．D 【解析】由导函数的图象可知，()y f x =的单调性是减→增→减→增，排除 A 、C ；由导函数的图象可知，()y f x =的极值点一负两正，所以D 符合，选D ． 3．C 【解析】函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，等价于2245()1cos2cos cos cos 0333f x x a x x a x '=-+=-++… 在(,)-∞+∞恒成立． 设cos x t =，则245()033g t t at =-++…在[1,1]-恒成立， 所以45(1)03345(1)033g a g a ⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=--+⎪⎩……，解得1133a-剟．故选C ． 4．D 【解析】因为2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-，令()0f x '=，2x =±，当(,2)x ∈-∞-时()0f x '>，()f x 单调递增；当(2,2)x ∈-时()0f x '<，()f x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增．所以2a =．故选D ． 5．D 【解析】∵()ln f x kx x =-，∴1()f x k x'=-，∵()f x 在（1，+∞）单调递增， 所以当1x > 时，1()0f x k x '=-≥恒成立，即1k x≥在（1，+∞）上恒成立，∵1x >，∴101x<<，所以k ≥1，故选D ．6．C 【解析】由正弦型函数的图象可知：()f x 的极值点0x 满足0()f x =，则22x k m πππ=+()k Z ∈，从而得01()()2x k m k Z =+∈．所以不等式()22200[]x f x m +<，即为2221()32k m m ++<，变形得21[1()]32m k -+>，其中k Z ∈．由题意，存在整数k 使得不等式21[1()]32m k -+>成立．当1k ≠-且0k ≠时，必有21()12k +>，此时不等式显然不能成立，故1k =-或0k =，此时，不等式即为2334m >，解得2m <-或2m >． 7．C 【解析】当(0,1]x ∈时，得321113()4()a x x x --+≥，令1t x=，则[1,)t ∈+∞，3234a t t t --+≥，令()g t =3234t t t --+，[1,)t ∈+∞，则()2981(1)(91)g x t t t t '=--+=-+-，显然在[1,)+∞上，()0g t '<，()g t 单调递减，所以max ()(1)6g t g ==-，因此6a -≥；同理，当[2,0)x ∈-时，得2a -≤．由以上两种情况得62a --≤≤．显然当0x =时也成立，故实数a 的取值范围为[6,2]--．8．C 【解析】设()ln xf x e x =-，则1()xf x e x'=-，故()f x 在(0,1)上有一个极值点，即()f x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断1()f x 与2()f x 的大小，故A 、B 错；构造函数()x e g x x =，2(1)()x e x g x x -'=，故()g x 在(0,1)上单调递减，所以()()12g x g x >，选C ．9．B 【解析】当0a =，可得图象D ；记2()2af x ax x =-+， 232()2()g x a x ax x a a R =-++∈，取12a =，211()(1)24f x x =--，令()0g x '=，得2,23x =，易知()g x 的极小值为1(2)2g =，又1(2)4f =，所以(2)(2)g f >，所以图象A 有可能；同理取2a =，可得图象C 有可能；利用排除法可知选B ．10．C 【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题03函数1.(2019•天津•理T8)已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1,x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,则a 的取值范围为( )A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]【答案】C【解析】(1)当a ≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a 2-2a 2+2a ≥0.a 2-2a ≤0.∴0≤a ≤2.而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-a x =x -a x >0此时要使f(x)=x-aln x 在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立.可知0≤a ≤1.(2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a ≥0,显然成立.此时f'(x)=x -a x ,当x ∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x ∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增.需f(a)=a-aln a ≥0,ln a ≤1,a ≤e,可知1<a ≤e.由(1)(2)可知,a ∈[0,e],故选C.2.(2019•天津•文T8)已知函数f(x)={2√x ,0≤x ≤1,1x,x >1.若关于x 的方程f(x)=-14x+a(a ∈R)恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为( )A.54,94B.54,94C.54,94∪{1} D.54,94∪{1} 【答案】D【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-14+a,得a=54.当直线过点B(1,2)时,有2=-14+a,a=94.故当54≤a≤94时,有两个相异点.当x>1时,f'(x 0)=-1x 02=-14,x 0=2.此时切点为2,12,此时a=1.故选D.3.(2019•浙江•T9)设a,b ∈R,函数f(x)={x ,x <0,13x 3-12(a +1)x 2+ax ,x ≥0.若函数y=f(x)-ax-b 恰有3个零点, 则( )A.a<-1,b<0B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>0【答案】C【解析】当x<0时,由x=ax+b,得x=b 1-a ,最多一个零点取决于x=b 1-a 与0的大小,所以关键研究当x≥0时,方程13x 3-12(a+1)x 2+ax=ax+b 的解的个数,令b=13x 3-12(a+1)x 2=13x 2x-32(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示,可以发现分类讨论的依据是32(a+1)与0的大小关系. ①若32(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,显然在x≥0时g(x)单调递增,故与y=b 最多只能有一个交点,不符合题意.②若32(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意.③若32(a+1)>0,即a>-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,当b<0时g(x)与y=b 可以有两个交点,且此时要求x=b 1-a <0,故-1<a<1,b<0,选C.4.(2019•北京•文T3)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x 12B.y=2-xC.y=lo g 12xD.y=1x 【答案】A【解析】函数y=2-x ,y=lo g 12x,y=1x 在区间(0,+∞)上单调递减,函数y=x 12在区间(0,+∞)上单调递增,故选A.5.(2019•全国1•理T11)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(π2,π)内单调递增 ③f(x)在[-π,π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A.①②④B.②④C.①④D.①③【答案】C【解析】因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确;当π2<x<π时,f(x)=2sin x,它在区间(π2,π)内单调递减,故②错误;当0≤x ≤π时,f(x)=2sin x,它有两个零点0和π;当-π≤x ≤0时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x,它有两个零点-π和0;故f(x)在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误;当x ∈[2k π,2k π+π](k ∈N *)时,f(x)=2sin x;当x ∈(2k π+π,2k π+2π](k ∈N *)时,f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确;综上可知①④正确,故选C.6.