高二数学下学期开学考试试题

福建省厦门双十中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．椭圆2221(1)x y a a+=>的离心率为12，则=a （ ）ABCD ．22．记等差数列{}n a 的前n 项和为3712,6,17n S a a a +==，则16S =（ ） A ．120B ．140C ．160D ．1803．函数()f x 的导函数()f x '，满足关系式()()222ln f x x xf x '=+-，则()2f '的值为（ ）A ．72-B ．72C ．12-D ．124．设,αβ是两个平面，,m l 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若,,m l αβαβ⊥∥∥，则m l ⊥ B ．若,,m l m l αβ⊂⊂∥，则αβ∥ C ．若,,m l l αβαβ=I ∥∥，则m l ∥D ．若,,m l m l αβ⊥⊥∥，则αβ⊥5．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过坐标原点的直线与C 交于,A B 两点，211222,4F B F A F A F B a =⋅=u u u r u u u r，则C 的离心率为（ ）A B ．2C D 8．在三棱锥-P ABC 中，22AB BC ==，60ABC ∠=o ，设侧面PBC 与底面ABC 的夹角为α，若三棱锥-P ABC tan α=（ ）AB C D ．4二、多选题9．已知曲线C 的方程为22126x y k k +=--（R k ∈），则下列结论正确的是（ ） A ．当4k =时，曲线C 为圆B ．“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要且不充分条件C ．存在实数k 使得曲线CD ．当0k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y = 10．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且11(2)n n S a -=+-，则下列说法正确的是（ ） A ．2a =-B ．{}n S 中任意奇数项的值始终大于任意偶数项的值C ．{}n S 的最大项为13S =，最小项为232S =D ．12231011201612a a a a a a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭L11．已知函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，若()()()4f x y f x f y xy ++=，则（ ）A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．函数12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数D ．函数12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是减函数三、填空题12．设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，已知51013S S =，那么1020SS = ．13．已知轴截面为正三角形的圆锥MM '的高与球O 的直径相等，则圆锥MM '的体积与球O 的体积的比值是 ，圆锥MM '的表面积与球O 的表面积的比值是 ． 14．以max M 表示数集M 中最大的数．设01a b c <<<<，已知2b a ≥或1a b +≤，则{}max ,,1b a c b c ---的最小值为 ．四、解答题15．已知函数()2ln 2f x x x ax =+++在点()()22f ,处的切线与直线230x y +=垂直．(1)求a ；(2)求()f x 的单调区间和极值．16．设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．(1)若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式； (2)若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．17．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，11112,,45AA C CB C CD C CO =∠=∠∠=︒．(1)证明：1C O ⊥平面ABCD ； (2)求二面角1B AA D --的正弦值．18．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于,A B 两点，过F 与l 垂直的直线交C 于,D E 两点，其中,B D 在x 轴上方，,M N 分别为,AB DE 的中点． (1)证明：直线MN 过定点；(2)设G 为直线AE 与直线BD 的交点，求GMN V 面积的最小值．19．今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以M 余数为N 的项，将这样的操作记为(,)L M N 操作.设数列{}n a 是无穷非减正整数数列.（1）若12,n n a n N -+=∈，{}n a 进行(2,1)L 操作后得到{}n b ，设n n a b +前n 项和为n S①求n S ．②是否存在,,p q r N +∈，使得,,P q r S S S 成等差？若存在，求出所有的(,,)p q r ；若不存在，说明理由．（2）若,n a n n N +=∈，对{}n a 进行(4,0)L 与(4,1)L 操作得到{}n b ，再将{}n b 中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到{}n c 证明：每个大于1的奇平方数都是{}n c 中相邻两项的和．。

高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知两个向量，且，则的值为（ ）()()2,1,2,4,,a b m n =-= //a bm n +A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】B【分析】根据向量共线得，解出即可. 4212m n ==-【详解】，，解得， //a b 4212m n∴==-2,4m n =-=则. 2m n +=故选：B.2．直线的一个方向向量是（ ） 210x y ++=A ． B ．C ．D ．()1,2-()1,2()2,1-()2,1【答案】C【分析】先由直线斜率得到直线的一个方向向量，再对选项逐一检验即可. 【详解】因为直线可化为，210x y ++=1122y x =--所以直线的斜率为，则直线的一个方向向量为，210x y ++=12k =-11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对于A ，与不平行，故A 错误；(1,2)-11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对于B ，与不平行，故B 错误；(1,2)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C ，，故与平行，则也是直线的一个方向向,(22,1)211⎛⎫-= ⎝-⎪⎭(2,1)-11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2,1)-210x y ++=量，故C 正确；对于D ，与不平行，故D 错误.(2,1)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C.3．椭圆的焦距为4，则的值等于（ ）2219x y m +=m A ．5 B ．13C ．5或13D ．25【答案】C【分析】根据椭圆中的关系求解. ,,a b c 【详解】由题知：，24,2=∴=c c当焦点在轴上时，； x 2913m c =+=当焦点在轴上时，，y 295m c =-=或13.5m ∴=故选:C.4．在正四面体中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则的值为-P ABC PE BC ⋅A ．B ．1C D ．1-73【答案】A【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E 是棱中点，可PA BC ⊥0PA BC ⋅=AB 得，代入，利用数量积运算性质即可得出.()12PE PA PB =+ PE BC ⋅【详解】如图所示由正四面体的性质可得：PA BC ⊥可得：0PA BC ⋅=是棱中点E AB()12PE PA PB \=+()111122cos12012222PE BC PA PB BC PA BC PB BC \×=+×=×+×=´´´=- 故选：A 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.5．在数列中，，且，，则（ ） {}n a 12a =111n na a +=-*n ∈N 2022a =A ．2 B ．-1C ．D ．112【答案】C【分析】根据给定条件推导出数列的周期，再借助周期性计算得解.{}n a【详解】解：在数列中，，，则， {}n a N n *∀∈111n na a +=-2111111111n n n na a a a ++===----，3211111(1)n nn na a a a ++===---于是得数列是周期数列，周期为3， {}n a 又，所以，，所以， 12a =21111112a a ===---()321111112a a ===---202267333312a a a ⨯+===所以. 202212a =故选：C.6．等比数列中，已知，则的值为（ ） {}n a 135716,8a a a a +=+=9111315a a a a +++A ．2 B ．4 C ．6 D ．12【答案】C【分析】利用等比数列的性质求解.【详解】设等比数列的公比为，则，{}n a q 445173,a a q a a q ==. 4571312a a q a a +∴==+.()()2891113151357116862a a a a a a a a q ⎛⎫∴+++=+++⋅=+⨯= ⎪⎝⎭故选:C.7．若两圆和恰有三条公切线，则()229900x y m m +++-=>()221400x y n n +--+=>的最小值为（ ） 114m n+A ． B ．C ．D ．1161414【答案】C【分析】分析出两圆外切，可得出，将与相乘，展开后利用基本不9416m n +=114m n +()19416m n +等式可求得的最小值. 114m n+【详解】圆的标准方程为，圆心为()229900x y m m +++-=>(229x y ++=，半径为，()1C -13r =圆的标准方程为，圆心为，半径为()221400x y n n +--+=>(221x y +-=(20,C ，21r =因为两圆有三条公切线，则两圆外切，则，14C ==即，9416m n +=， 119411149191101416416416m n n m m n m n m n ⎛+⎛⎫⎛⎫∴+=+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当，即时，等号成立， 494n mm n=344m n ==故的最小值为. 114m n+1故选：C.8．如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，是111ABC A B C -AB AC 1AA 1AB AC AA ==M N 线段，上的点，平面与平面 所成（锐）二面角为，当最小时，1BB 1CC AMN ABC 6π1B M （ ）AMB ∠=A ．B ．C ．D ．512π3π4π6π【答案】B【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能A AC x AB y 1AA z 求出的大小．AMB ∠【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， A AC x AB y 1AA z 设，1=1AB AC AA ==设，，则，0，，，1，，，0，，，1，，CN b =BM a =(1N )b (0M )a (0A 0)(0B 0)，1，，，0，，(0AM = )a (1AN =)b 设平面的法向量，，，AMN (n x =y )z，取，得，，， ·0·0AM n y az AN n x bz⎧=+=⎨=+=⎩1z =(n b =-a -1)平面的法向量，0，，ABC (0m =1)平面与平面所成（锐二面角为，AMN ABC )6π||cos 6||||m n m n π∴= A A 解得，22331a b +=当|最小时，，∴1|B M 0b=BM a == tan AB AMB BM ∴∠==．3AMB π∴∠=故选．B【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、多选题9．已知直线，则下列说法正确的是 12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=A ．若，则m =-1或m =3 B ．若，则m =3 12l l //12l l //C ．若，则D ．若，则 12l l ⊥12m =-12l l ⊥12m =【答案】BD【分析】根据两直线平行或垂直求出参数值然后判断．【详解】直线，则，解得或，但时，两直线方程分别为12l l //3(2)0m m --=3m =1m =-1m =-，即，两直线重合，只有时两直线平行，A 错，B 正10x y --=3330x y -++=30x y --=3m =确；，则，，C 错，D 正确． 12l l ⊥230m m -+=12m =故选：BD ．【点睛】本题考查两直线平行与垂直的条件，在由两直线平行求参数时要注意检验，排除两直线重合的情形．如果用斜率求解还需讨论斜率不存在的情形．10．已知向量，则（ ）()()()1,1,0,1,0,1,2,3,1a b c =-=-=-A ．B ．6a b -= ()()27a b b c +⋅+= C ．D ．()5a b c +⊥ ()a b c - ∥【答案】CD【分析】根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解.【详解】对于A,， ()()()1,1,0,1,0,1,2,1,1a b a b =-=-∴-=--A 错误；a b ∴-==对于B ，，()()21,1,2,1,3,2a b b c +=--+=-则，故B 错误； ()()()()()21113226a b b c +⋅+=-⨯+-⨯-+⨯= 对于C,，()54,1,5a b +=--则，()()()54213510a b c +⋅=-⨯+-⨯-+⨯=则，故C 正确；()5a b c +⊥ 对于D ，，故D 正确.()()()3,3,0,1,1,0,3,b c a b c a a b c -=-=-∴-=-∴-∥故选:CD.11．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题：今有垣厚五尺，两老鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.下列说法中正硆的有（ ） A ．大鼠与小鼠在第三天相逢B ．大鼠与小鼠在第四天相逢C ．大鼠一共穿墙尺D ．大鼠和小鼠穿墙的长度比为591759:27【答案】AC【分析】对A 和B 构造等比数列，利用等比数列求和公式即可求出的值，对C ，首先求出前两天n 每天各自的工作量，再列方程求出第三天大小老鼠打通的长度，最后即可判断C 和D.【详解】对A 和B ，今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，由题得大鼠和小鼠每一天的穿墙长度成等比数列， 分别设大鼠和小鼠每日穿墙长度所成的数列为， {}{},n n a b 则大鼠第日穿墙，小鼠第n 日穿墙，n 12n n a -=112n n b -⎛⎫⎪⎝⎭=则，11122511212nnn S ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=--整理得，解得， 11242nn --=121n -=+()21log 12,3n ⎛=+∈ ⎝，，故大鼠与小鼠在第三天相逢，故A 正确，B 错误； N n *∈ 3n =对C ，第一天大老鼠打了1尺，小老鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；第二天大老鼠打了2尺，小老鼠打了0.5尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺.第三天按道理应是大老鼠打4尺，小老鼠0.25尺， 可是总长度只剩0.5尺没有打通，所以在第三天肯定可以打通.设第三天大老鼠打了尺，小老鼠则打了尺，则打洞时间相等：，解x ()0.5x -()40.50.25x x ÷=-÷方程得大老鼠在第三天打了尺，8,17x =∴817小老鼠打了，三天总的来说：大老鼠打了尺，故C 正确； 810.51734-=85931717+=对D ，大鼠和小鼠穿墙的长度比为：，故D 错误.5959:559:261717⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：AC.12．已知动点在双曲线上，双曲线的左､右焦点分别为，下列结论正确的是P 22:13y C x -=C 12F F､（ ）A ．双曲线的离心率为2 CB ．双曲线的渐近线方程为C y =C ．动点到两条渐近线的距离之积为定值PD ．当动点在双曲线的左支上时，的最大值为P C 122PF PF 18【答案】ACD【分析】根据双曲线的性质可判断A,B ，利用点到直线距离公式可判断C ，利用双曲线的定义以及基本不等式判断D.【详解】对A 和B ，双曲线，22:1,1,23y C x a b c -====所以双曲线的离心率为，C e 2==ca渐近线方程为，A 选项正确，B 选项错误；y =对C ，设点的坐标为，则，P ()00,x y 22013y x -=双曲线，C 0y -=0y +=则点C 选项正确； P 3,4对D ，当动点在双曲线的左支上时，， P C 12111,22PF c a PF a PF PF ≥-==+=+，()11122221111111484424PF PF PF PF PF PF PFPF PF ===≤=+++++当且仅当时，等号成立，12=PF 所以，的最大值为，D 选项正确.122PF PF 18故选:ACD.三、填空题13．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________． 【答案】π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【详解】因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭答案：π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭14．如图所示，在平行六面体中是的中点，点1111ABCD A B C D -1AB a AD b AA c M ===，，，，1D D N 是上的点，且，用表示向量的结果是______.1AC 113AN AC = a b c，，MN【答案】121336a b c --【分析】由空间向量的线性运算求解．【详解】是的中点，M 1D D 113AN AC =()111111112323MN MD DA AN DD AD AC AA AD AA AD AB ∴=++=--+=--+++． 1121121336336AB AD AA a b c =--=--故答案为：．121336a b c --四、双空题15．十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，记其前项和为，设{}n a 12121,1,(3n n n a a a a a n --===+≥)*N n ∈n n S （为常数），则__________，__________. 2022a m =m 20202022S a -=135********a a a a a +++++= 【答案】1-m 【分析】因为斐波那契数列满足，，通过归纳可以得出，由{}n a 11a =21a =211n n n n a a a S ++=+=+此可求，再结合求的值. 20202022S a -132********a a a a S ++⋯+=+13520192021a a a a a +++++ 【详解】因为斐波那契数列满足 {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以321a a a =+，432211a a a a a =+=++，5433211a a a a a a =+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 21122111n n n n n n n a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 所以，20202022S 1a -=-，135201920211123420192020a a a a a a a a a a a a +++++=+++++++ ， 135201920211202012022111a a a a a a S a a m m +++++=+=+-=+-= 故答案为：；.1-m五、填空题16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：一动点到两定点的距离之比等于定比，则点P A B ､m n :P 的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，点，满足的xOy ()6,0A ||:||2:1MA MO =动点的轨迹为，若在直线上存在点，在曲线上存在两点，使得M C :60l x ay a -+=P C D E ､，则实数的取值范围是__________. PD PE ⊥a 【答案】[]1,7-【分析】根据平面轨迹的求法求得动点的轨迹方程曲线为圆，作出图像，根据题意可知点M C G到直线距离的最大值为，从而利用点线距离公式即可得解.l 【详解】设，由题知，(),M x y ()222222|4|,(6)4MA MO x y x y =-+=+化简整理得，则此圆心为，半径为，22(2)16x y ++=()2,0G -4r =因为是曲线上的两点， ,PD PE D E ⊥､C 当都与圆相切，可使最大， PD PE ､DPE ∠又，，PD PE ⊥DG GE r ==此时四边形为正方形，，PDGE PG =显然，当为锐角，不满足题意，PG >DPE ∠当时，才能取得直角，故，PG ≤DPE ∠PG ≤所以点到直线距离要满足， G :60l x ay a -+=d PG ≤≤，解得，2670a a --≤17a -≤≤所以实数的取值范围为.a []1,7-故答案为：.[]1,7-【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用数形结合，找到圆心到直线距离的G :60l x ay a -+=最大值，从而列出关于的不等式，解之即可.a六、解答题17．已知直线：，直线：.1l 2240kx y k --+=2l 224480k x y k +--=（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；1l 1l （2）若，求直线的方程.12//l l 2l 【答案】（1）或；（2）.0x y -=40x y +-=60x y +-=【解析】（1）分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，分别求解即可.1l 1l (2) 若，则解得或,再验证从而得出答案.12l l //242k k ⨯=-⨯0k =2k =-【详解】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意，1l 1l 0此时则，解得， 240k -+=2k =②若直线不过原点，则斜率为，解得. 1l 12k =-2k =-因此所求直线的方程为或1l 0x y -=40x y +-=（2）①若，则解得或.12l l //242k k ⨯=-⨯0k =2k =-当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去； 0k =1l 240y -+=2l 480y -=12l l //当时，直线：，直线：，满足题意；2k =-1l 40x y +-=2l 60x y +-=因此所求直线：2l 60x y +-=【点睛】易错点睛：本题考查直线的截距概念和根据两直线的位置关系求参数，在解决这类问题时，直线在两坐标轴上的截距相等（或互为相反数）时，要注意直线过原点时也满足条件，这是l 在解题中容易漏掉的情况，在由直线平行求参数时，求出参数时要代回检验，对重合的情况要舍去，这个也是容易出错的地方，要注意，属于中档题.18．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线()222210,0x y a b a b-=>>y =的准线上.224y x =（1）求双曲线的焦点坐标；（2）求双曲线的标准方程.【答案】（1）；（2） ()6,0F ±221927x y -=【分析】（1）根据抛物线的准线方程是，求出双曲线的焦点坐标；（2）由条件可知抛物线6x =-的焦点是，且，求出双曲线的标准方程. ()6,0-b a=222c a b =+【详解】因为抛物线的准线方程为，224y x =6x =-则由题意得，点是双曲线的左焦点.()16,0F -（1）双曲线的焦点坐标.()6,0F ±（2）由（1）得，22236a b c +==又双曲线的一条渐近线方程是，y =所以，， b a =29a =227b =所以双曲线的方程为：. 221927x y -=【点睛】本题考查双曲线方程，几何性质，属于基础计算题型.19．已知圆过点相切于点．C (A 0y -=(B (1)求圆的标准方程；C (2)若，点在圆上运动，证明：为定值． ()()2,0,2,0M N -P C PM PN 【答案】(1)22(4)12x y -+=(2)证明过程见详解【分析】（1）设圆心，半径为，根据题意列出方程，求出圆心和半径，进而求出圆的方(),C a b r 程；（2）先将圆的标准方程化为一般方程，设点，再根据题意分别求出，，进而即(),P x y PM PN 可证明结论．【详解】（1）设圆心，半径为，(),C a b r因为点，，所以直线的中垂线方程是，(A (B AB 4x =过点垂直的直线方程是， (B 0y -=40x -=由，解得， 440x x =⎧⎪⎨-=⎪⎩40x y =⎧⎨=⎩圆心，，∴()4,0C r AC ==圆的标准方程是．∴C 22(4)12x y -+=（2）证明：由（1）知圆的标准方程为，22(4)12x y -+=则其一般方程为，即，22840x y x +-+=2284x y x +=-设点，且点在圆上运动，(),P x y P C则，PM ===PN ==于是， PMPN =为定值．PMPN ∴20．已知等比数列{an }中，a 1=1，且2a 2是a 3和4a 1的等差中项.数列{bn }满足b 1=1，b 7=13，且bn +2+bn =2bn +1.(1)求数列{an }的通项公式；(2)求数列{an +bn }的前n 项和Tn .【答案】(1)；(2).12n n a -=221n n T n =+-【分析】(1)根据已知条件求出等比数列的公比，然后利用等比数列通项公式求解即可；(2)根据已知求出数列的通项公式，再结合(1)中结论并利用分组求和法求解即可.{}n b 【详解】(1)设等比数列的公比为q ，{}n a 因为，所以，11a =222131,a a q q a a q q ====因为是和的等差中项，所以，即，解得，22a 3a 14a 23144a a a =+244q q =+2q =所以.1112n n n a a q --==故答案为：.12n n a -=(2)因为，所以为等差数列，212n n n b b b +++={}n b 因为，，所以公差， 11b =713b =131271d -==-故.21n b n =-所以1122n n n T a b a b a b =++++++ ()()1212n n a a a b b b =+++++++ . 2121212112()2n n n n n -+-=+=+--故答案为：.221n n T n =+-21．在①平面平面，②，③平面这三个条件中任选一个，补充PAB ⊥ABCD AP CD ⊥BC ⊥PAB 在下面的问题中并作答.如图，在四棱锥中，底面是梯形，点在上，，，P ABCD -ABCD E BC //AD BC AB AD ⊥AB AP ⊥，，且______.22244BC AB AD AP BE =====（1）求证：平面平面；PDE ⊥PAC （2）求直线与平面所成角的正弦值.PE PAC【答案】选条件①（1）证明见解析；（2②（1）证明见解析；（2③（1）证明见解析；（2【分析】若选①：（1）根据面面垂直的性质定理，可证明平面，建立空间直角坐标系PA ⊥ABCD 结合向量法证明和线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直判定定理，AC DE ⊥DE ⊥PAC 即可证明平面平面；（2）由（1）可得平面的一个法向量为，再利PDE ⊥PAC PAC ()2,1,0DE =- 用向量法结合线面所成角正弦公式即可求解直线与平面所成角的正弦值.PE PAC 若选②：根据线面垂直的判定定理，可证明平面；建立空间直角坐标系结合向量法证PA ⊥ABCD 明和线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直判定定理，即可证明平面AC DE ⊥DE ⊥PAC 平面；（2）由（1）可得平面的一个法向量为，再利用向量法结合PDE ⊥PAC PAC ()2,1,0DE =- 线面所成角正弦公式即可求解直线与平面所成角的正弦值.PE PAC 若选③：根据线面垂直的性质定理，可得，又，根据线面垂直的判定定理，即PA BC ⊥AB AP ⊥可证明平面，建立空间直角坐标系结合向量法证明和线面垂直的判定定理，PA ⊥ABCD AC DE ⊥可证平面，根据面面垂直判定定理，即可证明平面平面；（2）由（1）可DE ⊥PAC PDE ⊥PAC 得平面的一个法向量为，再利用向量法结合线面所成角正弦公式即可求解直线PAC ()2,1,0DE =- 与平面所成角的正弦值.PE PAC 【详解】方案一：选条件①.（1）∵平面平面，平面平面，平面，， PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =AP ⊂PAB AP AB ⊥∴平面.AP ⊥ABCD 又，∴，，两两垂直.AB AD ⊥AB AD AP 以A 为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标AB AD AP x y z 系，则，，，，，()0,0,0A ()2,4,0C ()0,2,0D ()2,1,0E ()0,0,2P ∴，，.()2,4,0AC = ()0,0,2AP = ()2,1,0DE =- ∵，， ()2241000AC DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ()0201200AP DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ∴，.AC DE ⊥AP DE ⊥又，∴平面.AP AC A ⋂=DE ⊥PAC又平面，∴平面平面.DE ⊂PDE PDE ⊥PAC （2）由（1）可得平面的一个法向量为，PAC ()2,1,0DE =- 又， ()2,1,2PE =- 设直线与平面所成角为，PE PAC θ则sin cos ,PE DE PE DE PE DE θ⋅==== 方案二：选条件②.（1）∵底面为梯形，，∴两腰，必相交.ABCD //AD BC AB CD 又，，，平面，AP AB ⊥AP CD ⊥AB CD ⊂ABCD ∴平面.AP ⊥ABCD 又，∴，，两两垂直.AB AD ⊥AB AD AP 以A 为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标AB AD AP x y z 系，则，，，，，()0,0,0A ()2,4,0C ()0,2,0D ()2,1,0E ()0,0,2P ∴，，.()2,4,0AC = ()0,0,2AP = ()2,1,0DE =- ∵，，()2241000AC DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ()0201200AP DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ∴，.AC DE ⊥AP DE ⊥又，∴平面.AP AC A ⋂=DE ⊥PAC 又平面，∴平面平面.DE ⊂PDE PDE ⊥PAC （2）由（1）可得平面的一个法向量为，PAC ()2,1,0DE =- 又，()2,1,2PE =- 设直线与平面所成角为，PE PAC θ则,sin cos ,PE DE PE DE PE DE θ==== 方案三：选条件③.（1）∵平面，平面，∴.BC ⊥PAB AP ⊂PAB BC AP ⊥又，，平面，，AP AB ⊥AB BC ⊂ABCD AB BC B ⋂=∴平面.AP ⊥ABCD 又，∴，，两两垂直.AB AD ⊥AB AD AP 以A 为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标AB AD AP x y z 系，则，，，，，()0,0,0A ()2,4,0C ()0,2,0D ()2,1,0E ()0,0,2P ∴，，.()2,4,0AC = ()0,0,2AP = ()2,1,0DE =- ∵，，()2241000AC DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ()0201200AP DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ∴，.AC DE ⊥AP DE ⊥又，∴平面.AP AC A ⋂=DE ⊥PAC 又平面，∴平面平面DE ⊂PDE PDE ⊥PAC （2）由（1）可得平面的一个法向量为，PAC ()2,1,0DE =- 又，()2,1,2PE =- 设直线与平面所成角为，PE PAC θ则,sin cos ,PE DE PE DE PE DE θ==== 22．已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线x ()0,1A -的距离为4.0x +=(1)求椭圆的方程；(2)是否存在斜率为的直线，使与已知椭圆交于不同的两点，且？若存在，请k l l ,M N AN AM =求出的取值范围，若不存在，请说明理由.k 【答案】(1) 2214xy +=(2)存在，(【分析】(1)根据椭圆的定义结合点到直线距离公式求解； (2)利用韦达定理表示出中点的坐标，再结合可得，利用斜率之积等于MN P AN AM =AP MN ⊥即可求解. 1-【详解】（1）因为椭圆中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，x ()0,1A -由题意，可设椭圆的方程，则其右焦点， 2221(1)xy a a+=>)F 由到直线的距离，F 0x +=4d =4解得，所以椭圆的方程. 2a =2214x y +=（2）假设存在直线符合题意.与椭圆方程联立，:l y kx b =+得：，消去得：2214x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y ()222418440.k x bkx b +++-=, ()()()22222(8)441441641kb k b k b ∆=-⨯+⨯-=+-设，则有，()()1122,,,M x y N x y ()22122Δ16140814k b bk x x k ⎧=+->⎪⎨+=-⎪+⎩， ()12122282221414bk b y y k x x b k b k k ⎛⎫∴+=++=-+= ⎪++⎝⎭的中点的坐标. MN ∴P 224,1414bk b k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭是线段的垂直平分线，于是.,AN AM AP =∴ MN AP MN ⊥根据斜率之积为，即， 1-221141414AP MNb k k k k bk k ++⋅=⋅=--+可得，将其代入， 2413k b +=22140k b ∆=+->并整理得：，解得：.()()224120k k +-<k <故存在满足条件的直线，其斜率的取值范围. l (【点睛】关键点点睛：本题第二小问关键在于利用韦达定理表示的中点的坐标，再根据几何MN P 关系确定，从而建立代数关系式可得，再根据判别式大于零即可求范围. AP MN ⊥2413k b +=。

