线性规划在实践中的运用

线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。

它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。

这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。

本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。

某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。

公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。

通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。

某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。

公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。

通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。

某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。

每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。

公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。

通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。

这些案例展示了线性规划在实践中的应用。

然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。

线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。

线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。

这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。

下面我们将详细讨论线性规划的应用。

线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。

它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。

这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。

工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。

线性规划的应用引言概述：线性规划是一种优化问题的数学建模方法，可以用于解决许多实际问题。

本文将探讨线性规划在不同领域的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题、金融投资和市场营销等。

一、生产计划1.1 产能规划：线性规划可以匡助企业确定最优产能规划，通过最大化产量和最小化成本，实现生产效益的最大化。

1.2 原材料采购：线性规划可以优化原材料的采购计划，确保原材料的供应充足，同时最小化采购成本。

1.3 生产调度：线性规划可以匡助企业制定最佳的生产调度方案，合理安排生产过程，提高生产效率和产品质量。

二、资源分配2.1 人力资源：线性规划可以匡助企业合理分配人力资源，根据不同部门和岗位的需求，确定最佳的人员配置方案。

2.2 设备调度：线性规划可以优化设备的调度计划，确保设备的利用率最大化，减少闲置时间和能源浪费。

2.3 资金分配：线性规划可以匡助企业合理分配资金，根据不同项目的需求，确定最佳的资金分配方案，实现资金的最大效益。

三、运输问题3.1 物流配送：线性规划可以优化物流配送路线，确定最佳的配送方案，减少运输成本和时间。

3.2 仓储管理：线性规划可以匡助企业优化仓储管理，确定最佳的仓储位置和库存量，减少库存成本和仓储空间的浪费。

3.3 运输调度：线性规划可以匡助企业制定最佳的运输调度计划，合理安排运输车辆和货物的装载，提高运输效率和减少运输成本。

四、金融投资4.1 资产配置：线性规划可以匡助投资者确定最佳的资产配置方案，平衡风险和收益，实现投资组合的最优化。

4.2 资金规划：线性规划可以优化资金的规划和运用，确保资金的最大化利用和最小化风险。

4.3 投资决策：线性规划可以匡助企业制定最佳的投资决策方案，根据不同项目的收益和风险，确定最优的投资方向。

五、市场营销5.1 定价策略：线性规划可以匡助企业确定最佳的定价策略，根据市场需求和成本考虑，确定最优的价格水平。

5.2 促销策略：线性规划可以优化促销策略，确定最佳的促销活动方案，提高产品销售量和市场份额。

线性规划运用举例线性规划是一种经济学和数学领域中的数学优化技术，其主要目的是将某些目标函数在满足一定的约束条件下最大或最小化。

线性规划在现代经济学、决策科学、制造业和生产管理等领域都有广泛的应用。

下面将举例说明线性规划在实际生产和管理中的应用。

1. 生产计划方案优化生产计划方案优化是一个很复杂的问题。

企业的目标是尽可能地减少生产和仓储成本，同时保证所生产的产品能满足市场需求。

线性规划可以帮助企业找到一个最优的计划方案，使得成本最小化，并能够满足市场需求。

例如，生产一种食品有两个不同的发酵温度可以选择。

这个决策需要考虑到提高产量的同时也要保证产品质量。

通过将这个问题转化为线性规划问题，可以确定最佳的温度条件，以最小化生产成本并且保证产品质量。

2. 资源分配问题企业在日常运营中需要管理各种资源，如员工，机器等。

为了确保资源的有效利用，企业需要通过资源分配来确保生产能力最优化。

线性规划可以帮助企业分配资源，使得资源利用更加高效，成本更加低廉和运营更加有效。

例如，在生产线上，可以通过线性规划算法来优化设备的分配和维护计划，使得设备的维护和使用更加平滑，减少因设备故障造成的损失和停机时间。

3. 市场销售策略线性规划也可以帮助企业确定最优的市场营销策略。

在一个竞争激烈的市场中，企业需要考虑产品的定价，销售渠道和营销推广策略等因素。

通过将这些因素转化为线性规划问题，企业可以找到最优的市场营销策略。

例如，在销售一种产品时，企业可以通过确定最优价格来最大化销售收入。

总之，线性规划在生产和管理中的应用非常广泛。

通过线性规划算法可以解决非常复杂的问题，帮助企业做出最优的决策，从而实现成本最小化和收益最大化。

应用混合整数线性规划混合整数线性规划（MILP）是数学规划中的一种重要类型，它在实际应用中具有广泛的应用价值。

MILP可以被描述为一种在优化的同时满足线性和离散限制的问题。

其中，线性部分通常是指一个线性目标函数和一组线性约束条件，而离散部分通常是指一个或多个变量必须是整数。

MILP的应用场景涵盖了许多领域，如物流、供应链、生产调度、航空航天、电力系统等。

在这些领域中，MILP都能够提供有效的决策支持。

比如，在供应链中，MILP可以帮助企业优化物流运输路线、合理安排存储和配送等流程。

在生产调度中，MILP可以帮助企业优化生产线的排程，提升生产效率和资源利用率。

在航空航天领域，MILP可以帮助航空公司优化飞行计划、航班调度和飞机维护等决策。

在电力系统中，MILP可以帮助电力公司优化电力调度、电网规划和电力市场设计等问题。

在MILP问题的求解中，现有的算法主要包括分支定界法、割平面法、内点法等。

其中，分支定界法是一种被广泛应用的算法，它将问题分解为一系列子问题，并逐步缩小搜索空间，最终找到全局最优解。

割平面法则是一种通过添加额外的约束条件来削弱问题可行域的算法。

内点法则是一种通过寻找问题的最优解点的算法，它能够有效地处理大规模的MILP问题。

此外，近年来出现的许多启发式算法，如遗传算法、蚁群算法、模拟退火算法等也被用于MILP问题求解。

无论采用何种算法，应用MILP问题求解时需要考虑如下几点：首先，需要确保模型的准确性与完整性。

一个好的模型应该能够准确地反映现实问题，并包含所有重要的因素和约束条件。

其次，需要选择适合问题特点的求解算法。

在实际运用中，不同的问题具有不同的特点，有些问题规模非常大，需要使用分布式计算等技术才能求解。

因此，需要根据具体问题的特点选择适合的求解算法，并进行参数调整和优化。

最后，需要关注求解结果的有效性与可行性。

有时候，求解结果可能不是最优解，但在现实中却是可行的。

因此，在应用MILP求解时需要进行适当的检验和验证，确保结果的有效性和可行性。

浅谈线性规划在实际生活中的应用随着计算机技术的发展，线性规划（Linear Programming，LP）已被广泛应用于科学理论和实际生活中。

LP的出现使得工程师们能够快速的解决复杂的实际问题，使得各种优化事件在时间上有很大的优势。

本文将探讨线性规划在实际生活中的应用。

首先，线性规划可以用于企业的生产规划，以实现企业的目标以及降低成本。

要达到此目的，企业需要根据相关因素，如生产量、市场需求、库存水平、机器等，制定最佳生产计划。

例如，一家企业可以用线性规划来解决库存控制问题。

同时，企业还可以使用线性规划来进行工资管理、资产配置等，实现企业成本最低化。

其次，线性规划可以用于交通系统的路径规划。

线性规划可以解决交通运输问题，如最优路径规划、最短路径规划，以及交通系统的容量调度等。

例如，在城市交通系统中，可以使用LP来解决最优路径问题，以帮助出行者在拥堵的状态下，尽快到达目的地。

此外，线性规划还可以用于个人理财规划，以优化个人投资组合。

通过线性规划，个人理财者可以根据自己的风险偏好，使用资金最优化分配，即考虑投资组合中的收益、风险和成本等因素。

同时，也可以利用LP模型，结合投资者的利率偏好、投资期限等因素，探索个人最优投资组合。

此外，线性规划还可以用于建筑物的设计。

例如，可以使用LP 模型来优化财务计划，以确定最佳建筑设计，并考虑在建设过程中可能出现的各种问题。

另外，LP也可以用于求解土地利用、城市综合规划等问题。

最后，LP也可以用于自然资源的有效利用。

LP模型可以用于最佳利用公共资源，如水、电、矿产等，达到最大利益的若干目标。

此外，LP模型也可以用于环境污染的减排、森林的保护、植物的种植等，确保自然资源的可持续发展。

综上所述，线性规划在实际生活中有着广泛的应用，可以有效地解决复杂的实际问题。

但是，在实际应用中，也存在一定的局限性，像非线性问题这类更加复杂的问题就不能使用LP来求解。

因此，未来需要在 LP模型和非线性模型之间进行技术上的结合，以解决更多实际问题。

线性规划的应用标题：线性规划的应用引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下优化线性目标函数。

