2014高考数学必考点解题方法秘籍 定点定线定值 理

定点、定值与存在性问题(推荐时间：60分钟)1．过抛物线x2＝4y上不同两点A，B分别作抛物线的切线相交于点P(x0，y0),错误!·错误!＝0.（1)求y0；(2)求证：直线AB恒过定点；(3)设(2)中直线AB恒过的定点为F,若错误!·错误!＋λ错误!2＝0恒成立，求λ的值．(1)解设A错误!,B错误!(x1≠x2）．由x2＝4y得，y′＝错误!,所以k PA＝错误!，k PB＝错误!,因为错误!·错误!＝0,所以错误!⊥错误!，所以k PA·k PB＝错误!·错误!＝－1，即x1x2＝－4.直线PA的方程为y－错误!＝错误!（x－x1），即y＝错误!－错误!, ①同理直线PB的方程为y＝错误!－错误!，②由①②消去x得y0＝错误!＝－1(x1，x2∈R)．(2)证明设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程x2＝4y,得x2－4kx－4b＝0，由根与系数的关系得x1x2＝－4b，由（1)知x1x2＝－4,所以b＝1，所以直线AB的方程为y＝kx＋1，不论k取何值，该直线恒过点（0,1）．(3)解由（1)得：错误!＝错误!,FB→＝错误!，P错误!,错误!＝错误!，x1x2＝－4。

错误!·错误!＝x1x2＋错误!错误!＝－2－错误!，错误!2＝错误!＋4＝错误!＋2。

所以错误!·错误!＋错误!2＝0。

故λ＝1。

2．设A（x1,y1)，B(x2，y2）是椭圆C：y2a2＋错误!＝1（a>b〉0）上两点．已知m＝错误!，n＝错误!,若m·n＝0且椭圆的离心率e＝错误!，短轴长为2，O为坐标原点．(1）求椭圆的方程；(2)试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明;如果不是，请说明理由．解(1）∵2b＝2,∴b＝1，∴e＝错误!＝错误!＝错误!。

∴a＝2,c＝错误!。

椭圆的方程为错误!＋x2＝1.（2）①当直线AB斜率不存在时，即x1＝x2，y1＝－y2，由m·n＝0得x21－错误!＝0⇒y错误!＝4x错误!.又A（x1，y1）在椭圆上，所以x2，1＋错误!＝1，∴｜x1|＝错误!，|y1｜＝错误!，S＝错误!｜x1||y1－y2｜＝错误!｜x1｜·2|y1|＝1.②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋b（其中b≠0）,代入错误!＋x2＝1,得：（k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0.有Δ＝（2kb）2－4（k2＋4）（b2－4）＝16（k2－b2＋4) x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!,由已知m·n＝0得x1x2＋错误!＝0⇔x1x2＋错误!＝0,代入整理得2b2－k2＝4,代入Δ中可得b2>0满足题意，∴S＝错误!·错误!|AB|＝错误!|b｜错误!＝错误!＝错误!＝1.所以△ABC的面积为定值1。

2014高考数学答题技巧：五大解题思路 高考数学解题思想一：函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系（或构造函数）运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题；方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程（方程组）或不等式模型（方程、不等式等）去解决问题。

利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。

高考数学解题思想二：数形结合思想中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。

它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此我们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。

高考数学解题思想三：特殊与一般的思想用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，我们可以直接确定选择题中的正确选项。

不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样精彩。

高考数学解题思想四：极限思想解题步骤极限思想解决问题的一般步骤为：（1）对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量；（2）确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；（3）构造函数（数列）并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。

高考数学解题思想五：分类讨论思想我们常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。

引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。

在分类讨论解题时，要做到标准统一，不重不漏。

针对数学学科特点，要想在高考考场上考出优异的成绩，除了需要基础扎实以外，就是临场考试的答题技巧，数学网与大家分享下，关于高考数学答题技巧，仅供参考。

一、调整好状态，控制好自我。

1、保持清醒。

数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。

2、按时到位。

今年的答题卡不再单独发放，要求答在答题卷上，但发卷时间应在开考前5-10分钟内。

建议同学们提前15-20分钟到达考场。

二、答题策略选择1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而数学卷上显得更为重要。

一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。

当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。

一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取暂时性放弃，把自己可做的题目做完再回头解答;2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。

切记不要小题大做。

注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。

虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷上。

多写不会扣分，写了就可能得分。

三、答题思想方法1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。

首先考虑定义域，其次使用三合一定理。

2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法;3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。

如所过的定点，二次函数的对称轴或是;4.选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法;5.求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法;6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏;7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式;8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(注意去掉不符合条件的特殊点);9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可;10.三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答;解三角形的题目，重视内角和定理的使用;与向量联系的题目，注意向量角的范围;11.数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法;注意归纳、猜想之后证明;猜想的方向是两种特殊数列;解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想;12.立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成;注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化;锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ;与球有关的题目也不得不防，注意连接心心距创造直角三角形解题;13.导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃;重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上;14.概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略;如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径;15.三选二的三题中，极坐标与参数方程注意转化的方法，不等式题目注意柯西与绝对值的几何意义，平面几何重视与圆有关的知积，必要时可以测量;16.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成;17.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等;18.绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义;19.与平移有关的，注意口诀左加右减，上加下减只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成;20.关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。

数学选择题的解题方法1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。

运用此种方法解题需要扎实的数学基础。

例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。

其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（ ）A ．11B ．10C ．9D ．16例4、已知log (2)a y ax =-在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（0，2）D ．[2，+∞）2、特例法：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。

用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。

（1）特殊值例5、若sin α>tan α>cot α(24παπ<<-)，则α∈（ ）A ．(2π-，4π-) B ．（4π-，0） C ．（0，4π） D ．（4π，2π）例6、一个等差数列的前n 项和为48，前2n 项和为60，则它的前3n 项和为（ ）A ．－24B ．84C ．72D ．36 （2）特殊函数例7、如果奇函数f(x) 是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是（ ） A.增函数且最小值为－5 B.减函数且最小值是－5 C.增函数且最大值为－5 D.减函数且最大值是－5 例8、定义在R 上的奇函数f(x)为减函数，设a+b ≤0，给出下列不等式：①f(a)·f(－a)≤0；②f(b)·f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)。

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

（≡表示恒等于）待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用．(一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为 8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得 (nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵ L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即 mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得 bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵ t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为 y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得 (3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵ m 取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6 求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．【解】 (略)．已知函数y＝mx x nx22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。