2023-2024学年安徽省淮北市第一中学高二下学期开学考试数学试题1.已知等差数列的前项和为，若，则等于（）A．1B．6C．8D．42.若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（）A．4B．C．D．13.设数列满足，且，则（）A．-2B．C．D．34.在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（）A．B．C．D．5.点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是（）A．B．C．D．6.用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，过作平行于的平面，交母线于，则平面与圆锥侧面的交线为抛物线，其焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．7.已知圆，直线，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当最小时，直线AB 的方程为（）A ．B ．C ．D ．8.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，分别是底面与侧面的中心，为该正方体表面上的一个动点，且满足，记点的轨迹所在的平面为，则过四点的球面被平面截得的圆的周长是（）A ．B ．C ．D ．9.设是各项为正数的等比数列，q 是其公比，是其前n 项的积，且，，则下列结论正确的是（）A ．B ．C ．D ．与均为的最大值10.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（）A ．圆上的点到原点的最大距离为B ．圆上存在三个点到直线的距离为C ．若点在圆上，则的最小值是D ．若圆与圆有公共点，则11.如图，在直三棱柱中，，，D 是棱的中点，，点E 在上，且，则下列结论正确的是（）A．直线与BC所成角为90°B．三棱锥的体积为C．平面D．直三棱柱外接球的表面积为12.已知是椭圆上的一动点，离心率为，椭圆与轴的交点分别为、，左、右焦点分别为、.下列关于椭圆的四个结论中正确的是（）A．若、的斜率存在且分别为、，则为一定值B．若椭圆上存在点使，则C．若的面积最大时，，则D．根据光学现象知道：从发出的光线经过椭圆反射后一定会经过.若一束光线从出发经椭圆反射，当光线第次到达时，光线通过的总路程为13.已知抛物线的方程为，且过点，则焦点坐标为______．14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为______.15.如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为______.16.习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.按新数列的各项依次派遣支教学生.记为派遣70批学生后支教学生的总数，则的值为__________.17.已知圆的圆心为，且与直线相切.(1)求圆的标准方程；(2)设直线与圆M交于A，B两点，求.18.如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.(1)求与平面所成角的余弦值；(2)求平面与平面夹角的大小；19.已知为数列的前项和，且.(1)证明：数列为等差数列，并求的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，若恒成立，求的范围.20.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线l交抛物线于A，B两点，且．(1)求抛物线E的方程；(2)设过点且互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点M，N，证明：直线过定点．21.数列的前项和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)已知，若，求数列的前项和.22.已知点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点Q，记动点Q的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设是分别过点的两条平行直线，交曲线C于两个不同的点，交曲线C于两个不同的点，求四边形面积的最大值．。

四川省达州市渠县中学2022-2023学年高二下学期开学考试理科数学试题一、单选题1．已知命题p ：x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） A ．p ⌝：x ∃∈R ，sin 1x ≥ B ．p ⌝：x ∀∈R ，sin 1x ≥ C ．p ⌝：x ∃∈R ，sin 1x >D ．p ⌝：x ∀∈R ，sin 1x >2．执行如图所示的程序框图，则输出的=SA ．14B ．310 C ．13D ．5143．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“a b =”是“ac bc =”充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a b >”是“22a b >”的充分条件； ④“5a <”是“3a <”的必要条件． 其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知空间向量()()2,1,0,1,,3a b x =-=-r r ，且a b ⊥r r ，则x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2-5．如果数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的平均数为x ，方差为2s ，则152x +，252x +，⋅⋅⋅，52n x +的平均数和方差分别为（ ） A ．x ，sB ．52x +，2sC ．52x +，225sD ．x ，225s6．已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为2π，则母线长为（ ） A ．4B ．8C ．10D ．16 7．等差数列{}n a 公差为d ，且满足3a ，5a ，8a 成等比数列，则1da =（ ） A ．12B ．0或12C ．2D ．0或28．如图，已知三棱锥P －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径，若平面PCA ⊥平面PCB ，P A ＝AC ，PB ＝BC ，三棱锥P －ABC 的体积为643，则球O 的表面积为（ ）A ．16πB ．32πC ．48πD ．64π9．ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1)b c a b sinA ==-,则A= A ．34π B ．3π C ．4π D ．6π 10．在矩形ABCD 中，8,7==AB BC ，在该矩形内任取一点M ，则事件“90AMB ∠<︒”发生的概率为（ ）A ．27π B ．7π C ．217-π D ．17-π11．如图，1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆C 上的点，Q 是线段1PF 上靠近1F 的三等分点，2PQF V 为正三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．23D 12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，若双曲线的左支上存在一点P ，使得2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点Q ，且223PF F Q =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．34y x =?B ．43y x =±C ．23y x =±D ．32y x =±二、填空题13．为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从A ，B ，C 三个部门中抽取16名员工进行科研能力访谈.已知这三个部门共有64人，其中B 部门24人，C 部门32人，则从A 部门中抽取的访谈人数 ． 14．已知单位向量a r ，b r 满足()2a b b -⊥r r r ，则a r 与b r的夹角为.15．设命题:p 关于x 的一元二次方程()2220x a x a +++-=的一根大于零，另一根小于零；命题:q x ∀∈R ，2280x x a -+>； 若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数a 的取值范围是．16．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，抛物线在点A ，B 处的切线分别为1l 和2l ，若1l 和2l 交于点P ，则2164PF AB+的最小值为．三、解答题17．已知命题p ：2680x x -+<，命题q ：21m x m -<<+. （1）若命题p 为真命题，求实数x 的取值范围.（2）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围； 18．已知直线:2360l x y +-=(1)求过点()2,3P ，且与直线l 平行的直线m 的方程；(2)直线l 与圆22:2440C x y x y +--+=相交于A B ､两点，求线段AB 的长.19．某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[]45,50，得到的频率分布直方图如图所示．(1)下表是年龄的频率分布表，求正整数a ，b 的值．(2)现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组抽取的员工的人数分别是多少？(3)在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．20．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积.21．如图，点O 是正方形ABCD 的中心，CD DE ⊥，//CD EF ，22CD EF ==，AC OE ⊥．(1)证明：DE ⊥平面ABCD ；(2)若直线OE 与平面ABCDE ACF --的余弦值． 22．已知双曲线2222:1Γ-=x y a b（0a >，0b >）的左、右顶点分别为()11,0A -、()21,0A ，离心率为2，过点()2,0F 斜率不为0的直线l 与Γ交于P 、Q 两点． (1)求双曲线Γ的渐近线方程；(2)记直线1A P 、2A Q 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k 为定值．。

