勾股定理探索

勾股数的规律初中数学讲到直角三角形就离不开它的三边关系的一个重要定理：勾股定理。

如果直角三角形的三边a 、b 、c （a ﹤b ﹤c ），由勾股定理可知：222a b c +=，其中a 为勾，b 为股，c 为弦。

一、当勾为奇数时，探求勾股数的规律 1、 列表，观察表中每组勾股数2、归纳规律：（1）每组中a 都是奇数；（2）2a b c =+，212a b -=；（3）c = b+1，212a c +=.由此可得第n 组当a=2n+1时2221(21)12222a n b n n-+-===+,2221(21)122122a n c n n +++===++于是有第n 组勾股数为2n+1、2n 2+2n 、2n 2+2n+1（n 为正整数）。

3、证明：∵22222(21)(22)ab n n n +=+++4232441844n n n n n =+++++ 4232441844n n n n n =+++++22(221)n n =++∴222ab c +=∴2n+1、222n n +、2221n n ++（n为正整数）是一组勾股数。

4、此种形式勾股数的另一种规律表现形式： （1）列表观察（2）归纳规律：略。

当n 为正整数时，勾股数为：22(1)a n n =+-2(1)b n n =+22(1)c n n =++化简后即为：a 、b 、c 分别为2n+1、222nn +、2221n n ++。

（3）证明过程：同前面的证明。

二、当勾为偶数是，探求勾股数的规律 1、列表观察表中每组勾股数 2、 归纳规律：（1）、每组中a （勾）是偶数（第一组较特殊：勾比股大）；（2）、2214,22a abc b -=+=⨯（3）、2c b =+242a +=由此可得第n 组中的2(1)a n =+时，则：2224[2(1)]4224a n b n n -+-===+2224[2(1)]42224a n c n n +++===++[或22c=b+2=(n2n)+2=n 2n+2++]，于是有第n 组勾股数为2(1)n +、22n n +、222n n ++（n为正整数）。

2023探索《勾股定理》说课稿范文（精选5篇）2023探索《勾股定理》说课稿范文（精选5篇）1一、教材分析：（一）教材的地位与作用从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。

从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁；勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用。

根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。

其中情感态度方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。

（二）重点与难点为变被动接受为主动探究，我确定本节课的重点为：勾股定理的探索过程。

限于八年级学生的思维水平，我将面积法（拼图法）发现勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突出重点，合作交流突破难点。

二、教学与学法分析教学方法叶圣陶说过"教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。

"因此教师利用几何直观提出问题，引导学生由浅入深的探索，设计实验让学生进行验证，感悟其中所蕴涵的思想方法。

学法指导为把学习的主动权还给学生，教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。

三、教学过程我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感受其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。

首先，情境导入古韵今风给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板进行合作拼图。

让学生观察并思考三个正方形面积之间的关系？它们围成了怎么样三角形，反映在三边上，又蕴含着怎么样数学奥秘呢？寓教于乐，激发学生好奇、探究的欲望。

第二步追溯历史解密真相勾股定理的探索过程是本节课的重点，依照数学知识的循序渐进、螺旋上升的原则，我设计如下三个活动。

从上面低起点的问题入手，有利于学生参与探索。

学生很容易发现，在等腰三角形中存在如下关系。

第五讲 探索勾股定理一、【基础知识精讲】1．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么222a b c +=即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2．用面积法证明勾股定理：（1）如图，将四个全等的直角三角形拼成正方形。

（Ⅰ）ab c b a S ABCD214)(22⨯+=+=正方形。

(Ⅱ) ab b a cS EFGH214)(22⨯+-==正方形。

∴222b a c +=. ∴222c b a =+3．学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理。

如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形.如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a ，b ，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b －a ），面积为（b －a ）2，四个直角三角形的面积为4×21ab = 2ab.由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，（2）即c 2 =（b －a ）2＋2ab ，则a 2＋b 2 = c 2问题得证.4.勾股定理各种表达式：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c则222b a c +=，222b c a -=，222a c b -=5．勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）用于证明平方关系的问题。