考点46 三定问题（定点、定值、定直线）一．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 二．直线定点问题的求解的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程； ④根据直线过定点的求解方法可求得结果. 三．解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.考向一 定值【例1】（2021·北京丰台区·高三一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；知识理解考向分析（2）P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP PB 分别交直线6x =-于,M N 两点，连接NA 并延长交椭圆C 于点Q .（ⅰ）求证：直线,AP AN 的斜率之积为定值； （ⅱ）判断,,M B Q 三点是否共线，并说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析. 【解析】（1）由题意得2,c a e a ===所以2221==-=c b a c ，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）（ⅰ）证明：设00(,)P x y ，因为P 在椭圆C 上，所以220014x y +=.因为直线AP 的斜率为002y x +，直线BP 的斜率为002y x -，所以直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--. 所以N 点的坐标为008(6,)2y N x ---. 所以直线AN 的斜率为0000822622y x y x --=-+-. 所以直线,AP AN 的斜率之积为： 20200022000021422122442x y y y x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅===-+---. （ⅱ）,,M B Q 三点共线.设直线AP 斜率为k ，易得(6,4)M k --. 由（ⅰ）可知直线AN 斜率为12k -，所以直线AN 的方程为1(2)2y x k=-+. 联立22440,22,x y x ky ⎧+-=⎨=--⎩可得22(44)80k y ky ++=.解得Q 点的纵坐标为221kk-+， 所以Q 点的坐标为222222(,)11k kQ k k--++. 所以，直线BQ 的斜率为22220122221kk k k k--+=--+，直线BM 的斜率为40622k k --=--. 因为直线BQ 的斜率等于直线BM 的斜率， 所以,,M B Q 三点共线. 【举一反三】1．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左､右焦点分别为1F ，2F ，G 是椭圆上一点，12GF F △的周长为6+. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且四边形OAGB 为平行四边形，求证：OAGB 的面积为定值.【答案】（1）221123x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为12GF F △的周长为6+，所以226a c +=+，即3a c +=+又离心率c e a ==，解得a =3c =， 2223b a c =-=.∴椭圆C 的方程为221123x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,G x y ，将y kx m =+代入221123x y+=消去y 并整理得()2221484120kxkmx m +++-=，则122814km x x k +=-+，212241214m x x k -⋅=+，()121222214my y k x x m k+=++=+， ∵四边形OAGB 为平行四边形，∴()1212,OG OA OB x x y y =+=++，得2282,1414km m G k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，将G 点坐标代入椭圆C 方程得()223144m k =+， 点O 到直线AB的距离为d =12AB x =-，∴平行四边形OAGB 的面积为12S d AB m x x =⋅=-=====.故平行四边形OAGB 的面积为定值为2．（2021·四川遂宁市·高三二模（文））如图，已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点，且0FA FB ⋅=时，3k =.（1）求a 的值；（2）设线段AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于D ，E 两点，当k 变化时，直线DE 与直线AB 的斜率之比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1（2）为定值5.【解析】（1）设()00,A x y ，则()00,B x y --，由题意得焦点为()F所以，()()2220000001FA FB x y x y x y a ⋅=⋅--=--+-.当0FA FB ⋅=时，有222001x y a +=-.联立222,1,y kx x y a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得220221a x k a =+，2220221k a y k a =+，从而22222222111a k a a k a k a +=-++.将k =222413a a a =-+，所以()231a a =>，故a =（2）由（1）知，()F ，椭圆C ：2213x y +=.设AD：00x x y y +=C ：2233x y +=，得(2002200310x x y y y y ⎡⎤+⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 而220033x y +=，即()22000050y x y y y +--=，从而D y =.同理BE：00x x y y =E y =从而5E D E D y y y y +=-.于是00000000055E D DE E D E D E DE D y y y k kx x x y y y y y y -====⋅=--.所以DE ，BC 的斜率之比为定值5.考向二 定点【例2】（2021·河南月考（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两焦点为()11,0F -，()21,0F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F △（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点M 为椭圆C 的右顶点，若不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 均不是椭圆C 的右顶点），且满足AM BM ⊥，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）证明见解析，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（Ⅰ）由椭圆的对称性可知：当点P 落在椭圆的短轴的两个端点时12PF F △的面积最大，此时122b ⨯⨯=b = 由222a bc =+得：2314a =+=．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为y kx m =+，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()()222348430k x mkx m +++-=，则()()222264163430m k k m =-+->，即22340k m +->，122834mk x x k ∴+=-+，()21224334m x x k-=+． ()()1212y y kx m kx m ∴=++()221212k x x mk x x m =+++()2223434m k k-=+．椭圆的右顶点为()2,0M ，AM BM ⊥，0MA MB ∴⋅=，()()1212220x x y y ∴--+=，即()121212240y y x x x x +-++=， ()()2222234433434m k m k k --∴+++2164034mkk ++=+．整理可得：2271640m km k ++=， 解得：12m k =-，227k m =-，（1m ，2m 均满足22340k m +->）． 当2m k =-时，l 的方程为()2y k x =-，直线l 过右顶点()2,0，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫⎪⎝⎭【举一反三】1．（2021·黑龙江大庆市·高三一模（理））已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x ya b a b+=>>（，短轴长为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点 ,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，(6,0). 【解析】（1）由22221b a c a c b ⎧=⎪-=⎨⎪-=⎩得21b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在x 轴两侧，不合题意. 所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+. 设11(,)E x y 、22(,)F x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=， 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+. 因为APE OPF ∠=∠， 所以0PE PF k k +=，即121202233y y x x +=--，整理得1212242()()033m kx x m k x x +-+-= 化简得6m k =-，所以直线l 的方程为6(6)y kx k k x =-=-， 所以直线l 过定点(6,0).2．（2021·全国高三月考（文））已知斜率为的34的直线l 与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>交于点,A B ，线段AB 中点为()11D -,，直线l 在y 轴上的截距为椭圆C 的长轴长的716倍. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点,,,P Q M N 都在椭圆上，且,PQ MN 都经过椭圆C 的右焦点F ，设直线,PQ MN 的斜率分别为12,k k ，121k k +=-，线段的中点分别为,G H ，判断直线GH 是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）过定点，31,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ， 则12122,2x x y y +=-+=，且2222112222221,1x x x x a b a b+=+= 两式相减得2222121222x x y y a b--=- 即2121221212y y y y b x x x x a+-⋅=-+-， 即222324b a -⋅=-，所以2234b a =又直线l 的方程为()3114y x -=+， 令0x =，得74y =所以772,2,164a ab ⨯===， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由题意得()1,0F ，直线,PQ MN 的方程分别为()12()1,1y k x y k x =-=-，设()()3344,,,P x y Q x y ，联立122(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22121213484120k k k xx +-+-=，所以212341834x k k x +=+，则2211221143,3434k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭同理2222222243,3434k k H k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以12221212221212221233334344443434GHk k k k k k k k k k k k k ----++==+-++ 由121k k +=- 得()11314GH k k k =++， 所以直线GH 的方程为221111221134334434k k y k k x k k ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭整理得()21133144y k k x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭， 所以直线GH 过定点31,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 考向三 定直线【例3】（2021·深圳实验学校高中部）如图，已知抛物线21:2C y x =直线2y kx =+交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）证明：OA OB ⊥；（2）设抛物线C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，证明：1l 与2l 的交点M 在一定直线上. