山东省聊城市2019届高三一模数学(理)试题

2019年聊城市高考模拟试题文理科数学（二）注意事项：1.本试题分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120 分钟.2.答卷前.考生务必将自己的姓名、学校、考生号涂写在答题卡上.3.答选择题时，考生须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.4.第Ⅱ卷写在答题卡对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题.5.考试结束后，只将答题卡交回.第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合，则，A. [1,+∞）B.(2,4)C.(1,4)D.(1,2)已知则的共轭复数为3.已知实数a,b,c，“a>b”是“ac²>bc²’的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.连续投掷一颗骰子两次，第一次向上的点数比第二次向上的点数小的概率是5.已知函数则6.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，F，F，G，H分别为棱A.1B1.，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是A.AD1∥平面EFGHB.BD1//GHC.BD∥EFD.平面EFGH∥平面A1BCD17.1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到 1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出i的值为A.8B.7C.6D.58.某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图都是两个正方形，俯视图为一个圆及圆中互相垂直的半径，则该几何体的体积为πππ9.函数的图像大致为10.将函数的图像向右平移个单位后与的图像重合，则的最小值为ππππ11.已知△ABC中，AB=AC，D是边BC上一点，若BD=1，AD=2，DC=3,则△ABC的面积为2.A34.D2.B4.C312.已知为函数的导数，且′，若，方程 有且只有一个根，则 的取值范围是 ， ∞ ∞第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知实数 满足则 的最小值是 14.已知向量 ,则15.已知O 为坐标原点，F 为椭圆的右焦点，过点F 的直线在第一象限与椭圆C 交与点P ，且△POF 为正三角形，则椭圆C 的离心率为______16. 已知函数 的最大值是 则tan0=______ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知数列{n a 2}是等比数列，且.7,331==a a(1)证明：数列{ 是等差数列，并求出其通项公式；(2)求数列 的前 项和18.（12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置，且∠(1)求证：平面PEC ⊥平面PAB ;(2)若三棱锥E-PEC 的体积为33，求该三棱锥的表面积.19.（12分）已知点是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点.(1)若|AB| =16，求直线l的方程；OM 是否为定值，若是，(2)点M是点A关于x轴的对称点，O为坐标原点，试判断OB求出该定值；若不是，说明理由，20.（12分）某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图1）：销售时质量指标值在的产品每件亏损1元，在的产品每件盈利3元，在的产品每件盈利5元.(1)求每件产品的平均销售利润；(2)该企业为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年年营销费用和年销售量(i=1,2,3,4,5) 数据做了初步处理，得到如图2的散点图及一些统计量的值.表中根据散点图判断，y=a x b可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回归力程.①求y关于x的回归方程；⑦用所求的回归方程估计该企业应投人多少年营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益=销售利润营销费用，取）附：对于一组数据其回归直线均斜率和截距的最小二乘估计分别为21.(12分) 已知函数(1)求函数的单调区间；(2)若时，，求a的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）α在直角坐标系中，曲线（α为参数）.以原点O为极点，x轴的正α半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若曲线C与直线l交于A，B两点，点，求的值.23. [选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数(1)求不等式的解集；(2) 若，其中，恒成立，求实数a的取值范围。

2019年山东省聊城市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知复数z满足（1+i）z=1+3i（i是虚数单位），则z的共轭复数为（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣i D．2+i2．已知集合A={x||x﹣1|≤2}，B={x|x=2n﹣1，n∈Z}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{0，2}C．{1} D．{﹣1，1，3}3．已知向量=（﹣1，2），=（2，m），=（7，1），若∥，则•=（）A．8 B．10 C．15 D．184．已知两条直线m，n和两个不同平面α，β，满足α⊥β，α∩β=l，m∥α，n⊥β，则（）A．m∥n B．m⊥n C．m∥l D．n⊥l5．“a+b=1”是“直线x+y+1=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知一个样本为x，1，y，5，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．27．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出S=（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16π﹣B．16π﹣C．8π﹣ D．8π﹣9．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F，作圆x2+y2=的一条切线，切点为E，延长FE与双曲线的右支交于点P，若E是线段FP的中点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}为等差数列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，设数列{a n}的前n项和为S n，S15的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A．500 B．600 C．700 D．800二、填空题11．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），则f（1﹣）=．12．在区间[﹣1，1]上任取一个数a，则曲线y=x3﹣x2在点x=a处的切线的倾斜角为锐角的概率为．13．若（x﹣）n的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则直线y=nx 与曲线y=x2围成的封闭图形的面积为．14．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式是．15．对于函数f（x），方程f（x）=x的解称为f（x）的不动点，方程f[f（x）]=x 的解称为f（x）的稳定点．①设函数f（x）的不动点的集合为M，稳定点的集合为N，则M⊆N；②函数f（x）的稳定点可能有无数个；③当f（x）在定义域上单调递增时，若x0是f（x）的稳定点，则x0是f（x）的不动点；上述三个命题中，所有真命题的序号是．三、解答题16．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=2ccosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=2，求△ABC周长的取值范围．17．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，E为棱AD的中点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ADC=90°，ED=BC=2，EB=3，F为棱PC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；（Ⅱ）若二面角F﹣BE﹣C为60°，求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．18．（12分）设S n，T n分别是数列{a n}和{b n}的前n项和，已知对于任意n∈N*，都有3a n=2S n+3，数列{b n}是等差数列，且T5=25，b10=19．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，数列{c n}的前n项和为R n，求使R n＞2019成立的n的取值范围．19．（12分）以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的《中国诗词大会》，是央视科教频道推出的一档大型演播室文化益智节目，每季赛事共分为10场，每场分个人追逐赛与擂主争霸赛两部分，其中擂主争霸赛在本场个人追逐赛的优胜者与上一场擂主之间进行，一共备有9道抢答题，选手抢到并答对获得1分，答错对方得1分，当有一个选手累计得分达到5分时比赛结束，该选手就是本场的擂主，在某场比赛中，甲、乙两人进行擂主争霸赛，设每个题目甲答对的概率都为，乙答对的概率为，每道题目都有人抢答，且每人抢到答题权的概率均为，各题答题情况互不影响．（Ⅰ）求抢答一道题目，甲得1分的概率；（Ⅱ）现在前5题已经抢答完毕，甲得2分，乙得3分，在接下来的比赛中，设甲的得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．20．（13分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，M，N为椭圆上的两个不同的动点，直线OM，ON的斜率分别为k1和k2，是否存在常数P，当k1k2=P时△MON的面积为定值；若存在，求出P的值，若不存在，说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=（x2+a）e x（a是常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）与x轴相切．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设方程f（x）=x2+x的所有根之和为S，且S∈（n，n+1），求整数n的值；（Ⅲ）若关于x的不等式mf（x）+2x+2＜2e x在（﹣∞，0）内恒成立，求实数m的取值范围．2019年山东省聊城市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知复数z满足（1+i）z=1+3i（i是虚数单位），则z的共轭复数为（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣i D．2+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（1+i）z=1+3i（i是虚数单位），∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（1+3i），化为2z=4+2i，∴z=2+i．则z的共轭复数为2﹣i．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合A={x||x﹣1|≤2}，B={x|x=2n﹣1，n∈Z}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{0，2}C．{1} D．{﹣1，1，3}【考点】交集及其运算．【分析】由绝对值不等式的解法求出A，由条件和交集的运算求出A∩B．【解答】解：由题意知，A={x||x﹣1|≤2}={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，又B={x|x=2n﹣1，n∈Z}是奇数集，则A∩B={﹣1，1，3}，故选D．【点评】本题考查交集及其运算，以及绝对值不等式的解法，属于基础题．3．已知向量=（﹣1，2），=（2，m），=（7，1），若∥，则•=（）A．8 B．10 C．15 D．18【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的坐标运算性质、向量公式定理即可得出．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（2，m），∥，∴﹣m﹣2×2=0，解得m=﹣4，∴=（2，﹣4），∵=（7，1），∴•=2×7﹣4×1=10，故选：B【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、向量公式定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知两条直线m，n和两个不同平面α，β，满足α⊥β，α∩β=l，m∥α，n⊥β，则（）A．m∥n B．m⊥n C．m∥l D．n⊥l【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用直线与平面平行于垂直的关系，平面与平面垂直的关系判断选项即可．【解答】解：两条直线m，n和两个不同平面α，β，满足α⊥β，α∩β=l，m∥α，n⊥β，则m，n的位置关系是，平行，相交或异面，直线n与l的位置关系是垂直，如图：故选：D．【点评】本题考查空间直线与平面，平面与平面的位置关系的判断与应用，考查空间想象能力．5．“a+b=1”是“直线x+y+1=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由直线x+y+1=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切可得，从而可得a，b 之间的关系，即可作出判断【解答】解：直线x+y+1=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切∴=，∴|a+b+1|=2，∴a+b=1或a+b=﹣3，∴“a+b=1”是“直线x+y+1=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题以充分与必要条件的判断为载体，主要考查了直线与圆相切的性质的应用．6．已知一个样本为x，1，y，5，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】求出x+y=2，求出xy的最小值，根据方差的定义求出其最小值即可．【解答】解：样本x，1，y，5的平均数为2，故x+y=2，故xy≤1，故S2= [（x﹣2）2+（y﹣2）2+10]= +（x2+y2）≥+•2xy≥+×2=3，故方差的最小值是3，故选：C．【点评】本题考查了求数据的方差和平均数问题，考查不等式的性质，是一道基础题．7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出S=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据条件确定跳出循环的i值，利用裂项相消法计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵输入n=10，∴跳出循环的i值为12，∴输出S=++…+=++…+=（1﹣）×=．故选：B．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16π﹣B．16π﹣C．8π﹣ D．8π﹣【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积V=﹣=8π﹣．