(2019•全国3•理T11文T12)设f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则( )A.f (log 314)>f(2-32)>f(2-23)B.f (log 314)>f(2-23)>f(2-32)C.f(2-32)>f(2-23)>f (log 314)D.f(2-23)>f(2-32)>f (log 314)【答案】C【解析】∵f(x)是R 上的偶函数,∴f (log 314)=f(-log 34)=f(log 34).又y=2x 在R 上单调递增,∴log 34>1=20>2-23>2-32. 又f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴f(log 34)<f(2-23)<f(2-32),∴f(2-32)>f(2-23)>f (log 314).故选C.7.(2019•全国1•理T3文T3)已知a=log 20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【答案】B【解析】因为a=log 20.2<0,b=20.2>20=1,又0<c=0.20.3<0.20<1,所以a<c<b.故选B.8.(2019•天津•理T6)已知a=log 52,b=log 0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c 的大小关系为( ) A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b【答案】A【解析】∵a=log 52<log 5√5=12,b=log 0.50.2>log 0.50.5=1,c=0.50.2=（12）0.2>（12）1,∴b>c>a.故选A.9.(2019•天津•文T5)已知a=log 27,b=log 38,c=0.30.2,则a,b,c 的大小关系为()A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b命题点比较大小,指、对数函数的单调性.解题思路利用指、对数函数的单调性比较.【答案】A【解析】a=log 27>log 24=2.b=log 38<log 39<2,且b>1.又c=0.30.2<1,故c<b<a,故选A.10.(2019•全国1•T5)函数f(x)=sinx+xcosx+x 2在[-π,π]的图像大致为( )【答案】D【解析】由f(-x)=-f(x)及区间[-π,π]关于原点对称,得f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,排除A. 又f (π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f(π)=π-1+π2>0,排除B,C.故选D. 11.(2019•全国3•理T7)函数y=2x 32x +2-x 在[-6,6]的图像大致为( )【答案】B【解析】设y=f(x)=2x 32x +2-x ,则f(-x)=2(-x )32-x +2x =-2x 32x +2-x =-f(x),故f(x)是奇函数,图像关于原点对称,排除选项C.f(4)=2×4324+2-4>0,排除选项D.f(6)=2×6326+2-6≈7,排除选项A.故选B.12.(2019•浙江•T6)在同一直角坐标系中,函数y=1a x ,y=log a x+12(a>0,且a ≠1)的图象可能是 ( )【答案】D【解析】当0<a<1时,函数y=a x 的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=1a x 的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=log a （x+12）的图象过定点（12,0）且单调递减,D 选项符合;当a>1时,函数y=a x 的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=1a x 的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=log a （x+12）的图象过定点（12,0）且单调递增,各选项均不符合.故选D.13.(2019•全国2•理T12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x ∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x ∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,则m 的取值范围是( )A.-∞,94B.-∞,73C.-∞,52D.-∞,83 【答案】B 【解析】∵f (x+1)=2f(x),∴f (x)=2f(x-1).∵当x ∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),∴f (x)的图象如图所示.∵当2<x ≤3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),∴令4(x-2)(x-3)=- ,整理得9x 2-45x+56=0,即(3x-7)(3x-8)=0,解得x 1=73,x 2=83.∵当x ∈(-∞,m]时,f(x)≥-89恒成立,即m≤73,故m ∈-∞,73.14.(2018•全国1•文T12)设函数f(x)={2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f(x+1)<f(2x)的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1] B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0) 【答案】D【解析】画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知:①当x+1≥0且2x ≥0,即x ≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意;②当x+1>0且2x<0,即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)显然成立;③当x+1≤0时,x ≤-1,此时2x<0,若f(x+1)<f(2x),则x+1>2x,解得x<1.故x ≤-1.综上所述,x 的取值范围为(-∞,0).15.(2018•全国2•理T11文T12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( )A.-50B.0C.2D.50【答案】C【解析】∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期为4.∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. ∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.16.(2018•全国3•文T7)下列函数中,其图像与函数y=ln x 的图像关于直线x=1对称的是( )A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)【答案】B【解析】设所求函数的图像上点P(x,y)关于x=1对称的点为Q(2-x,y),由题意知Q 在y=ln x 上, ∴y=ln(2-x),故选B.17.(2018•上海•T16)设D 是函数1的有限实数集,f(x)是定义在D 上的函数.若f(x)的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是( )A.√3B.√32C.√33D.0 【答案】B【解析】若f(1)=√3,则f(√3)=1,f(1)=-√3,与函数的定义矛盾,舍去;若f(1)=√33,则f (2√33)=0,f(1)=-√33,与函数的定义矛盾,舍去; 若f(1)=0,则f (12)=√32,f (12)=-√32,与函数的定义矛盾,舍去. 因此f(1)的可能取值只能是√32,故选B.18.(2018•全国3•理T12)设a=log 0.20.3,b=log 20.3,则( )A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b【答案】B【解析】∵a=log 0.20.3>0,b=log 20.3<0,∴ab<0.又a+b=lg0.3lg0.2+lg0.3lg2=lg3-1lg2-1+lg3-1lg2=(lg3-1)(2lg2-1)(lg2-1)•lg2而lg 2-1<0,2lg 2-1<0,lg 3-1<0,lg 2>0,∴a+b<0.a+b ab =1b +1a =log 0.32+log 0.30.2=log 0.30.4<log 0.30.3=1.