北京朝阳区初三数学一模试题及答案

北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷2018.5学校班级姓名考号一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有．．一个． 1.如图，直线a ∥b ，则直线a ，b 之间距离是 （A ）线段AB 的长度 （B ）线段CD 的长度 （C ）线段EF 的长度 （D ）线段GH 的长度2.若代数式12 x x有意义，则实数x 的取值范围是（A ）x =0（B ）x =1（C ）x ≠0（D ）x ≠13.若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是 （A ）球 （B ）圆柱 （C ）圆锥 （D ）三棱柱4.已知l 1∥l 2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示位置摆放，则∠1+∠2的度数为 （A ）90° （B ）120° （C ）150° （D ）180°5.下列图形中，是中心对称图形但不是．．轴对称图形的是 （A ）（B ）（C ）（D ）6.实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示， 下列结论①a ＜b ；②|b |=|d |；③a+c =a ；④ad >0中，正确的有 （A ）4个（B ）3个（C ）2个 （D ）1个7.“享受光影文化，感受城市魅力”，2018年4月15-22日第八届北京国际电影节顺利举办.下面的统计图反映了北京国际电影节﹒电影市场的有关情况．第六届和第八届北京国际电影节﹒电影市场“项目创投”申报类型统计表 根据统计图提供的信息，下列推断合理．．的是 （A ）两届相比较，所占比例最稳定的是动作冒险（含战争）类 （B ）两届相比较，所占比例增长最多的是剧情类 （C ）第八届悬疑惊悚犯罪类申报数量比第六届2倍还多（D ）在第六届中，所占比例居前三位的类型是悬疑惊悚犯罪类、剧情类和爱情类 8.如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A =90°，AB =6，点P 是AB 边 上一动点（点P 与点A 不重合），以AP 为边作正方形APDE ，设 AP =x ，正方形APDE 与△ABC 重合部分（阴影部分）的面积为y ， 则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.赋予式子“ab ”一个实际意义：．10.如果023≠=，那么代数式)2(422n m n m +⋅-的值是． 11.足球、篮球、排球已经成为北京体育的三张名片，越来越受到广大市民的关注.下表是北京两支篮球队在2017-2018赛季CBA 常规赛的比赛成绩：设胜一场积x 分，负一场积y 分，依题意，可列二元一次方程组为．12.如图，AB ∥CD ，AB=21CD ，S △ABO ：S △CDO =．13.如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，OD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，则∠BAD =度.第13题图第14题图14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，△O'A'B'可以看作是△OAB 经过若干次图形的变化 （平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OAB 得到△O'A'B'的过程：.15.下列随机事件的概率：①投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率；②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率；③抛一枚图钉，“钉尖向下”的概率；④某作物的种子在一定条件下的发芽率.既可以用列举法求得又可以用频率估计获得的是（只填写序号）.：该尺规作图的依据是?．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题7分，第28题8分）17.计算：2sin30°+.8)4()31(01+-+-π18.解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x19.如图，在△ACB 中，AC =BC ，AD 为△ACB 的高线，CE 为△ACB 的中线.求证：∠DAB =∠ACE.20.已知关于x 的一元二次方程0)1(2=+++k x k x ． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k 的取值范围.21.如图，在△ABC 中，D 是AB 边上任意一点，E 是BC 边中点，过点C作AB 的平行线，交DE 的延长线于点F ，连接BF ，CD ． （1）求证：四边形CDBF 是平行四边形；（2）若∠FDB =30°，∠ABC =45°，BC = ，求DF 的长．22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与反比例函数xky 的图象在第四象限交于点C ，CD ⊥x 轴于点D ，tan ∠OAB ＝2，OA ＝2，OD ＝1．（1）求该反比例函数的表达式；（2）点M 是这个反比例函数图象上的点，过点M作MN ⊥y 轴，垂足为点N ，连接OM 、AN ，如果 S △ABN ＝2S △OMN ，直接写出点M 的坐标.23.如图，在⊙O 中，C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的切线于点E ．（1）求证：AE ⊥CE ．（2）若AE = ，sin ∠ADE =31，求⊙O 半径的长．24.水果基地为了选出适应市场需求的小西红柿秧苗，在条件基本相同的情况下，把两个品种的小西红柿秧苗各300株分别种植在甲、乙两个大棚.对于市场最为关注的产量和产量的稳定性，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．收集数据从甲、乙两个大棚各收集了25株秧苗上的小西红柿的个数：甲整理、描述数据按如下分组整理、描述这两组样本数据（说明：45个以下为产量不合格，45个及以上为产量合格，其中45~65个为产量良好，65~85个为产量优秀） 分析数据两组样本数据的平均数、众数和方差如下表所示：得出结论a ．估计乙大棚产量优秀的秧苗数为?株；b ．可以推断出?大棚的小西红柿秧苗品种更适应市场需求，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）25.如图，AB 是⊙O 的直径，AB =4cm ，C 为AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD =60°，DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AB 于点G ，当点C 在AB 上运动时，设AF =x cm ，DE =y cm （当x 的值为0或3时，y 的值为2），探究函数y 随自变量x 的变化而变化的 规律.（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F 与点O 重合时，DE 长度约为cm （结果保留一位小数）．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B .（1）求点A ，B 的坐标；（2）若方程()244=00ax ax a --≠有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围.27.如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 为AB 边上一动点（与点A ，B 不重合），连接CE ，将∠ACE 的两边所在射线CE ，CA 以点C 为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD 于点F ，G. （1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系，并证明．28.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，其中A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为线段AB 的伴随点． （1）当t =-3时，①在点P 1（1，1），P 2（0，0），P 3（-2，-1）中，线段AB 的伴随点是； ②在直线y =2x +b 上存在线段AB 的伴随点M 、N ，且MN =求b 的取值范围； （2）线段AB 的中点关于点（2，0）的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30°得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的伴随点，直接写出t 的取值范围．北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）9.答案不惟一，如：边长分别为a ，b 的矩形面积 10.4711.⎩⎨⎧=+=+.562018,631325y x y x 12.1:413.15 14.答案不唯一，如：以x 轴为对称轴，作△OAB 的轴对称图形，再将得到三角形沿向右平移4个单位长度 15.①②16.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角是直角三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题7分，第28题8分）17.解：原式2213212+++⨯= (4)分225+=.…………………………………………………………………5分18.解：原不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x解不等式①，得5<x .………………………………………………………………………2分解不等式②，得21>x .………………………………………………………………………4分∴原不等式组的解集为521<<x .…………………………………………………………5分 19.证明：∵AC ＝BC ，CE 为△ACB 的中线，∴∠CAB ＝∠B ，CE ⊥AB .………………………………………………………………2分 ∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°.…………………………………………………………………3分 ∵AD 为△ACB 的高线， ∴∠D ＝90°.∴∠DAB ＋∠B ＝90°.……………………………………………………………………4分 ∴∠DAB ＝∠ACE .………………………………………………………………………5分20.（1）证明：依题意，得k k 4)1(2-+=∆…………………………………………1分.)1(2-=k ……………………………………………………………2分∵0)1(2≥-k ，∴方程总有两个实数根.……………………………………………………………3分（2）解：由求根公式，得11-=x ，k x -=2.…………………………………………………4分∵方程有一个根是正数， ∴0>-k . ∴0<k .………………………………………………………………………………5分 21.（1）证明：∵CF ∥AB ，∴∠ECF ＝∠EBD . ∵E 是BC 中点， ∴CE ＝BE .∵∠CEF ＝∠BED ， ∴△CEF ≌△BED . ∴CF ＝BD .∴四边形CDBF 是平行四边形.………………………………………………2分（2）解：如图，作EM ⊥DB 于点M ，∵四边形CDBF 是平行四边形，BC ＝24，∴2221==BC BE ，DE DF 2=. 在Rt △EMB 中，2sin =∠⋅=ABC BE EM .……………………………………3分 在Rt △EMD 中，42==EM DE .………………………………………………4分∴DF ＝8.……………………………………………………………………………………5分 22.解：（1）∵AO ＝2，OD ＝1，∴AD ＝AO+OD ＝3.……………………………………………………………………1分∵CD ⊥x 轴于点D ， ∴∠ADC ＝90°.在Rt △ADC 中，6tan =∠⋅=OAB AD CD ..∴C （1，－6）.……………………………………………………………………………2分∴该反比例函数的表达式是xy 6-=.…………………………………………………3分（2）点M 的坐标为（－3,2）或（53，－10）.……………………………………………5分23.（1）证明：连接OA ，∵OA 是⊙O 的切线，∴∠OAE ＝90o (1)∵C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，∴CD 为△AOB 的中位线.∴CD ∥OA ． ∴∠E ＝90o. ∴AE ⊥CE .…………………………………2分（2）解：连接OD ，∴∠ODB ＝90o.………………………………………………………………………3分∵AE = ，sin ∠ADE =31，在Rt △AED 中，23sin =∠=ADEAEAD .∵CD ∥OA ， ∴∠1＝∠ADE .在Rt △OAD 中，311sin ==∠OA OD .………………………………………………4分设OD ＝x ，则OA ＝3x ，∵222OA AD OD =+， ∴()()222323x x =+.解得231=x ，232-=x （舍）. ∴293==x OA .……………………………………………………………………5分即⊙O 的半径长为29. 24.解：整理、描述数据按如下分组整理、描述这两组样本数据…………………………………………………………………………………………………2分得出结论a ．估计乙大棚产量优秀的秧苗数为84?株；…………………………3分b ．答案不唯一，理由须支撑推断的合理性.…………………………5分25.解：本题答案不唯一，如：分 （2）……………………………………………………………………………………………4分 （3）3.5．……………………………………………………………………………………6分 26.解：（1）44)2(4422---=--=a x a ax ax y ．∴A （0，－4），B （2，0）．…………………………………………………………2分（2）当抛物线经过点（1，0）时，34-=a ．……………………………………………4分当抛物线经过点（2，0）时，1-=a ． (6)分结合函数图象可知，a 的取值范围为134<≤-a ．…………………………………7分27.（1）补全的图形如图所示.……………………………………………………………………………………………1分 （2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°， ∴∠DAC=∠BAC=30°.........................................................................2分 ∴∠AGC=30°. ∴∠AFC =α+30°. (3)分（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为CG AFAE 3=+.证明：作CH ⊥AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°. ∴CA=CG.………………………………………………………………………………………5分∴HG=21AG. ∵∠ACE=∠GCF ，∠CAE=∠CGF ， ∴△ACE ≌△GCF.……………………………………………………………………………6分∴AE=FG .在Rt △HCG 中，.23cos CG CGH CG HG =∠⋅= ∴AG =3CG .