故选：D．【点评】本题考查了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F，作圆x2+y2=的一条切线，切点为E，延长FE与双曲线的右支交于点P，若E是线段FP的中点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的特点知原点O为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF，通过勾股定理得到a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．【解答】解：如图，记右焦点为F′，则O为FF′的中点，∵E为PF的中点，∴OE为△FF′P的中位线，∴PF′=2OE=a，∵E为切点，∴OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∵点P在双曲线上，∴PF﹣PF′=2a，∴PF=PF′+2a=3a，在Rt△PFF′中，有：PF2+PF′2=FF′2，∴9a2+a2=4c2，即10a2=4c2，∴离心率e===，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，注意解题方法的积累，属于中档题．10．已知数列{a n}为等差数列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，设数列{a n}的前n项和为S n，S15的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A．500 B．600 C．700 D．800【考点】数列的应用．【分析】利用已知条件求出公差的最大值以及公差的最小值，即可求解S15的最大值为M，最小值为m推出结果．【解答】解：数列{a n}为等差数列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，设数列{a n}的前n 项和为S n，S15的最大值为M，最小值为m，可知公差最大值时，M最大，公差最小时，m最小，可得a1=1，a2=5，此时公差d=4是最大值，M=S15=1×15+=435，a2=5，a5=8，此时d=1，m=S15=4×15=165．M+m=435+165=600．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质的应用，考查转化思想以及计算能力，判断数列和何时取得最值是解题的关键．二、填空题11．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），则f（1﹣）=﹣．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据已知，先求出f（﹣1）的值，进而根据奇函数的性质，可得答案．【解答】解：∵当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），∴f（﹣1）=log2=，又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（1﹣）=﹣f（﹣1）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度中档．12．在区间[﹣1，1]上任取一个数a，则曲线y=x3﹣x2在点x=a处的切线的倾斜角为锐角的概率为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得函数的导数，可得曲线在x=a处切线的斜率，由题意可得斜率大于0，解不等式可得a的范围，再由几何概率的公式，求出区间的长度相除即可得到所求．【解答】解：y=x3﹣x2在的导数为y′=2x2﹣x，则曲线y=x3﹣x2在点x=a处的切线的斜率为k=2a2﹣a，倾斜角为锐角，即为2a2﹣a＞0，解得a＞或a＜0，由﹣1≤a≤1，可得＜a≤1或﹣1≤a＜0，则切线的倾斜角为锐角的概率为=．故答案为：．【点评】本题考查导数的应用：求切线的斜率和倾斜角，考查不等式的解法，同时考查几何概率的求法，注意运用区间的长度，考查运算能力，属于中档题．13．若（x﹣）n的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则直线y=nx 与曲线y=x2围成的封闭图形的面积为．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】先确定n的值，再求出直线y=nx与曲线y=x2交点坐标，利用定积分求得直线y=nx与曲线y=x2围成图形的面积．【解答】解：∵（x﹣）n的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，∴C n1=C n3，∴n=4，由直线y=4x与曲线y=x2，可得交点坐标为（0，0），（4，16），∴直线y=nx与曲线y=x2围成的封闭区域面积为（4x﹣x2）dx=（2x2﹣x3）|=．故答案为：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用定积分求曲边形的面积，属于基础题．14．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式是g（x）=2sin（2x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】通过函数的图象求出A，求出函数的周期，利用周期公式求出ω，函数过（﹣，2），结合φ的范围，求出φ，推出函数的解析式，通过函数图象的平移推出结果．【解答】解：∵由图象知A=2，T=﹣（﹣）=，∴T=π⇒ω=2，∵2sin[2×（﹣）+φ]=2，∴可得：2×（﹣）+φ=2kπ，k∈Z，∵﹣π＜φ＜π，∴得：φ=，可得：f（x）=2sin（2x+），∴则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x+），故答案为：g（x）=2sin（2x+）．【点评】本题考查学生的识图能力，函数的解析式的求法，图象的变换，考查计算能力，属于基本知识的考查．15．对于函数f（x），方程f（x）=x的解称为f（x）的不动点，方程f[f（x）]=x 的解称为f（x）的稳定点．①设函数f（x）的不动点的集合为M，稳定点的集合为N，则M⊆N；②函数f（x）的稳定点可能有无数个；③当f（x）在定义域上单调递增时，若x0是f（x）的稳定点，则x0是f（x）的不动点；上述三个命题中，所有真命题的序号是①②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】若M=∅，则M⊆N显然成立；若M≠∅，由t∈M，证明t∈N，说明①正确；举例说明②正确；利用反证法说明③正确．【解答】解：①若M=∅，则M⊆N显然成立；若M≠∅，设t∈M，则f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，∴t∈N，故M⊆N，∴①正确；②取f（x）=x，则方程f（x）=x的解有无数个，即不动点有无数个，∵不动点一定是稳定点，∴函数f（x）的稳定点可能有无数个，故②正确；③设x0是f（x）的稳定点，则f（f（x0））=x0，设f（x0）＞x0，f（x）是R上的增函数，则f（f（x0））＞f（x0），∴x0＞f（x0），矛盾；若x0＞f（x0），f（x）是R上的增函数，则f（x0）＞f（f（x0）），∴f（x0）＞x0矛盾．故f（x0）=x0，∴x0是函数f（x）的不动点，故③正确．∴正确命题的序号是①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查函数单调性的性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．三、解答题16．（12分）（2019•聊城一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=2ccosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=2，求△ABC周长的取值范围．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得sinC=2sinCcosC，可得cosC=，从而解得C的值．（Ⅱ）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得a+b+c=2+4sin（A+），利用A的范围，利用正弦函数的性质可求sin（A+）的范围，即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，…（2分）∴sin（A+B）=2sinCcosC，∴sinC=2sinCcosC，…（4分）∴cosC=，故C=；…（6分）（Ⅱ）由正弦定理可得，于是，a+b+c=2+4（sinA+sinB）=2+4[sinA+sin（﹣A）]=2+4sin （A+），…（8分）∵锐角△ABC中，C=，∴A∈（，），A+∈（，），∴sin（A+）∈（，1]，可得：a+b+c∈（6+2，6]，…（11分）∴△ABC周长的取值范围为：（6+2，6]，…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（12分）（2019•聊城一模）在四棱锥P﹣ABCD中，E为棱AD的中点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ADC=90°，ED=BC=2，EB=3，F为棱PC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；（Ⅱ）若二面角F﹣BE﹣C为60°，求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC交BE于点M，连接FM，证明FM是△PAC的中位线，得出PA∥FM，证明PA∥面BEF；（Ⅱ）证明PE⊥平面ABCD，PE⊥BE，PE⊥ED，以E为坐标原点，EB、ED、EP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设PE=m，表示出、，求出平面BEF的一个法向量，取平面ABCD的一个法向量，利用cos＜，＞是二面角的余弦值，求出直线PB与平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AC交BE于点M，连接FM，∵AD∥BC，且BC=AE，∴AM=MC，又PF=FC，∴线段FM是△PAC的中位线，∴FM∥AP，∵FM⊂面BEF，PA⊄面BEF，∴PA∥面BEF；（Ⅱ）∵AD∥BC，ED=BC，∴四边形BCDE是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴四边形BCDE是矩形，∴AD⊥BE；又PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BE，PE⊥ED；以E为坐标原点，EB，ED，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设PE=m，则E（0，0，0），B（3，0，0），P（0，0，m），C（3，2，0），F（，1，），∴=（3，0，0），=（，1，）；设平面BEF的一个法向量为=（x，y，z），由，得；令z=1，得=（0，﹣m，1），取平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1）；∴cos＜，＞===，由二面角F﹣BE﹣C为60°，得=，解得m=2；∵PE⊥平面ABCD，∴∠PBE就是直线PB与平面ABCD所成角，在Rt△PBE中，tan∠PBE==，∴直线PB与平面ABCD所成角的正切值为．【点评】本题考查了空间中直线与平面的位置关系以及线面角、二面角的计算问题，是综合性题目．18．（12分）（2019•聊城一模）设S n，T n分别是数列{a n}和{b n}的前n项和，已知对于任意n∈N*，都有3a n=2S n+3，数列{b n}是等差数列，且T5=25，b10=19．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，数列{c n}的前n项和为R n，求使R n＞2019成立的n的取值范围．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I）由3a n=2S n+3，可得n=1时，3a1=2a1+3，解得a1=3．n≥2时，3a n﹣1=2S n﹣1+3，可得a n=3a n﹣1，利用等比数列的通项公式可得a n．设等差数列{b n}的公差为d，由T5=25，b10=19．可得5b1+d=25，b1+9d=19，联立解出即可得出．（II）由（I）可得：c n====﹣，利用“裂项求和”方法可得R n．由于c n＞0，故数列{c n}单调递增，即可得出．【解答】解：（I）由3a n=2S n+3，可得n=1时，3a1=2a1+3，解得a1=3．n≥2时，3a n﹣1=2S n﹣1+3，可得3a n﹣3a n﹣1=2S n﹣2S n﹣1=2a n，可得a n=3a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为3，首项为3．∴a n=3n．设等差数列{b n}的公差为d，∵T5=25，b10=19．∴5b1+d=25，b1+9d=19，联立解得b1=1，d=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）由（I）可得：c n====﹣，∴数列{c n}的前n项和为R n=++…+=﹣3，由于c n＞0，∴数列{c n}单调递增，R7=817.125＜2019，R8=2184＞2019．∴使R n＞2019成立的n的取值范围是n≥8．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2019•聊城一模）以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的《中国诗词大会》，是央视科教频道推出的一档大型演播室文化益智节目，每季赛事共分为10场，每场分个人追逐赛与擂主争霸赛两部分，其中擂主争霸赛在本场个人追逐赛的优胜者与上一场擂主之间进行，一共备有9道抢答题，选手抢到并答对获得1分，答错对方得1分，当有一个选手累计得分达到5分时比赛结束，该选手就是本场的擂主，在某场比赛中，甲、乙两人进行擂主争霸赛，设每个题目甲答对的概率都为，乙答对的概率为，每道题目都有人抢答，且每人抢到答题权的概率均为，各题答题情况互不影响．（Ⅰ）求抢答一道题目，甲得1分的概率；（Ⅱ）现在前5题已经抢答完毕，甲得2分，乙得3分，在接下来的比赛中，设甲的得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）设“抢答一道题目，甲得1分”为事件A，则事件A发生当且仅当甲抢到答题权后答对或乙抢到答题权后答错．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．（II）在接下来的比赛中，甲的得分为ξ取值为0，1，2，3．P（ξ=0）=，P（ξ=1）=××，P（ξ=2）=×，P（ξ=3）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）．【解答】解：（I）设“抢答一道题目，甲得1分”为事件A，则事件A发生当且仅当甲抢到答题权后答对或乙抢到答题权后答错．∴P（A）=+=．（II）在接下来的比赛中，甲的得分为ξ取值为0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）=××=，P（ξ=2）=×=，P（ξ=3）=1﹣﹣﹣=．∴ξ的分布列：ξ0123PEξ=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2019•聊城一模）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，M，N为椭圆上的两个不同的动点，直线OM，ON的斜率分别为k1和k2，是否存在常数P，当k1k2=P时△MON的面积为定值；若存在，求出P的值，若不存在，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，一个顶点在抛物线x2=4y的准线上，列出方程组，求出a=2，b=1，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）当直线MN存在斜率时，设其方程为y=kx+m，（m≠0），由，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，求出存在常数P，当k1k2=P时△MON的面积为定值1；当直线MN不存在斜率时，若k1k2=﹣，则|MN|=，d=，此时S△MON=1．