它在各个领域都有着广泛的应用，能够帮助决策者做出最优的决策。

本文将介绍线性规划在各个领域的应用，并探讨其重要性。

一、供应链管理1.1 优化生产计划：线性规划可以帮助企业优化生产计划，确保生产能力得到最大利用，同时避免过剩或短缺的情况。

1.2 库存管理：通过线性规划，企业可以有效管理库存水平，减少库存成本，提高资金利用效率。

1.3 物流规划：线性规划可以帮助企业优化物流网络，降低运输成本，提高物流效率。

二、金融领域2.1 投资组合优化：线性规划可以帮助投资者根据风险和回报的权衡，优化投资组合，实现最大化收益。

2.2 银行资产负债管理：银行可以利用线性规划来优化资产负债结构，降低风险，提高盈利能力。

2.3 风险管理：线性规划可以帮助金融机构有效管理风险，制定合理的对冲策略，降低损失。

三、生产调度3.1 作业调度：线性规划可以帮助企业优化作业调度，提高生产效率，降低生产成本。

3.2 车间排程：通过线性规划，企业可以合理安排车间生产流程，减少生产周期，提高产能利用率。

3.3 资源分配：线性规划可以帮助企业合理分配资源，确保资源得到最大化利用，提高生产效率。

四、市场营销4.1 客户定价策略：线性规划可以帮助企业确定最优的客户定价策略，实现最大化利润。

4.2 促销策略：通过线性规划，企业可以优化促销策略，吸引更多客户，提高销售额。

4.3 市场份额分配：线性规划可以帮助企业合理分配市场份额，提高市场占有率，实现市场领先地位。

五、资源分配5.1 人力资源规划：线性规划可以帮助企业优化人力资源规划，确保人力资源得到最大利用，提高员工效率。

5.2 财务资源分配：通过线性规划，企业可以合理分配财务资源，确保资金得到最优利用，提高财务效益。

5.3 物资资源调配：线性规划可以帮助企业优化物资资源调配，减少浪费，提高资源利用效率。

【课题】5．5 线性规划问题的应用举例
【教学目标】
知识目标：用六个案例介绍了线性规划模型在生产实际中的应用.
能力目标：通过六个案例，学习线性规划模型建立的方法和技巧.
【教学重点】用适当的方法，解决线性规划问题.
【教学难点】用适当的方法，解决线性规划问题.
【教学设计】
1．本节分别介绍了投资问题，生产安排问题，环境保护问题，混合问题，运输问题和下料问题等六个案例，通过这些具体的案例，使学生认识线性规划的应用.
2．①案例1是一个投资计划制定问题，要在可承受的亏损范围内，使获利尽可能的多，因此目标函数是获得利润，约束条件是资金限制和亏损的承受范围.这是二元线性规划问题，故可用图解法解得.
②案例2是一个简单的生产安排问题，生产所获利润取决于三种产品的产量，因此以三种产品产量为决策变量，表格中列出了资源限制条件，据此可得约束条件.
③案例3是一个环境保护问题，其中各种因素已经作了简化，在列出的三个条件中，（3）成立必使（2 ）成立，因此条件有冗余，作简化后得约束条件.
④案例4是混合问题，类似于案例2.
⑤案例5是运输调配问题，这是一类典型的问题，一般的运筹学教材中都会专门介绍，本例是产销平衡的，要使总费用最低，必须知道各调运路线的运量，因此所设决策变量较多，为便于学生理解，变量写成教材的形式，有时我们也可用双下标的形式来表示变量.
⑥案例6是下料问题，与前面所举例一样，只是截法增多了.。

