【推荐】2019年高考数学课时19平面的基本性质空间两条直线单元滚动精准测试卷文

9.1 平面、空间两条直线巩固·夯实基础一、自主梳理1.平面的基本性质(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,则这条直线上所有的点都在这个平面内.它常用于判定直线在平面内、点在平面内.(2)公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他的公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.它的作用有五个:①判定两个平面相交;②证明点在直线上;③证明三点共线;④证明三线共点;⑤画两个平面的交线.(3)公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面.推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.公理3及三个推论的作用:①确定平面;②证明两平面重合;③证明点、线共面;④作截面、辅助面.2.空间两条直线的位置关系(1)相交直线——有且仅有一个公共点.(2)平行直线——在同一平面内,没有公共点.(3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点.3.异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.4.异面直线的判定方法方法一:利用定理“过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线”判定.方法二:利用反证法,即假设这两条直线不是异面直线,推导出矛盾.5.异面直线所成的角(1)定义:直线a、b是异面直线,经过空间一点O分别引直线a′∥a,b′∥b,a′、b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a、b所成的角.(2)两条异面直线所成的角的范围为(0°,90°).(3)异面直线所成角的求法A.平移,解三角形(平移主要有三种方法,即直接平移、中位线平移、补形平移).B.〔供9(B)选用〕空间向量.由于异面直线所成角的范围是(0°,90°］,如果平移后在三角形中求出的角是钝角,则取它的补角.6.两条异面直线的公垂线定义:把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.注:与两条异面直线都垂直的直线有无数条;与两条异面直线都垂直、相交的直线有一条.7.两条异面直线的距离定义:两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度,叫做两条异面直线的距离.8.平行公理公理4:平行于同一直线的两直线平行.该公理揭示了平行线具有传递性.它的主要作用是沟通了“线线平行”与“线面平行”之间的内在联系,提供了判断空间直线平行及点、线共面的方法.9.等角定理及推论等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.10.斜二测画法斜二测画法是借助平面表现空间的主要手法,其原则是:(1)平行性保持不变;(2)平行于x 轴的线段在直观图中长度不变,平行于y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.二、点击双基1.若a 、b 是异面直线，则只需具备的条件是( )A.a ⊂平面α,b ⊄平面α，a 与b 不平行B.a ⊂平面α，b ⊂平面β，α∩β=l ，a 与b 无公共点C.a ∥直线c ，b ∩c=A,b 与a 不相交D.a ⊥平面α，b 是α的一条斜线答案：C2.下列说法正确的是( )A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形B.两条相交直线的直观图可能平行C.互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直D.一个角一定是平面图形答案：D3.(北京朝阳模拟)如图,正四面体S —ABC 中,D 为SC 的中点,则BD 与SA 所成角的余弦值是( )A.33B.32C.63D.62 解析：取AC 的中点E,连结DE 、BE,则DE ∥SA,∴∠BDE 就是BD 与SA 所成的角.设SA=a,则BD=BE=23a,DE=21a,cos ∠BDE=DE BD BE DE BD ∙-+2222=63. 答案：C4.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，那么(1)哪些棱所在直线与直线BA 1成异面直线？