由此求出存在常数p=﹣，当k1k2=p时，△MON的面积为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．x2=4y的准线方程为y=﹣1，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）当直线MN存在斜率时，设其方程为y=kx+m，（m≠0），由，消去y，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴|MN|===，点O到直线y=kx+m的距离d=，==2，====，设=p，则4k2=（1﹣4p）m2+4p，于是，由S为定值，得为定值，△MON=1．从而4p+1=0，解得p=﹣，此时，S△MON当直线MN不存在斜率时，若k1k2=﹣，则|MN|=，d=，此时S△MON=1．综上，存在常数p=﹣，当k1k2=p时，△MON的面积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积是否为定值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、椭圆性质的合理运用．21．（14分）（2019•聊城一模）已知函数f（x）=（x2+a）e x（a是常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）与x轴相切．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设方程f（x）=x2+x的所有根之和为S，且S∈（n，n+1），求整数n的值；（Ⅲ）若关于x的不等式mf（x）+2x+2＜2e x在（﹣∞，0）内恒成立，求实数m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）设曲线y=f（x）于x轴的切点为（x0，0），则．解得a．（Ⅱ）方程f（x）=x2+x可化为z=0或xe x﹣x﹣1=0．而方程xe x﹣x﹣1=0．的根就是函数g（x）=e x﹣﹣1的零点．求出g（x）=e x﹣﹣1的零点范围即可；（Ⅲ）不等式mf（x）+2x+2＜2e x可化为，设h（x）=，只需h（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立．分①当m≤1，②当m＞1讨论求出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（x2+2x+a）e x，x∈R，设曲线y=f（x）于x轴的切点为（x0，0），则．即，解得a=0．（Ⅱ）方程f（x）=x2+x可化为z=0或xe x﹣x﹣1=0．而方程xe x﹣x﹣1=0．的根就是函数g（x）=e x﹣﹣1的零点．∵，∴g（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）都递增．∵，．∴函数g（x）在（﹣∞，0）内有唯一零点x1，x1∈（﹣，﹣1）．∵，∴函数g（x）在（0，+∞）内有唯一零点x2，x2∈（，1）．．∴方程f（x）=x2+x的所有根之和为S=0+x1+x2∈（﹣1，0）．（Ⅲ）不等式mf（x）+2x+2＜2e x可化为，设h（x）=，由题意得h（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立．，∵恒成立．①当m≤1时，h′（x）＞0在（﹣∞，0）恒成立，∴h（x）在（﹣∞，0）为增函数，又∵h（0）=0，∴当x＜0时，h（x）＜0，即h（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立．②当m＞1时，令h′（x）=0，得x=0或x=﹣lnm，在（﹣lnm，0）上h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（﹣lnm，0）为减函数，又∵h（0）=0，∴当x∈（﹣lnm，0）时，h（x）＞0，不符合题意．综上：实数m的取值范围（﹣∞，1]．【点评】本题考查了导数的综合应用，函数与方程思想，恒成立中的参数问题，属于难题．。

2019年山东省聊城市高考数学一模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知函数y=lg（x+1）的定义域为集合A，集合B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. B. C. 1， D. 0，1，2.设z=+2+i，则复数z的虚部为（）A. 2B. 2iC. 1D. i3.已知向量=（1，1），2+=（4，3），=（x，-2），若∥ ，则x的值为（）A. 4B.C. 2D.4.记S n为等比数列{a n}的前n项和，若2S3=S4+S5，a1=1，则a6=（）A. 1B. 32C. 64D.5.AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9日C. 这12天的AQI指数值的中位数是90D. 从4日到9日，空气质量越来越好6.设函数f（x）=sin x-cos x，若对于任意的x∈R，都有f（2θ-x）=f（x），则sin（2θ-）=（）A. B. C. D.7.如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）A.B.C.D.8.设函数f（x）=+a，若f（x）为奇函数，则不等式f（x）＞1的解集为（）A. B. C. D.9.已知圆O的半径为1，在圆O内随机取一点M，则过点M的所有弦的长度都大于的概率为（）A. B. C. D.10.数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（）A. B. 5 C. 6 D.11.已知双曲线=1（a＞0，＞0）的右焦点为F，虚轴的上端点为B，P为左支上的一个动点，若△PBF周长的最小值等于实轴长的3倍，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=，，＞，若关于x的方程f（x）=x+a无实根，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为______．14.某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从6名获得一等奖的同学中选出3名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为______．（用数字作答）15.记数列{a n}的前n项和为S n，若S n=n2+n，则数列{}的前14项的和等于______16.抛物线C：y2=4x的焦点为F，动点P在抛物线C上，点A（-1，0），当取得最小值时，直线AP的方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3BD，cos∠BAD=．（1）求cos∠ABD；（2）若AD=4，CD=3，求BC．18.在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AC=2，AA1=AB=4，∠BAC=120°，∠ACC1=60°．（1）证明：AC1⊥BC；（2）求直线CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值．19.已知平行四边形OMAN的三个顶点M，A，N都在椭圆C：+y2=1，O为坐标原点．（1）当点A的坐标为（1，）时，求直线MN的方程；（2）证明：平行四边形OMAN的面积为定值．20.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg时按1kg计算）需再收5元．公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：（1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在[100，400）的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）21.已知函数f（x）=a ln x+x2+（a+2）x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜0，若不相等的两个正数x1，x2满足f（x1）=f（x2），证明：f′（）＞0．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），倾斜角为α的直线l经过点P（0，）（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；（2）若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求|PM|+|PN|的最大值．23.已知函数f（x）=|x-a|+2|x+1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≤4的解集；（2）设不等式f（x）≤|2x+4|的解集为M，若[0，3]⊆M，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由x+1＞0得x＞-1，即函数的定义域为A=（-1，+∞），∵B={-1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}，故选：C．求出集合A，结合集合的交集定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合A的等价条件是解决本题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵z=+2+i=，∴复数z的虚部为2．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：；∵；∴x+4=0；∴x=-4．故选：B．可求出，从而根据得出x+4=0，解出x=-4．考查向量坐标的减法和数乘运算，平行向量的坐标关系．4.【答案】D【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵2S3=S4+S5，a1=1，∴2×=+，化为：q2+q-2=0，解得q=-2．则a6=（-2）5=-32．故选：D．设等比数列{a n}的公比为q≠1，根据2S3=S4+S5，a1=1，利用求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92，故A正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI指数值为67，故B正确；这12天的AQI指数值的中位数是=99.5，故C不正确；从4日到9日，AQI数值越来越低，空气质量越来越好，故D正确，故选：C．对4个选项分别进行判断，可得结论．本题考查AQI指数值的统计数据的分析，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：f（x）=sinx-cosx=，由f（2θ-x）=f（x），得，∴，k∈Z（舍），或，k∈Z．则2θ=，k∈Z．∴sin（2θ-）=sin（）=-cos=-．故选：B．利用辅助角公式化积，结合f（2θ-x）=f（x）求得2θ，代入sin（2θ-），再由诱导公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及两角差的正弦，是基础题．7.【答案】D【解析】解：取BC的中点H，连接EH，AH，∠EHA=90°，设AB=2，则BH=HE=1，AH=，所以AE=，连接ED，ED=，因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD，在△EAD中cos∠EAD==，故选：D．由题意知异面直线AE与BC所成角即为∠EAD，在△EAD中可求角．本题考查异面直线所成的角，属于简单题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f（x）=+a，其定义域为{x|x≠0}若f（x）为奇函数，则f（-x）+f（x）=0，即（+a）+（+a）=-1+2a=0，解可得a=，则f（x）=+又由y=e x-1在（0，+∞）为增函数其y＞0，则f（x）=+在（0，1）上为减函数且f（x）＞0，则f（x）在（-∞，0）上减函数且f（x）＜0，又由f（ln3）=+=1，则f（x）＞1⇒f（x）＞f（ln3），则有0＜x＜ln3，即不等式的解集为（0，ln3）；故选：C ．根据题意，由奇函数的性质可得f （-x ）+f （x ）=0，即（+a ）+（+a ）=-1+2a=0，解可得a=，即可得f （x ）=+，据此分析函数f （x ）的单调性以及值域，结合解析式可得f （ln3）=1，据此分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，关键是利用奇函数的性质求出a 的值，属于基础题． 9.【答案】D【解析】解：若过点M 的所有弦的长度都大于，则OM≤，则M 点落在以O 为圆心，以为半径的圆内， 由测度比是面积比可得，过点M 的所有弦的长度都大于的概率为．故选：D ．由题意求得M 点到O 的距离的范围，再由测度比是面积比得答案． 本题考查几何概型，明确过M 且与OM 垂直的弦长最短是关键，是基础题． 10.【答案】B【解析】解：根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为V=V 三棱柱-2V 三棱锥=×3×1×4-2×××3×1×1=5（立方丈）． 故选：B ．根据三视图知该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，结合图中数据计算该几何体的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．11.【答案】A【解析】解：由题意可得B（0，b），F（c，0），设F'（-c，0），由双曲线的定义可得|PF|-|PF'|=2a，|PF|=|PF'|+2a，|BF|=|BF'|=，则△BPF的周长为|PB|+|PF|+|BF||=|PB|+|PF'|+2a+|BF'|≥2|BF'|+2a，当且仅当B，P，F'共线，取得最小值，且为2a+2，由题意可得6a=2a+2，即4a2=b2+c2=2c2-a2，即5a2=2c2，则e==，故选：A．由题意求得B，F的坐标，设出F'，运用双曲线的定义可得|PF|=|PF'|+2a，则△BPF的周长为|PB|+|PF|+|BF|=|PB|+|PF'|+2a+，运用三点共线取得最小值，可得a，b，c的关系式，由a，b，c的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和转化为三点共线取得最小值，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：因为函数f（x）=，关于x的方程f（x）=x+a无实根等价于函数y=f（x）的图象与直线y=x+a无交点，设直线y=x+a与f（x）=（x＞0）切与点P（x0，y0），由f′（x）=，由已知有：，解得x0=1，则P（1，0），则切线方程为：y=x-1，由图知：函数y=f（x）的图象与直线y=x+a无交点时实数a的取值范围为实数a 的取值范围为-1＜a＜0，故选：B．由关于x的方程f（x）=x+a无实根等价于函数y=f（x）的图象与直线y=x+a无交点，由利用导数求函数图象的切线问题，设直线y=x+a与f（x）=（x＞0）切与点P（x0，y0），由f′（x）=，求得切线方程为：y=x-1，由图可知：函数y=f（x）的图象与直线y=x+a无交点时实数a的取值范围为实数a的取值范围为-1＜a＜0，得解.本题考查了方程的解的问题与函数图象的交点问题及利用导数求函数图象的切线问题，属中档题.13.【答案】14【解析】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z=x+2y过点A时取得最大值，由，解得A（2，6），代入计算z=2+2×6=14，所以z=x+2y的最大值为14．故答案为：14．画出约束条件表示的平面区域，由图形找出最优解，计算目标函数的最大值．本题考查了利用数形结合法求简单的线性规划应用问题，是基础题．14.【答案】96【解析】解：第一步：先选3人，甲、乙至少有一人参加，用间接法，有C63-C43=20-4=16，第二步，将3人排序，有A33=6，故不同发言顺序的种数为16×6=96故答案为：96根据题意，第一步：先选3人，甲、乙至少有一人参加，用间接法，第二步，将3人排序，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，正确分步是关键．15.