线性规划模型及应用场景线性规划是一种运筹学中的数学方法，用于在有限的资源下寻找达到最佳目标的方案。

线性规划模型是通过建立线性关系式和目标函数以确定决策变量的最优值，来求解问题。

应用线性规划模型可以在诸多领域中找到合理的应用场景。

一、生产调度与物流管理生产调度是指以资源约束为条件，在规定时间内安排、组织和运用生产资源的管理活动。

而物流管理则是通过有效的供应链管理来实现流程和原料的优化配置。

线性规划可以通过建立生产资源约束条件和目标函数，来确定合理的生产进度和物流配送计划，从而提高生产效率、降低物流成本。

举个例子，某工厂生产两种产品A和B，生产线的时间和效率是有限的，同时每个产品有不同的售价和成本。

这时可以使用线性规划模型来确定每种产品的生产数量，使得总利润最大化。

二、金融投资与资产配置金融投资是指将资金投入到各种金融市场和资产中，以期获得回报。

而资产配置则是指在不同风险水平下，按照一定的比例配置资金到各种资产上。

线性规划可以通过建立风险约束条件和目标函数，来确定最佳的资产配置组合，以实现风险和回报间的平衡。

举个例子，某投资者有一笔固定资金，可以投资于股票、债券和货币市场基金等多个金融工具。

他可以将自己的投资目标、预期收益和风险偏好建立为线性规划模型，以确定最佳的资产配置比例，从而达到理想的投资回报。

三、运输与配送运输与配送是指将物品从生产地或仓库运往销售点或用户手中的过程。

针对运输与配送的问题，线性规划可以通过建立运输路径、运输容量和运输成本等约束条件，来确定合理的物流方案，从而达到最佳的运输效益。

例如，某物流公司需要将商品从N个供应商处运输到M个销售点，每个供应商的供货量和每个销售点的需求量是已知的，同时每个运输路径的距离和费用也是已知的。

利用线性规划模型，可以确定每个运输路径上的货物运输量和运输方式，从而降低运输成本，提高物流效率。

四、人力资源管理人力资源管理是指通过合理的组织、激励和管理，利用有限的人力资源实现组织目标。

线性规划的应用标题：线性规划的应用引言概述：线性规划是一种数学优化方法，通过建立线性数学模型来解决实际问题中的最优化问题。

线性规划在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。

本文将介绍线性规划的应用，并详细阐述其在不同领域中的具体应用。

一、生产计划中的应用1.1 生产成本最小化：通过线性规划模型，可以确定生产计划中各个生产要素的最佳组合，从而达到最小化生产成本的目标。

1.2 生产量最大化：线性规划可以帮助企业确定最佳的生产量，使得生产效率最大化，从而提高企业的竞争力。

1.3 生产资源优化：通过线性规划模型，可以有效地分配生产资源，使得生产过程更加高效和稳定。

二、资源分配中的应用2.1 人力资源调配：线性规划可以帮助企业合理分配人力资源，确保每个部门都有足够的员工支持其运作。

2.2 资金分配优化：通过线性规划模型，可以确定最佳的资金分配方案，使得企业在有限的资金下实现最大化效益。

2.3 物资调配：线性规划可以帮助企业确定最佳的物资调配方案，确保各个部门都能够得到所需的物资支持。

三、运输问题中的应用3.1 最短路径问题：线性规划可以帮助确定最短路径，从而优化运输路线，减少运输成本和时间。

3.2 运输成本最小化：通过线性规划模型，可以确定最佳的运输方案，使得运输成本最小化，提高物流效率。

3.3 运输资源优化：线性规划可以帮助企业合理分配运输资源，确保运输过程高效稳定。

四、市场营销中的应用4.1 定价策略优化：线性规划可以帮助企业确定最佳的定价策略，使得产品价格合理，吸引更多客户。

4.2 营销资源分配：通过线性规划模型，可以确定最佳的营销资源分配方案，确保广告宣传效果最大化。

4.3 市场份额最大化：线性规划可以帮助企业确定最佳的市场份额分配方案，提高企业在市场上的竞争力。

五、金融投资中的应用5.1 投资组合优化：线性规划可以帮助投资者确定最佳的投资组合，使得风险最小化，收益最大化。

5.2 资产配置优化：通过线性规划模型，可以确定最佳的资产配置方案，确保资产组合的稳健性和盈利性。

线性规划在运筹学中的应用线性规划，在运筹学中是一个非常重要的数学方法，它可以解决许多实际问题。

线性规划是一种最优化的方法，它可以帮助我们在资源有限的情况下，合理地分配资源，达到最大化效益的目的。

1.线性规划的定义线性规划是一种用于求解优化问题的数学方法，它能够求解包含线性目标函数和线性约束条件的最优化问题。

与其他优化方法相比，线性规划具有计算简单、适用范围广等优点。

线性规划的基本形式可以表示为：目标函数：$max(c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n)$约束条件：$ax_1+b_1x_2+...+d_nx_n≤r$$x_1,x_2,...,x_n≥0$其中，$c_i$是每个决策变量的价值，$a,b,...,d$是线性约束条件中每个变量的系数，$r$是约束条件的界限。