∴ab<a+b.故选B.19.(2018•天津•理T5)已知a=log 2e,b=ln 2,c= lo g 1213,则a,b,c 的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【答案】D【解析】因为c=lo g 1213=log 23,a=log 2e,且y=log 2x 在(0,+∞)上单调递增,所以log 23>log 2e>log 22=1,即c>a>1.因为y=ln x 在(0,+∞)上单调递增,且b=ln 2,所以ln 2<ln e=1,即b<1.综上可知,c>a>b.故选D.20.(2018•天津•文T5)已知a=log 372,b=(14)13,c=lo g 1315,则a,b,c 的大小关系为( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b【答案】D【解析】∵c=lo g 1315=log 35>log 372>log 33=1,∴c>a>1.又b=（14） 13<（14）0=1,∴c>a>b. 21.(2018•全国2•T3)函数f(x)=e x -e -xx 2的图像大致为( )【答案】B【解析】∵f(-x)=e -x -e xx 2=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A,令x=10,则f(10)=e 10-1e 10100>1,排除C 、D,故选B. 22.(2018•全国3•理T7文T9)函数y=-x 4+x 2+2的图像大致为( )【答案】D【解析】当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=12时,y=-(12)4+(12)2+2>2.排除C.故选D.23.(2018•浙江•T5)函数y=2|x|sin 2x 的图象可能是( )【答案】D【解析】因为在函数y=2|x|sin 2x 中,y 1=2|x|为偶函数,y 2=sin 2x 为奇函数,所以y=2|x|sin 2x 为奇函数.所以排除选项A,B.当x=0,x=π2,x=π时,sin 2x=0,故函数y=2|x|sin 2x 在[0,π]上有三个零点,排除选项C,故选D.24.(2018•全国1•理T9)已知函数f(x)={e x ,x ≤0,lnx ,x >0,g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a 的取值范围是( )A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【答案】C【解析】要使得方程g(x)=f(x)+x+a 有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a 有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a 的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线y=-x-a 位于直线y=-x+1的下方,所以-a ≤1,即a ≥-1.故选C.25.(2017•山东•理T1)设函数y=√4-x 2的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A ∩B=( )A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)【答案】D【解析】由4-x 2≥0,得A=[-2,2],由1-x>0,得B=(-∞,1),故A ∩B=[-2,1).故选D.26.(2017•山东•文T9)设f(x)={√x ,0<x <1,2(x -1),x ≥1.若f(a)=f(a+1),则f (1a )=( ) A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】由x≥1时,f(x)=2(x-1)是增函数可知,若a≥1,则f(a)≠f(a+1),所以0<a<1,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得√a =2(a+1-1),解得a=14,则f 1a =f(4)=2(4-1)=627.(2017•全国1•理T5)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x 的取值范围是( )A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]【答案】D【解析】因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x ≤3.所以x 的取值范围是[1,3].28.(2017•天津•理T6)已知奇函数f(x)在R 上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log 25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c 的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a【答案】C【解析】∵f(x)是R 上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R 上的偶函数.∴g(-log 25.1)=g(log 25.1).∵奇函数f(x)在R 上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在(0,+∞)上是增函数.∵2<log 25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log 25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.29.(2017•北京•理T5)已知函数f(x)=3x -(13)x ,则f(x)( )A.是奇函数,且在R 上是增函数B.是偶函数,且在R 上是增函数C.是奇函数,且在R 上是减函数D.是偶函数,且在R 上是减函数【答案】A【解析】因为f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x-(13)-x=(13)x-3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.又y=3x和y=-(13)x在R 上都是增函数,所以函数f(x)在R 上是增函数.故选A.30.(2017•全国1•理T11)设x,y,z 为正数,且2x=3y=5z,则( ) A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 【答案】D【解析】由2x=3y=5z,同时取自然对数,得xln 2=yln 3=zln 5.由2x 3y =2ln33ln2=ln9ln8>1,可得2x>3y;再由2x 5z =2ln55ln2=ln25ln32<1,可得2x<5z;所以3y<2x<5z,故选D.31.(2017•全国2•文T8)函数f(x)=ln(x 2-2x-8)的单调递增区间是( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 【答案】D【解析】由题意可知x 2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.故定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞),易知t=x 2-2x-8在(-∞,-2)内单调递减,在(4,+∞)内单调递增.因为y=ln t 在t ∈(0,+∞)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D. 32.(2017•全国1•文T9)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( ) A.f(x)在(0,2)单调递增 B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 【答案】C【解析】f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x 2+2x),x ∈(0,2).当x ∈(0,1)时,x 增大,-x 2+2x 增大,ln(-x 2+2x)增大,当x ∈(1,2)时,x 增大,-x 2+2x 减小,ln(-x 2+2x)减小,即f(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.33.(2017•山东•理T7)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( ) A.a+1b <b2a <log 2(a+b) B.b 2a <log 2(a+b)<a+1b C.a+1b <log 2(a+b)<b2aD.log 2(a+b)<a+1b <b2a【答案】B【解析】不妨令a=2,b=12,则a+1b=4,b 2a=18,log 2(a+b)=log 252∈(log 22,log 24)=(1,2),即b 2a <log 2(a+b)<a+1b.