【答案】【解析】解：S n=n2+n，可得a1=S1=2，n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=n+1，上式对n=1也成立，==-，则前14项的和为-+-+…+-=-=．故答案为：．运用数列的递推式，可得a n=n+1，==-，由裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．16.【答案】x+y+1=0或x-y+1=0【解析】解：设P点的坐标为（4t2，4t），∵F（1，0），A（-1，0）∴|PF|2=（4t2-1）2+16t2=16t4+8t2+1|PA|2=（4t2+1）2+16t2=16t4+24t2+1∴（）2==1-=1-≥1-=1-=，当且仅当16t2=，即t=±时取等号，此时点P坐标为（1，2）或（1，-2），此时直线AP的方程为y=±（x+1），即x+y+1=0或x-y+1=0，故答案为：x+y+1=0或x-y+1=0，设P点的坐标为（4t2，4t），根据点与点的距离公式，可得（）2==1-，再根据基本求出t的值，即可求出直线AP的方程本题考察了抛物线的定义，转化为基本不等式求解，属于中档题．17.【答案】解：（1）设BD=x，则AB=3x，∵cos∠BAD=．由余弦定理可得，解可得，AD=2x，由余弦定理可得，cos∠ABD===；（2）∵AD=4=2x，∴x=2，∵cos∠CDB=cos∠ABD=，CD=3，BD=2，在△BCD中，由余弦定理可得，BC2=BD2+DC2-2DB•DC•cos∠BDC=4+9-2×2×3×=9∴BC=3．【解析】（1）设BD=x，则AB=3x，由cos∠BAD=，结合余弦定理可求AD，然后再由余弦定理，cos∠ABD=可求；（2）由AD=4=2x，可求x=2，进而由cos∠CDB=cos∠ABD=，CD=3，BD=2，在△BCD中，由余弦定理可得，BC2=BD2+DC2-2DB•DC•cos∠BDC可求BC．本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是把图形中的问题转化为数学问题．18.【答案】证明：（1）∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AC=2，AA1=AB=4，∠BAC=120°，∠ACC1=60°．∴AC1==2，∴ =CC12，∴AC1⊥AC，∵平面ACC1A1∩平面ABC=AC，∴AC1⊥平面ABC，∴AC1⊥BC．解：（2）以A为原点，AB为y轴，AC1为z轴，建立空间直角坐标系，C（，-1，0），B1（-，5，2），B（0，4，0），A（0，0，0），=（-2，6，2），=（0，4，0），=（-，5，2），设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，1），设直线CB1与平面ABB1A1所成角为θ，则sinθ===，∴直线CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值为．【解析】（1）推导出AC1⊥AC，从而AC1⊥平面ABC，由此能证明AC1⊥BC．（2）以A为原点，AB为y轴，AC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.【答案】解：（1）∵点A的坐标为（1，），∴OA的中点坐标为（，），∵四边形OMAN为平行四边形，∴MN的中点坐标为（，），设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=1，y1+y2=∴ ，两式相减可得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，即（x1-x2）+（y1-y2）=0，∴k MN==-，∴直线MN的方程为y-=-（x-），即x+y-1=0，证明（2）：设直线MN的方程为：y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点，设M（x1，y1），N（x2，y2），将其代入+y2=1得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，△=16k2m2-8（2k2+1）（m2-1）＞0即2k2+1＞m2，又x1+x2=-，x1•x2=，∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=-+2m=，∵四边形OMPAN为平行四边形．∴=+=（x1+x2，y1+y2）=（-，）∴点A坐标为（-，）∵点A在椭圆C上，∴+=1，整理得4m2=2k2+1∴|MN|=•=•=•=•∵点O到直线MN的距离为d=，∴S OMAN=2×|MN|•d=••=．【解析】（1）根据点差法即可求出直线MN的方程，（2）将直线MN的方程代入椭圆方程，由向量的坐标运算，即可求得A点坐标，即可求出整理得4m2=2k2+1，利用韦达定理，弦长公式即可及点到直线的距离公式求得平行四边形OMAN的面积本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，韦达定理，弦长公式，向量的坐标运算，考查计算能力，属于难题．20.【答案】解：（1）样本中包裹件数在[100，400）内的天数为48，频率为=，可估计概率为，未来3天中，包裹件数在[100，400）间的天数X服从二项分布，即X～B（3，），故所求概率为P=••=；2①故样本中每件快递收取的费用的平均值为=×（10×43+15×30+20×15+25×8+30×4）=15（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元．②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加15×=5（元），将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为235×5-2×100=975（元）因975＜1000，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．【解析】（1）由样本中包裹件数在[100，400）内的天数求出频率，用频率估计概率，由题意知随机变量X服从二项分布，由此求出对应的概率；（2）①列表求出样本中快递费用及包裹件数，由此求出样本中每件快递收取费用的平均值；②根据题意将题目中的天数转化为频率，若不裁员，计算公司平均每日利润的期望值；若裁员1人，计算公司平均每日利润的期望值，比较得出结论．本题考查了概率和离散型随机变量的分布列及数学期望的应用问题，也考查了二项分布应用问题，是中档题．21.【答案】解：（1）f′（x）=+2x+（a+2）==，x＞0，当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，当a ＜0时，当0＜x ＜- 时，f ′（x ）＜0，当x ＞-时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（0，-）上单调递减，在（-，+∞）上单调递增， 证明:（2）∵f （x 1）=f （x 2），∴a ln x 1+x 12+（a +2）x 1=a ln x 2+x 22+（a +2）x 2，∴a （ln x 1+ln x 2）=x 22-x 12+（a +2）（x 2-x 1）=（x 2-x 1）（x 2+x 1+a +2） ∴x 2+x 1+a +2=，∵f ′（x ）=+2x +（a +2）， ∴f ′（）=+x 2+x 1+a +2=+=a （-）=（-ln）=（-ln），不妨设x 2＞x 1＞0，则＞1，要证明：f （）＞0，a ＜0，只要证-ln＜0，令=t ＞1，∴g （t ）=-ln t =2--ln t ， ∴g ′（t ）=- ==-＜0，∴g （t ）在（1，+∞）上单调递减， ∴g （t ）＜g （1）=-ln1=0， ∴-ln＜0，∴f ′（）＞0．【解析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可判断， （2）根据不相等的两个正数x 1，x 2满足f （x 1）=f （x 2），可得x 2+x 1+a+2=，再得到f′（）=（-ln），令=t ＞1，构造函数g （t ）=-lnt ，利用导数求出函数的最值即可证明．本题考查了导数和函数的单调性的关系，导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，考查了函数与方程的思想，分类讨论的思想，属于难题．22.【答案】解：（1）由消去θ得+y2=1，所以曲线C的普通方程为+y2=1，直线l的参数方程为（t为参数），（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入到+y2=1中并整理得：（+sin2α）t2+2t sinα+1=0，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-，t1t2=＞0，∴t1，t2同号，∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|==≤=，（当且仅当sinα=时取等），∴|PM|+|PN|的最大值为：．【解析】（1）由消去θ得+y2=1，直线l的参数方程为（t为参数），（2）将直线l的参数方程代入到曲线C的方程后，根据参数的几何意义可得最大值．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）a=1时，f（x）=|x-1|+2|x+1|，若f（x）≤4，x≥1时，x-1+2x+2≤4，解得：x≤1，故x=1，-1＜x＜1时，1-x+2x+2≤4，解得：x≤1，故-1＜x＜1，x≤-1时，1-x-2x-2≤4，解得：x≥-，故-≤x≤-1，综上，不等式的解集是[-，1]；（2）若[0，3]⊆M，则问题转化为|x-a|+2|x+1|≤|2x+4|在[0，3]恒成立，即|x-a|≤2x+4-2x-2=2，故-2≤x-a≤2，故-2-x≤-a≤2-x在[0，3]恒成立，即x-2≤a≤x+2在[0，3]恒成立，故1≤a≤2，即a的范围是[1，2]．【解析】（1）代入a的值，通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）问题转化为|x-a|≤2即x-2≤a≤x+2在[0，3]恒成立，求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．。

山东省聊城市2019届高三数学一模试卷理（含解析）山东省聊城市2019届高三一模数学（理）试题一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数的定义域为集合，集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】先求出函数的定义域为再求得解. 【详解】由得即函数的定义域为故选【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查集合的交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2.设，则复数的虚部为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】先求出z12i,再求复数的虚部得解. 【详解】，复数的虚部为. 故选【点睛】本题主要考查复数的加法和除法运算，考查复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3.已知向量，，若，则的值为（）A. B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】先求出，再利用求出的值. 【详解】故选【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4.记为等比数列的前项和，若，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据得到，求出q的值，再求的值. 【详解】由题得化为解得则. 故选【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式，考查等比数列的通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5.AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是 A. 这12天中有6天空气质量为“优良” B. 这12天中空气质量最好的是4月9日 C. 这12天的AQI指数值的中位数是90 D. 从4日到9日,空气质量越来越好【答案】C 【解析】由图可知,不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. 最小的一天为10日,所以B对,不选.中位为是,C错.从图中可以4日到9日越来越小,D对.所以选C. 6.设函数，若对于任意的，都有，则（）A. B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】先化简已知得，由得x 是函数fx的对称轴，得再求【详解】由得x是函数fx的对称轴，得故选【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 7.如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】取的中点，连接则异面直线与所成角即为，再利用余弦定理求得解. 【详解】取的中点，连接设则所以连接因为所以异面直线与所成角即为在中故选【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 8.设函数，若为奇函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】由为奇函数得到，再分析得到函数在上为减函数且在上减函数且，又由则则有，即不等式的解集为【详解】根据题意，函数，其定义域为，若为奇函数，则即解可得则. 又由在为增函数，其，则在上为减函数且则在上减函数且，又由则则有，即不等式的解集为故选【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数的单调性及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9.已知圆的半径为，在圆内随机取一点，则过点的所有弦的长度都大于的概率为（）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】先分析得到点落在以为圆心，以为半径的圆内，再利用几何概型求解. 【详解】如果过点的所有弦的长度都大于，则则点落在以为圆心，以为半径的圆内，由几何概型概率可得，过点的所有弦的长度都大于的概率为故选【点睛】本题主要考查圆和几何概型的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10.数学名著九章算术中有如下问题“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问积几何”其意思为“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽丈，长丈；上棱长丈，高丈，问它的体积是多少”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为丈，则该楔体的体积为（单位立方丈）（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体原图，再求组合体的体积得解. 【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为（立方丈）. 【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查组合体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11.已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为为左支上的一个动点，若周长的最小值等于实轴长的倍，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】先通过分析得到当且仅当共线，周长取得最小值，且为可得解方程即得解. 【详解】由题意可得设由双曲线的定义可得，则的周长为当且仅当共线，取得最小值，且为由题意可得即，即则故选【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 12.