2.线性规划的应用领域线性规划在实际应用中，有着非常广泛的应用领域。

2.1生产调度在生产过程中，生产的目标通常是在资源和时间有限的条件下最大化利润。

线性规划可以帮助企业制定最优生产计划，达到最大化效益的目标。

2.2运输问题在运输问题中，通常需要确定如何分配运输物资以最小化运输成本。

线性规划可以帮助解决这类问题，以确定最佳运输成本。

2.3设施选址在设施选址问题中，需要确定在哪里建造设施以最大程度地利用资源。

线性规划可以帮助制定最优的设施选址计划。

2.4资源分配在资源分配问题中，需要确定如何最好地利用资源以达到最大效益。

线性规划可以帮助解决这个问题，以确定最佳资源分配。

3.线性规划的优缺点3.1 优点线性规划具有计算简单、适用范围广、柔性、可扩展性等优点。

计算简单：线性规划的求解方法非常简单，常用的线性规划求解软件有MATLAB、LINGO、GAMS、EXCEL等，大多数软件都提供了直观的界面和演示讲解，即使没有专业知识也可以轻松使用。

适用范围广：线性规划被广泛应用于各种领域，包括生产调度、运输问题、设施选址、资源分配等。

柔性：线性规划具有良好的性能，可以根据问题的不同情况进行适当调整，以获得最佳结果。

线性规划和最优解线性规划是一种在数学和运筹学领域常见的问题求解方法，可以应用于各种现实生活中的决策问题。

它是通过一系列线性等式和不等式来建模，并在满足特定约束条件下求解使目标函数取得最优值的变量值。

线性规划的最优解能够帮助我们做出高效的决策，下面将详细介绍线性规划的原理和求解方法。

一、线性规划的基本概念线性规划中，我们首先需要明确问题的目标，并将其表示为一个线性函数，也被称为目标函数。

目标函数可以是最大化或最小化的，具体取决于问题的需求。

其次，我们需要确定一组变量，这些变量的取值将会对目标函数产生影响。

接下来，我们还需要列举出一系列约束条件，这些约束条件通常来自于问题的实际情况，例如资源限制、技术要求等。

最后，我们需要确定这些变量的取值范围，这也是约束条件的一部分。

二、线性规划的数学建模在线性规划中，我们可以通过以下步骤进行数学建模：1. 确定目标函数：根据问题的要求，我们可以定义一个线性函数作为目标函数。

例如，如果我们要最大化某个产品的利润，那么利润就可以是目标函数。

2. 列举约束条件：根据问题的实际情况，我们需要列举出一系列约束条件。

这些约束条件可以是线性等式或不等式，并且通常包含了变量的取值范围。

3. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，我们需要确定变量的取值范围。

例如，如果某个变量代表一个产品的产量，那么它的取值范围可能是非负数。

4. 构建数学模型：根据目标函数、约束条件和变量的取值范围，我们可以构建一个数学模型，将问题转化为线性规划模型。

三、线性规划的最优解求解方法线性规划的最优解可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于只有两个变量的简单线性规划问题，我们可以通过绘制变量的可行域图形，并计算目标函数在图形上的最优解点来求解问题。

