第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率_瞬时变化率教案

变化的快慢与变化率()-一、学习目标1．理解“变化率问题”，课本中的问题1,2.2. 知道平均变化率的定义。

二、课前自学A 阅读课本26P 页平均变化率的概念回答下面的问题：1.（1）x ∆是相对于1x 的一个___________，它可以是_______，也可以是_________，可以用________ 代替2x .（2） 变化率是一个_________ ，分母x ∆可以很小，但不能为_____________.2. 由平均变化率的概念可得求函数()y f x =的平均变化率的步骤：（1）求自变量的增量______________；(2)求函数的增量________________；(3)求平均变化率______________________.注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②Δf=Δy=y 2-y 1；B 小试牛刀：1.函数()y f x =的自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数值的改变量Δy 为（ ）A.()0f x x +∆B.()0f x x +∆C.()0f x x ⋅∆D. ()()00f x x f x +∆-2．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．3. 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆x y .三、合作学习在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在105.69.4)(2++-=t t t h 的函数关系，如何计算运动员的平均速度？并分别计算0≤t ≤0.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，___________.；在21≤≤t 这段时间里，___________.探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形计算和思考，展开讨论；四、课堂训练1、函数()2x x f =在区间[]3,1-上的平均变化率是（ ） A 、4 B 、2 C 、41 D 、432. 已知函数1)(2+-=x x f ，分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率 （1）[1，1.01] (2)[0.9,1]3、已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。

1.变化的快慢与变化率—瞬时变化率一、回忆旧知对于函数y＝f(x)，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f(x)的函数值由f(x1)变化到f(x2)，它的平均变化率为，把自变量的变化x2－x1称作，记作，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作的改变量，记作，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 .二、探究新知(一) 自学探究：认真阅读课本27-30页的内容，回答对一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是 Δy Δx＝ ＝ 。

而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处 .（二）典例精析例1.求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2， Δx ＝0.1时平均变化率的值．变式训练：分别求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在x ＝1,2,3附近Δx 取12时的平均变化率k 1，k 2，k 3，并比较其大小． 例2.已知s (t )＝12gt 2，其中g ＝10 m/s 2. (1)求t 从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求t 从3秒到3.01秒的平均速度；(3)求t 在t ＝3秒时的瞬时速度．变式训练；以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度． 三、课堂检测1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.442．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度等于( )A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9Δt C ．3＋Δt D ．9＋Δt3.课本30页练习题24. 专家伴读18页打基础4、5、6四、知识小结1．函数的平均变化率的概念2. 平均变化率与瞬时变化率的关系。

