_学年高中数学第三章导数及其应用3.3_3.3.1函数的单调性与导数练习新人教A版选修1_1

3.3.3 函数的最大(小)值与导数如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．思考：若函数f(x)在区间[a，b]上只有一个极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值吗？[提示]根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．下列说法正确的是( )A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值D[极值有可能是最值，但最值未必是极值，故选D．]2．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是()A ．π－1B ．π2－1C ．πD ．π＋1C[y ′＝1－cos x >0，故函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π是增函数，因此当x ＝π时，函数有最大值，且y max ＝π－sin π＝π.]3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2D ．4C [f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2. 由f (－1)＝－2，f (0)＝2，f (1)＝0得f (x )max ＝f (0)＝2.]求函数的最值(1)f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5，x ∈[－2,1]； (2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]．[解] (1)f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝2，又x ∈[－2,1]，故x ＝－1，且f (－1)＝12. 又因为f (－2)＝1，f (1)＝－8，所以，当x ＝－1时，f (x )取最大值12； 当x ＝1时，f (x )取最小值－8. (2)∵f (x )＝3e x－e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e xx ) ＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x(x ＋3)(x －1)．∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)＜0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减，∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.求函数在闭区间上最值的步骤 1求f ′x ，解方程f ′x ＝0；2确定在闭区间上方程f ′x ＝0的根； 3求极值、端点值，确定最值.[跟进训练]1．求函数f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]上的最大值和最小值．[解] f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，且x ∈[0,2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0 ⎝⎛⎭⎫0，2π32π3 ⎝⎛⎭⎫2π3，4π3 4π3 ⎝⎛⎭⎫4π3，2π 2π f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗ππ3＋322π3－32∴当x＝0时，f(x)有最小值，为f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值，为f(2π)＝π.由函数的最值求参数值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0时，且x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x －1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b ↗ b ↘－16a＋b[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. 已知函数最值求参数值范围的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值范围是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围.[跟进训练]2．设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求a ，b 的值．[解] 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0) 0 (0，a ) a (a,1) 1 f ′(x )＋－0 ＋f (x )－1－32a ＋b ↗b↘－a 32 ＋b↗1－32a ＋b由表可知，f (x )的极大值为f (0)＝b ，极小值为f (a )＝b －a 32，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)及f (－1)与f (a )的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ＝1.又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，a ＝63.所以a ＝63，b ＝1.与最值有关的恒成立问题1．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若f (x )≥c 或f (x )≤c 恒成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )min 或c ≥f (x )max .2．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x )≥c 或f (x )≤c 成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )max 或c ≥f (x )min .【例3】 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． [思路点拨] (1)利用配方法，即可求出二次函数f (x )的最小值h (t )；(2)构造函数g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )，只需使g (t )在(0,2)上的最大值小于零即可求得m 的取值范围．[解] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g(t)在(0,2))<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？[解] 令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，等价于g (t )的最小值g (2)<0.∴－3－m <0， ∴m >－3，所以实数m 的取值范围为(－3，＋∞)． 分离参数求解不等式恒成立问题1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题． 1．判断正误(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× 2．函数y ＝ln x x的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D ．103A [函数y ＝ln xx的定义域为(0，＋∞)．y ′＝1－ln x x 2，由1－ln x x2＝0得x ＝e ， 当0<x <e 时，y ′>0， 当x >e 时，y ′<0.因此当x ＝e 时，函数y ＝ln x x 有最大值，且y max ＝1e ＝e －1.]3．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为( )A ．2B ．4C ．18D ．20D [f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0得x ＝±1. 当0≤x <1时，f ′(x )<0； 当1<x ≤3时，f ′(x )>0.则f (1)最小，又f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，f (3)>f (0)，所以最大值为f (3)，即M ＝f (3)， N ＝f (1)，所以M －N ＝f (3)－f (1)＝(18－a )－(－2－a )＝20.]4．设函数f (x )＝12x 2e x，x ∈[－2,2]，若f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．[解] f′(x)＝x e x＋12x2e x＝e x2x(x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：当x＝0时，min要使f(x)>m对x∈[－2,2]恒成立，只需m<f(x)min，∴m<0，即实数m的取值范围为(－∞，0)．。