安徽省马鞍山市第二中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知空间向量121a =--（，，），1.b x y =- （，，）若//a b ，则（）A ．1x y -=B ．1x y +=C ．0x y +=D ．2x y +=-2．已知直线()1310m x y +++=与直线410x my ++=平行，则m 的值为（）A ．3B ．4-C ．3或4-D ．3或43．已知等差数列{}n a ，其前n 项和是n S ，若525S =，则24a a +=（）A ．8B ．9C ．10D ．114．设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则“10a <，且01q <<”是“对于任意*N 都有1n n a a +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知直线l 交椭圆22142x y +=于A ，B 两点，且线段AB 的中点为()1,1-，则直线l 的斜率为（）A ．-2B ．12-C ．2D ．126．若直线20kx y --=1x -有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A ．4(,2]3B ．4(,4]3C ．44[2,)(,2]33--⋃D ．4(,)3+∞7．已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >C 的渐近线方程为（）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x=±8．如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，点M 在1DD 上，点N 在11A B 上，若ON AM ⊥，则DM =（）A ．1B ．2C ．4D ．3二、多选题9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（）A ．若48S S >，则120S <B ．若48S S =，则6S 是n S 中最大的项C ．若56S S >，则45S S >D ．若34S S >，则45S S >10．下列结论正确的是（）A ．直线()()34330m x y m m R ++-+=∈恒过定点()3,3--B 10y ++=的倾斜角为120°C ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:0l x y -=的距离都等于1D ．与圆()2222x y -+=相切，且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线有两条11．已知四面体ABCD 的所有棱长都是2,,,E F G 分别是棱,,AB AD DC 的中点，则（）A ．2AB AC ⋅=B ．1EF FG ⋅= C ．0AB EG ⋅=D ．1GE GF ⋅= 12．过抛物线23y x =的焦点F 的直线与抛物线交于111(,)(0)A x y y >，22(,)B x y 两点，点,A B 在抛物线准线上的射影分别为11,,A B AO 交准线于点M (O 为坐标原点)，则下列说法正确的是（）A ．0OA OB ⋅= B ．1190A FB ∠=C ．直线MB ∥x 轴D ．AF BF ⋅的最小值是94三、填空题13．若抛物线2y mx =的准线与直线1x =间的距离为3，则抛物线的方程为______.14．已知点()1,2,1A --，平面α经过原点O ，且垂直于向量()1,1,3n =-r，则点A 到平面α的距离为__________．15．在等比数列{}n a 中，若1234158a a a a +++=，2398a a =-，则12341111a a a a +++=_____．16．已知双曲线2222:1,(0,0)x y a b C a b-=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y x=有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得21123PF F PF F ∠∠=，则双曲线离心率取值范围范围为___________.四、解答题17．已知圆C 的圆心在直线y x =上，且圆C 经过点()2,0M -和点(1,N ．(1)求圆C 的标准方程；(2)求经过点()2,1D 且与圆C 相切的直线方程．18．已知等比数列{}n a 的前n 项和2nn S λ=+，λ为常数.(1)求λ的值与{}n a 的通项公式；(2)设21log n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .19．如图，PA ⊥底面ABCD ，ED ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，22AP AD DE ===.(1)证明：//DE 平面ABP ；(2)求直线CP 与平面DCE 所成角的正切值.20．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y x =±，实轴长(1)求C 的方程；(2)若直线l 过C 的右焦点与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，126x x =，求直线l 的方程.21．已知数列{}n a 满足113a =，1111n n a a ++=+．(1)设1n n b a =，证明：{}n b 是等差数列；(2)设数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求n S ．22．在平面直角坐标系中xOy ，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>点12⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点P ，Q 为椭圆上异于A ，B 的两动点，记直线AP 的斜率为1k ，直线QB 的斜率为2k ，已知127k k =．求证：直线PQ 恒过x 轴上一定点.参考答案：1．B【分析】根据空间向量平行的坐标运算，即可进一步求解.【详解】根据题意，由//a b，设b ta = ，即11212x y t t t t -=--=--（，，）（，，）（，，）解得：12t =-，则有12x y ==，由此得1x y +=．故选：B.2．B【分析】根据直线平行的判定得(1)120m m +-=即可求m 值，注意验证两直线是否平行，而非重合.【详解】由题设，2(1)1212(4)(3)0m m m m m m +-=+-=+-=，可得4m =-或3m =，当4m =-时，3310--=x y 、4410x y -+=平行，符合题设；当3m =时，4310x y ++=、4310x y ++=重合，不合题设；∴4m =-.故选：B.3．C【分析】由已知可得1510a a +=，根据等差数列的性质即可得出结果.【详解】由已知可得，()1555252a a S +==，所以1510a a +=.又1524a a a a +=+，所以2410a a +=.故选：C.4．A【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质分析判断即可【详解】若10a <，且01q <<，则111111(1)0n n n n n a a q a q a q q a -+--=-=->，所以1n n a a +>，反之，若1n n a a +>，则111111(1)0n n n n n a a q a q a q q a -+--=-=->，所以10a <，且01q <<或10a >，且1q >，所以“10a <，且01q <<”是“对于任意*N ，都有1n n a a +>”的充分不必要条件.故选：A 5．D【分析】设出A ，B 坐标，列出坐标所满足的方程，将两方程相减得到l 的斜率与线段AB 中点坐标的关系，由此求解出直线l 的斜率.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为A ，B 都在椭圆上，所以22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得22221212()()04422x x y y -+-=，得1212121212y y x x x x y y -+=-⨯-+，又因为线段AB 中点坐标为()1,1-，12122x x +=-⨯=-，12122y y +=⨯=，所以1212121222AB y y k x x --==-⨯=-，故选：D.6．A【分析】分析曲线的形状，在同一坐标系内作出直线与曲线，利用数形结合方法求解作答.【详解】方程20kx y --=是恒过定点(0,2)P -，斜率为k 的直线，1x -，即22(1)(1)1(1)x y x -+-=≥，是圆心为(1,1)C ，半径1r =在直线1x =及右侧的半圆，半圆弧端点(1,0),(1,2)A B ，在同一坐标系内作出直线20kx y --=与半圆C ：22(1)(1)1(1)x y x -+-=≥，如图，当直线20kx y --=与半圆C1=得切线PT 的斜率43k =，当直线PT 绕点P 逆时针旋转到过点A 的直线的过程中的每一个位置的直线与半圆C 均有两个公共点，包含直线PA ，不包含直线PT ，旋转到其它位置都没有两个公共点，直线PA 的斜率2PA k =，所以直线20kx y --=1x -有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是4(,2]3.故选：A 7．B【分析】由双曲线的离心率，得到a ，c 关系，从而得到a ，b 关系，从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】因为2222:1x y C a b -=所以=c a 所以22222210199=-=-=b c a a a a ，解得13b a =，所以双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为13b y x x a =±=±.故选：B.8．D【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()6,,6N n ，()0,0,M m ，其中06m ≤≤，06n ≤≤，由0ON AM ⋅=求出m 的值，即可得解.【详解】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()6,0,0A 、()3,3,0O ，设点()6,,6N n ，()0,0,M m ，其中06m ≤≤，06n ≤≤，()6,0,AM m =-，()3,3,6ON n =- ，因为ON AM ⊥，则()3660ON AM m ⋅=⨯-+=，解得3m =，故3DM =.故选：D.9．ABD【分析】根据48S S >可推得670a a +<，利用等差数列的性质以及前n 项和公式，可判断A ；由48S S =可推出670a a +=，进而判断6700a a ><，，则0d <，即可判断B ；由56S S >可得60a <，0d <，56a a d =-，无法判断5a 的正负，可判断C ；由34S S >推出40a <，0d <，则540a a d =+<，由此判断D.【详解】由48S S >，得845678672(0)S S a a a a a a -=+++=+<，所以670a a +<，则()112126712()602a a S a a +==+<，A 正确；因为48S S =，所以845678672(0)S S a a a a a a -=++++==，即670a a +=，因为10a >，0d ≠，所以6700a a ><，，则0d <，等差数列{}n a 为递减数列，则则6S 是n S 中最大的项，B 正确；若56S S >，则650S S -<，即60a <，因为10a >，0d ≠，则0d <，故56a a d =-，无法判断5a 的正负，故554S a S =+，不能判断45S S >，C 错误；因为34S S >，所以4340S S a -=<，因为10a >，0d ≠，所以0d <，则540a a d =+<，则5454S S a S =+<，D 正确，故选：ABD 10．BC【分析】求出直线()()34330m x y m m R ++-+=∈过的定点，即可判断A ；根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角，可判断B;计算圆心到直线的距离，即可判断C 的对错；求出与圆()2222x y -+=相切，且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线，看有几条即可判断D的对错.【详解】()()34330m x y m m R ++-+=∈可变形为(3)3430m x x y ++++-=，令303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，得33x y =-⎧⎨=⎩，即()()34330m x y m m R ++-+=∈直线过定点()3,3-，故A 错；10y ++=的斜率为，故其倾斜较为120 ，故B 正确；圆224x y +=的圆心到直线:0l x y -=的距离为1d ==，圆的半径为2，故圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:0l x y -=的距离都等于1，故C 正确；设直线x y a +=与圆()2222x y -+==，解得4a =或0a =，则4,0x y x y +=+=满足题意，由此显可知0x y -=与圆()2222x y -+=相切，且在x 轴､y 轴上的截距相等，故D 错误，故选：BC 11．ACD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量级的坐标运算计算即可.【详解】以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B ，C ，(D -，(0,)33A ，G ，(0,,33E ，1(2F -，所以(0,(1,AB AC =-=- ，11((,22EF FG =-=- ，EG =-28233AB AC ⋅=-+= ，11044EF FG ⋅=-+= ，44033AB EG ⋅=-+= ，112(0,)(,,)13326333GE GF ⋅=-⋅--=+= .故选：ACD12．BCD【分析】选项A 设直线方程代入抛物线方程中化简写出韦达定理，再利用向量数量积的坐标表示运算OA OB ⋅即可；选项C 利用,,A O M三点共线找出关系式来说明即可；选项B 利用11FA FB ⋅数量积即可说明；选项D 设直线AB 的倾斜角为)(0θθ≠，则表示出,AF BF 利用函数的性质求出最值即可.【详解】由题意可知，抛物线23y x =的焦点F 的坐标为3(,0)4，准线方程为34x =-，易知直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为34x my =+，代入23y x =，得29304y my --=，所以121293,4y y m y y +==-，则1212339()4416x x my my =++=，所以112212129927(,)(,)016416OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+=-=-≠ ，所以A 不正确，因为2113(,),(0,0),(,)34M y A y O M y -三点共线，所以1210030043M y y y --=---，所以194M y y =-，又1294y y =-，所以2M y y =所以直线MB ∥x 轴，所以C 正确，由题意可得11,A B 的坐标分别为1233(,),(,)44y y --，所以1112123333999(,)(,)04444444FA FB y y y y ⋅=--⋅--=+=-= ，所以1190A FB ∠=，所以B 正确；设直线AB 的倾斜角为)(0θθ≠，则3322,1cos 1cos AF BF θθ==-+，所以223399922441cos 1cos 1cos sin 4AF BF θθθθ⋅=⋅==≥-+-，当且仅当AB x ⊥轴时取等号，所以D 正确，故选：BCD.13．216y x =-或28y x=【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.【详解】抛物线2y mx =的准线为4m x =-，则134m --=，解得16m =-或8m =，故抛物线的方程为216y x =-或28y x =.故答案为：216y x =-或28y x =.14．11【分析】根据点到平面距离的向量求法求解即可．【详解】由题意，()1,2,1OA =--uu r ，()1,1,3n =-r ，故1236OA n ⋅=---=-uu r r ，所以点A 到平面α的距离为·11OA n d n == ．故答案为：1115．53-【分析】根据等比数列下标和性质计算可得；【详解】解：2314123414231111a a a a a a a a a a a a +++++=+⋅⋅．∵在等比数列{}n a 中，1423a a a a ⋅=⋅，∴原式1234231595883a a a a a a +++⎛⎫==÷-=- ⎪⋅⎝⎭．故答案为：53-【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题.16．2)【分析】由直线y x =与双曲线有交点，得在一三象限的渐近线的斜率大于1，得出e 的一个范围．双曲线上存在不是顶点的P ，使得21123PF F PF F ∠∠=，1PF 与y 轴交于点Q ，由平面几何的知识及双曲线定义得12QF a =，在直角三角形1QF O 中由边的关系得不等式，得出e 的范围，同时由12PF F ∠的范围又是一个不等关系，从而得出离心率范围．【详解】双曲线C 与直线y x =有交点，则1b a >，222221b c a a a -=>，解得c e a =双曲线上存在不是顶点的P ，使得21123PF F PF F ∠∠=，则P 点在右支上，设1PF 与y 轴交于点Q ，由对称性12QF QF =，所以1221QF F QF F ∠=∠，所以221211222PF Q PF F QF F PF F PQF ∠=∠-∠=∠=∠，2PQ PF =，所以12112PF PF PF PQ QF a -=-==，由11QF OF <得2a c <，所以2c e a=<，又12PF F △中，1221124180PF F PF F PF F ∠+∠=∠<︒，1245PF F ∠<︒，所以12cos 22c PF F a =∠>，即c e a =>，2e <<．故答案为：2)．17．(1)224x y +=(2)2x =或34100x y +-=【分析】（1）根据题意设圆C 的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，进而待定系数法求解即可（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可【详解】（1）设圆C 的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，由已知得()()()22222221a b r a b r b a ⎧--+=⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩，解得0,0,2a b r ===，所以圆C 的标准方程为224x y +=；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，由直线与圆C 2=，解得34k =-，此时直线的方程为()3124y x -=--即34100x y +-=；当直线的斜率不存在时，直线为2x =，显然与圆C 相切．所以所求直线的方程为2x =或34100x y +-=18．(1)1λ=-；1*2(N )-=∈n n a n (2)()121n n T n =-⨯+【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和为n T 即可．【详解】（1）解：当1n =时，1120S a λ==+≠，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，{}n a 是等比数列，∴111221a λ-=+==，即11a =，所以1λ=-，∴数列{}n a 的通项公式为1*2(N )-=∈n n a n ；（2）解：由（1）得11212log 2log 22n n n n n n b a a n --+===⨯∴01221122232(1)22n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，12121222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，则1211(12)12222221212n n nn n n n T n n n -⨯--=+++⋯+-⨯=-⨯=--⨯-．∴()121n n T n =-⨯+．19．(1)证明见解析；【分析】（1）利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理作答.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦即可求解作答.【详解】（1）因为PA ⊥底面ABCD ，ED ⊥底面ABCD ，则//PA DE ，PA ⊂平面ABP ，DE ⊄平面ABP ，所以//DE 平面ABP .（2）依题意，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()()()()0,2,0,2,2,0,0,2,1,0,0,2D C E P ，()2,2,2CP =-- ，()0,2,0AD = ，而,,,,DE AD DC AD DE DC D DE DC ⊥⊥⋂=⊂平面DCE ，即AD ⊥平面DCE ，则平面DCE 的一个法向量为()0,2,0AD = ，设直线CP 与平面DCE 所成角为θ，则||sin cos ,||||AD CP AD CP AD CP θ⋅=〈〉=则cos θ===sin tan cos 2θθθ==，所以直线CP 与平面DCE所成角的正切值为2.20．(1)22:122x y C -=(2)240x y +-=或240x y --=.【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程求出a ，b 即可求解.（2）根据直线和双曲线的联立以及126x x =即可求解.【详解】（1）根据题意，2a =，1b a=，所以a b ==所以22:122x y C -=.（2）双曲线C的半焦距2c ==，显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l 方程为2x my =+，联立直线方程和椭圆方程：221222x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，所以22(1)420m y my -++=，所以12122242,11m y y y y m m +=-⋅=--，所以126x x =，所以()()12226my my ++=，所以212122()20m y y m y y ++-=，所以2222422011m m m m m -⎛⎫+-= ⎪--⎝⎭，解得12m =±.所以直线l 的方程为：122x y =±+.即240x y +-=或240x y --=.21．(1)证明见解析(2)()()3234212n n S n n +=-++【分析】（1）通过计算11n n b b +-=来证得{}n b 是等差数列.（2）先求得n a ，然后利用裂项求和法求得n S .【详解】（1）因为111111*********n n n n n n n n n n n n a b b a a a a a a a a a +++-=-=-=-=-=-++，所以数列{}n b 是以1为公差的等差数列．（2）因为1113b a ==，所以3(1)12n b n n =+-⨯=+，由12n n a =+得12n a n =+．故()1111222n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以1212n n a a a S n =++⋅⋅⋅+，1111111111111112322423521122n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11111111111232435112n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭，()()111113113231221222124212n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫=+--=--=- ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭．22．(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由题意列方程组求解；（2）设PQ 直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线PQ 的斜率是否为0.【详解】（1）由题意可得2222223114c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得222413c a b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）依题意，点(2,0),(2,0)A B -，设()()1122,,,P x y Q x y ，因为若直线PQ 的斜率为0，则点P ，Q 关于y 轴对称，必有AP BQ k k =-，不合题意．所以直线PQ 斜率必不为0，设其方程为(2)x ty n n =+≠±，与椭圆C 联立2214x y x ty n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得：()2224240t y nty n +++-=，所以()()2222Δ44440t n t n =-+->，且12221222,44.4tn y y t n y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪-⎩因为点()11,P x y 是椭圆上一点，即221114x y +=，则21211122111111422444AP BP x y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---，所以174AP BQ BPk k k =-=，即281BP BQ k k ⋅=-因为()()()()()1212122212121212282828282222(2)(2)BP BQ y y y y y y k k x x ty n ty n t y y t n y y n ⋅===--+-+-+-++-()()()2222222222228428(2)28(2)714414(2)24(2)2(2)42(2)(2)44n n n n t n n t n t n t n n t t n n n t t -++++=====----+-+-+--+-++，所以32n =-，此时()()222Δ1644470t n t =+-=+>，故直线PQ ：32x ty =+恒过x 轴上一定点3,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．。