第二章导数及其应用2.1 平均变化率与瞬时变化率1. 从实例分析中理解平均变化率和瞬时变化率的意义，会求简单函数在某一区间的平均变化率和在某一点处的瞬时变化率；2. 领会从平均变化率到瞬时变化率的逼近过程，使学生体会、理解平均变化率与瞬时变化率的联系．重点：函数在某一点处的瞬时变化率．难点：从平均变化率到瞬时变化率的逼近．一、新课导入问题1：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图：比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？答案：①根据图象可以看出在这两段时间下降的体温一样多；②这两段时间的长度不一样，因此在20 min到30 min这段时间内，体温变化较快．我们可以用单位时间内的变化情况来刻画快慢；如，在0 min到20 min这段时间内，单位时间体温变化为：38.5−3920−0=−0.520=−0.025(℃/min)，在20 min到30 min这段时间内，单位时间体温变化为：38−38.530−20=−0.510=−0.05(℃/min)，单位时间里，20 min到30 min这段时间内提问变化量大，这段时间内的体温变化就快．二、新知探究平均变化率：对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为 f(x2)，它在◆教学目标◆教学过程◆教学重难点◆区间[x1，x2]的平均变化率=f(x2)−f(x1)x2−x1．通常我们把自变量的变化x2−x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)−f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx =f(x2)−f(x1)x2−x1用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．问题2：函数平均变化率有怎样的几何意义？答案：函数的平均变化率的几何意义是函数图象上过P(x1，f(x1))， Q (x2，f(x2))两点的直线的斜率(如图)，即k PQ=ΔyΔx =f(x2)−f(x1)x2−x1．设计意图：通过学生熟悉的生活体验，提炼出数学模型，归纳出函数平均变化率的概念，让学生体会“数学来源于生活”，感知如何探讨问题的本质，学会用数学语言和数学观点分析问题.如果一块岩石突然松动，从峭壁顶上垂直下落，请估算岩石在时刻t=5s时的速度．问题３：用数学语言表达岩石下落过程中的平均速度答案：下落的岩石是自由落体，由物理学知识可得ℎ=12gt2，其中ℎ是下落高度，t是时间．于是，取一小段时间由t1到t2，可得这一小段时间内的平均速度ΔℎΔt =ℎ(t2)−ℎ(t1)t2−t1．追问：你能计算某一时刻的速度吗？答案：我们可以用平均速度逼近某一时刻的速度．若想求t1时刻的速度，当Δt＝t2−t1很小时，t1时刻的速度就可以用[t1，t2]内的平均速度来表示，取t1=5，再取越来越小的Δt，观察一下对应的平均速度的情况，列表如下t2/s t1/s时间t的改变量(Δt=t2−5)/s高度的改变量(Δℎ=12g(t22−52)/m平均速度(ΔℎΔt)/(m/s)4.95−0.1−0.485148.51 4.995−0.01−0.4895148.95 4.9995−0.001−0.048995148.9951速度．从以上的计算可以看出，当时间趋t2于t0=5 s时，平均速度趋于49m/s．瞬时变化率：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1−x0，Δy＝f(x1)−f(x0)，则该函数的平均变化率为ΔyΔx =f(x1)−f(x0)x1−x=f(x+Δx)−f(x)Δx，如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢．问题4：平均变化率与瞬时变化率有什么关系？答案：区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．（2）“Δx趋于0”的含义Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx−0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0．三、应用举例例1 已知函数f(x)=2x2+3x−5，且Δx=1时，求函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx．解因为f(x)=2x2+3x−5，所以Δy＝f(x1+Δx)−f(x1)=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)−5−(2x12+3x1−5)=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx．所以当x1=4，Δx=1时，Δy=2×12+(4×4+3)×1=21，则ΔyΔx =211=21总结：求函数平均变化率的三个步骤：第一步，求自变量的增量Δx=x2−x1；第二步，求函数值的增量Δy=f(x2)−f(x1)；第三步，求平均变化率ΔyΔx．例2. 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示，求物体在t=1s时的瞬时速度．解ΔsΔt =s(1+Δt)−s(1)Δt=(1+Δt)2+(1+Δt)+1−(12+1+1)Δt=3+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于3，即物体在t=1s时的瞬时速度为3 m/s．探究：若例题中的条件不变，试求物体的初速度．解求物体的初速度，即求物体在t=1s时的瞬时速度．∵ΔsΔt =s(0+Δt)−s(0)Δt=(0+Δt)2+(0+Δt)+1−1Δt=1+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于1，即物体在t=1s时的瞬时速度为1 m/s．探究：若例题中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s．解设物体在t0时的瞬时速度为9m/s．又ΔsΔt =s(t0+Δt)−s(t0)Δt=(2t0+1)+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于2t0+1，则2t0+1=9，所以t0=4．则物体在4s时的瞬时速度为9m/s．总结：求函数f(x)在点x=x0处的瞬时变化率的步骤：(1)求Δy=f(x0+Δx)−f(x0)；(2)计算ΔyΔx，并化简，直到当Δx=0时有意义为止；(3)将Δx=0代入化简后的即得瞬时变化率．四、课堂练习1．在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足( )A. Δx>0B. Δx<0C. Δx≠0D. Δx可为任意实数2．函数f(x)=8x−6在区间[m，n]上的平均变化率为_________．3．一质点运动规律是s=t2+3(s的单位为m，t的单位为s），则在t=1 s时的瞬时速度估计是________m/s．参考答案：1．答案C 解析因平均变化率为ΔyΔx，故Δx≠0．2．答案８解析因平均变化率为f(n)−f(m)n−m=8．3．答案2 解析Δs=s(1+Δt)−s(1)=(1+Δt)2+3−(12+3)=2Δt+(Δt)2∴ΔsΔt =2Δt+(Δt)2Δt=2+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于2．五、课堂小结１.概念：平均变化率，瞬时变化率．２.平均变化率与瞬时变化率的区别与联系：区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx化率，它是一个固定值．六、布置作业教材第52页练习第2，3，4题．。

第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。

高中数学的变化率问题教案教学目标：1. 理解变化率的定义和概念；2. 掌握求解变化率的方法；3. 能够应用变化率解决实际问题。

教学重点和难点：1. 变化率的概念和定义；2. 求解变化率的方法；3. 将变化率应用于实际问题中。

教学准备：1. 教材：高中数学教材中有关变化率的知识点；2. 教具：黑板、彩色粉笔、教案复印件；3. 知识点整理：准备变化率的定义、求解方法和相关例题。

教学流程：一、引入教师通过一个简单的生活场景引入变化率的概念，让学生了解变化率与日常生活的联系。

二、概念和定义1. 教师讲解变化率的定义和概念，引导学生理解变化率表示的是某一情况随时间、空间或其他变化而发生的程度。

2. 教师让学生通过实例理解变化率的计算方法，如函数的导数表示函数在某一点的变化率。

三、求解变化率的方法1. 教师让学生通过实例计算函数的导数，并解释导数的物理意义；2. 教师讲解变化率计算的一般步骤，如根据已知量列方程、求导、代入数值等。

四、实际问题应用1. 教师让学生通过应用例题，实践变化率的计算方法；2. 教师引导学生分析实际问题，找出关键信息，运用变化率解决问题。

五、课堂练习教师设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识点。

六、总结教师对本节课所学内容进行总结，强调变化率的重要性和应用。

七、作业布置教师布置相关作业，让学生巩固所学内容。

教学反思：1. 教师要注意引导学生提高数学思维，培养解决问题的能力；2. 教师要根据学生的表现及时调整教学方法，确保教学效果。

（备注：以上教案仅供参考，具体教学过程根据实际情况进行调整和改进）。

变化的快慢与变化率——瞬时变化率一、教学目标：1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。

3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。

二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。

教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的理解 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：函数平均变化率的概念1、对一般的函数y =f （x ）来说，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从f （1x ）变为2()f x 。

平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数)(x f y =在),(00x x x ∆+内的平均变化率为xy∆∆，如我们常用到年产量的平均变化率。

2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。

（二）、探究新课例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为221gt s =其中，g 为重力加速度)/8.9(2s m g =，试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。

分析：当时间t 从t 0变到t 1时，根据平均速度公式101)()(t t t s t s t s --=∆∆， 可以求出从5s 到6s 这段时间内小球的平均速度9.5315.1224.17656)5()6(=-=--s s （m/s ）。

我们有时用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。

为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s 这段时间内的平均速度5.491.05.12245.12751.5)5()1.5(=-≈--s s （m/s ）。