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】1）设211,12A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,12B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把2y kx =+代入212y x =，得2240x kx --=. 由韦达定理得122x x k +=，124x x =-.()22211221212111,,0224OA OB x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以OA OB ⊥ （2）212y x =，y x '∴=， 故经过点211,12A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线1l 的方程为：()211112y x x x x -=-， 即21112y x x x =-，①同理，经过点222,12B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线2l 的方程为：22212y x x x =-，②21x x ⨯-⨯①②，得12122y x x ==-. 即点M 在直线:2l y =-上. 【举一反三】1．（2021·浙江温州市）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点到准线的距离为2，直线:2l y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，点P 为直线1l ，2l 的交点. （i ）求证：点P 在一条定直线上； （ii ）求PAB △面积的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）（i ）证明见解析；（ii ）)⎡+∞⎣.【解析】（1）抛物线()2:20C x py p =>的焦点到准线的距离为2，可得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =.（2）联立方程组24,2x yy kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得，2480x kx --=， ∴124x x k +=，128x x =- 由24x y =得，12y x '=，所以切线PA 方程为()111112:l y y x x x -=- 切线PB 方程为()22221:2l y y x x x -=- 联立直线PA ､PB 方程可解得1222x x x k +==，1224x xy ⋅==-. （i ）所以点P 的坐标为()2,2k -. 所以点P 在定直线2y =-上 （ii ）点P 到直线AB 的距离为2d =所以AB ==PAB △的面积为()322214422PABS d AB k =⋅==+△所以当0k =时，PABS有最小值PAB △面积的取值范围是)⎡+∞⎣.2．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））已知点P 是抛物线2:2C x y =上的动点，且位于第一象限．圆222:()0O x y r r +=>，点P 处的切线l 与圆O 交于不同两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （1）求证：点M 在定直线上；（2）设点F 为抛物线C 的焦点，切线l 与y 轴交于点N ，求PFN 与PDM △面积比的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）设2,2m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m >，显然切线l 的斜率存在且不为零，由22x y =，求导得：y x '=，所以切线l 的斜率为m ，因为D 是弦AB 的中点，所以OD l ⊥，所以直线OD 方程：1y x m=-， 联立方程1y xm x m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得1y =-，所以点M 在定直线1y =-上．（2）由（1）知切线l 的方程：2()2m y m x m -=-，化简得：22m y mx =-， 令0x =，得20,2m N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立方程221m y mx y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得()()3222,2121m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭， 而()211||124PFNSFN m m m ==+，()()()2232221||22181PDMm m mS PM m m m +=-=++， 所以222122PFN PDM S m S m ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，令222t m =+>，得1102t <<， 则22111221,22PFN PDM S t S t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以PFN 与PDM △面积比的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．1．（2021·江苏常州市·高三一模）已知O 为坐标系原点，椭圆2214x C y +=：的右焦点为点F ，右准线为强化练习直线n .（1）过点(4,0)的直线交椭圆C 于,D E 两个不同点，且以线段DE 为直径的圆经过原点O ，求该直线的方程；（2）已知直线l 上有且只有一个点到F 的距离与到直线n的距离之比为2.直线l 与直线n 交于点N ，过F 作x 轴的垂线，交直线l 于点M .求证：||||FM FN 为定值. 【答案】（1）4)y x =-；（2）证明见解析. 【解析】（1）设过点(4,0)的直线为(4)y k x =-交于椭圆()()1122,,D x y E x y联立2214(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()222241326440k x k x k +-+-=()221222121212221223212414164164441k x x k k y y k x x x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎡⎤∴=-++=⎨⎣⎦+-⎪=⎪+⎩又因为以线段DE 为直径的圆经过原点，则212122764·0,4119k OD OE x x y y k k -=+==∴=±+则所求直线方程4)y x =- （2）已知椭圆2214x y +=n的方程为x =， 因为直线l 上只有一点到F 的距离与到直线n的距离之比为2， 所以直线l 与椭圆相切，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得到：()222418440k x kmx m +++-=()()222222 6444144041k m k m m k=-+-=∴=+①联立xxFM my kx my kx m⎧⎧==⎪⎪∴=+∴⎨⎨=+⎪⎪=+⎩⎩点N坐标为m⎫+⎪⎭得到||FN=222222||31168||33FM k mkmFN k m++=++,由①22||3||||4||2FM FMFN FN⇒=⇒=2（2021·山西临汾市·高三一模（理））已知椭圆()22122:0x yC a ba b+=>>与双曲线222:14-=xC y有两个相同的顶点，且2C的焦点到其渐近线的距离恰好为1C的短半轴的长度．（1）求椭圆1C的标准方程；（2）过点()()()(),0,00,T t t a a∈-⋃作不垂直于坐标轴的直线l与1C交于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使得MT平分AMB∠？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214xy+=；（2）存在点4,0Mt⎛⎫⎪⎝⎭，使得MT平分AMB∠．【解析】（1）由题意可得2a=，双曲线2C的焦点为()，渐近线方程为：12y x=±，则焦点到渐近线的距离为d b==，所以1b=，则椭圆1C的标准方程为2214xy+=；（2）存在点M使得MT平分AMB∠，由题知，直线l的斜率存在且不为0，又直线过点(),0T t，则设直线l的方程为()y k x t=-，()11,A x y ，()22,B x y ，(),0M m ， 联立方程()2214y k x t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理可得： ()22222148440k xk tx k t +--+=，所以2122814k t x x k +=+，221224414k t x x k-=+， 因为11AM y k x m =-，22BM y k x m=-，0AM BM k k +=，所以()()()()()()1221120k x t x m k x t x m x m x m --+--=--，即()()()()12210k x t x m k x t x m --+--=，因为0k ≠，所以()()()()()12221x t x m x m x t x m ---+--()()2100x t x m =+--=，即()()1212220x x t m x x tm -+++=，则()222224482201414k t k tt m mt k k -⋅-+⨯+=++，化简可得4mt =，因为0t ≠，所以4m t=， 综上，存在点4,0M t ⎛⎫⎪⎝⎭，使得MT 平分AMB ∠． 3．（2021·漠河市高级中学高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个顶点恰好是抛物线2:4D x y =的焦点，其离心率与双曲线22162x y -=的离心率互为倒数.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为P ，当直线l 绕着点F 转动时，试探究：是否存在定点Q ，使得,,B P Q 三点共线？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，定点为3Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由题意，抛物线2:4D x y =，可得焦点为()0,1，所以1b =，又由双曲线22162x y -=的离心率为3e =，可得椭圆C的离心率2c a =，可得120b c a a ⎧==⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）由直线l 不与坐标轴垂直，可设直线l的方程为x ty =+，其中0t ≠， 设点()11,A x y ､()22,B x y ，则点()11,P x y -，联立直线l 与椭圆C的方程2244x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22410t y ++-=， 由0∆>恒成立，且12y y +=12214y y t =-+， 由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上， 故假设存在定点(),0Qq ，使得P ､B ､Q 三点共线，则PB PQ k k =，即211211y y yx x q x +=--，可得12211212x y x y q y y +====+.故存在定点3Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，使得P ､B ､Q 三点共线.4．（2021·山东烟台市·高三一模）已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点， A 为椭圆的上顶点，12AF F △是面积为4的直角三角形. （1）求椭圆C 的方程； （2）设圆228:3O x y +=上任意一点P 处的切线l 交椭圆C 于点,M N ，问：PM PN ⋅是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22184x y +=；（2）是定值，定值为83-. 【解析】（1）由12AF F △为直角三角形，故b c =， 又121242AF F Sc b =⨯⨯=， 可得4,bc = 解得2,b c == 所以28a =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=；（2）当切线l 的斜率不存在时，其方程为x =将x =±22184x y +=，得y =，不妨设M ⎝⎭，N ⎝⎭，又3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭所以83PM PN ⋅=-同理当x =时，也有83PM PN ⋅=-.