高中数学第三章导数及其应用3.3.1函数的单调性与导数练习含解析新人教A 版选修11[学生用书P129(单独成册)])[A 基础达标]1．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是( )A ．f (b )＞f (c )＞f (d )B ．f (b )＞f (a )＞f (e )C ．f (c )＞f (b )＞f (a )D ．f (c )＞f (e )＞f (d )解析：选C.依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )＞0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上单调递增，在(c ，e )上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，又a ＜b ＜c ，所以f (c )＞f (b )＞f (a )．2．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－3)，(1，＋∞)D ．(－3，1)解析：选D.f ′(x )＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x ，由f ′(x )＝(－x 2－2x ＋3)e x ＞0，解得－3＜x ＜1，故函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间为(－3，1)．3．三次函数y ＝f (x )＝ax 3－1在R 上是减函数，则( )A ．a ＝1B ．a ＝2C ．a ≤0D ．a ＜0 解析：选D.y ′＝3ax 2，要使f (x )在R 上为减函数，则y ′≤0在R 上恒成立，即a ≤0，又a ＝0时，y ′＝0恒成立，所以a ≠0.综上a ＜0.4．函数f (x )＝12x ＋cos x 的一个单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3 解析：选A.由f (x )＝12x ＋cos x 得f ′(x )＝12－sin x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，π6时，f ′(x )>0，故函数f (x )＝12x ＋cos x 的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，π6.故选A. 5．若f (x )＝ln x x，e ＜a ＜b ，则( ) A ．f (a )＞f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )＜f (b )D ．f (a )f (b )＞1解析：选A.因为f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2， 当x ∈(e ，＋∞)时，1－ln x ＜0，所以f ′(x )＜0，所以f (x )在(e ，＋∞)内为单调递减函数．故f (a )＞f (b )．故选A.6．若函数f (x )＝e x x，则f (x )的单调递减区间为________． 解析：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x （x －1）x 2，令f ′(x )＜0，得x ＜0或0＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(0，1)．答案：(－∞，0)和(0，1)7．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝________，c ＝________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1，2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，联立解得b ＝－32，c ＝－6. 答案：－32－6 8．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为________．解析：设g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2.因为对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，所以g ′(x )＞0.所以g (x )在R 上为增函数.又g (－1)＝f (－1)＋2－4＝0，所以x ＞－1时，g (x )＞0.所以由f (x )＞2x ＋4，得x ＞－1.答案：(－1，＋∞)9．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0. (1)求a 和b 的值；(2)试确定函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ， 所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝－4，f ′（1）＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0. 解得a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)得f (x )＝13x 3＋x 2－3x ，x ∈R ， f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)．由f ′(x )＞0得x ＞1或x ＜－3；由f ′(x )＜0得－3＜x ＜1.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3，1)．[B 能力提升]10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若a 2－3b <0，则f (x )是( )A ．减函数B ．增函数C ．常数函数D ．既不是减函数也不是增函数解析：选B.由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的根的判别式Δ＝4a 2－12b ＝4(a 2－3b )<0，故f ′(x )>0在R 上恒成立，即f (x )在R 上为增函数． 11．函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y＝f ′(x )，则不等式f ′(x )<0的解集为________．解析：函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1和区间(2，3)上单调递减，所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1和区间(2，3)上，y ＝f ′(x )<0，所以f ′(x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1∪(2，3)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1∪(2，3)12．设函数f (x )＝ax －ax －2ln x .(1)若f ′(2)＝0，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，因为 f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ，且f ′(2)＝0，所以a ＋a4－1＝0，所以a ＝45.