2011届高考数学二轮专题复习 第16课时 三角形中的三角函数

高中数学第四章-三角函数考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α,tan α•cos α=1”．§04. 三角函数 知识要点1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Zk k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在xy-=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α⑩角α与角2.（rad ）34原点的）一点rx =αcos ；5正弦、余割6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：16. 几个重要结论:xx x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(=+=+-=+πππ xx x x x x c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (-=--=-=-πππ xx x x x x c o t )c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (-=--=--=-πππ（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+αααc o s s i n 22s i n =βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2t a n 1t a n 22t a n -=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-2c o s 12s i n αα-±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+2c o s 12c o sαα+±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=⎭⎝2)cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)31tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）⑨x y sin=不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）xy cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（π=T 212cos +=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：x f y ==)(⑩a y=cos 11１）２）、. ３）函数y ϕ（即当x ＝0由y ＝0＜|A|＜1（用y/A 替换y ）由y ＝ω|＞1）到原来的1|ω的图象，叫做周期变换或叫做沿用ωx 替换x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ）由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。

2011届高考数学热点：三角函数D2.攻略之二---熟练掌握三角函数的基本变换方法例3（2009北京文）（本小题共12分）已知函数()2sin()cos f x x xπ=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.解:（Ⅰ）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==，∴函数()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）由2623x x ππππ-≤≤⇒-≤≤，∴3sin 212x -≤≤，∴()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为32-. 【点评】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．例4(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cossin 2πϕϕϕ<<-+x x x 在π=x 处取最小值.(1) 求ϕ的值；(2) 在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 23)(=A f ,求角C.解: （1）1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=⋅+- sin sin cos cos sin sin x x x xϕϕ=++- sin cos cos sin x x ϕϕ=+ sin()x ϕ=+因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin()1πϕ+=-,由诱导公式知sin 1ϕ=,因为0ϕπ<<,所以2πϕ=.所以()sin()cos 2f x x x π=+=（2）因为23)(=A f ,所以3cos A =,因为角A 为∆ABC 的内角,所以6A π=.又因为,2,1==b a 所以由正弦定理,得sin sin a bA B=,也就是sin 12sin 222b A B a ===,因为b a >,所以4π=B 或43π=B . 当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,36412C ππππ=--=. 【点评】本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.3.攻略之三---注重培养三角函数的应用意识例5（2009辽宁卷文）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

