广东省广州市普通高中2017高考高三数学第一次模拟试题精选：圆锥曲线02 含答案

圆锥曲线101.如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹解：（1）设M （y 20,y 0），直线ME的斜率为k(l>0)（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x x ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122().9273y x x =-> 2．如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.解：（1）设切点A 、B 坐标分别为2201110(,)(,)(()x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，222201010101014(),3333P pP G x y y y y x x x x x x x x y -+++++-====所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x 所以P 点到直线BF的距离为：22111111221||11|()|()||42124x x x x x x d x -++===+所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的方程：202000011114(0),()0,4044x y x x x x y x x --=---+=-即 直线BF 的方程：212111111114(0),()0,4044x y x x x x y x x --=---+=-即 所以P 点到直线AF 的距离为：22201010010001120111|()()||)()||24124x x x x x x x x x x x d x +---++-===+ 同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB.3. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。

圆锥曲线0223、已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是 【答案】2-【解析】抛物线的焦点坐标为(1,0)。

圆的标准方程为222()424m m x y ++=+，所以圆心坐标为(,0)2m -，所以由12m-=得2m =-。

24、双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角的大小等于_______ 【答案】3π【 解析】双曲线的渐近线为3y x =±。

3y x =的倾斜角为6π，所以两条渐近线的夹角为263ππ⨯=。

25、设点P 在曲线22y x =+上，点Q 在曲线y =PQ 的最小值为_______【答案】427 【 解析】在第一象限内，曲线22+=x y 与曲线2-=x y 关于直线y =x 对称，设P 到直线y =x 的距离为d ，则|PQ |=2d ，故只要求d 的最小值d =2)(2|2|2||472212+--+-==x x x x y ，当12x =时，d min ,所以|PQ |min4=26、若双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线过点P (1, 2)，则b 的值为_________．【答案】4【 解析】双曲线的渐近线方程为2by x =±，因为点P (1, 2)在第一象限，所以点P (1, 2)在渐近线2b y x =上，所以有22b=，所以4b =。

27、已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m (m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为 ． 【答案】6448(,)2525【 解析】抛物线的焦点坐标(,0)2p F ，准线方程为2p x =-。