2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。

它通过逐步迭代改进解向量，从而逼近最优解。

这个方法通常适用于复杂的线性规划问题，可以在较短的时间内得到比较好的结果。

线性规划在运筹学中的应用在现代运筹学中，线性规划是一种重要的数学工具，广泛应用于大量实际问题的求解。

线性规划利用线性数学模型来解决最优化问题，其中包括确定一组决策变量的取值，以使得线性目标函数达到最大或最小值的问题。

本文将探讨线性规划在运筹学领域的应用。

一、生产与物流规划线性规划在生产与物流规划方面应用广泛。

通过合理安排生产和物流过程中的各项资源，如人力、机器设备、原材料等，可以实现生产过程的优化与效率提升。

例如，生产调度问题是一个典型的线性规划问题，可以通过线性规划模型来确定最佳的生产计划和工序安排，以最大化产量或最小化生产成本。

二、投资组合与金融风险管理在金融领域，线性规划可以用于投资组合的优化。

通过将投资组合问题转化为线性规划模型，可以确定最佳的资产配置方案，以最大化收益或最小化风险。

在金融风险管理中，线性规划也可以用于确定最佳的投资组合，以实现风险的有效分散与管理。

三、资源分配与调度线性规划在资源分配与调度问题中有着广泛的应用。

例如，在人力资源管理中，通过线性规划模型可以确定最佳的岗位安排和员工调度计划，以实现工作效率的最大化或成本的最小化。

在交通运输领域，线性规划可以用于优化运输调度，如货物装载问题、车辆路径规划等，以实现运输成本的最小化和物流效率的提高。

四、网络流与最短路径问题线性规划在网络流与最短路径问题中也有重要应用。

网络流模型可以用于解决各种资源分配问题，如最大流问题、最小费用流问题等。

最短路径问题是运筹学中的一类经典问题，可以通过线性规划方法求解最短路径，并应用于交通路线规划、物流路径优化等领域。

五、供应链管理与库存控制在供应链管理和库存控制领域，线性规划是一个强大的工具。

通过合理调控供应链中的各个环节，可以实现库存成本的降低和供应链效率的提高。

线性规划模型可以用于确定最佳的订单量、补充策略以及货物调配方案，以最大化供应链的利润或最小化总成本。

综上所述，线性规划在运筹学中具有广泛的应用。

线性规划的实际应用第七届新世纪杯参评论文研究性学习——线性规划的实际应用天津一中高二数学备课组：吉学静、牛美娜、庞湃、何强、魏春晓、李俊山、顾若政、董楠、付善林申报人姓名：天津一中高二数学备课申报学科：数学学科联系方式：133********（天津一中高二数学备课组）研究性学习——线性规划的实际应用高二备课组：吉学静、牛美娜、庞湃、何强、魏春晓、李俊山、顾若政、董楠、付善林摘要本文是在学生掌握简单的线性规划知识的基础上，结合教材课程安排布置数学研究性学习作业，目的是对某些数学问题的探讨或者从数学角度对某些日常生活中和其它学科中出现的问题进行研究，充分体现教育新理念——以学生发展为本，调动学生自主学习的积极性和团结协作的意识，使学生注意体验数学活动的过程，以培养学生的创新精神和应用能力。

序言：《研究性学习与实习作业：线性规划的实际应用》是在学习了“简单的线性规划”之后，安排的一节研究性的活动和实习课。

这是高二（上）的一节研究性活动课，体现出它的独特地位。

线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,是一门研究如何使用最少的人力，物力去最优地完成任务，它是解决科学研究、工程设计、经济管理、生产实践等许多方面的实际问题的专门科学。

由于它可以为我们提供最合乎经济原则的科学工作方法，因此在当前知识经济的潮流中，能发挥出越来越重要的作用。

虽然中学数学讲的线性规划是一些简单初步的知识，但在实际工作中的很多地方都能找到它的应用。

按照教材的课程安排，我们结合学生的实际情况让高二年级同学充分利用“十一”长假的机会进行社会实践，又通过学生自主学习，通过报刊、书籍及其它媒体获取有关资料确定研究主题，用线性规划的知识，在实际问题中提炼数学模型进行分析，独立或合作写出的研究报告。

目的在于启发学生体会和领悟其中的数学思想和方法,提高学生的综合素质、能力和培养学生树立知识的纵横联系、交叉、融合、渗透的学习意识,提高学生用数学知识解决实际问题的能力。

