高考数学课时训练6-1

课时作业(十六) 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式[练基础]1．直线3 x －y ＝0与x ＋y ＝0的位置关系是( )A ．相交但不垂直B ．平行C ．重合D ．垂直2．已知三角形的三个顶点A (2，4)，B (3，－6)，C (5，2)，则过A 点的中线长为( )A ．10B ．210C ．112D ．3103．已知直线l 1：2x －y －2＝0与直线l 2：3x ＋y －8＝0的交点为A ，则点A 与点B (2，3)间的距离为( )A ．13B ．22C ．2D ．14．若三条直线2x ＋ky ＋8＝0，x －y －1＝0和2x －y ＝0交于一点，则k 的值为( )A ．－2B ．－12C ．3D ．125．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2，3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0，1)6．过两条直线l 1：x ＋y －2＝0与l 2：3x －y －4＝0的交点，且斜率为－2的直线l 的方程为________．7．已知点A (－25 ，3)，在y 轴上有一点B ，且|AB |＝35 ，则点B 的坐标为________．8．设直线l 1：3x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋3y ＋2＝0相交于一点A .(1)求点A 的坐标；(2)求经过点A ，且垂直于直线l 1的直线l 的方程．[提能力]9．已知x ，y ∈R ，S ＝（x ＋1）2＋y 2 ＋ （x －1）2＋y 2 ，则S 的最小值是( )A ．0B ．2C ．4D ．210．(多选)已知平面上三条直线l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：x －1＝0，l 3：x ＋ky ＝0不能构成三角形，则实数k 的值可以为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．111．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P (2，3)，则过两点Q (a 1，b1)，P(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为________．12．直线l过定点P(0，1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为P，求直线l的方程．[培优生]13．直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是()A．2 B．22C．23D．4。

第6节空间直角坐标系课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是( C )(A)y轴上 (B)xOy平面上(C)xOz平面上(D)x轴上解析:因为点(2,0,3)的纵坐标为0,横坐标、竖坐标都不为0,所以点(2,0,3)在x轴、z轴所确定的平面上.故选C.2.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影,则B点的坐标是( B )(A)(1,2,0) (B)(0,2,3) (C)(1,0,3) (D)(1,0,0)解析:点在yOz平面的横坐标为0,其他坐标与A点相同,所以B点坐标为(0,2,3).故选B.3.已知空间一点A(-3,1,4),则点A关于原点对称的点的坐标为( C )(A)(1,-3,-4) (B)(-4,1,-3)(C)(3,-1,-4) (D)(4,-1,3)解析:关于原点对称的点的坐标的特点是横、纵、竖坐标全部变为原来的相反数.故选C.4.正方体不在同一表面上的两个顶点为A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的体积为( C )(A)8 (B)27 (C)64 (D)128解析:由于A、B是正方体不在同一个平面上的两个顶点,所以A、B必为正方体一体对角线的两顶点,由于|AB|==4,故正方体的边长为4,体积为43=64.故选C.5.以棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为( B )(A)(B)(C)(D)解析:连接AB1和A1B交于点O.据题意知AB1与A1B的交点即为AB1的中点.由题意得A(0,0,0),B1(1,0,1),∴AB1的中点坐标为,故选B.二、填空题6.在空间直角坐标系中,点M(2,1,-3)关于坐标原点的对称点为M′,则M′在平面xOz上的射影M″的坐标是.解析:点M(2,1,-3)关于原点的对称点为M′(-2,-1,3),点M′在平面xOz上的射影M″的坐标是(-2,0,3).答案:(-2,0,3)7.已知点A(1,-2,1)关于平面xOy的对称点为A1,则|AA1|= .解析:易知A1(1,-2,-1),所以|AA1|==2.答案:28.已知点A(1,2,3),B(2,-1,4),点P在y轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为.解析:设P(0,b,0),因为|PA|=|PB|,所以=,解得b=-.答案:（0,-,0）9.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3),且MN⊥xOz面,垂足为N,则N点关于原点的对称点的坐标是.解析:因为点M(-2,4,-3),且MN⊥xOz面,垂足为N,所以N(-2,0,-3),所以N点关于原点的对称点的坐标是(2,0,3).答案:(2,0,3)三、解答题10. 如图所示,在长方体OABC O1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,E是BC的中点,作OD⊥AC于点D,求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离.解:以O为坐标原点,以OA,OC,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0),∴|B=.设D(x,y,0),在Rt△AOC中,|OA|=2,|OC|=3,|AC|=,∴|OD|2=（）2=,∴|O 1D|===.11. 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,F是BD的中点,G在CD上,且|CG|=|CD|,E 为C1G的中点,求EF的长.解:如图所示,建立空间直角坐标系,由题意得F,C1(0,1,1),G,所以E,所以|EF|===.即EF的长为.B组12.已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A(-1,-1,2),点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则A、B两点的最短距离是( B )(A) (B) (C)3 (D)解析:法一因为点B在平面xOy内的直线x+y=1上,故可设点B为(x,-x+1,0),所以|AB|===,所以当x=,即B时,|AB|取得最小值.故选B.法二设点A在平面xOy内的射影为A′(-1,-1,0),则A′、B的最短距离等于平面直角坐标系中A″(-1,-1)到直线x+y=1的距离d,则d=.又|A′A|=2,则|AB|min==.故选B.13.如图所示,正四面体A BCD的棱长为1,E、F分别是棱AB、CD的中点.(1)建立适当的空间直角坐标系,写出顶点A,B,C,D的坐标;(2)求EF的长.解:(1)设底面正三角形BCD的中心为O,连接AO,DO,延长DO交BC于点M,则AO⊥平面BCD,M是BC的中点,且DM⊥BC,过O作ON∥BC,交CD于点N,则ON⊥DM.以O为坐标原点,OM,ON,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则|OD|=|DM|=×=,|OM|=|DM|=,|OA|===,所以A（0,0,）,B（,-,0）,C（,,0）,D（-,0,0）.(2)由(1)及中点坐标公式得E（,-,）,F（-,,0）,∴|EF|==.。

第6节圆锥曲线的综合问题课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,D是它短轴上的一个端点,若3=+2,则该椭圆的离心率为( D ) (A)(B)(C)(D)解析:设D(0,b),则=(-c,-b),=(-a,-b),=(c,-b),由3=+2得-3c=-a+2c,即a=5c,∴e==.故选D.2.(2012年高考福建卷)已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A ) (A) (B)4(C)3 (D)5解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0),∴c=3,b2=c2-a2=5.∴双曲线的渐近线方程为y=±x,焦点(3,0)到y=±x的距离d==.故选A.3.(2013湛江市高考测试)设F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,若直线x=ma(m>1)上存在一点P,使△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则m的取值范围是( A )(A)1<m<2 (B)m>2(C)1<m<(D)m>解析:依题意得,∠F1F2P=120°,焦点F2到直线x=ma的距离为ma-c,|PF2|=2c,2c²cos 60°=ma-c=c,即m==2e<2.又m>1,因此1<m<2,故选A.4.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点直线的斜率为,则的值为( A )(A)(B) (C) (D)解析:设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),将y=1-x代入ax2+by2=1得(a+b)x2-2bx+b-1=0,故x1+x2=,x0=,=2-=,y0=,∴y∴k===.故选A.5.(2013佛山质检)已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+=1(a>b>0)的焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:因为双曲线的渐近线与椭圆的交点构成正方形,所以双曲线的渐近线方程是y=±x,该双曲线是等轴双曲线,设双曲线的实半轴、半焦距分别为a1,c1,椭圆的长半轴、半焦距分别为a2,c2,则a1,a1=c2,c1=a2,所以椭圆的离心率e2===,故选D.c1=6.(2013河北省衡水中学高三模拟)点P在双曲线-=1(a>0,b>0)上,F1、F2是双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( D )(A) (B) (C)2 (D)5解析:不妨设点P在双曲线的右支上,F1为左焦点,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1-r2=2a,2r1=r2+2c,解得r1=2c-2a,r2=2c-4a,代入+=4c2可得c2+5a2-6ac=0,两边同除以a2得e2-6e+5=0,解得e=1或e=5.又e>1,所以e=5.故选D.二、填空题7.(2013惠州三调)已知双曲线-=1的一个焦点与抛物线y2=4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为.解析:抛物线y2=4x的焦点为(,0),∴c2=a2+b2=10,∴e==,∴a=3,b=1,-y2=1.答案:-y2=18.(2013东莞模拟)已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是.解析:当t=0时,直线AB与抛物线C有公共点,当t≠0,则过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线方程为=,即4x-ty-t=0,由得2tx2-4x+t=0,Δ=16-4³2t2<0,解得t<-或t>.答案:(-∞,-)∪(,+∞)9.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A、B.若∠AOB=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为.解析:如图,由题知OA⊥AF,OB⊥BF且∠AOB=120°,∴∠AOF=60°.又OA=a,OF=c,∴==cos 60°=,∴=2.答案:210.(2013安徽蚌埠二模)点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于.解析:设A(x0,y0),∵A在抛物线上,=p,∴x,∴x由=2px 0得y0=p或y0=-p.∴双曲线渐近线的斜率==2.∴e===.答案:三、解答题11.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且椭圆经过圆C:x2+y2-4x+2y=0的圆心C.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切,求直线l的方程. 解:(1)圆C方程可化为(x-2)2+(y+)2=6,圆心C(2,-),半径r=设椭圆的方程为+=1(a>b>0),则∴∴所求椭圆的方程是+=1.(2)由(1)得椭圆的左右焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),=<r=,|FF2在圆C内,则过F2没有圆C的切线,故直线l过F1(-2,0),设l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,圆心C(2,-)到直线l的距离为d=,由d=,得=,化简得5k2+4k-2=0,解得k=或k=-,故直线l的方程为x-5y+2=0或x+y+2=0.12.(2013湛江市测试)已知抛物线C:y2=4x,F是抛物线的焦点,设A(x1,y1),B(x2,y2)是C上异于原点O的两个不重合点,OA⊥OB,且AB 与x轴交于点T.(1)求x1x2的值;(2)求T的坐标;(3)当点A到C上运动时,动点R满足:+=,求点R的轨迹方程. 解:(1)由OA⊥OB得²=-1⇔x1x2+y1y2=0,=4x2,得16x1x2=(y1y2)2,且=4x代入上式得(y1y2)2+16y1y2=0.∵y1y2≠0,∴y1y2=-16,∴x1x2=16.(2)设点T(t,0),当x1≠x2时,A,B,T三点共线,有=.即(y2-y1)t=y2x1-y1x2=y2²-y1²=-4(y1-y2).∵y1≠y2,∴t=4.当x1=x2时,∵OA⊥OB,此时△AOB为等腰三角形,x1=x2=t,直线OA的方程式为y=x,联立解得t=x1=4,所以T的坐标是(4,0).(3)设R(x,y),由F(1,0),+=,得(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(x-1,y),即=4x2⇒(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),又=4x当x1≠x2时,y²=4.AB的中点M（,）,点T(4,0)都在直线AB上,∴k AB=k TM,即=,代入上式得y²=4,化简得y2=4x-28.当x1=x2,点R(7,0)符合上式,综上可知点R的轨迹方程是y2=4x-28.13.(2013黄冈一模)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆Ω的方程为+=1(a>b>0),它的离心率为,一个焦点是(-1,0),过直线x=4上一点引椭圆Ω的两条切线,切点分别是A、B.(1)求椭圆Ω的方程;(2)若椭圆Ω:+=1(a>b>0)在点(x 0,y0)处的切线方程是:+=1.求证:直线AB恒过定点C,并求出定点C的坐标;(3)求证:+为定值 (点C为直线AB恒过的定点).解:(1)椭圆Ω的焦点是(-1,0),故c=1,又=,所以a=2,b==,所以所求的椭圆Ω方程为+=1.(2)设切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l上一点M的坐标(4,t), 则切线AM、BM的方程分别为+=1,+=1.又两切线均过点M,所以x1+y1=1,x2+y2=1,即点A,B的坐标都适合方程x+y=1,故直线AB的方程是x+y=1,显然直线x+y=1恒过点(1,0),故直线AB恒过定点C(1,0).(3)将直线AB的方程x=-y+1,代入椭圆方程,得3(-y+1)2+4y2-12=0,即(+4)y2-2ty-9=0,∴y1+y2=,y1y2=,不妨设y1>0,y2<0,|AC|===y1,同理|BC|=-y2,∴+=²(-)=²=-²=-²=²=,即+为定值.B组14.(2013福建泉州质检)如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且,AB=2AD.设∠DAB=θ,θ∈(0,),以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,则( B )(A)随着角度θ的增大,e1增大,e1e2为定值(B)随着角度θ的增大,e1减小,e1e2为定值(C)随着角度θ的增大,e1增大,e1e2也增大(D)随着角度θ的增大,e1减小,e1e2也减小解析:设AD=1,则AB=2,DC=2-2cos θ,在△ABD中,由余弦定理得BD=,e 1==,θ∈(0,),所以随着角度θ的增大,e1减小;又e2===,∴e1e2==1,故选B.15.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若T为线段FP的中点,则该双曲线的渐近线方程为( B )(A)x±y=0 (B)2x±y=0(C)4x±y=0 (D)x±2y=0解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为F',连结OT、PF'.∵FT为圆的切线,∴FT⊥OT,且|OT|=a,又∵T、O分别为FP、FF'的中点,∴OT∥PF'且|OT|=|PF'|,∴|PF'|=2a,且PF'⊥PF.又|PF|-|PF'|=2a,∴|PF|=4a.在Rt△PFF'中,|PF|2+|PF'|2=|FF'|2,即16a2+4a2=4c2,∴=5.∴=-1=4,∴=2,即渐近线方程为y=±2x,即2x±y=0.故选B.16.(2013珠海市学业质检)如图,F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,若|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5,则双曲线的离心率为.解析:设|AB|=3k,则|BF2|=4k,|AF2|=5k,所以∠F1BF2=90°.由双曲线定义得|BF1|-|BF2|=2a=|AF2|-|AF1|,即3k+|AF1|-4k=5k-|AF1|=2a,解得|AF1|=3k,k=a,所以|BF1|=6a,|BF2|=4a,由勾股定理可得(6a)2+(4a)2=(2c)2,化简得a=c,故离心率e==.答案:。