故选B.34.(2017•浙江•理T5)若函数f(x)=x 2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( ) A.与a 有关,且与b 有关 B.与a 有关,但与b 无关 C.与a 无关,且与b 无关 D.与a 无关,但与b 有关 【答案】B【解析】因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f (-a2)=b-a 24中取,所以最值之差一定与a 有关,与b 无关,故选B.35.(2017•全国1•文T8)函数y=sin2x1-cosx 的部分图象大致为( )【答案】C 【解析】令f(x)=sin2x 1-cosx,因为f(-x)=sin (-2x )1-cos (-x )=-sin2x1-cosx=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除选项B;因为f(π)=sin2π1-cosπ=0,故排除选项D;因为f(1)=sin21-cos1>0,故排除选项A.故选C.36.(2017•全国3•文T7)函数y=1+x+sinx x 2的部分图象大致为( )【答案】D【解析】当x=1时,y=1+1+sin 1=2+sin 1>2,故排除A,C;当x →+∞时,y →+∞,故排除B,满足条件的只有D,故选D.37.(2017•山东•理T10)已知当x ∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=√x +m 的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是( ) A.(0,1]∪[2√3,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,√2]∪[2√3,+∞)D.(0,√2]∪[3,+∞)【答案】B【解析】在同一直角坐标系中,分别作出函数f(x)=(mx-1)2=m 2（x-1m ）2与g(x)=√x +m 的大致图象.分两种情形:(1)当0<m≤1时,1m ≥1,如图①,当x ∈[0,1]时, f(x)与g(x)的图象有一个交点,符合题意;(2)当m>1时,0<1m <1,如图②,要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点,只需g(1)≤f(1), 即1+m≤(m -1)2,解得m≥3或m≤0(舍去). 综上所述,m ∈(0,1]∪[3,+∞).故选B.38.(2017•天津•文T8)已知函数f(x)={|x |+2,x <1,x +2x,x ≥1.设a ∈R,若关于x 的不等式f(x)≥|x2+a|在R 上恒成立,则a 的取值范围是( ) A.[-2,2] B.[-2√3,2] C.[-2,2√3] D.[-2√3,2√3]【答案】A【解析】若a=2√3,则当x=0时,f(0)=2,而x 2+a =2√3,不等式不成立,故排除选项C 、D.若a=-2√3,则当x=0时,f(0)=2,而x 2+a =2√3,不等式不成立,故排除选项B.故选A.39.(2017•全国3•理T11文T12)已知函数f(x)=x 2-2x+a(e x-1+e -x+1)有唯一零点,则a=( )A.-12 B.13C.12D.1【答案】C【解析】∵f (x)=x 2-2x+a(e x-1+e -x+1),∴f (2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e -(2-x)+1)=x 2-4x+4-4+2x+a(e 1-x +e x-1) =x 2-2x+a(e x-1+e-x+1),∴f (2-x)=f(x),即x=1为f(x)图象的对称轴. ∵f (x)有唯一零点,∴f (x)的零点只能为1, 即f(1)=12-2×1+a(e 1-1+e-1+1)=0,解得a=12.40.(2017•北京•理T8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( )(参考数据:lg 3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.1093【答案】D【解析】设MN =x=33611080,两边取对数,得lg x=lg 33611080=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x ≈1093.28,即与MN最接近的是1093.故选D. 41.(2016•全国2•文T10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 ( )A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=√x【答案】D 【解析】y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞).y=x 的定义域和值域均为R;y=lg x 的定义域为(0,+∞),值域为R; y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞); y=√x 的定义域与值域均为(0,+∞).故选D.42.(2016•北京•文T4)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( ) A.y=11-x B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x【答案】D【解析】选项A,y=11-x 在(-∞,1)和(1,+∞)上为增函数,故在(-1,1)上为增函数; 选项B,y=cos x 在(-1,1)上先增后减; 选项C,y=ln(x+1)在(-1,+∞)上递增, 故在(-1,1)上为增函数;选项D,y=2-x=12x在R 上为减函数,故在(-1,1)上是减函数.43.(2016•山东•文T9)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x 3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,f (x +12)=f (x -12),则f(6)= ( )A.-2B.-1C.0D.2【答案】D【解析】由题意可知,当-1≤x ≤1时,f(x)为奇函数; 所以f(6)=f(5×1+1)=f(1). 而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2. 所以f(6)=2.故选D.44.(2016•全国1•文T8)若a>b>0,0<c<1,则( ) A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c<b cD.c a>c b【答案】B【解析】对于A,log a c=lgclga ,log b c=lgc lgb,∵0<c<1,∴lg c<0,而a>b>0,∴lg a>lg b,但不能确定lg a,lg b 的正负,故log a c 与log b c 大小不能确定,A 不正确; 对于B,在lg a>lg b 两边同乘以一个负数1lgc ,不等号改变,得log c a<log c b,B 正确;对于C,∵0<c<1,∴幂函数y=x c在(0,+∞)上为增函数. ∵a>b>0,∴a c>b c ,故C 不正确;对于D,∵0<c<1,∴指数函数y=c x在R 上为减函数.∵a>b>0,∴c a<c b,故D 不正确. 45.(2016•全国1•理T8)若a>b>1,0<c<1,则( ) A.a c<b cB.ab c<ba cC.alog b c<blog a cD.log a c<log b c 【答案】C【解析】特殊值验证法,取a=3,b=2,c=12, 因为√3>√2,所以A 错;因为3√2=√18>2√3=√12,所以B 错;因为log 312=-log 32>-1=log 212,所以D 错;因为3log 212=-3<2log 312=-2log 32,所以C 正确.故选C.46.(2016•全国3•理T6)已知a=243,b=425,c=2513,则( ) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【答案】A【解析】因为a=243=423>425=b,c=2513=523>423=a, 所以b<a<c.47.(2016•全国3•文T7)已知a=243,b=323,c=2513,则( ) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【答案】A【解析】因为a=243=423,c=2513=523,b=323, 且函数y=x 23在[0,+∞)内是增函数, 所以323<423<523,即b<a<c.故选A.48.(2016•全国2•文T12)已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x 2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i=1mx i =( )A.0B.mC.2mD.4m【答案】B【解析】由题意可知,y=f(x)与y=|x 2-2x-3|的图象都关于x=1对称,所以它们的交点也关于x=1对称. 