…………………………………………………………………………………7分即AF+AE =3CG .28.解：（1）①线段AB 的伴随点是:23,P P .…………………………………………2分 ②如图1，当直线y =2x +b 经过点（-3，-1）时，b =5，此时b 取得最大值.…………………………………………………………………………4分 如图2，当直线y =2x +b 经过点（-1，1）时，b =3，此时b 取得最小值. …………………………………………………………………………5分 ∴b 的取值范围是3≤b ≤5.…………………………………………………6分（2）t 的取值范围是-12.2t ≤≤…………………………………………………………8分图1 图2。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1.下图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）长方体（B ）三棱柱（C ）圆锥（D ）圆柱第1题 第3题 第4题 第7题2.我国已建成世界上规模最大的社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖1 040 000 000人左右，将1 040 000 000用科学记数法表示应为（A ）1.04×1010 （B ）1.04×109 （C ）10.4×109 （D ） 0.104×10113．如上图，若数轴上的点A 表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数是（A ） （B（C （D ）π4. 如上图，直线AB ，CD 相交于点O ，若∠AOC =60°，∠BOE =40°，则∠DOE 的度数为（A ）60° （B ）40°（C ）20° （D ）10°5. 经过某路口的汽车，只能直行或右转. 若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆汽车都直行的概率为（A ）（B ）（C ）（D ）141312346．正六边形的外角和为（A ）180°（B ）360°（C ）540°（D ）720°7．某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况，从本校学生中随机抽取了200名进行问卷调查，根据数据绘制了如上面图所示的统计图. 若该校有2000名学生，估计喜欢木工的人数为（A ）64（B ）380（C ）640 （D ）7208. 下面的三个问题中都有两个变量：①矩形的面积一定，一边长y 与它的邻边x ;②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S 与全村总人口n ;③汽车的行驶速度一定，行驶路程s 与行驶时间t .其中，两个变量之间的函数关系可以用形如的式子表示的是（A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③二、填空题（共16分，每题2分）9在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．10．分解因式：．11． 若关于x 的一元二次方程260x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 ．12．方程的解为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数的图象经过点和点，则．14．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AC =6. 若△ABD 的周长为13，则△ABC 的周长为．15．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 边上，连接BE 并延长，交CD 的延长0ky k k x=≠（为常数，）2363a a -+=322x x=+6y x=()2A m ，()2B n -，m n +=第14题图第15题图线于点F . 若AB =2，BC =4，，则BF 的长为 ．16. 一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元.（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住. 三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元.）（1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了间一人间;（2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为元.三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．计算：．18．解不等式组：19．已知，求代数式的值．20. 下面是证明“等腰三角形的两个底角相等”的两种添加辅助线的方法，选择其2AEDE=(02sin 45π-+-o 17242.3x x xx +⎧⎪+⎨⎪⎩＞-，≤230x x --=(2)(2)(2)x x x x +---中一种，完成证明.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC .求证：∠B =∠C .方法一证明：如图，作△ABC 的中线AD .方法二证明：如图，作△ABC 的角平分线AD .21. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，AE ∥CF ，连接AF ，CE ．（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）若∠EAO +∠CFD =180°，求证：四边形AECF 是矩形．22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象经过点（0，1），（-2，2），与x轴交于点A .（1）求该一次函数的表达式及点A 的坐标；（2）当2x ≥时，对于x 的每一个值，函数的值大于一次函数0y kx b k =+≠（）2y x m =+的值，直接写出m 的取值范围.23. 如图，AB 是⊙O 的弦，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，过点A 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点D ，连接OB .（1）求证：∠B =∠D ；（2）延长BO 交⊙O 于点E ，连接AE ，CE ，若AD=，sinBCE 的长．24．某校为了解读书月期间学生平均每天阅读时间，在该校七、八、九年级学生中各随机抽取了15名学生，获得了他们平均每天阅读时间（单位：min ），并对数据进行了整理、描述，给出部分信息.a . 七、八年级学生平均每天阅读时间统计图：0y kx b k =+≠（）七年级学生平均每天阅读时间八年级学生平均每天阅读时间b . 九年级学生平均每天阅读时间：21 22 25 33 36 36 37 37 39 39 41 42 46 48 50c . 七、八、九年级学生平均每天阅读时间的平均数：年级七八九平均数26.435.236.8根据以上信息，回答下列问题：（1）抽取的15名九年级学生平均每天阅读时间的中位数是 ；（2）求三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数；（3）若七、八、九年级抽取的学生平均每天阅读时间的方差分别为，，，则，，之间的大小关系为.25．一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程，滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）近似满足“一次函数”、“二次函数”或“反比例函数”关系中的一种. 测得一些数据如下：滑行时间t /s 01234滑行距离s /m261220（1）s 是t 的函数（填“一次”、“二次”或“反比例”）；21s 22s 23s 21s 22s 23s（2）求s 关于t 的函数表达式；（3）已知第二位滑雪者也从坡顶滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）近似满足函数关系2522s t t =+. 记第一位滑雪者滑完全程所用时间为t 1，第二位滑雪者滑完全程所用时间为t 2，则t 1t 2（填“<”，“=”或“＞”）.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+（2m -6）x +1经过点()124m -，.（1）求a 的值；（2）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（3）点()1m y -，，()2m y ，，()32m y +，在抛物线上，若231y y y ＜≤，求m 的取值范围.27. 如图，∠MON =α，点A 在ON 上，过点A 作OM 的平行线，与∠MON 的平分线交于点B ，点C 在OB 上（不与点O ，B 重合），连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转180°-α，得到线段AD ，连接BD .（1）直接写出线段AO 与AB 之间的数量关系，并证明∠MOB =∠DBA ；（2）连接DC 并延长，分别交AB ，OM 于点E ，F . 若α=60°，用等式表示线段EF 与AC 之间的数量关系，并证明.28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，C ，Q （点P 与点C 不重合），给出如下定义：若∠PCQ =90°，且1CQ CP k，则称点Q 为点P 关于点C 的“k -关联点”.已知点A （3，0），点B （0，），⊙O 的半径为r .（1）①在点D （0，3），E （0，-1.5），F （3，3）中，是点A 关于点O 的“1-关联点”的为；②点B 关于点O 的关联点”的坐标为；（2）点P 为线段AB 上的任意一点，点C 为线段OB 上任意一点（不与点B重合）.①若⊙O 上存在点P 关于点O 的关联点”，直接写出r 的最大值及最小值；②当r =⊙O 上不存在点P 关于点C 的“k -关联点”，直接写出k 的取值范围：.北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考2023.4一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案A B D C A B C A 二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27，28题，每题7分）17. 解：原式12=-++1=+.18. 解：原不等式组为17242.3x xxx+⎧⎪+⎨⎪⎩＞-，≤解不等式①，得 2.x>解不等式②，得 4.x≤∴原不等式组的解集为2 4.x<≤19. 解：(2)(2)(2)x x x x+---2242x x x=--+222 4.x x=--∵230x x--=，∴2 3.x x-=题号9101112答案5x≥23(1)a-9x=4题号13141516答案01951；1600①②∴原式22()4 2.x x =--=20. 方法一证明：∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD =CD .在△ABD 和△ACD 中，AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，∴△ABD ≌△ACD . ∴∠B =∠C .方法二证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD =∠CAD . 在△ABD 和△ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ABD ≌△ACD . ∴∠B =∠C.21. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC . ∵AE ∥CF ，∴∠EAO =∠FCO .∵∠AOE =∠COF ，∴△AEO ≌△CFO . ∴OE =OF .∴四边形AECF 为平行四边形.（2）∵∠EAO +∠CFD =180°，∠CFO +∠CFD =180°，∴∠EAO=∠CFO . ∵∠EAO =∠FCO ，∴∠FCO=∠CFO . ∴OC=OF . ∴AC=EF .∴四边形AECF 是矩形．22. 解：（1）∵一次函数的图象经过点（0，1），（-2，2），∴12 2.b k b =⎧⎨-+=⎩，解得 121.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴该一次函数的表达式为11.2y x =-+令0y =，得 2.x =∴()20.A ，（2） 4.m ＞-23. （1）证明：如图，连接OA .∵AD 为⊙O 的切线，∴∠OAD =90°.∴∠CAD +∠OAB =90°.∵OC ⊥AB ，∴∠ACD =90°.∴∠CAD +∠D =90°.∴∠OAB =∠D .∵OA =OB ，∴∠OAB =∠B .∴∠B =∠D .（2）解：在Rt △ACD 中，AD=，sin D =sin B，可得sin 2AC AD D =⋅=.∴AB =2AC =4.根据勾股定理，得CD =4.∴tan B =tan D =12.∵BE 为⊙O 的直径，0y kx b k =+≠（）∴∠EAB =90°.在Rt △ABE 中,tan 2AE AB B =⋅=.在Rt △ACE 中，根据勾股定理，得CE=24．解：（1）37．（2）根据题意可知，三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数为 1526.41535.21536.832.8.45⨯+⨯+⨯=（3）＜＜．25．解：（1）二次.（2）设s 关于t 的函数表达式为s =at 2+bt ，根据题意，得242 6.a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11.a b =⎧⎨=⎩，∴s 关于t 的函数表达式为s =t 2+t.（3）＞.26．解：（1）∵抛物线y =ax 2+（2m -6）x +1经过点()124m -，，∴2m -4=a +（2m -6）+1.∴a =1（2）由（1）得抛物线的表达式为y =x 2+（2m -6）x +1.∴抛物线的对称轴为3.x m =-（3）①当m ＞0时，可知点()1m y -，，()2m y ，，()32m y +，从左至右分布.根据23y y ＜可得232m m m ++-＜.∴ 1.m ＞根据31y y ≤可得232m m m -++-≥.∴ 2.m ≤22s 21s 23s∴1 2.m ＜≤②当m ≤0时，∵3m m m +≤-＜-，∴21y y ≥，不符合题意.综上，m 的取值范围为1 2.m ＜≤27．解：（1）AO =AB .证明：∵OB 平分∠MON ， ∴∠MOB =∠NOB. ∵OM //AB ，∴∠MOB =∠ABO. ∴∠NOB =∠ABO. ∴AO =AB .根据题意，得AC =AD ，∠OAB =∠CAD .∴∠CAO =∠DAB.∴△OAC ≌△BAD. ∴∠COA =∠DBA. ∴∠MOB =∠DBA.（2）EF =.证明：如图，在OM 上截取OH =BE ，连接CH .∵△OAC ≌△BAD ，∴OC=BD.又OH =BE ，∴△OHC ≌△BED.∴CH=DE ，∠OHC=∠BED ，∵OM//AB ，∴∠MFC=∠BED.∴∠MFC=∠OHC.∴CF=CH.∴CF=DE.∴CD=EF.∵α=60°，∴∠CAD=180°－α=120°，作AK ⊥CD 于点K. ∵AC=AD ，∴∠ACK =30°，1.2CK CD =∴.CK AC =∴CD =.∴EF =.28． 解：（1）①D .②（-3，0）或（3，0）.（2）① 3，32.②k .。