第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。

大题冲关集训(六)1.(2013潍坊一模)为了解社会对学校办学质量的满意程度,某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查,已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、18人、36人.(1)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数;(2)若从抽得的6人中随机抽取2人进行调查结果的对比,求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率.解:(1)家长委员会人员总数为54+18+36=108,样本容量与总体中的个体数的比为=,故从三个年级的家长委员会中分别抽取的人数为3,1,2.(2)设A1,A2,A3为从高一抽得的3个家长,B1为从高二抽得的1个家长,C1,C2为从高三抽得的2个家长.则抽取的全部结果有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,C1),(A1,C2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,C1),(A2,C2),(A3,B1),(A3,C1),(A3,C2),(B1,C1), (B1,C2),(C1,C2),共15种.令X=“至少有一人是高三学生家长”,结果有(A1,C1),(A1,C2),(A2,C1), (A2,C2),(A3,C1),(A3,C2),(B1,C1),(B1,C2),(C1,C2),共9种.∴这2人中至少有1人是高三学生家长的概率是P(X)==.2.(2013年高考北京卷)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气质量优良的概率;(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)解:(1)在3月1日至3月13日这13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是.(2)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”,所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.3.(2013惠州一调)某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数ξ依次为1,2,…,8,产品的等级系数越大表明产品的质量越好.现从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品,等级系数5≤ξ<7的为二等品,等级系数3≤ξ<5的为三等品,ξ<3为不合格品.(1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率;(2)从样本的一等品中随机抽取2件,求所抽得的2件产品等级系数都是8的概率.解:(1)由样本数据知,30件产品中,一等品有6件,二等品有9件,三等品有15件.故样本中一等品的频率为=0.2,故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2,二等品的频率为=0.3,故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3, 三等品的频率为=0.5,故估计该厂生产的产品的三等品率为0.5.(2)样本中一等品有6件,其中等级系数为7的有3件,等级系数为8的有3件,记等级系数为7的3件产品分别为C1,C2,C3,等级系数为8的3件产品分别为P1,P2,P3,则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为(C1,C2),(C1,C3),(C1,P1),(C1,P2),(C1,P3),(C2,C3),(C2,P1),(C2,P2),(C2,P3),(C3,P1),(C3,P2),(C3,P3),(P1,P2),(P1,P3),(P2,P3),共15种, 记从“一等品中随机抽取2件,2件等级系数都是8”为事件A,则A 包含的基本事件有(P1,P2),(P1,P3),(P2,P3),共3种.故所求的概率P(A)==.4.(2013天津一模)2013年春节,有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾驶摩托车沿321国道返乡过年,为保证他们的安全,交管部门在321国道沿线设立了多个驾乘人员休息站,交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车,就进行省籍询问一次,询问结果如图所示.(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法?(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样,若广西籍的有5名,则四川籍的应抽取几名?(3)在上述抽出的驾驶人员中任取2名,求至少有一名驾驶人员是广西籍的概率.解:(1)系统抽样.(2)5天中抽取的广西籍人员有5+20+25+20+30=100人,四川籍人员有15+10+5×3=40人,两者比例为5∶2,所以广西籍抽5人,则四川籍应抽2人.(3)用a1,a2,a3,a4,a5表示被抽取的广西籍驾驶人员,b1,b2表示被抽取的四川籍驾驶人员,则所有基本事件为:{a1,a2},{a1,a3},{a1,a4}, {a1,a5},{a1,b1},{a1,b2},{a2,a3},{a2,a4},{a2,a5},{a2,b1},{a2,b2}, {a3,a4},{a3,a5},{a3,b1},{a3,b2},{a4,a5},{a4,b1},{a4,b2},{a5,b1}, {a5,b2},{b1,b2},共21个.其中至少有1名驾驶人员是广西籍的基本事件为20个.∴至少有1名驾驶人员是广西籍的概率为P=.5.(2013西北工大五月)某中学在校就餐的高一年级学生有440名,高二年级学生有460名,高三年级学生有500名;为了解学校食堂的服务质量情况,用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查,把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级:1级(很不满意);2级(不满意);3级(一般);4级(满意);5级(很满意),其统计结果如下表(服务满意度为x,价格满意度为y).(1)求高二年级共抽取学生人数;(2)求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”对应人数的方差;(3)为提高食堂服务质量,现对样本进行研究,从x<3且2≤y<4的学生中随机抽取两人征求意见,求至少有一人的“服务满意度”为1的概率.解:(1)共有1400名学生,高二年级抽取的人数为×70=23.(2)“服务满意度为3”时的5个数据的平均数为=6,所以方差s2==4.4.(3)符合条件的所有学生共7人,其中“服务满意度为2”的4人记为a,b,c,d,“服务满意度为1”的3人记为x,y,z.在这7人中抽取2人有如下情况:(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y), (a,z),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(b,z),(c,d),(c,x),(c,y), (c,z),(d,x),(d,y),(d,z),(x,y),(x,z),(y,z)共21种情况.其中至少有一人的“服务满意度为1”的情况有15种.所以至少有一人的“服务满意度为1”的概率为P==.6.(2013沈阳二模)为了研究“教学方式”对教学质量的影响,某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样).以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率;(2)学校规定:成绩不低于75分的为优秀.请填写下面的2×2列联表,并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.下面临界值表仅供参考:(参考公式:K2=)解:(1)记成绩为87分的同学为A,B,其他不低于80分的同学为C、D、E,“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有:(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E)(C,D)(C,E)(D,E)共10个, “抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有7个,所以P=.(2)K2==6.4>5.024.∴我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关.7.(2013广东揭阳市二模)某校为“市高中数学竞赛”进行选拔性测试,规定:成绩大于或等于90分的有参赛资格,90分以下(不包括90分)的则被淘汰.现有100人参加测试,测试成绩的频率分布直方图如图.(1)求获得参赛资格的人数;(2)根据频率分布直方图,估算这100名学生测试的平均成绩;(3)现在成绩[110,130)、[130,150] (单位:分)的同学中采用分层抽样随机抽取5人,按成绩从低到高编号为A1,A2,A3,A4,A5,从这5人中任选2人,求至少有1人的成绩在[130,150]的概率.解:(1)由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为:100×(0.0050+0.0045+0.0030)×20=25人.(2)由频率分布直方图可估算这100名学生的平均成绩为(40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0045+ 140×0.0030)×20=78.4分.(3)成绩在[110,130)的人数为100×0.0045×20=9人,成绩在[130,150]的人数为100×0.0030×20=6人,所以应从成绩在[130,150]中抽取×5=2人,从成绩在[110,130)中抽取×5=3人,故A4,A5∈[130,150],A1,A2,A3∈[110,130).从A1,A2,A3,A4,A5中任取两人,共有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5), (A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A3,A4),(A3,A5),(A4,A5)10种不同的情况, 其中含有A4,A5的共有7种,所以至少有1人的成绩在[130,150]的概率为.。

课时作业(十) 用空间向量研究夹角问题[练基础]1．已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面夹角为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°2．设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝2π3，则l 与α所成的角为( )A ．2π3B ．π3C ．π6D ．5π63.如图，在正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，点E 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则异面直线AE 与BD 1所成角的余弦值为( )A ．24 B ．23 C ．104 D ．634．正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A ．23 B ．33 C ．23 D ．635．(多选)若直线a 的方向向量为a ，平面α，β的法向量分别为n ，m ，则下列命题为真命题的是( )A ．若a ⊥n ，则直线a ∥平面αB ．若a ∥n ，则直线a ⊥平面αC ．若cos 〈a ，n 〉＝12 ，则直线a 与平面α所成角的大小为π6D ．若cos 〈m ，n 〉＝12 ，则平面α，β的夹角为π3 6.如图，在正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，M 是C 1C 的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是A 1B 1上的任意点，则直线BM 与OP 夹角的大小为________．7．已知二面角α ­ l ­ β为锐角，平面α的法向量为n 1＝(3 ，0，－1)，平面β的法向量为n 2＝(－32 ，1，12)，则cos 〈n 1，n 2〉＝________，二面角α ­ l ­ β的大小为________． 8．如图，三棱锥P ABC 中，底面△ABC 为直角三角形，AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点，PD ＝DB ，PD ⊥DB ，PB ⊥CD .(1)求证：PD ⊥平面BCD ；(2)求P A 与平面PBC 所成角的正弦值．[提能力]9．在长方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，O 是AC 的中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面ACD 1所成的角为θ，则cos θ的取值范围是( )A ．[23 ，33 ] B ．[23 ，63 ] C ．[34 ，33 ] D ．[33 ，73] 10．(多选)如图，在四棱锥P ­ ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，点E 为P A 的中点，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，P A ＝2 ，则( )A ．BE → ·CP → ＝3B ．异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为33C ．点B 到平面PCD 的距离为12D ．BC 与平面PCD 所成的角为π611.如图，在正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱BB 1，C 1D 1的中点，则异面直线EF 与BD 1所成角的余弦值为________；直线AE 与平面AB 1C 所成角的正弦值为________．12．如图，在三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1为矩形，且侧面ACC 1A 1⊥侧面ABB 1A 1，AB ＝AC ＝2，AA 1＝B 1C ＝22 .(1)证明：A 1B 1⊥平面AB 1C ；(2)若点D 为棱B 1C 1的中点，求平面AB 1C 与平面AA 1D 所成的锐二面角的余弦值．[培优生]13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3 ，将△ABD 沿BD 所在的直线进行翻折，得到空间四边形A 1BCD .给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得A 1C ⊥BD ；②在翻折过程中，三棱锥A 1BCD 的体积不大于14； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线A 1D 与BC 所成角为45°.其中所有正确结论的序号是________．。