考点16正弦定理和余弦定理一、选择题1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)-12 (B) 12(C) -1 (D) 1 【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决.【精讲精析】选D.由cos sin a A b B =可得2sin cos sin A A B =所以222sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=．二、填空题2.（2011·安徽高考理科·Ｔ14）已知ABC ∆ 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________【思路点拨】设三角形一边的长x ，可以用x 表示其它两边，再利用余弦定理建立方程求出x ，最后利用三角形面积公式求出ABC ∆的面积. 【精讲精析】设三角形长为x ，则另两边的长为x-4,x+4,那么所以解得）（,10,120cos )4(2)4(4222=---+=+x x x x x x .315120sin 61021=⨯⨯⨯=∆ ABC S 【答案】.3153.（2011·福建卷理科·Ｔ14）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC= D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______.【思路点拨】结合图形，∆∠∠ABC 先在中，由余弦定理解出C 与B ，ABD∆然后在中，由正弦定理解得AD.在ABC∆中，由余弦定理易得222cos22AC BC ABCAC BC+-===⋅⋅30,30.C B ABD∴∠=︒∴∠=︒∆在中，,1sin sin2AD AB ADADB ADB=∴=∴=∠由正弦定理得：4.（2011·福建卷文科·Ｔ14）若△ABC的面积为3，BC=2，C=︒60，则边AB 的长度等于_____________.【思路点拨】AC，然后再用余弦定理求得AB.【精讲精析】2. 在ABC∆中，由面积公式得11sin2sin6022S BC CA C AC=⋅⋅=⨯⋅⋅︒2,AC AC=再由余弦定理，得：222221+2cos2222242AB BC AC AC BC C-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=＝，2AB∴=.5.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ16）在ABCV中，60,B AC==则2A B B C+的最大值为 .【思路点拨】利用三角函数知识，化简2AB BC+，统一角变量，然后求最大值.【精讲精析】令AB c=，BC a=，则由正弦定理得2,sin sin sina c ACA C B====2sin,2sin,c C a A∴==且120A C+=︒，222sin4sinAB BC c a C A∴+=+=+2sin4sin(120)C C=+︒-＝2sin C+1sin)4sin2C C C C+=++)Cϕ=(其中tanϕ=∴当90Cϕ+=︒时，2AB BC+取最大值为6.（2011·新课标全国文科·Ｔ15）△ABC中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为_________【思路点拨】用余弦定理求得边BC 的值，由1sin 2ABC S AB BC B ∆⨯⨯＝求得三角形的面积【精讲精析】4设,,AB c BC a AC b ===，由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-，得21492525()2a a =+-⨯⨯-，解得3a =，11sin 35sin12022ABC S ac B ∆∴==⨯⨯⨯︒4=7.（2011·北京高考理科·T9）在ABC ∆中，若5,,tan 24b B A π=∠==，则s i n A = ；a = .【思路点拨】先利用切化弦与平方关系联立解出sinA ，再由正弦定理求出a..22sin sin tan 2,cos ,sin ()1,22A A A A A =∴=∴+=(0,),sin 5A A π∈∴=又.=a =8.（2011·北京高考文科·T9）在ABC ∆中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = .【思路点拨】利用正弦定理求出a .【精讲精析】3.由正弦定理得，13a =，所以3a =.三、解答题9.（2011·安徽高考文科·Ｔ16）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【思路点拨】化简12c o s ()0B C ++=，求出sinA,cosA,再由正弦定理算出sinB,cosB,从而得到sinC,则h=bsinC.【精讲精析】由12cos()0B C ++=，和B+C=π-A,得,23sin ,21cos ,0cos 21===-A A A再由正弦定理得，.22sin sin ==a Ab B 由b<a ，知B<A,所以B 不是最大角，2π<B ，从而22sin 1cos 2=-=B B . 由上述结果知).2123(22)sin(sin +=+=B A C 设边BC 上的高为h,则有.213sin +==C b h 10.（2011·辽宁高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，a A b B A a 2cos sin sin 2=+．（I ）求ba；（II ）若c 2=b 2a 2，求B ．【思路点拨】（I ）依据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得；（II ）先结合余弦定理和已知条件求出B cos 的表达式，再利用第（I ）题的结论进行化简即得．【精讲精析】（I ）由正弦定理得，A A B B A sin 2cos sin sin sin 22=+，即 A A A B sin 2)cos (sin sin 22=+．故A B sin 2sin =，所以2=ab ……6分 （II ）由余弦定理和2223a bc +=，得caB 2)31(cos +=． 由（I ）知222a b =，故22)32(a c +=． 可得=B 2cos 21，又0cos >B ，故=B cos 22，所以045=B ． ……12分 11.（2011·山东高考理科·Ｔ17）（本小题满分12分） 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若cosB=14，b=2, 求△ABC 的面积S.【思路点拨】（1）本题可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式易知sin sin CA=2. （2）应用余弦定理及第一问结论易知a 和c 的值，然后利用面积公式求解. 【精讲精析】 （Ⅰ）在ABC ∆中，由cos 2cos 2cos A C c aB b--=及正弦定理可得 cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=， 即cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos -=-A B C B C B A B 则cos sin sin cos 2sin cos 2cos sin +=+A B A B C B C Bsin()2sin()A B C B +=+，而A B C π++=，则sin 2sin C A =，即sin 2sin CA=. 另解1：在ABC ∆中，由cos 2cos 2cos A C c aB b--=可得cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=-由余弦定理可得22222222222222b c a a b c a c b a c b c a a c+-+-+-+--=-， 整理可得2c a =，由正弦定理可得sin 2sin C cA a==. 另解2：利用教材习题结论解题，在ABC ∆中有结论cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b c A a C c a B b A =+=+=+.由cos 2cos 2cos A C c aB b--=可得cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=- 即cos cos 2cos 2cos b A a B c B b C +=+，则2c a =，由正弦定理可得sin 2sin C cA a==. （Ⅱ）由2c a =及1cos ,24B b ==可得22222242cos 44,c a ac B a a a a =+-=+-=则1a =，2c =，S 11sin 12224ac B ==⨯⨯=，即S =12.（2011·山东高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分） 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若cos B =14，5b ABC 的周长为，求的长.【思路点拨】（I ）本题可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式易知sin sin CA=2. （II ）由周长得出，a 和b 之间的关系b=5-3a ，再将b=5-3a 代入余弦定理求得a 和b.【精讲精析】(I)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C = 所以cos A-2cosC 2c-a =cos B b=2sin sin sin C AB -, 即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A BC C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2. (II)由(I)知sin sin CA=2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a, 由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即22221(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，a=5(舍去) 所以b=2.13.（2011·湖南高考理科·T17）（12分）在中，ABC ∆角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC. （1）求角C 的大小；（2）求)4cos(sin 3π+-B A 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小.【思路点拨】本题主要考查利用正弦定理消边，再考查三角恒等变形.突出考查边角的转化思想的应用.边角共存的关系中常考虑消去边或消去角，如果考虑消边，如果是边的一次常用正弦定理，如果是边的二次常考查余弦定理，在考查余弦定理时兼顾考查凑配.如果考虑消角，那么是余弦就用余弦定理，而如果是正弦定理必须等次才能使用.【精讲精析】（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（II ）由（I ）知3.4B A π=-于是cos()cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时2sin()6A π+取最大值2．cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==14.（2011·陕西高考理科·T18）（本小题满分12分） 叙述并证明余弦定理．【思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识学习和巩固． 【精讲精析】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。