已知函数若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】关于的方程无实根等价于函数的图象与直线无交点，设直线与切与点求出切线方程为由图知函数的图象与直线无交点时实数的取值范围为实数的取值范围为【详解】因为函数所以关于的方程无实根等价于函数的图象与直线无交点，设直线与切与点由由已知有解得，则则切线方程为由图知函数的图象与直线无交点时实数的取值范围为实数的取值范围为故选【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，考查分段函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13.若满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】14 【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域如图所示，再利用数形结合分析得解. 【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数过点A时取得最大值，由解得代入计算，所以的最大值为故答案为【点睛】本题主要考查利用线性规划解答最值问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.14.某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从名获得一等奖的同学中选出名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为_____．（用数字作答）【答案】96 【解析】【分析】第一步先选人，甲、乙至少有一人参加，有第二步，将人排序，有再利用乘法分步原理即得解. 【详解】第一步先选人，甲、乙至少有一人参加，用间接法，有第二步，将人排序，有故不同发言顺序的种数为. 故答案为【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.记数列的前项和为，若，则数列的前项的和等于_____ 【答案】【解析】【分析】先利用项和公式求出n1,再利用裂项相消法求和得解. 【详解】可得时，上式对也成立，所以n1, 则前14项的和为故答案为【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 16.抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，当取得最小值时，直线的方程为_____．【答案】或【解析】【分析】设点的坐标为求出，再计算得到，再利用基本不等式求出最小值及此时直线的方程得解. 【详解】设点的坐标为当且仅当，即时取等号，此时点坐标为或，此时直线的方程为即或故答案为或【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的简单几何性质和基本不等式，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每一个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题共60分. 17.在梯形中，，，．求；若求．【答案】（1）；（2）. 【解析】【分析】（1）设则，由余弦定理可得，解可得. 由余弦定理可得（2），在中由余弦定理可得BC的值. 【详解】（1）设则，由余弦定理可得解可得，. 由余弦定理可得，；在中，由余弦定理可得，【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 18.在三棱柱中，平面平面，，，证明；求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】1先证明平面（2）以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值为【详解】1在三棱柱中，平面平面，平面平面平面以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设平面的法向量则，取得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理计算能力.19.已知平行四边形的三个顶点都在椭圆为坐标原点．当点的坐标为时，求直线的方程；证明平行四边形的面积为定值．【答案】（1）；（2）. 【解析】【分析】1先求出的中点坐标为，再利用点差法求得再写出直线MN的方程得解；（2）设直线的方程为与椭圆相交于两点，设，先利用弦长公式求出，再求出点到直线的距离为，. 【详解】点的坐标为，的中点坐标为，∵四边形为平行四边形，的中点坐标为，设，，两式相减可得，即，，∴直线的方程为，即，证明设直线的方程为与椭圆相交于两点，设，将其代入得，即，又，＝，∵四边形为平行四边形．∴点坐标为∵点在椭圆上，，整理得点到直线的距离为，【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的弦长的计算和面积定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 20.某快递公司收取快递费用的标准是重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出（不足时按计算）需再收元．公司从承揽过的包裹中，随机抽取件，其重量统计如下公司又随机抽取了天的揽件数，得到频数分布表如下以记录的天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率计算该公司天中恰有天揽件数在的概率；估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员人，每人每天揽件不超过件，每人每天工资元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）【答案】（1）；（2）该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为元；（3）公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利．【解析】【分析】样本中包裹件数在内的天数为，频率为，可估计概率为，未来天中包裹件数在间的天数，故所求概率为；（2）先列出样本中快递费用及包裹件数表，再利用平均数的公式求快递费的平均值；（3）先求出若不裁员，公司平均每日利润的期望值为（元），再求出若裁减人，公司平均每日利润的期望值为（元），因故公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利. 【详解】样本中包裹件数在内的天数为，频率为，可估计概率为，未来天中，包裹件数在间的天数X服从二项分布，即，故所求概率为；样本中快递费用及包裹件数如下表故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为元．（3）根据题意及，揽件数每增加，可使前台工资和公司利润增加（元），将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员人，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下故公司平均每日利润的期望值为（元）因故公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利．【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率的计算，考查平均值和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 21.已知函数讨论函数的单调性；设，若不相等的两个正数满足，证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】【分析】1对a分和a＜0讨论，利用导数求函数的单调性；（2）得，再求出，不妨设，则，转化为证明，令，，再证明即得证. 【详解】，，当时，在单调递增，当时，时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，，，，，，不妨设，则，所以只要证，令，t，在上单调递减，，，．【点睛】本题主要考利用导数求函数的单调性，考查利用导数求函数的最值和证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二选考题共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），倾斜角为α的直线经过点求曲线的普通方程和直线的参数方程；若直线与曲线有两个不同的交点，求的最大值．【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的参数方程（为参数）；（2）. 【解析】【分析】由消去得，所以曲线的普通方程为，直线的参数方程（为参数）；（2）将直线的参数方程（为参数）代入到中并整理得，再利用直线参数方程的几何意义求出，再利用基本不等式求解. 【详解】由消去得，所以曲线的普通方程为，直线的参数方程（为参数），将直线的参数方程（为参数）代入到中并整理得，设对应的参数分别为，则，，同号≤，（当且仅当时取等），的最大值为．【点睛】本题主要考查直线的参数方程，考查普通方程和参数方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23.已知函数．当时，求不等式解集；设不等式的解集为，若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）. 【解析】【分析】1利用零点讨论法解绝对值不等式得解；（2）若，则问题转化为|在恒成立，即，故，故在恒成立，即在恒成立，所以. 【详解】时，，若，时，，解得，故，时，，解得x≤1，故﹣1＜x＜1，x≤﹣1时，，解得，故，综上，不等式的解集是；若，则问题转化为|在恒成立，即，故，故在恒成立，即在恒成立，故，即的范围是．【点睛】本题主要考查利用零点讨论法解绝对值不等式，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

山东省聊城市2019届高三一模数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的定义域为集合，集合，则（）A. B. C. D.2.设，则复数的虚部为（）A. B. C. D.3.已知向量，，若，则的值为（）A. B. C. D.4.记为等比数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.5.AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是()A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9日C. 这12天的AQI指数值的中位数是90D. 从4日到9日,空气质量越来越好6.设函数，若对于任意的，都有，则（）A. B. C. D.7.如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.设函数，若为奇函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.9.已知圆的半径为，在圆内随机取一点，则过点的所有弦的长度都大于的概率为（）A. B. C. D.10.数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽丈，长丈；上棱长丈，高丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（）A. B. C. D.11.已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为为左支上的一个动点，若周长的最小值等于实轴长的倍，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13.若满足约束条件，则的最大值为__________．14.某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从名获得一等奖的同学中选出名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为_____．（用数字作答）15.记数列的前项和为，若，则数列的前项的和等于_____16.抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，当取得最小值时，直线的方程为_____．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每一个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在梯形中，，，．求；若求．18.在三棱柱中，平面平面，，，证明：；求直线与平面所成角的正弦值．19.已知平行四边形的三个顶点都在椭圆为坐标原点．当点的坐标为时，求直线的方程；证明：平行四边形的面积为定值．20.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出（不足时按计算）需再收元．公司从承揽过的包裹中，随机抽取件，其重量统计如下：公司又随机抽取了天的揽件数，得到频数分布表如下：以记录的天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率计算该公司天中恰有天揽件数在的概率；估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员人，每人每天揽件不超过件，每人每天工资元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）21.已知函数讨论函数的单调性；设，若不相等的两个正数满足，证明：．(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），倾斜角为α的直线经过点求曲线的普通方程和直线的参数方程；若直线与曲线有两个不同的交点，求的最大值．23.已知函数．当时，求不等式解集；设不等式的解集为，若，求的取值范围．。