【课时训练】第7节 幂函数与二次函数一、选择题 1．(2018湖南长沙模拟)已知函数f (x )＝x12，则()A ．∃x 0∈R ，使得f (x )<0B ．∀x >0, f (x )>0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，使得 f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2) 【答案】B【解析】由题得，f (x )＝x ，函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域为[0，＋∞)，并且函数是单调递增函数，所以A 不成立，根据单调性可知C 也不成立，而D 中，当x 1＝0时，不存在x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2)，所以D 不成立．故选B.2．(2018黑龙江哈尔滨六中月考)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，则使f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由f (x )＝x α在(0，＋∞)上单调递减，可知αf (x )＝x α为奇函数，所以α只能取－1.3．(2018福建六校联考)若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 【答案】B【解析】由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝1或m，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2.∴m＝1或m＝2.4．(2018天津河东区模拟)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线x＝0对称，则f(x)的最大值是()A．－4 B．4C．4或－4 D．不存在【答案】B【解析】由题意知，函数f(x)是偶函数，则y＝x2＋ax－5是偶函数，故af(x)＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2x2＝3时，f(x)取最大值为4.5．(2018广东惠州一模)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是()A．f(m)<f(0) B．f(m)＝f(0)C．f(m)>f(0) D．f(m)与f(0)大小不确定【答案】A【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或mm＝3时，函数f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域[－2,2]上单调递增，又m<0，所以f(m)<f(0)．6．(2018湖南岳阳一模)已知函数f(x)＝x2＋2|x|，若f(－a)＋f(a)≤2f(2)，则实数a的取值范围是()A．[－2,2]B．(－2,2]C．[－4,2]D．[－4,4]【答案】A【解析】由题意知f(2)＝8，则f(－a)＋f(a)＝2a2＋4|a|≤16，解得－2≤a≤2.7．(2018云南大理一模)设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝()A．56 B．112C．0 D．38【答案】B【解析】由二次函数图象的性质可知，当3≤x≤20时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝f(1)＋|f(1)|＋f(2)＋|f(2)|＝112.8．(2018河南南阳第一中学联考)已知函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]a，b∈R，且a＋b>0，ab<0，则f(a)＋f(b)的值() A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断【答案】A【解析】∵函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或mf(x)在第一象限是增函数，当m＝2时，指数为4×29－25－1＝2 015>0，满足题意，当m＝－1时，指数为4×(－1)9－(－1)5－1＝－4<0，不满足题意．∴幂函数f(x)＝x2 015，它是定义在R上的奇函数，且是增函数．又∵a，b∈R，且a＋b>0，∴a>－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0.故选A.二、填空题9．(2018河南百校联盟质检)若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为________．【答案】(－∞，－3]【解析】因为函数f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，所以当x＝1时，f(x)m i n＝1－4＝－3，所以m≤－3.10．(2018四川遂宁零诊)已知点P 1(x 1,2 018)和P 2(x 2，2 018)在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋9的图象上，则f (x 1＋x 2)的值为________．【答案】9【解析】依题意得x 1＋x 2＝－ba ，则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋9＝9. 11．(2019福建泉州质检)．若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b 的最小值为0，则a ＋4b 的取值范围为________．【答案】[2，＋∞)【解析】由已知可得，a >0，且判别式Δ＝1－4ab ＝0，即ab ＝14，∴a ＋4b ≥24ab ＝2，即a ＋4b 的取值范围为[2，＋∞)．12．(2018江苏兴化三校联考)已知函数f (x )＝x |x －2|在[0，a ]上的值域为[0,1]，则实数a 的取值范围是________．【答案】[1,1＋2]【解析】函数f (x )＝x |x －2|＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x >2，2x －x 2，x ≤2，则易知f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且过点(0,0)，(2,0)．因为由2x －x 2＝1(x ≤2)解得x ＝1，由x 2－2x ＝1(x >2)解得x ＝1＋2，且f (x )在[0，a ]上的值域为[0,1]，所以1≤a ≤1＋ 2.三、解答题13．(2018杭州模拟)已知函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝h (x )＋1－2h (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的值域．【解】(1)∵函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，∴m 2－5m ＋1＝1，解得mh (x )为奇函数，∴m ＝0.(2)由(1)可知g (x )＝x ＋1－2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，令1－2x ＝t ，则x＝－12t 2＋12，t ∈[0,1]，∴f (t )＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，故g (x )＝h (x )＋1－2h (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.14．(2018四川成都二诊)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．【解】(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0， 且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.(2)由题意可知， f (x )＝x 2＋bx ，则原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2， 所以－2≤b ≤b 的取值范围是[－2,0]．。

【课时训练】第32节 一元二次不等式的解法一、选择题1．(2018济南一中检测)若一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13,则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14【答案】D【解析】因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13,所以－12,13是一元二次方程ax 2＋bx＋2＝0的两个根,则⎩⎪⎨⎪⎧14a －12b ＋2＝0，19a ＋13b ＋2＝0，解得a ＝－12,b ＝－2,则a ＋b ＝－14.2．(2018山西太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－2)B ．(－2,＋∞)C ．(－6,＋∞)D ．(－∞,－6)【答案】A【解析】不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解,所以a ＜x 2－4x －2在区间(1,4)内有解,又函数y ＝x 2－4x －2在(1,2)上单调递减,在(2,4)上单调递增,当x ＝1时,y ＝－5当x ＝4时,y ＝－2,－5<－2,所以a ＜－2,故选A.3．(2018内蒙古呼和浩特模拟)若不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立,则关于t 的不等式at 2＋2t －3＜1的解集为( )A ．(－3,1)B ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)C ．∅D ．(0,1) 【答案】B【解析】x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立,所以Δ＝4a 2－4a ＜0,所以0＜a ＜1,所以函数y ＝a x是减函数,由at 2＋2t －3＜1可得t 2＋2t －3＞0,解得t ＜－3或t ＞1,故选B.4．(2018福建闽侯模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立,则有( ) A ．m≤－3 B ．m≥－3 C ．－3≤m＜0D ．m≥－4【答案】A【解析】∵x 2－4x≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立,令f(x)＝x 2－4x,x ∈(0,1],f(x)图象的对称轴为直线x ＝2,∴f(x)在(0,1]上单调递减,∴当x ＝1时f(x)取到最小值为－3,∴实数m 应满足m≤－3,故选A.5．(2018长春质检)若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞,－2),则关于x 的不等式ax 2＋bxx －1＞0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1,＋∞)B ．(－∞,0)∪(1,2)C ．(－∞,－2)∪(0,1)D ．(－∞,1)∪(2,＋∞) 【答案】B【解析】关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞,－2),故a ＜0,x ＜b a ,∴b a ＝－2,b ＝－2a,∴ax 2＋bxx －1＝ax 2－2ax x －1＞0,由于a ＜0,∴x 2－2xx －1＜0,解得x ＜0或1＜x ＜2,故选B.6．(2019郑州质量预测)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≥0，x 2－2x ，x ＜0.若关于x 的不等式[f(x)]2＋af(x)－b 2＜0恰有1个整数解,则实数a 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．8【答案】D【解析】做出函数f(x)的图象如图中实线部分所示,由[f(x)]2＋af(x)－b 2＜0得－a －a 2＋4b 22＜f(x)＜－a ＋a 2＋4b22.若b≠0,则f(x)＝0满足不等式,即不等式有2个整数解,不满足题意,所以b ＝0,所以－a ＜f(x)＜0,且整数解x 只能是3,当2＜x ＜4时,－8＜f(x)＜0,所以－8≤－a ＜－3,即a 的最大值为8.故选D.7．(2018河南南阳模拟)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a,b ∈R)的值域为[0,＋∞),若关于x 的不等式f(x)＜c 的解集为(m,m ＋6),则实数c 的值为( )A ．6B ．7C ．9D ．10【答案】C【解析】由题意知f(x)＝x 2＋ax ＋b ＝0只有一个根,即Δ＝a 2－4b ＝0,则b ＝a24.不等式f(x)＜c 的解集为(m,m ＋6),即x 2＋ax ＋a 24＜c 的解集为(m,m ＋6),则方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两个根为m,m ＋6.∴两根之差|m ＋6－m|＝a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24－c ＝6,解得c ＝9,故选C. 8．(2018安徽五校联考)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中至多包含2个整数,则a 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－2,4)C ．[－3,5]D ．[－2,4]【答案】D【解析】关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0可化为(x －1)(x －a)＜0.当a ＝1时,不等式的解集为∅；当a ＞1时,不等式的解集为1＜x ＜a ；当a ＜1时,不等式的解集为a ＜x ＜1.要使得解集中至多包含2个整数,则a≤4且a≥－2,所以实数a 的取值范围是[－2,4],故选D.二、填空题9．(2018全国名校大联考联考)不等式x 2－2ax －3a 2＜0(a ＞0)的解集为________． 【答案】{x|－a ＜x ＜3a}【解析】∵x 2－2ax －3a 2＜0⇔(x －3a)·(x＋a)＜0,a ＞0,∴－a ＜3a,则不等式的解集为{x|－a ＜x ＜3a}．10．(2018河南豫北豫南名校联考)不等式x 2－3|x|＋2＞0的解集是________． 【答案】(－∞,－2)∪(－1,1)∪(2,＋∞)【解析】由题意可知原不等式可转化为|x|2－3|x|＋2＞0,解得|x|＜1或|x|＞2,所以不等式的解集为(－∞,－2)∪(－1,1)∪(2,＋∞)．11．(2018湖北武汉武昌调研)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≥2，－1，x ＜2，则不等式x 2·f(x)＋x －2≤0的解集是________．【答案】{x|x ＜2}【解析】当x≥2时,原不等式可化为x 2＋x －2≤0,解得－2≤x≤1,此时x 不存在；当x ＜2时,原不等式可化为－x 2＋x －2≤0,解得x ∈R,此时x ＜2.综上可得原不等式的解集为{x|x ＜2}．12．(2018吉林辽源五校期末联考)若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－1和2,则不等式af(－2x)＞0的解集是________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 【解析】∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－1,2,∴－1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根,由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－a ，－1×2＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，∴f(x)＝x 2－x －2.不等式af(－2x)＞0,即－(4x 2＋2x －2)＞0,则2x 2＋x －1＜0,解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.三、解答题13．(2018辽宁大连五校联考)已知函数f(x)＝ax 2－(a ＋1)x ＋1(a≠0)． (1)若f(x)≤2在R 上恒成立,求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式f(x)＜0.【解】(1)由f(x)≤2在R 上恒成立,可得ax 2－(a ＋1)x －1≤0在R 上恒成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，(a ＋1)2＋4a≤0，解得－3－22≤a≤－3＋2 2. ∴实数a 的取值范围为[－3－22,－3＋22]． (2)由不等式f(x)＝ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0得(ax －1)(x －1)＜0. ①当0＜a ＜1时,不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0,解得1＜x ＜1a ；②当a ＝1时,不等式等价于(x －1)2＜0,无解；③当a ＞1时,不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ·(x－1)＜0,解得1a ＜x ＜1；④当a ＜0时,不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ·(x－1)＞0,解得x ＜1a 或x ＞1；综上,当0＜a ＜1时,f(x)＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ；当a ＝1时,f(x)＜0的解集为∅；当a ＞1时,f(x)＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1；当a ＜0时,f(x)＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1,＋∞)．。

