数学（理）试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}22|22,|log A x Z x B x y x =∈-<<==，则AB =（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}1D ．{}0,1 2. 已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则p ⌝为（ ） A ．,sin 1x R x ∃∈≤ B ．,sin 1x R x ∀∈> C ．,sin 1x R x ∀∈≥ D ．,sin 1x R x ∃∈>3. 已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x =+ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]1,2D ．[]1,3 4. 下列命题中的假命题是（ ）A ．,30xx R ∀∈> B ．00,lg 0x R x ∃∈=C.0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭D ．000,sin cos x R x x ∃∈+=5. 已知函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为（ ） A ．3 B ．6 C. 9 D ．12 6.已知()33,,tan 224ππααπ⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭，则sin cos αα+的值是（ ）A ．15± B ．15 C. 15- D ． 75- 7. 设,a b R ∈，函数()()01f x ax b x =+≤≤，则()0f x >恒成立是20a b +>成立的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件8.过抛物线()240y ax a =>的焦点F 作斜率为1-的直线,l l 与离心率为e 的双曲线()222210x y b a b-=>的两条渐近线的交点分别为,B C .若,,B C F x x x 分别表示,,B C F 的横坐标，且2F B C x x x =-，则e =（ ）A ．6 BC.3 D9.《 九章九术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的体积为（ ）A ．83BC.2 D． 10.定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C.3 D ．4第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知等比数列{}n a 中，141,8a a ==，则其前6项之和为 ．12.已知实数,x y 满足103020x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则24y x --的最大值为 ．13. 函数()2sin cos cos f x x x x =+的减区间是 ．14. 如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ．15.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C的度数成等差数列，b =.（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值.17. （本小题满分12分）已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,()210,2,326n n n a a a S ∈++=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +，数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对,4n n N t T *∀∈≤恒成立，求实数t 的最大值.18. （本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，32BA BC =. （1）若BA 与BC 的夹角为30，求ABC ∆的面积ABC S ∆；（2）若4,AC O =为AC 的中点，G 为ABC ∆的重心（三条中线的交点），且OG 与OD 互为相反向量 求AD CD 的值.19. （本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面,ABC ABC ∆与ACD ∆是边长为2的等边三角形，2,BE BE =和平面ABC 所成的角为60，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上. （1）求证:DE 平面ABC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值.20. （本小题满分13分）已知函数()()()()22ln 1,2x x af x x xg x a R x ++=+-=∈+.（1）求函数()f x 的单调区间及最值；（2）若对()()0,1x f x g x ∀>+>恒成立，求a 的取值范围； （3）求证:()()1111...ln 135721n n N n *++++<+∈+.21. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>，过点Q ⎫⎪⎪⎭作圆221x y +=的切线，切点分别为,S T .直线ST 恰好经过Ω的右顶点和上顶点.（1）求椭圆Ω的方程；（2）如图，过椭圆Ω的右焦点F 作两条互相垂直的弦,AB CD .① 设,AB CD 的中点分别为,M N ，证明: 直线MN 必过定点，并求此定点坐标； ②若直线,AB CD 的斜率均存在时，求由,,,A C B D 四点构成的四边形面积的取值范围.山东省枣庄市2017届高三上学期期末质量检测数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: ADADB 6-10: CADCC二、填空题11.63 12.67 13. 5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦14.1015.三、解答题16. 解：(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+.又,3A B C B ππ++=∴=.)()sin sin sin sin sin sin 3a c A C A A B A A π⎡⎤⎛⎫∴+=+=++=++⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦3sin sin 26A A A π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭.由203A π<<，得5666A πππ<+<.所以当62A ππ+=，即3A π=时，()max a c +=.17. 解：(1)当1n =时，由2326n n n a a S ++=，得2111326a a a ++=，即211320a a -+=.又()10,2a ∈，解得11a =.由2326n n n a a S ++=，可知2111326n n n a a S +++++=. 两式相减，得()2211136n n n n n a a a a a +++-+-=，即()()1130n n n n a a a a +++--=.由于0n a >，可得130n n a a +--=，即13n n a a +-=，所以{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列.