用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。

如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。

解：我们将时间间隔每次缩短为前面的1，计算出相应的平均速度得到下表： 可以看出，当时间t 1趋于t 0=5s 时，平均速度趋于49m/s ，因此，可以认为小球在t 0=5s 时的瞬时速度为49m/s 。

导数的概念及其几何意义（第1课时）教案一、教材分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2》（北师大版）第二章第二节《导数的概念及其几何意义》第一课时，是学生学习了平均变化率与瞬时变化率的基础上形成导数概念.导数是微积分的核心概念之一，也是本章的一个核心概念，它为即将学习导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识奠定了基础，更是研究函数的单调性、极值、最值和解决生活实际问题等有力工具.二、学生分析1．已有基础：基于学生已经学习了平均变化率与瞬时变化率，再通过实例顾上一节平均变化率与瞬时变化率的关系，由此抽象出函数在某点的瞬时变化率就是瞬时变化率就是导数，这是符合学生认知规律的．2．困难之处：教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的，这对学生理解导数概念中的极限符号有一定的障碍.三、教学目标（一）知识与技能1.理解导数的概念、知道瞬时变化率就是导数；2.能解释具体函数在一点的导数的实际意义；（二）过程与方法1. 通过实例回顾上一节平均变化率与瞬时变化率的关系，对瞬时变化率从数量方面进行抽象，得到导数概念；2.通过问题探究的形式复习，再次理解由具体到抽象、由特殊到一般的数学研究方法，体会“无限逼近”的极限思想；3.通过问题的探究，培养学生的探究意识和探究方法；（三）情感态度与价值观1.通过导数概念的学习，体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的方法；2.通过了解导数产生的历史及它在实际生活、生产和科研中的广泛应用及巨大作用，认识学习导数的必要性，从而激发学生学习导数的兴趣；三、教学重点与难点重点：导数概念的形成过程及理解导数在实际问题中的意义.难点：对导数概念的理解.四、设计思想教学设计充分尊重学生认知事物的基本规律，通过实例重现平均变化率到瞬时变化率的过程，在此基础上构建导数的概念，并在具体的问题情境中，让学生解释求得导数值的实际意义，进一步体会导数的本质，即生活实际数学生活实际.t→0的平均变化率x→教案说明本节课的设计以新课程的教学理念为指导，遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的原则。