当m 为偶数时,∑i=1mx i =2×m2=m;当m 为奇数时,∑i=1m x i =2×m -12+1=m,故选B.49.(2016•全国1•T9)函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为( )【答案】D【解析】特殊值验证法,取x=2,则y=2×4-e 2≈8-2.7182≈0.6∈(0,1),排除A,B;当0<x<2时,y=2x 2-e x,则y'=4x-e x,由函数零点的判定可知,y'=4x-e x在(0,2)内存在零点,即函数y=2x 2-e x在(0,2)内有极值点,排除C,故选D. 50.(2016•浙江•文T3)函数y=sin x 2的图象是( )【答案】D【解析】∵f (-x)=sin(-x)2=sin x 2=f(x), ∴y=sin x 2的图象关于y 轴对称,排除A,C; 又当x=±π2时,sin π24≠1,∴排除B,故选D.51.(2016•浙江•文T7)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|,且f(x)≥2x,x ∈R.( ) A.若f(a)≤|b|,则a ≤b B.若f(a)≤2b,则a ≤b C.若f(a)≥|b|,则a ≥b D.若f(a)≥2b ,则a ≥b 【答案】B【解析】∵f (x)≥|x|且f(x)≥2x,∴f (x)表示的区域如图阴影部分所示.∵对于选项A 和选项C 而言,无论f(a)≤|b|还是f(a)≥|b|,均有a ≤b 或a ≥b 都成立,∴选项A 和选项C 均不正确;对于选项B,若f(a)≤2b,只能得到a ≤b,故选项B 正确;对于选项D,若f(a)≥2b,由图象可知a ≥b 与a ≤b 均有可能,故选项D 不正确. 52.(2015•湖北•文T7)设x ∈R,定义符号函数sgnx={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则( )A.|x|=x|sgn x|B.|x|=xsgn |x|C.|x|=|x|sgn xD.|x|=xsgn x 【答案】D【解析】利用排除法逐项验证求解.当x<0时,|x|=-x,x|sgn x|=x;xsgn|x|=x,|x|sgn x=(-x )•(-1)=x,故排除A,B,C 项,选D.53.(2015•重庆•文T3)函数f(x)=log 2(x 2+2x-3)的定义域是( ) A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 【答案】D【解析】要使函数有意义,应满足x 2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,故函数的定义域是(-∞,-3)∪(1,+∞). 54.(2015•湖北•文T6)函数f(x)= √4-|x |+lg x 2-5x+6x -3的定义域为( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6] 【答案】C【解析】要使函数有意义,需{4-|x |≥0,x 2-5x+6x -3>0,即{-4≤x ≤4,x >2且x ≠3,即2<x<3或3<x≤4. 故函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4].55.(2015•全国1•文T10)已知函数f(x)={2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f(a)=-3,则f(6-a)=( )A.-74B.-54C.-34D.-14【答案】A【解析】当a ≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立. 当a>1时,f(a)=-log 2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7. ∴f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=14-2=-74.56.(2015•陕西•文T4)设f(x)={1-√x ,x ≥0,2x,x <0,则f(f(-2))=( )A.-1B.14C.12D.32【答案】C【解析】f(f(-2))=f (14)=1-√14=12.57.(2015•山东•文T10)设函数f(x)={3x -b ,x <1,2x ,x ≥1.若f (f (56))=4,则b=( )A.1B.78C.34D.12【答案】D【解析】∵f (56)=3×56-b=52-b,∴f (f (56))=f (52-b). 当52-b<1,即b>32时,f (52-b)=3×(52-b)-b=4,∴b=78(舍去).当52-b≥1,即b≤32时,f (52-b)=252-b =4,即52-b=2,∴b=12. 综上,b=1258.(2015•全国2•文T12)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x ,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x 的取值范围是( )A.(13,1)B.(-∞,13)∪(1,+∞) C.(-13,13)D.(-∞,-13)∪(13,+∞) 【答案】A【解析】函数f(x)的定义域为R,又由题意可知f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数. 当x>0时,f(x)=ln(1+x)-11+x 2,因为y 1=ln(1+x)单调递增,y 2=-11+x 2亦为单调递增,所以f(x)在(0,+∞)为增函数.由f(x)>f(2x-1)⇔f(|x|)>f(|2x-1|),得|x|>|2x-1|,解得x ∈(13,1).59.(2015•北京•文T3)下列函数中为偶函数的是( ) A.y=x 2sin x B.y=x 2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x【答案】B【解析】A 选项中函数为奇函数,B 选项中函数为偶函数,C 选项中函数定义域为(0,+∞)不具有奇偶性,D 选项中函数既不是奇函数也不是偶函数.故选B.60.(2015•天津•文T7)已知定义在R 上的函数f(x)=2|x-m|-1(m 为实数)为偶函数.记a=f(log 0.53),b=f(log 25),c=f(2m),则a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 【答案】B 【解析】∵f (-x)=2|-x-m|-1=2|x+m|-1,且f(x)为偶函数,∴2|x+m|-1=2|x-m|-1对任意的x ∈R 恒成立,解得m=0.∴f (x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数.∵a=f (log 0.53)=f(-log 23)=f(log 23),c=f(2m)=f(0),且0<log 23<log 25, ∴f (0)<f(log 23)<f(log 25),即c<a<b.61.(2015•全国2•理T5)设函数f(x)={1+log 2(2-x ),x <1,2x -1, x ≥1,则f(-2)+f(log 212)=( )A.3B.6C.9D.12 【答案】C【解析】∵f (-2)=1+log 24=3,f(log 212)=2log 212-1=2log 21221=122=6,∴f (-2)+f(log 212)=9.62.(2015•全国2•理T10文T11)如图,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点.点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记∠BOP=x.将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )【答案】B【解析】当x ∈0,π4时,f(x)=tan x+√4+tan 2x ,图象不是线段,从而排除A,C; ∵fπ4=f34π=1+√5,f π2=2√2,2√2<1+√5,∴fπ2<fπ4=f34π,从而排除D.故选B.63.(2015•安徽•文T10)函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示,则下列结论成立的是( ) A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c>0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 【答案】A【解析】由图象可知f(0)=d>0,f'(x)=3ax 2+2bx+c,x 1,x 2为方程3ax 2+2bx+c=0的两根,因此x 1+x 2=-2b 3a ,x 1•x 2=c3a .由图象可知x ∈(-∞,x 1)时,f'(x)>0,所以a>0.而由图象知x 1,x 2均为正数,所以-2b3a >0,c3a >0,由此可得b<0,c>0,故选A.64.