所以f ′(x )＝45＋45x 2－2x＝25x 2(2x 2－5x ＋2)．令f ′(x )≥0，解得0＜x ≤12或x ≥2；令f ′(x )≤0，解得12≤x ≤2，所以f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12和[2，＋∞)，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.(2)若f (x )在定义域上是增函数，则f ′(x )≥0恒成立，因为f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ＝ax 2－2x ＋a x 2，所以需ax 2－2x ＋a ≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a 2≤0，解得a ≥1.所以a 的取值范围是[)1，＋∞.13．(选做题)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝－1时，证明：当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋2＞0.解：(1)根据题意知，f ′(x )＝a （1－x ）x(x ＞0)，当a ＞0时，则当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；同理，当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)；当a ＝0时，f (x )＝－3，不是单调函数，无单调区间．(2)证明：当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋x －3，所以f (1)＝－2，由(1)知f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)．即f (x )＞－2，所以f (x )＋2＞0.。

【2019最新】高中数学第三章导数及其应用3-3-1函数的单调性与导数达标练函数的单调性与导数1.命题甲:对任意x∈(a,b),有f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.f(x)=x3在(-1,1)内是单调递增的,但f′(x)=3x2≥0(-1<x<1),故甲是乙的充分不必要条件.2.函数y=x3+x的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(-∞,+∞)【解析】选D.因为y′=3x2+1>0恒成立,所以函数y=x3+x在(-∞,+∞)上是增函数.3.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选C.y′=3x2+2x+m,由条件知y′≥0在R上恒成立,所以Δ=4-12m≤0,所以m≥.4.若在区间(a,b)内有f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有( )A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)=0D.不能确定【解析】选 A.因为在区间(a,b)内有f′(x)>0,且f(a)≥0,所以函数f(x)在区间(a,b)内是递增的,且f(x)>f(a)≥0.5.求函数f(x)=2x2-lnx的单调区间.【解析】由题设知函数f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=4x-=,由f′(x)>0,得x>,由f′(x)<0,得0<x<,所以函数f(x)=2x2-ln x的单调递增区间为,单调递减区间为.。

选修1-1第三章3.3一、选择题1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是导学号 92600712 ( )A．12；－8 B．1；－8C．12；－15 D．5；－16[答案] A[解析]y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.∴y max＝12，y min＝－8.故选A．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)导学号 92600713( )A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值[答案] D[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1,1)，∴f′(x)<0，即函数在(－1,1)上是减少的，∴既无最大值，也无最小值．3．函数f(x)＝3x－x3(－3≤x≤3)的最大值为导学号 92600714( )A．18 B．2C．0 D．－18[答案] B[解析]f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，－3≤x<－1时，f′(x)<0，－1<x<1时，f′(x)>0,1<x≤3时，f′(x)<0，故函数在x＝－1处取极小值，在x＝1处取极大值．∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－3)＝0，f(3)＝－18，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为导学号 92600715( )A ．2B ．4C ．18D ．20[答案] D[解析]f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.f (0)＝－a, f (1)＝－2－a, f (3)＝18－a ，∴f (x )max ＝18－a ，f (x )min ＝－2－a ， ∴18－a －(－2－a )＝20.5．下列说法正确的是导学号 92600716( ) A ．函数的极大值就是函数的最大值 B ．函数的极小值就是函数的最小值 C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 [答案] D[解析] 根据最大值、最小值的概念可知选项D 正确．6．函数f (x )＝ln x －x 在区间[0，e]上的最大值为导学号 92600717( ) A ．－1 B ．1－e C ．－e D ．0[答案] A[解析]f ′(x )＝1x －1＝1－xx，令f ′(x )>0，得0<x <1， 令f ′(x )<0，得1<x <e ，∴f (x )在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴当x ＝1时，f (x )取极大值，这个极大值也是最大值．∴f (x )max ＝f (1)＝－1.二、填空题7．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2e x 的值域是________.导学号 92600718[答案] [0，e][解析]f ′(x )＝2x ·e x －x 2·e x e x 2＝2x －x2e x ， 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2.f (－1)＝e, f (0)＝0, f (1)＝1e，∴f (x )max ＝e, f (x )min ＝0， 故函数f (x )的值域为[0，e]． 8．若函数f (x )＝3x －x 3＋a ，－3≤x ≤3的最小值为8，则a 的值是________.导学号 92600719[答案] 26[解析]f ′(x )＝3－3x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.f (1)＝2＋a ，f (－1)＝－2＋a .又f (－3)＝a ，f (3)＝－18＋a .∴f (x )min ＝－18＋a .由－18＋a ＝8.得a ＝26. 三、解答题9．(2016·某某某某市高二检测)已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋3ax 在x ＝1时取得极值.导学号 92600720(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式f (x )－k ≤0在区间[0,4]上恒成立，某某数k 的取值X 围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－4ax ＋3a ， 由题意得f ′(1)＝3－4a ＋3a ＝0，∴a ＝3. 