2.1变化的快慢与变化率【学习要求】1．理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念． 2．会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度． 【学法指导】从平均速度和瞬时速度的概念推广到函数的平均变化率与瞬时变化率，用来刻画事物变化的快慢，为导数的学习作准备. 一．基础知识回顾1．对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f x 2 －f x 1x 2－x 12．对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率为Δy Δx ＝f x 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx；当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．3．平均变化率用来刻画函数值在某个范围内变化的快慢，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢 二．问题探究探究点一：平均变化率例1：已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx；(3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．解：f (x )＝2x 2＋3x －5，∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1) ＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx . (1)当x 1＝4，Δx ＝1时，Δy ＝2＋(4×4＋3)×1＝21，Δy Δx ＝211＝21. (2)当x 1＝4，Δx ＝0.1时，Δy ＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，Δy Δx ＝1.920.1＝19.2. (3)在(1)题中Δy Δx ＝f x 2 －f x 1x 2－x 1＝f 5 －f 45－4，它表示抛物线上P 1(4,39)与点P 2(5,60)连线的斜率．在(2)题中，ΔyΔx＝f x 2 －f x 1 x 2－x 1＝f 4.1 －f 44.1－4，它表示抛物线上点P 1(4,39)与点P 2(4.1,40.92)连线的斜率．跟踪训练1：已知函数f (x )＝x 2＋x ，计算f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．解：函数f (x )＝x 2＋x 在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx 2＋x 0＋Δx － x 20＋x 0 Δx ＝ 2x 0＋1 ·Δx ＋ Δx2Δx ＝2x 0＋1＋Δx ，当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数f (x )＝x 2＋x 在区间[2,2.1]上的平均变化率为2×2＋1＋0.1＝5.1.探究点二：瞬时变化率例2 一辆汽车按规律s ＝3t 2＋1做直线运动，估计汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度．(时间单位：s ；位移单位：m)解：当时间从3变到3＋Δt 时，v ＝s 3＋Δt －s 3 Δt ＝3 3＋Δt 2＋1－ 3×32＋1Δt＝3Δt ＋18. 当Δt 趋于0时，v 趋于常数18. ∴这辆汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s. 跟踪训练2：求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的瞬时变化率．解：∵Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2 Δx ＝－ 2＋Δx 2＋3 2＋Δx － －22＋3×2 Δx ＝－ Δx 2－ΔxΔx ＝－Δx －1. ∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于－1. 即函数f (x )在x ＝2处的瞬时变化率为－1.三．练一练1．已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx=(C)A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )22．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为 (C)A ．2B ．1C ．12D ．143．质点运动方程为s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )内，相应的平均速度等于6＋Δt ． 4．函数y ＝f (x )＝1x2＋2在x ＝1处的瞬时变化率为－2．四．课时小结1．平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢．2．可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义. 五．作业设计1． 一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为 (D)A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 2． 函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是 (A)A ．0B ．1C ．2D ．Δx3． 在曲线y ＝x 2＋2的图像上取一点(1,3)及附近一点(1＋Δx,3＋Δy )，则ΔyΔx等于 (C)A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx4． 函数y ＝2x 2－x 在x ＝2附近的平均变化率是 (C)A ．7B ．7＋ΔxC ．7＋2ΔxD ．7＋2(Δx )2 5． 一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为 (B)A ．4B ．6C ．24D ．486． 自由落体运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt，则Δt趋于0时，v 趋于9.8 m/s ，它是(C)A ．0～1秒内的平均速度B ．1～(1＋Δt )秒内的速度C ．1秒这一时刻的瞬时速度D ．1～(1＋Δt )秒内的平均速度7 甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的 (B)A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定8 函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为－99． 过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝2.110．自由落体运动物体在t ＝4 s 时刻的瞬时速度为39.2 m/s ．(取g ＝9.8 m/s 2) 11．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率．解：因为Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2 Δx2Δx＝－8－2Δx .12．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2 Δx ＝ 2＋Δx 2－7 2＋Δx ＋15－ 22－7×2＋15 Δx ＝4Δx ＋ Δx 2－7Δx Δx ＝Δx －3，当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于－3，即第2 h 时，瞬时变化率为－3. 它说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降．13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2(0≤t <3) 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度． 解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt＝482＝24 (m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝s 0＋Δt －s 0 Δt ＝29＋3[ 0＋Δt －3]2－29－3 0－32Δt＝3Δt－18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18，即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率．∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝s 1＋Δt －s 1Δt＝29＋3[ 1＋Δt －3]2－29－3 1－3 2Δt ＝3Δt －12.∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12.即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.2.2导数的概念及其几何意义【学习要求】1．理解导数的概念以及导数和变化率的关系．2．会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义． 3．理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 【学法指导】通过导数的定义体会其中蕴涵的逼近思想，利用数形结合思想进一步直观感受这种思想． 一．基础知识回顾1．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx2．曲线的切线如图，曲线y ＝f (x )的一条割线AB ，其中A (x 0，f (x 0))，B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))．当Δx 趋于零时，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l ，称直线l 为曲线y ＝f (x )在点A 处的切线．3．函数的平均变化率的几何意义是曲线y ＝f (x )割线的斜率；函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)表示曲线f (x )在点A 处的切线的斜率 二．问题探究探究点一：函数在一点处的导数例1：蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)，计算T ′(2)，并解释它的实际意义．解：T ′(2)＝lim Δt →0T 2＋Δt －T 2 Δt ＝lim Δt →01207＋Δt ＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫1207＋15Δt ＝lim Δt →0－120·Δt7 7＋Δt ·Δt＝－12049 (℃/min)．T ′(2)＝－12049(℃/min)表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以12049℃/min 的速度下降．跟踪训练1：已知正方形的面积S 是边长x 的函数S ＝x 2，计算S ′(5)并说出S ′(5)的意义．解：S ′(5)＝lim Δx →0S 5＋Δx －S 5 Δx ＝lim Δx →05＋Δx 2－52Δx ＝lim Δx →010Δx ＋ Δx2Δx＝lim Δx →0(10＋Δx )＝10. S ′(5)＝10说明正方形的面积在边长为5时以10的速度增加．探究点二：导数的几何意义问题1：如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？答：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置．这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．