专题二 三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1．(2011年高考湖北卷)已知函数f ()x ＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f ()x ≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z 2．(2011年高考重庆卷)已知向量a ＝()1，k ，b ＝()2，2，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．(2011年高考四川卷)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量α＝()a ，b .从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则mn＝( )A.215B.15C.415D.134．(2011年高考山东卷)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32 C ．2 D ．35．(2011年高考浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．16．(2011年高考辽宁卷)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．127．(2011年高考陕西卷)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x i ＜1，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1) D ．[0,1]8．(2011年高考大纲全国卷)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )A. 2B. 3C. 5D.79．(2011年高考大纲全国卷)设函数f ()x ＝cos ωx ()ω>0，将y ＝f ()x 的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 10．(2011年高考湖北卷)若向量a ＝()1，2，b ＝()1，－1，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6C.π4D.3π4 11．(2011年高考重庆卷)若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( )A.154B.34C.31516D.111612．(2011年高考课标全国卷)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 二、填空题13．(2011年高考大纲全国卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝__________. 14．(2011年高考课标全国卷)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.15．(2011年高考江苏卷)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x的值为________． 16．(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．17．(2011年高考安徽卷)设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交．以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．18．(2011年高考江西卷)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.19．(2011年高考上海卷)在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.20．(2011年高考重庆卷)若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝__________. 21．(2011年高考福建卷)若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a ·b 等于________． 22．(2011年高考安徽卷)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．23．(2011年高考北京卷)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.三、解答题24．(2011年高考四川卷)已知函数f ()x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . ()1求f ()x 的最小正周期和最小值；()2已知cos ()β－α＝45，cos ()β＋α＝－45，0<a <β≤π2，求证：[]f ()β2－2＝0.25．(2011年高考山东卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos Ccos B＝2c －a b .(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．26．(2011年高考湖南卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 ，a ，b ，c 满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．27．(2011年高考湖北卷)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b＝2，cos C ＝14.()1求△ABC 的周长； ()2求cos ()A －C 的值．28．(2011年高考重庆卷)设函数f ()x ＝sin x cos x －3cos ()π＋x cos x ()x ∈R . ()1求f ()x 的最小正周期；()2若函数y ＝f ()x 的图象按b ＝⎝⎛⎭⎫π4，32平移后得到函数y ＝g ()x 的图象，求y ＝g ()x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．29．(2011年高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值．专题二 三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1．【解析】选B.∵f ()x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴f ()x ≥1，即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥12， ∴π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z . 解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .2．【解析】选D.a ＋b ＝()1，k ＋()2，2＝()3，k ＋2. ∵a ＋b 与a 共线，∴k ＋2－3k ＝0，解得k ＝1.∴a ·b ＝()1，1·()2，2＝4. 3．【解析】选B.向量α的坐标有()2，1，()2，3，()2，5，()4，1，()4，3，()4，5，共6种情况，以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形共有C 26＝15个． 以a ，b 为邻边所作平行四边形的面积为 S ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝|a ||b |1－cos 2〈a ，b 〉＝|a ||b | 1－()a ·b 2|a |2|b |2＝|a |2|b |2－()a ·b 2. 分别以a ＝()2，1，b ＝()4，1；a ＝()2，1，b ＝()4，3；a ＝()4，5，b ＝()2，3为邻边的平行四边形面积为2，故m ＝3，所以m n ＝315＝15.4．【解析】选B.∵y ＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由y ＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 5．【解析】选D.∵a cos A ＝b sin B ， ∴sin A cos A ＝sin B sin B ， 即sin A cos A －sin 2B ＝0，∴sin A cos A －(1－cos 2B )＝0， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1. 6．【解析】选D.由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.7．【解析】选C.M ＝{y |y ＝|cos 2x |，x ∈R }＝{y |0≤y ≤1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x i ＜1＝{x ||－x i|＜1}＝{x |－1＜x ＜1}，则M ∩N ＝[0,1)．8．【解析】选B.∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，∴|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝1＋4＋4×⎝⎛⎭⎫－12＝5－2＝3. ∴|a ＋2b |＝ 3.9．【解析】选C.由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6. 10．【解析】选C.2a ＋b ＝2()1，2＋()1，－1＝()3，3， a －b ＝()1，2－()1，－1＝()0，3， ()2a ＋b ·()a －b ＝9.|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3. 设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∴α＝π4.11．【解析】选D.由6sin A ＝4sin B ＝3 sin C 得sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4.设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由正弦定理知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4， 不妨设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ()k >0，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝()22＋42－32k 22×2k ×4k＝1116.12．【解析】选D.∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2cos 2x ， 当0<x <π2时，0<2x <π，故f (x )＝2cos 2x 在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减． 又当x ＝π2时，2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2＝－2，因此x ＝π2是y ＝f (x )的一条对称轴． 二、填空题13．【解析】∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴()2cos α2＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 【答案】－5514．【解析】∵a 与b 是不共线的单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又k a －b 与a ＋b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0. ∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0.(θ为a 与b 的夹角) ∴(k －1)(1＋cos θ)＝0.又a 与b 不共线， ∴cos θ≠－1，∴k ＝1. 【答案】115．【解析】由tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2得tan x ＝13，tan x tan 2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝12(1－tan 2x )＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫132＝49. 【答案】4916．【解】法一：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.法二：设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →， P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 【答案】517．【解析】由f (x )≤⎪⎪⎪⎪f (π6)对一切x ∈R 恒成立知，直线x ＝π6是f (x )的对称轴． 又f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba 的周期为π， ∴f ⎝⎛⎭⎫11π12＝f ⎝⎛⎭⎫π6＋3π4可看作x ＝π6的值加了34个周期， ∴f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0.故①正确． ∵7π10－2π3＝π30，π5－π6＝π30， ∴7π10和π5与对称轴的距离相等． ∴⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②不正确． ∵x ＝π6是对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±1， ∴π3＋φ＝±π2＋2kx ，k ∈Z . ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π，k ∈Z ，tan φ＝b a ＝13，∴a ＝3b .∴f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6或f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．由以上知f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z . 由于f (x )的解析式不确定，∴单调递增区间不确定，故④不正确． ∵f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a ，∴－a 2＋b 2≤f (x )≤a 2＋b 2.又∵ab ≠0，∴a ≠0，b ≠0. ∴－a 2＋b 2<b <a 2＋b 2，∴过点(a ，b )的直线必与函数f (x )的图象相交．故⑤不正确． 【答案】①③ 18．【解析】b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.又因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.【答案】－6 19．【解析】法一：如图，在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，∴AD ＝7，cos ∠BAD ＝32＋(7)2－122×3×7＝5714，∴AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|·cos ∠BAD ＝3×7×5714＝152.法二：∵AD →＝AB →＋BD →，∴AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋AB →·BD →＝|AB →|2＋|AB →||BD →|·cos 120°＝9＋3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝152. 【答案】15220．【解析】∵cos α＝－35且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin α＝－45，∴tan α＝43.【答案】4321．【解析】a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，a ·b ＝1×(－1)＋1×2＝－1＋2＝1. 【答案】1 22．【解析】由(a ＋2b )·(a －b )＝－6得a 2－2b 2＋a ·b ＝－6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴12－2×22＋1×2×cos 〈a ，b 〉＝－6，∴cos 〈a ，b 〉＝12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.【答案】π323．【解析】根据正弦定理应有a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin Asin B ＝5×1322＝523.【答案】523三、解答题24．【解】(1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.()2证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[]f ()β2－2＝4sin 2π4－2＝0.25．【解】(1)由正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B＝2sin C －sin A sin B，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ．因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A＝2，得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2. 26．【解】(1)由正弦定理，得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0.从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，故C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12，所以当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2.综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12. 27．【解】()1∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.()2∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝ 1－⎝⎛⎭⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A＝ 1－⎝⎛⎭⎫1582＝78，∴cos ()A －C ＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.28．【解】()1f ()x ＝12sin 2x ＋3cos 2x＝12sin 2x ＋32()1＋cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 故f ()x 的最小正周期为T ＝2π2＝π.()2依题意g ()x ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋ 3. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，g ()x 为增函数， 所以g ()x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫π4＝332.29．【解】(1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.(2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－79.故sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos ⎝⎛⎫2A ＋π4＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝⎝⎛⎭⎫－79×22－429×22＝－8＋7218.。