课时规范练1集合（原卷版）基础巩固练1.(2024·湖南常德)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x2-5x+4<0},则A∪B=()A.{x|1<x<3}B.{x|1<x<4}C.{x|-1<x<3}D.{x|-1<x<4}2.(2024·广东江门)已知集合A={-1,0,1},B={m|m2-1∈A,m-1∉A},则集合B中所有元素之和为()A.0B.1C.-1D.23.(2023·全国乙,理2)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=()A.∁U(M∪N)B.N∪∁U MC.∁U(M∩N)D.M∪∁U N4.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1},∁U(A∪B)={3},则集合B可能是()A.{4}B.{1,4}C.{2,4}D.{1,2,3}5.(2024·山东青岛)已知全集U=R,集合A,B满足A⊆(A∩B),则下列关系一定成立的是()A.A=BB.B⊆AC.A∩(∁U B)=⌀D.(∁U A)∩B=⌀6.(2024·浙江余姚)已知集合A={(x,y)|y=x2},集合B={(x,y)|y=1-|x|},则集合A∩B的真子集个数为()A.1B.2C.3D.47.(多选题)(2024·河北衡水中学检测)已知集合U为全集,集合A,B,C均为U的子集.若A∩B=⌀,A∩C≠⌀,B∩C≠⌀,则()A.A⊆∁U(B∩C)B.C⊆∁U(A∪B)C.A∪B∪C=UD.A∩B∩C=⌀8.(2024·山东聊城检测)已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a<x<3},若对于∀x∈A,都有x∈B,则a的取值范围为()A.(-∞,0]B.(-∞,0)C.[0,2]D.(2,3)9.如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合A B为阴影部分表示的集合.若A={x|x=2n+1,n ∈N,n≤4},B={2,3,4,5,6,7},则A B=.综合提升练10.已知集合A={x|2x>1},B={x|ln x>1},则下列集合为空集的是()A.A∩(∁R B)B.(∁R A)∩BC.A∩BD.(∁R A)∩(∁R B)11.(2024·山东青岛)已知全集U=R,A={x|3<x<7},B={x||x-2|<4},则下图中阴影部分表示的集合为()A.{x|-2<x≤3}B.{x|-2<x<3}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}12.(2024·福建厦门)设集合A={x|1≤x≤3},集合B={x|y= -1},若A⫋C⫋B,写出一个符合条件的集合C=.13.(2024·北京西城区)正整数集合A={a1,a2,a3,…,a n},且a1<a2<a3<…<a n,n≥3,B中所有元素之和为T(B),集合C={T(B)|B⊆A,B≠⌀},若A={1,2,5},则集合C=.创新应用练14.设集合的全集为U,定义一种运算☉,M☉N={x|x∈M∩(∁U N)},若全集U=R,M={x||x|≤2},N={x|-3<x<1},则M☉N=()A.{x|-2≤x<1}B.{x|1<x≤2}C.{x|1≤x≤2}D.{x|-2≤x≤1}15.(多选题)设集合M={x|x=6k1+2,k1∈Z},N={x|x=6k2+5,k2∈Z},P={x|x=3k3+2,k3∈Z},则()A.M∩N≠⌀B.M∪N=PC.M=PD.∁P M=N课时规范练1集合（答案）1.D 解析集合B={x|x 2-5x+4<0}={x|(x-1)(x-4)<0}={x|1<x<4},则A ∪B={x|-1<x<4},故选D .2.C 解析令m 2-1分别等于-1,0,1,解得m=0,±1,±2,又m-1∉A ,所以m=-1,±2,因此B={-1,2,-2},所以集合B 中所有元素之和是-1,故选C .3.A 解析M ∪N={x|x<2},故∁U (M ∪N )={x|x ≥2}.故选A .其他选项均不符合题意.4.C 解析∵U={1,2,3,4},∁U (A ∪B )={3},∴A ∪B={1,2,4},又A={1},∴B 可以是{2,4}或{1,2,4},故选C .5.C 解析因为A ⊆(A ∩B ),可得A ⊆B.对选项A,当A 为B 的真子集时,不成立;对选项B,当A 为B 的真子集时,也不成立;对选项C,A ∩(∁U B )=⌀,恒成立;对选项D,当A 为B 的真子集时,不成立,故选C .6.C 解析联立 2,|,可得x 2+|x|-1=0,因为|x|≥0,解得|x|=5-12,所以方程组 = 2,=1-| |的解为=5-12=3-52或 =-52=3-52,因此A ∩B=所以集合A ∩B 的真子集个数为22-1=3,故选C .7.AD 解析根据题意,作出Venn 图.由图可得A ⊆∁U (B ∩C ),故选项A 正确;集合C 不是∁U (A ∪B )的子集,故选项B 错误;A ∪B ∪C 不一定为全集U ,故选项C 错误;A ∩B ∩C=⌀∩C=⌀,故选项D 正确,故选AD .8.B 解析若对于∀x ∈A ,都有x ∈B ,则A ⊆B ,由已知可得a<0,故选B .9.{1,2,4,6,9}解析由Venn 图可知,AB={x|x ∈(A ∪B ),x ∉(A ∩B )},因为A={x|x=2n+1,n ∈N ,n ≤4}={1,3,5,7,9},B={2,3,4,5,6,7},则A ∪B={1,2,3,4,5,6,7,9},A ∩B={3,5,7},因此A B={1,2,4,6,9}.10.B 解析集合A={x|2x >1}={x|x>0},集合B={x|ln x>1}={x|x>e},所以∁R A={x|x ≤0},∁R B={x|x ≤e},A ∩(∁R B )={x|0<x ≤e},故选项A 不满足题意;(∁R A )∩B=⌀,故选项B 满足题意;A ∩B={x|x>e},故选项C 不满足题意;(∁R A )∩(∁R B )={x|x ≤0},故选项D 不满足题意,故选B .11.A 解析由于|x-2|<4⇒-4<x-2<4⇒-2<x<6,∴B={x|-2<x<6},则A ∪B={x|-2<x<7},图中阴影部分为∁(A ∪B )A={x|-2<x ≤3},故选A .12.{x|1≤x ≤4}(答案不唯一)解析A={x|1≤x ≤3},B={x|x ≥1},故若A ⫋C ⫋B ,则其中一个满足条件的集合C={x|1≤x ≤4}.13.{1,2,3,5,6,7,8}解析因为A={1,2,5},所以B={1},{2},{5},{1,2},{1,5},{2,5},{1,2,5},所以T (B )=1,2,5,3,6,7,8,故C={1,2,3,5,6,7,8}.14.C 解析由题意得M={x||x|≤2}={x|-2≤x ≤2},∁U N={x|x ≤-3或x ≥1},则M ☉N={x|1≤x ≤2},故选C .15.BD解析M={x|x=6k1+2,k1∈Z},N={x|x=6k2+5,k2∈Z},P={x|x=3k3+2,k3∈Z},对A,由6k1+2=6k2+5⇒k1=k2+12,等式不成立,故M∩N=⌀,A错误;对BCD,当k3为奇数时,可令k3=2k2+1,则3k3+2=6k2+5;当k3为偶数时,可令k3=2k1,则3k3+2=6k1+2.故M∪N=P,且N=∁P M,BD正确,C错误.故选B。

课时作业(一) 空间向量及其线性运算[练基础]1．在正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，AB → －D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B ． AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ．AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D ．AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2．在平行六面体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，AB → ＋AD → ＋AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B ． CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ．BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ． DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗3．在正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，下列各组向量与AC → 共面的有( )A ．B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ．BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗4.在四面体OABC 中，OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC → ＝c ，OM → ＝2MA → ，BN → ＋CN → ＝0，用向量a ，b ，c 表示MN → ，则MN → 等于( )A.12 a －23 b ＋12 c B ．－23 a ＋12 b ＋12c C ．12 a ＋12 b －12 c D ．23 a ＋23 b －12c 5．(多选)下列说法错误的是( )A ．在平面内共线的向量在空间不一定共线B ．在空间共线的向量在平面内不一定共线C ．在平面内共线的向量在空间一定不共线D ．在空间共线的向量在平面内一定共线6．化简：AB → －AC → ＋BC → －BD → －DA → ＝________．7．如图所示，在长方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB → ，AD → ，OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝________．8．如图所示，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1与B 1D 1交于M .(1)化简AA 1＋12(AD → ＋AB → )； (2)若BM → ＝xAB → ＋yAD → ＋z AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数x ，y ，z 的值．[提能力]9．在三棱锥S ­ ABC 中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 在棱EF 上，且满足EG EF＝13，若SA → ＝a ，SB → ＝b ，SC → ＝c ，则AG → ＝( ) A ．13 a －12 b ＋16 c B ．－23 a ＋16 b ＋16c C ．16 a －13 b ＋12 c D ．－13 a －16 b ＋12c 10．(多选)下列条件中，使点P 与A ，B ，C 三点一定共面的是( )A ．PC → ＝13 P A → ＋23PB → B ．OP → ＝13 OA → ＋13 OB → ＋13OC → C ．OP → ＝OA → ＋OB → ＋OC →D ．OP → ＋OA → ＋OB → ＋OC → ＝011．在三棱锥O ­ ABC 中，E 为OA 中点，CF → ＝13CB → ，若OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC → ＝c ，EF → ＝p a ＋q b ＋r c ，则p ＋q ＋r ＝________．12．已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)用向量法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM → ＝14(OA → ＋OB → ＋OC → ＋OD → ).[培优生]13．在棱长为1的正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，点M 和N 分别是正方形ABCD 和BB 1C 1C的中心，点P 为正方体表面上及内部的点，若点P 满足DP → ＝mDA → ＋nDM → ＋kDN → ，其中m 、n 、k ∈R ，且m ＋n ＋k ＝1，则满足条件的所有点P 构成的图形的面积是________．。

基本初等函数课时提升训练（6）一、选择题（每空？ 分，共？ 分）1、定义函数，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的均值为，已知，则函数在上的均值为。

A . B. C. D.2、定义在上的函数满足，若关于x 的方程有5个不同实根，则正实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．3、设函数为偶函数，且当时，，又函数，则函数在上的零点的个数为( )个。

A. B. C. D.4、定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为………（）.．．．．5、对于函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是( ) wA． B． C． D．6、如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标，记矩形的周长为，则（）A．208 B.216 C.212 D.2207、对于函数，若存在区间，使得，则称区间M为函数的一个“稳定区间”，现有四个函数：①②③④其中存在“稳定区间”的函数为（）A．① B．①② C．①②③ D．①②④8、设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（）A. B. C . D.9、若存在负实数使得方程成立，则实数的取值范围是（）A． B. C. D.10、已知且,函数在区间上既是奇函数又是增函数,则函数的图象是（）11、下列说法：①命题“存在”的否定是“对任意的”；②关于的不等式恒成立，则的取值范围是；③函数为奇函数的充要条件是；其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．012、函数的定义域为D，若对任意且，都有，则称函数在D 上为非减函数，设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（）A. B. C. 1 D.13、函数的图象是( )14、已知的定义域为，值域为，则的取值范围是A ．B ．C．{１} D ．二、简答题（每空？分，共？分）15、对于定义域为D 的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是．则称是该函数的“和谐区间”．（1）求证：函数不存在“和谐区间”．（2）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）16、已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围。