________________________________________;(2)直线BA 1与CC 1所成角的大小为___________________;(3)直线BA 1与B 1C 所成角的大小为___________________;(4)异面直线BC 与AA 1的距离为___________________;(5)异面直线BA 1与CC 1的距离为___________________.答案：(1)D 1C 1、D 1D 、C 1C 、C 1B 1、DC 、AD(2)45° (3)60° (4)a (5)a5.正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1,侧棱长为2,则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是___________________.解析：连结FE 1、FD,则由正六棱柱相关性质可得FE 1∥BC 1,在△EFD 中,EF=ED=1,∠FED=120°,∴FD=︒∙∙-+120cos 222ED EF ED EF =3.在△EFE 1和△EE 1D 中,易得E 1F=E 1D=1)2(2+=3,∴△E 1FD 是等边三角形,∠FE 1D=60°.而∠FE 1D 即为E 1D 与BC 1所成的角.答案:60°诱思·实例点拨【例1】 如图，四面体ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC=2∶3，DH ∶HA=2∶3.求证：EF 、GH 、BD 交于一点.证明:连结GE 、HF ，∵E 、G 分别为BC 、AB 的中点，∴GE ∥AC.又∵DF ∶FC=2∶3，DH ∶HA=2∶3，∴HF ∥AC.∴GE ∥HF.故G 、E 、F 、H 四点共面.又∵EF 与GH 不能平行，∴EF 与GH 相交，设交点为O.则O ∈面ABD ，O ∈面BCD ，而平面ABD ∩平面BCD=BD.∴EF 、GH 、BD 交于一点.讲评:证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.【例2】 A 是△BCD 平面外的一点,E 、F 分别是BC 、AD 的中点,(1)求证:直线EF 与BD 是异面直线;(2)若AC ⊥BD,AC=BD,求EF 与BD 所成的角.(1)证明:用反证法.设EF 与BD 不是异面直线,则EF 与BD 共面,从而DF 与BE 共面,即AD 与BC 共面,所以A 、B 、C 、D 在同一平面内,这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾.故直线EF 与BD 是异面直线.(2)解:取CD 的中点G,连结EG 、FG,则EG ∥BD,所以相交直线EF 与EG 所成的锐角或直角即为异面直线EF 与BD 所成的角.在Rt △EGF 中,求得∠FEG=45°,即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.链接·提示(1)证明两条直线是异面直线常用反证法;(2)求两条异面直线所成的角,首先要判断两条异面直线是否垂直,若垂直,则它们所成的角为90°;若不垂直,则利用平移法求角,一般的步骤是“作(找)—证—算”.注意,异面直线所成角的范围是(0,2π］. 【例3】 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB=a,BC=b,AA 1=c,且a>b,求:(1)下列异面直线之间的距离:AB 与CC 1;AB 与A 1C 1;AB 与B 1C.(2)异面直线D 1B 与AC 所成角的余弦值.(1)解:BC 为异面直线AB 与CC 1的公垂线段,故AB 与CC 1的距离为b.AA 1为异面直线AB 与A 1C 1的公垂线段,故AB 与A 1C 1的距离为c.过B 作BE ⊥B 1C,垂足为E,则BE 为异面直线AB 与B 1C 的公垂线,BE=C B BC BB 11∙=22cb bc +,即AB 与B 1C 的距离为22c b bc+.(2)解法一:连结BD 交AC 于点O,取DD 1的中点F,连结OF 、AF,则OF ∥D 1B,∴∠AOF 就是异面直线D 1B 与AC 所成的角.∵AO=222b a +,OF=21BD 1=2222c b a ++,AF=2422c b +, ∴在△AOF 中,cos ∠AOF=OF AO AF OF AO ∙-+2222=))((2222222c b a b a b a +++-.解法二:如下图,在原长方体的右侧补上一个同样的长方体,连结BG 、D 1G,则AC ∥BG, ∴∠D 1BG(或其补角)为D 1B 与AC 所成的角.BD 1=222c b a ++,BG=22b a +,D 1G=224c a +,在△D 1BG 中,cos ∠D 1BG=BG B D G D BG B D ∙-+1212212=-))((2222222c b a b a b a +++-, 故所求的余弦值为))((2222222c b a b a b a +++-. 链接·拓展利用中位线平移和利用补形平移是处理长方体中异面直线所成角的重要方法.。