2022-2023学年安徽省六安第二中学高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知抛物线的准线是圆2240x y +-=与圆2230x y y ++-=的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（ ） A ．24y x = B ．24y x =- C ．24x y = D ．24x y =-【答案】C【分析】根据给定条件，求出两个圆的公共弦所在的直线方程，再求出抛物线方程作答. 【详解】将两圆2240x y +-=、2230x y y ++-=的方程相减得：1y =-， 显然圆2240x y +-=的圆心(0,0)到直线1y =-距离1小于其半径2，圆2230x y y ++-=的圆心1(0,)2-到直线1y =-距离12，因此直线1y =-是圆2240x y +-=与圆2230x y y ++-=的公共弦所在的直线，即抛物线的准线， 所以抛物线的标准方程为：24x y =. 故选：C2．若椭圆2214x y m +=的一个焦点为(0,1)-，则m 的值为（ ）A ．5B ．3C ．4D ．2【答案】B【分析】由题意判断椭圆焦点在y 轴上，则4=+1m ，解方程即可确定m 的值.【详解】有题意知：焦点在y 轴上，则2224,,1a b m c ===，从而4=+1m ，解得：=3m . 故选：B.3．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P 在圆22x 22y -+=（）上 ∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d的范围为则[]2212,62ABPSAB d =∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．4．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F则双曲线的离心率取值范围是（ ） A． B ．(1,2) C．)+∞ D ．(2,)+∞【答案】D【分析】设过右焦点F)y x c =-，联立直线方程与双曲线方程并化简，由条件列不等式可得a b ，的关系，由此求双曲线的离心率取值范围. 【详解】设过右焦点F)y x c t =-+，联立方程组22221)x y a b y x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简可得22222222(3)630b a x a cx a c a b -+--=， 方程22222222(3)630b a x a cx a c a b -+--=的判别式4222222224=364(3)(3)160a c b a a c a b a b ∆+-+=>， 设方程的解为12x x ，，∵ 直线与双曲线的左右支各有一个交点， ∴ 120x x ⋅<，∴ 222222303a c a b b a --<-，∴ 2240c a ->，∴ 双曲线的离心率2e >，即双曲线的离心率取值范围是(2,)+∞. 故选：D.5．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l的距离为2d >，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小． ∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．6．设12,e e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则2212212()e e e e +的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．不确定【答案】C【分析】设它们共同的焦距为2c ，椭圆的长轴长12a ，双曲线的实轴长为22a ，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理建立关于12,,a a c 的方程，联立解得可得222122a a c +=,再根据离心率的定义化简整理可得到()2212212e e e e +的值.【详解】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，P 为两曲线的一个公共点，则1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，平方相加得2222121222PF PF a a +=+，又1212,0PF PF PF PF ⋅∴⊥=，22222221212124,2PF PF F F c a a c ∴+==∴+=，2212222a a c c∴+=，即221222*********e e e e e e ++==.故选：C.7．直线:4l y x =-+与曲线21169x xy ⋅+=交点的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】分类讨论，0x ≥和0x <，分别解方程组得解了和个数，也即得交点个数．【详解】解：若0x ，由2241169y x y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得225720x x -=，解得0x =或72x 25=，均满足题意，所以直线与半椭圆有两个交点；若0x <，由2241169y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得225720x x +=，解得7225x =-，满足题意，所以直线与半双曲线有一个交点．综上所述，直线:4l y x =-+与曲线21169x xy ⋅+=交点的个数为3个． 故选：B ．8．已知抛物线C ：28y x =的交点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若3PF MF =，则||MN = A ．212B ．323C ．10D ．11【答案】B【分析】由题意可得直线PF的方程为)2y x =-，再将直线的方程与抛物线28y x =的方程组成方程组，消去y 得到关于x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN的长．【详解】抛物线C ：28y x =的焦点为F (2,0)，准线为:2l x =-．如下图．设()()1122,,,,,M x y N x y M N 到准线的距离分别为,M N d d ， 由抛物线的定义可知122,2M N MF d x NF d x ==+==+， 于是124MN MF NF x x =+=++． 作MH ⊥l 于H ， ∵3PF MF =，∴22PM MF MH ==， ∴60PMH ∠︒=，根据对称性可得直线AB 的斜率为3 ∴直线PF 的方程为)32y x =±-.由)2328y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去y 整理得2320120x x -+=， ∴12203x x +=． 于是1220324433MN x x =++=+=． 故选B ．【点睛】解答本题时注意两点：一是抛物线定义的应用，即利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，根据此结论可将问题的解决带来方便．二是代数方法的应用，将求弦长的问题转化为二次方程根与系数的关系求解，即借助代数方法求解几何问题．二、多选题9．已知直线1l ：0x ay a +-=和直线2l ：()2310ax a y ---=，下列说法正确的是（ ）A ．2l 始终过定点21,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．若12l l //，则1a =或-3C ．若12l l ⊥，则0a =或2D ．当0a >时，1l 始终不过第三象限 【答案】ACD【分析】将直线化为(2)310a x y y -+-=可判断A ；将1a =或-3代入直线方程可判断B ；根据12120A A B B +=可判断C ；将直线化为11y x a=-+，即可求解. 【详解】2l ：(2)310a x y y -+-=过点21,33⎛⎫⎪⎝⎭，A 正确；当1a =时，1l ，2l 重合，故B 错误；由1(32)0a a a ⨯+⨯-=，得0a =或2，故C 正确； 1l ：11y x a=-+始终过()0,1，斜率为负，不会过第三象限，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本题考查了直线过定点、直线垂直求参数，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点处第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e ，2e ，则下列结论正确的是（ ）A ．()11222a c a c +>+B ．1122a c a c -=-C ．2112e e +=D ．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁【答案】ABC【解析】由122a a =，12222c a c c =+>，得出A 正确； 由11||a c PF -=，22||a c PF -=，得到B 正确； 由122a a =，122c a c =+，得出离心率判断C 正确；求出12e e >，判断D 错误．【详解】解：对于A 、由122a a =，12222c a c c =+>，所以11222()a c a c +>+，所以选项A 正确； 对于B 、由11||a c PF -=，22||a c PF -=，得到：1122a c a c -=-，所以选项B 正确； 对于C 、由122a a =，122c a c =+，得2122212122c c a c a a a ++==， 即2112e e +=，所以选项C 正确； 对于D 、根据选项C 知，122212e e e =+>，所以12e e >，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁些，选项D 错误． 故选：ABC ．11．已知双曲线22:184x y C -=的左､右顶点分别为,A B ，点P 是C 上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）A ．若直线y kx =与双曲线C无交点，则k >B ．焦点到渐近线的距离为2C ．点P 到两条渐近线的距离之积为83D ．当P 与,A B 不重合时，直线,PA PB 的斜率之积为2 【答案】BC【分析】由双曲线的渐近线可以判断A ；求出双曲线的渐近线和焦点，进而根据点到直线的距离判断B ；设点(),P x y ，进而求出该点到两条渐近线的距离之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断C ； 求出,PA PB 的斜率之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断D. 【详解】对A，双曲线的渐近线方程为2y x =±，若直线y kx =与双曲线C无交点，则k ≥错误；对B ，由A渐近线方程为0x =，焦点为()±，则焦点到渐近线的距离2d ==.B 正确；对C ，设点(),P x y ，则222212884x y x y -=⇒-=，点P 到两条渐近线的距离之积为()()2222222228331212x y x y x y +--⨯==++-.C 正确； 对D ，易得()()22,0,22,0A B -，由C 点(),P x y 满足()2241228x y x ⎛⎫=-≠± ⎪⎝⎭，所以直线,PA PB 的斜率之积为222241818822222x y y y x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯===---+-.D 错误.故选：BC.12．已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，则下列说法一定正确的是（ ） A ．AB 的最小值为2B ．线段AB 为直径的圆与直线=1x -相切C ．12x x 为定值D ．若(1,0)M -，则AMF BMF ∠=∠ 【答案】BCD【分析】根据抛物线焦点弦的性质即可结合选项逐一判断.【详解】对A ，抛物线2:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为=1x -，过焦点的弦中通径最短，所以AB 最小值24p =，故A 不正确；对B ，如图，设线段AB 的中点为D ，过点A ，B ，D 作准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，1D ，由抛物线的定义可知11AA AF BB BF ，，所以11112()12DD AA BB AB ==+,所以以线段AB 为直径的圆与直线=1x -相切，故B 正确；对C ，设AB 所在的方程为1x ny =+，由21,4x ny y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ny --=， 所以124y y =-，()21212116y y x x ==，故C 正确；对D ，由C 得124y y n +=，()()()()()12121212121222880111111AM BM ny y y y y y n n k k x x x x x x ++-++=+===++++++，故D 正确． 故选:BCD三、填空题13．抛物线26y x =-的焦点坐标为__________． 【答案】10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】化成标准形式，结合焦点定义即可求解.【详解】由26y x =-，得216x y =-，故抛物线的焦点坐标为10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭14．直线y x b =+与曲线x b 的取值范围是__________． 【答案】11b -<≤或b =【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线x =221(0)x y x +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =+是倾斜角为4π的直线与曲线x （1）直线与半圆相切，根据d r =，所以1d ==，结合图像可得b =（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知11b -<≤. 故答案为：11b -<≤或b =【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果x 或y 有限制，需要数形结合进行分析.15．已知直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A ，B 两点，若A ，B 两点在双曲线的左支上，则实数a 的取值范围是__________． 36a <【分析】联立直线与双曲线的方程，根据一元二次方程根的分布即可求解.【详解】由221,31,y ax x y =+⎧⎨-=⎩得()223220a x ax ---=， 方程在3,⎛ ⎝- ∞⎦有两个不相等的负实根，所以22212212230Δ48(3)020320,3a a a x x a ax x a ⎧-≠⎪=+->⎪⎪-⎨=>-⎪⎪+=<⎪-⎩,36a <<36a <16．若点P 在椭圆C 1：22x ＋y 2＝1上，C 1的右焦点为F ，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋10x －8y ＋39＝0上，则PQ PF -的最小值为__________． 2【分析】根据椭圆的定义得222PE PF a +==.【详解】记椭圆C 1：22x ＋y 2＝1的左焦点为E (－1,0)，右焦点F (1,0)，由椭圆的定义可得，222PE PF a +==， 所以22PQ PF PQ PE -=+-， 由22108390x y x y ++-+=，得 22542x y ，即圆C 2的圆心为()5,4-，半径为2r =，作出图形如图所示，由圆的性质可得，222PQ PC r PC ≥-=-，22PQ PF PQ PE -=+-223322PC PE EC ≥+-≥-＝22(51)4-++32-＝42－32＝2 (当且仅当C 2，Q ，P ，E 四点共线时，等号成立)， 所以PQ PF -的最小值为2. 故答案为：2四、解答题17．已知圆22:410C x y y +-+=，点()11M --，. (1)若过点M 的直线l 与圆交于A ，B 两点，若22AB =l 的方程；(2)从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，记切点为T ，若满足PT ＝PM ，求使PT 取得最小值时点P 的坐标．【答案】(1)=1x -或4310x y -+=. (2)131,2020⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据圆的弦长求解，即可根据直线有无斜率讨论求解，（2）根据两点间距离公式可得点P 轨迹，根据点到直线的距离即可求解最小值，联立方程即可求解交点坐标.【详解】（1）圆C 的标准方程为223=2x y ，圆心为()02，， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -，此时AB = 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1=1y k x ，即10kx y k -+-=， .∵AB =∴ 圆心C 到直线l 的距离d＝1，∴ d＝1，解得k ＝43，则直线l 的方程为4310x y -+=，∴ 所求直线l 的方程为=1x -或4310x y -+=. （2）设00P ,x y,PT∵ PT PM =， ∴，化简得002610x y ++=，∴点()00,P x y 在直线2610x y ++=. 当PT 取得最小值时，即PM 取得最小值， 即为点()1,1M --到直线2610x y ++=的距离， 此时直线PM 垂直于直线2610x y ++=，∴直线PM 的方程为6240x y -+=，即320x y -+=. 由2610,320,x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得13,201,20x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 点P 的坐标为(－1320，120). 18．已知双曲线：C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)与22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M.（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值.【答案】（1）2212y x -=；（2）2m =±. 【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点M计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于x 的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出AB 的中点坐标，代入圆的方程计算. 【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为22(0)42λλ-=≠y x，又因为双曲线过点M，221422λ=-=-，所以双曲线的方程为：2212y x -=（2）由2212y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22220x mx m ---=设()11,A x y ()22,B x y ，则122x x m +=，2122x x m ⋅=--，所以124y y m +=则AB 中点坐标为(),2m m ，代入圆2220x y += 得2520=m ，所以2m =±.19．已知抛物线C 的方程为28x y =，点)(0,4M ，过点M 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)2211AMBM+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；(2)若点Q 是直线:4l y =-上的动点，且OQ AB ⊥，求ABQ 面积的最小值 【答案】(1)是定值，116；【分析】（1）由题意设出AB 所在直线方程，与抛物线方程联立，化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得2211||||AM BM +为定值116； （2）当AB 的斜率为0时，求得三角形ABQ的面积为AB 的斜率不为0时，由弦长公式求解||AB ，再由点到直线的距离公式求Q 到AB 的距离，代入三角形面积公式，利用函数单调性可得三角形ABQ的面积大于ABQ 面积的最小值． 【详解】（1）由题意知，直线AB 斜率k 存在，不妨设其方程为4y kx =+， 联立抛物线C 的方程可得28320x kx --=，设)(11,A x y ，)(22,B x y ，则128x x k +=，1232x x =-，所以1AM =，2BM =，所以)()(22222212111111k x k xAMBM+=+++)()()()()(22121222221264121161321k x x x x k k x x ++-===++， 所以2211AMBM+是定值116；（2）当直线AB 的斜率为0时，)(0,4Q -， 又)(42,4A ， )(42,4B -， 此时18283222ABQ S =⨯⨯=△．当直线AB 的斜率不力0时，)(22222121212114812AB k x x k x x x x k k =+-=++-=++，又因为OQ AB ⊥，且直线AB 的斜率不为0， 所以1:OQ y x k=-，即)(4,4Q k -，所以点Q 到直线AB 的距离22421k d k+=+，此时)(2322224211812162221ABQk SAB OQ k k kk +==⋅++⋅=++，因为)(3228k +>，所以)(32162322k +>，综上，ABQ 面积的最小值为322．20．已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F (1，0)，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，直线AO ，BO 分别与直线m ：x ＝－2相交于M ，N 两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)求证：△ABO 与△MNO 的面积之比为定值． 【答案】(1)y 2＝4x (2)证明见解析【分析】（1）由焦点坐标得焦参数p ，从而得抛物线方程；（2）直线垂直于x 轴时直接求出面积比，直线与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为y ＝k (x －1)，设M (－2，yM )，N (－2，yN )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线方程代入抛物线方程后由韦达定理得12x x ，然后计算面积比可得． 【详解】（1）由焦点坐标可知，2p＝1，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x . （2）证明：当直线垂直于x 轴时，△ABO 与△MNO 相似， 所以ABO MNOS S＝(2OF )2＝14.当直线与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为y ＝k (x －1)，设M (－2，yM )，N (－2，yN )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得k 2x 2－(4＋2k 2)x ＋k 2＝0，所以x 1x 2＝1，所以ABO MNOS S＝1sin 21sin 2AO BO AOB MO NO MON ⋅⋅∠⋅⋅∠＝AO BO MO NO ⋅⋅＝12x ·22x ＝14，综上，ABO MNOS S ＝14. 21．如图，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(2＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =; (3)是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)28x ＋24y ＝1，24x －24y ＝1；(2)证明见解析； (3)存在，328.【分析】（1）由题可得a 、c ，再根据222a b c =+2设双曲线方程为2222:1(0)x y N m m m-=>，由顶点坐标求出m ，即可求出双曲线方程；（2）设()00,P x y ，即可表示1k ，2k ，再根据P 在双曲线上，即可得到22004x y -=，从而得解；（3）设直线1PF 的方程为1(1)y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由弦长公式表示出||AB ，再设直线2PF 的方程为2(1)y k x =-，即可得到CD ，则11||||AB CD λ=+代入计算可得；【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意知：c a =，由椭圆定义知)2241a c +=，所以2c =，a =222a b c =+，因此24b =，故椭圆的标准方程为228:14x y M +=， 由题意知双曲线为等轴双曲线，设其标准方程为2222:1(0)x y N m m m-=>，因为双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以2m c ==，因此双曲线的标准方程为22:144x y N -=； （2）设()00,P x y ，由于1(2,0)F -，2(2,0)F ，则0102y k x =+，0202y k x =-，因为点P 在双曲线22:144x y N -=上，所以22004x y -=， 因此20001220001224y y y k k x x x =⋅==+--，即121k k =为定值； （3）由于直线1PF ､2PF 斜率一定存在，设直线1PF 的方程为1(2)y k x =+联立122(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222111128880k x k x k +++-=，由于()213210k ∆=+>恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有211221812k x x k -+=+，2112218812k x x k -=+，则由弦长公式||AB =化简得)21211||12k AB k +=+即21||AB = 直线2PF 的方程为()22y k x =-，同理可得21||CD =由于121k k =，可得)()2212121||81k CD k +==+，所以)())())()2221112221111223311||||8181881k k k AB CD k k k λ+++=+=+==+++，综上，存在常数λ=·AB CD AB CD λ+=恒成立.。

广西南宁市第二中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学复习卷试题一、单选题1．若()1i 2i z -=，则2i z -=（ ） A ．0B ．1CD ．22．将函数()cos2f x x =图象上所有的点都向左平移π3个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ） A ．πcos 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．πcos 43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．2πcos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．第1次从盛有1L 纯酒精的容器中倒出1L 2，然后用水填满，第2次再从该容器中倒出1L 2，又用水填满；…．若要使容器中的纯酒精不足1L 10，则至少要连续进行以上操作（ ） A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次4．已知直线,,a b c 是三条不同的直线，平面,,αβγ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A ．若,a c b c ⊥⊥，则a ∥b B ．若a ∥,b a ∥α，则b ∥平面αC ．若,a b αα⊂⊂，且a ∥,b β∥β，则α∥βD ．若,βαγα⊥⊥，且a βγ=I ，则a α⊥5．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠且139,,a a a 成等比数列，则2410138a a a a a a ++=++（ ）A ．43B ．34C ．1615D ．15146．已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =，则40a =（ ） A ．－1B ．12C ．1D ．27．已知直线l 交抛物线2:28C x y =-于,M N 两点，且MN 的中点为()2,11--，则直线l 的斜率为（ ）A ．114-B ．1114C ．17D ．17-8．已知函数()e ln xf x a x =-在区间(1,3)上单调递减，则实数a 的最大值为（ ）A ．1eB ．13eC ．313e D ．31e二、多选题9．在平面直角坐标系中，已知点()0,0O ，()1,2OA =u u u r ，()3,1OB =u u u r，则（ ） A ．5AB =u u u rB ．OA u u u r 与OB u u u r 的夹角为π4C ．OA u u u r 在OB u u u r 方向上的投影向量的坐标为11,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．与OB u u u r垂直的单位向量的坐标为⎛ ⎝⎭或⎝⎭10．下列结论中正确的是（ ）A ．已知曲线22:2||2||C x y x y +=+（x ，y 不全为0），则曲线C 的周长为B ．若直线l 的方程10x +=，则直线l 的倾斜角为2π3C ．若直线3260ax y ++=与直线220x a y -+=垂直，则32a =D ．圆22:2410O x y x y ++++=与圆22:1M x y +=的公切线条数为2 11．已知函数()ln xf x x=，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的单调递减区间是()0,eB ．()f x 在点()()22e ,ef 处的切线方程是24e0x y -+=C ．若方程ln a x x =只有一个解，则e a =D ．设()2g x x a =+，若对()12R,1,x x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则e a ≥三、填空题12．已知数列{}n a 满足*1111,2)0(n n n n a a a a a n ++=-+=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为．13．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，12CA CB CC ===，M ，N 分别是11A B ，11AC 的中点，则BM 与AN 所成的角的余弦值为.14．已知抛物线C ：24y x =，焦点为F ，过点(1,0)P -作斜率为k （0k >）的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，连接AF ，BF （AF BF >），若2AF BF =，则k =．四、解答题15．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且πsin sin()3a C c A =+． (1)求角A 的大小；(2)若2b =，3c =，D 是边BC 的中点，求AD 的长．16．已知等差数列{}n a 的公差不为0，*N n ∈，且满足56a =，3a ，4a ，6a 成等比数列． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，记286n n b S n =++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．如图所示，在几何体PABCD 中，AD ⊥平面PAB ，点C 在平面PAB 的投影在线段PB 上()BC PC <，6BP =，AB AP ==2DC =，//CD 平面PAB .(1)证明：平面PCD ⊥平面PAD .(2)若平面BCD 与平面PCD ，求线段AD 的长. 18．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为()2,0F ，且C 的一条渐近线恰好与直线10x y -+=垂直. (1)求C 的方程；(2)直线l ：1x my =+与C 的右支交于A ，B 两点，点D 在C 上，且AD x ⊥轴.求证：直线BD 过点F .19．已知函数()2ln(1)bf x ax x x =++-，曲线()y f x =在()()1,1f --处的切线方程为2ln 23y =-．(1)求a ，b 的值；(2)求()f x 的单调区间，并证明()f x 在(),0-∞上没有零点．。