当切线l 的斜率存在时，设方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，因为l 与圆22:184x y O +=相切，3=即22388m k =+，将y kx m =+代入22184x y+=，得()222214280k x kmx m +++-=，所以2121222428,,2121km m x x x x k k --+==++ 又()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+2PO OP ON OP OM ON OM =-⋅-⋅+⋅， 222PO PO PO ON OM =--+⋅ 2ON OM PO =⋅-又()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()2212121k x x km x x m =++++()()222222212842121k m k m m k k +--=++++， 22238821m k k --=+ 将22388m k =+代入上式，得0OM ON ⋅=，综上，83PM PN ⋅=-. 6．（2021·四川遂宁市·高三二模（理））如图，已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点，且0FA FB ⋅=时，3k =.（1）求a 的值；（2）设线段AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于D ，E 两点，当k 变化时，直线DE 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1（2）过定点，定点为⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）设()00,A x y ，则()00,B x y --，由题意得焦点为()F所以，()()2220000001FA FB x y x y x y a ⋅=⋅--=--+-.当0FA FB ⋅=时，有222001x y a +=-.联立222,1,y kx x y a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得220221a x k a =+，2220221k a y k a =+，从而22222222111a k a a k a k a +=-++.将3k =代入，得222413a a a =-+，即42230a a --=，所以23a =或21a =-（舍），故a =（2）由（1）知，()F ，椭圆C ：2213x y +=.设AD：00x x y y +=C ：2233x y +=，消去x并整理得(2002200310x x y y y y ⎡⎤⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以2222000000(32)0y x y x y y y +++--=， 而220033x y +=，所以()22000050y x y y y +--=，由韦达定理得20D y y =，所以D y =同理BE：00x x y y -+=-，即00x x y =E y =所以0020258E D y y y x +==-，2010258E D y y y x -=-=-所以0002105258E D E D y y y y y x +==--，于是0000000000000555E D DE E D E D E D E D y y y k kx x x y y y y y y y y -=====⋅=--.所以直线DE ：()05D D y y y x x x -=-. 令0y =，得00000055D D D D x x x x x y y y y y y =-=-0045D x y y +=将D y =x = 所以DE经过定点⎛⎫⎪⎝⎭. 7．（2021·广东汕头市·高三一模）在平面直角坐标系xOy 中，P为坐标原点，)M ，已知平行四边形OMNP 两条对角线的长度之和等于4．（1）求动点P 的轨迹方程；（2过)M作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与动点P 的轨迹交于A 、B ，2l 与动点P 的轨迹交于点C 、D ，AB 、CD 的中点分别为E 、F ；①证明：直线EF 恒过定点，并求出定点坐标． ②求四边形ACBD 面积的最小值．【答案】（1）()22104x y y +=≠；（2）①证明见解析，定点坐标为5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；②3225. 【解析】（1）设点(),P x y ，依题意4MP ON OP OM OP OM +=-++=，4=>，所以动点P 的轨迹为椭圆（左、右顶点除外），则24a =，c =1b ∴==，∴动点P 的轨迹方程是()22104x y y +=≠； （2）①若1l 与x 轴重合，则直线1l 与动点P 的轨迹没有交点，不合乎题意； 若2l 与x 轴重合，则直线2l 与动点P 的轨迹没有交点，不合乎题意；设直线1l 的方程为30xmy m，则直线2l 的方程为1x y m=-直线1l 、2l 均过椭圆的焦点（椭圆内一点），1l 、2l 与椭圆必有交点．设()11,A x y 、()22,B x y ，由()222241044x my m y x y ⎧=+⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，由韦达定理可得1224y y m +=-+，则()1212x x m y y +=++=，所以点E 的坐标为⎝⎭，同理可得点F ⎝⎭，直线EF的斜率为()()25141EFm k m m ==≠±-， 直线EF的方程是()2541m y x m ⎛+=- -⎝⎭， 即())()()222222155415441m m m y x x m m m ⎡⎤-⎛⎢⎥=-= -+-⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当1m =±时，直线EF的方程为x =EF过定点⎫⎪⎪⎝⎭． 综上，直线EF过定点⎫⎪⎪⎝⎭；②由①可得12y y +=，12214y y m =-+，()2122414m AB y y m +∴=-==+，同理可得()2222141411414m m CD m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++， 所以，四边形ACBD 的面积为()()()()22222222281813225441441221m m S AB CD m m m m ++≥=++⎛⎫+++ ⎪⋅⎭==⎝，当且仅当21m =取等号．因此，四边形ACBD 的面积的最小值为3225. 8．（2021·河南平顶山市·高三二模（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，过右焦点(),0F c 的直线y x c =-与椭圆交于A ，B 两点，A在第一象限，且AF =（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在点M ，满足对于过点F 的任一直线l 与椭圆C 的两个交点P ，Q ，都有MP MQ ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）221189x y +=；（2）存在点15,04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足MP MQ ⋅为定值．. 【解析】（1）由2e =，及222a b c =+，得a ==，设椭圆方程为222212x y b b +=，联立方程组22222x y b y x b ⎧+=⎨=-⎩得2340x bx -=．则43A bx =，所以3A F bAF x =-==3b =．所以椭圆C 的方程为221189x y +=．（2）当直线l 不与x 轴重合时，设:3l x ny =+，联立方程组222183x y x ny ⎧+=⎨=+⎩得()222690n y ny ++-=． 设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),0M t ，则有12262n y y n +=-+，12292y y n ⋅=-+． 于是()()()()1212121233MP MQ x t x t y y ny t ny t y y ⋅=--+=+-+-+()()()()()()()()2222221212211339163322n y y n t y y t n n t t n n ⎡⎤=++-++-=-+--+-+⎣⎦+()()()22222222627323918212922t t n t t n t t n n ⎡⎤-+-+---+-+⎣⎦==++， 若MP MQ ⋅为定值，则有()222129218t t t -+=-，得1245t =，154t =． 此时218MP MQ t ⋅=-：当直线l 与x轴重合时，()P -，()Q ，也有()()()()21218MP MQ x t x t t t t ⋅=--=-=-．综上，存在点15,04M⎛⎫⎪⎝⎭，满足MP MQ⋅为定值．9．（2021·北京平谷区·高三一模）已知椭圆2222:1(0,0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，并且经过(0P点．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点P的直线与x轴交于N点，与椭圆的另一个交点为B，点B关于x轴的对称点为B'，直线PB'交x轴于点M，求证：OM ON⋅为定值．【答案】（1）22143x y+=；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知23112bca⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2ab=⎧⎪⎨=⎪⎩C：22143x y+=．（2）证明：由已知斜率存在以下给出证明：由题意，设直线PB的方程为0)y kx k=+≠，(P，()11,B x y，则()11,B x y'-，由223412,x yy kx⎧+=⎪⎨=⎪⎩得()223480k x++=，所以(280∆=>，1+=x12834=-+xk，12834=-+yk，所以B⎛⎝，即B⎛⎝⎭，直线PB'的方程为2223834434y xk k k⎛⎫---=-⎪⎪++⎝⎭，令0y =得(()224334k x k --=+所以(()2240334k M k ⎛⎫-- ⎪ ⎪+⎝⎭，， 令0y =由y kx =+x =0N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以OM ON ⋅=4. 10．（2021·河南新乡市·高三二模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，E 为C 上不同于A ，B 的动点，直线AE ，BE 的斜率AE k ，BE k 满足12AE BE k k ⋅=-，AE BE ⋅的最小值为-4.（1）求C 的方程；（2）O 为坐标原点，过O 的两条直线1l ，2l 满足1//l AE ，2//l BE ，且1l ，2l 分别交C 于M ，N 和P ，Q .试判断四边形MPNQ 的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22184x y +=；（2）是定值，【解析】（1）设()00,E x y ，则2200221x y a b+=，故(,0),(,0)A a B a -，∴2202220002222200001AE BEx b a y y y b k k x a x a x a x a a⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---， 又()()()()22200000021x AE BE x a x a y x a x a b a ⎛⎫⋅=+-+=+-+- ⎪⎝⎭222202c x c c a=-≥-，由题意知：222124b ac ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）根据椭圆的对称性，可知OM ON =，OP OQ =， ∴四边形MPNQ 为平行四边形，所以4MPNQ OMP S S=.设1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，()11,M x y ，()22,P x y ，则111y k x =①，222y k x =②. 又1//l AE ，2//l BE ，即1212AE BE k k k k ⋅=⋅=-. 当MP 的斜率不存在时，12y y =-，12x x =.由①⨯②，得2221121112y k k x x -==-，结合2211184x y +=，解得12x =，1y =∴1114422MPNQ OMPS Sy x ==⨯⨯⨯=当MP 的斜率存在时，设直线MP 的方程为y kx m =+，联立方程组得22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214280k x kmx m +++-=，则()()()22222(4)421288840km k m k m ∆=-+-=+->，即122421km x x k +=-+，21222821m x x k -=+.∵()22121212121212121212k x x km x x m y y kx m kx m k k x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅==-， ∴22222222841212128221m km k km m k k m k -⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭=--+，整理得：2242m k =+. 由直线MP 过(0,)m ，12144||2||2MPNQ OMPS Sm x x m ==⨯⨯-=2|2||21m m k ==+， 将2242m k=+代入，整理得MPNQ S =综上，四边形MPNQ 的面积为定值，且为。