2019-2020学年高考数学一轮复习平面的基本性质、空间两条直线导学案文知识梳理：（必修2教材第40页-第43页）1、平面：（1）、平面的两个特征：，。

（2）、画法：通常用表示平面。

（3）、平面的表示方法：用一个小写的希腊字母等来表示平面，也可以用平行四边形的四个顶点的字母或两个相对的顶点的字母表示，如，。

2、平面的基本性质：公理1：如果一条直线的点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内。

这时我们就说或。

作用：公理2：经过同一直线的三点，有且只有个平面。

也可以简单地说成：的三点确定一个平面。

过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作：。

作用：公理3：如果不重合的两个平面有个公共点，那么它们有且只有条过这个点的公共直线。

如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面。

这条公共直线叫做着两个平面的作用：（1）画两个相交平面时，，其中一个平面被另一个平面遮住的部分画成线或。

（2）证明三点共线（3）证明三线共点3、两条直线的位置关系（1）共面与异面直线：共面直线：空间中的几个点或几条直线，如果都在，我们就说它们共面。

共面的两条直线的位置关系有和两种。

异面直线：的直线叫异面直线。

（2）空间两条直线的位置关系分类：（3）公理4（平行公理）：一、题型探究一：平面的基本性质例1：（1）一条直线和直线外三个点能确定的平面的个数是；（2）已知直线a，b是异面直线，在直线a上取三点，在直线b上取5个点能确定的平面个数是；例2：在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果直线EF与GH相交于P，由点P（）（A）一定在直线BD上（B）一定在直线AC上（C）在直线AC或BD上（D）不在直线AC上也不在直线BD上。

探究二：空间两条直线例3：下列命题正确命题的个数是（）（1）若两条直线与第三条直线的夹角相等，则这两条直线平行；（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（3）若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；（4）过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线（A）0 （B）1 （C）2 （D）3例4：在正方体A1B1C1D1—ABCD中，若AB=BC=2，A1A=1 ，求异面直线B1D与BC1所成角的余弦值。

必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质 测试题 2019.91,点到平面的距离分别为和，则线段的中点到平面的距离为_________________.2,从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_______.3,一条直线和一个平面所成的角为，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是____________.4,正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于___________________.5,在正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,过作与分别交于和的截面，则截面的周长的最小值是________.6,已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为，体积为，则这个球的表面积是（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.7,已知在四面体中，分别是的中点，若，则与所成的角的度数为（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.8,三个平面把空间分成部分时，它们的交线有（ ）,A B α4cm 6cm AB M α06012P ABC -4,8AB PA ==A ,PB PC D E ∆ADE 41616π20π24π32πABCD ,E F ,AC BD 2,4,AB CD EF AB ==⊥EF CD 904560307Ａ. 条 Ｂ. 条 Ｃ. 条 Ｄ. 条或条 9,在长方体，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离为( )A. B. C. D.10,直三棱柱中，各侧棱和底面的边长均为，点是上任意一点，连接，则三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D.测试题答案1, 或 分在平面的同侧和异侧两种情况2, 每个表面有个，共个；每个对角面有个，共个3, 垂直时最大4, 底面边长为，5, 沿着将正三棱锥侧面展开，则共线，且6, C 正四棱柱的底面积为，正四棱柱的底面的边长为，正四棱柱的底面的对角线为，正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，即123121111ABCD A B C D -241A 11AB D 83384334111ABC A B C -a D 1CC 11,,,A B BD A D AD 1A A BD -361a 3123a 363a 3121a 5cm 1cm ,A B 48464⨯464⨯0900301tan θ=11PA P ABC -',,,A D E A '//AA BC 422R =2424R S R ππ===球7, D 取的中点，则则与所成的角8, C 此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线9, C 利用三棱锥的体积变换：，则10, BBC G 1,2,,EG FG EF FG ==⊥EF CD 030EFG ∠=111A AB D -111111A AB D A A B D V V --=1124633h ⨯⨯=⨯⨯11211332A A BD D A BA a V V Sh --===⨯=。