山东省济宁市实验中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线l 的方程为1y x =+，则直线l 的倾斜角为（）A ．45︒B ．90︒C ．120︒D ．135︒2．过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直的直线方程为（）A ．3270x y ++=B ．3210x y +-=C ．2350x y -+=D ．2380x y -+=3．若直线10ax by +-=与圆22:1C x y +=相离，则过点(),P a b 的直线与圆C 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定4．已知在空间四边形ABCD 中，12CG CD = ，则2BD BC AB ++=（）A ．2AGB ．2GC C ．2BCD ．12BC 5．数列{}n a 满足()*111n na n a +=-∈N ，且12a =，则2024a 的值为（）A ．2B ．1C ．12D ．1-6．直线142x y+=与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（）A ．224230x y x y +---=B ．22420x y x y +--=C ．224230x y x y +--+=D ．22240x y x y +--=7．甲､乙两队进行羽毛球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若甲队每局获胜的概率为13，则甲队获得冠军的概率为（）A ．49B ．59C ．23D ．798．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（）A ．545B ．547C ．549D ．551二、多选题9．（多选）关于频率和概率，下列说法正确的是（）A ．某同学投篮3次，命中2次，则该同学每次投篮命中的概率为23B ．费勒抛掷10000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.4979；皮尔逊抛掷24000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.5005．如果某同学抛掷36000次硬币那么得到硬币正面向上的频率可能大于0.5005C ．某类种子发芽的概率为0.903，若抽取2000粒种子试种，则一定会有1806粒种子发芽D ．将一颗质地均匀的骰子抛掷6000次，则掷出的点数大于2的次数大约为4000次10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（）A ．2,1a c ==B ．已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C ．12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D ．设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21*111,2N n n n a a a n -+==∈，则下列说法正确的是（）A ．数列{}n a 的奇数项成等差数列B ．数列{}n a 的偶数项成等比数列C ．312S =D ．12n na a +=12．如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体ABCD EFGH -的侧面ADHE 上的一个动点（含边界），P 是棱上CG 靠近G 点的三等分点，则下列结论正确的有（）A ．沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为3B ．保持PM 与BH 垂直时，M 的运动轨迹是线段C ．若保持133PM =，则点M 在侧面ADHE 内运动路径长度为2π9D ．当M 在D 点时，三棱锥B MEP -的体积取到最大值三、填空题13．已知向量()1,1,a x = ，()1,2,1b = ，()1,2,3c =满足()0c a b -⋅= ，则x =．14．在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则这段时间内线路正常工作的概率为.15．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若484,12S S ==，则16S =.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，ADE V 的周长是13，则DE =．四、解答题17．已知直线1l ：4350x y -+=与2l 垂直，且2l 经过点()1,1-.(1)求2l 的一般式方程；(2)若2l 与圆C ：()22425x y +-=相交于,A B 两点，求AB .18．某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．19．n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2643n n n S a a +=+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．20．如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，BC =，3AC =，E 是AB 的中点，D 在AC 上，DE AB ⊥.沿着DE 将ADE V 折起，得到几何体A BCDE -，如图2(1)证明：平面ABE ⊥平面BCDE ；(2)若二面角A DE B --的大小为60︒，求直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值.21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*231N n n S a n =-∈，等差数列{}n b 满足113b a =，324b a =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设3nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F，左顶点为()，离心率为3.(1)求E 的方程；(2)若过坐标原点O 且斜率为()0k k ≠的直线l 与E 交于A ，B 两点，直线AF 与E 的另一个交点为C ，ABC ，求直线AF 的方程.参考答案：1．A 【分析】根据直线的斜率的定义即可求解.【详解】由题意知，直线l 的斜率为1k =，设直线l 的倾斜角为(0180)θθ︒≤<，则tan 1θ=，解得45θ︒=，即直线l 的倾斜角为45︒.故选：A 2．B【分析】根据直线垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解.【详解】直线2340x y -+=的斜率为23，所以与直线2340x y -+=垂直的直线斜率为32-，故由点斜式可得()312x +y-2=-，即3210x y +-=，故选：B 3．C【分析】根据题意，求出圆心(0,0)到直线10ax by +-=的距离大于半径，得到221a b +<，故点(),P a b 在圆内，进而判断结果.【详解】因为直线10ax by +-=与圆22:1C x y +=相离，所以圆心(0,0)到直线10ax by +-=的距离大于半径，1>，所以221a b +<，故点(),P a b 在圆内，所以过点(),P a b 的直线与圆C 相交，故选：C.4．A 【分析】根据12CG CD = 得到G 为CD 的中点，再利用平行四边形法则得到2BD BC BG += ，最后代入计算即可.【详解】因为12CG CD =，故G 为CD 的中点，如图，由平行四边形法则可得2BD BC BG +=，所以()()222AB BD BC AB BG AG ++=+= .故选：A.5．C【分析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到20242a a =，即可求解.【详解】因为数列{}n a 满足1*11()n na n a +=-∈N ，且12a =，可得234511,1,2,,22a a a a ==-== ，可得数列{}n a 是以12,,12-三项为周期的周期数列，所以202467432212a a a ⨯+===.故选：C.6．B【分析】根据直线方程求出A ，B 点的坐标，法一：利用圆的直径式方程直接求得；法二：求出A B 中点即为圆心，AB 长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可.【详解】由题：(4,0),(0,2)A B 法一：根据圆的直径式方程可以得到：以线段AB 为直径的圆的方程为(4)(2)0x x y y -+-=，即22420x x y y -+-=，故选：B.法二：AB 中点为(2,1)，AB ==故以线段AB 为直径的圆的圆心为(2,1)所以圆的方程为()()22215x y -+-=，展开化简得：22420x y x y +--=，故选：B.7．B【分析】由题设知甲、乙两队获胜的概率分别为13、23，甲队要获得冠军，则至少在两局内赢一局，利用概率的乘法和加法公式求概率即可.【详解】由题意知：每局甲队获胜的概率为13，乙队获胜的概率为23，∴至少在两局内甲队赢一局，甲队才能获得冠军，当第一局甲队获胜，其概率为13；当第一局甲队输，第二局甲队赢，其概率为212339⨯=.∴甲队获得冠军的概率为125399+=.故选：B.8．C【解析】观察数阵可得出数阵从左到右从上到下顺序是正奇数顺序排列，要求出某一个位置的数，只要求出这个位置是第几个奇数即可，而每一行有12m -个数，可求出前m 行共有21m -个数，根据以上特征，即可求解.【详解】由题意可得该数阵中第m 行有12m -个数，所以前m 行共有21m -个数，所以前8行共255个数.因为该数阵中的数依次相连成等差数列，所以该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是()127512549+-⨯=.故选:C.【点睛】本题以数阵为背景，考查等差、等比数列通项与前n 项和，认真审题，注意观察找出规律是解题的关键，属于中档题.9．BD【分析】通过对频率和概率的定义的理解，即可判断各选项，从而得出答案.【详解】解：A 中，某同学投篮3次，命中2次，只能说明频率为23，而不能说明概率为23，故A 选项错误；B 中，当试验次数很多时，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5，故B 选项正确；C 中，只能说明大约有1806粒种子发芽，并不是定有1806粒种子发芽，故C 选项错误；D 中，点数大于2的概率为23，故抛掷6000次点数大于2的次数大约为4000次，故D 选项正确．故选：BD ．10．ABD【分析】逐项代入分析即可求解.【详解】根据222a b c =+之间的关系即可求解，故选项A 正确；根据2221,22,2c e b a b c a ====+即可求解，故选项B 正确；12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12，只能确定12,2c a c e a ===，不能求椭圆E 标准方程，故选项C 不正确；设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上，所以()2222224,09c c b c b a =-+=+==，即可求出椭圆E 标准方程,故选项D 正确.故选：ABD.11．BD【分析】根据()21*12N n n n a a n -+=∈推出()*1142,N n n a n n a+-=≥∈，从而得到{}n a 的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，A 错误，B 正确；写出奇数项和偶数项的通项公式，从而判断D 正确，并求出31247S =++=，C 错误.【详解】()21*12N n n n a a n -+=∈，则()23*122,N n n naa n n --=≥∈，两式相除得：()*1142,N n n a n n a +-=≥∈，()21*12N n n n a a n -+=∈中令1n =得：122a a =，因为11a =，所以22a =，所以数列{}n a 的奇数项成等比数列，首项为11a =，公比为4，数列{}n a 的偶数项成等比数列，首项为22a =，公比为4，故A 错误，B 正确；当n 为奇数时，()1121221422n n n n a a ---=⋅==，当n 为偶数时，()22212224222n n n n a a ---=⋅=⨯=，当n 为奇数时，1n +为偶数，故11222nn n n a a +-==，当n 为偶数时，1n +为奇数，故11222nn n n a a +-==，综上：12n na a +=，D 正确；3224a a ==，31247S =++=，C 错误.故选：BD 12．BD【分析】利用平面分析可判断A ，利用空间直角坐标系得到轨迹方程为直线方程可判断B ，利用向量坐标表示表示模长可得轨迹为圆即可判断C ，利用点到直线的距离公式可判断D.【详解】对于A，将正方体的下面和右面展开可得如下图形，连接AP ,则AP =因此A 到点P的最短路程为3，故A 错误；对于B ，建系如图，设2(,0,),(0,1,),(1,1,0),(0,0,1)3M x z P B H，2(,1,),(1,1,1)3MP x z BH =--=-- ，所以2103MP BH x z ⋅=-+-= ，即103x z --=，又因为M 是侧面ADHE 上的一个动点（含边界），所以M 的运动轨迹是线段,为DA 靠近点D 的三等分点和AE 靠近点E 三等分点的的连线段.故B 正确；对于C ，由B选项过程可得133MP = ，整理得222160(39x z +-=，所以M 在侧面ADHE 内运动路径是以2(0,0,)3而点2(0,0,3到(1,0,0)A33=<，所以要保持133PM =，则点M 在侧面ADHE 外，所以点M 在侧面ADHE 内运动路径长度为0，故C 错误；对于D ，设平面BEP 的法向量为(,,)m a b c =，()2(0,1,1),(1,0,),1,0,13BE BP ME x z =-=-=--，所以023BE m b c BP m a ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令3b =，解得(2,3,3)m = ，所以点M 到平面BEP的距离等于ME m m⋅=因为点M 在平面ADHE 内，所以01,01x z ≤≤≤≤，所以当0,0x z ==，即当M 在D 点时，三棱锥M BEP -的高最大，又因为BEP △的面积为定值，所以当M 在D 点时，三棱锥M BEP -的体积最大，故D 正确.故选:BD.13．5【分析】根据空间向量减法和数量积的坐标表示公式进行求解即可.【详解】解：因为()1,1,a x = ，()1,2,1b = ，()1,2,3c =，所以()0,1,3c a x -=-，∵()0c a b -⋅= ，则230x +-=，解得5x =．故答案为：5．14．0.91/91100【分析】首先求出线路不能正常工作的概率，利用对立事件即可求出线路正常工作的概率.【详解】线路不能正常工作的概率为：()()()()()10.710.70.09P AB P A P B =⋅=-⨯-=，∴能够正常工作的概率为10.090.91-=，故答案为：0.91.15．60【分析】利用等比数列求和公式列方程求解即可.【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，当1q =时，418144812S a S a ==⎧⎨==⎩，无解；当1q ≠时，()()4148181411121a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，得41241q a q ⎧=⎪⎨=-⎪-⎩，()()611611(4)116601a q qS ∴-⨯--==-=.故答案为：6016．6【分析】由题意可知12AF F △为等边三角形，DE 为线段2AF 的垂直平分线，利用定义转化ADE V 的周长为4a ，即可求出a ，b ，c ，设DE的方程为)y x c =+，联立椭圆方程2222143x y c c +=，利用韦达定理，根据弦长公式求解即可.【详解】如图，连接122,,AF DF EF ，因为C 的离心率为12，所以12c a =，即2a c =，所以22223b a c c =-=，因为12122AF AF a c F F ====，所以12AF F △为等边三角形，又2DE AF ⊥，所以直线DE 为线段2AF 的垂直平分线，所以2AD DF =，2AE EF =，则ADE V 的周长为22||||||||AD AE DE DF EF DE ++=++2211DF EF DF EF =+++134134a a ==⇒=，138c ∴=，而1230EF F ︒∠=，所以直线DE 的方程为()3y x c =+，代入椭圆C 的方程2222143x y c c+=，得22138320x cx c +-=，设()11,D x y ，()22,E x y ，则21212832,1313c c x x x x +=-=-，所以48613cDE ==，故答案为：6.17．(1)3410x y +-=(2)8【分析】（1）由直线1l 的方程和垂直关系可得2l 的斜率为234k =-，由点斜式方程整理可得结果；（2）求出圆心C 到直线2l 的距离为3d =，再由圆的弦长公式即可求得8AB =.【详解】（1）由直线1l ：4350x y -+=，可得斜率143k =，因为12l l ⊥，所以直线2l 的斜率为234k =-，又因为直线2l 过点()1,1-，所以直线2l 的方程为()3114y x -=-+，即3410x y +-=.（2）由圆C ：()22425x y +-=，可得圆心()0,4C ，半径=5r ，则圆心C 到直线2l ：3410x y +-=的距离为3d ==，又由圆的弦长公式可得弦长8AB ===18．（1）男30人，女45人（2）710【分析】（1）根据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可；（2）求出样本中的男生和女生的人数，写出所有的基本事件以及满足条件的基本事件的个数，从而求出满足条件的概率即可．【详解】（1）由题可得，男生优秀人数为()1000.010.021030⨯+⨯=人，女生优秀人数为()1000.0150.031045⨯+⨯=人；（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是51304515=+，所以样本中包含男生人数为130215⨯=人，女生人数为145315⨯=人．设两名男生为1A ，2A ，三名女生为1B ，2B 3B ．则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B 共10个，记事件C ：“选取的2人中至少有一名男生”，则事件C 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B 共7个．所以()710P C =．【点睛】本题考查了频率分布问题，考查了古典概型概率问题，是一道中档题．19．(1)31n a n =+(2)1112912n -+【分析】（1）根据前n 项和n S ，由2643n n n S a a +=+，作差即可求解{}n a 的通项公式；（2）根据裂项求和法即可求解．【详解】（1）解：①当1n =时，2111136464a a s a +=+=+，又0n a >，∴14a =，②当2n ≥时，由2643n n n S a a +=+，可得2111643n n n S a a ---+=+两式相减得：2211633n n n n n a a a a a --=-+-，整理得()()1130n n n n a a a a --+--=，∵0n a >，∴13,2n n a a n --=≥，∴{}n a 是以首项为4，公差为3的一个等差数列，∴31n a n =+；（2）解：由（1）可得()()1111313433134n b n n n n ⎛⎫==-++++⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和：121111111111113477103134343412912n b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ．20．(1)证明见解析【分析】（1）根据图1可知折叠后DE AE ⊥，DE BE ⊥，由此可证DE ⊥平面ABE ，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）由题可知AEB ∠是二面角A DE B --的平面角，易证ABE 是等边三角形，连接CE ，根据图1中的几何关系和面面垂直的性质定理可证AO ⊥平面BCDE ，再以O 为原点，OB，OC ，OA为x ，y ，z 轴建系，利用空间向量法即可求出线AD 与平面ABC 所成角.【详解】（1）证明：因为在图1中DE AB ⊥，沿着DE 将ADE V 折起，所以在图2中有DE AE ⊥，DE BE ⊥，又AE BE E =I ，所以DE ⊥平面ABE ，又因为DE ⊂平面BCDE ，所以平面ABE ⊥平面BCDE ；（2）解：由（1）知，DE AE ⊥，DE BE ⊥，所以AEB ∠是二面角A DE B --的平面角，所以60AEB ∠=︒，又因为AE BE =，所以ABE 是等边三角形，连接CE ，在图1中，因为90C ∠=︒，BC ，3AC =所以60EBC ∠=︒，AB =因为E 是AB 的中点，所以BE BC =所以BCE 是等边三角形.取BE 的中点O ，连接AO ，CO ，则AO BE ⊥，CO BE ⊥，因为平面ABE ⊥平面BCDE ，平面ABE ⋂平面BCDE BE =，所以AO ⊥平面BCDE ，所以OB ，OC ，OA 两两垂直，以O 为原点，OB ，OC ，OA为x ，y ，z 轴建系，如图所示.30,0,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以3,0,22AB ⎫=-⎪⎪⎝⎭ ，330,,22AC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3,1,22AD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即30,22330.22x z y z -=⎪⎨⎪-=⎪⎩取1z =，得平面ABC的一个法向量为)n =，所以31112cos ,5n AD AD n n AD⎛⎛⎫⨯⨯+-⨯ ⎪⋅==-.设直线AD 与平面ABC 所成角为θ，则sin 5θ=.21．(1)13n n a -=；21n b n =+(2)223n nn T +=-【分析】（1）利用1n n n a S S -=-得到数列{}n a 是等比数列，利用等比数列的通项公式可得数列{}n a ，再代入数列{}n b 满足的等式可得{}n b 的通项公式；（2）利用错位相减法可求和.【详解】（1）()*231N n n S a n =-∈，又()112312n n S a n --=-≥，两式相减得1233n n n a a a -=-，即13nn a a -=，故数列{}n a 是以3为公比的等比数列，又当1n =时，1112231S a a ==-，得11a =，13n n a -∴=，1133b a ==∴，324347b a =+=+=，∴等差数列{}n b 的公差为3142312b b -==-，21n b n ∴=+（2）由（1）可得213+=n nn c ，231357212133333n n nn n T --+∴=++++ ，234113572121333333n n n n n T +-+∴=+++++ 上两式相减得2311111123222211214243321333333333313n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=++++-=+⨯-=-- ，223n nn T +∴=-22．(1)22132x y +=(2)10x y -+=或10x y ++=【分析】（1）由左顶点为()得a =3c e a ==，求出c 值，则得到b 值，则求出E 的方程.（2）设直线方程为1x ty =-，联立椭圆方程得()2223440t y ty +--=，设()11,A x y ，()22,C x y ，则得到韦达定理式，利用弦长公式得到12y y -=AOCS =△.【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为()0c c >.因为椭圆E的左顶点为()，所以a =又离心率3c e a ==，所以1c =.所以2222b a c =-=，所以E 的方程为22132x y +=.（2）由（1）可知，设直线AF 的方程为1x ty =-.由221236x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理得()2223440t y ty +--=.设()11,A x y ，()22,C x y ，则122423t y y t +=+，122423y y t -=+，所以12223y y t -===+.因此1221122325AOCABC t S OF y y S t =-===+△△，解得21t =，即1t =±，所以直线AF 的方程为10x y -+=或10x y ++=.【点睛】关键点睛：第二问通常采取设线法，为了减少计算，我们引入参数t ，设直线AF 的方程为1x ty =-，联立椭圆得到方程()2223440t y ty +--=，则得到韦达定理式，再利用弦长公式得到其面积相关方程，解出参数t 即可.。