北京市朝阳区九年级综合练习(一)数学试卷２０２３ ４学校㊀班级㊀姓名㊀考号考生须知１ 本试卷共８页ꎬ共三道大题ꎬ２８道小题ꎬ满分１００分ꎮ考试时间１２０分钟ꎮ２ 在试卷和答题卡上认真填写学校名称㊁班级㊁姓名和考号ꎮ３ 试题答案一律填涂或书写在答题卡上ꎬ在试卷上作答无效ꎮ４ 在答题卡上ꎬ选择题㊁作图题用２Ｂ铅笔作答ꎬ其他试题用黑色字迹签字笔作答ꎮ５ 考试结束ꎬ请将本试卷㊁答题卡和草稿纸一并交回ꎮ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀一㊁选择题(共１６分ꎬ每题２分)第１－８题均有四个选项ꎬ其中符合题意的选项只有一个∙∙∙∙.１ 右图是某几何体的三视图ꎬ该几何体是(Ａ)长方体(Ｂ)三棱柱(Ｃ)圆锥(Ｄ)圆柱２ 我国已建成世界上规模最大的社会保障体系㊁医疗卫生体系ꎬ基本养老保险覆盖１０４０００００００人左右ꎬ将１０４０００００００用科学记数法表示应为(Ａ)１ ０４ˑ１０１０(Ｂ)１ ０４ˑ１０９(Ｃ)１０４ˑ１０９(Ｄ)０ １０４ˑ１０１１３ 如图ꎬ若数轴上的点Ａ表示下列四个无理数中的一个ꎬ则这个无理数是(Ａ)－２(Ｂ)２(Ｃ)３(Ｄ)π４ 如图ꎬ直线ＡＢꎬＣＤ相交于点Ｏꎬ若øＡＯＣ＝６０ʎꎬøＢＯＥ＝４０ʎꎬ则øＤＯＥ的度数为(Ａ)６０ʎ(Ｂ)４０ʎ(Ｃ)２０ʎ(Ｄ)１０ʎ５ 经过某路口的汽车ꎬ只能直行或右转.若这两种可能性大小相同ꎬ则经过该路口的两辆汽车都直行的概率为(Ａ)１４(Ｂ)１３(Ｃ)１２(Ｄ)３４６ 正六边形的外角和为(Ａ)１８０ʎ(Ｂ)３６０ʎ(Ｃ)５４０ʎ(Ｄ)７２０ʎ７ 某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况ꎬ从本校学生中随机抽取了２００名进行问卷调查ꎬ根据数据绘制了如图所示的统计图.若该校有２０００名学生ꎬ估计喜欢木工的人数为(Ａ)６４(Ｂ)３８０(Ｃ)６４０(Ｄ)７２０８ 下面的三个问题中都有两个变量:①矩形的面积一定ꎬ一边长ｙ与它的邻边长ｘꎻ②某村的耕地面积一定ꎬ人均耕地面积Ｓ与全村总人口ｎꎻ③汽车的行驶速度一定ꎬ行驶路程ｓ与行驶时间ｔ.其中ꎬ两个变量之间的函数关系可以用形如ｙ＝ｋｘ(ｋ为常数ꎬｋʂ０)的式子表示的是(Ａ)①②(Ｂ)①③(Ｃ)②③(Ｄ)①②③二㊁填空题(共１６分ꎬ每题２分)９ 若ｘ－５在实数范围内有意义ꎬ则实数ｘ的取值范围是.１０ 分解因式:３ａ２－６ａ＋３＝.１１ 若关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋６ｘ＋ｍ＝０有两个相等的实数根ꎬ则实数ｍ的值为.１２ 方程３ｘ＋２＝２ｘ的解为.１３ 在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ若反比例函数ｙ＝６ｘ的图象经过点Ａ(２ꎬｍ)和点Ｂ(－２ꎬｎ)ꎬ则ｍ＋ｎ＝.１４ 如图ꎬ在әＡＢＣ中ꎬＤＥ是ＡＣ的垂直平分线ꎬＡＣ＝６.若әＡＢＤ的周长为１３ꎬ则әＡＢＣ的周长为.第１４题图㊀㊀㊀㊀第１５题图１５ 如图ꎬ在矩形ＡＢＣＤ中ꎬ点Ｅ在ＡＤ边上ꎬ连接ＢＥ并延长ꎬ交ＣＤ的延长线于点Ｆ.若ＡＢ＝２ꎬＢＣ＝４ꎬＡＥＤＥ＝２ꎬ则ＢＦ的长为.１６ 一个３３人的旅游团到一家酒店住宿ꎬ酒店的客房只剩下４间一人间和若干间三人间ꎬ住宿价格是一人间每晚１００元ꎬ三人间每晚１３０元.(说明:男士只能与男士同住ꎬ女士只能与女士同住.三人间客房可以不住满ꎬ但每间每晚仍需支付１３０元.)(１)若该旅游团一晚的住宿房费为１５３０元ꎬ则他们租住了间一人间ꎻ(２)若该旅游团租住了３间一人间ꎬ且共有１９名男士ꎬ则租住一晚的住宿房费最少为元.三㊁解答题(共６８分ꎬ第１７－２０题ꎬ每题５分ꎬ第２１题６分ꎬ第２２题５分ꎬ第２３－２４题ꎬ每题６分ꎬ第２５题５分ꎬ第２６题６分ꎬ第２７－２８题ꎬ每题７分)１７ 计算:π－３()０－２ｓｉｎ４５ʎ＋－２＋８.１８ 解不等式组:ｘ＋１>７－２ｘꎬｘɤ４＋２ｘ３.ìîíïïïï１９ 已知ｘ２－ｘ－３＝０ꎬ求代数式(ｘ＋２)(ｘ－２)－ｘ(２－ｘ)的值.２０ 下面是证明 等腰三角形的两个底角相等 的两种添加辅助线的方法ꎬ选择其中一种ꎬ完成证明.已知:如图ꎬ在әＡＢＣ中ꎬＡＢ＝ＡＣ.求证:øＢ＝øＣ.方法一证明:如图ꎬ作әＡＢＣ的中线ＡＤ.方法二证明:如图ꎬ作әＡＢＣ的角平分线ＡＤ.２１ 如图ꎬ在平行四边形ＡＢＣＤ中ꎬ对角线ＡＣꎬＢＤ相交于点Ｏꎬ点ＥꎬＦ在ＢＤ上ꎬＡＥʊＣＦꎬ连接ＡＦꎬＣＥ.(１)求证:四边形ＡＥＣＦ为平行四边形ꎻ(２)若øＥＡＯ＋øＣＦＤ＝１８０ʎꎬ求证:四边形ＡＥＣＦ是矩形.２２ 在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ(ｋʂ０)的图象经过点(０ꎬ１)ꎬ(－２ꎬ２)ꎬ与ｘ轴交于点Ａ.(１)求该一次函数的表达式及点Ａ的坐标ꎻ(２)当ｘȡ２时ꎬ对于ｘ的每一个值ꎬ函数ｙ＝２ｘ＋ｍ的值大于一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ(ｋʂ０)的值ꎬ直接写出ｍ的取值范围.２３ 如图ꎬＡＢ是☉Ｏ的弦ꎬ过点Ｏ作ＯＣʅＡＢꎬ垂足为Ｃꎬ过点Ａ作☉Ｏ的切线ꎬ交ＯＣ的延长线于点Ｄꎬ连接ＯＢ.(１)求证:øＢ＝øＤꎻ(２)延长ＢＯ交☉Ｏ于点Ｅꎬ连接ＡＥꎬＣＥꎬ若ＡＤ＝２５ꎬｓｉｎＢ＝５５ꎬ求ＣＥ的长.２４ 某校为了解读书月期间学生平均每天阅读时间ꎬ在该校七㊁八㊁九年级学生中各随机抽取了１５名学生ꎬ获得了他们平均每天阅读时间(单位:ｍｉｎ)ꎬ并对数据进行了整理㊁描述ꎬ给出部分信息.ａ 七㊁八年级学生平均每天阅读时间统计图:七年级学生平均每天阅读时间八年级学生平均每天阅读时间ｂ 九年级学生平均每天阅读时间:２１２２２５３３３６３６３７３７３９３９４１４２４６４８５０ｃ 七㊁八㊁九年级学生平均每天阅读时间的平均数:年级七八九平均数２６.４３５.２３６.８根据以上信息ꎬ回答下列问题:(１)抽取的１５名九年级学生平均每天阅读时间的中位数是ꎻ(２)求三个年级抽取的４５名学生平均每天阅读时间的平均数ꎻ(３)若七㊁八㊁九年级抽取的学生平均每天阅读时间的方差分别为ｓ２１ꎬｓ２２ꎬｓ２３ꎬ则ｓ２１ꎬｓ２２ꎬｓ２３之间的大小关系为.２５ 一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程ꎬ滑行距离ｓ(单位:ｍ)与滑行时间ｔ(单位:ｓ)近似满足 一次函数 ㊁ 二次函数 或 反比例函数 关系中的一种.测得一些数据如下:滑行时间ｔ/ｓ０１２３４滑行距离ｓ/ｍ０２６１２２０(１)ｓ是ｔ的函数(填 一次 ㊁ 二次 或 反比例 )ꎻ(２)求ｓ关于ｔ的函数表达式ꎻ(３)已知第二位滑雪者也从该山坡滑下并滑完全程ꎬ且滑行距离与第一位滑雪者相同ꎬ滑行距离ｓ(单位:ｍ)与滑行时间ｔ(单位:ｓ)近似满足函数关系ｓ＝５２ｔ２＋２ｔ.记第一位滑雪者滑完全程所用时间为ｔ１ꎬ第二位滑雪者滑完全程所用时间为ｔ２ꎬ则ｔ１ｔ２(填 < ꎬ ＝ 或 > ).２６ 在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ抛物线ｙ＝ａｘ２＋(２ｍ－６)ｘ＋１经过点(１ꎬ２ｍ－４). (１)求ａ的值ꎻ(２)求抛物线的对称轴(用含ｍ的式子表示)ꎻ(３)点(－ｍꎬｙ１)ꎬ(ｍꎬｙ２)ꎬ(ｍ＋２ꎬｙ３)在抛物线上ꎬ若ｙ２<ｙ３ɤｙ１ꎬ求ｍ的取值范围.２７ 如图ꎬøＭＯＮ＝αꎬ点Ａ在ＯＮ上ꎬ过点Ａ作ＯＭ的平行线ꎬ与øＭＯＮ的平分线交于点Ｂꎬ点Ｃ在线段ＯＢ上(不与点ＯꎬＢ重合)ꎬ连接ＡＣꎬ将线段ＡＣ绕点Ａ顺时针旋转１８０ʎ－αꎬ得到线段ＡＤꎬ连接ＢＤ.(１)直接写出线段ＡＯ与ＡＢ之间的数量关系ꎬ并证明øＭＯＢ＝øＤＢＡꎻ(２)连接ＤＣ并延长ꎬ分别交ＡＢꎬＯＭ于点ＥꎬＦ.若α＝６０ʎꎬ用等式表示线段ＥＦ与ＡＣ之间的数量关系ꎬ并证明.２８ 在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ对于点ＰꎬＣꎬＱ(点Ｐ与点Ｃ不重合)ꎬ给出如下定义:若øＰＣＱ＝９０ʎꎬ且ＣＱＣＰ＝１ｋꎬ则称点Ｑ为点Ｐ关于点Ｃ的 ｋ－关联点 .已知点Ａ(３ꎬ０)ꎬ点Ｂ(０ꎬ３３)ꎬ☉Ｏ的半径为ｒ.(１)①在点Ｄ(０ꎬ３)ꎬＥ(０ꎬ－１.５)ꎬＦ(３ꎬ３)中ꎬ是点Ａ关于点Ｏ的 １－关联点 的为ꎻ②点Ｂ关于点Ｏ的 ３－关联点 的坐标为ꎻ(２)点Ｐ为线段ＡＢ上的任意一点ꎬ点Ｃ为线段ＯＢ上任意一点(不与点Ｂ重合).①若☉Ｏ上存在点Ｐ关于点Ｏ的 ３－关联点 ꎬ直接写出ｒ的最大值及最小值ꎻ②当ｒ＝３２１时ꎬ☉Ｏ上不存在点Ｐ关于点Ｃ的 ｋ－关联点 ꎬ直接写出ｋ的取值范围:.。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷学校班级姓名考号考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，29道小题，满分120分. 考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1. 据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8 000 000 000 000美元基建投资．将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为A．0.8×1013B．8×1012C．8×1013D．80×10112. 如图，下列关于数m、n的说法正确的是A．m＞n B．m=nC．m＞－n D．m=－n3．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于A．20°B．40°C．60°D．80°4．下列计算正确的是A．2a+3a=6a B. a2+a3=a5 C. a8÷a2=a6 D. (a3)4= a7 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A B C D6．为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心的统计量是 A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差7颜色 数量（个）奖项 红色 5 一等奖 黄色 6 二等奖 蓝色 9 三等奖 白色10四等奖为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为 A.16 B. 51C. 310D. 12 8. 若正方形的周长为40，则其对角线长为A ．100B ．202C ．2D ．10 9．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在 近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河 垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ．如果QS =60 m ， ST =120 m ，QR =80 m ，则河的宽度PQ 为A ．40 mB ．60 mC ．120 mD ．180 m10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是A. 乙的速度是4米/秒B. 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米C. 甲从起点到终点共用时83秒D. 乙到达终点时，甲、乙两人相距68米二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若分式21-x 有意义，则x 的取值范围是 ． 12．分解因式：2236+3m mn n -= ．13．如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC =40°，则∠CDB 的度数为 ．14．请写出一个图象从左向右上升且经过点（－1，2）的函数，所写的函数表达式是 ．15．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 （填“一类、二类、三类”中的一个）．16．一组按规律排列的式子：a 2，25a -，310a，417a -，526a ，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知：如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB ∥CD ， BC =CD ．求证：AC =ED ．18．计算：10122sin 45(2015)3-⎛⎫-+--︒+- ⎪⎝⎭π．19．解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，地区类别 首小时内 首小时外一类 2.5元/15分钟 3.75元/15分钟 二类 1.5元/15分钟 2.25元/15分钟 三类 0.5元/15分钟 0.75元/15分钟20．已知250x x +-=，求代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值．21．已知关于x 的一元二次方程2630x x k -++=有两个不相等的实数根(1)求k 的取值范围；(2)若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．22．列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁 于2014年底开工. 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18 分钟，最快列出时速是最慢列车时速的2920倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？四、解答题（本题共20分，每小题5分）23. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE ∥AC 且DE=12AC ，连接 CE 、OE ，连接AE 交OD 于点F ． （1）求证：OE =CD ；（2）若菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=60°，求AE 的长．24．为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2014年全市燃煤数量比2012年压减450万吨，到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：（1）据报道，2012年全市燃煤由四部分组成，其中电厂用煤920万吨，则2012年全市燃煤数量为万吨；（2）请根据以上信息补全2012-2017年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据；（3）某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行”，大力提升自行车出行比例，小颖收集了该地区近几年公共自行车的有关信息（如下表），发现利用公共自行车出行人数与公共自行车投放数量之间近似成正比例关系.2012-2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表年份公共自行车投放数量（万辆）利用公共自行车出行人数（万人）2012 1.4 约9.92013 2.5 约17.62014 4 约27.62015 5 约根据小颖的发现，请估计，该地区2015年利用公共自行车出行人数（直接写出结果，精确到0.1）2012年全市燃煤各组成部分用煤量分布扇形统计图2012-2017年全市燃煤数量的折线统计图25.