问题2：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答：不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．例2：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图像．根据图像，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2附近的变化情况．解：我们用曲线h (t )在t 0，t 1，t 2处的切线，刻画曲线h (t )在上述三个时刻附近的变化情况．(1)当t ＝t 0时，曲线h (t )在t 0处的切线l 0平行于t 轴．所以，在t ＝t 0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．(2)当t ＝t 1时，曲线h (t )在t 1处的切线l 1的斜率h ′(t 1)<0.所以，在t ＝t 1附近曲线下降，即函数h (t )在t ＝t 1附近单调递减．(3)当t ＝t 2时，曲线h (t )在t 2处的切线l 2的斜率h ′(t 2)<0.所以，在t ＝t 2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减．从图中可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．跟踪训练2：(1)根据例2的图像，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．解：函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)>0，所以，在t＝t3，t＝t4附近单调递增，且曲线h(t)在t3附近比在t4附近递增得快(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是(A)解析：依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图像上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图像，只有A满足．探究点三：求切线的方程问题1：怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？答：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．问题2：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？答：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．例3：已知曲线f(x)＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．解：(1)设切点为(x0，y0)，limΔx→0 x0＋Δx 2－x20Δx＝limΔx→0x20＋2x0·Δx＋ Δx 2－x20Δx＝2x0，∴f′(1)＝2. ∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. (2)点P(3,5)不在曲线f(x)＝x2上，设切点为(x0，y0) 由(1)知，f′(x0)＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)①，再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x20②，联立①，②得，x0＝1或x0＝5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25) 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即y＝10x－25. 综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.跟踪训练3：已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．解：y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2 x＋Δx 2－7]－ 2x2－7Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x. (1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x －y －15＝0和16x －y －39＝0.三．练一练1．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0f x 0＋h －f x 0h(B)A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关2．函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为 (B) A ．12 B ．6 C ．3 D ．23．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 (A) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－14．已知曲线f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为(3,30) ． 四．课时小结1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点. 五．作业设计1． 函数f (x )＝x 2－1在x ＝1处的导数是 (C)A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对2． 设函数f (x )＝ax 3＋2，且f ′(－1)＝3，则a 等于 (D)A ．－1 B.12 C.13D ．13. 已知y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是 (B)A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定4． 在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是 (D)A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)5． 设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－x )x ＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是 (B)A ．1B ．－1 C.12D ．－26． 曲线f (x )＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为 (A)A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －27． 已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝38． 若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝39． 设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－12 10．一质点按规律s ＝s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔsΔt＝4a ＋a Δt .由题意知，在t ＝2 s 时，瞬时速度为s ′(2)＝lim Δt →0ΔsΔt＝4a ，故4a ＝8，所以a ＝2. 11．求过点P (－1,2)且与曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．解：曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率f ′(1)＝lim Δx →0 3 1＋Δx 2－4 1＋Δx ＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0 (3Δx ＋2)＝2.∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 12．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴f ′(x )＝lim Δx →0 x ＋Δx 2＋4－ x 2＋4Δx＝lim Δx →0 Δx 2＋2x ·ΔxΔx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x )＝2x .∴f ′(－2)＝－4，f ′(3)＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.13．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2.当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9.∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.2.3计算导数【学习要求】1．会求函数在一点处的导数．2．理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数． 【学法指导】利用定义求导法是最基本的方法，而导数公式的应用在简单函数的求导中作用重大；我们要从几何、物理等不同角度深刻认识导数的内涵. 一．基础知识回顾1．导函数：一般地，如果一个函数f(x)在区间(a ，b)上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x)：f ′(x)＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx，则f ′(x)是关于x 的函数，称f ′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数． 2．导数公式表二．问题探究探究点一：函数在一点处的导数计算例1：已知f(x)＝x 2－3.(1)求f(x)在x ＝2处的导数；(2)求f(x)在x ＝a 处的导数． 解：(1)因为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2 Δx ＝ 2＋Δx 2－3－ 22－3 Δx ＝4＋Δx ，∴f ′(2)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(4＋Δx)＝4. (2)Δy Δx ＝f a ＋Δx －f a Δx ＝ a ＋Δx 2－3－ a 2－3Δx ＝2a ＋Δx ，∴f ′(a)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(2a ＋Δx)＝2a.跟踪训练1：求函数f(x)＝1x－x 在点x ＝4处的导数．解：Δy Δx ＝14＋Δx － 4＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫14－4Δx ＝－14 4＋Δx －1. ∴f ′(4)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋4Δx －1＝－1716. 探究点二：导函数例2：求函数y ＝f(x)＝1x＋5的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(2)．解：∵Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x) ＝1x ＋Δx ＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5＝－Δx x ＋Δx ·x ，∴Δy Δx ＝－1 x ＋Δx ·x ，∴f ′(x)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0－1 x ＋Δx ·x ＝－1x 2.∴f ′(2)＝－14.跟踪训练2：求函数f(x)＝－x 2＋3x 的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(3)，f′(－1)． 解：f ′(x)＝lim Δx →0f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0－ x ＋Δx 2＋3 x ＋Δx ＋x 2－3xΔx＝lim Δx →0(－Δx －2x ＋3)＝－2x ＋3，即f ′(x)＝－2x ＋3，∴f ′(3)＝－2×3＋3＝－3，f ′(－1)＝－2×(－1)＋3＝5.