核心素养测评三十九平面的基本性质及两直线位置关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在下列命题中,不是公理的是 ( )A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解析】选A.选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.2.若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c ( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线【解析】选C.若a∥b,a,c是异面直线,那么b与c不可能平行,否则由公理4知a∥c.3.空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选A.取AD的中点H,连接FH,EH,在△EFH中,∠EFH=90°,HE=2HF,从而∠FEH=30°,即EF与CD所成角为30°.4.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中 ( )A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线【解析】选B.如图①②所示,A,C,D均不正确,只有B正确.5.已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【解析】选B.画出正四面体ABCD的直观图,如图所示.设其棱长为2,取AD的中点F,连接EF,设EF的中点为O,连接CO,则EF∥BD,则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角.△ABC为等边三角形,则CE⊥AB,易得CE=,同理可得CF=,故CE=CF.因为OE=OF,所以CO⊥EF.又EO=EF=BD=,所以cos∠FEC===.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________.【解析】如图,取CN的中点K,连接MK,则MK为△CDN的中位线,所以MK∥DN.所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角.连接A1C1,AM.设正方体的棱长为4,则A1K==,MK=DN==,A1M==6,所以A1M2+MK2=A1K2,所以∠A1MK=90°.答案:90°7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.【解析】EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个.答案:48.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出五个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线;⑤若a,b与c成等角,则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号).【解析】由公理4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③不正确;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④不正确;当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故⑤不正确.答案:①三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.【解析】(1)假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC 共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD 是异面直线.(2)取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角.又因为AC⊥BD,则FG⊥EG.在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.10.已知空间四边形ABCD的对角线AC=20,BD=19,异面直线AC与BD所成的角的余弦值为,点P,Q,M,N分别是AB,BC,CD,DA的中点,(1)求证:四边形PQMN是平行四边形.(2)求四边形PQMN的面积.【解析】(1)因为P,Q是AB,BC的中点,所以PQ∥AC,PQ=AC,同理MN∥AC,MN=AC,所以PQ∥MN,PQ=MN,所以PQMN是平行四边形.(2)因为P,N是AB,AD的中点,所以PN∥BD,PN=BD=,又因为PQ∥AC,所以PQ与PN所成的角就是异面直线AC,BD成的角,所以sin∠QPN===,所以四边形PQMN的面积为S=PQ·PN·sin∠QPN=10××=5.(15分钟35分)1.(5分)设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( )A.若AC与BD共面,则AD与BC共面B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BCD.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC【解析】选C.由公理1知,命题A正确.对于B,假设AD与BC共面,由A正确得AC与BD共面,这与题设矛盾,故假设不成立,从而结论正确.对于C,如图,当AB=AC,DB=DC,使二面角A-BC-D的大小变化时,AD与BC不一定相等,故不正确.对于D,如图,取BC的中点E,连接AE,DE,则由题设得BC⊥AE,BC⊥DE.根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE,从而AD⊥BC.2.(5分)(多选)在空间中,有如下四个命题,其中正确的命题是( )A.平行于同一个平面的两条直线是平行直线B.垂直于同一条直线的两个平面是平行平面C.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥βD.过平面α的一条斜线,有且只有一个平面与平面α垂直【解析】选BD.A平行于同一个平面的两条直线,可能平行、相交或异面,不正确;B由面面平行的判定定理知正确;C若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α与β可能平行,也可能相交,不正确;易知D正确.【变式备选】如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个结论中,正确结论的序号是________.【解析】还原成正四面体A-DEF,其中H与N重合,A,B,C三点重合.易知GH与EF异面,BD与MN异面.连接GM,因为△GMH为等边三角形,所以GH与MN成60°角,易证DE⊥AF,又MN∥AF,所以MN⊥DE.因此正确结论的序号是②③④.答案:②③④3.(5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【解析】选A.方法一:因为α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以m∥B1D1.因为α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,所以n∥CD1.所以B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.因为△B1D1C为正三角形,所以∠B1D1C=60°,所以m,n所成的角的正弦值为.方法二:由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值为.4.(10分)已知:空间四边形ABCD(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG=BC,CH=DC.求证:(1)E,F,G,H四点共面.(2)三直线FH,EG,AC共点.【证明】(1)连接EF,GH,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD.又因为CG=BC,CH=DC,所以GH∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面.(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,所以设FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因为平面EFHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以三直线FH,EG,AC共点.5.(10分)如图所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.【解析】如图所示,取AC的中点F,连接EF,BF,在△ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,所以EF∥CD,所以∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.在Rt△EAB中,AB=AC=1,AE=AD=,所以BE=.在Rt△EAF中,AF=AC=,AE=,所以EF=.在Rt△BAF中,AB=1,AF=,所以BF=.在等腰三角形EBF中,cos∠FEB===.所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.。