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F.（1）求证：∠BAD=∠DAE；（2）若AB=6，AD=5，求DF的长.26．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D 在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求APPD的值．小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：APPD的值为．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3 ．（1）求APPD的值；（2）若CD=2，则BP= ．图1图2图3五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF .①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值； ②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.28．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD 绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE.（1）如图1，点D在BC边上.①依题意补全图1；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长；（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）.图1图229．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”． （1）若P (1，2)，Q (4，2) ．①在点A (1，0)，B (25，4)，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ； ②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.（2）若P (0，0)，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q 的坐标．北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题 （本题共18分，每小题3分） 11. 2≠x12. 2)(3n m -13. 20°14. 3+=x y （答案不惟一）15. 二类16. 750a，nn a n 1)1-(21+⋅+（第一个空1分，第二个空2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠DCE . …………………………………………………………………1分 在△ABC 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=分分3-----------------------------------------------2-----------------------------------------------CD BC DCEB EC AB ∴△ABC ≌△ECD . ……………………………………………………………4分 ∴AC ＝ED . ……………………………………………………………………5分18. 解：原式 ＝122232+⨯--………………………………………………………4分 ＝2-.…………………………………………………………………………5分19. ⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，解：解不等式①，得2->x . ………………………………………………………………2分解不等式②，得x ＜1. ………………………………………………………………4分 ∴不等式组的解集是x <-2＜1. …………………………………………………5分20. 解：)2)(2()3()1(2-++---x x x x x＝4312222-++-+-x x x x x …………………………………………………3分 ＝32-+x x . ……………………………………………………………………4分 ∵052=-+x x ， ∴52=+x x .∴原式＝5－3＝2. ……………………………………………………………………5分 21. 解：（1）)3(4)6(2+--=∆k ………………………………………………………1分① ②12436--=k244+-=k∵原方程有两个不相等的实数根，∴0244>+-k .解得 6<k . ………………………………………………………………2分（2）∵6<k 且k 为大于3的整数，∴=k 4或5. ………………………………………………………………………3分① 当=k 4时，方程0762=+-x x 的根不是整数.∴=k 4不符合题意. ………………………………………………………… 4分② 当=k 5时，方程0862=+-x x 根为21=x ，42=x 均为整数.∴=k 5符合题意. ……………………………………………………………5分综上所述，k 的值是5.22. 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. …………………………………………1分 由题意，得60182029174-174=x x . ……………………………………………2分 解得 180=x . ……………………………………………3分经检验，180=x 是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分 答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）23. （1）证明：在菱形ABCD 中，OC=12AC . ∴DE=OC ．∵DE ∥AC ，∴四边形OCED 是平行四边形．…………………………………………1分∵AC ⊥BD ，∴平行四边形OCED 是矩形． …………………………………………2分∴OE =CD ．…………………………………………………………………3分（2）在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2．∴在矩形OCED 中，CE =223AD AO -………………4分在Rt △ACE 中， 227AC CE +．………………………………………………………5分24.（1）2300. ………………1分（2）如图. …………… 3分（3）35.0±0.5. ……………5分25.解：（1）连接OD ，∵ED 为⊙O 的切线，∴OD ⊥ED ．……………………………………………………………………………1分∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°. ………………………………………………………………………… 2分∵BC ∥ED ,∴∠ACB =∠E =∠EDO .∴AE ∥OD .∴∠DAE =∠ADO .∵OA =OD ,∴∠BAD =∠ADO .∴∠BAD =∠DAE . ………………………………3分（2）连接BD ，∴∠ADB =90°.∵AB =6，AD =5，∴BD 2211AB AD -=……………………………………………………………4分∵∠BAD =∠DAE =∠CBD ，∴tan ∠CBD = tan ∠BAD 11. 在Rt △BDF 中，∴DF =BD ·tan ∠CBD =115 . ……………………………………………………………5分26. 解：PD AP 的值为23 . …………………………………………………………………1分 解决问题：（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分设DC ＝k ，∵DC ︰BC ＝1︰2，∴BC ＝2k .∴DB ＝DC ＋BC ＝3k .∵E 是AC 中点，∴AE ＝CE .∵AF ∥DB ，∴∠F ＝∠1.又∵∠2＝∠3，∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分∴AF ＝BC ＝2k .∵AF ∥DB ，∴△AFP ∽△DBP . ∴DB AF PDAP =. ∴32=PD AP . …………………………………………………………………4分 （2） 6. ……………………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27. 解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1. … …………………………………………………………………2分∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) .∴M 2的顶点为(1，－1) .∴M 2的表达式为x x y 2-2=. …………3分（2）①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分∵直线n x y +=经过点F ，∴2=4+n .解得n =－2. ………………………5分② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分28.解：（1）①补全图形，如图1所示. ………………………1分②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°.∵DF⊥BC，∴∠FDB=90°.图1 ∴∠ADF=∠EDB. ……………………………………2分∵∠C=90°，AC=BC，∴∠ABC=∠DFB=90°.∴DB=DF.∴△ADF≌△EDB. ……………………………………3分∴AF=EB.在△ABC和△DFB中，∵AC=8，DF=3，∴AC=82，DF=32. ………………………………………………………………4分AF=AB－BF=52即BE=52…………………………………………………………………………5分（22BD=BE+AB. ……………………………………………………………………7分29. 解:（1）A、B……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接P′Q，P′Q与x轴的交点即为“等高点”M，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q的长. ………………………3分∵P (1，2)，∴ P ′ (1，－2).设直线P ′Q 的表达式为b kx y +=，根据题意，有⎩⎨⎧=+-=+242b k b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==31034b k .∴直线P ′Q 的表达式为31034-=x y . ……………4分 当0=y 时，解得25=x . 即25=t . ………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′，∴5''22=+=PQ PP Q P . ∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分 （3）Q （554，552）或Q （554-，552）. ………………………………8分。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷 2018.5学校 班级 姓名 考号考 生 须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有．．一个． 1.如图，直线a ∥b ，则直线a ，b 之间距离是 （A ）线段AB 的长度 （B ）线段CD 的长度 （C ）线段EF 的长度 （D ）线段GH 的长度 2.若代数式12 x x有意义，则实数x 的取值范围是 （A ）x =0 （B ）x =1 （C ）x ≠0 （D ）x ≠13.若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是 （A ）球（B ）圆柱 （C ）圆锥 （D ）三棱柱4.已知 l 1∥l 2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示位置摆放，则∠1+∠2的度数为（A ） 90° （B ）120°（C ）150° （D ）180°5.下列图形中，是中心对称图形但不是．．轴对称图形的是 （A ）（B ）（C ） （D ）6.实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论 ①a ＜b ；②|b |=|d | ；③a+c =a ；④ad >0中，正确的有 （A ）4个（B ）3个（C ）2个 （D ）1个7. “享受光影文化，感受城市魅力”，2018年4月15-22日第八届北京国际电影节顺利举办.下面的统计图反映了北京国际电影节﹒电影市场的有关情况．第六届和第八届北京国际电影节﹒电影市场“项目创投”申报类型统计表 根据统计图提供的信息，下列推断合理．．的是 （A ）两届相比较，所占比例最稳定的是动作冒险（含战争）类 （B ）两届相比较，所占比例增长最多的是剧情类（C ）第八届悬疑惊悚犯罪类申报数量比第六届2倍还多（D ）在第六届中，所占比例居前三位的类型是悬疑惊悚犯罪类、剧情类和爱情类8. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A =90°，AB =6，点P 是AB 边 上一动点（点P 与点A 不重合），以AP 为边作正方形APDE ，设 AP =x ，正方形APDE 与△ABC 重合部分（阴影部分）的面积为y ， 则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 赋予式子“ab ”一个实际意义： ． 10.如果023≠=n m ，那么代数式)2(4322n m nm nm +⋅--的值是 ． 11.足球、篮球、排球已经成为北京体育的三张名片，越来越受到广大市民的关注. 下表是北京两支篮球队在2017-2018赛季CBA 常规赛的比赛成绩：队名 比赛场次 胜场 负场 积分 北京首钢38251363申报类型届 悬疑惊悚犯罪剧情 爱情 喜剧 科幻 奇幻动作冒险 （含战争）古装 武侠动画 其他第六届 8.70% 25.30% 17.80% 12.20% 13.00% 7.80% 0 3.80% 11.40%第八届21.33% 19.94% 18.70% 15.37% 10.66%7.48%4.02% 1.39% 1.11%设胜一场积x 分，负一场积y 分，依题意，可列二元一次方程组为 ． 12. 如图，AB ∥CD ，AB=21CD ，S △ABO ：S △CDO = ．13. 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，OD ⊥AB 于点E ，交⊙O于点D ，则∠BAD = 度.