第6节正弦定理和余弦定理及其应用课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013广东湛江十校联考)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知b=2,B=30°,C=15°,则a等于( A )(A)2(B)2(C)-(D)4解析:A=180°-30°-15°=135°,由正弦定理=,得=,即a=2.故选A.2.(2013潮州二模)在△ABC中,A=,AB=2,且△ABC的面积为,则边AC 的长为( A )(A)1 (B) (C)2 (D)解析:S△ABC=AB·AC·sin A=×2·AC·sin=,∴AC=1.故选A.3.(2013湛江高考测试(二))若三条线段的长分别为3,5,7,则用这三条线段( C )(A)能组成直角三角形(B)能组成锐角三角形(C)能组成钝角三角形(D)不能组成三角形解析:依题意得,注意到任意两边之和均大于第三边,因此,它们能够构成三角形,边长为7的边所对的内角的余弦等于<0,因此,该内角是钝角.该三角形是钝角三角形,故选C.4.(2013汕头市高三质量测评(二))在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知c=2,C=,△ABC的面积S △ABC=,则△ABC的周长为( A )(A)6 (B)5 (C)4 (D)4+2解析:依题意得absin C=ab=,ab=4,c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=4⇒(a+b)2-3ab=4⇒(a+b)2=16⇒a+b=4⇒a+b+c=6,即△ABC的周长是6,故选A.5.(2013汕头市高三质量测评(一))在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若=2,b2-a2=ac,则cos B等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:∵==2,即c=2a,又b2-a2=ac,由余弦定理得b2=c2+a2-2accos B,∴a×2a=4a2-4a2cos B,即cos B=.6.(2013珠海一模)直线l1与l2相交于点A,点B、C分别在直线l1与l2上,若与的夹角为60°,且||=2,||=4,则||等于( B ) (A)2(B)2(C)2(D)2解析:由题意,△ABC中,∠A=60°,AB=2,AC=4.由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=12,∴BC=2.故选B.二、填空题7.某居民小区为了美化环境,给居民提供更好的生活环境,在小区内的一块三角形空地上(如图,单位:m)种植草皮,已知这种草皮的价格是120元/m2,则购买这种草皮需要元.解析:三角形空地面积S=×12×25×sin 120°=225(m2),故共需225×120=27000(元).答案:270008.(2012年高考北京卷)在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b= .解析:由已知根据余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×(-),即15b-60=0,得b=4.答案:49.(2013潮州高三期末质检)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2b-c)cos A=acos C,则cos A= .解析:由(2b-c)cos A=acos C,得2bcos A=ccos A+acos C,2sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C,故2sin Bcos A=sin(A+C),又在△ABC中,sin(A+C)=sin B>0,故cos A=.答案:10.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c若sin C+sin(B-A)=sin 2A,则△ABC的形状为.解析:由sin C+sin (B-A)=sin 2A得sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A,2sinBcos A=2sin Acos A.∴cos A=0或sin A=sin B.∵0<A、B<π,∴A=或A=B,∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.答案:等腰或直角三角形三、解答题11.(2013广东六校第二次质检)如图,四边形ABCD中,AB=5,AD=3,cosA=,△BCD是等边三角形.(1)求四边形ABCD的面积;(2)求sin ∠ABD.解:(1)由题意及余弦定理得BD2=AB2+AD2-2×AB×AD×cos A=10,∵cos A=,∴sin A=.四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=×AB×AD×sin ∠BAD+×BD2×sin ∠DBC=.(2)由正弦定理得=,∴sin ∠ABD=×sin A=.12.(2013深圳市二调)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=5,c=7.(1)求角C的大小;(2)求sin(B+)的值.解:(1)由余弦定理可得cos C===-,∵0<C<π,∴C=.(2)由正弦定理可得=,∴sin B===,∵C=,∴B为锐角,∴cos B===,∴sin(B+)=sin Bcos +cos Bsin=×+×=.B组13.(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于( D ) (A)10 (B)9 (C)8 (D)5解析:由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,又因为△ABC为锐角三角形,所以cos A=.在△ABC中,由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,即b2-b-13=0,即b=5或b=-(舍去),故选D.14.在△ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且a⊥b,则B= .解析:由a⊥b,得a·b=bcos C-(2a-c)cos B=0,利用正弦定理,可得sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0,即sin(B+C)=sin A=2sin Acos B,因为sin A≠0,故cos B=,因此B=.答案:15.如图所示,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1 km.(1)试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离会相等?(2)求B、D的距离.解:(1)如图所示,在△ADC中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,∴CD=AC=0.1 km,又∠BCD=180°-60°-60°=60°,∴∠CED=90°,∴CB是△CAD底边AD的中垂线,∴BD=BA.(2)在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°,由正弦定理得=,∴AB==(km),∴BD=(km).故B、D间的距离是km.16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.(1)求证:a,b,c成等比数列;(2)若a=1,c=2,求△ABC的面积S.(1)证明:∵在△ABC中,sin B(tan A+tan C)=tan Atan C,∴sin B=·,∴sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,∴sin Bsin(A+C)=sin Asin C,∵A+C=π-B,∴sin(A+C)=sin B,∴sin2 B=sin Asin C,由正弦定理得,b2=ac,∴a,b,c成等比数列.(2)解:∵a=1,c=2,∴b2=ac=2,∴b=,∴cos B===,∵0<B<π,∴sin B===.∴△ABC的面积S=acsin B=×1×2×=.。

第6节二次函数与幂函数课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(A)(A)1,3 (B)-1,1 (C)-1,3 (D)-1,1,3解析:α=-1,1,3时幂函数为奇函数,当α=-1时定义域不是R,所以α=1,3.故选A.2.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是(D)解析:∵a>b>c且a+b+c=0,∴a>0,c<0.∴图象可能是D.故选D.3.已知幂函数f(x)=xα,当x>1时,恒有f(x)<x,则α的取值范围是(B)(A)0<α<1 (B)α<1(C)α<0 (D)α>0解析:x>1时,由f(x)<x可得xα<x=x1,因此α<1,故选B.4.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则(A)(A)a>b>c (B)a>c>b(C)c>a>b (D)b>c>a解析:∵函数y=0.4x在R上是减函数,且0.2<0.6,∴0.40.2>0.40.6,即b>c.又函数y=x0.2在(0,+∞)上是增函数,且2>0.4,∴20.2>0.40.2,即a>b,∴a>b>c.故选A.5.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么(A)(A)f(2)<f(1)<f(4) (B)f(1)<f(2)<f(4)(C)f(2)<f(4)<f(1) (D)f(4)<f(2)<f(1)解析:∵f(2+t)=f(2-t),∴f(x)关于x=2对称,又开口向上.∴f(x)在[2,+∞)上单调递增,且f(1)=f(3).∴f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4),故选A.6.如图给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是(B)(A)①y=,②y=x2,③y=,④y=x-1(B)①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1(C)①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1(D)①y=,②y=,③y=x2,④y=x-1解析:结合幂函数性质,对解析式和图象逐一对照知B项正确.故选B.7.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1-a,则(B)(A)f(x1)=f(x2)(B)f(x1)<f(x2)(C)f(x1)>f(x2)(D)f(x1)与f(x2)的大小不能确定解析:函数的对称轴为x=-1,设x0=,由0<a<3得到-1<<,又x1<x2,用单调性和离对称轴的远近作判断,故选B.二、填空题8.已知幂函数y=f(x)的图象过点（,）,则log4f(2)的值为.解析:设f(x)=xα,由其图象过点（,）得（）α==,所以α=,log4f(2)=log4=log4=.答案:9.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=.解析:f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a2,∵f(x)是偶函数,∴2a+ab=0.①又f(x)的值域为(-∞,4].∴b<0.②=4.③联立①②③解得a2=2,b=-2,∴f(x)=-2x2+4.答案:-2x2+410.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y).若对任意x>2,不等式(x-a)⊗x≤a+2都成立,则实数a的取值范围是.解析:由题意得(x-a)⊗x=(x-a)(1-x),故不等式(x-a)⊗x≤a+2化为(x-a)(1-x)≤a+2.化简得x2-(a+1)x+2a+2≥0,故原题等价于x2-(a+1)x+2a+2≥0在(2,+∞)上恒成立,由二次函数f(x)=x2-(a+1)x+2a+2的图象,其对称轴为x=,讨论得或解得a≤3或3<a≤7综上得a≤7.答案:(-∞,7]11.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,则实数k的取值范围是.解析:令f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,由题意得即解得<k<.答案:(,)三、解答题12.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2.∴f(x)=(x+1)2.∴F(x)=∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.(2)f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.又x∈(0,1]时,-x的最小值为0,--x的最大值为-2, ∴-2≤b≤0.即b的取值范围是[-2,0].13.已知函数f(x)=x m-且f(4)=.(1)求m的值;(2)判定f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 解:(1)∵f(4)=,∴4m-=,∴m=1.(2)由(1)知f(x)=x-,∴函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 又f(-x)=-x+=-=-f(x).所以函数f(x)是奇函数.(3)函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,证明如下: 设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=x1--=(x1-x2),因为x1>x2>0,所以x1-x2>0,1+>0.所以f(x1)>f(x2).所以函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.B组14.设f(x)=|2-x2|,若0<a<b且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是(D)(A)(0,2) (B)(0,)(C)(0,4) (D)(0,2)解析:∵f(a)=f(b),0<a<b,∴a<<b,∴2-a2=b2-2,即a2+b2=4,则(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)=8,0<a+b<2,故选D.15.在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.解析:设P(x,)(x>0),则|PA|2=(x-a)2+(-a)2=x2+-2a(x+)+2a2令x+=t(t≥2),则|PA|2=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2若a≥2,当t=a时,|PA=a2-2=8,解得a=.若a<2,当t=2时,|PA=2a2-4a+2=8,解得a=-1.答案:-1,16.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为常数),x∈R,F(x)=(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;(3)设m·n<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,证明F(m)+F(n)>0. (1)解:∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,a=b-1.又x∈R,f(x)的值域为[0,+∞),∴∴b2-4(b-1)=0,b=2,a=1,∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.∴F(x)=(2)解:g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1,当≥2或≤-2时,即k≥6或k≤-2时,g(x)在[-2,2]上是单调函数.(3)证明:∵f(x)是偶函数,∴f(x)=ax2+1,F(x)=∵m·n<0,不妨设m>n,则n<0,又m+n>0,m>-n>0,∴|m|>|-n|,又a>0,∴F(m)+F(n)=(am2+1)-an2-1=a(m2-n2)>0.。

课时作业(七) 空间中直线、平面的平行[练基础]1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1，2，3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4，6)，若l 1∥l 2，则λ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．42．若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，1，1)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂α或l ∥αD ．l 与α斜交3．若α，β表示不同的平面，平面α的一个法向量为v 1＝(1，2，1)，平面β的一个法向量为v 2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定4．在空间直角坐标系中，a ＝(1，2，1)为直线l 的一个方向向量，n ＝(2，t ，4)为平面α的一个法向量，且l ∥α，则t ＝( )A ．3B ．－3C ．1D ．－15．(多选)直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，若l ⊄α，能使l ∥α的是( )A ．a ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1)B ．a ＝(1，0，1)，n ＝(0，－2，0)C ．a ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，1)D ．a ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)6．已知两个不同平面的法向量分别是n 1＝(2，12，－1)，n 2＝(－4，－1，2)，则这两个平面的位置关系是________．7．已知平面α的一个法向量为(3λ，6，λ＋6)，平面β的一个法向量为(λ＋1，3，2λ)，若α∥β，则λ＝________．8．如图，在四棱锥P ­ ABCD 中，P A ⊥平面ABCD .P A ＝AB ＝AD ＝2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD ，BC ＝4，点M 为PC 的中点，求证：DM ∥平面P AB .[提能力]9．如图，正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交但不平行B ．平行C ．相交且垂直D ．不能确定10.(多选)如图，在平行六面体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是( )A.A 1M ∥D 1PB. A 1M ∥B 1QC ．A 1M ∥平面DCC 1D 1D ．A 1M ∥平面D 1PQB 111．如图所示，在正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，则OP 与BD 1位置关系是________；设CQ → ＝λCC 1，若平面D 1BQ ∥平面P AO ，则λ＝________．12．如图所示，在直四棱柱ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．求证：(1)直线EE 1∥平面FCC 1；(2)平面ADD 1A 1∥平面FCC 1.[培优生]13．如图，在正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段D 1B 上的动点，M ，N 分别为棱BC ，AB 的中点，若DP ∥平面B 1MN ，则D 1P D 1B＝________．。