因为1()52pMF =--=，所以解得8p =。

所以抛物线方程为216y x =，即216m =，所以4m =。

即(1,4)M ，则直线MF 的方程为43160x y +-=，斜率为43-。

2017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（1+i）2+的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．若集合M={x||x|≤1}，N={y|y=x2，|x|≤1}，则（）A．M=N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N=∅3．已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7，则|PF2|等于（）A．1 B．13 C．4或10 D．1或136．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．7．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．8．已知F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（0，）D．（0，）9．已知p：∃x＞0，e x﹣ax＜1成立，q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π11．若直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），且|x1﹣x2|=，则线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=x3﹣，则的值为（）A．0 B．504 C．1008 D．2016二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是．14．（3﹣x）n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为（用数字填写答案）15．已知函数f（x）=，若|f（a）|≥2，则实数a的取值范围是．=a p+a q，16．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=2，对任意p、q∈N*，都有a p+q则f（n）=（n∈N*）的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．18．近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满意合计对商品满意80对商品不满意合计200（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX．附：K2=（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63519．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，求二面角B﹣AD ﹣E的余弦值．20．过点P（a，﹣2）作抛物线C：x2=4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）证明：x1x2+y1y2为定值；（Ⅱ）记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（1+i）2+的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（1+i）2+=2i+=2i+1﹣i=1+i的共轭复数是1﹣i．故选：B．2．若集合M={x||x|≤1}，N={y|y=x2，|x|≤1}，则（）A．M=N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N=∅【考点】集合的表示法．【分析】化简N，即可得出结论．【解答】解：由题意，N={y|y=x2，|x|≤1}={y|0≤y≤1}，∴N⊆M，故选C．3．已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，∵a3，成等差数列，∴，则，化简得，q2﹣q﹣1=0，解得q=，则q=，∴====，故选A．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量k，n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3；第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，故输出k值为3，故选：B5．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7，则|PF2|等于（）A．1 B．13 C．4或10 D．1或13【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．由双曲线的定义可得||PF2|﹣7|=6，∴|PF2|=1或13，故选C．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D．故选：D．7．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】求出基本事件的个数，即可求出没有相邻的两个人站起来的概率．【解答】解：五个人的编号为1，2，3，4，5．由题意，所有事件，共有25=32种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有（1），（2），（3），（4），（5），（1，3），（1，4），（2，4），（2，5），（3，5），再加上没有人站起来的可能有1种，共11种情况，∴没有相邻的两个人站起来的概率为，故选：C．8．已知F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（0，）D．（0，）【考点】椭圆的简单性质．【分析】由∠F1PF2为钝角，得到•＜0有解，转化为c2＞x02+y02有解，求出x02+y02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设P（x0，y0），则|x0|＜a，又F1（﹣c，0），F2（c，0），又∠F1PF2为钝角，当且仅当•＜0有解，即（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=（﹣c﹣x0）（c﹣x0）+y02＜0，即有c2＞x02+y02有解，即c2＞（x02+y02）min．又y02=b2﹣x02，∴x02+y02=b2+x02∈[b2，a2），即（x02+y02）min=b2．故c2＞b2，c2＞a2﹣c2，∴＞，即e＞，又0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：A．9．已知p：∃x＞0，e x﹣ax＜1成立，q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用导数研究p的单调性可得a＞0．q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则a﹣1＞1，解得a＞2．即可判断出结论．【解答】解：p：∃x＞0，e x﹣ax＜1成立，则a，令f（x）=，则f′（x）=．令g（x）=e x x﹣e x+1，则 g（0）=0，g′（x）=xex＞0，∴g（x）＞0，∴f′（x）＞0，∴a＞0． q：函数 f（x）=﹣（a﹣1）x 是减函数，则 a﹣1＞1，解得 a＞2． 则 p 是 q 的必要不充分条件． 故选：B．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 P﹣ABC 为鳖臑，PA⊥平面 ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ）A．8π B．12π C．20π D．24π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，PC 为球 O 的直径，求出 PC，可得球 O 的半径，即可求出球 O的表面积．【解答】解：由题意，PC 为球 O 的直径，PC==2 ，∴球 O 的半径为 ，∴球 O 的表面积为 4π•5=20π，故选 C．11．若直线 y=1 与函数 f（x）=2sin2x 的图象相交于点 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 且|x1﹣x2|= ，则线段 PQ 与函数 f（x）的图象所围成的图形面积是（ ）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象． 【分析】根据直线 y=1 与函数 f（x）=2sin2x 的图象相交于点 P（x1，y1），Q（x2， y2），求解 x1，x2 的值，利用定积分即可求解线段 PQ 与函数 f（x）的图象所围成 的图形面积． 【解答】解：函数 f（x）=2sin2x， 周期 T=π，令 2sin2x=1，解得：x=或，直线 y=1 与函数 （f x）=2sin2x 的图象相交于点从左向右依次是 ， ， …，∵|x1﹣x2|=令 x1= ，x2=，可得：线段 PQ 与函数 f（x）的图象所围成的图形面积S=﹣2﹣2=．故选 A12．已知函数 f（x）=x3﹣，则的值为（ ）A．0 B．504 C．1008 【考点】数列的求和．D．2016【分析】使用二项式定理化简得 （f x）═（x﹣ ）3+ ．根据与互为相反数便可得出答案．【解答】解：f（x）=x3﹣=x3﹣ x2+ x﹣ + =（x﹣ ）3+ ．∵+=0，k=1，2，…2016．∴（﹣ ）3+（）3=0，k=1，2，…2016．∴=故选：B．=504．二、填空题：本小题共 4 题，每小题 5 分．13．已知| |=1，| |= ，且 ⊥（ ﹣ ），则向量 与向量 的夹角是．【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义求得 cosθ的值，可得向量 与向量 的夹角 θ 的值．【解答】解：设向量 与向量 的夹角是 θ，则由题意可得 •（ ﹣ ）= ﹣ =1 ﹣1× ×cosθ=0， 求得 cosθ= ，可得 θ= ， 故答案为： ．14．（3﹣x）n 的展开式中各项系数和为 64，则 x3 的系数为 ﹣540 （用数字填 写答案） 【考点】二项式系数的性质． 【分析】令 x=1，则 2n=64，解得 n=6．再利用通项公式即可得出． 【解答】解：令 x=1，则 2n=64，解得 n=6．（3﹣x）6 的通项公式为：Tr+1==（﹣1）r •36﹣r•xr，令 r=3，则 x3 的系数为﹣=﹣540．故答案为：﹣540．15．已知函数 f（x）=，若|f（a）|≥2，则实数 a 的取值范围是．【考点】函数的值． 【分析】根据解析式对 a 分类讨论，分别列出不等式后，由指数、对数函数的性 质求出实数 a 的取值范围．【解答】解：由题意知，f（x）=，①当 a≤0 时，不等式|f（a）|≥2 为|21﹣a|≥2， 则 21﹣a≥2，即 1﹣a≥1，解得 a≤0；②当 a＞0 时，不等式|f（a）|≥2 为，则或，即或，解得 0＜a综上可得，实数 a 的取值范围是故答案为：．或 a≥8； ，16．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a1=2，对任意 p、q∈N*，都有 ap+q=ap+aq，则 f（n）=（n∈N*）的最小值为．【考点】数列的求和． 【分析】对任意 p、q∈N*，都有 ap+q=ap+aq，令 p=n，q=1，可得 an+1=an+a1，则﹣an=2，利用等差数列的求和公式可得 Sn．f（n）===n+1+ ﹣1，令 g（x）=x+ （x≥1），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵对任意 p、q∈N*，都有 ap+q=ap+aq，令 p=n，q=1，可得 an+1=an+a1，则 ﹣an=2，∴数列{an}是等差数列，公差为 2．∴Sn=2n+=n+n2．则 f（n）===n+1+ ﹣1，令 g（x）=x+ （x≥1），则 g′（x）=1﹣ =，可得 x∈[1， 时，函数 g（x）单调递减；x∈时，函数 g（x）单调递增．又 f（7）=14+ ，f（8）=14+ ． ∴f（7）＜f（8）．∴f（n）=（n∈N*）的最小值为 ．故答案为： ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在△ABC 中，点 P 在 BC 边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4． （Ⅰ） 求∠ACP； （Ⅱ） 若△APB 的面积是 ，求 sin∠BAP．【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（Ⅰ） 在△APC 中，由余弦定理得 AP2﹣4AP+4=0，解得 AP=2，可得△ APC 是等边三角形，即可得解． （Ⅱ） 法 1：由已知可求∠APB=120°．利用三角形面积公式可求 PB=3．进而利用余弦定理可求 AB，在△APB 中，由正弦定理可求 sin∠BAP=的值．法 2：作 AD⊥BC，垂足为 D，可求：，利用三角形面 积 公 式 可 求 PB ， 进 而 可 求 BD ， AB ， 利 用 三 角 函 数 的 定 义 可 求，．利用两角差的正弦函数公式可求 sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）的值． 【解答】（本题满分为 12 分） 解：（Ⅰ） 在△APC 中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4， 由余弦定理得 PC2=AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC，… 所以 22=AP2+（4﹣AP）2﹣2•AP•（4﹣AP）•cos60°， 整理得 AP2﹣4AP+4=0，… 解得 AP=2．… 所以 AC=2．… 所以△APC 是等边三角形．… 所以∠ACP=60°．… （Ⅱ） 法 1：由于∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB=120°．…因为△APB 的面积是 ，所以．…所以 PB=3．…在△APB 中，AB2=AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19，所以．…在△APB 中，由正弦定理得，…所以 sin∠BAP==．…法 2：作 AD⊥BC，垂足为 D， 因为△APC 是边长为 2 的等边三角形，所以．…因为△APB 的面积是 ，所以．…所以 PB=3．… 所以 BD=4．在 Rt△ADB 中，，…所以，．所以 sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…==．…18．近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016 年“618”期间，某网购平台的销售业绩 高达 516 亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和 服务的评价系统．从该评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为 6，对服务的满意率为 0.75，其中对商品和服务都满意的交易为 80 次．（Ⅰ） 根据已知条件完成下面的 2×2 列联表，并回答能否有 99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意 对服务不满 合计意对商品满意80对商品不满意合计200（Ⅱ） 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 EX．附：K2=（其中 n=a+b+c+d 为样本容量）P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用数据直接填写联列表即可，求出 X2，即可回答是否有 95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；（Ⅱ）由题意可得 X 的可能值，分别可求其概率，可得分布列，进而可得数学期望．．【解答】解：（Ⅰ） 2×2 列联表：对服务满意 对服务不满意 合计对商品满意8040120对商品不满意701080合计15050200…，…因为 11.111＞6.635，所以能有 99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”．…（Ⅱ） 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为 ，且 X 的取值可以是 0，1，2，3．…；；．…X 的分布列为：X0123P…所以．…19．如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点 E 是 BC 边的 中点，将△ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD⊥平面 BCD，连接 AE，AC，DE，得到如 图 2 所示的几何体． （Ⅰ） 求证：AB⊥平面 ADC； （Ⅱ） 若 AD=1，二面角 C﹣AB﹣D 的平面角的正切值为 ，求二面角 B﹣AD ﹣E 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）证明 DC⊥AB．AD⊥AB 即可得 AB⊥平面 ADC． （Ⅱ） 由（Ⅰ）知 AB⊥平面 ADC，即二面角 C﹣AB﹣D 的平面角为∠CAD 二面 角 C﹣AB﹣D 的平面角的正切值为 ，解得 AB，如图所示，建立空间直角坐标系 D﹣xyz，求出平面 BAD 的法向量，平面 ADE 的法向量，即可得二面角 B﹣AD﹣E 的余弦值 【解答】解：（Ⅰ） 因为平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD=BD， 又 BD⊥DC，所以 DC⊥平面 ABD．… 因为 AB⊂ 平面 ABD，所以 DC⊥AB．… 又因为折叠前后均有 AD⊥AB，DC∩AD=D，… 所以 AB⊥平面 ADC．… （Ⅱ） 由（Ⅰ）知 AB⊥平面 ADC，所以二面角 C﹣AB﹣D 的平面角为∠CAD．… 又 DC⊥平面 ABD，AD⊂ 平面 ABD，所以 DC⊥AD．依题意．…因为 AD=1，所以．设 AB=x（x＞0），则．依题意△ABD～△BDC，所以，即．…解得 ，故．…如图所示，建立空间直角坐标系 D﹣xyz，则 D（0，0，0），，，，，所以，．由（Ⅰ）知平面 BAD 的法向量．…设平面 ADE 的法向量由得令 ，得 所以 所以， ．…．…由图可知二面角 B﹣AD﹣E 的平面角为锐角， 所以二面角 B﹣AD﹣E 的余弦值为 ．…20．过点 P（a，﹣2）作抛物线 C：x2=4y 的两条切线，切点分别为 A（x1，y1）， B（x2，y2）． （Ⅰ） 证明：x1x2+y1y2 为定值； （Ⅱ） 记△PAB 的外接圆的圆心为点 M，点 F 是抛物线 C 的焦点，对任意实数 a，试判断以 PM 为直径的圆是否恒过点 F？并说明理由． 【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析（】Ⅰ）求导，求得直线 PA 的方程，将 P 代入直线方程，求得，同理可知．则 x1，x2 是方程 x2﹣2ax﹣8=0 的两个根，则由韦达定理求得 x1x2，y1y2 的值，即可求证 x1x2+y1y2 为定值；设切线方程，代入抛物线方 程，由△=0，则 k1k2=﹣2，分别求得切线方程，代入即可求证 x1x2+y1y2 为定值；（Ⅱ） 直线 PA 的垂直平分线方程为，同理求得直线PB 的垂直平分线方程，求得 M 坐标，抛物线 C 的焦点为 F（0，1），则，则．则以 PM 为直径的圆恒过点 F．【解答】解：（Ⅰ）证明：法 1：由 x2=4y，得，所以．所以直线PA 的斜率为 ．因为点 A（x1，y1）和 B（x2，y2）在抛物线 C 上，所以，．所以直线PA的方程为．…因为点P（a，﹣2）在直线PA上，所以，即．…同理，．…所以x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两个根．所以x1x2=﹣8．…又，…所以x1x2+y1y2=﹣4为定值．…法2：设过点P（a，﹣2）且与抛物线C相切的切线方程为y+2=k（x﹣a），…，消去y得x2﹣4kx+4ka+8=0，由△=16k2﹣4（4ak+8）=0，化简得k2﹣ak﹣2=0．…所以k1k2=﹣2．…由x2=4y，得，所以．所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．所以，即x1x2=﹣8．…又，…所以x1x2+y1y2=﹣4为定值．…（Ⅱ）法1：直线PA的垂直平分线方程为，…由于，，所以直线PA的垂直平分线方程为．①…同理直线PB的垂直平分线方程为．②…由①②解得，，所以点．…抛物线C的焦点为F（0，1），则．由于，…所以．所以以PM为直径的圆恒过点F．…另法：以PM为直径的圆的方程为．…把点F（0，1）代入上方程，知点F的坐标是方程的解．所以以PM为直径的圆恒过点F．…法2：设点M的坐标为（m，n），则△PAB的外接圆方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=（m﹣a）2+（n+2）2，由于点A（x1，y1），B（x2，y2）在该圆上，则，．两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2﹣2m）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2n）=0，①…由（Ⅰ）知，代入上式得，…当x1≠x2时，得8a﹣4m+a3﹣2an=0，②假设以PM为直径的圆恒过点F，则，即（﹣m，n﹣1）•（﹣a，﹣3）=0，得ma﹣3（n﹣1）=0，③…由②③解得，…所以点．…当x1=x2时，则a=0，点M（0，1）．所以以PM为直径的圆恒过点F．…21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；（Ⅱ）令h（x）=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…所以实数a的取值范围为．…法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…故时，函数g（x）取得最大值．…因而函数有零点，则．…所以实数a的取值范围为．…（Ⅱ）证明：令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…于是，当a≥时，．①…令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．…于是，当x＞0时，．②…显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当x＞0，时，xlnx+a＞xe﹣x．…因为b＞1，所以lnb＞0．所以lnb•ln（lnb）+a＞lnb•e﹣lnb．…所以，即．…选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得，所以；②当时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以；③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得，所以；综上所述，实数a的取值范围是．（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．2017年3月25日。