第13题图 第14题图14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△O'A'B'可以看作是△OAB 经过若干次图形的变化 （平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OAB 得到△O'A'B'的过程： .15.下列随机事件的概率：①投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率；②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率；③抛一枚图钉，“钉尖向下”的概率；④某作物的种子在一定条件下的发芽率. 既可以用列举法求得又可以用频率估计获得的是 （只填写序号）. 16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.已知：直线a 和直线外一点P .求作：直线a 的垂线，使它经过P .作法：如图，（1）在直线a 上取一点A , 连接PA ；（2）分别以点A 和点P 为圆心，大于AP 的长为半径作弧，两弧相交于B ，C 两点，连接BC 交PA 于点D ； （3）以点D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线a 于点E ，作直线PE .所以直线PE 就是所求作的垂线.请回答：该尺规作图的依据是 ?．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题7分，第28题8分）17. 计算：2sin30°+ .8)4()31(01+-+-π18. 解不等式组 ：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x19. 如图，在△ACB 中，AC =BC ，AD 为△ACB 的高线，CE 为△ACB 的中线.求证：∠DAB =∠ACE.20. 已知关于x 的一元二次方程0)1(2=+++k x k x ． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k 的取值范围.21. 如图，在△ABC 中，D 是AB 边上任意一点，E 是BC 边中点，过点C作AB 的平行线，交DE 的延长线于点F ，连接BF ，CD ． （1）求证：四边形CDBF 是平行四边形；（2）若∠FDB =30°，∠ABC =45°，BC =4√2，求DF 的长．22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与反比例函数xky =的图象在第四象限交于点C ，CD ⊥x 轴于点D ，tan ∠OAB ＝2，OA ＝2，OD ＝1．（1）求该反比例函数的表达式；（2）点M 是这个反比例函数图象上的点，过点M作MN ⊥y 轴，垂足为点N ，连接OM 、AN ，如果S △ABN ＝2S △OMN ，直接写出点M 的坐标.23. 如图，在⊙O 中，C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的切线于点E ．（1）求证：AE ⊥CE ． （2）若AE =√2，sin ∠ADE =31，求⊙O 半径的长． 24. 水果基地为了选出适应市场需求的小西红柿秧苗，在条件基本相同的情况下，把两个品种的小西红柿秧苗各300株分别种植在甲、乙两个大棚. 对于市场最为关注的产量和产量的稳定性，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．收集数据从甲、乙两个大棚各收集了25株秧苗上的小西红柿的个数：甲 26 32 40 51 44 74 44 63 73 74 8154 6241 33 54 43 34 51 63 64 73 64 5433乙 27 35 46 55 48 36 47 68 82 48 5766 7527 36 57 57 66 58 61 71 38 47 4671整理、描述数据按如下分组整理、描述这两组样本数据（说明：45个以下为产量不合格，45个及以上为产量合格，其中45~65个为产量良好，65~85个为产量优秀）分析数据两组样本数据的平均数、众数和方差如下表所示：得出结论a．估计乙大棚产量优秀的秧苗数为 ?株；b．可以推断出 ?大棚的小西红柿秧苗品种更适应市场需求，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）25.如图，AB是⊙O的直径，AB=4cm，C为AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD =60°，DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AB 于点G ，当点C 在AB 上运动时，设AF =x cm ，DE =y cm （当x 的值为0或3时，y 的值为2），探究函数y 随自变量x 的变化而变化的 规律.（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表：x /cm 0 0.40 0.55 1.001.802.29 2.61 3 y /cm23. 683.843.653.132.702（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F 与点O 重合时，DE 长度约为cm （结果保留一位小数）．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B . （1）求点A ，B 的坐标；（2）若方程()244=00ax ax a --≠有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围.27. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 为AB 边上一动点（与点A ，B 不重合），连接CE ，将∠ACE 的两边所在射线CE ，CA 以点C 为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD 于点F ，G. （1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系，并证明．28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，其中A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为 线段AB 的伴随点． （1）当t =-3时，①在点P 1（1，1），P 2（0，0），P 3（-2，-1）中，线段AB 的伴随点是 ；②在直线y =2x +b 上存在线段AB 的伴随点M 、N ， 且MN =b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点（2，0）的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30°得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的伴随点，直接写出t 的取值范围．北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）9. 答案不惟一，如：边长分别为a ，b 的矩形面积 10. 47 11. ⎩⎨⎧=+=+.562018,631325y x y x 12. 1:4 13. 1514. 答案不唯一，如：以x 轴为对称轴，作△OAB 的轴对称图形，再将得到三角形沿向右平移4个单位长度 15. ①②16. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角是直角三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题7分，第28题8分）17.解：原式2213212+++⨯= …………………………………………………………………4分 225+=. …………………………………………………………………5分18. 解：原不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x解不等式①，得5<x . ………………………………………………………………………2分解不等式②，得21>x .………………………………………………………………………4分 ∴ 原不等式组的解集为521<<x . …………………………………………………………5分 19. 证明：∵AC ＝BC ，CE 为△ACB 的中线，∴∠CAB ＝∠B ，CE ⊥AB . ………………………………………………………………2分∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°. …………………………………………………………………3分∵AD 为△ACB 的高线， ∴∠D ＝90°.∴∠DAB ＋∠B ＝90°. ……………………………………………………………………4分∴∠DAB ＝∠ACE . ………………………………………………………………………5分20. （1）证明：依题意，得k k 4)1(2-+=∆ …………………………………………1分.)1(2-=k ……………………………………………………………2分∵0)1(2≥-k ， ∴方程总有两个实数根. ……………………………………………………………3分（2）解：由求根公式，得11-=x ，k x -=2. …………………………………………………4分∵方程有一个根是正数， ∴0>-k . ∴0<k .………………………………………………………………………………5分21.（1）证明：∵CF ∥AB ，∴∠ECF ＝∠EBD . ∵E 是BC 中点， ∴CE ＝BE . ∵∠CEF ＝∠BED ， ∴△CEF ≌△BED . ∴CF ＝BD . ∴四边形CDBF 是平行四边形. ………………………………………………2分（2）解：如图，作EM ⊥DB 于点M ，∵四边形CDBF 是平行四边形，BC ＝24， ∴2221==BC BE ，DE DF 2=.在Rt △EMB 中，2sin =∠⋅=ABC BE EM . (3)分在Rt △EMD 中，42==EM DE . ………………………………………………4分 ∴DF ＝8. ……………………………………………………………………………………5分 22. 解：（1）∵AO ＝2，OD ＝1，∴AD ＝AO+ OD ＝3. ……………………………………………………………………1分∵CD ⊥x 轴于点D ， ∴∠ADC ＝90°.在Rt △ADC 中，6tan =∠⋅=OAB AD CD .. ∴C （1，－6）. ……………………………………………………………………………2分∴该反比例函数的表达式是xy 6-=. …………………………………………………3分（2）点M 的坐标为（－3,2）或（53，－10）. ……………………………………………5分 23. （1）证明：连接OA ，∵OA 是⊙O 的切线，∴∠OAE ＝90o.∵ C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，∴CD 为△AOB 的中位线. ∴CD ∥OA ． ∴∠E ＝90o.∴AE ⊥CE . …………………………………2分（2）解：连接OD ，∴∠ODB ＝90o. ………………………………………………………………………3分∵AE =√2，sin ∠ADE =31， 在Rt △AED 中，23sin =∠=ADE AEAD .∵CD ∥OA ， ∴∠1＝∠ADE . 在Rt △OAD 中，311sin ==∠OA OD .………………………………………………4分 设OD ＝x ，则OA ＝3x ， ∵222OA AD OD =+， ∴()()222323x x =+.解得 231=x ，232-=x （舍）. ∴293==x OA . ……………………………………………………………………5分 即⊙O 的半径长为29.24. 解：整理、描述数据 按如下分组整理、描述这两组样本数据…………………………………………………………………………………………………2分得出结论 a ．估计乙大棚产量优秀的秧苗数为 84 ?株； …………………………3分b ．答案不唯一，理由须支撑推断的合理性. …………………………5分25. 解：本题答案不唯一，如：（1）x /cm 0 0.40 0.55 1.00 1.80 2.29 2.61 3 y /cm23.683.844.003.653.132.702……………………………………………………………………………………………1分（2）……………………………………………………………………………………………4分 （3）3.5．……………………………………………………………………………………6分 26.解：（1）44)2(4422---=--=a x a ax ax y ．∴A （0，－4），B （2，0）．…………………………………………………………2分（2）当抛物线经过点（1，0）时，34-=a ．……………………………………………4分当抛物线经过点（2，）时，1-=a ． ……………………………………………6分结合函数图象可知，a 的取值范围为134<≤-a ．…………………………………7分 27.（1）补全的图形如图所示.……………………………………………………………………………………………1分（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°， ∴∠DAC=∠BAC=30°. ………………………………………………………………2分∴∠AGC=30°. ∴∠AFC=α+30°. ………………………………………………………………………3分 （3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为CG AF AE 3=+.证明：作CH ⊥AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°. ∴CA=CG. ………………………………………………………………………………………5分∴HG =21AG.∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ， ∴△ACE ≌△GCF. ……………………………………………………………………………6分∴AE =FG .在Rt △HCG 中， .23cos CG CGH CG HG =∠⋅= ∴AG =3CG . …………………………………………………………………………………7分即AF+AE =3CG . 28.解：（1）①线段AB 的伴随点是:23,P P . (2)分②如图1，当直线y =2x +b 经过点（-3，-1）时，b =5，此时b 取得最大值.…………………………………………………………………………4分如图2，当直线y =2x +b 经过点（-1，1）时，b =3，此时b 取得最小值.…………………………………………………………………………5分∴b 的取值范围是3≤b ≤5. …………………………………………………6分（2）t 的取值范围是-12.2t ≤≤…………………………………………………………8分 图1图2。