经检验可知，当a ＝3时f (x )在x ＝1时取得极值． (2)由(1)知， f (x )＝x 3－6x 2＋9x ， ∵f (x )－k ≤0在区间[0,4]上恒成立， ∴k ≥f (x )max 即可．f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)＝3(x －1)(x －3)，令f ′(x )>0，得3<x <4或0<x <1， 令f ′(x )<0，得1<x <3.∴f (x )在(0,1)上递增，(1,3)上递减，(3,4)上递增，∴当x ＝1时， f (x )取极大值f (1)＝4，当x ＝3时， f (x )取极小值f (3)＝0. 又f (0)＝0，f (4)＝4， ∴f (x )max ＝4，∴k ≥4.一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为导学号 92600721( ) A ．239B ．229C ．329D ．38[答案] A[解析]f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0,1]， ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫33＝239，f (0)＝f (1)＝0. ∴f (x )max ＝239.2．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上图象连续不断且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为导学号 92600722( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )[答案] A[解析] 令u (x )＝f (x )－g (x )， 则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴u (x )在[a ，b ]上为单调减少的， ∴u (x )的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )．3．设在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a ，b ]上存在导数，有下列三个命题：①若f (x )在[a ，b ]上有最大值，则这个最大值必是[a ，b ]上的极大值； ②若f (x )在[a ，b ]上有最小值，则这个最小值必是[a ，b ]上的极小值； ③若f (x )在[a ，b ]上有最值，则最值必在x ＝a 或x ＝b 处取得． 其中正确的命题个数是导学号 92600723( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] 由于函数的最值可能在区间[a ，b ]的端点处取得，也可能在区间[a ，b ]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．4．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为导学号 92600724( ) A ．[f (0)，f (5)] B ．[f (0)，f (23)]C ．[f (23)，f (5)]D ．[c ，f (5)][答案] C[解析]f ′(x )＝6x －4，令f ′(x )＝0，则x ＝23，0<x <23时，f ′(x )<0，x >23时，f ′(x )>0，得f (23)为极小值，再比较f (0)和f (5)与f (23)的大小即可．二、填空题5．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是________.导学号 92600725[答案] －10[解析]f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝2.但x ∈[0,3]，∴x ＝－1舍去，∴x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表，知f (x )max ＝5，f (x )min ＝－15， 所以f (x )max ＋f (x )min ＝－10.6．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)，x ∈[1,4]，f (x )的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.导学号 92600726[答案]103[解析]f ′(x )＝4ax 3－12ax 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，或x ＝3.1<x <3时，f ′(x )<0,3<x <4时，f ′(x )>0，故x ＝3为极小值点． ∵f (3)＝b －27a ，f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ，∴f (x )的最小值为f (3)＝b －27a ，最大值为f (4)＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.导学号 92600727(1)求a 、b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．[解析] (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 而由切线方程y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－22a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4.∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )、 f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.8．设f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5.导学号 92600728(1)求函数f (x )的单调递增、递减区间；(2)当x ∈[－1,2]时， f (x )<m 恒成立，某某数m 的取值X 围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0⇒x ＝1或x ＝－23.所以当x ∈(－∞，－23)时f ′(x )>0, f (x )为增函数；当x ∈(－23，1)时， f ′(x )<0, f (x )为减函数．当x ∈(1，＋∞)时， f ′(x )>0, f (x )为增函数．所以f (x )的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，f (x )的递减区间为(－23，1)．(2)当x ∈[－1,2]时， f ′(x )<m 恒成立，只需使f (x )在[－1,2]上的最大值小于m 即可．由(1)知f (x )极大值＝f (－23)＝5＋2227，f (x )极小值＝f (1)＝72.又f (－1)＝112， f (2)＝7，所以f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 所以m >7.。