运筹学线性规划案例线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何利用数学模型来解决最优化问题。

在实际应用中，线性规划可以帮助企业做出最佳的决策，使资源得到最大化利用。

本文将通过一个实际案例来介绍线性规划的应用，以便读者更好地理解和掌握这一方法。

假设某公司生产两种产品A和B，它们分别需要机器加工和人工装配。

公司拥有的机器和人工资源分别为每周80小时和60人天。

产品A每单位需要机器加工2小时，人工装配3人天；产品B每单位需要机器加工3小时，人工装配2人天。

每单位产品A的利润为2000元，产品B的利润为3000元。

现在的问题是，如何安排生产计划，才能使得利润最大化呢？首先，我们可以将该问题建立成数学模型。

假设x1和x2分别表示生产产品A 和B的单位数，则该问题可以表示为：Max Z=2000x1+3000x2。

约束条件为：2x1+3x2≤80。

3x1+2x2≤60。

x1≥0，x2≥0。

接下来，我们可以通过线性规划的方法来求解最优解。

在这里，我们不妨使用单纯形法来进行求解。

首先，我们将约束条件转化成标准形式，得到：2x1+3x2+s1=80。

3x1+2x2+s2=60。

x1≥0，x2≥0。

然后，我们构造初始单纯形表，并进行单纯形法的迭代计算。

最终得到最优解为x1=20，x2=10，此时利润最大为80000元。

通过这个简单的案例，我们可以看到线性规划在实际中的应用。

通过建立数学模型和运用线性规划方法，我们可以很好地解决类似的最优化问题，使得资源得到最大化利用，从而帮助企业做出更加科学合理的决策。

总之，线性规划作为运筹学中的重要方法，具有广泛的应用前景。

通过不断地学习和实践，我们可以更好地掌握线性规划的原理和方法，为实际问题的解决提供更加科学的支持。

希望本文的案例能够帮助读者更好地理解线性规划的应用，从而在实际工作中能够更好地运用这一方法，取得更好的效果。

线性规划在实际生活中的应用作者：教研室转贴自：本站原创点击数：6047更新时间：2006-9-30文章录入：jdb教材：全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）授课教师：江西省新余市第四中学聂清平教学目标：1．知识目标：会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题；2．能力目标：培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；3．情感目标：培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神．教学重、难点：教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答．教学难点：1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；2．寻找整点最优解的方法．教具：多媒体、实物投影仪、印好的习题纸和直尺（习题纸附后）教学方法：讲练结合、分组讨论法教学过程：（一）讲解新课1．实例1讲解引入：李咏主持的《非常6＋1》是大家很喜欢的娱乐节目．（播放视频：李咏首支个人单曲MV《你是我们的大明星》）当娱乐大哥大李咏把《非常6＋1》里的金蛋砸得金花四溅时，央视总编却在思考着另外一个问题：例1：央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分3 0秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？应用题是同学们最头痛的题型之一，它的特点是文字多、数据多，条件复杂，要看懂题目意思，理清题目中的数据，可以采用什么方式？请学生回答．分析：将已知数据列成下表解：设电视台每周应播映片甲x次，片乙y次，总收视观众为z万人．列约束条件时，要注意讲清xN.yN，这是学生容易忽略的问题．列出了约束条件和目标函数后，应用问题转化为线性规划问题，用图解法求解．先请学生回忆图解法求线性规划问题的一般步骤，然后教师用多媒体课件展示画图、平移过程：①画出了可行域后用闪动的方式加以强调；②拖动直线l平移，平移过程中可以显示z值的大小变化．由图解法可得：当x=3， y=2时，zmax=220．答：电视台每周应播映甲种片集3次，乙种片集2次才能使得收视观众最多．例题小结：简单线性规划应用问题的求解步骤：（教师示意学生观看板书，并给予适当的提示）1．将已知数据列成表格的形式，设出变量x，y和z;2．找出约束条件和目标函数;3．作出可行域，并结合图象求出最优解;4．按题意作答．2．实例2讲解 (课本例题修改，数据基本不变，改了题目的实际背景)引入：“中国结”是中国特有的民间手工编结装饰品，“中国结”经过几千年的结艺演变，现已成为广大群众喜爱的具有中国特色的艺术品：（展示中国结的图片，及其它相关图片，配有背景音乐）例2：某校高二(1)班举行元旦文艺晚会，布置会场要制作“中国结”，班长购买了甲、乙两种颜色不同的彩绳，把它们截成A、B、C三种规格．甲种彩绳每根8元，乙种彩绳每根6元，已知每根彩绳可同时截得三种规格彩绳的根数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的彩绳各15、18、27根，问各截这两种彩绳多少根，可得所需三种规格彩绳且花费最少？