2019年聊城市高考模拟试题理科数学(一)注意事项：1．本试题分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第I 卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页．满分150分，考试用时120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考生号涂写在答题卡上．3．第I 卷答题时，考生须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．4．第Ⅱ卷写在答题卡对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题． 5．考试结束后，只将答题卡交回．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知函数()lg 1y x =+的定义域为集合A ，集合{}1,0,1,2B A B =-⋂=，则 A ．{}1- B ．{}12，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2．设2z 21ii i=++-，则复数z 的虚部为 A ．2B ．2iC ．1D ．i3．已知向量()()()1,1,24,3,,2a a b c x b c x =+==-，若//，则的值为 A ．4B ．－4C ．2D ．－24．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若34512,1S S S a =+=，则6a = A ．1 B ．32 C ．64 D ．32-5．AQI 表示空气质量指数，AQI 值越小，表明空气质量越好，当AQI 值不大于100时称 空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 值的统计数据，下列叙述中不正确的是 A ．这12天中有6天空气质量为“优良” B ．这12天中空气质量最好的是4月9日 C ．这12天的AQI 值的中位数是90 D ．从4日到9日空气质量越来越好6．设函数()sin cos f x x x =-，若对于任意的x R ∈，都有()()2f x f x θ-=，则s i n 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．12-B ．12C．2D．2-7．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 ABCD8．设函数()11x f x a e =+-，若()f x 为奇函数，则不等式()1f x >的解集为 A ．()0,1B ．(),ln3-∞C ．(0，ln3)D ．(0，2)9．已知圆O 的半径为1，在圆O 内随机取一点M ，则过点M的概率为 A ．12B ．34C ．1πD ．1410．数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍(m éng)，下广三丈，袤(m ào)四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何?”．其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少?”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为(单位：立方丈) A ．5.5B ．5C ．6D ．6.511．已知双曲线()2222:0,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，P 为左支上的一个动点，若△PBF 周长的最小值等于实轴长的3倍，则该双曲线的离心率为 ABCD12．已知函数(),0,1ln ,xx x f x x x x⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>0.⎪⎩若关于x 的方程，()f x x a =+无实根，则实数a的取值范围为A. ()1,0,1e ⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭B.(－1，0)C. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0，1)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．若,x y 满足约束条件40,20,220,x y x z x y x y -+≥⎧⎪-≤=+⎨⎪+-≥⎩则的最大值为__________． 14．某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从6名获得一等奖的同学中选出3名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为________．(用数字作答) 15. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21322n S n n =+，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前14项的和等于__________．16．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点()1,0A -，当PF PA取得最小值肘，直线AP 的方程为_________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题。

2019年聊城市高考模拟试题理科数学（三）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(23)z i i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数z,再求复数z 即得解. 【详解】由题得(23)3223(23)(23)13i i i iz i i i -+===++-， 所以321313z i =-， 所以z 在复平面上对应的点为32)1313（，-， 故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算和共轭复数的求法，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知集合(){}2|lg 1A x y x ==-，{}|2xB y y ==，则AB =（ ）A. (1,1)-B. (1,)-+∞C. [0,1]D. (0,1)【答案】D 【解析】 【分析】根据对数中真数大于0求出集合A ，根据指数函数的图像和性质得出集合B ，进而求出AB详解】(){}2|lg 1A x y x ==-∴210x ->解得：11x -<<{}|11A x x ∴=-<< {}|2x B y y =={}|0B y y ∴=>{}|01A B x x ⋂=<<故选D【点睛】此题重点考查交集及其运算，易错题在于集合A 、B 分别代表对数函数的定义域和指数函数的值域。

3.若命题p ：0x ∃∈R ，20010x x -+≤，命题q ：0x ∀<，x x >.则下列命题中是真命题的是（ ）A. p q ∧B. ()p q ∧⌝C. ()p q ⌝∧D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】C 【解析】 【分析】先判断命题p 和q 的真假，再判断选项得解. 【详解】对于命题p,22000131=()024x x x -+-+>,所以命题p 是假命题，所以p ⌝是真命题； 对于命题q, 0x ∀<，x x >,是真命题. 所以()p q ⌝∧真命题.故选：C【点睛】本题主要考查复合命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.【4.设110a e =，b =，1lg c e=（其中 2.71828e =是自然对数的底数），则（ ）A. c b a >>B. a b c >>C. a c b >>D. b a c >>【答案】B 【解析】 【分析】判断a,b,c 的范围即得a,b,c 的大小关系. 【详解】由题得10101a e e =>=，ln 1,b e ==且b>0.1lg lg10c e=<=，所以a b c >>. 故选：B【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.函数()2ln f x x x =-+的图像在1x =处的切线方程为（ ） A. 210x y +-= B. 210x y -+=C. 10x y -+=D. 10x y ++=【答案】D 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，求出导函数'()f x ，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出1x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，进而求出切线方程。

2019年山东省聊城市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数1y lg x +＝（）的定义域为集合A ，集合1012{}B ＝﹣，，，，则A B ⋂＝（ ）A ．{}1﹣B ．{1}2，C ．{012}，，D ．112}0{﹣，，， 2．设221i z i i++-＝，则复数z 的虚部为（ ） A ．2B ．2iC ．1D ．i 3．已知向量()()1,1,24,3a a b =+=r r r ，(),2c x =-r ，若//b c r r ，则x 的值为（ ）A ．4B ．4﹣C ．2D ．2﹣ 4．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若345121S S S a +＝，＝，则6a ＝（ ）A ．1B ．32C ．64D ．32﹣ 5．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述不正确的是（ ）A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90D ．从4日到9日，空气质量越来越好6．设函数f x sinx cosx （）＝﹣，若对于任意的x ∈R ，都有2f x f x θ（﹣）＝（），则＝23sinπθ-（)＝（ ） A ． B ．12﹣ C ． D ．32- 7．如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．设函数11x f x a e +-（）=，若f x （）为奇函数，则不等式1f x （）＞的解集为（ ） A ．01（，） B ．13n ∞（-，） C ．03ln （，） D ．02（，）9．已知圆O 的半径为1，在圆O 内随机取一点M ，则过点M 的所有弦的长度都大于的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．10．数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（m éng ），下广三丈，袤（m ào ）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（ ）A ．5.5B ．5C ．6D ．6.511．已知双曲线2222100x y a a b-＝（＞，＞）的右焦点为F ，虚轴的上端点为B P ，为左支上的一个动点，若PBF V 周长的最小值等于实轴长的3倍，则该双曲线的离心率为（ ）。

聊城市高考模拟试题 理科数学（一）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2{|1}A x x =<，{|lg(1)0}B x x =+≥，则A B =I （ ） A ．[0,1) B ．(1,)-+∞ C ．(0,1) D ．(1,0]-2.设复数2(1)1i z i-=+，则z =（ ）A ．4B ．2C ．2D ．13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13104S =，65a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（ ）A ．110 B ．15 C ．310 D ．255.设等比数列{}n a 的各项均为正数，其n 前项和为n S ，则“1921202S S S +>”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 与抛物线C ：24y x =相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为（ ） A ．1y x =- B ．25y x =-+ C ．3y x =-+ D ．23y x =- 7.已知函数()(1010)xx f x x -=-，不等式(12)(3)0f x f -+>的解集为（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(1,)+∞8.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 到渐近线的距离为4，且在双曲线C 上到2F 的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C 的左焦点1F 的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1.5，则输入k 的值应为（ ）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．910.在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．-2D ．-111.如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为（ ）A ．73π B ．289πC 147π．43π12.已知函数3,21(),20x xa x x f x a e x x ⎧--≤-⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩恰有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,3e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．211,e e ⎛⎫--⎪⎝⎭ C ．221,3e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．21,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设x ，y 满足约束条件102020x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则12()16x y z =的最大值为 ．14.某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分，对这些产品的一项质量指标进行了检测，整理检测结果得到如下频率分布表：质量指标分组[10,30)[30,50)[50,70]频率0.10.60.3据此可估计这批产品的此项质量指标的方差为 ．15.2922()y x x++的展开式中常数项为 ． 16.若函数()sin()4f x m x π=+2sin x -在开区间7(0,)6π内，既有最大值又有最小值，则正实数m 的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知数列{}n a 满足12a =-，124n n a a +=+. （Ⅰ）证明：{4}n a +是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .18.某教育培训中心共有25名教师，他们全部在校外住宿.为完全起见，学校派专车接送教师们上下班.这个接送任务承包给了司机王师傅，正常情况下王师傅用34座的大客车接送教师.由于每次乘车人数不尽相同，为了解教师们的乘车情况，王师傅连续记录了100次的乘车人数，统计结果如下： 乘车人数 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 频数2441016201612862（Ⅰ）若随机抽查两次教师们的乘车情况，求这两次中至少有一次乘车人数超过18的概率；（Ⅱ）有一次，王师傅的大客车出现了故障，于是王师傅准备租一辆小客车来临时送一次需要乘车的教师.可供选择的小客车只有20座的A 型车和22座的B 型车两种，A 型车一次租金为80元，B 型车一次租金为90元.若本次乘车教师的人数超过了所租小客车的座位数，王师傅还要付给多出的人每人20元钱供他们乘出租车.以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，判断王师傅租哪种车较合算？19.如图，四棱锥P ABCD -中，PAD ∆为等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，22AD BC ==，AB AD ⊥，AB BC ⊥.（Ⅰ）证明：PC BC ⊥；（Ⅱ）若直线PC 与平面ABCD 所成角为60o ，求二面角B PC D --的余弦值.20.已知圆224x y +=经过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点和两个顶点，点(0,4)A ，M ，N是椭圆C 上的两点，它们在y 轴两侧，且MAN ∠的平分线在y 轴上，AM AN ≠. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）证明：直线MN 过定点. 21.已知函数()22xf x e kx =--.（Ⅰ）讨论函数()f x 在(0,)+∞内的单调性；（Ⅱ）若存在正数m ，对于任意的(0,)x m ∈，不等式()2f x x >恒成立，求正实数k 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（Ⅰ）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A 、B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()22f x x a a =++，a R ∈.（Ⅰ）若对于任意x R ∈，()f x 都满足()(3)f x f x =-，求a 的值； （Ⅱ）若存在x R ∈，使得()21f x x a ≤--+成立，求实数a 的取值范围.聊城市高考模拟 理科数学（一）答案一、选择题1-5: ACBDC 6-10: DADBC 11、12：CA二、填空题13. 4 14. 144 15. 672 16. 23m <<三、解答题17.