2014高考数学选择题答题策略高考是每位学生十分重要的考试，数学作为其中一科，对许多考生来说是一个挑战。

在高考中，选择题是数学占比较大的一部分，因此掌握一些答题策略是很有必要的。

本文将分享一些2014年高考数学选择题的答题策略，希望对广大学生有所帮助。

第一、仔细阅读题目在答题前，首先要认真阅读每道选择题的题目和选项。

有时，一些关键信息可能隐藏在题目或选项中，只有仔细阅读才能找到答案的线索。

同时，确保自己理解题目的意思，避免因为误解导致错误答案的选择。

第二、分析题目在阅读完题目后，可以开始分析题目的要求和所给信息。

有时，将问题简化或转化为更简单的形式可以帮助解题。

同时，注意题目中是否有已知条件，利用已知条件进行推理和解题是常见的答题方法。

第三、排除法当遇到一道复杂的选择题时，可以使用排除法来提高答题准确性。

通过分析选项，将明显错误的选项排除掉，减少选择的可能性。

这样，即使无法立刻确定正确答案，也能够提高猜对的概率。

第四、选项代入法选项代入法可以帮助解决一些复杂的选择题。

将每个选项分别代入题目中，判断哪个选项符合题目要求，即可得出正确答案。

尤其是在数值计算或方程解题时，选项代入法可以缩小答案范围，提高计算的准确性。

第五、注意单位和精度数学选择题中常涉及单位和精度的问题。

在计算中，要注意题目所给的单位是否需要进行转换，以及计算结果是否需要进行取整或保留一定的小数位数。

小心细致地处理单位和精度问题，可以避免因为计算错误而选择错误答案。

第六、时间分配在高考数学选择题中，每道题的分值是相等的。

因此，在答题过程中要合理安排时间分配。

如果遇到一道难题，不宜花费过多时间在这道题上，而应该先解决其他相对简单的题目，然后再回过头来仔细思考和分析难题。

总之，对于2014年高考数学选择题，准确理解题目、分析题目、利用排除法和选项代入法、注意单位和精度以及合理分配时间是解答选择题的一些有效策略。

希望这些策略能够在高考中为广大学生提供帮助，达到更好的成绩。

高三复习解析几何中的定点定值问题作者：蔡苗苗来源：《新课程·中学》2014年第06期摘要：在任教中会有很多圆锥曲线通过定点和定值的问题，此类问题从始至终都是教学中的难点，学生常常找不到解题点，不清楚答题思路。

关键词：解析几何；定点；定值定点定值问题的本质是等式是恒等式，方程是待定系数法定点问题，主要是找出题中的已知和未知量间的关系或方程、不等式，而后把已知和未知量都代到此关系中，经过调整、变形变换成过定点的直线系、曲线系的问题来解题。

定值问题主要在于选择一个符合此题设的参数，由题中已知量与参数表达出此题所有的含义、方程式、几何特点，然后应用韦达定理等方式求解出想要的表达式，且把它代入定值关系式中，化简、整理、得出结果。

一、教材给出的关于定点定值问题的实例分析与解答1.关于高三复习解析几何中的定点定值问题的实例分析解析几何中的定点、定值问题由始至终都是高三考试与比赛中的一个热门问题，因为现今课本对这个问题未进行专门的阐述。

所以，就变成高三数学的一个难点。

实际上，对此类问题的解答是有规则可依的，例如：证明动直线过定点的答题思路可总结为：一取、二解、三定点。

详细步骤如下：一取：选取参数：需求证过定点的动直线总是随某个数的改变而改变，可选取这个数当做参数（当动直线涉及的数比较多时，也可选择多个参数）。

二解：解出动直线的方程式。

找出仅含有上面提及的参数的动直线代数方程，并根据其他给出条件降低参变量的数目，最后让动直线方程式的系数中只有一个参数。

三定点：找出定点的坐标。

可设动直线方程中的参数为λ，直线方程形式是这样写的：f （x，y）+λg（x，y）=0，然后解有关x，y的方程组f（x，y）=0，g（x，y）=0找到定点的坐标。

2.解析几何中的定点定值问题的实例具体解答过程例1.已知椭圆： + =1，过点A（2，0）作弦PA⊥QA，P、Q都在椭圆上，那么直线PQ 是否恒通过一定点？若通定点，写出此定点坐标；若不通过，请说明理由。

备战2014年高考：高考数学答题技巧_答题技巧
备战2014年高考：高考数学答题技巧
1、考数学就是和时间的斗争。

问题卷一发下来后，首先把全部问题看一遍。

找出其中看上去最容易解答的题，然后假定步骤，思考怎么样的顺序解题才最好。

2、切忌不看题目盲目背题，要仔细审题，清楚题目要求你解决什么问题，然后有条不紊迅速解题，提高准确率。

3、解题格式要规范，重点步骤要突出。

4、卷选择题时间控制在35分中以内。

小题小做、巧做、简单做，选择题和填空题要多用数形结合、特殊值验证法等技巧，节约时间。

5、保持心静，以不变应万变。

切莫因旁人的翻卷或其他行为干扰自己的解决思路。

2014年高考数学攻略吕梁市高级中学数学教研室编辑夏丙江审核曹海照目录:集合与函数----------------------韩玉堂温丽俊(理科)---------------------张强徐世冬(文科)向量与三角----------------------刘永飞范勤亮(文科理科)数列-------------------------------陈巧萍-(文科理科)不等式----------------------------邓明兵王娇解析几何-------------------------鲁佃华(文科理科)立体几何------------------ ------王伟玲(文科理科)计数原理与二项分布----------夏丙江(理科)统计与概率----------------------夏丙江(文科理科)第一部分：集合、函数(理科)集合题型、分值、难度：选择题、5分、低常考点、重点、难点：1.集合元素三个特性2. 以集合运算和集合的关系为载体考查简单的不等式解法3．集合三种表示方法4.子集个数问题新题型：1在集合表示方法中描述法中引入新定义进行创新2把子集、函数（映射）概念与排列组合知识综合一起考查命题趋势及复习建议集合问题一般是高考题的第1题，所以为了体现高考题的相对稳定和便于学生正常发挥，变化创新的可能性较小，一般是对本章知识要点进行轮留考查，14年我建议在集合表示方法的描述法和集合元素的三个特性上稍加注意。

函数的概念、图像及性质(理科)情景模式主要考点重要方法相对难度2008年------- ------- -------- --------2009年利用函数图像及图像交点解决问题函数图像数形结合高2010年以函数奇偶性为载体考查分段函数的不等式解法函数的奇偶性及分段函数转化及分类讨论中2011年利用函数图像及函数性质结合解决问题函数图像及其对称性数形结合及图像的对称性高2012年互为反函数的两函数图像间的关系互为反函数的两函数图像的性质及应用数形结合及转化思想高2013年Ⅰ以二次函数、对数函数为载体考查分段函数函数图像的对称性及最值转化与化归的思想高Ⅱ以高次函数为载体考查函数的相关性质函数图像及极值转化与数形结合的思想高题型、分值、难度 选择或填空题、10、中高档 常考点、重点、难点1. 函数的定义域、值域、对应法则、单调性、奇偶性、周期性。