圆锥曲线058、 如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以,,=,=A （0b ）a 2c 4a 822=4,=3b ∴a ，椭圆E 的方程为22+=143x y（2）①由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=由直线与椭圆相切得220,0,430.m k m ≠∆=⇒-+= 求得43(,)k P m m -，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离 223(2)22m d k m=++ 2222212()(1)0(4302)2kPQ d k m m k m-=->-+=⇒≠。

所以圆与x 轴相交。

（2）②假设平面内存在定点M 满足条件，由对称性知点M 在x 轴上，设点M 坐标为1(,0)M x ，1143(,),(4,4)k MP x MQ x k m m m=--=-+ 。

由0MP MQ ⋅=得2111(44)430k x x x m-+-+=所以211144430x x x -=-+=，即11x =所以定点为(1,0)M 。

9、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,)2-在椭圆C 上，点T满足2OT OF =（其中O 为坐标原点）, 过点F 作一斜率为(0)k k >的直线交椭圆于P 、Q 两点(其中P 点在x 轴上方，Q 点在x 轴下方) .(1)求椭圆C 的方程；(2)若1k =，求PQT ∆的面积；(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q '与QT 的位置关系，并说明理由.【答案】(1)由222211112a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，得 …………………… ……………………..2分 a 2=2,b 2=1,所以，椭圆方程为2212x y +=. …………… …………………..4分 (2)设PQ:y=x-1，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3y 2+2y-1=0, ………..6分 解得： P(41,33),Q(0,-1)，由条件可知点(2,0)T , PQT S ∆=12|FT||y 1-y 2|=23. ….. ……………10分(3) 判断：P Q '与QT 共线. ….. …… …………11分 设1122(,),(,)P x y Q x y则P '(x 1,-y 1)，P Q '=(x 2-x 1,y 2+y 1)，TQ =(x 2-2,y 2), …… ………..12分由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=. ………………………..13分(x 2-x 1)y 2-(x 2-2)(y 1+y 2)=(x 2-x 1)k(x 2-1)-(x 2-2)(kx 1-k+kx 2-k)=3k(x 1+x 2)-2kx 1x 2-4k=3k 22412k k +-2k 222212k k -+-4k=k(2222124441212k k k k---++)=0. ………..15分 所以，P Q '与QT 共线. …………… …………..16分10、已知动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. 1.求动点A 的轨迹方程；2.记点)0,2(-K ，若AF AK 2=，求△AFK 的面积.【答案】（1）由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分 所以动点A 的轨迹方程为x y 82=……2分（2）过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形………2分 4||=KF …………2分所以84421=⨯⨯=∆AFK S …………2分（第20题图）11、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别是()0,11-F 、()0,12F ，且焦距是椭圆C 上一点P 到两焦点21F F 、距离的等差中项. （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点2F 的直线交椭圆C 于N M 、两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点 ),0(0y Q ，求0y 的取值范围.【答案】解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………1分 由题意得 a c 24=，2=a2223b a c =-=. ………4分故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ………6分（2）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………7分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k .………9分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834k x x k +=+. ………10分所以212324234x x k x k +==+，3323(1)34k y k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222k k x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k k k k y 4314320+=+=. ………12分当0k <时，34k k +≤-；当0k >时，34k k +≥.所以0012y -≤<，或0012y <≤. ………13分 综上，0y的取值范围是[. ………14分。

数列0211、数列{}n a 满足121a a ==，122cos()3n n n n a a a n N π*++++=∈，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2013S 的值为 [答] ( ) （A ）2013 （B ）671 （C ）671- （D ）6712- 【答案】D 【解析】因为3231332321322n n n n n n a a a a a a ----+-+++=++，所以3231332n n n nn n a a a aa a ----+-+++=++2(32)441c o s co s (2)c o s ()3332n n ππππ-==-=-=-，所以20131231671671()671()22S a a a =⨯++=⨯-=-，选D12、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211210,38m m m m a a a S -+-+-==，则m =_______【答案】10【 解析】由2110m m m a a a -++-=得220m m a a -=，即0m a =（舍去）或2m a =又21(21)2(21)38m m S m a m -=-=-=，所以解得10m =。