第二讲 三角函数求值与解三角形一、选择题1．(2009·某某卷)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43B.54C ．－34 D.45解析：原式＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45，故选D. 答案：D2．若cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝－45，又β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos β2的值为( ) A ．1010B ．31010C ．－1010D ．－31010 解析：cos[(α－β)－α]＝cos(－β)＝－45. ∵π<β<3π2，∴π2<β2<3π4. cos β＝2cos 2β2－1＝－45，∴cos 2β2＝110. ∴cos β2＝－1010. 答案：C3．(2010·某某，3)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A.63B.223C ．－63D ．－223解析：由正弦定理得，sin B ＝10×sin 60°15＝33. ∵a >b ，∴B <60°，∴cos B ＝1－⎝⎛⎭⎫332)＝63，故选A. 答案：A4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)·tan B ＝3ac ，则 角B 的值为( ) A.π6B.π3C.π6或5π6 D.π3或2π3解析：∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32. ∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3. 答案：D5．(2010·课标全国)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2＝() A ．－12B.12C ．2D ．－2 解析：∵cos α＝－45且α是第三象限的角，∴sin α＝－35， 1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2 ＝⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos α＝25－45＝－12.故选A. 答案：A二、填空题6．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.解析：由cos(α＋β)＝sin(α－β)，即cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，整理得cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．又β为锐角，则cos α＝sin α，即tan α＝1.答案：17．在△ABC 中，若sin A ＝35，cos B ＝513，则sin C ＝________.解析：由已知B 为锐角，sin B ＝1213. 又sin B >sin A ，则A 为锐角，∴cos A ＝45. 因此sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝6365. 答案：63658．满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________．解析：设BC ＝a ，则AC ＝2a ，由AB ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ (2＋1)a >2，(2－1)a <2，解之得22－2<a <22＋2，又cos C ＝a 2＋2a 2－422a 2＝3a 2－422a 2， 得sin C ＝8a 4－(3a 2－4)222a 2， ∴S △ABC ＝12a ×2a sin C ＝148a 4－(3a 2－4)2 ＝14128－(a 2－12)2，∵a 2∈(12－82，12＋82)，∴当a 2＝12，即a ＝23时，△ABC 的面积最大，即S △ABC 最大值＝14128＝2 2. 答案：2 29．(2009 ·某某)在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC cos A的值等于________，AC 的取 值X 围为________解析：由正弦定理BC sin A ＝AC sin B， 则AC cos A ＝BC sin B sin A cos A ＝2BC sin B sin 2A ＝2. 由A ＋B ＋C ＝π得3A ＋C ＝π，即C ＝π－3A .由已知条件：⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π20<2A <π20<π－3A <π2，解得π6<A <π4. 由AC ＝2cos A 知2<AC < 3.答案：2(2，3)三、解答题10．已知：cos α－sin α＝325， (1)求μ＝15sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)若函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称，且f (－1)＝320，求f (μ)的值．解：(1)由cos α－sin α＝325，得 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35. 又因为sin 2α＝＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝725， 所以μ＝15sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝7 (2)由题意函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称．所以f (3＋x )＝f (3－x )，所以f (μ)＝f (7)＝f (3＋4)＝f (3－4)＝f (－1)＝320.11．(2010·某某)设△ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且sin 2A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ＋sin 2B . (1)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b <c )．解：(1)因为sin 2A＝⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B ⎝⎛⎭⎫32cos B －12sin B＋sin 2B ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B ＝34， 所以sin A ＝±32.又A 为锐角，所以A ＝π3. (2)由AB →·AC →＝12可得cb cos A ＝12.①由(1)知A ＝π3，所以cb ＝24.② 由余弦定理知a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，将a ＝27及①代入，得c 2＋b 2＝52，③③＋②×2，得(c ＋b )2＝100，所以，c ＋b ＝10，因此c ，b 是一元二次方程t 2－10t ＋24＝0的两个根．解此方程并由c >b 知c ＝6，b ＝4.12．(2010·某某)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点 南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？解：由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， ∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB＝5(3＋3)·sin 45°sin 105° ＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60° ＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)，又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)． 答：救援船到达D 点需要1小时。

五．三角函数一、终边相同的角的表示方法：凡是与终边α相同的角，都可以表示成k ·3600+α的形式，特例，终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800+900，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900，k ∈Z}。

在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。

理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；⑴角度制与弧度制的互化：π弧度 180=，1801π=弧度，1弧度 )180(π='1857 ≈⑵弧长公式：||l R α=；扇形面积公式：211||22S lR R α==。

例：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：22cm ） 二、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：（1）三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：,cos ,sin r x r y ==ααxy =αtan （2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（4）同角三角函数的基本关系：x xx x tan cos ;1cos sin 22==+ （5）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．）: (注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)． sin(πα-)＝sin α,cos(πα-)＝－cos α,tan(πα-)＝－tan α sin(πα+)＝－sin α,cos(πα+)＝－cos α,tan(πα+)＝tan α sin(α-)＝－sin α,cos(α-)＝cos α,tan(α-)＝－tan αsin(2πα-)＝－sin α,cos(2πα-)＝cos α,tan(2πα-)＝－tan αsin(2k πα+)＝sin α,cos(2k πα+)＝cos α,tan(2k πα+)＝tan α，()k Z ∈ sin(2πα-)＝cos α,cos(2πα-)＝sin α ， sin(2πα+)＝cos α,cos(2πα+)＝-sin α例：若角α的终边经过点P (1,-2),则tan 2α的值为 .（答： 34）例：已知11tan tan -=-αα，则ααααc os sin c os 3sin +-＝____；2cos sin sin 2++ααα＝_________（答：35-；513）；齐次分式弦化切,一般问题切化弦。

2011级三角函数、向量、解斜三角形综合一、重点知识回顾1、终边相同的角的表示方法：理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；⑴角度制与弧度制的互化：π弧度180=，1801π=弧度，1弧度)180(π='1857 ≈⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：RlR S 21212==θ。