第1讲 平面的基本性质、空间两条直线的位置关系1．平面α、β的公共点多于两个，则 ①α⊥β；②α、β至少有三个公共点； ③α、β至少有一条公共直线； ④α、β至多有一条公共直线．以上四个判断中不成立的个数是________．解析：由条件知，平面α与β重合或相交，重合时，公共直线多于一条，故④错误；相交时不一定垂直，故①错误．答案：22．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的________条件．解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立． 答案：充分不必要3.如图，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中既与AB 共面又与CC 1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB 和CC 1都相交的棱有BC ；与AB 相交且与CC 1平行有棱AA 1，BB 1；与AB 平行且与CC 1相交的棱有CD ，C 1D 1.故符合条件的有5条．答案：54．如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，点F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则下列说法正确的是________．①EF 与GH 平行； ②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．解析：连结EH ，FG ，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E 、F 、G 、H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．答案：④5．设a ，b ，c 是空间的三条直线，下面给出三个命题： ①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；②若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 也是异面直线； ③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交． 其中真命题的个数是________． 解析：因为a ⊥b ，b ⊥c ，所以a 与c 可以相交、平行、异面，故①错．因为a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 可能异面、相交、平行，故②错． 由a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 可以异面、相交、平行，故③错． 故真命题的个数为0. 答案：06.如图所示，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，则AO 与A ′C ′所成角的度数为________．解析：连结AC .因为A ′C ′∥AC ，所以AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC (或其补角)． 因为OC ⊥OB ，AB ⊥平面BB ′C ′C ， 所以OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ， 所以OC ⊥平面ABO .又OA ⊂平面ABO ，所以OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，所以∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. 答案：30°7．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉ β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．解析：如图1，因为AC ∩BD ＝P ，图1所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD . 因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ， β∩平面PCD ＝CD ， 所以AB ∥CD .所以PA AC ＝PBBD，即69＝8－BD BD ，所以BD ＝245. 如图2，同理可证AB ∥CD .图2所以PA PC ＝PB PD， 即63＝BD －88， 所以BD ＝24.综上所述，BD ＝245或24.答案：245或248．过正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作________条．解析：如图，连结对角线AC 1，显然AC 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等．联想正方体的其他对角线，如连结BD 1，则BD 1与棱BC ，BA ，BB 1所成的角都相等，因为BB 1∥AA 1，BC ∥AD ，所以对角线BD 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，同理，对角线A 1C ，DB 1也与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，故这样的直线l 可以作4条．答案：49．对于四面体ABCD ，下列命题中：①相对棱AB 与CD 所在直线异面；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面． 其中正确的是________(填序号)．解析：对于①，由四面体的概念可知，AB 与CD 所在的直线为异面直线，故①正确；对于②，由顶点A 作四面体的高，当四面体ABCD 的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD 的三条高线的交点，故②错误；对于③，当DA ＝DB ，CA ＝CB 时，这两条高线共面，故③错误．答案：①10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD .以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：将展开图还原为正方体，如图所示，则AB ⊥EF ，故①正确；AB ∥CM ，故②错误；EF 与MN 显然异面，故③正确；MN 与CD 异面，故④错误．答案：①③11.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连结EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG .在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF与BD 所成的角为45°.12．如图，在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P ­ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ­ABC 的体积为V ＝13S △ABC·PA ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连结DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2， cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.1．设P 表示一个点，a 、b 表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题序号是________．①P ∈a ，P ∈α⇒a ⊂α； ②a ∩b ＝P ，b ⊂β⇒a ⊂β；③a ∥b ，a ⊂α，P ∈b ，P ∈α⇒b ⊂α； ④α∩β＝b ，P ∈α，P ∈β⇒P ∈b ；解析：当a ∩α＝P 时，P ∈a ，P ∈α，但a ⊄α，所以①错；a ∩β＝P 时，②错；如图，因为a ∥b ，P ∈b ，所以P ∉a ， 所以由直线a 与点P 确定唯一平面α，又a ∥b ，由a 与b 确定唯一平面β，但β经过直线a 与点P ，所以β与α重合，所以b ⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确． 答案：③④2．(2019·徐州模拟)在正四棱锥V ­ABCD 中，异面直线VA 与BD 所成角的大小为________．解析：如图，设AC ∩BD ＝O ，连结VO ，因为四棱锥V ­ABCD 是正四棱锥，所以VO ⊥平面ABCD ，故BD ⊥VO .又四边形ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面VAC ，所以BD ⊥VA ，即异面直线VA 与BD 所成角的大小为π2.答案：π23．如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是______．(写出所有正确命题的编号)①当0<CQ <12时，S 为四边形；②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形；③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13；④当34<CQ <1时，S 为六边形；⑤当CQ ＝1时，S 的面积为62. 解析：过A 作AM ∥PQ 交DD 1或A 1D 1于M .当0<CQ <12时，M 在DD 1上，连结MQ ，则截面为AMQP ，故①正确．当CQ ＝12时，M 与D 1重合，截面为AD 1QP ，显然为等腰梯形，②正确．当CQ ＝34时，M 在A 1D 1上，且D 1M ＝13.过M 作MR ∥AP 交C 1D 1于R ，则△MD 1R ∽△PBA ，从而D 1R ＝23，即C 1R ＝13，故③正确．当34<CQ <1时，截面为AMRQP ，为五边形，即④错误． 当CQ ＝1时，M 为A 1D 1的中点，截面AMC 1P 为菱形，而AC 1＝3，PM ＝2，故面积为12×3×2＝62，⑤正确． 答案：①②③⑤4．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________．解析：如图所示，AB ＝2，CD ＝a ，设点E 为AB 的中点，则ED ⊥AB ，EC ⊥AB ，则ED ＝AD 2－AE 2＝22，同理EC ＝22.由构成三角形的条件知0<a <ED ＋EC ＝2，所以0<a < 2.答案：(0，2)5.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ， 所以GH ══∥12AD .又BC ══∥12AD ， 故GH ══∥BC . 所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面． 理由如下：由BE ══∥12FA ，G 是FA 的中点知，BE ══∥GF ， 所以EF ══∥BG . 由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面． 又点D 在直线FH 上， 所以C ，D ，F ，E 四点共面．6.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，PA ＝2.求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小．解：(1)因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面PAD ， 又因为PD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PD . 因为PD ＝22＋（22）2＝23，CD ＝2， 所以Rt △PCD 的面积为12×2×23＝2 3.(2)取PB 的中点F ，连结EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．易得AE ＝2，在△AEF 中，由EF ＝2、AF ＝2、AE ＝2知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝π4.因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.。