(2015•浙江•文T5)函数f(x)=(x -1x )cos x(-π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )【答案】D【解析】因为f(-x)=-x+1x cos(-x)=-x-1x cos x=-f(x),所以f(x)为奇函数.排除A,B;又f(π)=(π-1π)cos π=-π+1π<0,排除C,故选D.65.(2015•天津•文T8)已知函数f(x)={2-|x |,x ≤2,(x -2)2,x >2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A【解析】因为f(x)={2+x ,x <0,2-x ,0≤x ≤2,(x -2)2,x >2,所以f(2-x)={2+(2-x ),2-x <0,2-(2-x ),0≤2-x ≤2,(2-x -2)2,2-x >2⇒f(2-x)={x 2,x <0,x ,0≤x ≤2,4-x ,x >2,f(x)+f(2-x)={x 2+x +2,x <0,2,0≤x ≤2,x 2-5x +8,x >2,所以函数y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)={x 2+x -1,x <0,-1,0≤x ≤2,x 2-5x +5,x >2.其图象如图所示.显然函数图象与x 轴有2个交点,故函数有2个零点.66.(2015•北京•理T7)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log 2(x+1)的解集是 ( ) A.{x|-1<x ≤0} B.{x|-1≤x ≤1} C.{x|-1<x ≤1} D.{x|-1<x ≤2} 【答案】C【解析】如图,作出函数f(x)与y=log 2(x+1)的图象.易知直线BC 的方程为y=-x+2,由{y =-x +2,y =log 2(x +1)得D 点坐标为(1,1).由图可知,当-1<x ≤1时,f(x)≥log 2(x+1),所以所求解集为{x|-1<x ≤1}.67.(2014•江西•理T3)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a ∈R),若f[g(1)]=1,则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.-1【答案】A【解析】由题意可知f[g(1)]=1=50,得g(1)=0,代入g(x),则a-1=0,即a=1.故选A. 68.(2014•山东•理T3)函数f(x)=√(log 2x )-1的定义域为( )A.(0,12)B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞) D.(0,12]∪[2,+∞)【答案】C【解析】要使函数有意义,应有(log 2x)2>1,且x>0,即log 2x>1或log 2x<-1,解得x>2或0<x<12.所以函数f(x)的定义域为(0,12)∪(2,+∞). 69.(2014•江西•文T4,)已知函数f(x)= {a •2x ,x ≥0,2-x ,x <0 (a ∈R),若f[f(-1)]=1,则a=( )A.14B.12 C.1 D.2【答案】A【解析】由题意可知f(-1)=21=2,则f[f(-1)]=f(2)=a •22=4a=1.故a=1470.(2014•全国1•理T3文T5)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数【答案】C【解析】由题意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 对于A 选项,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x), f(x)g(x)为奇函数,故A 错误;对于B 选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x), |f(x)|g(x)为偶函数,故B 错误; 对于C 选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|, f(x)|g(x)|为奇函数,故C 正确; 对于D 选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x )•g(x)|, |f(x)g(x)|是偶函数,故D 错误.71.(2014•北京•文T6)已知函数f(x)=6x -log 2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 【答案】C【解析】由题意知f(1)=61-log 21=6>0,f(2)=62-log 22=3-1=2>0,f(4)=64-log 24=32-2=-12<0.故f(2)•f(4)<0.由零点存在性定理可知,包含f(x)零点的区间为(2,4).72.(2013•全国1•理T11)已知函数f(x)={-x 2+2x ,x ≤0,ln (x +1),x >0.若|f(x)|≥ax,则a 的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]【答案】D【解析】由y=|f(x)|的图象知:①当x>0时,y=ax 只有a ≤0时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除B,C. ②当x ≤0时,y=|f(x)|=|-x 2+2x|=x 2-2x. 故由|f(x)|≥ax 得x 2-2x ≥ax. 当x=0时,不等式为0≥0成立. 当x<0时,不等式等价于x-2≤a. ∵x -2<-2, ∴a≥-2.综上可知,a ∈[-2,0].73.(2013•全国2•文T12)若存在正数x 使2x(x-a)<1成立,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞) 【答案】D【解析】由题意可得,a>x-(12)x(x>0).令f(x)=x-(12)x,该函数在(0,+∞)上为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故a>-1时,存在正数x 使原不等式成立.74.(2013•全国2•理T8)设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则( ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 【答案】D【解析】根据公式变形,a=lg6lg3=1+lg2lg3,b=lg10lg5=1+lg2lg5,c=lg14lg7=1+lg2lg7,因为lg 7>lg 5>lg 3,所以lg2lg7<lg2lg5<lg2lg3,即c<b<a.故选D.75.(2013•全国2•文T8)设a=log 32,b=log 52,c=log 23,则( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b【答案】D【解析】∵a=log 32>log 3√3=12,∴a ∈（12,1）. ∵b=log 52<log 5√5=12,∴b ∈（0,12）. ∵c=log 23>log 22=1,即c>1,∴c>a>b.76.(2013•全国1•文T9)函数f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π,π]的图象大致为( )【答案】C【解析】由f(x)=(1-cos x)sin x 知其为奇函数.可排除B.当x ∈(0,π2]时,f(x)>0,排除A. 当x ∈(0,π)时,f'(x)=sin 2x+cos x(1-cos x)=-2cos 2x+cos x+1. 令f'(x)=0,得x=23π.故极值点为x=23π,可排除D,故选C.77.(2013•北京•理T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x关于y 轴对称,则f(x)=( ) A.e x+1B.e x-1C.e-x+1D.e-x-1【答案】D【解析】依题意,f(x)向右平移1个单位之后得到的函数应为y=e -x,于是f(x)相当于y=e -x向左平移1个单位的结果,∴f (x)=e-x-1,故选D.78.(2012•全国•文T11)当0<x≤12时,4x<log a x,则a 的取值范围是( ) A.(0,√22) B.(√22,1)C.(1,√2)D.(√2,2)【答案】B【解析】由0<x≤12,且log a x>4x>0,可得0<a<1,由412=log a 12可得a=√22.令f(x)=4x,g(x)=log a x,若4x<log a x,则说明当0<x≤12时,f(x)的图象恒在g(x)图象的下方(如下图所示),此时需a>√22.综上可得a 的取值范围是(√22,1).79.(2012•全国•理T10)已知函数f(x)=1ln (x+1)-x,则y=f(x)的图象大致为( )【答案】B【解析】当x=1时,y=1ln2-1<0,排除A;当x=0时,y 不存在,排除D;f'(x)=[1ln (x+1)-x]'=x x+1[ln (x+1)-x ]2,因定义中要求x>-1,故-1<x<0时,f'(x)<0,故y=f(x)在(-1,0)上单调递减,故选B.80.