课时作业(四) 空间直角坐标系[练基础]1．空间两点A ，B 的坐标分别为(a ，b ，c )，(－a ，－b ，c )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称2．空间直角坐标系下，点M (2，－1，3)关于x 轴对称的点的坐标为( )A ．(－2，1，3)B ．(－2，－1，－3)C ．(2，1，－3)D ．(－2，1，－3)3．在空间直角坐标系中，点P (1，2，－3)关于坐标平面xOy 的对称点为( )A ．(－1，－2，3)B ．(－1，－2，－3)C ．(－1，2，－3)D ．(1，2，3)4．在空间直角坐标系中，记点M (－1，1，2)关于x 轴的对称点为N ，关于yOz 平面的对称点为P ，则线段NP 中点坐标为( )A ．(1，0，0)B ．(－1，－1，0)C ．(1，0，1)D ．(0，0，0)5.以棱长为1的正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA 1B 1B 的对角线交点的坐标为( )A ．(0，12 ，12 )B ．(12 ，0，12) C ．(12 ，12 ，0) D ．(12 ，12 ，12) 6．如图，正方体ABCD ­ A ′B ′C ′D ′的棱长为2，则图中的点M 关于y 轴的对称点的坐标为________．7．在空间直角坐标系中，已知点A (－1，2，－3)，则点A 在yOz 平面内射影的点的坐标是________．8．已知点A (－4，2，3)关于坐标原点的对称点为A 1，A 1关于xOz 平面的对称点为A 2，A 2关于z 轴的对称点为A 3，求线段AA 3的中点M 的坐标．[提能力]9．如图，正方体OABC ­ O 1A 1B 1C 1的棱长为2，E 是B 1B 上的点，且EB ＝2EB 1，则点E 的坐标为( )A ．(2，2，1)B ．(2，2，2)C ．(2，2，23 )D ．(2，2，43) 10．(多选)如图，在长方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，AB ＝5，AD ＝4，AA 1＝3，以直线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点B 1的坐标为(4，5，3)B ．点C 1关于点B 对称的点为(5，8，－3)C ．点A 关于直线BD 1对称的点为(0，5，3)D ．点C 关于平面ABB 1A 1对称的点为(8，5，0)11．在空间直角坐标系Oxyz 中，若点M (a 2－4a ，b ＋3，2c ＋1)关于y 轴的对称点M ′的坐标为(4，－2，15)，则a ＋b ＋c 的值为________．12．如图，在棱长为1的正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，M 在线段BC 1上，且|BM |＝2|MC 1|，N 是线段D 1M 的中点，求点M ，N 的坐标．[培优生]13．如图是从一个正方体中截下的一个三棱锥P ­ ABC，|P A|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，则△ABC的重心G的坐标为________．。

课时作业(二) 空间向量的数量积运算[练基础]1．已知空间向量a ，b ，c 两两夹角均为60°，其模长均为1，则|a ＋b －2c |＝( )A ．2B ．3C ．2D ．52.如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG → ·AB → ＝( )A ．34B ．14C ．12D ．323．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对4．已知平行六面体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1的各棱长均为1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝45°，∠DAB ＝90°，则|BD 1|＝( )A ．3B ．2 －1C ．2D ．2 ＋15．(多选)已知长方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积可以为0的是( )A ．AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC →C ．AB → ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC →6．已知空间中单位向量a 、b ，且〈a ，b 〉＝60°，则|a －3b |的值为________．7．在棱长为1的正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝________． 8.如图，四面体OABC 各棱的棱长都是1，D ，E 分别是OC ，AB 的中点，记OA → ＝a ，OB →＝b ，OC → ＝c ，(1)用向量a ，b ，c 表示向量DE → ；(2)求证DE ⊥AB .[提能力]9．(多选)四面体A ­ BCD 中，各棱长均为a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A ．2BA → ·AC →B ．2AD → ·BD →C ．2EF → ·CB →D ．2FG → ·AC →10．(多选)已知ABCD ­ A 1B 1C 1D 1为正方体，则下列说法正确的有( )A ．(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2＝3(A 1B 1)2B ．A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )＝0C ．A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°D ．在面对角线中与直线A 1D 所成的角为60°的有8条11．如图，平行六面体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，则AC 1的长为________；异面直线BD 1与AC 夹角的余弦值为________．12.如图所示，在平行六面体ABCD ­ A ′B ′C ′D ′中，AB ＝AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝45°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.(1)求BB ′→ ·AC ′→ ；(2)求线段AC ′的长．[培优生]13．(多选)定义空间两个向量的一种运算a ⊗b ＝|a |·|b |sin〈a ，b 〉，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( )A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗bC ．(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )D ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|。