13、数列{}n a 满足()*,21,2n k n n k a k N a n k=-⎧=∈⎨=⎩，设()12212n n f n a a a a -=++++ ，则()()20132012f f -=（ ）A 20122B 20132C 20124D 20134【答案】C【 解析】2013201321221)2013(a a a a f ++++=- (都有222013项) )()(201320132421231a a a a a a +++++++=-)()]12(31[20122212013a a a ++++-+++= )2012(2201221212013f +⋅=-+=()2012()2(22012f +=()2012(42012f +⇒20124)2012()2013(=-f f ,所以选C14、在等差数列}{n a 中，101-=a ，从第9项开始为正数，则公差d 的取值范围是___________ 【答案】510(,]47【 解析】由题意知8900a a ≤⎧⎨>⎩，即117080a d a d +≤⎧⎨+>⎩，所以10701080d d -+≤⎧⎨-+>⎩，解得10754d d ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，所以51047d <≤，即公差d 的取值范围是510(,]47。

三角函数0331、在ABC ∆中，若60,2,B AB AC =︒==∆则ABC 的面积是 ． 【答案】32【 解析】由正弦定理sin sin AC AB B C =得sin 1sin 2AB B C AC ===，因为AC AB >,所以C B <，所以030C =。

所以90A =，所以11222ABC S AB AC ∆=⋅=⨯⨯32、已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+＞0，ω＞0，||ϕ＜π)2的图像与y 轴的交点为（0，1），它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2π,2).x +- （1）求()f x 的解析式及0x 的值；（2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求(4)f θ 的值【答案】解：（1）由题意可得2π2,2π,=4π,4π2T A T ω===即12ω=，………………………3分1()2sin(),(0)2sin 1,2f x x f ϕϕ=+==由||ϕ＜π2,π.6ϕ∴=1π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………………………………………………………………………5分001π()2sin()2,26f x x =+=所以001ππ2π2π+,4π+(),2623x k x k k +==∈Z又 0x 是最小的正数，02π;3x ∴=……………………………………………………7分（2）π1(0,),cos ,sin 23θθθ∈=∴=27cos 22cos 1,sin 22sin cos 9θθθθθ∴=-=-==………………………………10分π77(4)2sin(2)2cos 2699f θθθθ=+=+==．…………………14分33、在△ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且A , B , C 成等差数列．（1）若3AB BC ⋅=-，且b =，求a c +的值；（2）若sin cos AM A，求M 的取值范围．【答案】解：（1）A 、B 、C 成等差数列，∴2,B A C =+又A B C π++=，∴3B π=， …………………………2分由3AB BC ⋅=-得，2cos33c a π⋅=-，∴6ac = ① ………………………4分 又由余弦定理得2222cos,3b ac ac π=+-∴2218a c ac =+-，∴2224a c += ② ………………………6分 由①、②得，6a c += ……………………………………8分（2）sin sin cos AM A A A==-2sin()3A π=- ……………………………………11分由（1）得3B π=，∴23A C π+=， 由203C A π=->且0A >，可得20,3A π<<故333A πππ-<-<，所以2sin()(3A π-∈，即M 的取值范围为(． …………………………14分34、已知c b a ,,分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边长，且c A b B a 53cos cos =-． （1）求：BAtan tan 的值；（2）若060=A ，5=c ，求a 、b ．【答案】解：（1）由正弦定理C c B b A a sin sin sin ==得C A B B A sin 53cos sin cos sin =-，2分又B A B A B A C sin cos cos sin )sin(sin +=+=，所以A B B A cos sin 58cos sin 52=， · 5分可得4cos sin cos sin tan tan ==AB BA B A ． ······························································································ 7分 （2）若060=A ，则23sin =A ，21cos =A ，3tan =A ，得43t a n =B ，可得19194cos =B ，19193sin ⨯=B ． ······················································································ 10分381935sin cos cos sin )sin(sin ⨯=+=+=B A B A B A C ， 由正弦定理C cB b A a sin sin sin ==得 19sin sin =⋅=AC c a ，2sin sin =⋅=B Cc b 14分35、已知)1,sin 32cos 2(x x +=，),(cos y x -=，满足0=⋅． （1）将y 表示为x 的函数)(x f ，并求)(x f 的最小正周期；（2）已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长，若)2()(Af x f ≤对所有R x ∈恒成立，且2=a ，求c b +的取值范围．【答案】（I ）由0=⋅得0cos sin 32cos 22=-+y x x x ………2分 即x x x y cos sin 32cos 22+=1)62sin(212sin 32cos ++=++=πx x x … …4分所以1)62sin(2)(++=πx x f ，其最小正周期为π． ………6分（II ）因为)2()(Af x f ≤对所有R x ∈恒成立 所以3)2(=A f ，且Z k k A ∈+=+,226πππ…………8分因为A 为三角形内角，所以π<<A 0，所以3π=A ． ……………9分由正弦定理得B b sin 334=，C c sin 334=，C B c b sin 334sin 334+=+ )32sin(334sin 334B B -+=π)6sin(4π+=B ……………………………………12分)32,0(π∈B ，]1,21()6sin(∈+∴πB ，]4,2(∈+c b 所以c b +的取值范围为]4,2( ………… ……………………14分36、已知函数)cos (sin cos )(x x x x f +=，R ∈x ．（1）请指出函数)(x f 的奇偶性，并给予证明；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求)(x f 的取值范围．【答案】解：2142sin 22)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f （3分） （1）⎪⎭⎫ ⎝⎛±=+±≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛-8212218ππf f ，)(x f ∴是非奇非偶函数． （3分）注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如01)0(≠=f ，)(x f ∴不是奇函数．（2）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，得45424πππ≤+≤x ，142sin 22≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ． （4分） 所以2122142sin 220+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤πx ．即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈212,0)(x f ． （2分）。

立体几何011、若一个圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 2cm【答案】8π【解析】因为圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，所以母线4l =，底面半径2r =。

所以底面周长24c r ππ==，所以侧面积为1144822lc ππ=⨯⨯=。

2、如图所示，已知一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为俯视图左视图主视图【答案】23π+【 解析】由三视图可知该几何下面是圆柱，上面是四棱锥。

圆柱的底面半径为1，高为2 所以圆柱的体积为2π积为213⨯=，所以该几何体的体积为23π+。

3、正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线C B 1与D C 1所成的角的大小为【答案】【 解析】连结11AC ，1A D ,则11//A D B C ，所以11D BC ∠为直线1BD与平面11B BCC 所成的角，所以设正方体的边长为1，则1BC，所以11111tan D C D BC BC ===，所以11D BC∠arctan2=。

4、 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为【答案】1:1【 解析】因为E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，所以四边形EFGH 为平行四边形，SC 平行平面EFGH 且AB 平行平面EFGH ，且SC 和AB 到平面EFGH 的距离相同。

每一部分都可以可作是一个三棱锥和一个四棱锥两部分的体积和。

如图1中连接DE 、DF ，V ADEFGH =V D ﹣EFGH +V D ﹣EFA ：图2中，连接BF 、BG ，V BCEFGH =V B ﹣EFGH +V G ﹣CBF E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，CD 的中点，所以V D ﹣EFGH =V B ﹣EFGH V D﹣EFA 的底面面积是V G ﹣CBF 的一半，高是它的2倍，所以二者体积相等．所以V ADEFGH ：V BCEFGH =1：15、已知正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积=V ． 【答案】33【 解析】正三棱柱的底面面积为12222⨯⨯⨯= 6、若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 ．【答案】π2【解析】设圆柱的底面半径为r ，母线为l ，则2l r π=，所以2l rπ=。