导数与单调性一、选择题1．函数y ＝f (x )在定义域[－4,6]内可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，那么不等式f ′(x )≤0的解集为( )A ．[－43，1]∪[113，6]B ．[－3,0]∪[73，5]C ．[－4，－43]∪[1，73]D ．[－4，－3]∪[0,1]∪[5,6]解析：不等式f ′(x )≤0的解集即函数y ＝f (x )的减区间，由图知y ＝f (x )的减区间为[－43，1]，[113，6]，故 f ′(x )≤0的解集为[－43，1]∪[113，6]答案：A2．假设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，那么函数f ′(x )的图象是( )解析：f ′(x )＝2x ＋b ，由于函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，∴x ＝－b2×1>0，∴b <0，应选A. 答案：A3．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：f ′(x )＝e x＋(x －3)e x＝e x(x －2)， 由f ′(x )>0，得x >2.∴f (x )在(2，＋∞)上是增函数． 答案：D4．[2021·卷] 以下函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log(x ＋1) 答案：A5．函数f (x )＝x －2ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(2，＋∞)C ．(0,2)D ．(－∞，0)和(2，＋∞)解析：函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－2x ，令1－2x<0，解得0<x <2，即减区间为(0,2)．答案：C6．函数f(x)＝x＋ln x，那么有( )A．f(e)<f(3)<f(2) B．f(3)<f(e)<f(2) C．f(e)<f(2)<f(3) D．f(2)<f(e)<f(3)解析：f′(x)＝12x＋1x，∴x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又2<e<3，∴f(2)<f(e)<f(3)，应选D.答案：D7．假设函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，那么实数a的取值范围是( ) A．a≥1 B．a＝1C．a≤1 D．0<a<1解析：f′(x)＝3x2－2ax－1.∵f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1<0在(0,1)内恒成立．∴f′(0)≤0，f′(1)≤0.∴a≥1.应选A.答案：A8．f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，且f(－1)＝0，那么f(x)g(x)<0的解集为( )A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－1,0)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)解析：令F(x)＝f(x)g(x)，那么F(x)为奇函数，且当x<0时，F′(x)<0，即F(x)在(－∞，0)上为减函数．又∵f(－1)＝0，即F(－1)＝0.∴F (x )＝f (x )g (x )<0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案：A 二、填空题9．函数f (x )＝sin x －2x 在(－∞，＋∞)上是________(填增、减)函数． 解析：∵f ′(x )＝cos x －2<0，∴f (x )在R 上为减函数． 答案：减 10．函数y ＝ex ＋1－x 的单调递减区间是________．解析：定义域为R ，且y ′＝e x ＋1－1，令y ′<0，即ex ＋1－1<0，∴x ＋1<0，x <－1，故递减区间是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)11．函数f (x )＝2ln x －x 2的单调递增区间是________．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2x ，令2x－2x >0，解得x <－1，或者0<x <1，又∵x >0，故函数的递增区间是(0,1)． 答案：(0,1)12．假设f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，那么b 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝－x ＋bx ＋2，∵f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立， ∴b ≤x (x ＋2)在x ∈(－1，＋∞)上恒成立． 又x ∈(－1，＋∞)时，x (x ＋2)>－1， ∴b ≤－1. 答案：(－∞，－1] 三、解答题13．[2021·卷] 设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；13.解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x＝x e x －2e x x 3－k 〔x －2〕x 2＝〔x －2〕〔e x－kx 〕x3. 由k ≤0可得e x－kx >0，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．14．设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R ，假设f (x )在区间(－∞，0)上为增函数，求a 的取值范围．解：由于f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)， 分以下两种情况讨论．(1)假设a <1，那么当x ∈(－∞，a )∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 因此函数f (x )在(－∞，a )和(1，＋∞)上是增函数． 显然，当0≤a <1时，f (x )在区间(－∞，0)上为增函数． (2)假设a ≥1，那么当x ∈(－∞，1)∪(a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 因此函数f (x )在(－∞，1)和(a ，＋∞)上是增函数． 显然，此时f (x )在区间(－∞，0)上一定为增函数． 故当a ∈[0，＋∞)时，f (x )在区间(－∞，0)上为增函数． 15．f (x )＝e x－ax －1. (1)求f (x )的单调区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由．解：(1)∵f ′(x )＝e x－a ，令f ′(x )≥0，得e x≥a ， 当a ≤0时，有f ′(x )≥0在R 上恒成立； 当a >0时，有x ≥ln a .综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间是(－∞，＋∞)，当a >0时，f (x )的单调递增区间是[ln a ，＋∞)，递减区间是(－∞，ln a ]． (2)f ′(x )＝e x－a .假设f (x )在(－∞，0]上单调递减，那么e x－a ≤0在(－∞，0]上恒成立，即a ≥e x， 而当x ∈(－∞，0]时，e x≤1，∴a ≥1； 假设f (x )在[0，＋∞)上递增， ∴e x－a ≥0在[0，＋∞)上恒成立．即a ≤e x，而当x ∈[0，＋∞)时，e x≥1.∴a ≤1. 综上可得a ＝1，故存在a ＝1满足条件． [拓展延伸]16．求证：x >1时，x >ln(1＋x )． 证明：设f (x )＝x －ln(1＋x )， 那么f ′(x )＝1－11＋x ＝x1＋x ，∵x ≥1时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴当x >1时，f (x )＝x －ln(1＋x )>f (1)＝1－ln2>1－lne ＝0，∴f (x )>0，即x >ln(1＋x )(x >1)．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

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3.1 函数的单调性与导数［课时作业］[A组基础巩固］1．已知e为自然对数的底数，函数y＝x e x的单调递增区间是（)A．［－1,＋∞）B．(－∞，－1］C．[1，＋∞）D．（－∞，1］解析：∵y′＝e x＋x e x＝e x（x＋1)，由y′≥0，∴x≥－1，故递增区间为［－1,＋∞)．答案：A2．若f（x）＝错误!，e〈a〈b，则( )A．f(a)>f（b) B．f（a)＝f（b)C．f（a）<f(b）D．f（a)f（b）〉1解析：f′(x)＝错误!，当x〉e时，f′(x)〈0，则f（x)在(e，＋∞)上为减函数，f(a)>f （b)．答案：A3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( ）A．a≥1 B．a＝1C．a≤1 D．0〈a〈1解析：∵f′(x）＝3x2－2ax－1，又f（x)在(0，1)内单调递减,∴不等式3x2－2ax－1〈0在（0，1）内恒成立，∴f′（0）≤0，且f′(1）≤0,∴a≥1。