2024年北京市朝阳区中考数学一模试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1．（2分）2024年1月21日北京市第十六届人民代表大会第二次会议开幕，在政府工作报告中提到，2023年北京向天津、河北输出技术合同成交额74870000000元，将74870000000用科学记数法表示应为（）A．74.87×109B．7.487×1010C．7.487×109D．0.7487×10112．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正三角形B．等腰直角三角形C．正五边形D．正六边形3．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝50°，∠DOE＝15°，则∠BOE 的度数为（）A．15°B．30°C．35°D．65°4．（2分）如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是（）A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥5．（2分）若a＜b，则下列结论正确的是（）A．﹣a＜﹣b B．2a＜a+b C．1﹣a＜1﹣b D．2a+1＞2b+1 6．（2分）正十边形的内角和为（）A．144°B．360°C．1440°D．1800°7．（2分）掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是（）A．B．C．D．8．（2分）如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，BC的延长线上，且BE＝CF，设AD＝a，AE＝b，AF＝c．给出下面三个结论：①a+b＞c；②2ab＜c2；③＞2a．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（2分）分解因式：3x2+6xy+3y2＝．11．（2分）方程＝的解为．12．（2分）关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．13．（2分）某种植户种植了1000棵新品种果树，为了解这1000棵果树的水果产量，随机抽取了50棵进行统计，获取了它们的水果产量（单位：千克），数据整理如下：水果产量x＜5050≤x＜7575≤x＜100100≤x＜125x≥125果树棵数11520122根据以上数据，估计这1000棵果树中水果产量不低于75千克的果树棵数为．14．（2分）在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点C处的镜子中看到教学楼的顶部D时，测得小南的眼睛与地面的距离AB ＝1.6m，同时测得BC＝2.4m，CE＝9.6m，则教学楼高度DE＝m．15．（2分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB于点D，交⊙O于点E，若AB＝8，DE＝2，则BC的长为．16．（2分）甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作A、B、C、D四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如表所示：A B C D甲9568乙7793（1）如果按照A→B→C→D的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为_________分钟；（2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：+|1﹣|+（2﹣π）0﹣2sin45°．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知x+2y+2＝0，求代数式（x﹣）•的值．20．（6分）如图，在▱ABCD中，AB＝AC，过点D作AC的平行线与BA的延长线相交于点E．（1）求证：四边形ACDE是菱形；（2）连接CE，若AB＝5，tan B＝2，求CE的长．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象和反比例函数y ＝（k≠0）的图象都经过点A（2，4）．（1）求该正比例函数和反比例函数的解析式；（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝mx+n（m≠0）的值都大于反比例函数y ＝（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．23．（5分）某广场用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度（单位：cm），数据整理如下：a．两批月季花树高度的频数：131135136140144148149第一批1304220第二批0123501 b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数（结果保留整数）：平均数中位数众数第一批140140n第二批141m144（1）写出表中m，n的值；（2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是（填“第一批”或“第二批”）；（3）根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为135cm和149cm的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是cm和cm．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是的中点，AD的延长线与过点B的切线交于点E，AD与BC的交点为F．（1）求证：BE＝BF；（2）若⊙O的半径是2，BE＝3，求AF的长．25．（5分）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100℃后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50℃水壶不加热；若水温降至50℃水壶开始加热，水温达到100℃时停止加热…此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a（单位：L），水温T（单位：℃）与时间t（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．表1从20℃开始加热至100℃水量与时间对照表a0.51 1.52 2.53t 4.5811.51518.522表21L水从20℃开始加热，水温与时间对照表煮沸模式保温模式t036m101214161820222426…T205080100898072666055505560…对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T就是加热时间t的一次函数．（1）写出表中m的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容：①在图中补全水温与时间的函数图象；②当t＝60时，T＝；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L温度为20℃的水，当水加热至100℃后立即关闭电源．出门前，他（填“能”或“不能”）喝到低于50℃的水．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上有两点（x1，y1），（x2，y2），它的对称轴为直线x＝t．（1）若该抛物线经过点（4，0），求t的值；（2）当0＜x1＜1时，①若t＞1，则y10；（填“＞”“＝”或“＜”）②若对于x1+x2＝2，都有y1y2＞0，求t的取值范围．27．（7分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E是CD边上一点（不与点C，D重合）．将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF，连接DF，连接BF交AC于点G．（1）依据题意，补全图形；（2）求证：GB＝GF；（3）用等式表示线段BC，CE，BG之间的数量关系．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段PQ，给出如下定义：若线段PQ关于直线l的对称图形是⊙O的弦P′Q′（P′，Q′分别为P，Q的对应点），则称线段PQ是⊙O关于直线l的“对称弦”．（1）如图，点A1，A2，A3，B1，B2，B3的横、纵坐标都是整数．线段A1B1，A2B2，A3B3中，是⊙O关于直线y＝x+1的“对称弦”的是；（2）CD是⊙O关于直线y＝kx（k≠0）的“对称弦”，若点C的坐标为（﹣1，0），且CD＝1，求点D的坐标；（3）已知直线y＝﹣x+b和点M（3，2），若线段MN是⊙O关于直线y＝﹣x+b 的“对称弦”，且MN＝1，直接写出b的值．2024年北京市朝阳区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：74870000000＝7.487×1010，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．【分析】直接根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐一判断即可．【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题考查的是轴对称图形与中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．3．【分析】根据对顶角的性质得∠BOD＝∠AOC＝50°，再根据∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE 可得出答案．【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝50°，∴∠BOD＝∠AOC＝50°，∵∠DOE＝15°，∴∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝50°﹣15°＝35°．故选：C．【点评】此题主要考查了对顶角的性质，角的计算，准确识图，熟练掌握对顶角的性质，角的计算是解决问题的关键．4．【分析】依题意，一个几何体的三视图都是矩形，故长方体符合条件．【解答】解：三棱柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项A不符合题意；长方体的三视图都是矩形，故选项B符合题意；圆柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项C不符合题意；正立的圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故选项D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对几何体的认识．5．【分析】根据不等式的基本性质逐项判定即可．【解答】解：对于A：若a＜b，则﹣a＞﹣b，故A不合题意；对于B：若a＜b，则2a＜a+b，故B符合题意；对于C：若a＜b，则1﹣a＞1﹣b，故C不合题意；对于D：若a＜b，则2a+1＜2b+1，故D不合题意，故选：B．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．6．【分析】利用多边形的内角和公式进行计算即可．【解答】解：正十边形的内角和为180°×（10﹣2）＝180°×8＝1440°．故选C．【点评】本题主要考查多边形的内角和外角，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．7．【分析】根据概率公式求解即可．【解答】解：∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是，故选：D．【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．8．【分析】由“SAS”可证△ADE≌△BAF，可得DE＝AF＝c，由三角形的三边关系可得a+b ＞c，故①正确；由勾股定理可得c2＝a2+b2，由完全平方公式可求2ab＜c2，故②正确；由E是动点，可得DE的长不是定值，故③错误，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠DAB＝90°，∵BE＝CF，∴BF＝AE，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴DE＝AF＝c，∵AD+AE＞DE，∴a+b＞c，故①正确；∵DE2＝DA2+AE2，∴c2＝a2+b2，∵AE＞AB，∴b﹣a＞0，∴（b﹣a）2＞0，∴a2+b2﹣2ab＞0，∴2ab＜c2，故②正确；∵E是动点，∴DE＝不是定值，且≥a，∴③错误，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据被开方数不小于零的条件进行解题即可．【解答】解：由题可知，x﹣14≥0，解得x≥14．故答案为：x≥14．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．10．【分析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解．【解答】解：3x2+6xy+3y2，＝3（x2+2xy+y2），＝3（x+y）2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11．【分析】方程两边都乘3x（4x﹣5）得出2（4x﹣5）＝3x，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘3x（4x﹣5），得2（4x﹣5）＝3x，8x﹣10＝3x，8x﹣3x＝10，5x＝10，x＝2，检验：当x＝2时，3x（4x﹣5）≠0，所以分式方程的解是x＝2．故答案为：x＝2．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．12．【分析】由方程有两个不相等的实数根得出Δ＝52﹣4m＞0，解之即可．【解答】解：根据题意得：Δ＝52﹣4m＞0，解得m＜．故实数m的取值范围是m＜．故答案为：m＜．【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．13．【分析】用1000乘以水果产量不低于75千克的果树的百分比即可．【解答】解：估计这1000棵果树中水果产量不低于75千克的果树棵数为1000×＝680（棵）．故答案为：680．【点评】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．14．【分析】根据题意得出△ABC∽△DEC，得出比例式求出DE的值即可．【解答】解：由题意可知，AB∥DE，∴△ABC∽△DEC，∴，∴，解得DE＝6.4，则教学楼高度DE＝6.4m，故答案为：6.4．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．15．【分析】设OE＝OA＝r，由OE⊥AB于点D，AB＝8，得AD＝DB＝4，由直角三角形得r2＝（r﹣2）2+42，得r＝5，故BC＝2OD＝2×3＝6．【解答】解：设OE＝OA＝r，由OE⊥AB于点D，AB＝8，得AD＝DB＝4，得r2＝（r﹣2）2+42，得r＝5，故BC＝2OD＝2×3＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了圆的相关计算，解题关键是垂径定理及勾股定理的应用．16．【分析】根据题目所给条件合理安排各部分工作分配对象，即可得出最短时间．【解答】解：（1）甲先拼接A用9分钟，然后乙再给A上色7分钟，这7分钟甲可以给B拼接，7﹣5﹣2（分），还剩下的时间给C拼接2分钟，C这时还需要6﹣2＝4（分），乙开始给B上色又花了7分钟，这7分钟甲给C拼接，还留有7﹣4＝3（分），这3分钟甲给D拼接，在乙完成B的上色时甲给口拼接还需要8﹣3＝5（分），此时乙给C上色9分钟，甲就能把D拼接完了，最后乙再给D上色．综上所述，总时长为9+7+7+9+3＝35（分）．（2）要用最短的时间完成这四个道具的制作，开始的时候要让甲给道具拼接的时间最短，且先拼接时间短的道具，所以制作的顺序应该是B﹣C﹣D﹣A．【点评】本题考查了实数的计算，读懂题目即可得出正确答案，较为简单．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】分别根据绝对值、零指数幂及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式＝2＝3＝2．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值、零指数幂的运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．18．【分析】先求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集．【解答】解：，由①得：x＞﹣1，由②得：x＜2，故不等式组的解集为：﹣1＜x＜2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19．【分析】先化简所求式子，再根据x+2y+2＝0，可以得到x+2y＝﹣2，再将x+2y＝﹣2代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（x﹣）•＝•＝•＝2（x+2y）＝2x+4y，∵x+2y+2＝0，∴x+2y＝﹣2，∴原式＝2（x+2y）＝2×（﹣2）＝﹣4．【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20．【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，再证明四边形ACDE是平行四边形，进而证明CD＝AC，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）设AD与CE交于点F，证明∠FAC＝∠ACB＝∠B，再由菱形的性质得AF＝DF，CF＝EF，AD⊥CE，进而由锐角三角函数定义得CF＝2AF，设CF＝x，则CF＝2x，然后在Rt△AFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形，∵AB＝AC，∴CD＝AC，∴平行四边形ACDE是菱形；（2）解：如图，设AD与CE交于点F，∵AB＝AC＝5，∴∠B＝∠ACB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAC＝∠ACB＝∠B，由（1）可知，四边形ACDE是菱形，∴AF＝DF，CF＝EF，AD⊥CE，∴∠AFC＝90°，∴tan∠FAC＝＝tan B＝2，∴CF＝2AF，设CF＝x，则CF＝2x，在Rt△AFC中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝52，解得：x＝，∴CF＝2，∴CE＝2CF＝4，即CE的长为4．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．22．【分析】（1）将A点坐标代入两个函数解析式求出mk值即可；（2）当x＝3时，y＝mx+n＝2x+n＝6+n，y＝＝，根据题意6+n＞，解出不等式解集即可．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝mx（m≠0）的图象和反比例函数y＝（k≠0）的图象都经过点A（2，4），∴m＝2，k＝8，∴正比例函数解析式为：y＝2x；反比例函数解析式为：y＝；（2）当x＝3时，y＝mx+n＝2x+n＝6+n，y＝＝，∵当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝mx+n（m≠0）的值都大于反比例函数y＝（k ≠0）的值，∴6+n＞，解得n＞﹣．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．23．【分析】（1）根据众数和中位数的定义直接进行解答即可；（2）从平均数，众数和中位数三个方面进行分析，即可得出答案；（3）根据表中给出的数据，分别进行分析，即可得出答案．【解答】解：（1）∵在第一批中，140出现了4次，出现的次数最多，∴众数是140cm，即n＝140；把第二批花的高度从小到大排列，中位数是第6、第7个数的平均数，则中位数是＝142（cm），即m＝142；（2）第一批的平均数，众数和中位数均为140cm，整齐度更好；故答案为：第一批；（3）去掉的两棵且使高度尽可能接近平均高度，148cm距离平均差距最大，所以去掉两颗148cm的花．故答案为：148，148；【点评】本题主要考查数据集中趋势中的平均数、众数、中位数在实际问题中的正确应用．24．【分析】（1）由切线的性质得BE⊥AB，而AB是⊙O的直径，则∠ABE＝∠C＝90°，所以∠E+∠BAE＝90°，∠AFC+∠CAE＝90°，由＝，得∠BAE＝∠CAE，所以∠E＝∠AFC＝∠BFE，即可证明BE＝BF；（2）连接BD，则∠ADB＝90°，由⊙O的半径是2，得AB＝4，所以AE＝＝5，由＝＝cos E，求得DE＝，则DF＝DE＝，所以AF＝AE﹣DF﹣DE＝．【解答】（1）证明：∵BE与⊙O相切于点B，∴BE⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ABE＝∠C＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，∠AFC+∠CAE＝90°，∵D是的中点，∴＝，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠E＝∠AFC，∵∠AFC＝∠BFE，∴∠E＝∠BFE，∴BE＝BF．（2）解：连接BD，则∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是2，BE＝3，∴AB＝4，∴AE＝＝＝5，∵∠BDE＝∠ABE＝90°，∴＝＝cos E，∴DE＝＝＝，∵BE＝BF，BD⊥EF，∴DF＝DE＝，∴AF＝AE﹣DF﹣DE＝5﹣﹣＝，∴AF的长为．【点评】此题重点考查切线的性质定理、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，从而计算出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可；（2）①描点并连线即可；②当时间从26分开始，设时间为t时，水温加热到100℃．在这个过程中每2分钟，水温升高5℃，从而求出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程求出t，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少；（3）由表1可知，2.5L的水从20℃加热到100℃需要8.5分，此时离出门还剩30﹣8.5＝21.5（分）；根据表2，计算水温从100℃降到50℃需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论．【解答】解：（1）在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，30÷3＝10（℃），∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升10℃，∴10（m﹣6）＝100﹣80，∴m＝8．（2）①补全水温与时间的函数图象如图所示：②当时间从26分开始，设时间为t时，水温加热到100℃．在这个过程中每2分钟，水温升高5℃，则每1分钟水温升高5÷2＝2.5（℃），由此得2.5（t﹣26）＝100﹣60，解得t＝42，60﹣42＝18（分），根据表2的数据可知，T＝100℃经过18分后水温降到了60℃，∴当t＝60时，T＝60℃．故答案为：60℃．（3）由表1可知，2.5L的水从20℃加热到100℃需要8.5分，30﹣8.5＝21.5（分），由表2可知，水温从100℃降到50℃需要22﹣m＝22﹣8＝13（分），∵21.5＞13，且电源已关闭，∴出门前，他能喝到低于50℃的水．故答案为：能．【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键．26．【分析】（1）把点（4，0）代入解析式求得b＝﹣4a，然后利用对称轴公式即可求得t 的值；（2）①根据图象上点的坐标特征即可得到y1＜0；②由题意可知点（x1，y1），（x2，y2）在x轴的同一侧，根据0＜x1＜1，1＜x2＜2，即可得到t的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线经过点（4，0），∴0＝16a+4b，∴b＝﹣4a，∴t＝﹣＝2；（2）∵a＞0，∴抛物线y＝ax2+bx（a＞0）开口向上，∵x＝0时，y＝0，∴抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过原点，①∵0＜x1＜1，t＞1，∴y1＜0，故答案为：＜；②∵x1+x2＝2，∴x1＝2﹣x2，∵0＜x1＜1，∴0＜2﹣x2＜1，∴1＜x2＜2，∵y1y2＞0，∴点（x1，y1），（x2，y2）在x轴的同一侧，∴t≥1或t≤0．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27．【分析】（1）依据题意画出图形即可；（2）连接BD，与AC相交于点O，利用菱形的性质和旋转的性质得到∠CAD＝∠EAF ＝60°，则∠CAE＝∠DAF，利用全等三角形的判定与性质得到∠ADF＝∠ACD＝60°，利用同旁内角互补，两直线平行得到DF∥AC，再利用平行线分线段成比例定理和菱形的性质解答即可得出结论；（3）利用平行线的性质和勾股定理得到BD2+DF2＝4BG2，利用等边三角形的性质，直角三角形的边角关系定理得到BC＝OB，则，3BC2＝4BO2＝（2BO）2＝BD2，利用（2）的结论和等量代换的性质解答即可得出结论．【解答】（1）解：依据题意，补全图形，如图：（2）证明：连接BD，与AC相交于点O，如图，∵线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，∵在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∴AB＝BC，，BO＝OD，AC⊥BD，∴△ABC，△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠ACD＝60°．∴∠CAD＝∠EAF＝60°，∴∠CAE＝∠DAF，在△ACE和△ADF中，，∴△ACE≌△ADF（SAS），∴∠ADF＝∠ACD＝60°，∴∠ACD+∠FDC＝180°，∴DF∥AC，∴，∵BO＝OD，∴GB＝GF；（3）解：3BC2+CE2＝4BG2，理由如下：∵DF∥AC，BD⊥AC，∴DF⊥BD，在Rt△BFD中，由勾股定理得：BD2+DF2＝BF2，由（2）知：GB＝GF＝BF，∴BF2＝（2BG）2＝4BG2，∴BD2+DF2＝4BG2．∵△ABC是等边三角形，BO⊥AC，∴，∴，∴BC＝OB，∴，则3BC2＝4BO2＝（2BO）2＝BD2，∵CE＝DF，∴3BC2+CE2＝BD2+DF2＝4BG2，即3BC2+CE2＝4BG2．【点评】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，三角形的中位线，熟练掌握菱形的性质和连接菱形的对角线是解题的关键．28．【分析】（1）画出三条线段关于y＝x+1的对称线段即可判断；（2）因为对称直线过圆心O，C在圆上，它们的对称点也在圆上，所以D也在圆上，因为CD是定值，所以D在以C为圆心，半径为1的圆上，所以两个圆的交点就是D点；（3）因为M关于直线的对称点在⊙O上，所以M在⊙O关于直线的对称圆上，据此写出点O关于直线的对称点坐标，然后根据两点距离公式求解即可．【解答】解：（1）如图所示：∴⊙O关于直线y＝x+1的“对称弦”的是A1B1，故答案为：A1B1；（2）设点C，D关于直线y＝kx（k≠0）的对称点为C′，D′，∴直线y＝kx垂直平分CC′和DD′，∵C′D′是⊙O关于直线y＝kx（k≠0）的“对称弦”，∴C′，D′在⊙O上，∵点C的坐标为（﹣1，0），∴点C在⊙O上，∵直线y＝kx经过圆心O，∴D′也在⊙O上，∵CD＝1，∴D在以C为圆心，半径为1的圆上，∴⊙O与⊙C的交点即为D点，如图：∵OC＝CD＝OD＝1，∴△COD为等边三角形，∴D（﹣，±）；（3）设点M关于直线y＝﹣x+b的对称点为M1，由“对称弦”的定义可知，M1在⊙O上，∴OM1＝1，设点O关于直线y＝﹣x+b的对称点为O1，由对称的性质可知，O1M＝1，设直线y＝﹣x+b与x，y轴交于P，Q两点，连接OO1交PQ于点F，过O1作O1E⊥x轴于E，如图：令x＝0，则y＝b，令y＝0，则x＝b，∴P（b，0），Q（0，b），∴OQ＝b，OP＝b，∴PQ＝＝2b，由对称的性质可知，OF＝FO1，OO1⊥PQ，根据等积变换可得：OF＝＝b，∴OO1＝2OF＝b，∵∠O1OE+∠QPO＝90°，∠OO1E+∠O1OE＝90°，∴∠OO1E＝∠QPO，∵sin∠QPO＝＝，∴∠QPO＝30°，∴∠OO1E＝30°，∴OE＝OO1＝b，O1E＝OE＝b，∴O1（b，b），∴O1M＝＝1，解得：b＝或．【点评】本题主要考查了圆的综合题，根据新给的定义，结合轴对称的性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识来解答是本题解题的关键。