立体几何0319、如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成 已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm（1）这种“浮球”的体积是多少3cm （结果精确到0 1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？【答案】（1）cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分 2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V 圆柱3cm …………2分=V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分（2）πππ369442=⨯⨯==R S 球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S 圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”的表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”的表面积的和ππ121048250042500=⨯=S 2m所用胶的质量为ππ120012100=⨯（克）…………2分（第19题图）6cm答：这种浮球的体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克20、如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，4==BC AP ，︒=∠30ABC , E D 、分别是AP BC 、的中点，（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）若异面直线AB 与ED 所成角的大小为θ，求θtan 的值【答案】(1)由已知得，,32,2==AB AC ………2分所以 ，体积33831==∆--PA S V ABC ABC P ………5分(2)取AC 中点F ，连接EF DF ,，则DF AB //，所以EDF ∠就是异面直线AB 与ED 所成的角θ ………7分 由已知，52,32,2=====PC AB AD EA AC ，EF DF EF AB ⊥∴⊥, ………10分在EFD Rt ∆中，5,3==EF DF ，所以，315tan =θ ………12分21、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，PABC DE12AB AC AA ===,45ABC ︒∠=A B 1C（1）求直三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）若D 是AC 的中点，求异面直线BD 与1A C 所成的角【答案】（1）122242V =⋅⋅⋅=；…………………………………6分（2）设M 是1AA 的中点，连结,DM BM ，1//DM AC ∴,BDM ∴∠是异面直线BD 与1A C所成的角 ………8分在BDM ∆中，BD BM MD ===，222cos 10BDM +-∠==…………………………………10分即arccos10BDM ∠= ∴异面直线BD 与1A C所成的角为arccos 10…………12分22、在正四棱锥P ABCD -中，PA =PA 与CD 所成的角的大小为arccos 5（1）求正四棱锥P ABCD -的体积；（2）若正四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球O 的表面上，求此球的半径【答案】解：（1）取AB 的中点M ，记正方形ABCD 对角线的交点为O '，连PM ，O P '，AC ，则AC 过O '．FD 1C 1B 1A 1DCBA E EABCDA 1B 1C 1D 1FPB PA =，AB PM ⊥∴，又510cos =∠PAM ，52=PA ，得22=AM ………………4分4='O A ，2='O P3642)24(31312=⋅⋅='⋅=-O P S V ABCD P 底 ∴正四棱锥ABCD P -的体积等于364（立方单位）．………………8分（2）连AO ，O O '，设球的半径为R ，则R OA =，2-='-='R O P R O O ，在AO O Rt '∆中有2224)2(+-=R R ，得5=R 。

圆锥曲线011、双曲线17922=-+-λλy x （97<<λ）的焦点坐标为…… ……（ ） （A ）)0,4(± （B ）)0,2(± （C ）)4,0(± （D ）)2,0(± 【答案】B【解析】因为97<<λ，所以90λ->，70λ-<，即22197x y λλ+=--为22197x y λλ-=--，所以双曲线的焦点在x 轴上，所以2972c λλ=-+-=，即c =，所以焦点坐标为(，选B2、若1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右两个焦点，M 是椭圆上的动点，则2111MF MF +的最小值为 【答案】1【解析】根据椭圆的方程可知224,1a b ==，所以222413c a b =-=-=，所以2c a =。

设1,M F x =a c x a -≤≤+，即23x ≤≤，所以224MF a x x =-=-，所以21211114444(4)(4)(2)4x x MF MF x x x x x x x -++=+===-----+，因为22x ≤≤+，所以当2x =时，24(2)4x --+有最小值414=，即212114(2)4MF MF x +=--+的最小值为13、抛物线22x y =的焦点坐标是_______________．【答案】)81,0(【解析】抛物线的标准方程为212x y =，所以焦点在y 轴，且112,24p p ==，所以焦点坐标为)81,0(。

4、设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为……v ………………（ ）．A x y 2±= .B x y 2±=C x y 21±=D x y 22±=【答案】D【 解析】由题意知22,2b c ==1,b c ==a ==，所以双曲线的渐近线方程为b y x x x a =±==，选D5、抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ▲ ． 【答案】24yx =【 解析】由椭圆方程可知225,4a b ==，所以222541c a b =-=-=，即1c =，所以椭圆的右焦点为(1,0)，因为抛物线的焦点为椭圆的右焦点，所以12p=，所以2p =。

函数011、已知函数()y g x =的图像与函数31x y =+的图像关于直线y x =对称，则(10)g 的值为【答案】2【解析】因为()y g x =的图像与函数31x y =+的图像关于直线y x =对称，则()y g x =与31x y =+互为反函数。

所以由3110x y =+=得39x =，解得2x =，所以(10)2g =。

2、函数)2(log 2-=x y 的定义域为【答案】),3[+∞【解析】要使函数有意义，则有2log (2)0x -≥，即21x -≥，所以3x ≥，即函数)2(log 2-=x y 的定义域为),3[+∞。

3、已知函数241)(+=x x f ，若函数1()2y f x n =++为奇函数，则实数n 为（ ） A 12- B 14- C 14 D 0 【答案】B【解析】因为函数1()2y f x n =++为奇函数，所以1(0)02f n ++=，即12111()2442n f =-=-==-+，所以选B 4、函数22log (1)y x =-的定义域为【答案】(1,1)-【解析】要使函数有意义，则有210x ->，即21x <，所以11x -<<。

即函数的定义域为(1,1)-。

5、函数1y =0≥x ）的反函数是【答案】2(1)y x =-，(1)x ≥【解析】由1y =2(1)x y =-，所以2'()(1)f x x =-。

当0≥x时，11y =≥，即2'()(1)f x x =-，（1≥x ）。

6、已知函数2cos ,11()21,||1x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是___ _．【答案】5【解析】由2()3()20f x f x -+=得()1f x =或()2f x =。