解：（Ⅰ）∵12a =-，∴142a +=，∵124n n a a +=+，∴1428n n a a ++=+2(4)n a =+， ∴1424n n a a ++=+，∴{4}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ），可知42n n a +=，∴24nn a =-.∴12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2(24)(24)=-+-(24)n+⋅⋅⋅+-2(222)4nn =++⋅⋅⋅+-2(12)412n n -=--1224n n +=--.∴1242n n S n +=--.18.解：（Ⅰ）由题意得，在一次接送中，乘车人数超过18的概率为0.8. 记“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18”为事件A ，则()1(10.8)P A =--(10.8)0.96-=.即抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18的概率为0.96.（Ⅱ）设X 表示租用A 型车的总费用（单位：元），则X 的分布列为设Y 表示租用B 型车的总费用（单位：元），则Y 的分布列为因此以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，租B 型车较合算. 19.证明：（Ⅰ）取AD 的中点为O ，连接PO ，CO ， ∵PAD ∆为等边三角形，∴PO AD ⊥.底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，∴CO AD ⊥， ∵PO CO O =I ，∴AD ⊥平面POC ，∵PC ⊂平面POC ，∴AD PC ⊥. 又//AD BC ，所以BC PC ⊥.（Ⅱ）由面PAD ⊥面ABCD ，PO AD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，可得OP ，OD ，OC 两两垂直，又直线PC 与平面ABCD 所成角为60o ，即60PCO ∠=o ， 由2AD =，知3PO =，得1CO =.建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，则(0,0,3)P ，(0,1,0)D ，(1,0,0)C ，(1,1,0)B -，(0,1,0)BC =u u u r，(1,0,3)PC =-u u u r ，(1,1,0)CD =-u u u r，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =r. ∴030y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1z =，则(3,0,1)n =r ， 设平面PDC 的一个法向量为(',',')m x y z =u r，∴''0'3'0x y x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令'1z =，则(3,3,1)m =u r ， cos ,m n <>u r r m n m n ⋅=u r ru r r 2727==， ∵二面角B PC D --为钝角，∴二面角B PC D --的余弦值为27-.20.解：（Ⅰ）圆224x y +=与x 轴交点(2,0)±即为椭圆的焦点，圆224x y +=与y 轴交点(0,2)±即为椭圆的上下两顶点，所以2c =，2b =.从而22a =因此椭圆C 的方程为：22184x y +=. （Ⅱ）设直线MN 的方程为y kx m =+.由22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(21)4280k x kmx m +++-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122421kmx x k +=-+，21222821m x x k -=+.直线AM 的斜率1114y k x -=14m k x -=+； 直线AN 的斜率2224y k x -=24m k x -=+. 12k k +=1212(4)()2m x x k x x -++2(4)(4)228m km k m --=+-216(1)28k m m -=-. 由MAN ∠的平分线在y 轴上，得120k k +=.又因为AM AN ≠，所以0k ≠， 所以1m =.因此，直线MN 过定点(0,1).21.解：（Ⅰ）'()2xf x e k =-，(0,)x ∈+∞，当2k ≤时，因为22x e >，所以'()0f x >，这时()f x 在(0,)+∞内单调递增. 当2k >时，令'()0f x >得ln2k x >；令'()0f x <得0ln 2kx <<. 这时()f x 在(0,ln )2k 内单调递减，在(ln,)2k+∞内单调递增. 综上，当2k ≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增， 当2k >时，()f x 在(0,ln )2k 内单调递减，在(ln,)2k+∞内单调递增. （Ⅱ）①当02k <≤时，因为()f x 在(0,)+∞内单调递增，且(0)0f =，所以对于任意的(0,)x m ∈，()0f x >.这时()2f x x >可化为()2f x x >，即2(2)20x e k x -+->.设()2(2)2xg x e k x =-+-，则'()2(2)xg x e k =-+， 令'()0g x =，得2ln 2k x +=，因为2ln 02k +>，所以()g x 在2(0,ln )2k +单调递减.又因为(0)0g =，所以当2(0,ln)2k x +∈时，()0g x <，不符合题意. ②当2k >时，因为()f x 在(0,ln )2k内单调递减，且(0)0f =，所以存在00x >，使得对于任意的0(0,)x x ∈都有()0f x <.这时()2f x x >可化为()2f x x ->， 即2(2)20xe k x -+-+>.设()2(2)2xh x e k x =-+-+，则'()2(2)xh x e k =-+-.（i ）若24k <≤，则'()0h x <在(0,)+∞上恒成立，这时()h x 在(0,)+∞内单调递减， 又因为(0)0h =，所以对于任意的0(0,)x x ∈都有()0h x <，不符合题意. （ii ）若4k >，令'()0h x >，得2ln2k x -<，这时()h x 在2(0,ln )2k -内单调递增，又因为(0)0h =，所以对于任意的2(0,ln )2k x -∈，都有()0h x >， 此时取02min{,ln}2k m x -=，对于任意的(0,)x m ∈，不等式()2f x x >恒成立. 综上，k 的取值范围为(4,)+∞. 22.解：（Ⅰ）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）.直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.（Ⅱ）由直线l 的方程20x y +-=可得点(2,0)A ，点(0,2)B .设点(,)P x y ，则PA PB ⋅u u u r u u u r(2,)(,2)x y x y =--⋅--.2222x y x y =+--2412x y =+-.由（Ⅰ）知2cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则PA PB ⋅u u u r u u u r 4sin 2cos 4θθ=++)4θϕ=++.因为R θ∈，所以44PA PB -≤⋅≤+u u u r u u u r23.解：（Ⅰ）因为()(3)f x f x =-，x R ∈，所以()f x 的图象关于32x =对称. 又()2||22a f x x a =++的图象关于2a x =-对称，所以322a -=，所以3a =-. （Ⅱ）()21f x x a ≤--+等价于2210x a x a ++-+≤. 设()g x =221x a x a ++-+，则min ()(2)(21)g x x a x a =+--+1a a =++. 由题意min ()0g x ≤，即10a a ++≤. 当1a ≥-时，10a a ++≤，12a ≤-，所以112a -≤≤-； 当1a <-时，(1)0a a -++≤，10-≤，所以1a <-， 综上12a ≤-.。

山东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合N={x|lgx≥0}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥﹣2}3．某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400，320，280．采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是（）A．20 B．16 C．15 D．144．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假5．已知x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣3 C．1 D．46．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．28+6 B．40 C．D．30+67．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．489．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且|AB|=1，若P（1，），则|++|的取值范围是（）A．[5，6] B．[6，7] C．[6，9] D．[5，7]10．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞） D．（，+∞）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．二项式的展开式中常数项的值为．12．已知向量，其中，且，则向量与的夹角是．13．已知等比数列{a n}为递增数列，其前n项和为S n，若a3=8，S3=（4x+3）dx，则公比q= ．14．过点（0，3b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是．15．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1．（I）求角C的值．（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABC=90°，△ABC≌△ADC，PA=AC=2AB=2，E是线段PC的中点．（I）求证：DE∥面PAB；（Ⅱ）求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．18．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（Ⅰ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（Ⅱ）设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．19．已知数列a n是公差不为零的等差数列，且a3=5，a2，a4，a12成等比数列．数列{b n}的每一项均为正实数，其前n项和为S n，且满足4S n=b n2+2b n﹣3（n∈N*）（I）数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）令c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，若≥对∀n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．20．已知函数f（x）=﹣aln（1+x）（a∈R），g（x）=x2e mx（m∈R）．（1）当a=1，求函数f（x）的最大值（2）当a＜0，且对任意实数x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．21．设椭圆C：+=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点（i）证明：∠AOB为定值；（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：z==，则z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第三象限．故选：C．2．已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合N={x|lgx≥0}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥﹣2}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣4）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤4，即M=[﹣2，4]，由N中lgx≥0，得到x≥1，即N=[1，+∞），则M∩N=[1，4]，故选：C．3．某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400，320，280．采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是（）A．20 B．16 C．15 D．14【考点】分层抽样方法．【分析】先求出抽取样本的比例是多少，再计算从高三学生中应抽取的人是多少．【解答】解：根据题意，得抽取样本的比例是=，∴从高三学生中应抽取的人数为280×=14．故选：D．4．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：∀x∈R，都有sinx≤1，故命题p：∃x0∈R，使sinx0=是假命题；令f（x）=x﹣sinx，f′（x）=1+cosx＞0，y=f（x）在区间（0，）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，故命题q：∀x∈（0，），x＞sinx是真命题，故B正确，故选：B．5．已知x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣3 C．1 D．4【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简z=3x﹣2y为y=x﹣，从而利用数形结合求解即可．【解答】解：由题意作平面区域如下，，z=3x﹣2y可化为y=x﹣，故当过点A（1，5）时，z有最小值，即z=3x﹣2y的最小值是3﹣10=﹣7，故选：A．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．28+6 B．40 C．D．30+6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是5、4，由正视图知，三棱锥的高是4，∴该几何体的体积V==，故选：C．7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的部分图象，求出周期T与ω的值，再计算φ的值，写出f（x）的解析式，从而求出f（0）+f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象，得T=﹣（﹣）=，又T==π，∴ω=2；当x=﹣时，函数f（x）取得最小值﹣2，∴2×（﹣）+φ=﹣+2kπ，k∈Z，解得φ=﹣+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）；∴f（0）+f（）=2sin（﹣）+2sin（2×﹣）=2×（﹣）+2sin=2﹣．故选：A．8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且|AB|=1，若P（1，），则|++|的取值范围是（）A．[5，6] B．[6，7] C．[6，9] D．[5，7]【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】设出A，B两点坐标，求出三个向量的坐标，对|++|取平方得出关于A点坐标的函数，利用三角函数的性质求出|++|的范围．【解答】解：设A（x，0），B（0，y），则x2+y2=1．∴=（1﹣x，），=（1，y）.=（1，）．∴++=（3﹣x，3）．∴|++|2=（3﹣x）2+（3﹣y）2=37﹣6x﹣6y．令x=cosθ，y=sinθ，则|++|2=37﹣6cosθ﹣6sinθ=37﹣12sin（θ+）．∴当sin（θ+）=﹣1时，|++|取得最大值=7，当sin（θ+）=1时，|++|取得最小值=5．