2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式： （1）三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：,cos ,sin r x r y ==ααx y=αtan（2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（3）特殊角的三角函数值 α6π 4π3π2ππ23π2πsin α 0 2122 2310 -1cos α 123 22210 -1 0 1tan α 0 3313不存在 0 不存在 0（3）同角三角函数的基本关系：x x xx x tan cos sin ;1cos sin 22==+（4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）: 3、两角和与差的三角函数 （1）和（差）角公式 ① ② ③（2）二倍角公式 ①； ②；③（3）经常使用的公式①升（降）幂公式：21cos 2sin 2αα-=、21cos 2cos 2αα+=、1sin cos sin 22ααα=；②辅助角公式：22sin cos )a b a b αααϕ+=++（ϕ由,a b 具体的值确定）； ③正切公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-⋅. 4、三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ωϕ=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；⑶会从图象归纳对称轴和对称中心； （4）注意加了绝对值后的情况变化.（5）写单调区间注意0ω>.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，并能由图象写出解析式．⑴“五点法”作图的列表方式；⑵求解析式sin()y A x ωϕ=+时处相ϕ的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ϕω=-.（三）正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换方法如下： （1）先平移后伸缩（2）先伸缩后平移5、解三角形Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理R C cB b A a 2sin sin sin ===（R 2是ABC ∆外接圆直径）注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③C B A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。