探究点三：导数公式表的应用 例3:求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x；(3)y ＝1x3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x.解:(1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝(4x 3)′＝(34x)′＝3414x-＝344x；(5)y ′＝(log 3x)′＝1xln 3.跟踪训练3:求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝(12)x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝13log x.解:(1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝(12)x ln 12＝－(12)x ln 2；(3)∵y ＝x x ＝32x，∴y ′＝3212x；(4)y ′＝1xln13＝－1xln 3.三．练一练1．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y ＝1x2，则y′＝－2x －3；④若f(x)＝3x ，则f′(1)＝3.其中正确的个数是 (C) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．函数f(x)＝x ，则f ′(3)等于(A)A.36B.0C.12xD.323．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 (A)A ．[0，π4]∪[3π4，π)B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为12e 2．解析：∵y ′＝(e x)′＝e x，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2. 当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.四．课时小结1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cosx ，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化． 五．作业设计1． 下列结论中正确的个数为 (D)①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1xln 2.A ．0B ．1C ．2D ．32． 过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为 (B)A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C.⎝⎛⎭⎫－12，－2D.⎝⎛⎭⎫12，－2 3． 已知f(x)＝x a，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于 (A)A ．4B ．－4C ．5D ．－54． 曲线y ＝x 3的斜率等于1的切线有 (B)A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定5． 若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于 (A) A ．64 B ．32 C ．16 D ．86． 已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x的切线，则实数k 的值为 (D)A.1e B ．－1e C ．－e D ．e 7． 若f(x)＝10x ，则f ′(1)＝10ln 108． 曲线f(x)＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为－349．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b ＝ln 2－110． 求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4. 解：(1)y ′＝(x x)′＝32()x ′＝32312x -＝32x.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x－5＝－4x 5.(3)y ′＝(5x 3)′＝35()x ′＝35315x -＝3525x -＝355x2.(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x)′＝1xln 2.(5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cosx2＝sin x ，∴y ′＝(sin x)′＝cos x. 11．求与曲线y ＝3x 2在点P(8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程．解：∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝23()x ′＝2313x -，即在点P(8,4)处的切线的斜率为13.从而适合题意的直线方程为y －4＝－3(x －8)，即3x ＋y －28＝0.12．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，利用导数的定义求h ′(2)，并解释其实际意义．解：烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度就是h ′(2)．而Δh Δt ＝h 2＋Δt －h 2Δt＝－4.9－4.9Δt.所以h ′(2)＝lim Δt →0 ΔhΔt ＝lim Δt →0 (－4.9－4.9Δt)＝－4.9.即在t ＝2 s 时，烟花正以4.9 m/s 的瞬时速度下降．13．设f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f ′0(x)，f 2(x)＝f ′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N ，试求f 2 014(x)． 解：f 1(x)＝(sin x)′＝cos x ，f 2(x)＝(cos x)′＝－sin x ，f 3(x)＝(－sin x)′＝－cos x ，f 4(x)＝(－cos x)′＝sin x ，f 5(x)＝(sin x)′＝f 1(x)，f 6(x)＝f 2(x)，…，f n ＋4(x)＝f n (x)，可知周期为4，∴f 2 014(x)＝f 2(x)＝－sin x.2.4 2.5导数的四则运算法则【学习要求】1．理解导数的加减法法则．2．运用导数公式和导数的加法、减法法则求一些函数的导数． 3．理解导数的乘法与除法法则．4．将导数公式和导数四则运算相结合，灵活解决一些导数问题． 【学法指导】1. 应用导数的运算法则可以解决比较复杂的函数的求导问题，简化求导过程，体现了数学中的转化思想.2.使用导数公式和运算法则，可以先将函数解析式化简变形，减少计算量，增强导数工具的实用性.一．基础知识回顾1.两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )，[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )．2.一般地，若两个函数f (x )和g (x )的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x .特别地，当g (x )＝k 时，有[kf (x )]′＝kf ′(x) 二．问题探究探究点一：导数的加法与减法法则例1：求下列函数的导数．(1)y ＝x 3＋x 2＋x ；(2)y ＝2x＋x .解：(1)y ′＝(x 3＋x 2＋x )′＝(x 3)′＋(x 2)′＋(x )′＝3x 2＋2x ＋1. (2)y ′＝(2x＋x )′＝(2x )′＋(x )′＝2xln 2＋12x.跟踪训练1：已知f (x )＝tan x ＋sin x ，求f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 解：f ′(x )＝(tan x )′＋(sin x )′＝1cos 2x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4＋12＝92.探究点二：导数加减法的应用例2：已知函数f (x )＝x 3＋x ，求函数在点(2,10)处的切线方程． 解：f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1. ∴f ′(2)＝3×22＋1＝13. ∴所求切线的斜率是13. ∴切线方程为y －10＝13(x －2)，即13x －y －16＝0. ∴所求切线的方程是13x －y －16＝0.跟踪训练2：已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，求曲线y ＝f (x )在x ＝π4处的切线方程．解：∵f ′(x )＝(sin x ＋cos x )′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4－sin π4＝0. ∴曲线y ＝f (x )在x ＝π4处的切线斜率为0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，∴所求切线方程为y ＝ 2.探究点三：导数乘除法的运算法则 例3：求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2；(2)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x；(3)y ＝ln x ＋2xx 2；(4)y ＝1－12sin 2x 2. 解：(1)∵y ＝x 3＋32x-＋sin x x2＝x 3＋32x-＋sin x ·x －2，∴y ′＝(x 3＋32x-＋sin x ·x－2)′＝3x 2－3252x-＋cos x ·x －2＋(－2x －3)sin x ＝3x 2－32x5＋cos xx 2－2sin xx 3.∴y ′＝3x 2＋cos x x 2－32x 2x－2sin x x 3.(2)∵y ＝ 1＋x 21－x ＋ 1－x 21－x ＝2 1＋x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝(41－x －2)′＝4′ 1－x －4 1－x ′ 1－x 2＝4 1－x 2.(3)y ′＝(ln x x 2＋2xx 2)′＝(ln x x 2)′＋(2xx 2)′＝1x·x 2－ln x ·2xx 4＋2x ·ln 2·x 2－2x·2xx 4＝1－2ln x x ＋ ln 2·x 2－2x ·2xx 4＝1－2ln x ＋ ln 2·x －2 2xx3.(4)∵y ＝1－12sin 2x 2＝14(3＋1－2sin 2x 2)＝14(3＋cos x )＝34＋14cos x ，∴y ′＝(34＋14cos x )′＝－14sin x .跟踪训练3：求下列函数的导数：(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝x ＋3x 2＋3；(3)y ＝x sin x －2cos x .解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝(x sin x cos x )′＝ x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x＝ sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2xcos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x(2)y ′＝x ＋3 ′ x 2＋3 － x ＋3 x 2＋3 ′ x ＋3 ＝－x 2－6x ＋3 x ＋3 .(3)y ′＝(x sin x )′－(2cos x )′＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x. 