E A B CD A 1B 1C 1D 12019-2020年高考数学三轮冲刺押题 基础技能闯关夺分必备 平面的性质与直线的位置关系（含解析）【考点导读】1．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。

2．掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。

3．理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。

【基础练习】1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 （3） 。

（1）∵，∴． （2）∵，∴． （3）∵，∴． （4）∵，∴． 2．下列推断中，错误的是 （4） 。

（1） （2），A,B,C 不共线重合 （3）AB B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,（4）3．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ） （3）两条直线可以确定一个平面（ ）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ） （5）两条相交直线可以确定一个平面（ ） （6）三条平行直线可以确定三个平面（ ） （7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ） （8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ） ⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻× 4．如右图，点E 是正方体的棱的中点，则过点E 与直线和都相交的直线的条数是：1 条5．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60º角；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 ③④ 。

6．完成下列证明，已知直线a 、b 、c 不共面，它们相交于点P ，A ∈a ，E AF BC M N DD ∈a ，B ∈b ，E ∈c求证：BD 和AE 是异面直线证明：假设__ 共面于γ，则点A 、E 、B 、D 都在平面_ _内 A ∈a ，D ∈a ，∴__⊂γ. P ∈a ，∴P ∈__.P ∈b ，B ∈b ，P ∈c ，E ∈c ∴_ _⊂γ， __⊂γ，这与____矛盾 ∴BD 、AE__________答案：假设BD 、AE 共面于γ，则点A 、E 、B 、D 都在平面 γ 内。