三角函数必修4 第1章三角函数§1.1任意角的概念、弧度制重难点：理解任意角的概念，掌握角的概念的推广方法,能在直角坐标系讨论任意角，判断象限角、轴线角，掌握终边相同角的集合．掌握弧长公式、扇形面积公式并能灵活运用．考纲要求：①了解任意角的概念．②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化．经典例题：写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：（1）600；（2）-210；（3）363014，当堂练习：1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A C D．A=B=C2 下列各组角中，终边相同的角是（）A．与B．C．D．3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2 B．C．D．4．设角的终边上一点P的坐标是，则等于（）A．B．C．D．5．将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是（）A．B．－C．D．－6．设角和的终边关于轴对称，则有（）A．B．C．D．7．集合A={ ，B={ ，则A、B之间关系为（）A．B．C．B A D．A B8．某扇形的面积为1 ，它的周长为4 ，那么该扇形圆心角的度数为（）A．2°B．2 C．4°D．49．下列说法正确的是（）A．1弧度角的大小与圆的半径无关B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等D．用弧度表示的角都是正角10．中心角为60°的扇形，它的弧长为2 ，则它的内切圆半径为（）A．2 B．C．1 D．11．一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积为（）A．B．C．D．12．若角的终边落在第三或第四象限，则的终边落在（）A．第一或第三象限B．第二或第四象限C．第一或第四象限D．第三或第四象限13．，且是第二象限角，则是第象限角.14．已知的取值范围是.15．已知是第二象限角，且则的范围是.16．已知扇形的半径为R，所对圆心角为，该扇形的周长为定值c，则该扇形最大面积为.17．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界）（1）（2）（318．一个视力正常的人，欲看清一定距离的文字，其视角不得小于5′.试问：（1）离人10米处能阅读的方形文字的大小如何？（2）欲看清长、宽约0.4米的方形文字，人离开字牌的最大距离为多少？19．一扇形周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？20．绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm? 21．已知集合A={求与A∩B中角终边相同角的集合S.必修4 第1章三角函数考纲总要求：①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出，，的图像，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在区间的性质（单调性、最大和最小值与轴交点等），理解正切函数在区间的单调性．④理解同角三角函数的基本关系式．⑤了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响．⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．§1.2.1-2任意角的三角函数值、同角三角函数的关系重难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式；能利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来；掌握同角三角函数的基本关系式，三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用以及对三角式进行化简和证明．经典例题：已知为第三象限角，问是否存在这样的实数m，使得、是关于的方程的两个根，若存在，求出实数m，若不存在，请说明理由.当堂练习：1．已知的正弦线与余弦线相等，且符号相同，那么的值为（）A．B．C．D．2．若为第二象限角，那么的值为（）A．正值B．负值C．零D．为能确定3．已知的值为（）A．－2 B．2 C．D．－4．函数的值域是（）A．{－1，1，3} B．{－1，1，－3} C．{－1，3} D．{－3，1}5．已知锐角终边上一点的坐标为（则=（）A．B．3 C．3－D．－36．已知角的终边在函数的图象上，则的值为（）A．B．－C．或－D．7．若那么2 的终边所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．、、的大小关系为（）A．B．C．D．9．已知是三角形的一个内角，且，那么这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．不等腰的直角三角形D．等腰直角三角形10．若是第一象限角，则中能确定为正值的有（）A．0个B．1个C．2个D．2个以上11．化简（是第三象限角）的值等于（）A．0 B．－1 C．2 D．－212．已知，那么的值为（）A．B．－C．或－D．以上全错13．已知则.14．函数的定义域是_________.15．已知，则=______.16．化简.17．已知求证：.18．若,求角的取值范围.19．角的终边上的点P和点A（）关于轴对称（）角的终边上的点Q与A关于直线对称. 求的值.20．已知是恒等式. 求a、b、c的值.21．已知、是方程的两根，且、终边互相垂直. 求的值.必修4 第1章三角函数§1.2.3三角函数的诱导公式重难点：能借助于单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式；能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决求值、化简和恒等式证明问题；能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程．经典例题：已知数列的通项公式为记求当堂练习：1．若那么的值为（）A．0 B．1 C．－1 D．2．已知那么（）A．B．C．D．3．已知函数，满足则的值为（）A．5 B．－5 C．6 D．－64．设角的值等于（）A．B．－C．D．－5．在△ABC中，若，则△ABC必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形6．当时，的值为（）A．－1 B．1 C．±1 D．与取值有关7．设为常数），且那么（）A．1 B．3 C．5 D．78．如果则的取值范围是（）A．B．C．D．9．在△ABC中，下列各表达式中为常数的是（）A．B．C．D．10．下列不等式上正确的是（）A．B．C．D．11．设那么的值为（）A．B．－C．D．12．若，则的取值集合为（）A．B．C．D．13．已知则.14．已知则.15．若则.16．设，其中m、n、、都是非零实数，若则.17．设和求的值.18．已知求证：19．已知、是关于的方程的两实根，且求的值. 20．已知（1）求的表达式；（2）求的值.21．设满足,（1）求的表达式；（2）求的最大值．必修4 第1章三角函数§1.3.1-2三角函数的周期性、三角函数的图象和性质重难点：理解周期函数的概念．能利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；对正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用，能灵活应用正切函数的性质解决相关问题．经典例题：设（1）令表示P；（2）求t的取值范围，并分别求出P的最大值、最小值.当堂练习：1．若，则（）A．α<βB．α>βC．α+β>3πD．α+β<2π2．函数的单调减区间为（）A．B．C．D．3．已知有意义的角x等于（）A．B．C．D．4．函数的图象的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．5．直线y=a（a为常数）与y=tanωx（ω>0）的相邻两支的交点距离为（）A．πB．C．D．与a有关的值6．下列函数中，以π为周期的偶函数是（）A．B．C．D．7．在区间（－，）内，函数y=tanx与函数y=sinx图象交点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．下列四个函数中为周期函数的是（）A．y=3 B．C．D．9．在△ABC中，A>B是tanA>tanB的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．函数的定义域是（）A．B．C．D．11．方程的解集为（）A．B．C．D．12．函数上为减函数，则函数上（）A．可以取得最大值M B．是减函数C．是增函数D．可以取得最小值－M13．.14．若= .15．函数y=2arccos（x－2）的反函数是. 16．函数的定义域为.17．求函数上的反函数.18．如图，某地一天从6时到11时的温度变化曲线近似满足函数(1) 求这段时间最大温差；(2) 写出这段曲线的函数解析式．19．若，求函数的最值及相应的x值.20．已知函数的最大值为1，最小值为－3，试确定的单调区间.21．设函数当在任意两个连续整数间（包括整数本身）变化时至少有两次失去意义，求k 的最小正整数值.必修4 第1章三角函数§1.3.3函数的图象和性质重难点：函数的图像的画法和设图像与函数y=sinx图像的关系，以及对各种变换内在联系的揭示．经典例题：如图，表示电流强度I与时间t的关系式在一个周期内的图象.（１）试根据图象写出的解析式；（２）为了使中t在任意一段秒的时间内I能同时取最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数的最小值为多少？当堂练习：1．函数的图象（）A．关于原点对称B．关于点（－，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x= 对称2．要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位3．如图，曲线对应的函数是（）A．y=|sinx|B．y=sin|x|C．y=－sin|x|D．y=－|sinx|4．已知f(1+cosx)=cos2x,则f(x)的图象是下图中的（）5．如果函数y=sin2x+αcos2x的图象关于直线x=－对称，那么α的值为（）A．B．－C．1 D．－16．已知函数在同一周期内，时取得最大值，时取得最小值－，则该函数解析式为（）A．B．C．D．7．方程的解的个数为（）A．0 B．无数个C．不超过3 D．大于38．已知函数那么函数y=y1+y2振幅的值为（）A．5 B．7 C．13 D．9．已知的图象可以看做是把的图象上所有点的横坐标压缩到原来的1/3倍（纵坐标不变）得到的，则= （）A．B．2 C．3 D．10．函数y=－x•cosx的部分图象是（）11．函数的单调减区间是（）A．B．C．D．12．函数的最小正周期为（）A．πB．C．2πD．4π13．若函数的周期在内，则k的一切可取的正整数值是. 14．函数的最小值是．15．振动量的初相和频率分别为，则它的相位是．16．函数的最大值为．17．已知函数（１）求的最小正周期;（２）求的单调区间;（３）求图象的对称轴，对称中心.18．函数的最小值为－2,其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图象过点（0，1）求这个函数的解析式.19．已知函数=sin2x+acos2x在下列条件下分别求a的值.（１）函数图象关于原点对称;（２）函数图象关于对称.20．已知函数的定义域为，值域为[－5，1]求常数a、b的值．21．已知α、β为关于x的二次方程的实根，且，求θ的范围．必修4 第1章三角函数§1.3.4三角函数的应用重难点：掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．经典例题：已知某海滨浴场的海浪高度是时间( ,单位:小时)的函数,记作.下表是某日各时的浪高数据:经长期观察, 的曲线可近似地看成是函数的图象.(1)根据以上数据,求出函数的最小正周期,振幅及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午到晚上之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?当堂练习：1.若A、B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2004北京西城一模)设0＜|α|＜,则下列不等式中一定成立的是( )A.sin2α＞sinαB.cos2α＜cosαC.tan2α＞tanαD.cot2α＜cotα3.已知实数x、y、m、n满足m2+n2=a,x2+y2=b(a≠b),则mx+ny的最大值为( )A. B. C. D.4. 初速度v0，发射角为，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式为（）A. B. C. D.5. 当两人提重为的书包时，夹角为，用力为，则为____时，最小（）A． B. C. D.6.某人向正东方向走x千米后向右转，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为（）A． B. C. D.7. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为，从甲楼顶望乙楼顶俯角为，则甲、乙两楼的高度分别为____________________.8.一树干被台风吹断折成角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是________.9.(2006北京海淀模拟)在△ABC中,∠A=60°,BC=2,则△ABC的面积的最大值为_________.10.在高出地面30 m的小山顶上建造一座电视塔CD(如右图),今在距离B点60 m的地面上取一点A,若测得C、D所张的角为45°,则这个电视塔的高度为_______________.11.已知函数的最小正周期为,最小值为,图象经过点,求该函数的解析式.12．如图，某地一天从时到时的温度变化曲线近似满足函数,(I)求这段时间的最大温差;(II)写出这段曲线的函数解析式.13.若x满足,为使满足条件的的值(1)存在;(2)有且只有一个;(3)有两个不同的值;(4)有三个不同的值,分别求的取值范围.14.如图,化工厂的主控制表盘高1米,表盘底边距地面2米,问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚?(设值班人员坐在椅子上时,眼睛距地面1.2米)必修4 第1章三角函数§1.4三角函数单元测试1. 化简等于（）A. B. C. 3 D. 12. 在ABCD中，设, ，, ,则下列等式中不正确的是（）A．B．C．D．3. 在中，①sin(A+B)+sinC；②cos(B+C)+cosA；③；④，其中恒为定值的是（）A、①②B、②③C、②④D、③④4. 已知函数f(x)=sin(x+ )，g(x)=cos(x－)，则下列结论中正确的是（）A．函数y=f(x)•g(x)的最小正周期为2B．函数y=f(x)•g(x)的最大值为1C．将函数y=f(x)的图象向左平移单位后得g(x)的图象D．将函数y=f(x)的图象向右平移单位后得g(x)的图象5. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（）A．B．C．D．6. 函数的值域是（）A、B、C、D、7. 设则有（）A． B. C. D.8. 已知sin , 是第二象限的角，且tan( )=1,则tan 的值为（）A．－7 B．7 C．－D．9. 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（）A. B C D10. 函数的周期是（）A．B．C．D．11. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是的值等于（）A．1 B．C．D．12. 使函数f(x)=sin(2x+ )+ 是奇函数，且在[0，上是减函数的的一（）A．B．C．D．13、函数的最大值是3，则它的最小值______________________14、若，则、的关系是____________________15、若函数f(χ)是偶函数，且当χ＜0时，有f(χ)=cos3χ+sin2χ，则当χ＞0时，f(χ)的表达式为.16、给出下列命题：(1)存在实数x，使sinx+cosx＝; (2)若是锐角△的内角，则> ; (3)函数y＝sin( x- )是偶函数；(4)函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，得到y＝sin(2x+ )的图象.其中正确的命题的序号是.17、求值:18、已知π2 <α<π,0<β<π2 ,tanα=－34 ,cos(β－α)= 513 ,求sinβ的值.19、已知函数（1）求它的定义域、值域以及在什么区间上是增函数；（2）判断它的奇偶性；（3）判断它的周期性。