2022年北京市朝阳区九年级数学中考模拟试题（一模）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是( )A. 三棱柱B. 长方体C. 圆锥D. 圆柱2. 2022年3月5日，国务院总理李克强代表国务院，向十三届全国人大五次会议作政府工作报告．报告中指出过去一年是党和国家历史上具有里程碑意义的一年，“十四五”实现良好开局，我国发展又取得新的重大成就．2021年国内生产总值达114万亿元，增长8.1%.将1140000用科学记数法表示应为( )A. 0.114×107B. 1.14×105C. 1.14×106D. 11.4×1043. 实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )A. a+b>0B. ab>0C. a−b>0D. |a|>|b|4. 将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为( )A. 100°B. 105°C. 115°D. 120°5. 下列多边形中，内角和与外角和相等的是A. B.C. D.6. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次摸到相同颜色的小球的概率是A. 14B. 13C. 12D. 237. 下图是国家统计局公布的2021年居民消费价格月度涨跌幅度，月度同比和月度环比的平均数分别为x同，x环，方差分别为s2同，s2环，则A. x同>x环，s2同>s2环B. x同>x环，s2同<s2环C. x同<x环，s2同>s2环D. x同<x环，s2同<s2环8. 点A(x1,y1)，B(x2,y2)在反比例函数y=1x的图象上，下列推断正确的是( )A. 若x 1<x 2，则y 1<y 2B. 若x1<x2，则y1>y2C. 若x 1+x 2=0，则y 1+y 2=0D. 存在x1=x2，使得y1≠y2二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 若代数式1x−1有意义，则实数x的取值范围是___．10. 分解因式：2a2−4ab+2b2=．11. 写出一个比4大且比5小的无理数：_____．12. 如图，AC，BC是⊙O的弦，PA，PB是⊙O的切线，若∠C=60°，则∠P=_____°．13. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上(不与点A，C重合)，只需添加一个条件即可证明△ABC和△BDC相似，这个条件可以是(写出一个即可)．14. 如图，2022年北京冬奥会上，一些可看作正六边形的“小雪花”对称地排列在主火炬周围，中间空出了13个“小雪花”的位置来突出主火炬．在其中91个“小雪花”上面写有此次参会的国家或地区的名称，此外还有几个“小雪花”上面只有中国结图案．这些只有中国结图案的“小雪花”共有个．15. 若关于x的一元二次方程(a−1)x2+a2x−a=0有一个根是x=1，则a=_____．16. 尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如表：演员1演员2演员3演员4演员5演员6演员7演员8节目A√√√√√节目B√√√节目C√√√节目D√√节目E√√节目F√√从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序(只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可)．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）17. 计算：2cos30∘+|−√3|−(π−√3)0−√12．18. 解不等式组：{x−3(x−2)≥4, x−1<1+2x3.四、解答题（本大题共10小题，共80.0分。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）语文试卷 2008.5第Ⅰ卷（共60分）一、选择题，完成第1—5题。