课时19 平面的基本性质、空间两条直线模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）1.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行， 则这三个平面把空间分成（ ）A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分【答案】C【解析】如图所示,三个平面α、β、γ两两相交，交线分别是a 、b 、c 且a ∥b ∥c.则α、β、γ把空间分成7部分.2．已知直线l ，若直线m 同时满足以下三个条件：m 与l 是异面直线；m 与l 的夹角为定值π3；m 与l 的距离为π.那么，这样的直线m 的条数为( )A ．0B ．2C ．4D ．无穷多个【答案】D【失分点分析】本题借助于异面直线的夹角、距离等概念考查空间想象能力．在空间中，当两条异面直线确定之后，它们之间的夹角与距离也就唯一确定了，此题目实质上是该结论的反面．3．已知a 、b 、c 、d 是四条直线，如果a ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥c ，b ⊥d ，则结论“a ∥b ”与“c ∥d ”中成立的情况是( )A ．一定同时成立B ．至多一个成立C ．至少一个成立D ．可能同时不成立【答案】C【解析】若c 与d 相交或异面，则a ∥b ，若c ∥d ，则a 与b 可能平行、相交或异面，故a ∥b 与c ∥d 中至少有一个成立．4．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45【答案】D5．如图，α∩β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A 、B 、C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M【答案】D【解析】通过A 、B 、C 三点的平面γ，即是通过直线AB 与点C 的平面，M ∈AB .∴M ∈γ，而C ∈γ，又∵M ∈β，C ∈β.∴γ和β的交线必通过点C 和点M .6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面对角线与AD 1成60°的角的有( )A ．10条B ．8条C ．6条D ．4条 【答案】B 【解析】由△AB 1D 1和△ACD 1是等边三角形，则AB 1、B 1D 1、AC 、CD 1分别与AD 1 成60°的角，而BD ∥B 1D 1，DC 1∥AB 1，AC ∥A 1C 1，CD 1∥A 1B ，从而BD 、DC 1、A 1C 1、A 1B 边与AD 1成60°的角，选B.7. 已知a 、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面，则 a 、b 在α上的射影可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正确结论的编号是①②④（写出所有正确结论的编号）.【答案】①②④【解析】①、②、④对应的情况如下：用反证法证明③不可能.8．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定____________个平面．【答案】1或4【解析】分类，如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面，如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，可确定四个．9．如图所示，在三棱锥C－ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．【答案】30°【规律总结】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.10．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出下列五个命题：①直线AC1在平面CC1B1B内；②设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；③由点A、O、C可以确定一个平面；④由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1；⑤若直线l是平面AC内的直线，直线m是平面D1C内的直线；若l与m相交，则交点一定在直线CD上．其中真命题的序号是________．【答案】②④⑤11.设如图所示，空间四边形ABCD 中,E、F、G分别在AB、BC、CD上, 且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1, CG∶GD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.（1）求AH ∶HD ；（2）求证：EH 、FG 、BD 三线共点.[知识拓展]证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线,点看作是两平面的公共点,由公理3得证.12．如图所示，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为1，若点M 在侧棱BB 1上，且AM 与侧面BCC 1B 1所成的角为α。

1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.若点A在平面α内,直线a在平面α内,点A不在直线a上,用符号语言可表示为( A )(A)A∈α,a?α,A?a (B)A∈α,a∈α,A?a(C)A?α,a?α,A?a (D)A∈α,a?α,A?a详细分析:点与线、面的关系用∈、?;线与面的关系用?、?.B项中, “a∈α”错;C项中“A?α”错;D项中“A?a”错.故选A.2.如图,正方体ABCDA1B1C1D1,E,F分别为棱A1B1,BB1的中点,则D1E与CF 的延长线交于一点,此点在直线( B )(A)AD上(B)B1C1上(C)A1D1上(D)BC上详细分析:由平面基本性质知:D1E与CF的交点在平面A1B1C1D1上,也在平面BB1C1C上,故交点在两平面的交线B1C1上.3.下列推断中,错误的是( C )(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α(B)A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB(C)l?α,A∈l?A?α(D)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线?α,β重合详细分析:选项A即为直线l上有两点在平面内,则直线在平面内;选项B即为两平面的公共点在公共直线上;选项D为不共线的三点确定一个平面,故D也对.选C.4.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与HG交于点M,那么( A )(A)M一定在直线AC上(B)M一定在直线BD上(C)M可能在直线AC上,也可能在直线BD上(D)M既不在直线AC上,也不在直线BD上详细分析:点M一定在平面ABC与平面CDA的交线AC上.选A.5.不共线三点A,B,P且P?平面α,AP∩α=A1,BP∩α=B1,AB∩α=O,当点P在空间中变动时,定点O与动直线A1B1的位置关系是. 详细分析:由题意知平面ABP∩α=A1B1,AB∩α=O,所以O∈平面ABP,且O∈α,所以O∈A1B1.答案:O∈A1B16.根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B?α;(2)l?α,m∩α=A,A?l;(3)P∈l,P?α,。