(2012•湖北•文T6)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为( )【答案】B 【解析】y=f(x)y=f(-x)y=f[-(x-2)]=f(2-x)y=-f(2-x),故选B.81.(2012•全国•理T12)设点P 在曲线y=12e x上,点Q 在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为 ( )A.1-ln 2B.√2(1-ln 2)C.1+ln 2D.√2(1+ln 2)【答案】B【解析】由题意知函数y=12e x与y=ln(2x)互为反函数,其图象关于直线y=x 对称,两曲线上点之间的最小距离就是y=x 与y=12e x最小距离的2倍,设y=12e x上点(x 0,y 0)处的切线与y=x 平行,有12e x 0=1,x 0=ln 2,y 0=1,∴y=x与y=12e x的最小距离是√22(1-ln 2),∴|PQ|的最小值为√22(1-ln 2)×2=√2(1-ln 2).82.(2011•全国•理T2文T3)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)单调递增的函数是( ) A.y=x 3B.y=|x|+1C.y=-x 2+1D.y=2-|x|【答案】B【解析】A 中y=x 3是奇函数不满足题意;由y=|x|+1的图象可知B 满足题意;C 中y=-x 2+1在(0,+∞)上为减函数,故不满足题意;D 中y=2-|x|在(0,+∞)上为减函数,故不满足题意,故选B.83.(2011•全国•文T10)在下列区间中,函数f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间为( ) A.(-14,0) B.(0,14)C.(14,12)D.(12,34)【答案】C【解析】∵f(x)是R 上的增函数且图象是连续的,且f (14)=e 14+4×14-3=e 14-2<0,f (12)=e 12+4×12-3=e 12-1>0, ∴f(x)在(14,12)内存在唯一零点.84.(2011•全国•理T12)函数y=11-x 的图象与函数y=2sin πx(-2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A.2B.4C.6D.8 【答案】D【解析】由题意知y=11-x =-1x -1的图象是双曲线,且关于点(1,0)成中心对称.又y=2sin πx 的周期为T=2ππ=2,也关于点(1,0)成中心对称,因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称,如图所示,可知两个图象在[-2,4]上有8个交点,因此8个交点的横坐标和x 1+x 2+…+x 8=4×2=8.85.(2011•全国•文T12)已知函数y=f(x)的周期为2,当x ∈[-1,1]时f(x)=x 2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有( ) A.10个 B.9个 C.8个 D.1个【答案】A【解析】根据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下:可验证当x=10时,y=|lg 10|=1;0<x<10时,|lg x|<1; x>10时|lg x|>1.结合图象知y=f(x)与y=|lg x|的图象交点共有10个.86.(2010•全国•理T8)设偶函数f(x)满足f(x)=x 3-8(x ≥0),则{x|f(x-2)>0}=( ) A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2} 【答案】B【解析】f(x-2)>0等价于f(|x-2|)>0=f(2), 又∵f(x)=x 3-8(x ≥0)为增函数, ∴|x-2|>2.解得x>4或x<0.87.(2010•全国•文T9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x ≥0),则{x|f(x-2)>0}等于( ) A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4} C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2} 【答案】B【解析】f(x)={2x -4,x ≥0,12x-4,x <0,f(x-2)={2x -2-4,x ≥2,12x -2-4,x <2,令f(x-2)>0⇒x>4或x<0.88.(2010•全国•理T11文T12)已知函数f(x)={|lgx|,0<x≤10,-12x+6,x>10.若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【答案】C【解析】因为-lg a=lg b⇒ab=1,所以abc=c,也就是说只需要求出c的取值范围即可,如下图所示,绘制出图象,平移一条平行于x轴的直线,可以发现c的取值范围是10<c<12,因此10<abc<12.89.(2019•全国2•理T14)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax.若f(ln 2)=8,则a= .【答案】-3【解析】∵ln 2∈(0,1),f(ln 2)=8,f(x)是奇函数,∴f(-ln 2)=-8.∵当x<0时,f(x)=-e ax,∴f(-ln 2)=-e-aln 2=-8,∴e-aln 2=8,∴-aln 2=ln 8,∴-a=3,∴a=-3.90.(2019•北京•T14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为. 【答案】（1）130（2）15【解析】(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,y<120元时,李明得到的金额为y•80%,符合要求.y≥120元时,有(y-x)•80%≥y•70%成立,即8(y-x)≥7y,x≤y 8,即x≤(y8)min=15.所以x 的最大值为15.91.(2019•北京•理T13)设函数f(x)=e x +ae -x(a 为常数).若f(x)为奇函数,则a= ;若f(x)是R 上的增函数,则a 的取值范围是 . 【答案】-1 (-∞,0]【解析】若函数f(x)=e x+ae -x为奇函数, 则f(-x)=-f(x),e -x+ae x=-(e x+ae -x), (a+1)(e x+e -x)=0对任意的x 恒成立,则a=-1. 若函数f(x)=e x+ae -x是R 上的增函数,则f'(x)=e x-ae -x≥0恒成立,即a ≤e 2x,故a ≤0.92.(2018•全国3•文T16)已知函数f(x)=ln(√1+x 2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)= . 【答案】-2【解析】令g(x)=ln(√1+x 2-x),g(-x)=ln(√1+x 2+x),∴g(x)+g(-x)=ln(1+x 2-x 2)=0,∴g(x)为奇函数.∴f(x)=g(x)+1.∴f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2. ∴f(-a)=-2.93.(2018•江苏•T9)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x ∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)={cos πx2,0<x ≤2,|x +12|,-2<x ≤0,则f(f(15))的值为 .【答案】√22【解析】由f(x+4)=f(x),得函数f(x)的周期为4, 所以f(15)=f(16-1)=f(-1)=|-1+12|=12.因此f(f(15))=f (12)=cos π4=√22. 94.(2018•全国1•文T13)已知函数f(x)=log 2(x 2+a),若f(3)=1,则a= . 【答案】-7【解析】因为f(3)=log 2(9+a)=1,所以9+a=2,即a=-7.95.(2019•浙江•T16)已知a ∈R,函数f(x)=ax 3-x.若存在t ∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a 的最大值是_______________。