分析：将已知数据列成下表解：设需购买甲种彩绳x根、乙种彩绳y根，共花费z元；z=8x+6y在用图解法求解的过程中，学生发现：直线l最先经过可行域内的点A(3.6,7.8)并不是最优解,学生马上想到最优解可能是（4，8），引导学生计算花费，花费为80元，有没有更优的选择?进一步激发学生兴趣：可能是（3，9）吗? 此时花费为78元，可能是（2，10）吗？此时花费为76元，可能是……，如何寻找最优解？满足题意的点是可行域内的整点，首先要找整点，引导学生采用打网格或利用坐标纸的方法；根据线性规划知识，平移直线l,最先经过的整点坐标是整数最优解．由网格法可得：当x=3，y=9时，zmin=78．答：班长应购买3根甲种彩绳、9根乙种彩绳，可使花费最少！例题小结：确定最优整数解的方法：1．若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）2．若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线l、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解；这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．（结合例题1、例题2，可以归纳出以上两点）（二）课堂练习引入：2006年9月，历4载风雨，国家体育场“鸟巢”从图纸变成现实．××中学想组织学生去参观：（动画演示到国家体育场行进路线，展示“鸟巢”效果图，配上背景音乐）练习：××中学准备组织学生去国家体育场“鸟巢”参观．参观期间，校车每天至少要运送480名学生．该中学后勤集团有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人．已知每辆客车每天往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元．请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，能使总费用最少？学生练习分为三部分，引导学生动手，分解难点：（每个学生发一张习题纸和一把直尺，在习题纸上作答、画图）1．练习填表理解题意（习题纸上课堂练习题下印有下表）思考片刻，请学生回答．2．练习列约束条件和目标函数；①将学生分为三组，分组讨论，各组竞争，教师巡视，对学生列式中出现的错误及时纠正；②从三组中选出一位完成的好的同学的习题纸，用投影仪展示，教师讲解、点评，提醒学生注意解题的规范性；3．练习画图，寻找整数最优解；①习题纸上的课堂练习已画好网格和坐标系，学生在习题纸上练习画图，教师巡视，对学生画图中出现的错误及时纠正；②把最先找出整点最优解的同学的习题纸用投影仪展示，教师讲解、点评．解：设每天派出小巴x辆、大巴y辆，总运费为z元；z=240x+180y由网格法可得：x=2，y=4时，zmin=1200．答：派4辆小巴、2辆大巴费用最少．（三）回顾与小结请同学们相互讨论交流：1．本节课你学习到了哪些知识？2．本节课渗透了些什么数学思想方法？（引导学生从知识和思想方法两个方面进行小结）知识：1．把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型的方法．建模主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，如例题1．（链接到例题1，进行具体实例回顾）2．求解整点最优解的解法：网格法．网格法主要依赖作图，要规范地作出精确图形．（链接到例题2，进行具体实例回顾）思想方法：数形结合思想、化归思想，用几何方法处理代数问题．（四）布置作业课本65页习题7．4 第3、5题教学设计说明1．课时分析在组织社会化生产、经营管理活动中，我们经常会碰到最优决策的实际问题．而解决这类问题的现代管理科学以线性规划作为其重要的理论基础，为此，试验教材高二(上)编进了简单的线性规划知识．这不仅给传统的高中数学注入了新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的实践机会．本课时讲线性规划在实际生活中的应用．为了激发学生学习数学的兴趣，养成学数学、用数学的意识并进一步提高解决实际问题的能力．在教材例题的框架下，我本着贴近时代、贴近生活、贴近学生为原则．以学生的日常学习、生活为背景，设计了两道例题、一道练习题，让学生感受到数学来源于实践，服务于生活．使学生在掌握数学知识和方法的同时，享受学习数学带来的情感体验和成功的喜悦．2．重、难点解析本节的重点是把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答．难点是建立数学模型和整点最优解的寻找．建模是解决线性规划问题的极为重要的环节与技术．一个正确数学模型的建立要求建模者熟悉规划问题的生产和管理内容，明确目标要求和错综复杂的约束条件．这对初学者来说，有相当的难度．解决这个难点的关键是根据问题中的已知条件，各种数据，依据条件在表中列出，从而找出约束条件和目标函数，并从数学角度有条理地表述出来．线性规划中寻找整点最优解的问题，教材中提供了利用作图解决问题的方法，这种方法简单方便，学生容易掌握，体现了数形结合的数学思想。