当11x -≤≤时，222xπππ-≤≤，此时0()1f x ≤≤，由()1f x =，得0x =。

2017年3月广东省高考模拟考试数学第Ⅰ卷（选择题共60分）x x④ycosA ．π3B ．2π3C ．5π6D ．4π39．在长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，直线A 1C 与平面BC 1D 交于点M ，则M 为1BC D △的（ ） A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心10．若定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关义在R 于直线1x =对称，且当01<≤x 时，3()log f x x =，则方程3(x)1(0)f f +=在区间(2012,2014)内所有实根之和为（ ） A ．4 022B ．4 024C ．4 026D ．4 02811．双曲线22221x y a b+=(0)a >的右焦点0(,)F c ，方程220+-=ax bx c 的两根为2，l x x ,则点12(,)P x x 可能在（ ）A ．圆222+=x y 上B ．圆223+=x y 上C ．圆224+=x y 上D ．圆225+=x y 上12．已知函数()=f x 1,x 00,x 0x x ⎧+≠⎪⎨⎪=⎩，则关于x 的方程20(x)(x)f bf c ++=有5个不同实数解的充要条件是（ ）A ．2b <-且c >0B ．2b >-且c <0C ．2b <-且c =0D ．2b ≥-且c =0第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数()lg f x x =，若33()()3f a f b +=，则ab 的值为_______．14．执行右边的框图所描述的算法程序，记输出的一列数为12,,,n a a a ⋯,n ∈*N .若输人2λ=，则8a =_______．15．若直线1 1=+y k x 与直线21y k x =-的交点在椭圆2221x y +=上，则12k k 的值为______．16．如图，O 为ΔABC 的外心，4, 2AB AC ==,ABC ∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO 的值为______．三、解答题：解答应在答卷（答题卡）的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，且cos cos +=+cosB a b cA C． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若角B 是ΔABC 的最大内角，求sin cos B B -的取值范围．BAC ∠18．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为C 1C 、DB 的中点. （Ⅰ）求证：A 1F 丄平面EDB ;（Ⅱ）若AB =2，求点B 到平面A 1DE 的距离.19．（本小题满分12分）若空气质量分为1、2、3三个等级．某市7天的空气质量等级相应的天数如图所示． （Ⅰ）从7天中任选2天，求这2天空气质量等级一样的概率；（Ⅱ）从7天中任选2天，求这2天空气质量等级数之差的绝对值为1的概率．20．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为12，焦点F 在直线:10l x my ++=上．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）设直线L 与椭圆相交于M 、N 两点，自M N 、向直线x a =作垂线，垂足分别是11M N 、.记1111FMM FM N FNN ∆∆∆、、的面积分别为123S S S 、、，若123,14,S S S 成等比数列，求m 的值． 21．（本小题满分12分）已知函数2() ln(1)f x x x ax =+-+．（Ⅰ）若12a =，求证当0,()0x f x ≥≥时；（Ⅱ）当0≤a 时，求证：曲线 ()y f x =上任意一点P 处的切线与该曲线有且仅有这一个公共点P ．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答卷（答题卡）上把所选题目的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ΔABO 三边上的点C 、D 、E 都在O 上，已知AB DE ∥，AC CB =． （Ⅰ）求证:直线AB 是O 的切线；（Ⅱ）若2AD =，且tan 1tan 2ACD ∠=，求O 的半径r 的长． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为4sin p θ=． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,1)P 的直线2与圆C 交于A ，B 两点． PA PB 是定值．2017年3月广东省高考模拟考试数 学·答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1~5．BDABA6~10．BDDDC11~12．DC二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．1014．78 15．2- 16．5三、解答题（共6小题，共70分） 17．解：（Ⅰ）由cosA cos cos a b c B C +=+及正弦定理，得sin sin sin cosA cos cos A B CB C+=+，即 sin cos sin cos sin cos sin cos A B B A C A A C -=-，故sin()sin()A B C A -=-∵π,,(0,)2A B C ∈，∴ππππ,2222A B C A -<-<-<-<，∴A B C A -=- 又πA B C ++=，∴π3A =； …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知π3A =，故2π3B C +=，而π02C <<，B 是ABC △的最大内角，故ππ32B ≤<，∴πππππsin cos 2sin()[2sin(),2sin())43424B B B -=-∈--即31sin cos (,1)B B --∈ …12分18．解：（Ⅰ）连接1A B 、EF ，设此正方体的棱长为2a ，则1122A D A B a ==，F 为DB 的中点，∴1A F DB ⊥． 在1Rt A FD △中，2222116A F A D DF a =-=． 在Rt ECB △中，22225EB EC BC a =+=， 在Rt EFB △中，22223EF EB FB a =-=．在11Rt AC E 中，222211119A E AC C E a =+=，故22211A E A F FE =+，即1A F EF ⊥．又,DB EF ⊂平面EDB ，DBEF F =，故1A F ⊥平面EDB ； …6分（Ⅱ）由2AB =知，122A D =，13A E =，5DE =，∴222111112cos 2A D A E DE DA E A D A E +-∠==，∴1π4DA E ∠=，11111sin 32A DE S A D A E DA E =∠=△． 在等腰EDB △中，EF ，162EDBSEF DB ==． 在1Rt A AF △中，12,A A AF ==，故1A F =，由（Ⅰ）知1A F ⊥平面EDB 设点B 到平面1A DE 的距离为h ，∵111133A DE EDB S h S A F =△△，解得2h =． 故点B 到平面1A DE 的距离为2． …12分19．解：由题意知空气质量为1级的有2天，2级的有3天，3级的有2天．记空气质量为1级的天数为12,A A ，2级的天数为123,,B B B ，3级的天数为12,C C ． 从7天中任选2天，共有121112131112(,),(,),(,),(,),(,C ),(,C )A A A B A B A B A A ，2122232122(,B ),(,),(,),(,C ),(,C )A A B A B A A ，121311(,B ),(,),(,C )B B B B 12231122313212(,C ),(,),(,C ),(,C ),(,C ),(,C ),(,)B B B B B B B C C 等21种情形．（Ⅰ）记事件A 为“从7天中任选2天，这2天空气质量等级一样”，有1212(,),(,B )A A B132312(,),(,),(,)B B B B C C 5种情形，故5()21P A =； …6分 （Ⅱ）记事件B 为“从7天中任选2天，这2天空气质量等级数之差的绝对值为1”，有111213212223111221(,),(,),(,),(,B ),(,),(,),(,C ),(,C ),(,),A B A B A B A A B A B B B B C223132(,C ),(,C ),(,C )B B B 12种情形，故124()217P B ==． …12分 20．解：（Ⅰ）由题意知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为(,0),(,0)c c -，0c >，直线l ：10x my ++=过焦点F ，可知F 为左焦点且1c =，又12c a =，解得24a =，23b =，于是所求椭圆的方程为22143x y +=； …4分（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程为1x my =--，则11(2,)M y ，11(2,)N y 由221143x my x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(34)690m y my ++-=，故122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1311221212111(2)(2)(3)(3)224S S x y x y my my y y =--=++， 21212121[()3()9]4m y y m y y y y =+++2281(34)m =+． 2222212121222111981(1)()(3)[()4]4162644(34)m S y y y y y y m +=-=+-=+．由1S ，214S ，3S 成等比数列，得22131()4S S S =，即2222281(1)814(34)(34)m m m +=++ 解得3m =±． …12分21．解：（Ⅰ）当12a =时，2()ln(1)2x f x x x =+-+，则21()111x f x x x x '=-+=++， 当0x ≥时，()0f x '≥，∴函数()y f x =在0x ≥时为增函数．故当0x ≥时，()(0)0f x f ≥=，∴对0x ∀≥时，()0f x ≥成立； …4分（Ⅱ）设点00(,)P x y ，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为000()()()y x x f x f x '=-+，令000()()()()()g x f x x x f x f x '=---．曲线()y f x =在点P 处的切线与曲线只有这一个公共点P 等价于函数()g x 有唯一零点． 因为()0g x =，且0001()()()()[2](1)(1)g x f x f x x x a x x '''=-=--++．当0a ≤时，若01x x ≥>-，有()0g x '≤，∴0()()0g x g x ≤=； 若01x x -<<，有()0g x '>，即0()()0g x g x <=．所以曲线()y f x =上任意一点P 处的切线与该曲线有且仅有这一个公共点P ．…12分 22．解：（Ⅰ）∵AB DE ∥，∴OA OBOD OE=，又OD OE r ==，得OA OB =． 连结OC ，∵AC CB =．∴OC AB ⊥．又点C 在O 上，∴AB 是O 的切线； …5分（Ⅱ）延长DO 交o 于F ，连结FC ．由（Ⅰ）AB 是O 的切线，∴弦切角ACD F ∠=∠，于是A ACD FC ∽△△．而90DCF ∠=︒，又∵1tan tan 2ACD F ∠=∠=，∴12CD FC =． ∴12AD CD AC FC ==,而2AD =，得4AC =． 又222(22)4AC AD AF r =⇒+=，于是3r =． …10分23．解：（Ⅰ）由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，即2240x y y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为2240x y y +-=． …5分（Ⅱ）过点(1,1)P 的参数方程为()1cos 1sin x t y t t θθ=+⎧⎨=+⎩为参数，将其代入圆C 的方程2240x y y +-=，得22(cos sin )20t t θθ+--=．∴122t t =，故2PA PB =． …10分24．解：（Ⅰ）由()2f x x ≤+得，201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩，或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪-++≤+⎩，或201112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩，解之，得02x ≤≤，∴()2f x x ≤+的解集为{02}x x ≤≤； …5分（Ⅱ）∵1211111121232a a aa a a+--=+--≤++-= （当且仅当11(1)(2)0a a+-≤，上式取等号） 由不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得，113x x -++≥，解此不等式，得32x ≤-，或32x ≥． …10分。