探究点四：导数的应用例4：(1)曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为3x －y ＋1＝0(2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：f (x )＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为(－2,15)(3)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解析:（1）y ′＝e x ＋x e x ＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1（2）解析：设P (x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知，f ′(x 0)＝3x 20－10＝2，∴x 20＝4.∴x 0＝－2，∴y 0＝15. ∴P 点的坐标为(－2,15)．（3）解：∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2，∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.跟踪训练4：(1)曲线f (x )＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 (B) A ．－12B ．12C ．－22D ．22（1）解析：f ′(x )＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin x sin x ＋cos x 2＝1sin x ＋cos x2，故f ′(π4)＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.(2)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．解：由题意得，f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a 2x2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知⎩⎪⎨⎪⎧f ′ 0 ＝0f 0 ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧02－a ·0＋b ＝0c ＝1，故b ＝0，c ＝1.三．练一练1．函数f (x )＝sin x ＋x 的导数是 (A)A ．f ′(x )＝cos x ＋1B ．f ′(x )＝cos x －1C ．f ′(x )＝－cos x ＋1D ．f ′(x )＝－cos x ＋x2．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为 (B) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5 3．已知f ′(1)＝13，则函数g (x )＝f (x )＋x 在x ＝1处的导数为144．过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点坐标为(1，e) 解析：∵(e x)′＝e x.设切点坐标为(x 0，ex )，则过该切点的切线斜率为ex ，令ex ＝e x －0x 0－0.即x 0·ex ＝ex ，∴x 0＝1.∴切点坐标为(1，e)．5．设y ＝－2e xsin x ，则y ′等于(D)A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e xsin x D ．－2e x(sin x ＋cos x ) 6．曲线f (x )＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为(A)A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋27．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝0 ，b ＝－18．设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，当h (x )满足下列条件时，求h (5)，h ′(5)．(1)h (x )＝3f (x )＋2g (x )；(2)h (x )＝f (x )g (x )＋1； (3)h (x )＝f x ＋2g x.解：(1)h ′(x )＝3f ′(x )＋2g ′(x )．∴h (5)＝3f (5)＋2g (5)＝3×5＋2×4＝23，h ′(5)＝3f ′(5)＋2g ′(5)＝3×3＋2×1＝11. (2)h ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．∴h (5)＝f (5)g (5)＋1＝5×4＋1＝21，h ′(5)＝f ′(5)g (5)＋f (5)g ′(5)＝3×4＋5×1＝17. (3)h ′(x )＝f ′ xg x －[f x ＋2]g ′ x g 2x .∴h (5)＝f 5 ＋2g 5 ＝5＋24＝74，h ′(5)＝f ′ 5 g 5 －[f 5 ＋2]g ′ 5 g 2 5 ＝3×4－ 5＋2 ×142＝516. 四．课时小结1．导数公式和导数的运算法则是计算导数的重要工具． 2．利用导数解决曲线的切线问题要分清所给点是否是切点. 3.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题. 五．作业设计导数的加法与减法法则1． 下列结论不正确的是 (D)A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x2． 函数y ＝x －(2x －1)2的导数是 (D)A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x3． 曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为 (C)A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4)4． 曲线f (x )＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是 (C)A.24B.22C.322D. 2 5． 已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能是 (A)A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －16． 函数y ＝2x 2－x x ＋3x －2x的导数为 (D)A.x ⎝⎛⎭⎫3＋1x 2＋1B.x ⎝⎛⎭⎫3－1x 2－1C.x ⎝⎛⎭⎫3－1x 2＋1 D .x ⎝⎛⎭⎫3＋1x 2－1 7．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为 (A)A ．4B ．－14C ．2D ．－128． 过点P (－1,2)且与曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是2x －y ＋4＝09． 某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是s ，s 的单位是m)，则它在第4 s末的瞬时速度应该为71316m/s10．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝111． 已知函数f (x )＝2x ＋x 2－x ，求f ′(1)，f ′(4)．解：f ′(x )＝(2x ＋x 2－x )′＝(2x )′＋(x 2)′－x ′＝2xln 2＋2x －1，∴f ′(1)＝2ln 2＋1，f ′(4)＝24·ln 2＋2×4－1＝16ln 2＋7.12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．解：因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a ＋b ＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.13．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数f (x )的解析式．解：由M (－1，f (－1))在x ＋2y ＋5＝0上得－1＋2f (－1)＋5＝0即f (－1)＝－2.也即－a －61＋b＝－2.①f ′(x )＝a x 2＋b －2x ax －6 x 2＋b 2，由f ′(－1)＝－12得a 1＋b ＋2 －a －6 1＋b 2＝－12.②由①②得a ＝2，b ＝3，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.14．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋bx2，∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值此定值为6.导数的乘法与除法法则1． 函数y ＝x1－cos x 的导数是 (B)A.1－cos x －x sin x 1－cos xB.1－cos x －x sin x (1－cos x )2C.1－cos x ＋sin x (1－cos x )2D.1－cos x ＋x sin x (1－cos x )22． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于 (B)A ．－1B ．－2C ．2D ．03． 设曲线f (x )＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于 (D)A ．2 B.12 C ．－12D ．－24． 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于 (B)A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 25． 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(D)A.⎣⎡⎭⎫0，π4B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 6． 设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是(D)A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]7． 曲线f (x )＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为.x ＋y －2＝08． 设f (x )＝a e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e，则a ＋b ＝19．若函数f (x )＝e x x 在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值为12．10． 求下列函数的导函数：(1)f (x )＝(x 2＋7x －5)sin x ；(2)f (x )＝x 3＋cot x ln x ；(3)f (x )＝2sin x ＋x －2x 3x2.解：(1)f ′(x )＝(x 2＋7x －5)′sin x ＋(x 2＋7x －5)(sin x )′＝(2x ＋7)sin x ＋(x 2＋7x －5)cos x .(2)f ′(x )＝ x 3＋cot x ′ln x － x 3＋cot x ln x ′ln 2x＝ 3x 2－1sin 2x x ln x －x 3－cot xx ln 2x .(3)f ′(x )＝(x ＋2sin x －2x)′x －23＋(x ＋2sin x －2x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23′＝(1＋2cos x －2x ln 2)x －23－23(x ＋2sin x －2x)x －53.11．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.求直线l 2的方程．解：∵y ′＝2x ＋1，∴直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2的切点为B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.∵l 1⊥l 2，∴2b ＋1＝－13，b ＝－23.∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.12．