故选：D．10．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞） D．（，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意，设函数f（x）=ae bx+c，由f（0）=1得a+c=1；再由3f（x）=f′（x）﹣3，得；由此求出f（x）的解析式，再解不等式4f（x）＞f′（x）即可．【解答】解：∵3f（x）=f′（x）﹣3，∴f′（x）=3f（x）+3；可设f（x）=ae bx+c，由f（0）=1，∴a+c=1；又3f（x）=f′（x）﹣3，∴3ae bx+3c=abe bx﹣3，即（3a﹣ab）e bx=﹣3﹣3c，∴，解得b=3，c=﹣1，a=2；∴f（x）=2e3x﹣1，x∈R；又4f（x）＞f′（x），∴8e3x﹣4＞6e3x，即e3x＞2，解得x＞，所求不等式的解集为（，+∞）．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．二项式的展开式中常数项的值为20 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=C6r x6﹣2r令6﹣2r=0得r=3故展开式的常数项为T4=C63=20故答案为2012．已知向量，其中，且，则向量与的夹角是150°．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．【分析】由，，且，知+cos＜＞=0，即3+cos＜＞=0，由此能求出向量与的夹角．【解答】解：∵，，且，∴+cos＜＞=0，即3+cos＜＞=0，解得cos＜＞=﹣，∴向量与的夹角是150°，故答案为：150°．13．已知等比数列{a n}为递增数列，其前n项和为S n，若a3=8，S3=（4x+3）dx，则公比q= 2 ．【考点】等比数列的通项公式；定积分．【分析】求定积分S3=（4x+3）dx=14，从而可得8（1++）=14，从而解得．【解答】解：S3=（4x+3）dx=2x2+3x|=8+6=14，则S3=a3（1++）=14，解得，q=2，故答案为：2．14．过点（0，3b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是3 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线l的方程，利用双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，直线l与bx ﹣ay=0的距离恒大于等于b，运用平行直线的距离公式，建立不等式，即可求出双曲线C的离心率的最大值．【解答】解：由双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程y=±x，可得直线l的方程为y=x+3b，即bx﹣ay+3ab=0，由双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，可得直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，即有≥b，化简可得8a2≥b2，8a2≥c2﹣a2，即c2≤9a2，即有c≤3a，可得离心率e=≤3．则离心率的最大值为3．故答案为：3．15．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1] ．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）﹣kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，作函数f（x）与函数y=kx+1的图象，结合函数的图象求解．【解答】解：∵g（x）=kx+1，∴方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根等价为方程f（x）=g（x）有两个不同实根，即f（x）=kx+1，则等价为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，当1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣1，当2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣2，当3＜x≤4，则2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣3，…当x＞1时，f（x）=f（x﹣1），周期性变化；函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故k AC=e﹣1，k BC=；在点C处的切线的斜率k=e0=1；结合图象可得，实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1．（I）求角C的值．（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得﹣sinBsinC=﹣sinBcosC，结合范围B∈（0，π），sinB≠0，解得tanC=，又C∈（0，π），即可求C的值．（Ⅱ）由三角形面积公式可解得ab=4，又由余弦定理可解得a+b=4，联立可解得a，b的值．【解答】解：（I）∵2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1，∴1+cosA+（cosB﹣sinB）cosC=1，可得：﹣cosA=（cosB﹣sinB）cosC，∴cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=cosBcosC﹣sinBcosC，可得：﹣sinBsinC=﹣sinBcosC，∵B∈（0，π），sinB≠0，∴sinC=cosC，即：tanC=，∵C∈（0，π），∴C=．（Ⅱ）∵c=2，C=，△ABC的面积为=absinC=ab，∴解得：ab=4，①又∵由余弦定理可得：4=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=（a+b）2﹣12，解得：a+b=4，②∴①②联立可解得：a=b=2．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABC=90°，△ABC≌△ADC，PA=AC=2AB=2，E是线段PC的中点．（I）求证：DE∥面PAB；（Ⅱ）求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设线段AC的中点为O，连接OD，OE，推导出四边形ABOD是平行四边形，从而DO∥AB，进而面ODE∥面PAB，由此能证明DE∥面PAB．（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过点B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣CP﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）设线段AC的中点为O，连接OD，OE，∵∠ABC=90°，∴BO=，同理，DO=1，又∵AB=AD=1，∴四边形ABOD是平行四边形，∴DO∥AB，又∵OD∩OE=O，PA∩AB=A，OD，OE⊂平面ODE，PA，AB⊂面PAB，∴面ODE∥面PAB，又∵DE⊂面ODE，∴DE∥面PAB．解：（Ⅱ）∵AB⊥BC，PA⊥面ABCD，∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过点B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（0，，0），P（1，0，2），D（，，0），=（0，，0），=（1，0，2），=（﹣，，0），=（﹣，﹣，2），设面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，﹣1），设平面DPC的法向量为=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，1），设二面角D﹣CP﹣B的平面角为θ，则cosθ===，∴二面角D﹣CP﹣B的余弦值为．18．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（Ⅰ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（Ⅱ）设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥，由此能求出选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率．（Ⅱ）X所有可能的取值为0，5，15，35，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥，，…，……（Ⅱ）X所有可能的取值为0，5，15，35，…，，，…所以，X的分布列为：X 0 5 15 35P……19．已知数列a n是公差不为零的等差数列，且a3=5，a2，a4，a12成等比数列．数列{b n}的每一项均为正实数，其前n项和为S n，且满足4S n=b n2+2b n﹣3（n∈N*）（I）数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）令c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，若≥对∀n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）通过设数列{a n}的首项为a1，公差为d（≠0），代入计算即得a n=3n﹣4；当n=1时由4S1=b12+2b1﹣3可知b1=3，当n≥2时，利用4S n=b n2+2b n﹣3与4S n﹣1=b n﹣12+2b n ﹣1﹣3作差，整理可知数列{b n}是首项为3、公差为2的等差数列，进而可知b n=2n+1；（Ⅱ）通过（I）裂项可知c n=（﹣），并项相加可知T n=，进而可知=1﹣，通过令f（x）=1﹣，借助函数知识可知≥，从而问题转化为解不等式≤，计算即得结论．【解答】解：（I）设数列{a n}的首项为a1，公差为d（≠0），由已知可得，解得：或（舍），∴a n=3n﹣4；当n=1时，4S1=b12+2b1﹣3，解得：b1=3或b1=﹣1（舍），当n≥2时，4S n﹣1=b n﹣12+2b n﹣1﹣3，∴4b n=4S n﹣4S n﹣1=b n2+2b n﹣b n﹣12﹣2b n﹣1，整理得：（b n﹣b n﹣2﹣2）（b n+b n﹣2）=0，又∵数列{b n}的每一项均为正实数，∴b n﹣b n﹣2﹣2=0，∴数列{b n}是首项为3、公差为2的等差数列，∴b n=2n+1；（Ⅱ）由（I）可知c n===（﹣），则T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∴==1﹣，令f（x）=1﹣，则当x＞0时，f（x）＞0，∴{}为递增数列，≥=，又∵≥对∀n∈N*恒成立，∴=≤，解得：m≤，故正整数m的最大值为6．20．已知函数f（x）=﹣aln（1+x）（a∈R），g（x）=x2e mx（m∈R）．（1）当a=1，求函数f（x）的最大值（2）当a＜0，且对任意实数x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）把a=1代入函数解析式，直接利用导数求得函数的最值；（2）构造函数h（x）=f（x）+1，对任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，等价于当a＜0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，h min（x）≥g max（x）成立，分类求得f（x）在[0，2]上的最小值，再求g（x）的导数，对m讨论，结合单调性，求得最大值，解不等式即可得到实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣aln（1+x）=，f′（x）=（x＞﹣1），当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为增函数．∴f（x）max=f（0）=0；（2）令h（x）=f（x）+1，当a＜0，对任意实数x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，即当a＜0，对任意实数x1，x2∈[0，2]，h（x1）≥g（x2）恒成立，等价于当a＜0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，h min（x）≥g max（x）成立，当a＜0时，由h（x）=﹣aln（1+x）+1，得h′（x）==（x＞﹣1），当x∈（﹣1，1﹣a）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，当x∈（1﹣a，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，若1﹣a＜2，即﹣1＜a＜0，h（x）在（0，1﹣a）上为增函数，在（1﹣a，2）上为减函数，h（x）的最小值为min{h（0），h（2）}=min{1，}=1，若1﹣a≥2，即a≤﹣1，h（x）在（0，2）上为增函数，函数f（x）在[0，2]上的最小值为f （0）=1，∴f（x）的最小值为f（0）=1，g（x）的导数g′（x）=2xe mx+x2e mx•m=（mx2+2x）e mx，当m=0时，g（x）=x2，x∈[0，2]时，g max（x）=g（2）=4，显然不满足g max（x）≤1，当m≠0时，令g′（x）=0得，，①当﹣≥2，即﹣1≤m≤0时，在[0，2]上g′（x）≥0，∴g（x）在[0，2]单调递增，∴，只需4e2m≤1，得m≤﹣ln2，则﹣1≤m≤﹣ln2；②当0＜﹣＜2，即m＜﹣1时，在[0，﹣]，g′（x）≥0，g（x）单调递增，在[﹣，2]，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（﹣）=，只需≤1，得m≤﹣，则m＜﹣1；③当﹣＜0，即m＞0时，显然在[0，2]上g′（x）≥0，g（x）单调递增，g（x）max=g（2）=4e2m，4e2m≤1不成立．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．21．设椭圆C：+=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点（i）证明：∠AOB为定值；（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，得到b=c=1，由此能求出椭圆C的方程．∴“相关圆”E的方程为x2+y2=．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线AB方程为x=，；当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，代入椭圆方程，得x2+2（kx+m）2=2，由此利用根的判别式、韦达定理、直线与圆相切，结合已知条件推导出为定值．（ii）要求△ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，由此利用椭圆弦长公式能求出△ABQ面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，∴b=c=1，∴a2=1+1=2，∴椭圆C的方程为．∴“相关圆”E的方程为x2+y2=．证明：（Ⅱ）（i）当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x=，则A（，），B（，﹣），∴，当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得x2+2（kx+m）2=2，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2﹣m2+1＞0，（*），∵直线与圆相切，∴==，∴3m2=2+2k2，∴+km（x1+x2）+m2===0，∴，∴为定值．解：（ii）∵PQ是“相关圆”的直径，∴，∴要求△ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，当直线AB的斜率不存在时，由（i）知|AB|=，|AB|====，①当k≠0时，|AB|=，∵，∴0＜，∴≤3，∴＜|AB|，当且仅当k=时，取“=”号．②当k=0时，|AB|=．|AB|的取值范围为≤|AB|，∴△ABQ面积的取值范围是[，]．。