2017年高考数学—圆锥曲线（解答+答案）1.（17全国1理20.（12分））已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1，C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。

若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.2.（17全国1文20．（12分））设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.3.（17全国2理20. （12分））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4.（17全国3理20．（12分））已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线l 与圆M 的方程．5.（17全国3文20．（12分））在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.6.（17北京理（18）（本小题14分））已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ,过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.7.（17北京文（19）（本小题14分））已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．8.17山东理（21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为22，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：13y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M e 的半径为MC ，,OS OT 是M e 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.9.（17天津理（19）（本小题满分14分））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程.10.（17天津文（20）（本小题满分14分））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .（ⅰ）求直线FP 的斜率； （ⅱ）求椭圆的方程.11.（17浙江21．（本题满分15分））如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13()()22P x y x -<<，.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求AP PQ ⋅的最大值.12.（17江苏17.（本小题满分14分））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.参考答案：1.解：（1）由于34,P P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过34,P P 两点又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上 因此22211,1314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y += （2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k如果l 与x 轴垂直，设:l x t =，由题设知0t ≠，且||2t <，可得,A B的坐标分别为(,t t则1222122k k t t+=-=-，得2t =，不符合题设从而可设:(1)l y kx m m =+≠，将y kx m =+代入2214x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知2216(41)0k m ∆=-+>设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++而 12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=即222448(21)(1)04141m kmk m k k --++-=++ 解得12m k +=-当且仅当1m >-时，0∆>，于是1:2m l y x m +=-+， 所以l 过定点(2,1)-3.解：（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则000(,0),(,),(0,)N x NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r由NP =u u u r u u u r得00,x x y y ==因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y += 因此点P 的轨迹方程为222x y += （2）由题意知(1,0)F -设(3,),(,)Q t P m n -，则(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---=+-u u u r u u u r u u u r u u u rg ， (,),(3,)OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r由1OQ PQ =u u u r u u u r g 得2231m m tn n --+-=又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=所以0OQ PF =u u u r u u u r g ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4．解：（1）设1122(,),(,),:2A x y B x y l x my =+由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩可得2240y my --=，则124y y =- 又221212,22y y x x ==，故21212()44y y x x ==因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -==-g ，所以OA OB ⊥ 故坐标原点O 在圆M 上（2）由（1）可得21212122,()424y y m x x m y y m +=+=++=+故圆心M 的坐标为2(+2,)m m ，圆M的半径r =由于圆M 过点(4,2)P -，因此0AP BP ⋅=u u u r u u u r， 故1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=， 即121212224()2()200x x x x y y y y -+++++= 由（1）可得12124,4y y x x =-= 所以2210m m --=，解得1m =或12m =-当1m =时，直线l 的方程为10x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M的半径为M 的方程为22(3)(1)10x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=5．解：（1）不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：设12(,0),(,0)A x B x ，则12,x x 满足220x mx +-=，所以122x x =- 又C 的坐标为（0,1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-，所以不能出现AC BC ⊥的情况 （2）BC 的中点坐标为21(,)22x ，可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=- 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-联立22,21()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩又22220x mx +-=，可得,212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --，半径r =故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。

函数011、已知函数()y g x =的图像与函数31x y =+的图像关于直线y x =对称，则(10)g 的值为【答案】2【解析】因为()y g x =的图像与函数31xy =+的图像关于直线y x =对称，则()y g x =与31x y =+互为反函数。

所以由3110x y =+=得39x =，解得2x =，所以(10)2g =。

2、函数)2(log 2-=x y 的定义域为【答案】),3[+∞【解析】要使函数有意义，则有2log (2)0x -≥，即21x -≥，所以3x ≥，即函数)2(log 2-=x y 的定义域为),3[+∞。

3、已知函数241)(+=x x f ，若函数1()2y f x n =++为奇函数，则实数n 为（ ） A 12- B 14- C 14 D 0 【答案】B【解析】因为函数1()2y f x n =++为奇函数，所以1(0)02f n ++=，即12111()2442n f =-=-==-+，所以选B 4、函数22log (1)y x =-的定义域为【答案】(1,1)-【解析】要使函数有意义，则有210x ->，即21x <，所以11x -<<。

即函数的定义域为(1,1)-。

5、函数1y =0≥x ）的反函数是【答案】2(1)y x =-，(1)x ≥【解析】由1y =+2(1)x y =-，所以2'()(1)f x x =-。

当0≥x时，11y =+≥，即2'()(1)f x x =-，（1≥x ）。

6、已知函数2cos ,11()21,||1x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是___ _．【答案】5【解析】由2()3()20f x f x -+=得()1f x =或()2f x =。