已知偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图像过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．解：∵f (x )的图像过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴ax 4＋bx3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0，∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，可知切点为(1，－1)，∴a ＋c ＋1＝－1.①∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.②由①②解得a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1. 13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方程．解：设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x－2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x22－4.②因为两切线重合，所以由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝－2 x 2－2 ，－x 21＝x 22－4解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝0.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.2.6简单复合函数的求导法则【学习要求】1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax ＋b)的导数)． 【学法指导】复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程． 一．基础知识回顾二．问题探究探究点一：复合函数的定义例1：指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y ＝(3＋5x)2；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)；(3)y ＝cos 3x.解：(1)y ＝(3＋5x)2是由函数y ＝u 2，u ＝3＋5x 复合而成的．(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)是由函数y ＝log 3u ，u ＝x 2－2x ＋5复合而成的．(3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成的．跟踪训练1：指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y ＝ln x ；(2)y ＝e sin x；(3)y ＝cos (3x ＋1)．解：(1)y ＝ln u ，u ＝x ；(2)y ＝e u，u ＝sin x ；(3)y ＝cos u ，u ＝3x ＋1. 探究点二：复合函数的导数 例2：求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x；(3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3.解：(1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3. (2)y ＝11－2x＝(1－2x)12-可看作y ＝u12-，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u32-·(－2)＝(1－2x)32-＝11－2x 1－2x.(3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3)＝－2cos(2x －π3)．(4)原函数可看作y ＝10u，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.跟踪训练2：求下列函数的导数．(1)y ＝ln 1x；(2)y ＝e 3x；(3)y ＝5log 2(2x ＋1)．解：(1)函数y ＝ln 1x 可以看成函数y ＝ln u 和函数u ＝1x 的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(lnu)′·(1x )′＝1u ·(－1x 2)＝－1x .(2)函数y ＝e 3x 可以看成函数y ＝e u和函数u ＝3x 的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u)′·(3x)′＝3e u＝3e 3x. (3)函数y ＝5log 2(2x ＋1)可以看成函数y ＝5log 2u 和函数u ＝2x ＋1的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝5(log 2u)′·(2x ＋1)′＝10uln 2＝102x ＋1ln 2. 探究点三：导数的应用 例3：求曲线f(x)＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．解：∵f ′(x)＝e2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e2x ＋1，∴f ′(－12)＝2，∴曲线f(x)＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程为y －1＝2(x ＋12)，即2x －y ＋2＝0.跟踪训练3：曲线f(x)＝e 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．解：f ′(x)＝(e 2x cos 3x)′＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x)′＝2e 2x cos 3x ＋e 2x(－3sin 3x) ＝e 2x(2cos 3x －3sin 3x) f ′(0)＝2. 则切线方程为y －1＝2(x －0) 即2x －y ＋1＝0若直线l与切线平行可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1|5＝5⇒c ＝6或c ＝－4. 故直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.三．练一练1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 (D) A ．2(3x －2) B ．6x C ．6x(3x －2) D ．6(3x －2)2．若函数y ＝sin 2x ，则y′等于 (A)A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin xcos xD ．cos 2x3．若y ＝f(x 2)，则y′等于 (A)A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x)C ．4x 2f(x)D ．f ′(x 2)4．设曲线f(x)＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝2 四．课时小结求简单复合函数f(ax ＋b)的导数：求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f(u)，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f(u)与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f(u)，u ＝ax ＋b 的形式是关键.五．作业设计1． 下列函数不是复合函数的是 (A)A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos(x ＋π4)C ．y ＝1ln x D ．y ＝(2x ＋3)42． 函数y ＝1(3x －1)2的导数是 (C)A.6(3x －1)3B.6(3x －1)2 C ．－6(3x －1)3 D ．－6(3x －1)23． y ＝ex 2－1的导数是 (B)A ．y ′＝(x 2－1)ex 2－1B ．y ′＝2xex 2－1C ．y ′＝(x 2－1)e xD ．y ′＝ex 2－1 4． 函数y ＝x 2cos 2x 的导数为 (B)A ．y ′＝2xcos 2x －x 2sin 2xB ．y ′＝2xcos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2xsin 2x D ．y ′＝2xcos 2x ＋2x 2sin 2x 5． 已知直线y ＝x ＋1与曲线f(x)＝ln(x ＋a)相切，则a 的值为 (B)A ．1B ．2C ．－1D ．－26． 曲线f(x)＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 (D )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2 7． 函数y ＝(2 011－8x)3的导数y ′＝－24(2 011－8x)28． 曲线y ＝cos(2x ＋π6)在x ＝π6处切线的斜率为－29． 函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f ′(2)＝5，则实数a 的值为1 10．求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋2x 2)8；(2)y ＝11－x2；(3)y ＝sin 2x －cos 2x ；(4)y ＝cos x 2. 解：(1)设y ＝u 8，u ＝1＋2x 2，∴y ′＝(u 8)′(1＋2x 2)′＝8u 7·4x ＝8(1＋2x 2)7·4x ＝32x(1＋2x 2)7.(2)设y ＝12u -，u ＝1－x 2，则y ′＝(12u -)′(1－x 2)′＝(－1232u -)·(－2x)＝x(1－x 2)32-.(3)y ′＝(sin 2x －cos 2x)′＝(sin 2x)′－(cos 2x)′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22sin(2x ＋π4)．(4)设y ＝cos u ，u ＝x 2，则y ′＝(cos u)′·(x 2)′＝(－sin u)·2x ＝(－sin x 2)·2x ＝－2xsin x 2.11．已知a>0，f(x)＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线．求切线l 的方程．解：f(x)＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f(0)＝1.∴f ′(x)＝2ax －2＋1x ＋1＝。

高二数学瞬时变化率 导数教案教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。

从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。

所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。

2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：xx f x x f k ∆-∆+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。

3、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2) 位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤：1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度ts v ∆∆= 3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，t s ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率三、数学应用例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。