所以()13132n a n n =+-=-.(2)由32n a n =- ，可得()()12111111,...323133231n n n n n b T b b b a a n n n n +⎛⎫===-=+++ ⎪-+-+⎝⎭1111111...3447323131n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为()()()1110311313134n n n n T T n n n n ++-=-=>+++++，所以1n n T T +>，所以数列{}n T 是递增数列. 所以1141444n n t t t T T T t ≤⇔≤⇔≤=⇔≤，所以实数t 的最大值是1. 18. 解：(1)3232,cos3032,cos30BA BC BABC BA BC =∴=∴==， 111sin 30222ABC S BA BC ∆∴===(2) 以O 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则()()2,0,2,0A C -，设(),D x y ，则(),OD x y =，因为OG 与OD 互为相反向量，所以(),OG x y =--.因为G 为ABC ∆的重心，所以()33,3OB OG x y ==--，即()()()3,3,32,3,32,3B x y BA x y BC x y --∴=-=+,因此22949BA BC x y =-+.由题意，2294932x y -+=,即224x y +=.()()222,2,40AD CD x y x y x y ∴=+-=+-=.19. 解：(1) 由题意知，,ABC ACD ∆∆都是边长为2 的等边三角形，取AC 中点O ，连接,BO DO ，则,BO AC DO AC ⊥⊥.又平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD平面,ABC AC DO =⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC .作EF ⊥平面ABC 于F .由题意，点F 落在BO 上，且60EBF ∠=.在Rt BEF ∆中，sin 2EF BE EBF =∠==.在Rt DOC ∆中，sin 2DO DC DCO =∠==.因为DO ⊥平面,ABC EF ⊥平面ABC ，所以DO EF ，又DO EF =，所以四边形DEFO 是平行四边形.所以DE OF .又DE ⊄平面,ABC OF ⊂平面ABC ，所以DE 平面ABC.(2) 作FG BC ⊥，垂足为G ，连接EG ,EF ⊥平面,ABC EF BC ∴⊥.又,,EF FG F FG BC BC =⊥∴⊥平面EFG .所以BC EG ⊥.所以EGF ∠就是二面角E BC A --的一个平面角.在Rt BGF ∆中，1sin 1sin 302FG FB FBG =∠=⨯=.在Rt EFB ∆中，sin 2sin 603EF EB EBF =∠=⨯=.在Rt EFG ∆中，FG EG EGF EG ==∠===,即二面角E BC A--的余. 20. 解：(1)()f x 的定义域为()()()()11,,'1.'010;'0011x f x f x x f x x x x-+∞=-=->⇔-<<<⇔>++,所以函数()f x 的增区间为()1,0-,减区间为()0,+∞.()()max 00f x f ==,无最小值.(2) ()()()220,10,ln 112x x ax f x g x x x x x ++∀>+>⇔∀>+-+>+()()()0,ln 110,21ln 12ax x x a x x x ⇔∀>++>⇔∀>>+-+⎡⎤⎣⎦+,令()()()21ln 1h x x x =+-+⎡⎤⎣⎦.则()()()21'1ln 1ln 111x h x x x x x +=-+-=-+-++.当0x >时，显然()()1'ln 101h x x x =-+-<+，所以()h x 在()0,+∞上是减函数.所以当0x >时，()()02h x h <=.所以，a 的取值范围为[)2,+∞.（3）又（2）知，当2,0a x =>时，()2ln 112x x ++>+，即()()ln 12xx x +>*+. 在()*式中，令()1x k N k *=∈，得11ln 12k k k k+>+，即11ln 21k k k +>+，依次令1,2,3,...k n =，得21314111ln ,ln ,ln ,...,ln13253721n n n +>>>>+.将这n 个式子左右两边分别相加，得()1111ln 1 (35721)n n +>+++++.21.解：(1)过⎫⎪⎪⎭作圆221x y +=的切线，一条切线为直线1y =，切点()0,1S .设另一条切线为1y k x ⎛-= ⎝，即2220kx y -+-=.因为直线与圆221x y +=1.解得k =-.所以切线方程为3y =-+.由2231y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，解得13T ⎫⎪⎪⎭，直线ST 的方程为)10y x -=-,即1y x =.令0x =，则1y =所以上顶点的坐标为()0,1，所以1b =；令0y =，则x =)，所以a =圆Ω的方程为2212x y +=.(2) ①若直线 ,AB CD 斜率均存在，设直线()()()1122:1,,,,AB y k x A x y B x y =-, 则中点 1212,122x x x x M k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 先考虑0k ≠ 的情形.由()221220y k x x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩得()2222124220k xk x k +-+-=.由直线AB 过点()1,0F ，可知判别式0∆>恒成立.由韦达定理，得2122412k x x k +=+，故2222,1212k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，将上式中的k 换成1k -，则同理可得222,22k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.若22222122k k k =++，得1k =±，则直线 MN 斜率不存在. 此时直线MN 过点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.下证动直线MN 过定点2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.② 当直线,AB CD 的斜率均存在且不为0时， 由①可知，将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得 ()2222124220k x k x k +-+-=,所以2AB x =-==2221k+==.同理，221121k CD k⎫+⎪⎝⎭==+， ()()22242221411122122225k k k S AB CD k k +++===++四边形全优好卷全优好卷 222222114422211252121k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为22121219k k k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1k =±时取等号，所以22221620,2299112121k k k k <≤≤-<⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1629S ≤<四边形. 所以，由,,,A C B D 四点构成的四边形面积的取值范围为16,29⎡⎫⎪⎢⎣⎭.。