线性规划理论在实际问题中的应用内容摘要:企业是一个复杂的系统,要研究它必须将其抽象出来形成模型。

如果将系统内部因素的相互关系和它们活动的规律用数学的形式描述出来，就称之为数学模型.线性规划是运用数学模型,对人力、设备、材料、资金等进行系统和定量的分析，使生产力得到最为合理的组织，以获得最佳的经济效益。

应用线性规划问题解决实际问题，最重要的一个步骤就是首先要建立实际问题的线性规划问题的数学模型.一、线性规划问题及其数学模型二、线性规划模型的具体分析及应用Excel求解线性规划问题三、线性规划的局限性一、线性规划问题及其数学模型（一）线性规划的模型决定于它的定义，线性规划的定义是：求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解。

根据这个定义,就可以确定线性规划模型的基本结构。

（1)变量变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素,也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示,如X l,X2，X3，X mn等。

（2）目标函数将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值，如产值极大值、利润极大值或者极小值，如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。

(3)约束条件约束条件是指实现系统目标的限制因素。

它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面,如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件。

约束条件的数学表示形式为三种，即≥、＝、≤.线性规划的变量应为正值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负。

（二）在经济管理中，线性规划使用较多的是下述几个方面的问题：(1）投资问题—确定有限投资额的最优分配,使得收益最大或者见效快。

(2）计划安排问题—确定生产的品种和数量,使得产值或利润最大，如资源配制问题。

（3) 任务分配问题—分配不同的工作给各个对象（劳动力或机床)，使产量最多、效率最高，如生产安排问题。