众所周知，解析几何中定值和定点问题的难度较大，常以压轴题的形式出现在各类试题中.解答解析几何中的定值和定点问题，需结合题目中所给的信息，灵活运用所学的知识，找出题目中各个参变量之间的等量关系，以消去变量；或证明定点、定值与变量无关.这类题目的综合性较强，需要灵活运用一些数学思想，如数形结合思想、函数思想、方程思想、分类讨论思想、设而不求思想、一般与特殊思想等来辅助解题.接下来，通过几个例题，介绍一下这两类问题的解法.一、定点问题定点问题一般是有关动直线或动圆的问题.解答这类问题的一般步骤为：（1）选取并设出合适的变量、参数，如动直线的斜率、截距，动圆方程中的参数等；（2）根据题目中给出的信息列方程，通过推理、运算得到关于定点的方程；（3）根据方程ax=b有任意实数解的充要条件a=0、b=0，建立关系式，求得定点的坐标.例1.已知四点P1(1,1),P2(0,1),P3P4中恰有三点在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l不经过P2点，且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：直线l过定点.解：(1)椭圆C的方程为：x24+y2=1（过程略）；(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2；若直线l与x轴垂直，则l：x=t,t≠0，且|t|<2，此时Aæèççøt,Bæèççøt,，由k1+k2=-1,得t=2（不满足题意，舍去），设l:y=kx+m(m≠1),将其代入x24+y2=1中，得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，又直线l与椭圆C相交于A，B两点，所以Δ=16(4k2-m2+1)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1所以k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2=-1，可得k=-m+12，当m>-1时，Δ>0,则l:y=-m+12x+m，即y+1=-m+12(x-2)，可知直线l过定点(2,-1).我们只需设出直线的方程，将其与椭圆的方程联立，构造一元二次方程，便可根据判别式Δ>0和韦达定理，建立关系式，求得k的值，进而确定直线l的方程.最后将直线的方程化为点斜式，根据一元一次方程有任意实数解，即可求得定点的坐标.二、定值问题定值问题主要是一些几何变量，例如面积、线段的比值、斜率、距离等为定值的问题.要证明这些几何变量为定值，就需先求得目标式，然后证明该式不随某些量的变化而变化.解答定值问题，可以用特殊与一般思想，先从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；还可以直接设出变量，通过推理、计算，消去变量，得到定值.例2.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于P,Q两点(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解：(1)椭圆E的方程为：x22+y2=1（过程略）；(2)设直线PQ的方程为：y=k(x-1)+1(k≠2)，将其代入椭圆的方程中得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0，设P(x1,y1),Q(x2y2)，且x1x2≠0，则x1+x2=4k(k-1)2k2+1,x1x2=2k(k-2)2k2+1，可得k AP+k AQ=y1+1x1+y2+1x2=2k+(2-k)4k(k-1)2k(k-2)=2k-2(k-1)=2，则直线AP与AQ的斜率之和为2.先联立椭圆和直线的方程，再根据韦达定理得到交点的坐标的关系式，进而通过恒等变换，消去参数k，得到定值.对于这类有关直线与圆锥曲线的定值问题，都需通过联立圆锥曲线与直线的方程，根据韦达定理进行化简，才能得到定值.求解解析几何中的定值或者定点问题，都要在动点、动直线、动曲线变化的过程中寻找到不变的量，我们要根据已知信息，尽量找到更多的等量关系，以消去变量，得到定值.（作者单位：江苏省沭阳高级中学）探索探索与与研研究究55。

定点定直线问题一、基础知识：1、处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ）（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y = 的联系，得到有关k 与,x y 的等式 （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立。

此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y 。

常见的变形方向如下： ① 若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可② 若等式为含k 的分式， 00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式） 2、一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）。

然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合。

属于“先猜再证”。

（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件。

所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点。

尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件。

例如：直线:1l y kx k =+-，就应该能够意识到()11y k x =+-，进而直线绕定点()1,1--旋转二、典型例题：例1：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点()2,1P （1）求椭圆C 的标准方程（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标解：（1）1::22c e a b c a ==⇒=，设左焦点()1,0F c -1PF ∴==1c =2,a b ∴==∴椭圆方程为22143x y +=（2）由（1）可知椭圆右顶点()2,0D设()()1122,,,A x y B x y ，Q 以AB 为直径的圆过()2,0DDA DB ∴⊥即DA DB ⊥u u u r u u u r0DA DB ∴⋅=u u u r u u u r()()11222,,2,DA x y DB x y =-=-u u u r u u u rQ()()()121212*********DA DB x x y y x x x x y y ∴⋅=--+=-+++=u u u r u u u r①联立直线与椭圆方程：223412y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()()222348430k x mkx m +++-= ()2121222438,4343m mkx x x x k k -∴+=-=++ ()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m ∴=++=+++()22222222438312434343k m mk mk m k m k k k -⋅-=-+=+++，代入到① ()222222438312240434343m mk m k DA DB k k k --⋅=+⋅++=+++u u u r u u u r 22222412161612312043m mk k m k k -++++-∴=+ ()()22716407220m mk k m k m k ∴++=⇒++= 27m k ∴=-或2m k =-当27m k =-时，22:77l y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ l ∴恒过2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭当2m k =-时，():22l y kx k k x =-=- l ∴恒过()2,0，但()2,0为椭圆右顶点，不符题意，故舍去l ∴恒过2,07⎛⎫⎪⎝⎭例2：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点2-⎭，且椭圆的离心率为12e = （1）求椭圆的方程（2）过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于,A C 和,B D ，设线段,AC BD 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点解：（1）12c e a ==::2a b c ∴= 2222143x y c c ∴+=代入2-⎭可得：2233111443c c c +⋅=⇒=2,a b ∴==∴椭圆方程为22143x y +=（2）由（1）可得：()1,0F当直线AC 斜率不存在时，:1,:0AC x BD y == 所以可得：()()1,0,0,0P Q PQ ∴为x 轴当AC 斜率存在时，设():1,0AC y k x k =-≠，则()1:1BD y x k=-- 设()()1122,,,A x y C x y ，联立方程可得：()()222222143841203412y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩ 2122843k x x k ∴+=+()()()1212122611243ky y k x k x k x x k k ∴+=-+-=+-=-+ 212122243,,224343x x y y kk P k k ⎛⎫++-⎛⎫∴= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭同理，联立()22113412y x kx y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩，可得：22222114343,,3443114343k k k Q k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪∴== ⎪ ⎪++⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222222337434344414334PQk k k k k k k k k k --++∴==--++ PQ ∴的方程为：()222374434341k k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪++-⎝⎭，整理可得： ()()()224744044740yk x k y y k k x +--=⇒-+-= 470x y ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩时，直线方程对k R ∀∈均成立 ∴直线PQ 恒过定点4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭而AC 斜率不存在时，直线PQ 也过4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭∴直线PQ 过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭例3：如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，其上顶点为A ，已知12F AF V 是边长为2的正三角形 （1）求椭圆C 的方程（2）过点()4,0Q -任作一动直线l 交椭圆C 于,M N 两点，记MQ QN λ=u u u u r u u u r，若在线段MN上取一点R 使得MR RN λ=-u u u r u u u r ，试判断当直线l 运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线；若不在请说明理由解：（1）由椭圆方程可得()()()12,0,,0,0,F c F c A b -12F AF Q V 为边长是2的三角形122221FF c c ∴=⇒=⇒=OA b ==2224a b c ∴=+= 22143x y ∴+= （2）设():4MN y k x =+设()()1122,,,M x y N x y ， ()()11224,,4,MQ x y QN x y =---=+u u u u r u u u r由MQ QN λ=u u u u r u u u r 可得：()()11224444x x x x λλ+--=+⇒=-+设()00,R x y ，则()()01012020,,,MR x x y y RN x x y y =--=--u u u r u u u r由MR RN λ=-u u u r u u u r可得：()0120x x x x λ-=-()()()112212121201122442441814x x x x x x x x x x x x x x x λλ++⋅+++-∴===+-++++ ① 联立方程组()2234124x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 整理可得：()2222343264120k xk x k +++-=22121222326412,3434k k x x x x k k --∴+==++代入到①可得：22222022264123224243434341243283434k k k k k x k k k ---⋅+⋅+++===--+++ R ∴在定直线1x =-上例4：已知椭圆C 的中心在坐标原点，左，右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上的动点，12PF F V 的面积最大值为，以原点为中心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3450x y -+=相切（1）求椭圆的方程（2）若直线l 过定点()1,0且与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点，直线,AM BM 分别与y 轴交于,P Q 两点，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由 解：（1）()1212max12PF F S F F b bc =⋅==V 因为圆与直线相切1O l d b b -∴==⇒=c ∴=2224a b c ∴=+=∴椭圆方程为：2214x y +=（2）当直线l 的斜率存在时，设():1l y k x =-，由椭圆方程可得点()2,0M设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程可得：()22441x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩()2222148440k xk x k +-+-=22121222844,1414k k x x x x k k-∴+==++ 由()2,0M ，()()1122,,,A x y B x y 可得：()()1212:2,:222y yAM y x BM y x x x =-=---，分别令0x =，可得： 1212220,,0,22y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，设x 轴上的定点为()0,0N x若PQ 为直径的圆是否过()0,0N x ，则0PN QN ⋅=u u u r u u u r12001222,,,22y y PN x QN x x x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r Q∴问题转化为()()212124022y y x x x +=--恒成立即()212012124024y y x x x x x +=-++ ①由22121222844,1414k k x x x x k k -+==++及()1y k x =-可得：()()()2212121212111y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦22341k k -=+代入到①可得：2220222234410448241414k k x k k k k -⋅++=--+++2220212304k x x k-⇒+=-=解得：03x =± ∴圆过定点()3,0±当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，可得PQ 为直径的圆223x y +=过点()3,0± 所以以线段PQ 为直径的圆过x 轴上定点()3,0±例5：如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为22的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点，当直线PQ 的斜率为22时，23PQ = （1）求椭圆C 的标准方程（2）试问以MN 为直径的圆是否过定点（与PQ 的斜率无关）？请证明你的结论解：（1）由22PQ k =可得：2:2PQ y x =002,2P x x ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭由对称性可知：132OP PQ ==0x ==)P∴由2c e a ==可得::a b c = ∴椭圆方程为222212x y b b +=代入)P，可得：222,4b a ==22:142x y C ∴+=（2）设()00,P x y 由对称性可知()00,Q x y --，由（1）可知()2,0A - 设():2AP y k x =+，联立直线与椭圆方程：()()22222222424y k x x k x x y ⎧=+⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，整理可得： ()2222218840kx k x k +++-=2028421A k x x k -∴=+解得：2022421k x k -=+，代入()2y k x =+可得：202224422121k k y k k k ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭ 222244,2121k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ 从而222244,2121k k Q k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭22222244012121822422121AQk k k k k k k k k k ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭+∴===--⎛⎫---- ⎪++⎝⎭()1:22AQ y x k∴=-+，因为,M N 是直线,PA QA 与y 轴的交点 ()10,2,0,M k N k ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ ∴以MN 为直径的圆的圆心为2210,2k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径2212k r k += ∴圆方程为：22222212122k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：222222222221212121222k k k k x y y x y y k k k k ⎛⎫⎛⎫--+-+-+=⇒+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以令0y =，解得x =∴以MN为直径的圆恒过()例6：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切，过点()4,0P 且不垂直x 轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点（1）求椭圆C 的方程（2）若B 点关于x 轴的对称点是E ，求证：直线AE 与x 轴相交于定点 解：（1）12c e a == 已知圆方程为：222x y b += 因为与直线相切d b b ∴==⇒=222212a a c b c a c=⎧-=⎧∴⇒⎨⎨==⎩⎩ ∴椭圆C 的方程为：22143x y += （2）设直线():4l y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ()22,E x y ∴-联立方程可得：()221434x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得： ()22234412x k x +-=()2222433264120k x k x k ∴+-+-=22121222326412,4343k k x x x x k k -∴+==++ 考虑直线:AE ()12121212AE y y y y k x x x x --+==--∴直线AE 的方程为：()121112y y y y x x x x +-=--令0y =可得：()()()112121y x x y y x x --=+-()122112x y x y x y y ∴+=+122112x y x y x y y +=+，而()()11224,4y k x y k x =-=-，代入可得：()()()()()1221121212124424448x k x x k x x x x x x k x k x x x -+--+==-+-+-，代入22121222326412,4343k k x x x x k k -+==++可得：2222222264123224244343431243284343k k k k k x kk k --⋅-⋅+++===--++ AE ∴与x 轴交于定点()1,0例7：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线():l x m m R =∈，四个点()()()(3,1,,3,1,---中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上 （1）求椭圆C 的方程（2）若动点P 在直线l 上，过P 作直线交椭圆C 于,M N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线'l MN ⊥，求证：直线'l 恒过定点，并求出该定点的坐标解：（1）因为四个点中有三点在椭圆上，由椭圆的对称性可知：()()3,1,3,1--必在椭圆上若()-在椭圆上，则为椭圆的左顶点。