2011届高考二轮复习(全国通用)数学学案---三角函数专题(教师版全套)D商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。

诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取4.求三角函数值域的常用方法：求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域；（2）利用sin ,cos x x 的有界性求值域；（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性5. 三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ωϕ=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对．．．．．．值后的周期情况．．．．．．．； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；sin y x=的对称轴是2x k ππ=+()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈；cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2k ππ+()k Z ∈ tan y x=的对称中心是(,0)()2k k Z π∈注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意0ω>.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，并能由图象写出解析式．⑴“五点法”作图的列表方式；⑵求解析式sin()y A x ωϕ=+时处相ϕ的确定方法：代（最高、低）点法、公式1xϕω=-.（三）正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x=的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x kωϕ=++的图象．【专题综合】例 1.已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ；(2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化例2.已知向量2(2cos sin )(sin cos )(3)a ααb ααx a t b =-=+-，2，=，，，y ka b=-+，且0x y ⋅=，(1)求函数()k f t =的表达式；(2)若[13]t ∈-，，求()f t 的最大值与最小值 解：(1)24a=，21b=，0a b ⋅=，又0x y ⋅=，所以22222[(3)]()(3)[(3)]0x y a tb ka b ka t b t k t a b ⋅=+-⋅-+=-+-+--⋅=，所以31344k t t =-，即313()44k f t t t ==-；(2)由(1)可得，令()f t 导数233044t -=，解得1t =±，列表如下：t－1 (－1，1)1 (1，3)()f t 导数0 － 0 + ()f t极大值递减极小值递增而119(1)(1)(3)222f f f -==-=，，，所以maxmin 91()()22f t f t ==-，说明：本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通。

高考数学二轮专题复习 第16课时 三角形中的三角函数一、基础练习1、在△ABC 中，cosB=135-，cosC=54，则sinA=_________ 2、在△ABC 中，cos(4π+A)=135，则cos2A=_________ 3、△ABC 中，已知a-b=c(cosB-cosA)，则△ABC 的形状是___________4、在△ABC 中，已知acosB-bcosA=53c ，则tanAcotB=_________ 5、在△ABC 中，三边a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，则b=_________ 二、例题1、已知△ABC 中，acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列。

（1）求∠B 的值；（2）求2sin 2A+cos(A-C)的范围。

2、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若m =(cosA ，sinA)，n =(cosB ，sinB)，且m ·n =3sinB-cosC 。

（1）求角A 的大小；（2）若a=3，当△ABC 面积最大时，求c ，b 的值。

3、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ABC S AC AB ∆=⋅38（其S △ABC 为△ABC 的面积）。

（1）求A C B 2cos 2sin 2++。

（2）若b=2，S △ABC =3，求a 的值。

三、巩固练习1、△ABC 中，A>B 是sinA>sinB 的___________条件。

2、△ABC 中，AB=1，BC=2，则∠C 的取值范围是_____________3、在△ABC 中，BC=6，AB+AC=10，则△ABC 的面积的最大值是_________4、已知A 、B 、C 是△ABC 的内角，向量m =(sinB ，1-cosB)与向量n =(2，0)所成的角为3π，则角B=_________，sinA+sinC 的取值范围是_____________。