二、【例题精讲】例1：在△ABC 中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=_______； （2）若a=6，c=10，则b=_________；（3）若c=34，a ：b=8：15，则a=________，b=________；（4）△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，若AB=13cm ，AC=5cm ，则CD 的长为____________．例2：如图1-1，在△ABC 中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC 边上的高AD ．例3： 已知：如图，在△ABC 中，∠A=90°，DE 为BC 的垂直平分线，求证：222ACAEBE=-三、【同步练习】★A 组★一、填空题1.在△ABC 中，∠c=90°. (1)若a ＝8,b=15,则c=____；（2）若a=7,c=25,则b=______.7.如图２，一根旗杆在离地９米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部１２米处，求旗杆折断之前有多高？二、选择题1.小红要求△ABC 最长边上的高，测得AB =8 cm ，AC =6 cm ，BC =10 cm ，则可知最长边上的高是( )A.48 cmB.4.8 cmC.0.48 cmD.5 cm 2.满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是( )A 、b 2=c 2－a 2B 、a ∶b ∶c =3∶4∶5C 、∠C =∠A －∠BD 、∠A ∶∠B ∶∠C =12∶13∶15 3.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )A.5，6，7B.1，4，9C.5，12，13D.5，11，124.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x 2则此三角形是直角三角形的x 2的值是( )A.16B.25C.7D.25或75.如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2 m ，m 2+1(m ＞1)那么( )A.△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1B.△ABC 是直角三角形，且斜边长2 为mC.△ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定D.△ABC 不是直角三角形 二、解答题6．已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2+b 2+c 2+338=10a +24b +26c .试判断△ABC 的形状.7．阅读下列解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判定△ABC 的形状.解：∵ a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4 ① ∴c 2(a 2－b 2)=(a 2+b 2)(a 2－b 2) ② ∴c 2=a 2+b 2 ③ ∴△ABC 是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.★B 组★1．在直角三角形ABC 中，∠C=90°，且c+a=9，c-a=4，则b=_________________ 2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠DAB=∠DBA ，若CD=1.5，BD=2.5，求AC 的长。

探索勾股定理及其应用勾股定理是数学中的一个重要定理，它用于描述直角三角形中的边长之间的关系。

勾股定理的发现和应用能够帮助人们更好地解决实际问题，尤其在几何学和物理学领域有着广泛的应用。

本文将探索勾股定理及其应用，并展示一些具体的例子来说明它在实际中的应用。

一、勾股定理的发现和表述勾股定理最早可以追溯到公元前六世纪的古代巴比伦人，在巴比伦的数学文献中就有对勾股定理的记录。

但真正将勾股定理发扬光大的是古希腊数学家毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯给出了勾股定理的一种几何证明，并将其作为三角学的重要基础。

勾股定理的表述非常简洁：在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。

以边长分别为a、b和c的直角三角形为例，勾股定理可以用以下公式表示：a² + b² = c²二、勾股定理的应用勾股定理的应用非常广泛，涉及到几何学、物理学、工程学等领域。