黑龙江省哈尔滨市哈工大附中校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}24A x x =-<<，122x B x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ）A ．()2,1--B ．()1,4-C ．()2,1-D ．()1,42．将圆x 2+y 2 -2x-4y+1=0平分的直线是 A ．x+y-1=0 B ．x+y+3=0 C ．x-y+1=0 D ．x-y+3=03．命题:p 方程22151xy m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分必要条件是（ ） A ．45m << B ．35m << C ．15m <<D ．13m <<4．两条平行线1:220l x y +-=，2:690l ax y +-=间的距离等于（ ）A B C D 5．已知平面向量()()0,1,1,1a b ==-r r ，则向量a r在向量b r 上的投影向量是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎝⎭C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭6．已知0.6log 0.5a =，0.40.9b =，0.3log 1.2c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．a c b >>7．椭圆2214y x +=上的动点P 到定点)A距离的最大值为（ ）A 1B 1C ．D ．38．椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点1F ，2F 为椭圆C 在左、右焦点，在椭圆C 上存在点P ，使2122PF PF c ⋅=u u u r u u u u r，则椭圆的离心率范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎦二、多选题9．以直角边长为2的等腰直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的体积可以为（ ）A ．B ．8π3C ．4π3D ．310．已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的周期为πB ．直线π6x =-是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 的单调递增区间为()8πππ,πZ 112k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数11．已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的左，右焦点分别是1F ，2F ，左，右顶点分别是A ，B ，点P 在C 上，l 是C 的一条渐近线，O 是坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．焦点2F 到l 的距离为1B ．若1OP OF =，则12F PF △的面积为1C ．若l 的倾斜角为30°D ．若直线P A ，PB 的斜率分别为12,k k ，则1221k k a =12．已知抛物线C ：218y x =-的焦点为F ，点()00,P x y 为抛物线C 上一动点，点()1,3A -，则（ ）A ．抛物线C 的准线方程为2y =B ．PA PF +的最小值为6C ．当04x =时，则抛物线C 在点P 处的切线方程为40x y +-=D ．过AF 的直线交抛物线C 于M ，N 两点，则弦MN 的长度为16三、填空题 13．复数12iz i+=的虚部为（其中i 为虚数单位）.14．已知()y f x =是奇函数，且当0x >时，()e 1xf x =-，则()2f -=．15．设椭圆C ：2211612y x +=的焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与椭圆相交于A ，B 两点，则1ABF V 的周长为．16．已知双曲线2222:1,(0,0)x y a b C a b -=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y x=有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得21123PF F PF F ∠∠=，则双曲线离心率取值范围范围为.四、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin b a C A =. （1）求角A 的大小；（2）若边长2a =，求ABC ∆面积的最大值.18．舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，求x ；(2)根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩；(3)用分层抽样的方法在[)[)60,7070,80，这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在[)70,80的概率． 19．已知圆22:(1)4C x y +-=，直线l 过点(2,4)M -． (1)若直线l 的斜率为2-，求直线l 被圆C 所截得的弦长； (2)若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．20．已知抛物线C ：()220y px p =>上一点M 到其焦点的距离为3，到y 轴的距离为2．(1)求抛物线C 的方程；(2)若不过原点O 的直线l ：y x m =+与抛物线C 交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，求实数m 的值．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点.(1)求椭圆的离心率；(2)过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭且斜率不为0的直线l 与椭圆交于,M N 两点，椭圆的左顶点为A ，求直线AM 与直线AN 的斜率之积.22．已知点()1,0A -，()10B ,，动点(),P x y 满足直线PA 与PB 的斜率之积为3，记动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点()2,0F 的直线与曲线C 交于,M N 两点，直线AM 与BN 相交于Q ．求证：点Q 在定直线上．。

河北省秦皇岛市新世纪高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．点()23-，到直线:3430l x y ++=的距离是（ ） A ．2B ．95C ．85D ．75 2．已知双曲线C ：2219y x -=，则其渐近线方程为（ ）． A ．13y x = B ．13y x =± C ．3y x = D ．3y x =±3．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长200丈（1丈＝10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（ ）A ．5310⨯立方尺B ．5610⨯立方尺C ．6610⨯立方尺D ．6310⨯立方尺 4．椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D ．不能确定 5．圆221:1C x y +=与圆222:650C x y y +-+=的公切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．已知点F 是拋物线()2:20C x py p =>的焦点，()0,1P x 是C 上的一点，4PF =，则p =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87．双曲线221916x y -=的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，若12PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．85B ．165C ．4D ．1638．已知直线:34110l x y +-=与椭圆222:14x y C m+=交于,A B 两点，若点()1,2P 恰为弦AB 的中点，则椭圆C 的焦距为（ ）A B ．C ．D二、多选题9．方程22222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．310．已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 的倾斜角是30︒B ．过点)与直线l 20y --=C 20y -+=到直线l 的距离为12D ．若直线m ：10x +=，则l m ⊥11．方程22141x y k k +=--表示的曲线为C ，下列正确的命题是（ ） A ．曲线C 可以是圆B ．若14k <<，则曲线C 为椭圆 C ．曲线C 可以表示抛物线D ．若曲线C 为双曲线，则1k <或4k > 12．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为棱11A D ，AB 的中点，P 为侧面11BCC B 的一动点，下列说法正确的是（ ）A ．异面直线AC 与BMB ．若1AC P V P 的轨迹为椭圆的一部分C ．若点P 到直线BC 与直线11CD 的距离相等，则动点P 的轨迹为抛物线的一部分 D ．过直线MN 的平面α与面ABCD 所成角最小时，平面α截正方体所得的截面面积为三、填空题13．准线方程为2x =-的抛物线的标准方程为.14．已知直线l :360x y +-=和圆心为C 的圆22240x y y +--=,则直线l 被圆C 截得的弦长为．15．设P 为椭圆22194x y +=上的一点，1F ，2F 是该椭圆的两个焦点，若12:2:1PF PF =，则12PF F △的面积为.16．设点P 是曲线22145x y -=右支上一动点，F 为左焦点，点Q 是圆22(4)1x y +-=上一动点，则PF PQ +的最小值是．四、解答题17．已知ABC V 顶点()()()301311A B C --，、，、，(1)求BC 边上中线所在的直线方程(2)求BC 边上高线所在的直线方程．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =(2,． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点1F 作斜率为1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，求AB ． 19．已知圆C 经过点A （1,2）和B （5,-2），且圆C 关于直线2x +y ＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)过点D （-3,1）作直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．20．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，D 是AB 的中点，E 是1C C 的中点，且1AB =，12AA =.（1）证明：//CD 平面1A EB ；（2）求二面角1B A E D --的余弦值.21．已知双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，离心率为2，右顶点为(1,0). (1)求双曲线C 的标准方程；(2)过(0,2)E 的直线l 与双曲线C 的一支交于M 、N 两点，求EM EN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围.22．已知抛物线D 的顶点是椭圆22143x y +=的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线D 的方程；(2)已知动直线l 过点()4,0P ，交抛物线D 于A 、B 两点，坐标原点O 为PQ 中点，求证：AQP BQP ∠=∠；(3)是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．。

江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．“02n <<”是“方程22113x y n n +=+-表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．根据表中的数据，用最小二乘法得到y 与x 的线性回归方程为$1414y x =-，则表中n 的值为（ ）A ．15.5B ．20C ．20.5D ．253．某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率为（ ） A ．310 B ．110 C ．25 D ．354．已知()()6221x x a x ++-展开式中各项系数之和为3，则展开式中的x 系数为（ ） A ．10- B ．11- C ．13- D ．14- 5．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．66．已知动直线:220l kx y k --+=恒过定点,A B 为圆22:(1)(3)8C x y -+-=上一动点，O 为坐标原点，则AOB V 面积的最大值为（ ）A ．85B ．4C ．6D ．247．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截得到的，其中4AB =，2BC =，13CC =，1BE =，则点C 到平面1AEC F 的距离为（ ）A B C D 8．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，从2F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过1F ；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分12F PF ∠．若双曲线C 的方程为上221916x y -=，则下列结论不正确．．．的是（ ）A ．射线n 所在直线的斜率为k ，则44,33k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B ．当m n ⊥时，1232PF PF ⋅=C ．当n 过点()7,5Q 时，光由2F 到P 再到Q 所经过的路程为13D ．若()1,0T ，直线PT 与C 相切，则212PF =二、多选题9．直线l ：30x my -+=和圆C ：22650x y x +-+=，下列结论成立的是（ ） A ．直线l ：30x my -+=过定点()3,0-B ．当实数m 的值为3时，直线l 与圆CC ．当直线l 与圆C 相切时，则实数m =D ．圆M ：()2219x y +-=与圆C 的公切线有且只有两条10．下列说法，错误的为（ ）A ．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同B ．若向量,AB CD u u u r u u u r 满足AB CD >u u u r u u u r ，且AB u u u r 与CD u u u r 同向，则AB CD >u u u r u u u rC ．若两个非零向量AB u u u r 与CD u u u r 满足0AB CD +=u u u r u u u r r ，则,AB CD u u u r u u u r 为相反向量D ．AB CD =u u u r u u u r 的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合11．如图，由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，半圆的圆心是坐标原点，直径与椭圆的短轴重合，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,1F ，且与y 轴非正半轴交于点G ．若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则下列结论正确的是（ ）A ．AB 的长度的最大值是1B ．AFG V 的周长为2+C ．ABF △的面积的最小值是1D ．90AGB ∠≥o三、填空题12．某校第一次模拟考试的数学成绩X 近似地服从正态分布()290,N σ，若()1000.92P X <=，则()80100P X <<=.13．若直线l 过点(1,2)-，且与双曲线2299x y -=有且只有一个公共点，则满足条件的直线有条．14．正四面体ABCD 中，若M 是棱CD 的中点，AP AM λ=u u u r u u u u r ，1166AB BP AC AD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，则λ=.四、解答题15．随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的22⨯列联表：(1)是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异？(2)若从这400人中按男女比例用分层抽样的方法抽取5人进行采访，再从这5人中任选2人赠送羽线服，记X 为抽取的2人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望．附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．16．已知抛物线2y x =-与过点(1,0)-的直线l 相交于A 、B 两点，点O 为坐标原点．(1)求OA OB ⋅u u u r u u u r 的值；(2)若△OAB 的面积等于54，求直线l 的方程． 17．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，90,224ADC BCD AD BC CD ∠∠======o ，二面角P AD B --的大小为120o ，E 是PA 中点.(1)求证：BE ∥平面PCD ；(2)求二面角E BD A --的余弦值.18．已知抛物线2:2(0)D y px p =>的焦点为F ，点Q 在D 上，且QF 的最小值为1.(1)求D 的方程；(2)过点()3,2M -的直线与D 相交于A ，B 两点，过点(3,6)N -的直线与D 相交于B ，C 两点，且A ，C 不重合，判断直线AC 是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 19．如图，一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D -的顶点1A 出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为16，沿正方体的侧棱爬行的概率为23．(1)若蚂蚁爬行5次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；(2)若蚂蚁爬行5次，记它在顶点C 出现的次数为X ，求X 的分布列与数学期望．。

重庆一中高2025届高二下开学考试数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数2()sin f x x x =⋅，则π2f ′的值为（ ） A ．0 B ．π C ．2π4 D ．2π4− 2．设动直线l 与22:(1)5C x y ++= 交于A ，B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（ ）A ．2x y a +=B ．2ax y a +=C ．2ax y +=D ．x ay a +=3．已知数列{}n b 是公比为(1)q q ≠的正项等比数列，且10122ln 0b =，若24()1f x x=+，则()()()122023f b f b f b +++= （ ）A ．4069B ．2023C ．2024D ．40464．已知函数()f x 的定义域为R ，设()e ()x g x f x =．设甲：()f x 是增函数，乙：()g x 是增函数，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，当0FA FB FC ++= 时，则在点A 、B 、C 中横坐标大于2的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)4f x f x −=，()0f x >，(2024)1f =．则20231()i f i ==∑（ ）A ．4545B ．4552C ．4553D ．45547．已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，如果关于x 的实系数方程22021202120210x S x T −+=有实数解，那么以下2021个方程20(1,2,3,,2021)i i x a x b i −+== 中，无实数解的方程最多有（ ）A ．1008个B ．1009个C ．1010个D ．1011个8．记椭圆22:21C x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A ，B ，A ，B 处的切线交于点P ，设12F F P △的垂心为H ，则PH 的最小值是（ ）A B C D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在正四棱台1111ABCD A B C D −中，11122AB A B AA ==，则（ ）A ．直线1AA 与11C D 所成的角为60°B ．平面11AA D D 与平面11BBC C 的夹角为60°C ．1//AA 平面1C BDD ．1AA ⊥平面1A BD10．设F 为双曲线22:2C x y −=的右焦点，O 为坐标原点．若圆22()4x y m +−=交C 的右支于A ，B 两点，则（ ）A ．C 的焦距为B ．22||||OA OB +为定值C ．||||OA OB +的最大值为4D ．||||FA FB +的最小值为2 11．已知数列{}n a ：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，…，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则（ ）A ．2021a =B ．2(1)222n n a n n +=−+C ．存在正整数m ，使得m a ，1m a +，2m a +成等比数列D ．有且仅有3个不同的正整数m ，使得12156m m m a a a ++++=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若直线1:210l x my ++=与直线221:02l m x y −+=垂直，则m 的值为__________． 13．已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为n S ，11a =，且对于任意的正整数n 均有211n n n S S a +++=．（1）若32a =−，则2a =__________；（2）若20232022a =−，则满足条件的无穷数列的一个通项公式可以是n a =__________．14．已知函数()ln f x x =，()ag x x =（0x >，0a ≠），若存在直线l ，使得l 是曲线()y f x =与曲线()y g x =的公切线，则实数a 的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，2AB =，PA PB AD ===（1）证明：PC BD ⊥；（2）求PC 与平面P AD 所成角的正弦值．16．（15分）记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和．已知n S n为等比数列，11n n b b ++=−，3228a S ==，3315S T −=．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前2n 项和．17．（15分） 已知函数21()cos 12f x ax x =+−． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．18．（17分）设1F 、2F 分别是粗圆222:2(0)E x y t t +=>的左、右焦点．（1）求E 的离心率；（2）过1F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点（AB 与y 轴不平行）．①当t 为常数时，若2AF ，||AB ，2BF 成等差数列，求直线l 的方程；②当t =时．延长2BF 与E 相交于另一个点C （2BF 与x 轴不垂直），证明：直线AC 与椭圆221129x y +=相切．19．（17分）已知函数2()()e x f x x a =−．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设1x ，2x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，记()()11,A x f x ，()()22,B x f x ．（ⅰ）证明：直线AB 与曲线()y f x =交于另一点C ；（ⅱ）在（i ）的条件下，判断是否存在常数()*(,1)n n n λ∈+∈N ，使得||||AB BC λ=．若存在，求n ；若不存在，说明理由．附：ln 20.693= ，ln 5 1.609= ．。