当11x -≤≤时，222xπππ-≤≤，此时0()1f x ≤≤，由()1f x =，得0x =。

圆锥曲线031、给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O 的圆为椭圆C 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到点F （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）过椭圆C 的“准圆”与y 轴正半轴的交点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，求12,l l 的方程；（3）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围．【答案】解：（1）由题意知c =a ==1b =，故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”方程为224x y +=． ………………4分（2）由题意可得P 点坐标为(0,2)，设直线l 过P 且与椭圆C 只有一个交点，则直线l 的方程可设为2y kx =+，将其代入椭圆方程可得 ………………6分223(2)3x kx ++=，即22(31)1290k x kx +++=，由22(12)36(31)0k k ∆=-+=，解得1k =±， ………………8分 所以直线1l 的方程为2y x =+，2l 的方程为2y x =-+，或直线1l 的方程为2y x =-+，2l 的方程为2y x =+． ………………10分（3）由题意，可设(,),(,)B m n D m n -(m <，则有2213m n +=，又A 点坐标为(2,0)，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--， ………………12分故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--2244343()332m m m =-+=-, …………………………14分又m <，故243()[0,732m -∈+，所以AB AD ⋅的取值范围是[0,7+． …………………………16分2、已知椭圆12222=+by a x 的两个焦点为)0,(1c F -、)0,(2c F ，2c 是2a 与2b 的等差中项，其中a 、b 、c 都是正数，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23． （1）求椭圆的方程；（2）过点A 作直线交椭圆于另一点M ，求AM 长度的最大值；（3）已知定点)0,1(-E ，直线t kx y +=与椭圆交于C 、D 相异两点．证明：对任意的0>t ，都存在实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．【答案】解：（1）在椭圆中，由已知得222222b a b ac +=-= ········································ 1分过点),0(b A -和)0,(a B 的直线方程为1=-+by a x ，即0=--ab ay bx ，该直线与原点的距离为23，由点到直线的距离公式得：2322=+ba ab ······················································ 3分解得：1,322==b a ；所以椭圆方程为11322=+y x ··························································· 4分 （2）（文）设),(y x M ，则)1(322y x -=，422)1(2222++-=++=y y y x AM，其中11≤≤-y ···································································································································· 6分 当21=y 时，2AM 取得最大值29，所以AM 长度的最大值为223 ······························· 9分（3）将t kx y +=代入椭圆方程，得0336)31(222=-+++t ktx x k ，由直线与椭圆有两个交点，所以0)1)(31(12)6(222>-+-=∆t k kt ，解得3122->t k ································ 11分设),(11y x C 、),(22y x D ，则221316kktx x +-=+，222131)1(3k t x x +-=⋅，因为以CD 为直径的圆过E 点，所以0=⋅，即0)1)(1(2121=+++y y x x ， ······································ 13分 而))((2121t kx t kx y y ++==221212)(t x x tk x x k +++，所以01316)1(31)1(3)1(22222=++++-+-+t kkt tk k t k ，解得t t k 3122-= ·································· 14分 如果3122->t k 对任意的0>t 都成立，则存在k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．09)1(31)312(2222222>+-=---t t t t t t ，即3122->t k ．所以，对任意的0>t ，都存在k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点． 16分3、设直线0,11≠+=p p x k y L ：交椭圆)0(12222>>=+Γb a b y a x ：于D C 、两点，交直线x k y L 22=：于点E ．（1）若E 为CD 的中点，求证：2221ab k k -=⋅；（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．【答案】（1）解法一：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E02)(12222212212222221=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=b a p a x pa k x k a b b y ax p x k y ……… …2分 212221212k a b pa k x x +-=+∴ ，p k a b pa k k y y 22212221121++-⋅=+212222k a b pb +=… ……4分 又2121221021022x x y y k y y y x x x ++=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=21222pa k pb -=2221a b k k -=⋅∴…… ………7分 解法二（点差法）：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E)1(12121=+b a ，)2(12222=+ba 两式相减得0))(())((2212122121=+-++-by y y y a x x x x 即0)(2)(222102210=-+-b y y y a x x x ……………………… ………3分222020221211k a b y a x b x x y y k ⋅-=⋅⋅-=--=∴ 2221a b k k -=⋅∴ ………………………………………………………………………7分（2）逆命题：设直线p x k y L +=11：交椭圆)0(12222>>=+Γb a b y a x ：于D C 、两点，交直线x k y L 22=：于点E ．若2221ab k k -=⋅，则E 为CD 的中点． ……9分证法一：由方程组02)(12222212212222221=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=b a p a x pa k x k a b b y ax p x k y …………………………………… ……………10分 因为直线p x k y L +=11：交椭圆Γ于D C 、两点，所以0>∆，即022212>-+p b k a ，设),(11y x C 、),(22y x D 、),(00y x E则2122212102k a b pa k x x x +-=+=∴ ，212222102k a b pb y y y +=+=……………………12分 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=xk y k k p x x k y p x k y 21221又因为2221a b k k -=⋅ ，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+===+-=-=0212222021221212y k a b p b x k y x k a b p k a k k px ，故E 为CD 的中点．……………………………14分 证法二：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E则)1(12121=+b a ，)2(12222=+ba 两式相减得0))(())((2212122121=+-++-by y y y a x x x x 即)()(21221221211y y a x x b x x y y k +⋅+⋅-=--=………………………………………………………9分 又0022221,x y k a b k k =-=⋅ ，002121y x x x y y =++即0212211x pkx x x p x k p x k +=++++ ……………………………………………………12分12112x pk x x p k +=++∴得0212x x x =+0212y y y =+∴，即E 为CD 的中点．……………………………14分（3）设直线0,11≠+=p p x k y L ：交双曲线)0,0(12222>>=-Γb a b y a x ：于D C 、两点，交直线x k y L 22=：于点E ．则E 为CD 中点的充要条件是2221ab k k =⋅． (16)分。

圆锥曲线0220.已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）π （B ）4π （C ）8π （D ）9π解：两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，设P 点的坐标为(x ，y)， 则2222(2)4[(1)]x y x y ++=-+，即22(2)4x y -+=，所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π，选B.21.直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为（A ）48 （B ）56 （C ）64 （D ）7222.如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ ）A ．36B ．4C ．2D ．1解析：如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，∴ 229a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2236a b ⎧=⎨=⎩，所以它的两条准线间的距离是222a c ⋅=，选C.23.椭圆的中心为点(10)E -，，它的一个焦点为(30)F -，，相应于焦点F 的准线方程为72x =-，则这个椭圆的方程是（ ）Ａ．222(1)21213x y -+= Ｂ．222(1)21213x y ++= Ｃ．22(1)15x y -+= Ｄ．22(1)15x y ++=解析：椭圆的中心为点(1,0),E -它的一个焦点为(3,0),F -∴ 半焦距2c =，相应于焦点F 的准线方程为7.2x =- ∴ 252a c =，225,1a b ==，则这个椭圆的方程是22(1)15x y ++=，选D.24.若双曲线221x y m-=上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13 ，则m= （A ）12（B ）32（C ）18（D ）98解：双曲线221x y m -=上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13 ，则离心率e=3，∴ 19m m +=，m =81，选C.25.抛物线28y x =的准线方程是(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- 解：2p ＝8，p ＝4，故准线方程为x ＝－2，选A26.设11229(,),(4,),(,)5A x y B C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要27.抛物线x y 42=的焦点坐标为( )（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(.解：（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 ．应选B ．28.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.解：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k-3>0,k+3>0，所以方程表示双曲线；当方程 表示双曲线时，k=-4 是可以的，这不在k>3里．故应该选A ．二、填空题（共8题）29.已知12F F ，为双曲线22221(00)a b x y a b a b≠-=>>且，的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题Ａ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上； Ｂ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上； Ｃ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上； Ｄ．12PF F △的内切圆必通过点0a ()，．其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．30.已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 .解：显然12,x x ≥0，又2212y y +＝4（12x x +）≥124x x ==时取等号，所以所求的值为32。

圆锥曲线20选择题:1.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A（B（C ）2 （D ）3 答案：B解析：由题意知，AB 为双曲线的通径，所以，AB a a b 422==，222=∴ab 又3122=+=ab e ，故选B.2.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由1C 恰好将线段AB 三等分得133A A x x x x =⇒=，由2225A y x x a x y =⎧⇒=⎨+⎩,15x a ∴=y =52(,)a在椭圆上,2222()()15151a a b∴+=2211a b ⇒=又225,a b -=212b ∴=，故选C3.双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)4.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x =【答案】B【解析】：设抛物线方程为2y ax =，则准线方程为4a x =-于是24a-=-8a ⇒=5.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= (A)45 (B)35 (C)35- (D)45-【答案】D 【解析】：24(1,0)y x F =得，准线方程为1x =-，由24(1,2),(4,4)24y x A B y x ⎧=-⎨=-⎩得则AB ==2,5AF BF ==由余弦定理得222524cos 2555AFB +-∠==-⨯⨯ 故选D6.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2D ．2332或 【答案】A 填空题:1.若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154x y += 【解析】因为一条切线为x=1,且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0),即1c =,设点P （1，12）,连结OP,则OP ⊥AB,因为12OP k =,所以2AB k =-,又因为直线AB 过点(1,0),所以直线AB 的方程为220x y +-=,因为点(0,)b 在直线AB 上,所以2b =,又因为1c =,所以25a =,故椭圆方程是22154x y +=.2.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，离心率为2。