下面将介绍一些常见的应用。

1. 测量三角形的边长勾股定理可以用于测量三角形的边长，特别是在只知道三角形的两个角和一个边长的情况下。

通过勾股定理，我们可以根据两个已知边长的平方和，求得第三个边长的平方，并进一步求得边长的具体数值。

这在实际测量中有着重要的应用，例如测量地图上两点之间的直线距离。

2. 解决几何问题勾股定理可以帮助我们解决各类几何问题，如判断三条边长是否构成直角三角形、判断一个三角形是否为等腰三角形等。

通过应用勾股定理，我们可以快速准确地分析和解决这些问题。

3. 定位和测量在导航和定位领域，勾股定理也起到了重要的作用。

通过勾股定理，我们可以通过已知的距离和角度快速计算位置坐标，实现准确定位。

同时，在测量中，勾股定理也被广泛应用于测量仪器的校准和误差修正。

4. 物理学应用数学中的勾股定理也在物理学中得到了广泛运用。

例如，在研究物体在斜面上滑动时的运动规律时，可以利用勾股定理计算物体在竖直和水平方向上的加速度和速度。

勾股定理也可以应用于研究力学、声学以及光学等领域中。

探索勾股定理及应用勾股定理是数学中的重要定理之一，被广泛应用于几何学和物理学等领域。

它是一种描述直角三角形边长关系的定理。

本文将通过探索勾股定理的由来和应用，展示其在实际问题中的重要性。

一、勾股定理的由来勾股定理最早可以追溯到古代的巴比伦人和古埃及人。

然而，它真正被命名为"勾股定理"是在古希腊时期。

据传，古希腊数学家毕达哥拉斯曾提出并证明了这一定理。

他认为，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

这个发现被后来的数学家们广泛接受，并成为数学中的一个重要基础理论。

二、勾股定理的应用1. 几何学：勾股定理是珠宝行业中几何测量的基础。

通过测量三角形的各边长，使用勾股定理可以计算出三角形的其他重要参数，如角度、面积等。

此外，建筑师、设计师等也需要运用勾股定理来计算建筑物的各种尺寸和角度，确保结构的稳定性和美观性。

2. 物理学：勾股定理在物理学中有广泛的应用。

例如在力学中，它可以用来计算物体的斜向位移、速度和加速度等。

在电磁学中，勾股定理可以帮助我们计算电路中电阻、电容和电感等元件的关系。

此外，勾股定理还可以用于测量声波的频率和振幅，帮助研究员们更好地理解声音的传播和特性。

3. 导航与测量：导航和测量也是勾股定理的实际应用领域之一。

例如，通过使用全球定位系统（GPS）来确定两个地点之间的距离，就是基于勾股定理。

勾股定理还可以应用于测量高楼大厦的高度、测量船只之间的距离等实际场景中。

4. 金融和经济学：勾股定理在金融和经济学中的应用也非常广泛。

例如，在金融市场中，人们常常使用勾股定理来计算投资收益率、标准差和风险等指标。

在经济学中，勾股定理可以被用来计算成本、收入和利润等关键指标。

总结：勾股定理是数学中的重要工具，通过探索勾股定理的由来和应用，我们不难发现它在现实生活中具有广泛的应用。

从几何学到物理学，从导航到金融经济，勾股定理的应用无处不在。

因此，深入研究和了解勾股定理的原理和应用，对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要的意义。

探索勾股定理的证明方法——勾股定理教案。

一、几何方法几何方法是证明勾股定理的传统方法。

勾股定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的，一种传统的几何证明方法即是毕达哥拉斯证明法。

毕达哥拉斯证明法分为五个步骤：第一步：作一直角三角形ABC，将直角边AC、BC上分别做三个正方形ACEF、BCJI、CHKI。

第二步：然后用大正方形AGBE补齐三个正方形，将四个正方形拼成一个边长为a+b的正方形。

第三步：如图，在正方形AGBE中，将三角形ABC旋转180度，得到三角形ABD。

那么三角形ABC的三个角与三角形ABD的三个角相等，即：∠BAC = ∠BAD，∠ABC = ∠ABD，∠ACB = ∠ADB第四步：连接AD，则由于AD垂直BC，所以∠BAD + ∠ACB=90度。

同样地，∠ABD + ∠ABC=90度。

因此∠BAD + ∠ABD + ∠ACB + ∠ABC=180度，即ABCD是一个矩形。

第五步：将矩形ABCD分成两个直角三角形（ABG和CDE），则：AG²=AB²+BG² 和CD²=BC²+BD²合并上述两个等式，则：AG²+CD²=AB²+BG²+BC²+BD²由于ABCD是一个矩形，所以AG=CD，即：a²+b²=c²这些步骤构成了传统的几何证明方法。

虽然这种证明方法过于复杂，但它具有很高的美感，体现了古希腊人严谨的思维方式，也展示了几何证明的魅力。

二、代数方法代数方法也可以证明勾股定理。

证明方法的主要思路是将勾股定理转化为代数问题，利用代数方法解决问题。

我们可以采用如下思路：1.假设有一个边长分别为a、b和c的三角形ABC，其中c是斜边，且c²=a²+b²。

2.用x和y分别表示矩形的长和宽，那么面积S可以表示为：S=x*y3.又因为矩形的对角线等于三角形的斜边c，所以：x²+y²=c²4.将x代入面积公式中，得：S=(c-y)*y5.对上式求导，得：dS/dy=c-2y6.将dS/dy=0代入上式，得：y=c/27.将y代入面积公式S=(c-y)*y中，得：S=c²/48.又由于三角形ABC的面积为：S=(1/2)*a*b9.将c²=a²+b²代入上式，得：S=(1/2)*a*b*(a²+b²)/c²S=(1/2)*a*b*(a²+b²)/(a²+b²)S=1/2*a*b也就是说，矩形的面积等于a、b两边的乘积的一半，同时，三角形的面积也等于a、b两边的乘积的一半。

§探索勾股定理（一）教学目标：1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，了解并掌握勾股定理的内容。

2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生在探索过程中发现问题、总结规律的意识和能力。

重点难点：重点：勾股定理的内容及探究。

难点：勾股定理的发现教学方法：讲练结合、合作交流。

教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题出示投影1 章前的图文）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。

出示投影第一节首电线杆拉线问题，出示课题。

二、做一做1、各学习小组在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边的长，看看三边长的平方之间又怎样的关系小组内进行交流。

教师强调所画三角形尽量是任意三角形。

2、出示P2 书中的P2 图1—2）并回答：（1)观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。

正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。

正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。

(2)你是怎样得出上面的结果的在学生交流回答的基础上教师直接发问：(3)图1—2中，A,B,C之间的面积之间有什么关系学生交流后形成共识，教师板书：A+B=C。

3、出示（书中P2图1—3）提问：（1）图1—3中，A,B,C之间有什么关系（2）从图1—2，1—3，中你发现什么学生讨论、交流形成共识后，教师总结：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。

4、学生讨论：（1）图1—2、1—3中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗（2）你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗在同学的交流基础上，老师板书：直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。

这就是著名的“勾股定理”也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c，a2＋b2=c2,我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。