深圳科学高中2023-2024学年第二学期开学考试试题科目：高二数学 考试时长120分钟 卷面总分：150分命题人：卞上 审题人：吴冰欣一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．已知i 为复数单位，()3i2i 1ia a +=+∈-R ，则复数2i z a =+在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量()1,1a =- ，(),2b m = ，或()a b a + ∥，则2a b ⋅=（ ）A ．－8B ．－7C ．7D ．83．过点()2,4M 作直线l 与抛物线28y x =只有一个公共点，这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条4．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（）A ．36B ．32C ．28D ．245．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=；②a b b a -=+ 是a 、b共线的充要条件；③若AB CD ∥，则AB ，CD共线；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP xOA yOB zCO =++且1x y z ++=（其中x ，y ，z ∈R ），则P ，A ，B ，C 四点共面．其中不正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列排序正确的是（）A ．()()()()11f a f a f a f a ''+-<<+B ．()()()()11f a f a f a f a ''+<<+-C ．()()()()11f a f a f a f a ''+<+-<D ．()()()()11f a f a f a f a ''<+-<+7．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则函数()f x （ ）A ．图象关于直线3πx =-对称B ．图象关于点,36π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．在区间25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的值域为()1,38．若数列{}F 满足11F =，21F =，12n n n F F F --=+，()*3,Nn n ≥∈，则称数列Fibonacci 数列，该数列是由意大利数学家斐波那契于1202年提出，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．则下列结论错误的是（）A ．135********F F F F F +++⋅⋅⋅+=B ．数列{}F 各项除以2后所得的余数构成一个新数列{}n a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20231349S =C ．记2023F m =，则数列{}n F 的前2021项的和为2m -D ．22212202220232022F F F F F ++⋅⋅⋅+=二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．已知M 为直线50x y -+=上的一点，动点N 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离之比为2，则（）A ．动点N 的轨迹方程为()2244x y -+=B．2MN ≥C ．12MN NO +的最小值为D ．AON ∠的最大角为3π10．已知数列{}n a :12，212，222，232，312，322，332，342，352，362，372，412，422，…（其中第一项是112，接下来的221-项是212，222，232，再接下来的321-项是313，322，332，342，352，362，372，依此类推），其前n 项和为n S ，则下列判断正确的是（ ）A ．存在常数M ，使得n S M <恒成立B ．1010212-是{}n a 的第2036项C ．20231018S =D ．满足不等式1019n S >的正整数n 的最小值是210011．如图，在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11C D 的中点，M 是线段1A E 上的一点，则下列说法正确的是（）A ．当M 点与1A 点重合时，直线1AC ⊂平面ACMB ．当点M 移动时，点D 到平面ACM 的距离为定值C ．当M 点与E 点重合时，平面ACM 与平面11CCD DD ．当M 点为线段1AE 中点时，平面ACM 截正方体1111ABCD A B C D -三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．命题“,30xx ∀∈>R ”的否定是______．13．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，()11e e xf x x =⋅-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是______．14．如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率13e =，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，Р是椭圆上任意一点，若PF PA ⋅的最大值是12，则椭圆方程为______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知函数()21e xf x x a =--．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．16．（15分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()m c b b =+-，向量()n c b b =-+ ，且m n ⊥ ．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）延长BC 至点D ，使得DA DB =．当DAC ∠最大时，求tan D 的值．17．（15分）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB CD ∥，1AD CD ==，120BAD ∠=︒，90ACB ∠=︒．（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）若二面角D PC A --A 到平面PBC 的距离．18．（17分）已知双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的离心率是3，点(P 在C 上．（1）求C 的标准方程：（2）已知直线l 与C 相切，且与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，试问OA OB ⋅是否为定值?若是，求出该定值：若不是，请说明理由．19．（17分）已知数表11121221222n n n a a a A a a a ⋅⋅⋅⎛⎫=⎪⋅⋅⋅⎝⎭中的项()1,2;1,2,,ij a i j n ==⋅⋅⋅互不相同，且满足下列条件：①{}1,2,,2ij a n ∈⋅⋅⋅； ②()()()112101,2,,m m m a a m n +--<=⋅⋅⋅．则称这样的数表2n A 具有性质P ．（1）若数表22A 具有性质P ，且124a =，写出所有满足条件的数表22A ，并求出1112a a +的值；（2）对于具有性质P 的数表2n A ，当11121n a a a ++⋅⋅⋅+取最大值时，求证：存在正整数()1k k n ≤≤．使得12k a n =；（3）对于具有性质Р的数表2n A ，当n 为偶数时，求11121n a a a ++⋅⋅⋅+的最大值．深圳科学高中2023-2024学年第二学期开学考试参考答案一、单选题题号12345678答案DA BC B CCC二、多选题题号91011答案ACBCDACD三、填空题12．x ∃∈R ，30x≤，13．2y x =，14．22198x y +=8．对于A ：因为11F =，21F =，12n n n F F F --=+，()*3,Nn n ≥∈，所以13520232352023452023F F F F F F F F F F F +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+672023202220232024F F F F F F =++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅=+=，故A 正确；对B ：显然11a =，21a =，由12n n n F F F --=+()*3,N n n ≥∈可知，()*3,N na n n ≥∈，可由12n n aa --+判断，若121n n a a --+=，则1n a =，若120n n a a --+=或120n n a a --+=，则0n a =，由此可得30a =，41a =，51a =，60a =，…，30k a =，311k a +=，()*3213,N k a n n +=≥∈，所以()20231231674134811349S a a a a =+++=+=，故B 正确；对于C ：因为11F =，21F =，12n n n F F F --=+，()*3,Nn n ≥∈，所以124620203462020562020F F F F F F F F F F F F ++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+182020201920202021F F F F F F =++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅=，又由选项A ，易知135********F F F F F +++⋅⋅⋅+=，所以123620212021202220232F F F F F F F F m ++++⋅⋅⋅+=+==，则1236202111F F F F F m F m ++++⋅⋅⋅+=-=-，故C 错误；对于D ：()()2*11211123,Nn n n n n n n n F F F F F F F F n n -------⋅=+⋅=+⋅≥∈222202320222022202220212022202120212020F F F F F F F F F ⋅=+⋅=++⋅2222202220212020221F F F F F F =+++⋅⋅⋅++⋅，又因为12F F =，所以222222023202220222021202021F F F F F F F ⋅=+++⋅⋅⋅++，故222222022202120202120232022F F F F F F F +++⋅⋅⋅++=，故D 正确．11．对A ，因为11AA CC ∥，所以点A ，1A ，C ，1C 四点共面，当M 点与1A 点重合时，直线AC ⊂平面ACM ，故A 正确；对B ，以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，因为E 为11C D 中点，则设()12,,1M t t -，10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1,0,0A ，()0,1,0C ，则()1,1,0AC =-，()2,,1AM t t =- ，()1,0,0DA = ，设平面ACM 的方向量为(),,m x y z = ，则0AC m AM m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，令1y =，则1x =，z t =，所以()1,1,m t =，则点D 到平面ACM的距离DA m d m ⋅=== ，显然不是定值，故B 错误；对C ，当M 点与E 点重合时，由B 知此时12t =，11,1,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，平面11CC D D 的法向量()1,0,0n =，设平面ACM 与平面11CC D D 夹角为θ，2cos 3m nm nθ⋅===，则sin θ==，故C 正确；对D ，连接11AC ，并在上底面内将直线11AC 沿着11B D，的方向平移，直至该直线经过点M ，交11D A 于点P ，交11C D 于点N ，因为11AA CC ∥，11AA CC =，所以四边形11AAC C 为平行四边形，所以11A C AC ∥，因为11PN A C ∥，所以AC PN ∥，因为点M PN ∈，所以平面ACM 截正方体1111ABCD A B C D -所得的图形为四边形APNC ，不妨以1D 为坐标原点，在上底面内建立如图所示平面直角坐标系，则()10,1A -，1,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，因为M 为线段1A E 中点，则11,42M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．根据直线11PN A C ∥，则1PN k =，设直线PN 的方程为y x b =+，代入点M 坐标得1124b -=+，解得34b =-，则34y x =-，则点P 位于线段11A D 的四分之一等分点处，且靠近点1A ，点N 位于线段11C D 的四分之一等分点处，且靠近点1C ，则AP CN ===，AC =，PN =AC PN ∥，则四边形APNC为等腰梯形，则其高为==，则12APNC S ==梯形D 正确．14．13c e a ==，∴3a c =，设()()000,33P x y c x c -≤≤，则()00,PF c x y =---，()00,PA a x y =-- ，∴()()0000,,PF PA c x y a x y ⋅=---⋅--2222220000002b ac cx ax x y ac cx ax x b x a=-+-++=-+-++-()()2222220000219c x a c x b ac x a c x a c ac a =--+-=--+--．()222222200000111251881494999x cx c x cx c c x c c ⎡⎤=-+=-+-=--⎣⎦∴当03x c =-时，PF PA ⋅ 有最大值为21212c =．∴21c =，则29a =，2228b a c =-=．∴所求椭圆方程为22198x y +=．四、解答题15．（1）当2a =时，()212e xf x x =--，()112e f =-，即切点()1,12e -，()22e x f x '=-，则()122e k f '==-，所以切线()()()12e 22e 1y x --=--，即()22e 1y x =--（2）()f x 定义域为R ，()0f x ≤恒成立，所以21e 0xx a --≤恒成立，即21e xx a -≥恒成立．设()21exx g x -=，则()min a g x ≥，()32e x x g x -'=，令()0g x '=，解出32x =．所以3,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0g x '>，()g x 为增函数，3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 为减函数，所以()323max2322e 2e g x g -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，即322e a -≥故实数a 的取值范围322e ,-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．16．（1）因为m n ⊥，所以()())0m n c b c b bb ⋅=+-+-+=，即22222c b a=-又2222cos b a c ac B =+-，所以，2222222224cos c a b a c ac B +==+-，整理可得4cos c a B=再由正弦定理得：sin 4sin cos C A B =，结合()sin sin sin sin cos sin C A B A A B =+=+，可得，sin cos cos sin 4sin cos A B A B A B +=．即cos sin 3sin cos A B A B =显然cos cos 0A B ≠两边同时除以cos cos A B 可得，sin sin 3cos cos B AB A=，即tan 3tan B A =如图：设02πBAC αα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则()tan 3tan tan 0B αα=>．因为AD BD =，所以B BAD CAD α=∠=+∠，则CAD B α∠=-故()tan tan tan tan 1tan tan B CAD B B ααα-∠=-=+，22tan 2113tan 3tan tan αααα==++因为13tan tan αα+≥=当且仅当13tan tan αα=，即tan α=，6πα=时取等号所以，tan CAD ∠≤=此时tan B =，所以3πB =，故ABD △为等边三角形，即tan D =17．（1）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则PA BC ⊥，而90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥，又PA AC A = ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ．（2）在平面ABCD 内作Ax AB ⊥，由PA ⊥底面ABCD 可得Ax ，AB ，AP 两两垂直，以射线Ax ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，因AB CD ∥，1AD CD ==，120BAD ∠=︒，则60ADC ∠=︒，即ADC △是正三角形，1,02D ⎫-⎪⎪⎭，1,02C ⎫⎪⎪⎭，而AC BC ⊥，则()0,2,0B ，设点()0,0,P t ，()0,1,0DC =，1,2PC t ⎫=-⎪⎪⎝⎭，()0,0,AP t = ，令平面DPC 的一个法向量()111,,n x y z =，则11110102n DC y n PC x y tz ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1z =，得(2n t = ，由（1）知平面PAC的法向量3,02BC ⎫=-⎪⎪⎝⎭，因二面角D PC A --﹐则cos ,n BC n BC n BC ⋅===，解得t =，则(P，1,2PC =⎝ ，令平面PBC 的一个法向量()222,,m x y z =，则2222232102m BC x y m PC x y ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令21y =，得m = ，又()0,2,0AB =，所以A 点到平面PBC 的距离m AB d m⋅===18．（1）由题可得2222231613a b ca c ab ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得13a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故C 的标准方程为2218x y -=；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l ：y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2218y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2228116880k x kmx m -++-=，则()()()22216481880km k m ∆=---=，即2281k m +=由（1）可知C的渐近线方程为y x =和y x =，不妨设直线l与直线y x =的交点为A ，与直线y x =的交点为B ，联立y x y kx m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即A ，联立y x y kx m⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即B ⎛ ⎝，则OA =，OB ⎛= ⎝，得22781m OA OB k ⎛⋅== -⎝，因为2281k m +=，所以2218m k =-，所以227781m k =--，即7OA OB ⋅=- ，故OA OB ⋅是定值，且该定值为–7．19．（1）满足条件的数表22A 为1423⎛⎫⎪⎝⎭，1432⎛⎫ ⎪⎝⎭，2431⎛⎫⎪⎝⎭所以1112a a +的值分别为5，5，6（2）若当11121n a a a ++⋅⋅⋅+取最大值时，存在1j n ≤≤，使得22j a n =．由数表2n A 具有性质P 可得j 为奇数，不妨设此时数表为1112122222n n n a a a A n a a ⋅⋅⋅⎛⎫=⎪⋅⋅⋅⎝⎭①若存在1k a （k 为偶数，1k n ≤≤），使得111k a a >，交换1k a 和2n 的位置，所得到的新数表也具有性质P ，调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在1i n ≤≤，使得12i a n=②若对任意的1k a （k 为偶数，1k n ≤≤），都有111k a a <，交换12a 和11a 的位置，所得到的新数表也具有性质P，此时转化为①的情况综上可知，存在正整数()1k k n ≤≤，使得12k a n=（3）当n 为偶数时，令2n k =，()1k n ≤≤，对任意具有性质P 数表11121221222n n n a a a A a a a ⋅⋅⋅⎛⎫=⎪⋅⋅⋅⎝⎭，一方面，()()()()()()122214241,22,2414321k k a a a a a a k k k -+-+⋅⋅⋅+-≤-+-+⋅⋅⋅++，因此()()212141,222242,23k k a a a a a a k ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅++．①另一方面，()2111,3,5,,1i i a a i n -≥=⋅⋅⋅-，因此()()11131,2121232,21k k a a a a a a k --++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+-．②记111121,2n S a a a =++⋅⋅⋅+，221222,2n S a a a =++⋅⋅⋅+．由①＋②得；2123S S k k ≤+-．又21282S S k k +=+，可得21112k kS +≤构造数表2143415427433231312142638413n k k k k k k k k k k k A k k k k k k k ++-+-+-⋅⋅⋅+-+⎛⎫=⎪++++⋅⋅⋅-⎝⎭可知数表2n A 具有性质P ，且2211111228k k n nS ++==．|综上可知，当n 为偶数时，11121n a a a ++⋅⋅⋅+的最大值为21128n n+．。