2014高考数学考场答题技巧秘籍秘籍一考场答题原则(1)先易后难一般来说，选择题的最后一题，填空题的最后一题，解答题的后两题是难题.当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定.一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取暂时性放弃，把自己可做的题目做完再回头解答.(2)小题有法选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确.切记不要小题大做.另外，答完选择题后即可填涂答题卡，切记最后不要留空，实在不会的，要采用猜测、凭第一感觉(四个选项中正确答案的数目不会相差很大，选项C出现的机率较大，难题的答案常放在A、B两个选项中)等方法选定答案.(3)规范答题(4)最大得分(5)答题顺序(6)放弃原则秘籍二考场答题方法1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向;2.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键;3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质.如所过的定点，二次函数的对称轴或是4.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系.首先考虑定义域，其次使用三合一定理.5.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法;6.导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃;重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上;7.选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法;8.与平移有关的，注意口诀左加右减，上加下减只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成;秘籍三考场答题技巧如何在高考有限的时间内充分发挥自己的水平，对每个考生来说是很重要的一件事，对数学成绩的影响也许是几分、十几分、甚至更多.面对层出不穷的命题陷阱，我们该如何调整自我，轻松应对呢，下面根据笔者多年的阅卷经验给出4个方面提示.(1)审题要清晰，破题要迅速(2)答题要细致，踩点要准确(3)快慢多结合，得分要稳当(4)难易多结合，关卡轻过关秘籍四考场答题心理(1)临进考场前，最好不要与同学扎堆，以免紧张情绪相互蔓延，你可以独自静处一会儿，在允许的情况下提前15-20分钟进入考场，看一看考场四周，熟悉一下环境，如果有认识的同学，可打招呼以放松心态.(2)坐在座位上，尽快进入角色;不再考虑成败、得失;文具摆好，眼镜摘下擦一擦，把这些动作权当考前稳定情绪的心灵体操，提醒自己做到保持静心、增强信心、做题专心、考试细心.(3)拿到试卷5分钟内一般不允许答题，可以对试卷作整体观察，看看这份试卷的名称是否正确、共多少页、页码顺序有无错误、每一页卷面是否清晰、完整，同时听好监考老师的要求(有时监考老师还会宣读更正错误试题).(4)在考场上，有时明明知道试题的答案，由于紧张，一时想不起来，可事后不加思素，答案也会油然而生，这种现象在心理学上叫舌尖现象，遇到舌尖现象，最好是把回忆搁置起来，去解其它问题，等抑制过去后，需要的知识经验往往会自然出现.考试时，一时想不起某道试题的答案，可以暂停回忆，转移一下注意，先解决其它题目，过一定的时间后，所需要的答案也许就回忆起来了.(5)同一考场考生的考试表现对自己会带来直接或间接的影响.例如，当同考场考生主动与你说话甚至暗示给予关心时，你完全可以不予理睬，如该考生继续纠缠，你应主动报告监考老师.如同一考场学生有不良的习惯动作，对你造成干扰性影响时，你也应报告监考老师，由监考老师提醒该考生，以消除对你的影响.(6)当同考场考生因试卷难而心理紧张，并出现情绪波动时，你不要受此影响，相信自己能做得出、答得好.总之，在高考考场上，你始终应做到：不理他人事，只管自己做.(7)题目分析受挫，很可能是一个重要的已知条件被你忽略，所以重新读题，仔细读题才能有所发现，不能停留在某一固定的思维层面不变.此时不妨，冷静一下，表面是耽误了时间，其实是为自己赢得了机会，可能创造出奇迹.在头脑混乱的时候，不防停下来，喝口水，深吸一口气，再慢慢呼出，就在呼出的同时，你就会得到灵感.(8)高考的考试科目顺序是规定好的，如果第一门是你的劣势学科，你就可以告诉自己我最弱的科目已经考完了，可以放心了，千万不要跟别人对题，或回味哪些题目没有做对，要放得下，稍作休息，稳定情绪，时刻保持饱满的精神状态，做好下一科考试的准备。