人教A版高中数学必修1 全册课时训练目录1.1.1（第1课时）集合的含义1.1.1（第2课时）集合的表示1.1.2集合间的基本关系1.1.3（第1课时）并集、交集1.1.3（第2课时）补集及综合应用1.2.1（第1课时）函数的概念1.2.1（第2课时）函数概念的综合应用1.2.2（第1课时）函数的表示法1.2.2（第2课时）分段函数及映射1.3.1（第1课时）函数的单调性1.3.1（第2课时）函数的最大值、最小值1.3.2（第1课时）函数奇偶性的概念1.3.2（第2课时）函数奇偶性的应用集合与函数的概念-单元评估试题2.1.1（第1课时）根式2.1.1（第2课时）指数幂及运算2.1.2（第1课时）指数函数的图象及性质2.1.2（第2课时）指数函数及其性质的应用2.2.1（第1课时）对数2.2.1（第2课时）对数的运算2.2.2（第1课时）对数函数的图象及性质2.2.2（第2课时）对数函数及其性质的应用2.3幂函数基本初等函数-单元评估试题3.1.1方程的根与函数的零点3.1.2用二分法求方程的近似解3.2.1几类不同增长的函数模型3.2.2（第1课时）一次函数、二次函数应用举例3.2.2（第2课时）指数型、对数型函数的应用举例函数的应用-单元评估试题第1-3章-全册综合质量评估试卷课时提升卷(一)集合的含义（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列各项中,不能组成集合的是( )A.所有的正整数B.等于2的数C.接近于0的数D.不等于0的偶数2.(2013·冀州高一检测)若集合M中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是( )A.1B.0C.-2D.24.已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这2个元素,则下列说法中正确的是( )A.a可取全体实数B.a可取除去0以外的所有实数C.a可取除去3以外的所有实数D.a可取除去0和3以外的所有实数5.下列四种说法中正确的个数是( )①集合N中的最小数为1;②若a∈N,则-a∉N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.A.0B.1C.2D.3二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·天津高一检测)设集合A中含有三个元素2x-5,x2-4x,12,若-3∈A,则x的值为.7.(2013·济宁高一检测)若集合P含有两个元素1,2,集合Q含有两个元素1,a2,且P,Q相等,则a= .8.若a,b∈R,且a≠0,b≠0,则+的可能取值所组成的集合中元素的个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.集合A的元素由kx2-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中的元素只有一个,求k的值.10.数集M满足条件,若a∈M,则∈M(a≠±1且a≠0),已知3∈M,试把由此确定的集合M的元素全部求出来.11.(能力挑战题)设P,Q为两个数集, P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.答案解析1.【解析】选C.怎样才是接近于0的数没有统一的标准,即不满足集合元素的确定性,故选C.2.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,a,b,c三个数一定全不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.3.【解析】选C.∵-1∈M,∴2×(-1)∈M,即-2∈M.4.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,2a≠a2-a,解得a≠0且a≠3,故选D.5.【解析】选A.①中最小数应为0;②中a=0时,- a∈N;③中a+b的最小值应为0;④中“小的正数”不确定.因此①②③④均不对.6.【解析】∵-3∈A,∴-3=2x-5或-3=x2-4x.①当-3=2x-5时,解得x=1,此时2x-5=x2-4x=-3,不符合元素的互异性,故x≠1;②当-3=x2-4x时,解得x=1或x=3,由①知x≠1,且x=3时满足元素的互异性.综上可知x=3.答案:37.【解析】由于P,Q相等,故a2=2,从而a=±.答案:±8.【解题指南】对a,b的取值情况分三种情况讨论求值,即同正,一正一负和同负,以确定集合中的元素,同时注意集合元素的互异性.【解析】当a>0,b>0时,+=2;当ab<0时,+=0;当a<0,b<0时,+=-2.所以集合中的元素为2,0,-2.即集合中元素的个数为3.答案:39.【解析】由题知A中元素即方程kx2-3x+2=0(k∈R)的解,若k=0,则x=,知A中有一个元素,符合题意;若k≠0,则方程为一元二次方程.当Δ=9-8k=0即k=时,kx2-3x+2=0有两个相等的实数解,此时A中有一个元素.综上所述,k=0或.10.【解析】∵a=3∈M,∴==-2∈M,∴=-∈M,∴=∈M,∴=3∈M.再把3代入将重复上面的运算过程,由集合中元素的互异性可知M中含有元素3,-2,-,.【拓展提升】集合中元素互异性的应用集合中的元素是互异的,它通常被用作检验所求未知数的值是否符合题意.只要组成两个集合的元素是一样的,这两个集合就是相等的,与两个集合中元素的排列顺序无关.11.【解析】∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P+Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.课时提升卷(二)集合的表示（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·临沂高一检测)设集合M={x∈R|x≤3},a=2,则( )A.a∉MB.a∈MC.{a}∈MD.{a}∉M2.集合{x∈N*|x-3<2}的另一种表示方法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}3.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )A.{0}B.{y|y2=0}C.{x|x=0}D.{x=0}4.下列集合的表示法正确的是( )A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}B.不等式x-1<4的解集为{x<5}C.整数集可表示为{全体整数}D.实数集可表示为R5.设x=,y=3+π,集合M={m|m=a+b,a∈Q,b∈Q},那么x,y与集合M的关系是( )A.x∈M,y∈MB.x∈M,y∉MC.x∉M,y∈MD. x∉M,y∉M二、填空题(每小题8分,共24分)6.设A={4,a},B={2,ab},若A=B,则a+b= .7.已知集合A={x|∈N,x∈N},则用列举法表示为.8.已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},a∈A且a∈B,则a 为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.用适当的方法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数.(2)满足方程x=|x|的所有x的值构成的集合B.10.下面三个集合:A={x|y=x2+1}; B={y|y=x2+1};C={(x,y)|y=x2+1}.问:(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?11.(能力挑战题)集合P={x|x=2k,k∈Z},M={x|x=2k+1,k∈Z},a∈P,b ∈M,设c=a+b,则c与集合M有什么关系?答案解析1.【解析】选B.(2)2-(3)2=24-27<0,故2<3.所以a∈M.2.【解析】选B.集合中元素满足x<5且x∈N*,所以集合的元素有1,2,3,4.3.【解析】选D.A是列举法,B,C是描述法,而D表示该集合含有一个元素,即“x=0”.4.【解析】选D.选项A中应是xy<0;选项B的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x;选项C的“{ }”与“全体”意思重复.5.【解析】选B.∵x==--.y=3+π中π是无理数,而集合M中,b ∈Q,得x∈M,y M.6.【解析】两个集合相等,则两集合的元素完全相同,则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.∴a+b=4.答案:47.【解题指南】结合条件,可按x的取值分别讨论求解.【解析】根据题意,5-x应该是12的正因数,故其可能的取值为1,2,3,4,6,12,从而可得到对应x的值为4,3,2,1,-1,-7.因为x∈N,所以x 的值为4,3,2,1.答案:{1,2,3,4}8.【解析】∵a∈A且a∈B,∴a是方程组的解,解方程组,得∴a为(2,5).答案:(2,5)9.【解析】(1){x|x=3n,n∈Z}.(2)B={x|x=|x|,x∈R}.【变式备选】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y) |y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.集合A为列举法表示集合,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中B选项省略了代表元素和竖线.10.【解析】(1)在A,B,C三个集合中,虽然代表元素满足的表达式一致,但代表元素互不相同,所以它们是互不相同的集合.(2)集合A的代表元素是x,满足y=x2+1,故A={x|y=x2+1}=R.集合B的代表元素是y,满足y=x2+1,所以y≥1,故B={y|y=x2+1}={y|y≥1}.集合C的代表元素是(x,y),满足条件y=x2+1,即表示满足y=x2+1的实数对(x,y);也可认为是满足条件y=x2+1的坐标平面上的点.【拓展提升】三种集合语言的优点及应用集合语言包括符号语言、图形语言和自然语言三种.(1)符号语言比较简洁、严谨且内涵丰富有利于推理计算.(2)图形语言能够引起直观的视觉感受,便于理清关系,有利于直观地表达概念、定理的本质及相互关系,使得抽象的思维关系明朗化. (3)自然语言往往比较生动,能将问题研究对象的含义更加明白地叙述出来.集合的三种语言之间相互转化,在解决集合问题时,一般是将符号语言转化为图形语言、自然语言,这样有助于弄清集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析问题和解决问题的能力.11.【解析】∵a∈P,b∈M,c=a+b,设a=2k1,k1∈Z,b=2k2+1,k2∈Z,∴c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1,又k1+k2∈Z,∴c∈M.课时提升卷(三)集合间的基本关系（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列四个结论中,正确的是( )A.0={0}B.0∈{0}C.0⊆{0}D.0=∅2.(2013·宝鸡高一检测)如果M={x|x+1>0},则( )A.∅∈MB.0MC.{0}∈MD.{0}⊆M3.(2013·长沙高一检测)已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.设A={a,b},B={x|x∈A},则( )A.B∈AB.B AC.A∈BD.A=B5.(2013·潍坊高一检测)设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围是( )A.a≤2B.a≤1C.a≥1D.a≥2二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·汕头高一检测)已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m= .7.已知集合A={x|x<3},集合B={x|x<m},且A B,则实数m满足的条件是.8.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P 的关系为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠ ,B⊆A,求a,b的值.10.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A B,求a的取值范围.(2)若B⊆A,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知A={x||x-a|=4},B={1,2,b},是否存在实数a,使得对于任意实数b(b≠1,且b≠2),都有A⊆B?若存在,求出对应的a的值;若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合,故0∈{0}.2.【解析】选D.M={x|x+1>0}={x|x>-1},∴{0}⊆M.3.【解析】选C.由题意知,x=-2或2,即A={-2,2},故其真子集有3个. 【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.4.【解析】选D.因为集合B中的元素x∈A,所以x=a或x=b,所以B={a,b},因此A=B.5.【解析】选D.∵A⊆B,∴a≥26.【解析】∵B⊆A,∴m2=2m-1,∴m=1.答案:17.【解析】将数集A标在数轴上,如图所示,要满足A B,表示数m的点必须在表示3的点的右边,故m>3.答案: m>38.【解析】∵xy>0,∴x,y同号,又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P.答案:M=P9.【解析】由B⊆A知,B中的所有元素都属于集合A,又B≠ ,故集合B有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.当B={-1}时,B={x|x2+2x+1=0},故a=-1,b=1;当B={1}时,B={x|x2-2x+1=0},故a=b=1;当B={-1,1}时,B={x|x2-1=0},故a=0,b=-1.综上所述,a,b的值为或或10.【解题指南】利用数轴分析法求解.【解析】(1)若A B,由图可知,a>2.(2)若B⊆A,由图可知,1≤a≤2.11.【解析】不存在.要使对任意的实数b都有A⊆B,所以1,2是A中的元素,又∵A={a-4,a+4},∴或这两个方程组均无解,故这样的实数a不存在.课时提升卷(四)并集、交集（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·衡水高一检测)若集合A,B,C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C 之间的关系为( )A.C AB.A CC.C⊆AD.A⊆C2.已知M={0,1,2, 4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9},则(M∩N)∪(M ∩P)等于( )A.{1,4}B.{1,7}C.{1, 4,7}D.{4,7}3.(2013·本溪高一检测)A={x∈N︱1≤x≤10},B={x∈R︱x2+x-6=0},则图中阴影表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}4.(2013·德州高一检测)设集合A={x|x≤1},B={x|x>p},要使A∩B=∅,则p应满足的条件是( )A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤15.(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=( )A.0或B.0或3C.1或D.1或3二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N= .7.(2013·清远高一检测)已知集合A={x|x≤1},集合B={x|a≤x},且A∪B=R,则实数a的取值范围是.8.(2013·西安高一检测)设集合A={5,a+1},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知集合A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若A∪B={1,2,3,5},求x及A ∩B.10.已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=∅,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知:A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若A∪B=B,求a的值.(2)若A∩B=B,求a的值.答案解析1.【解析】选D.∵A∩B=A,B∪C=C,∴A⊆B,B⊆C,∴A⊆C.2.【解析】选C.M∩N={1,4},M∩P={4,7},故(M∩N)∪(M∩P)={1,4,7}.3.【解析】选A.A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为A∩B,故A∩B={2}.4.【解析】选B.∵A∩B= ,∴结合数轴分析可知应满足的条件是p≥1. 【误区警示】本题易漏掉p=1的情况而误选A.5.【解析】选B.由A∪B=A得B⊆A,所以有m=3或m=.由m=得m=0或1,经检验,m=1时B={1,1}不符合集合元素的互异性,m=0或3时符合.6.【解析】由题意联立方程组得x=3,y=-1,故M∩N={(3,-1)}.答案:{(3,-1)}7.【解析】∵A∪B=R,∴a≤1.答案:a≤18.【解析】∵A∩B={2},∴2∈A,故a+1=2,a=1,即A={5,2};又2∈B,∴b=2,即B={1,2},∴A∪B={1,2,5}.答案:{1,2,5}9.【解析】∵B⊆(A∪B),∴x2-1∈A∪B.∴x2-1=3或x2-1=5.解得x=±2或x=±.若x2-1=3,则A∩B={1,3}.若x2-1=5,则A∩B={1,5}.10.【解题指南】通过数轴直观表示,并结合A∩B=∅分析列不等式(组)求解.【解析】A∩B=∅,A={x|2a≤x≤a+3}.(1)若A=∅,有2a>a+3,∴a>3.(2)若A≠∅,如图所示.则有解得-≤a≤2.综上所述,a的取值范围是-≤a≤2或a>3.【拓展提升】数轴在解含参不等式(组)中的作用数轴是解不等式(组)的重要工具,它是实现数形结合解决数学问题的桥梁,在求解不等式(组)待定字母值或范围时,借助数轴的直观性,很轻松地将各变量间的关系表示出来,进而列出不等式(组),更能显示出它的优越性.11.【解析】(1)A={-4,0},若A∪B=B,则B=A={-4,0},解得a=1.(2)若A∩B=B,则①若B为空集,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,则a<-1;②若B为单元素集合,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0, 解得a=-1,将a=-1代入方程x2+2(a+1)x+a2-1=0,得x2=0得,x=0,即B={0},符合要求;③若B=A={-4,0},则a=1,综上所述,a≤-1或a=1.课时提升卷(五)补集及综合应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B={3,5},则ð(A∪B)=( )UA.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}2.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(ðB)=( )RA.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}3.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,3,5,7},B={3,5},则下列式子一定成立的是( )A.ðB⊆UðA B.(UðA)∪(UðB)=UUC.A∩ðB=∅ D.B∩UðA=∅U4.设全集U(U≠∅)和集合M,N,P,且M=UðN,N=UðP,则M与P的关系是( )A.M=ðP B.M=PUC.M PD.M P5.(2013·广州高一检测)如图,I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.(ðA∩B)∩C B.(IðB∪A)∩CIC.(A∩B)∩ðC D.(A∩IðB)∩CI二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9, 12},则A∩(ðB)= .N7.已知全集为R,集合M={x∈R|-2<x<2},P={x|x≥a},并且M⊆ðP,则Ra的取值范围是.8.设集合A,B都是U={1,2,3,4}的子集,已知(ðA)∩(UðB)={2},(UðA)U∩B={1},且A∩B=∅,则A= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·济南高一检测)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪ðA=R,RB∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},求集合B.R10.已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且AðB,求a的取值范R围.11.(能力挑战题)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(ðA)∩B=∅,求m的值.U答案解析1.【解析】选C.由题知U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5},故ð(A∪B)={2,4}.U2.【解析】选D.∵B={x|x<1},∴ðB={x|x≥1},R∴A∩ðB={x|1≤x≤2}.R3.【解析】选D.逐一进行验证.ðB={1,2,4,6,7},UðA={2,4, 6},显然UðAU⊆ðB,显然A,B错误;A∩UðB={1,7},故C错误,所以只有D正确.U4.【解析】选B.利用补集的性质:M=ðN=Uð(UðP)=P,所以M=P.U【拓展提升】一个集合与它的补集的关系集合与它的补集是一组相对的概念,即如果集合A是B相对于全集U 的补集,那么,集合B也是A相对于全集U的补集.同时A与B没有公共元素,且它们的并集正好是全集,即A∪B=U,A∩B= .5.【解析】选D.由图可知阴影部分是A的元素,且是C的元素,但不属于B,故所表示的集合是(A∩ðB)∩C.I6.【解析】∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},∴ðB={1,2,4,5,7,8,…}.N∴A∩ðB={1,5,7}.N答案:{1,5,7}7.【解析】M={x|-2<x<2},ðP={x|x<a}.R∵M⊆ðP,∴由数轴知a≥2.R答案:a≥28.【解析】根据题意画出Venn图,得A={3,4}.答案:{3,4}9.【解析】∵A={x|1≤x≤2},∴ðA={x|x<1或x>2}.R又B∪ðA=R,A∪RðA=R,可得A⊆B.R而B∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},R∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1或2<x<3}={x|0<x<3}.10.【解题指南】解答本题的关键是利用AðB,对A=∅与A≠∅进行R分类讨论,转化为等价不等式(组)求解,同时要注意区域端点的问题. 【解析】ðB={x|x≤1或x≥2}≠∅,R∵AðB.R∴分A=∅和A≠∅两种情况讨论.(1)若A=∅,则有2a-2≥a,∴a≥2.(2)若A≠∅,则有或∴a≤1.综上所述,a≤1或a≥2.11.【解题指南】本题中的集合A,B均是一元二次方程的解集,其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m,需要对这个参数进行分类讨论,同时需要根据(ðA)∩B=∅对集合A,B的关系进行转化.U【解析】A={-2,-1},由(ðA)∩B=∅,得B⊆A,U∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或m=2.【变式备选】已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|ax-6=0}且ðA⊆RðB,R求实数a的取值集合.【解析】∵A={x|x2-5x+6=0},∴A={2,3}.又ðA⊆RðB,R∴B⊆A,∴有B=∅,B={2},B={3}三种情形.当B={3}时,有3a-6=0,∴a=2;当B={2}时,有2a-6=0,∴a=3; 当B= 时,有a=0,∴实数a的取值集合为{0,2,3}.课时提升卷(六)函数的概念（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U=R,集合A=[3,7),B=(2,10),则ð(A∩B)=( )RA.[3,7)B.(-∞,3)∪[7,+∞)C.(-∞,2)∪[10,+∞)D.2.(2013·西安高一检测)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是( )A.x=y2+1B.y=2x2+1C.x-2y=6D.x=3.(2013·红河州高一检测)四个函数:(1)y=x+1.(2)y=x3.(3)y=x2-1.(4)y=.其中定义域相同的函数有( )A.(1),(2)和(3)B.(1)和(2)C.(2)和(3)D.(2),(3)和(4)4.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数D.A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值5.(2013·盘锦高一检测)函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=( )A.[-2,+∞)B.[-2,2)C.(-2,2)D.(-∞,2)二、填空题(每小题8分,共24分)6.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是.7.函数y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是;其中只与x的一个值对应的y值的范围是.8.函数f(x)定义在区间[-2,3]上,则y=f(x)的图象与直线x=a的交点个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·烟台高一检测)求下列函数的定义域.(1)y=+.(2)y=.10.已知函数f(x)=,(1)求f(x)的定义域.(2)若f(a)=2,求a的值.(3)求证:f()=-f(x).11.(能力挑战题)已知函数y=(a<0且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选B.∵A∩B=[3,7),∴ð(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).R2.【解析】选A.一个x对应的y值不唯一.3.【解析】选A.(1),(2)和(3)的定义域都是R,(4)的定义域是{x∈R|x≠0}.4.【解析】选A.按照函数定义,选项B中,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D中,集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A符合函数定义.5.【解析】选B.由题意得M=(-∞,2),N=[-2,+∞),所以M∩N=(-∞,2)∩[-2,+∞)=[-2,2).6.【解析】由题意3a-1>a,则a>.答案:(,+∞)【误区警示】本题易忽略区间概念而得出3a-1≥a,则a≥的错误.7.【解析】观察函数图象可知f(x)的定义域是[-3,0]∪[2,3];只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].答案:[-3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5]【举一反三】本题中求与x的两个值对应的y值的范围.【解析】由函数图象可知y值的范围是[2,4].8.【解题指南】根据函数的定义,对应定义域中的任意一个自变量x 都有唯一的函数值与之对应.利用此知识可以结合函数图象分析. 【解析】当a∈[-2,3]时,由函数定义知,y=f(x)的图象与直线x=a只有一个交点;当a [-2,3]时,y=f(x)的图象与直线x=a没有交点.答案:0或19.【解析】(1)由已知得∴函数的定义域为[-,].(2)由已知得:∵|x+2|-1≠0,∴|x+2|≠1,得x≠-3,x≠-1.∴函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞).10.【解析】(1)要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.(2)因为f(x)=,且f(a)=2,所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.(3)由已知得f()==,-f(x)=-=,∴f()=-f(x).11.【解题指南】由题意得,(-∞,1]是函数y=的定义域的子集. 【解析】函数y=(a<0且a为常数).∵ax+1≥0,a<0,∴x≤-,即函数的定义域为(-∞,-].∵函数在区间(-∞,1]上有意义,∴(-∞,1] (-∞,-],∴-≥1,而a<0,∴-1≤a<0.即a的取值范围是[-1,0).关闭Word文档返回原板块。