高二下学期开学检测考试数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知数列12345,,,,,357911，按照这个规律，这个数列的第211项为（）A ．211424B ．211423C ．211421D ．2114202．已知向量()()1,0,3,2,1,0a b == ，则a 在b方向上的投影向量为（）A ．84,,055⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．63,,055⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．42,,055⎛⎫⎪⎝⎭D ．21,,055⎛⎫⎪⎝⎭3．已知直线1l 的倾斜角比直线2:tan80l y x =-的倾斜角大20︒，则1l 的斜率为（）A ．BC ．3-D ．34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5338S a =+，则3a =（）A ．12B ．6C ．8D ．45．在四面体ABCD 中，2,BM MC AN ND == ，则MN =（）A ．121332AB AC AD++B ．121332AB AC AD+-C ．121332AB AC AD--+D ．121332AB AC AD-++7．已知过点()1,1P a b ++的直线l 与圆22:()()4M x a y b -+-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．BCD ．7．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆M 上，且124PF PF b -=，则M 的离心率的取值范围为（）A ．0,5⎛ ⎝⎦B ．,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．,12⎫⎪⎣⎭8．已知甲植物生长了一天，长度为(0)a a >，乙植物生长了一天，长度为16a ．从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的32倍，乙每天的生长速度是前一天的23，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（参考数据：取lg20.3,lg30.48==）（）A ．第6天B ．第7天C ．第8天D ．第9天二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知12,F F 分别是双曲线22:173x y C -=的左、右焦点，第二象限的点P 在C 上，则（）A ．CB ．C 的焦距为C ．C 的渐近线方程为217y x =±D ．12PF PF -=10．如图，在每个空格中填入一个数字，使每一行方格中的数成等比数列，每一列方格中的数成等差数列，则1a4b 6dce20A ．3b =B ．2a =±C ．10e =D ．5c =11．若曲线1:2C y k x =+与曲线22:12x C y y +=有6个公共点，则k 的值可能是（）A ．3-B ．2-C ．2-D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知F 是抛物线2:8C x y =的焦点，M 是C 上的一个动点，设M 到x 轴的距离为1,d M 到点()5,0A 的距离为2d ，则12d d +的最小值为___________．13．已知,A B 两点分别在两条互相垂直的直线1:40l x y -=和2:40l x ay +=上，且AB 的中点为53,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a =，直线AB 的一般式方程为___________．14．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别在棱11,C D BC 上，112,C E ED BF FC ==，平面AEF 与棱1CC 交于点P ，则直线AP 与AB 所成角的余弦值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知圆222:(2)(0)M x y r r +-=>被x 轴分成两段弧，弧长之比为3:1．（1）求r ；（2）若动点P 到坐标原点O 的距离等于5,Q 为圆M 上一动点，求PQ 的取值范围．16．（15分）在数列{}{},n n a b 中，11113,3n n n n a b a b a b ++=-=．（1）若n n n c a b =，求数列{}n c 的通项公式；（2）若3n n b =，求{}n a 的前n 项和n S ．17．（15分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PAB 是边长为2的正三角形，平面PAB ⊥平面,,4,3ABCD ABC BC E π∠==为棱PD的中点．（1）证明：AC ⊥平面PAB ．（2）求直线BE 与平面PAC 所成角的正弦值．18．（17分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,e n S a =（e 为自然对数的底数）2e n S +++= ．（1）证明：{}ln 4n a +是等比数列．（2）设ln 45n n a b +=，证明：()()()122221124442221414141n n n b b b b b b ++++<----- ．19．（17分）已知,A B 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，OAB 是边长为的等边三角形，其中O 为坐标原点．（1）求C 的方程；（2）过C 的焦点F 作圆222:(3)(2)(01)M x y R R -+-=<<的两条切线12,l l ，且12,l l 与C 分别交于点,D E 和,H G ，求DE HG --的最小值．高二下学期开学检测考试数学参考答案1．B 由题意得该数列的一个通项公式为21n n a n =+，则211211423a =．2．Ca 在b 方向上的投影向量为42,,055a b b b b ⋅⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭．3．A 由tan80tan100-︒=︒得2l 的倾斜角为100︒，所以1l 的倾斜角为120︒，即1l的斜率为tan120︒=．4．D 由题意得()1553552a a S a +==，则328a =，即34a =．5．C由题意得1132MN MC CD DN BC AD AC AD =++=+--=()1132AC AB AD AC -+-=121332AB AC AD --+．6．D因为22(1)(1)4a a b b +-++-<，所以点P 在圆M内．易得MP =，当MP l ⊥时，AB 取得最小值，且最小值为=7．B由题意得12122,4,PF PF a PF PF b ⎧+=⎨-=⎩则122,2PF a b PF a b=+=-，由122,2PF a b a c PF a b a c =+≤+=-≥-，得2b c ≤，即()222244b a c c =-≤，得5c a ≥．故M 的离心率的取值范围为,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭．8．C由题意得甲、乙每天的生长速度均为等比数列，两个等比数列分别设为{}{},n n a b ，其前n 项和分别设为,n n S T ，则321161233221,48[132231123n n n nn n a a S a T a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦==--==-⎢⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎥⎣⎦⎦--．由n n S T >，得23333252424102222nnn n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+=-->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得3242n ⎛⎫> ⎪⎝⎭或312n ⎛⎫< ⎪⎝⎭．（舍去），则3242n⎛⎫> ⎪⎝⎭，即32log 24n >．因为32lg24lg33lg2log 247.73lg3lg2lg 2+==≈-，所以n 的最小值为8．9．BC由题意得C 的虚轴长为，焦距为=，渐近线方程为7y x =±，12PF PF -=-．10．ACD由题意得2420d =+，则12d =．由26bd =，得3b =，由21b c =+，得5c =，由224,a e=20c =，得2,10a e =±=±．因为2612a e +=⨯=，所以2,10a e ==．11．ACD 当0y ≥时，2212x y +=，当0y ≤时，2212x y -=，所以2C 是由椭圆2212x y +=的上半部分与双曲线2212x y -=的下半部分组合而成的．1C 过定点()0,2．如图，由222,1,2y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2212860k xkx +++=，由()22Δ6424120k k =-+=，得2k =±．由222,1,2y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()22128100k xkx ---=，由()22Δ6440120k k =+-=，得2k =±．因为1C 与2C 有6个公共点，所以0k <，由图可知，k的取值范围为,22⎛-- ⎝⎭．12．2-由题意得C的准线方程为2y =-，得12d MF =-，则12222d d MF MA AF +=+-≥-=．13．1;53170x y --=由题意得440a -=，得1a =．设()1,,,44A m m B n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由52,21342,42m n m n ⎧+=⨯⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=⨯- ⎪⎪⎝⎭⎩得4,1,m n =⎧⎨=⎩即()()4,1,1,4A B -，则直线AB 的方程为1y -=()14441x +--，即53170x y --=．14．55959以D 为原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，AD 为1个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()111,0,0,0,,1,,1,0,1,1,032A E F B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得()111,,1,,1,0,0,1,032AE AF AB ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()0,1,P t ，则()1,1,AP t =- ．因为,,,A E P F 四点共面，所以可设AP x AE y AF =+ ，则11,211,3,x y x y x t ⎧--=-⎪⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎪⎩得3,54,53.5x y t ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以直线AP 与AB 所成角的余弦值为559cos ,59AP AB AP AB AP AB⋅==．15．解：（1）由题意得()0,2M ，设圆M 与x 轴从左到右依次交于,A B ，由题意得1242AMB ππ∠=⨯=，则124OMA AMB π∠=∠=，所以222r AM OM ===．（2）由题意得P 的轨迹为圆22:25O x y +=，易得2OM =，因为25<-M 与圆O 内含．故5252PQ -≤≤+，即PQ的取值范围为3⎡-+⎣．16．解：（1）由113n n n n a b a b ++-=，得13n n c c +-=，所以{}n c 是首项为1113c a b ==，公差为3的等差数列．故()3313n c n n =+-=．（2）由（1）得13n n n n c na b -==．021*******n n n S -=++++ ①，则23112333333n n nS =++++ ②，①-②得0111121113133333313nn n n nn n S -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-- ，则1191139234324443n n n n S n --+⎛⎫=-⋅+=- ⎪⋅⎝⎭（或969443n n +-⋅）．17．（1）证明：2222cos 12AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠= ，222AC AB BC ∴+=，即AC AB ⊥．平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，AC ∴⊥平面PAB ．（2）解：如图，分别取,AB BC 的中点,O F ，连接,OP OF ．,OF AC OF ∴⊥ ∥平面PAB．以O 为坐标原点，,,OB OF OP的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()(()()1,0,0,,1,0,0,B P A C --，()33,22D E ⎛-- ⎝⎭，(()51,0,,,,22PA AC BE ⎛=-==- ⎝⎭ ．设(),,n x y z = 是平面PAC的法向量，则0,0,n PA x n AC ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =，得x =()n =．故直线BE 与平面PAC所成角的正弦值为cos ,20BE n BE n BE n⋅==．18．证明：（1）当1n =22311e e e S a ===，得62e a =．当2n ≥时，2221e e e n n n S S a --==，得()2ln e n a =，得11ln ln 22n n a a +=+，即1ln 2ln 4n n a a +=+，则1ln 42ln 4n n a a ++=+．因为21ln 4102ln 45a a +==+，所以{}ln 4n a +是首项为5，公比为2的等比数列．（2）由（1）可得1ln 452n n a -+=⋅，则12n n b -=，所以()()1221424121n nn n b b ++=--．因为()()()112111221122121212121n n n n n n n +++++⎛⎫<=- ⎪----⎝⎭-所以()()()12222223341244411111212121212121414141nn b b b b b b ⎛+++<-+-+- -----⎝--- 111111221*********n n n n +++⎫⎛⎫++-=-=-⎪ ⎪----⎭⎝⎭．19．解：（1）易知,A B 关于x 轴对称，连接AB ，交x 轴于点M （图略）．不妨设(),(0)A a b b >，则(),B a b -，由题意得tan 32AM b AOM OM a b ⎧∠===⎪⎨⎪=⎩得12,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩则22b pa =，得224b p a==．故C 的方程为24y x =．（2）由（1）得()1,0F ，易得12,l l 的斜率均不为0，设12:1,:1l x my l x ny =+=+．R =，得()2224840R m m R --+-=，同理可得()2224840R n n R --+-=，则,m n 可以看作方程()2224840Rx x R --+-=的两根，易得()22Δ64440R =-->，所以28,41.m n Rmn ⎧+=⎪-⎨⎪=⎩设()()()()11223344,,,,,,,D x y E x y H x y G x y ，由21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=，易得2Δ16160m =+>，则12124,4,y y m y y +=⎧⎨=-⎩所以()241DE m ==+，同理可得()241HG n ==+．由01R <<，得2804R >-，则0,0,m n mn +>⎧⎨>⎩得0,0m n >>，所以()()2216114040DE HG m n -++-()()2222221611628080m n m n m n mn m n +++-++--()22516()5161002m n m n m n ⎛⎫⎡⎤=+-+=+-- ⎪⎣⎦⎝⎭，当52m n +=，即245R =时，DE HG --取得最小值，且最小值为100-．。

2023-2024学年度第二学期高二年级开学考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{2,1,0,1,2},{2,1,0},{0,1,2}U A B =--=--=则U()A B =（ ）A ．{0}B ．{2,1}--C ．{1,2}D ．{0,1,2}2．设复数1234,z i z t i =+=+且12z z R ⋅∈,则实数t 等于（ ） A ．43 B ．34 C ．43- D ．34- 3．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线11B C 与平面11AB D 所成角的正弦值为（ ）A ．13B ．3CD 4．已知直线12:10,:10l ax y l x ay ++=++=,若12l l ∥，则实数a =（ ） A ．1-或1 B ．0或1 C ．1 D ．1-5．直线30x y b +-=与圆22(2)(4)10x y -++=相切，则实数b 的值是（ ） A ．8-或12 B ．8或12- C ．8或12- D ．8或126．已知点F 是抛物线24y x =的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为4，则点A 的坐标为（ ）A ．(3,B ．C ．(1,2)D ．(2,7．在等比数列{}n a 中，472,5a a ==,则数列{}1g n a 的前10项和等于（ ） A ．2 B ．lg50 C ．10 D ．58．已知椭圆22221x y a b+=的左焦点为1F ,右顶点为A ，上顶点为B ．若190F BA ∠=︒，则椭圆的离心率是（ ）A B C D ．12二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．椭圆2219x y m +=的焦距是4，则实数m 的值可能为（ ） A ．5 B ．13 C ．8 D ．2110．已知{}n a 是首项为13，公比为q 的等比数列，n S 是其前n 项和，且369S S =,则（ ） A ．2q = B ．1q =或2 C ．343a = D ．232a a +=11．已知函数()|1|f x a x =-的图象与直线2y x a =+有两个不同交点，则正实数a 的取值可以是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为3，则a =___________． 13．若圆224x y +=与圆22260(0)x y ay a ++-=>的公共弦长为23,则a =___________．14．将石子摆成如图的梯形形状，各梯形里石子的个数为5,9,14,20，…，即构成一个数列，根据图形的构成，此数列的第n 项即n a =___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知空间向量(1,2,1),(2,1,1)a b =-=-． （1）计算32a b +和53a b -; （2）求a 与b 夹角θ的余弦值． 16．（本小题满分15分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且251,5a a ==-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值． 17．（本小题满分15分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与直线4410x y -+=相切． （1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点1,04⎛⎫⎪⎝⎭且不与x 轴垂直的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点．若||4AB =，求弦AB 的中点到直线20x +=的距离． 18．（本小题满分17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,1,120,90ABCD AB CD AD CD BAD ACB ==∠=︒∠=︒∥．（1）求证：BC ⊥平面PAC ．（2）若平面DPC 与平面PCA 的夹角的余弦值为55，求点A 到平面PBC 的距离． 19．（本小题满分17分）对于无穷数列{}n a ,“若存在()*,,m k a a t m k N m k -=∈>,必有11m k a a t ++-=”,则称数列{}n a 具有()P t 性质．（1）若数列{}n a 满足()*2(1,2)253,n nn a n n n N =⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩，判断数列{}n a 是否具有(1)P 性质？是否具有(4)P 性质？（2）对于无穷数列{}n a ,设{},j i T x x a a i j ==-<∣,求证：若数列{}n a 具有(0)P 性质，则T 必为有限集； （3）己知{}n a 是各项均为正整数的数列，且{}n a 既具有(2)P 性质，又具有(3)P 性质，是否存在正整数,N k ，使得12,,,,,N N N N k a a a a +++⋯⋯成等差数列．若存在，请加以证明；若不存在，说明理由．2023-2024学年度第一学期高二年级开学考试数学试卷答案一、单项选择题：1． C ．2．D 3．C 4．D 5．A 6．A 7．D 8．B 二、多项选择题：9．AB 10．ACD 11．BC三、填空题：122 13．1 14．(1)(4)2n n ++或2542n n ++四、解答题：15．（1）323(1,2,1)2(2,1,1)(1,8,1),535(1,2,1)3(2,1,1)a b a b +=-+-=---=---(11,7,8)=-．（2）|||a b ====(1,2,1)(2,1,1)2211a b ⋅=-⋅-=-+-=-,1cos ,||||6a b a a b θ⋅∴===-∴与b 夹角θ的余弦值为16-．16．（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知条件知2151145a a d a a d =+=⎧⎨=+=-⎩解得13,2a d ==-,所以1(1)25n a a n d n =+-=-+．（2）221(1)44(2)2n n n S na d n n n -==-+=--+, 所以当2n =时，n S 取得最大值4．17．解析：（1）联立224410y px x y ⎧=⎨-+=⎩，化简得222p y py =-，即2202py py -+=，令0∆=，因为0p >,解得12p =，故抛物线C 的方程为2y x =． （2）注意到点1,04⎛⎫⎪⎝⎭即为抛物线C 的焦点，设A 的坐标为()11,,x y B 的坐标为()22,x y ,则121||42AB x x =++=，故1272x x +=，则弦AB 的中点的横坐标是74， 故弦AB 的中点到直线20x +=的距离是715244+=．18．解析：（1）PA ⊥底面,ABCD BC ⊂平面,ABCD PA BC ∴⊥．90,ACB BC AC ∠=︒∴⊥．又,PAAC A BC =∴⊥平面PAC ．（2）设AP h =,取CD 的中点E ,易得三角形ADC 是正三角形，,AE CD AE AB ⊥∴⊥．又PA ⊥底面,ABCD PA AE ∴⊥．故可建立如图所示的空间直角坐标系，3131313131(0,0,0),(0,0,),,0,,0,(0,2,0),(0,0,),,,0,,,,,,22222222A P h C D B AP h AC PC h PD h ⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-=--⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设平面PAC 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则110,0,AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,310.22hz x y =⎧+=⎪⎩令x h =，得1(,3,0)n h h =-． 同理得平面PDC 的一个法向量为23n h ⎛= ⎝⎭． 1212125|cos ,|5n n n n n n ⋅==⋅，3h ∴= 又可求得平面PBC 的一个法向量为3(3,3,2)n =， ∴点A 到平面PBC 的距离为332334AP n d n ⋅===∣．19．（1）因为()*2(1,2)253,n nn a n n n N =⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩，52541a a -=-=,但637161a a -=-=≠，所以数列{}n a 不具有性质(1)P ,同理可得数列{}n a 具有性质(4)P ; （2）因为数列{}n a 具有性质(0)P ,所以一定存在一组最小的且m k >,满足0m k a a -=,即m k a a =,由性质(0)P 的含义可得11222112,,,,m k m k m k m m k m a a a a a a a a ++++----====，所以数列{}n a 中，从第k 项开始的各项呈现周期性规律：11,,,k k m a a a +-为一个周期中的各项，所以数列{}n a 中最多有1m -个不同的项， 所以T 最多有21m C -个元素，即T 为有限集；（3）因为数列{}n a 具有(2)P 性质，又具有(3)P 性质， 所以存在,M N '',使得2,3M P M N q N a a a a ''''++-=-=, 其中p,q 分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质()()2,3P P 的含义可得2,3M p k M k N q k N k a a a a ''''++++++-=-=, 若M N ''<,则取k N M ''=-,可得2N P N a a ''+-=, 若M N ''>,则取k M N ''=-,可得3M q M a a ''+-=, 记{}max ,M M N ''=,则对于M a ,有2,3M p M M q M a a a a ++-=-=,显然p q ≠,由性质(2),(3)P P 的含义可得：2,3M p k M k N q k N k a a a a ++++++-=-=, 所以()()()(1)(1)(2)M pq M M pq M q p M q p M q p M p M a a a a a a a a +++-+-+-+-=-+-++- ()()()(1)(1)(2)23M pq M M pq M p q M p q M p q M q M qa a a a a a a a p +++-+-+-+=-=-+-++-=,所以23q p =,又,p q 满足2,3M p M M q M a a a a ++-=-=的最小的正整数， 所以233,2,2,3M M M M q p a a a a ++==-=-=, 所以232,3M k M k M k M k a a a a ++++++-=-=,所以22(1)233(1)32,3M k M k M M k M k M a a a k a a a k ++-+++-+==+==+， 取3N M =+,所以，若k 是偶数，则N k N a a k +=+, 若k 是奇数，则3(3)3(3)3(3)N k N k N N N a a a k a k a k +++-+==+-=++-=+, 所以，N k N a a k +=+, 所以12,,,,,N N N N k a a a a +++是公差为1的等差数列．。

广东省中山市迪茵公学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【分析】对A ：由()1BP BA BC l l =+-uuu r uu u r uuu r可得点P 在线段AC 上，建立空间直角坐标系后由坐标计算即可得；对B ：借助线面平行得到三棱锥的高为定值，由底面积亦为定值，故体积为定值；对C ：由题意可得11PAC ^平面11BDD B ，故C 错误；对D ：借助空间向量计算即可得.【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设1DA =，则()11,1,1B ，()10,0,1D ，()1,1,0B ，()()1,0,0,0,1,0A C ,因为()1BP BA BC l l =+-uuu r uuu r uuu r ，故()()11BP BC BA BP l l l l ---=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，即有()1CP PA l l -=uuu r uuu r ，即CP CA l =uuu r uuu r，故点P 在线段AC 上，有(),1,0P l l -，则有()11,,1B P l l =---uuur ，()11,1,1BD =--uuuu r，则11110B P BD l l =-=×+-uuur uuuu r ，故110B P BD ×=uuur uuuu r，故A 正确；由点P 在线段AC 上，且11//AC AC ，又11A C Ì平面11DA C ，AC Ë平面11DA C ，故//AC 平面11DA C ，故点P 到平面11DA C 距离不变，故三棱锥11D PAC -的体积为定值，故B 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ^平面1111D C B A ，1111AC B D ^，又11AC Ì平面1111D C B A ，故111BB A C ^，又1BB Ì平面11BDD B ，且11B D Ì平面11BDD B ，故11A C ^平面11BDD B ，又11AC Ì平面11PAC ，故平面11PAC ^平面11BDD B 恒成立，故C 错误；。