下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意，请将该答案的字母序号填在题干后的括号内。

（共10分）1．下面加点字读音有误的是（ ）（2分）A. 忌讳．（hu ì） 干涸．（h é） 谆．谆教诲（zh ūn ）B. 游弋．（y ì） 自诩．（y ǔ） 言简意赅．（g āi ）C. 蹒．跚（pán） 修葺．（q ì） 断壁残垣．（yu án ）D. 侥．幸（ji ǎo ） 执拗．（ni ù） 载．歌载舞（z ài ）2．根据成语解说，在横线处填写的汉字不正确的是( ) （2分）A ．完 归赵蔺相如到秦国献美玉时，见秦王无意给赵国城池，便派人把美玉完好无损地送回赵国。

比喻将原物完好无损地归还原主。

横线处应填“璧”字。

B ．守 待兔一农夫见一只兔子撞在树桩上死了，便捡回家。

以后他便每天守着树桩，希望再捡到兔子。

比喻心存侥幸，不劳而获。

横线处应填“株”字。

C ．闻鸡起东晋时，祖逖和刘琨互相勉励，立志为国效力，半夜听到鸡鸣就起床练剑。

形容有志之士及时发奋，刻苦自励。

横线处应填“武”字。

D．破沉舟项羽跟秦兵打仗，过河后把锅都打破，船都沉弃，营房烧毁，表示不再回来。

现比喻下决心，不顾一切干到底。

横线处应填“釜”字。

3．下面文字是对“微笑北京”主题活动的介绍。

在横线处填入恰当的词语，正确的是（）（2分）在开展“微笑北京”主题活动中，北京团市委推出了佩戴奥运志愿五色“微笑圈”的活动。

随着红、黑、绿、黄、蓝五色“微笑圈”越来越为人们所熟知并佩戴，整个活动的知晓率和参与率都在不断上升。

志愿服务奥运也是我们中学生的责任，我们将用微笑迎接八方来客。

A. 首当其冲B.不言而喻C. 义不容辞D.当之无愧4．填入下列文字横线处的语句，与上文衔接最恰当的是（）（2分）精读之外，还需要略读。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）数 学 试 卷 2009.5第Ⅰ卷（选择题32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 1．3-的绝对值是A ．3B ．3-C ．13D ．13-2．为积极转化奥运会、残奥会志愿者工作成果，完善和健全志愿者服务体系及长效机制，北京市将力争实现每年提供志愿服务时间11000万小时. 11000万小时用科学记数法表示为 A ．61011.0⨯万小时B ．5101.1⨯万小时C ．4101.1⨯万小时D ．31011⨯万小时 3. 方程x x 62=的解是A ．6=xB ．6=xC ．6=x 或0x =D ．0x =4. 某市2008年4月的一周中每天最低气温如下：13，11，7，12，13，13，12，则在这一周中，最低气温的众数和中位数分别是A. 13和11B. 12和13C. 11和12 C. 13和125. 如图，圆锥的高AO 为12，母线AB 长为13，则该圆锥的侧面积等于 A ．π36 B ．π27 C ．π18D ．π9（第5题） 6. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C =45°，AB =2，则⊙O 的半径为A ．1B ．2C ．2 7．把4张形状完全相同的卡片的正面分别写上数字1，2，3，4，洗匀后正面朝下放在桌子上，随机从中抽取一张卡片，记下数字 后放回，再随机从中抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上的数字ＡＯＢ之和等于5的概率是A ．21 B ．31C ．41D ． 158. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90C ∠=， 6cm CD =，AD ＝2cm ，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P沿BA 、AD 、DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度都是1cm/s ，而当点P 到达点A 时，点Q正好到达点C ．设P 点运动的时间为(s)t ，BPQ △的面积为y 2(cm )．下图中能正确表示整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象是A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 （填空题和解答题，共88分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9．计算：xy x322⋅＝ . 10. 因式分解：=+-x x x 4423 ．11．如图，ABC △中，90C ∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，若CD=6，则点D 到AB 的距离为 ． 12. 已知抛物线22)1(2m x m x y ++-=与x 轴的两个交点的 横坐标均为整数，且m <5，则整数m 的值为 . 三、解答题（共13个小题，共72 分） 13．（本小题5分）计算：32-— tan30° ÷31＋8.14．（本小题5分）解方程：xx 321=-.15.（本小题5分）先化简，再求值：4)122(22--÷+-a a a a ，其中1-=a ．解：16. （本小题5分）已知：如图，AD ∥BC ，AD ＝BC ，E 为BC 上 一点，且AE ＝AB . 求证：DE ＝AC .17. （本小题5分）如图，点A 在反比例函数xky =的图象与直线2-=x y 交于 点A ，且A 点纵坐标为1，求该反比例函数的解析式．19. （本小题5分）通常情况居民一周时间可以分为常规工作日 （周一至周五）和常规休息日（周六和周日）. 居民一天的时间可以划分为工作时间、个人生活 必须时间、家务劳动时间和可以自由支配时间等 四部分. 2008年5月，北京市统计局在全市居民 家庭中开展了时间利用调查，并绘制了统计图：活动方式，其中平均每天上网占可自由支配时间的12%，比读书看报的时间多8分钟. 请根据以上信息补全图②；图①北京市居民人均常规工作日时间利用情况（3）由图②，调查表明，我市居民在可自由支配时间中看电视的时间最长. 根据这一信息，请你在可自由支配时间的利用方面提出一条建议：___ ____________.19. （本小题5分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，CD ＝4， ∠ACB ＝∠D ，32tan =∠B ，求梯形ABCD 的面积.20. （本小题5分）改革开放30年来，我国的文化事业得到了长足发展，以公共图书馆和博物馆为例， 1978年全国两馆共约有1550个，至2008年已发展到约4650个. 2008年公共图书馆的数量比1978年公共图书馆数量的2倍还多350个，博物馆的数量是1978年博物馆数量的5倍. 2008年全国公共图书馆和博物馆各有多少个？21. （本小题5分）响应“绿色环保，畅通出行”的号召，越来越多的市民选择 乘地铁出行，为保证市民方便出行，我市新建了多条地铁线路， 与旧地铁线路相比，新建地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍 增加，已知原楼梯BD 长20米，在楼梯水平长度（BC ）不发生 改变的前提下，楼梯的倾斜角由30°增大到45°，那么新修建 的楼梯高度将会增加多少米？（结果保留整数，参考数据：414.12≈，732.13≈）22. （本小题7分）已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交 AB 的延长线于点D.（1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O半径的长；（3）在（2）的条件下，当OE ＝3时，求图中阴影部分的面积.23. （本小题5分）将图①，将一张直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点C 重合，这时DE 为折痕， △CBE 为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE 的对称轴EF 折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.（1）如图②，正方形网格中的△ABC 能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕； （2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC 为一边，画出一个斜三角形ABC ，使其顶点A 在格点上，且△ABC 折成的“叠加矩形”为正方形；（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是 ； （4）如果一个四边形一定能折成“叠加矩形”，那么它必须满足的条件是 .24. （本小题7分）抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物线顶点为M ，连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴于点Q ，且点Q 到x 轴的距离为6. （1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，求出点D 的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得S △PAM =3S △ACM ，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.25. （本小题8分）B图①图②（1）已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE=45°. 求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图②，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD·AE的值．北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷评分标准及参考答案 2009.5二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）三、解答题（共13个小题，共72 分） 13. （本小题5分）解：原式＝2233323+⨯-- ……………………………………………4分 2=. ……………………………………………………………………5分14. （本小题5分）解： )2(3-=x x . ……………………………………………………………………2分 63-=x x . ……………………………………………………………………3分解得 3=x . ………………………………………………………………………4分经检验，3=x 是原分式方程的解. …………………………………………………5分15. （本小题5分）解：原式＝)1()2)(2(222--+⋅--+a a a a a a ………………………………………………3分12-+=a a . ……………………………………………………………………4分 当1-=a 时，原式211121-=--+-=.…………………………………………5分 16. （本小题5分）证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠1. …………………… 1分 ∵AE ＝AB ，∴∠1＝∠B. ……………………… 2分 ∴∠B ＝∠D A E. …………………………………………………………… 3分又AD ＝BC ，∴△A B C ≌△A E D. …………………………………………………… 4分 ∴D E ＝A C. ………………………………………………………………… 5分17. （本小题5分）解：把1=y 代入2-=x y ，得3=x .∴点A 的坐标为（3，1）. ……………………………………………………2分 把点A （3，1）代入xky =，得3=k . ……………………………………4分 ∴该反比例函数的解析式为xy 3=. …………………………………………5分18. （本小题5分）解：（1）31.6%；………………………………………………………………………1分（2）补全统计图；……………………………………………………………………4分 （说明：本问共3分，①补全“上网”给1分；②补全“健身游戏”给2分.）（35分19. （本小题5分）解：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠1＝∠2.∵∠ACB ＝∠D ＝90°. ∴∠3＝∠B.∴32tan 3tan =∠=∠B . ………………………………………………………… 1分 在Rt △ACD 中，CD ＝4， ∴63tan =∠=CDAD . ……………………………………………………………… 2分∴13222=+=CD AD AC .…………………………………………………… 3分在Rt △ACB 中，32tan =B ，∴132sin =B .∴13sin ==BACAB . ……………………………………………………………… 4分 ∴51)(21=⋅+=AD CD AB S ABCD 梯形.…………………………………………… 5分20. （本小题5分）解：设1978年全国有公共图书馆x 个，博物馆y 个，………………………………1分由题意，得⎩⎨⎧=++=+.465053502,1550y x y x …………………………………………………3分解得⎩⎨⎧==.400,1150y x …………………………………………………………………4分则26503502=+x ，20005=y .答：2008年全国有公共图书馆2650个，博物馆2000个. …………………………5分21. （本小题5分）解：由题意，可得△ABC 和△BDC 都是直角三角形， 在Rt △BDC 中，BD ＝20，∠DBC ＝30°， ∴1021==BD CD ，31022=-=CD BD BC .………………………………2分 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝45°， ∴310==BC AC . ………………………………………………………………3分∴10310-=-=CD AC AD .……………………………………………………4分 ∴7≈AD （米）. ……………………………………………………………………5分答：新修建的楼梯高度会增加7米.22. （本小题7分）证明：（1）连接OC （如图①）， ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠A.∵OE ⊥AC ，∴∠A ＋∠AOE ＝90°. ∴∠1＋∠AOE ＝90°.又∠FCA ＝∠AOE ，∴∠1＋∠FCA ＝90°. 即∠OCF ＝90°.∴FD 是⊙O 的切线. ……………………………………………………2分（2）连接BC （如图②），∵OE ⊥AC ，∴AE ＝EC. 又AO ＝OB ，∴OE ∥BC 且BC OE 21=.……………3分∴△OEG ∽△CBG. 图② ∴21==CB OE CG OG . ∵OG ＝2，∴CG ＝4.∴OC ＝6. ………………………………………………………………5分 即⊙O 半径是6.（3）∵OE ＝3，由（2）知BC ＝2OE ＝6.∵OB ＝OC ＝6，∴△OBC 是等边三角形.∴∠COB ＝60°. ………6分 在Rt △OCD 中，3660tan =︒⋅=OC CD .∴O BC O CD S S S 扇形阴影-=∆360660366212⨯-⨯⨯=π π6318-=. ………………………………………………7分23. （本小题5分）（1）…………………………………………………………………1分.）（2） …………………………………………………………………2分（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可.）（3）三角形的一边长与该边上的高相等. …………………………………………3分 （4）对角线互相垂直.（注：回答菱形、正方形不给分）………………………5分24. （本小题7分）解：（1）设直线AC 的解析式为3-=kx y ，把A （－1，0）代入得3-=k .∴直线A C 的解析式为33--=x y . ………………………………………………1分 依题意知，点Q 的纵坐标是－6.把6-=y 代入33--=x y 中，解得1=x ，∴点Q （1，6-）. ………………2分∵点Q 在抛物线的对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线1=x .设抛物线的解析式为n x a y +-=2)1(，由题意，得⎩⎨⎧-=+=+304n a n a ，解得⎩⎨⎧-==.4,1n a ∴抛物线的解析式为4)1(2--=x y .………………………………………………3分（2）如图①，过点C 作AC 的垂线交抛物线于点D ， 交x 轴于点N ，则ANC ACO ∠=∠∴ACO ANC ∠=∠tan tan ，∴OCOAON OC =. ∵1=OA ，3=OC ，∴9=ON .∴点N 的坐标为（9，0） 可求得直线CN 的解析式为331-=x y . 图① 由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=4)1(3312x y x y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==92037y x ，即点D 的坐标为（37，920-）.………5分 （3）设抛物线的对称轴交x 轴于点E ， 依题意，得2=AE ，4=EM ，=AMB∵1=-+=∆∆∆AME O CME AO C ACM S S S S 梯形， 且PM AE PM S PAM =⨯=∆21， 又ACM PAM S S ∆∆=3，∴3=PM .设P （1，m ）， 图②①当点P 在点M 上方时，PM ＝m ＋4＝3，∴1-=m ，∴P （1，－1）. …………………………………………………………6分 ②当点P 在点M 下方时，PM ＝－4－m ＝3，∴7-=m ，∴P （1，－7）. …………………………………………………………7分综上所述，点P 的坐标为1P （1，－1），2P （1，－7）.25. （本小题8分）（1）证明：如图①，∵∠ACB ＝90°，AC=BC ，∴∠A ＝∠B ＝45°.以CE 为一边作∠ECF ＝∠ECB ，在CF 上截取CF=CB ，则CF=CB=AC .连接DF 、EF ，则△CFE ≌△CBE. ………………………………………………1分∴FE=BE ，∠1＝∠B ＝45°.∵∠DCE ＝∠ECF ＋∠DCF ＝45°，∴∠DCA ＋∠ECB ＝45°.∴∠DCF ＝∠DCA.∴△DCF ≌△DCA. ……………………………………………………………2分∴∠2＝∠A ＝45°，DF ＝AD.∴∠DFE ＝∠2＋∠1＝90°.∴△DFE 是直角三角形.又AD=DF ，EB=EF ，∴线段DE 、AD 、EB 总能构成一个直角三角形. ……………………………4分（2）当AD=BE 时，线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形.如图②，与（1）类似，以CE 为一边，作∠ECF=∠ECB ，在CF 上截取CF=CB ，可得△CFE ≌△CBE ，△DCF ≌△DCA.∴AD=DF ，EF=BE. ∴∠DFE ＝∠1＋∠2＝∠A ＋∠B ＝120°.若使△DFE 为等腰三角形，只需DF=EF ，即AD=BE.∴当AD=BE 时，线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形. ……………6分且顶角∠DFE 为120°.（3）证明：如图①，∵∠ACE ＝∠ACD ＋∠DCE ，∠CDB ＝∠ACD ＋∠A.又∠DCE ＝∠A ＝45°，∴∠ACE ＝∠CDB.又∠A ＝∠B ，∴△ACE ∽△BDC. ∴BDAC BC AE =. ∴BC AC AE BD ⋅=⋅. ∵Rt △ACB 中，由222210==+AB BC AC ，得5022==BC AC .∴502==⋅=⋅AC BC AC AE BD .…………………………………………8分说明：各解答题不同的正确解法参照以上标准给分.。