专题04导数及其应用历年考题细目表5解答题2014 导数综合问题2014年新课标1文科21解答题2013 导数综合问题2013年新课标1文科20解答题2012 导数综合问题2012年新课标1文科21解答题2011 导数综合问题2011年新课标1文科21解答题2010 导数综合问题2010年新课标1文科21历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科05】函数f（）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．2．【2018年新课标1文科06】设函数f（）＝3+（a﹣1）2+a．若f（）为奇函数，则曲线y＝f（）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2 B．y＝﹣C．y＝2 D．y＝3．【2017年新课标1文科08】函数y的部分图象大致为（）A．B．C．D．4．【2017年新课标1文科09】已知函数f（）＝ln+ln（2﹣），则（）A．f（）在（0，2）单调递增B．f（）在（0，2）单调递减C．y＝f（）的图象关于直线＝1对称D．y＝f（）的图象关于点（1，0）对称5．【2016年新课标1文科09】函数y＝22﹣e||在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．6．【2016年新课标1文科12】若函数f（）＝sin2+a sin在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[，] D．[﹣1，]7．【2014年新课标1文科12】已知函数f（）＝a3﹣32+1，若f（）存在唯一的零点0，且0＞0，则实数a 的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）8．【2013年新课标1文科09】函数f（）＝（1﹣cos）sin在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．9．【2010年新课标1文科04】曲线y＝3﹣2+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣1 B．y＝﹣+1 C．y＝2﹣2 D．y＝﹣2+210．【2019年新课标1文科13】曲线y＝3（2+）e在点（0，0）处的切线方程为．11．【2017年新课标1文科14】曲线y＝2在点（1，2）处的切线方程为．12．【2015年新课标1文科14】已知函数f（）＝a3++1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a＝．13．【2012年新课标1文科13】曲线y＝（3ln+1）在点（1，1）处的切线方程为．14．【2019年新课标1文科20】已知函数f（）＝2sin﹣cos﹣，f′（）为f（）的导数．（1）证明：f′（）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若∈[0，π]时，f（）≥a，求a的取值范围．15．【2018年新课标1文科21】已知函数f（）＝ae﹣ln﹣1．（1）设＝2是f（）的极值点，求a，并求f（）的单调区间；（2）证明：当a时，f（）≥0．16．【2017年新课标1文科21】已知函数f（）＝e（e﹣a）﹣a2．（1）讨论f（）的单调性；（2）若f（）≥0，求a的取值范围．17．【2016年新课标1文科21】已知函数f（）＝（﹣2）e+a（﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（）的单调性；（Ⅱ）若f（）有两个零点，求a的取值范围．18．【2015年新课标1文科21】设函数f（）＝e2﹣aln．（Ⅰ）讨论f（）的导函数f′（）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（）≥2a+aln．19．【2014年新课标1文科21】设函数f（）＝aln2﹣b（a≠1），曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在0≥1，使得f（0），求a的取值范围．20．【2013年新课标1文科20】已知函数f（）＝e（a+b）﹣2﹣4，曲线y＝f（）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（）的单调性，并求f（）的极大值．21．【2012年新课标1文科21】设函数f（）＝e﹣a﹣2．（Ⅰ）求f（）的单调区间；（Ⅱ）若a＝1，为整数，且当＞0时，（﹣）f′（）++1＞0，求的最大值．22．【2011年新课标1文科21】已知函数f（），曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线方程为+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当＞0，且≠1时，f（）．23．【2010年新课标1文科21】设函数f（）＝（e﹣1）﹣a2（Ⅰ）若a，求f（）的单调区间；（Ⅱ）若当≥0时f（）≥0，求a的取值范围．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( )A ．(21e -，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e) 2．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>3．已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈） A ．5B ．6C ．7D ．84．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12113a cb d +-==+-，则22()()ac bd -+-的最小值为（ ） A ．8 B ．4C ．2D5．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．已知函数1()2x a f x e ax x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦ B ．(,-?C ．3,2e 轹÷-+?ê÷ê滕 D ．)é-+?êë7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为( ) A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-8．已知函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ） A ．-3B ．-2C ．-1D ．09．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____．10．函数()2xf x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为_________．11．已知函数()1xf x e =-，若存在实数,()a b a b <使得()()f a f b =，则2+a b 的最大值为________.12．已知实数a ，b ，c 满足2121a c b c e a b e +--+++≤（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______．13．已知直线x t =与曲线()()()ln 1,xf x xg x e =+=分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____． 15．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．16．已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______.17．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.18．已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：()()21212+44282f x f x a a x x f +++⎛⎫-> ⎪⎝⎭. 19．已知函数()ln(1)1(1)f x ax x a =+-+…. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()e f x e +…对1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围. 20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在()()f x g x +上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间()()f x g x +是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤ （1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值范围． 21．已知函数2()(0)4x x a f x e a x ++=⋅≥+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当[0,1)b ∈时，设函数22(3)()(2)(2)x e b x g x x x +-+=>-+有最小值()h b ，求()h b 的值域. 22．已知函数1()x f x xe alnx -=-（无理数 2.718e =…）． （1）若()f x 在(1,)+∞单调递增，求实数a 的取值范围： （2）当0a =时，设2()()eg x f x x x x=⋅--，证明：当0x >时，ln 2ln 2()122g x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．。