热点问题2 三角形中的三角函数一、填空题1．在锐角三角形ABC 中，A B BC 2,1==，则AC 的取值范围是_________． 答案()2,3解析 由正弦定理得sin 2cos sin BC AC B A A ==．而02022032A B A C A B A πππππ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=--=-<⎪⎩， 所以64A ππ<<，从而()2,3AC ∈．2．若ABC 的内角,A B 满足sin 2cos()sin BA B A=+，则B 的最大值为_________． 答案6π 解析 由条件得2sin 2sin cos()2sin cos cos 2sin sin B A A B A A B A B =+=-, 所以222sin cos 2tan 23tan 112sin 13tan 33tan tan A A AB A AA A===≤+++,从而B 的最大值为6π． 3．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =．当3si n c o s ()4A B π-+取最大值时，A 的大小为_________． 答案3π解析 由sin cos c A a C =及正弦定理得tan 1C =，所以4C π=．又3sin cos()3sin cos(())3sin cos 2sin()446A B A A C A A A ππππ-+=---+=+=+． 因为304A π<<，所以当3A π=时，3sin cos()4A B π-+取最大值2． 4．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,则ABC 面积的最大值为_________． 答案 3解析 由2a =，(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-得()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-． 由正弦定理得222()()(),a b a b c b c b c a bc +-=-+-=，1cos ,23A A π==． 因为222b c a bc +-=，所以22224,42,4b c bc b c bc bc bc +-=+=+≥≤，当且仅当b c =时取等号．所以1sin 32ABCSbc A =≤． 5．若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则m 的取值范围是_________． 答案 ()2,+∞解析 不妨设A B C <<，则由条件得3B π=．sin()sin 3sin sin()3c C m a A πθπθ+===-，展开后整理得 3tan 2313tan tan 3m θθθ+==----，其中63ππθ<<，从而2m >． 6．已知ABC 的三内角,,A B C 成等差数列，且角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．则下列命题中正确的有_________．（把所有正确的命题序号都填上） ①3B π=；②若,,a b c 成等比数列，则ABC 为等比三角形；③若2a c =，则ABC 为锐角三角形；④若2AB AB AC BA BC CA CB =++，则3A C =；⑤tan tan 30A C ++>，则ABC 为钝角三角形． 答案 ①②④解析 对④而言：由2AB AB AC BA BC CA CB =++得2cos cos cos a bc A ac B ab C =++,根据余弦定理得2222222222222b c a a c b a b c c bc ac ab bc ac ab+-+-+-=⨯+⨯+⨯，整理得222c a b =+，所以2C π=，从而,36A C A π==．7．在直角ABC 中，两条直角边分别为,a b ，斜边和斜边上的高分别为,c h ，则c ha b++的取值范围是 ．答案 31,24⎛⎤ ⎥⎝⎦解析 因为,sin ,tan cos b c h b A a b A A ===，所以1sin cos (0)sin cos 2c h A A A a b A A π++=<<++． 设sin cos A A t +=，则问题就转化为求函数11()2y t t=+在12t <≤上的值域．由此得到c ha b ++的取值范围是31,24⎛⎤⎥⎝⎦． 8．在直角ABC 中，8,3,,,2AB BC B A B π===分别在平面直角坐标系中,x y 的正半轴上滑动，O 为坐标原点，则OC 长的最大值为 ． 答案 9解析 设BAO θ∠=，则点C 坐标为(3sin ,3cos 8sin )θθθ+．2229sin (3cos 8sin )40sin(2)41OC θθθθϕ=++=-+，其中34cos ,sin ,0552πϕϕϕ==<<，则2max 81OC =，OC 长的最大值为9．另：记AB 的中点为M ，则4OM =，所以中点M 在以原点O 为圆心，4为半径的圆上．当且仅当,,O M C 三点共线时，OC 长的最大值，最大值为9． 二、解答题9．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若4,8b BA BC ==． （1）求22a c +的值；（2）求函数2()3sin cos cos f B B B B =+的值域．解 （1）因为cos BA BC ac B =，所以cos 8ac B =．由余弦定理得22282a c b ac ac+-⨯=，得2232a c +=．（2）因为2222216161cos 222a c b B ac ac a c +-==≥=+，所以03B π<≤， 又1()sin(2)62f B B π=++，所以()f B 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．10.在锐角ABC 中，已知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量2(2s i n (),3),(c o s 2,2c o s1),2BA CB =+=-m n 且,m n 共线． （1）求角B 的大小；（2）如果1b =，求ABC 的面积的最大值．解 （1）因为(2sin ,3),(cos 2,cos )B B B ==m n ，且,m n 共线，所以2sin cos 3cos 20B B B -=，得tan 23,02B B π=<<，6B π=．（2）因为2222cos b a c ac B =+-,所以2212cos (23)6a c ac ac π=+-≥-，12323ac ≤=+-，当且仅当a c =时取等号．从而123sin 24ABCSac B +=≤，ABC 的面积的最大值为234+． 11.已知函数2()3sin cos cos (,f x m x x m x n m n =++∈R ）在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，当0m >时，()1,sin 4sin()f A B C π==-，当ABC 的面积为3，求边长a 的值．解 （1）整理得1()sin(2)62f x m x m n π=+++．因为04x π≤≤,所以1sin(2)126x π≤+≤．当0m >时，()f x 的值域为3,2m n m n ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦．因此，12,,()2sin(2)31622m n m f x x n m n π+=⎧=⎧⎪=+⎨⎨=-+=⎩⎪⎩，增区间为,,36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．当0m <时，()f x 的值域为3,2m n m n ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦．因此，321,,()2sin(2)32462m m n f x x n m n π⎧=-+=⎧⎪=-++⎨⎨=⎩⎪+=⎩，增区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ． （2）由条件得()2sin(2)1,63f A A A ππ=+==．由sin 4sin()B C π=-及正弦定理得4b c =．由21sin 32ABC S bc A c ==得1,4c b ==，从而222cos 13a b c bc A =+-=．12．在ABC 中，已知3tan tan tan tan 3A B A B --=． （1）求角C 的大小；（2）设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2c =，且ABC 是锐角三角形，求22a b +的取值范围； （3）若ABC 的面积为3，求ABC 的周长的最小值． 解 （1）3C π=．（2）22222228216(2sin )(2sin )(sin sin )cos(2)sin 333c a b R A R B A B A C π⎛⎫+=+=+=-+ ⎪⎝⎭， 其中，62A ππ<<，所以2220,83a b ⎛⎤+∈⎥⎝⎦． （3）因为1sin 32ABCSab C ==，所以4ab =． 周长2222cos ()3l a b c a b a b ab C a b a b ab =++=+++-=+++-，因为24a b ab +≥=，所以6l ≥，当且仅当a b =时取等号，所以周长的最小值为6．。