第九章 平面解析几何第6课时 椭 圆(1)1. 已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是________． 答案：x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 解析：∵ a ＝4，e ＝34，∴ c ＝3.∴ b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7. ∴ 椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1. 2. 2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的________条件． 答案：必要不充分解析：若x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ， ∴ 2＜m ＜6且m ≠4，故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件． 3. 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．答案：3解析：依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故b ＝3. 4. 椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2＝________．答案：2 120°解析：∵a 2＝9，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7，∴|F 1F 2|＝27.又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2.又由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝22＋42－（27）22×2×4＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.5. 已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m ＝________． 答案：8解析：将椭圆的方程转化为标准形式为y 2（m －2）2＋x 2（10－m ）2＝1，显然m －2>10－m>0，即10>m>6.(m －2)2－(10－m)2＝22，解得m ＝8.6. 设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．答案：34解析：由题意可得PF 2＝F 1F 2，∴ 2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ，∴ 3a ＝4c ，∴ e ＝34. 7. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A(a ，0)，B(0，b)，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为________.答案：5－12解析：由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c)2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12. 8. 已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且a 1＞a 2.给出如下四个结论：① 椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；② a 21－a 22＝b 21－b 22；③ a 1a 2＞b 1b 2；④ a 1－a 2＜b 1－b 2.其中，所有正确的结论是________．(填序号)答案：①②④解析：由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，而a 1＞a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2＞b 1b 2不正确，即③不正确；∵ a 1＞b 1＞0，a 2＞b 2＞0，∴ a 1＋a 2＞b 1＋b 2＞0，又由(a 1＋a 2)·(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2＜b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④. 9. 已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．(1) 求椭圆G 的方程；(2) 求△PAB 的面积． 解：(1) 由已知得c ＝22，c a ＝63， 解得a ＝2 3.又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝x ＋m.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E(x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4. 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB.所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2. 此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以AB ＝3 2.此时，点P(－3，2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322， 所以△PAB 的面积S ＝12AB ·d ＝92. 10. 若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C 1：x 26＋y 23＝1，A 1、A 2分别为椭圆C 1的左、右顶点．椭圆C 2以线段A 1A 2为短轴且与椭圆C 1为“相似椭圆”．(1) 求椭圆C 2的方程；(2) 设P 为椭圆C 2上异于A 1、A 2的任意一点，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，线段PQ 交椭圆C 1于点H.求证：H 为△PA 1A 2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)(1) 解：由题意可知A 1(－6，0)，A 2(6，0)，椭圆C 1的离心率e ＝22.设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)，则b ＝ 6.因为b a ＝1－e 2＝22，所以a ＝2 3.所以椭圆C 2的方程为y 212＋x 26＝1. (2) 证明：设P(x 0，y 0)，y 0≠0，则y 2012＋x 206＝1，从而y 20＝12－2x 20.将x ＝x 0代入x 26＋y 23＝1，得x 206＋y 23＝1，从而y 2＝3－x 202＝y 204，即y ＝±y 02.因为P 、H 在x 轴的同侧，所以取y ＝y 02，即H ⎝⎛⎭⎫x 0，y 02.所以k AP ·k AH ＝y 0x 0－6·12y 0x 0＋6＝y 202（x 20－6）＝12－2x 202（x 20－6）＝－1，从而A 2P ⊥A 1H.又PH ⊥A 1A 2，所以H 为△PA 1A 2的垂心．11. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F(1，0)，且离心率为12. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设经过点F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P(0，y 0)，求y 0的取值范围．解：(1) 设椭圆C 的半焦距是c.依题意，得c ＝1.因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2) 当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q(x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k(x 3－1)＝－3k 3＋4k 2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －4k 23＋4k 2. 在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k . 当k ＜0时，3k ＋4k ≤－43；当k ＞0时，3k＋4k ≥4 3. 所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎡⎦⎤－312，312.。

第3节合情推理与演绎推理课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是( B )(A)① (B)② (C)③ (D)①和②解析:由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.故选B.2.(2013河南焦作二模)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R 为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a, b,c,d∈Q,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;③若“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”.其中类比结论正确的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①②正确,③错误,因为两个复数如果不是实数,不能比较大小.故选C.3.(2013上海闸北二模)平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( C )(A)n+1 (B)2n(C)(D)n2+n+1解析:1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域; ……;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域,选C.4.定义A*B,B*C,C*D,D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4),那么如图中(a)(b)所对应的运算结果可能是( B )(A)B*D,A*D (B)B*D,A*C(C)B*C,A*D (D)C*D,A*D解析:观察图形及对应运算分析可知,基本元素为A→|,B→□,C→—,D→○,从而可知图(a)对应B*D,图(b)对应A*C.故选B.5.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是( B )(A)(7,5) (B)(5,7) (C)(2,10) (D)(10,1)解析:依题意,由和相同的整数对分为一组不难得知,第n组整数对的和为n+1,且有n个整数对.这样前n组一共有个整数对.注意到<60<.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置,可得为(5,7).故选B.6.对于a、b∈(0,+∞),a+b≥2(大前提),x+≥2(小前提),所以x+≥2(结论).以上推理过程中的错误为( A )(A)小前提(B)大前提(C)结论 (D)无错误解析:大前提是a,b∈(0,+∞),a+b≥2,要求a、b都是正数;x+≥2是小前提,没写出x的取值范围,因此本题中的小前提有错误.故选A.二、填空题7.(2013山东实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a1,a2满足+=1,则a≤”的证明过程:证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a 1+a2≤.根据上述证明方法,若n个正实数满足++…+=1时,你能得到的结论为.(不必证明)解析:由题意可构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2=nx2-2(a1+a2+…+a n)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ=4(a1+a2+…+a n)2-4n≤0,即a 1+a2+…+a n≤.答案:a 1+a2+…+a n≤8.(2013茂名一模)已知21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,24×1×3×5×7=5×6×7×8,…依此类推,第n个等式为.解析:由前4个等式可归纳得出第n个等式为2n×1×3×5×…×(2n-1)=(n+1)(n+2)…(n+n).答案:2n×1×3×5×…×(2n-1)=(n+1)(n+2)…(n+n)9.(2013江西师大附中模拟)若数轴上不同的两点A,B分别与实数x1,x2对应,则线段AB的中点M与实数对应,由此结论类比到平面得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2), (x3,y3)对应,则△ABC的重心G与对应.解析:由类比推理得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)对应,则△ABC的重心G与(,)对应.答案:(,)10.设等差数列{a n}的前n项和为S n,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{b n}的前n项积为T n,则T4,, ,成等比数列.解析:对于等比数列,通过类比等差数列的差与等比数列的商,可得T4,,,成等比数列.答案:11.用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形,则按此规律,第100个图形中有白色地砖块;现将一粒豆子随机撒在第100个图中,则豆子落在白色地砖上的概率是.解析:按拼图的规律,第1个图有白色地砖3×3-1(块),第2个图有白色地砖3×5-2(块),第3个图有白色地砖3×7-3(块),…,则第100个图中有白色地砖3×201-100=503(块).第100个图中黑白地砖共有603块,则将一粒豆子随机撒在第100个图中,豆子落在白色地砖上的概率是.答案:503三、解答题12.在锐角三角形ABC中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+ cos C.证明:∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>,∴A>-B,∵y=sin x在上是增函数,∴sin A>sin=cos B,同理可得sin B>cos C,sin C>cos A,∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.B组13.在实数集R中定义一种运算“*”,对任意给定的a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;(2)对任意a∈R,a*0=a;(3)对任意a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.关于函数f(x)=(3x)*的性质,有如下说法①函数f(x)的最小值为3;②函数f(x)为奇函数;③函数f(x)的单调递增区间为,.其中所有正确说法的个数为( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:f(x)=f(x)*0=*0=0*+[(3x)*0]+-2×0=3x×+3x+=3x++1.当x=-1时,f(x)<0,故①错误;因为f(-x)=-3x-+1≠-f(x),所以②错误;令f'(x)=3->0,得x>或x<-,因此函数f(x)的单调递增区间为,,③正确.故选B. 14.(2013中山市高三期末)如图,对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”:仿此,62的“分裂”中最大的数是;20133的“分裂”中最大的数是.解析:22的“分裂”中最大的数是3=2×2-1,32的“分裂”中最大的数是5=2×3-1,42的“分裂”中最大的数是7=2×4-1,…,由归纳推理可得62的“分裂”中最大的数是2×6-1=11;23的“分裂”中最大的数是5=22+1,33的“分裂”中最大的数是11=32+2,43的“分裂”中最大的数是19=42+3,…,由归纳推理可得20133的“分裂”中最大的数是20132+2012.答案:11 20132+201215.已知函数f(x)=,(1)分别求f(2)+f(),f(3)+f(),f(4)+f()的值;(2)归纳猜想一般性结论,并给出证明;(3)求值:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f()+f()+…+f().解:(1)∵f(x)=,∴f(2)+f()=+=+=1,同理可得f(3)+f()=1,f(4)+f()=1.(2)由(1)猜想f(x)+f()=1,证明:f(x)+f()=+=+=1.(3)f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f()+f()+…+f() =f(1)+[f(2)+f()]+[f(3)+f()]+…+[f(2013)+f()]=+=+2012=.。