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：解题建议我们对高考解题的基本建议是（6条）：明确解题过程；夯实解题基础；防止解题错误；掌握解题策略；精通三类题型；运用答题技术．（1）明确解题过程；（四步程序）①理解题意②思路探求③书写解答④回顾反思（2）夯实解题基础；（四个因素）①知识因素②能力因素③经验因素④情感因素（3）防止解题错误；（四种类型）①知识性错误②逻辑性错误③策略性错误④心理性错误．（4）掌握解题策略；（四个策略）①模式识别②差异分析③层次解决④数形结合（5）精通三类题型；①选择题②填空题③解答题（6）运用答题技术．①提前进入角色②迅速摸清“题情”③执行“三个循环”④做到“四先四后”（先易后难、先熟后生、先高后低、先同后异）⑤答题“一慢一快”⑥立足中下题目，力争高上水平⑦立足一次成功，重视复查环节⑧运用解题策略于分段得分：●分解分步—缺步解答●引理思想—跳步解答●以退求进—退步解答●正难则反—倒步解答●扫清外围—辅助解答1 测试复习成果提供复习导向1-1 第一阶段复习要做到“四过关”（1）能准确理解书中的任一概念；（测试1，测试4）（2）能独立证明书中的每一定理；（测试1，测试2）●定理从两个方面提供重要方法；要会定理的正用、逆用、连用、变用、巧用、活用．●潘承洞教授1979年出高考题，只出了一道题：“叙述并证明勾股定理”，得分不全国做对的人不到0．01（百里挑一），潘教授不敢承认是他出的；1981年考余弦定理呈两极态势；2010年四川高考证明两角和的余弦公式，50万考生做对的仅几百人（千里挑一），议论纷纷；2011年陕西考余弦定理，也是议论纷纷；2012年陕西考三垂线定理及逆定理没有议论了．（3）能熟练求解书中的所有例题；（4）能历数书中各单元的作业类型．（统计）（真正做到“四过关”可望高考得120分，得分率0．80）●课本类型统计1-2 第二阶段复习要抓住五个方向如果说第一阶段是以纵向为主、顺序复习、全面覆盖的话，那么第二阶段就是以横向为主，突出重点，抓住热点，深化提高了．（1）第一阶段中的弱点；（2）教材体系中的重点；（3）高考试题中的热点；（4）中学数学的解题方法体系；（5）应试的技术:针对性、实用性、系列化．这五个方面是复习工作的继续深入与自然提高，也是高考应试的宏观驾驭与有效逼近．（这五个方面与近几年的高考题相结合，可望高考得130分，得分率0．86）1-3 “四过关”测试大家“四过关”没有呢？测试1：（是否形成良好的认知结构，脑子里有无思维路线图）例1-1闭上眼睛，你能回忆起几条数学定理，说出几个数学名词？越多越好！●文科必考内容：共20个知识板块，约260课时、180个知识点；●理科必考内容：共21个知识板块，约290课时、210个知识点．）例1-2 当我说“函数”时，你能想起相关的多少个概念和定理？越多越好！（思维概念图） 图1例1-3 对于sin α您能写出多少个等式？越多越好！（思维概念图）sin tan cos ααα== （同角关系） ()()sin 2sin παπα=+=- （诱导公式）()()sin sin 23cos cos 223cos cos 22παπαππααππαα=-+=--⎛⎫⎛⎫=-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos cos cos sin αβαββ-+=（和差倍半公式）=ββαβαsin cos cos )cos(--=ββαβαcos cos cos )cos(--=ββαβαcos sin cos )sin(-+=ββαβαcos )sin(sin cos -+=sin )sin(cos )cos(βαββαβ-+-=21222cos 2sin 2cos 22sin 2ααααααtgtg +===ααα22cos cos 22cos 1-±=-±=(1+cos α)tg2cos 12αααtg-==ββαβαcos 2)sin()sin(-++=2sinββαβαsin 2cos2-++=2cos ββαβαsin 2sin 2+-+ =……测试2：四过关了吗？（认知结构，思维能力，经验题感，情感态度）例2 余弦定理的3个话题．例2-1 余弦定理记得住、会证明吗？ 思路1（向量证明）：分析 要证 2222cos a b c bc A =+-， 只需证 2222BC AC AB AC AB =+-， 只需证 ()22BC AC AB=-，只需证 BC AC AB =-． 图2如图2，最后一式显然成立，故有证明如下（由繁到简、三项变一项）222cos b c bc A +-222AC AB AC AB =+-（把数量转变为向量）()2AC AB =-（向量运算、变三项为两项）2BC =（向量运算、变两项为一项）2a =．（把向量还原为数量） 思路2（坐标证明） 如图3，在ABC 中，设()()()11220,0,,,,A B x y C x y ，由向量数量积的定义,有图3cos AB AC A AB ACx==（把向量变为坐标）=222222=（坐标运算）2222AB AC BC AB AC+-=，（把向量变为数量） 得 2222cos a b c bc α=+-．可见，余弦定理是向量数量积定义的一个特例． 如果,B C 在单位圆上，记()()cos ,sin ,cos ,sin C B ααββ，则 ()cos cos OC OB OC OBβα-==cos cos sin sin αβαβ+=．可见，余弦差角公式是向量数量积定义的一个特例． 例2-2 一个流行的几何证明．其证明过程是对角A 分三种情况讨论，得出2222cos a b c bc A =+-． （1）当角A 为直角时，由勾股定理，得 222a b c =+222cos90b c bc =+- 222cos b c bc A =+-，所以，当角A 为直角时，命题成立．（2）当角A 为锐角时，如图4，过点C 作对边AB 的垂线，垂足为D ，则 cos AD b A =，BD c AD =-． ① 在,Rt DBC Rt DAC 中，用勾股定理，得222a CD BD =+， 222CD b AD =-，消去CD 并把①代入，得 图4 ()2222a b AD BD =-+ （消去CD ）()222b AD c AD =-+- （把①代入消去BD ）222b c c AD =+- （展开）222cos b c bc A =+-， （把①代入消去AD ）所以，当角A 为锐角时，命题成立．（3）当角A 为钝角时，如图5，过点C 作对边AB 的垂线，交BA 的延长线于D ，有 cos AD b A =-，BD c AD =+． ②在,Rt DBC Rt DAC 中，用勾股定理，得222a CD BD =+，222CD b AD =-，消去CD 并把②代入，得()2222a b AD BD =-+ （消去CD ） 图5()222b AD c AD =-++ （把②代入）222b c c AD =++ （展开） 222cos b c bc A =+-， （把②代入）所以，当角A 为钝角时，命题成立． 综上（1）、（2）、（3）可得，在ABC 中，当角A 为直角、锐角、钝角时，都有 2222cos a b c bc A =+-．同理可证2222cos b a c bc B =+-，2222cos c a b bc C =+-．问题在于，当角A 为锐角时，角B 还可以为直角或钝角（既有知识性错误，又有逻辑性错误）例2-3 余弦定理的逆命题（怎样叙述，真假如何）对应余弦定理的符号等式，交换条件与结论，我们给出逆命题为：逆命题1 若,,a b c 为正实数，(),,0,αβγπ∈，有2222cos a b c bc α=+-，2222cos b a c bc β=+-， 2222cos c a b bc γ=+-，则,,a b c 对应的线段构成一个三角形，且a 边的对角为α，b 边的对角为β，c 边的对角为γ．证明 由0απ<<，有1cos 1A -<<，得()2222222cos 2a b c bc A b c bc b c =+-<++=+，又因,,a b c 为正实数，所以a b c <+．同理，由2222cos b a c bc β=+-，2222cos c a b bc γ=+-，有 b a c <+，c a b <+．所以，,,a b c 对应的线段可以构成一个三角形．记这个三角形为ABC ，而a 边的对角为A ，b 边的对角为B ，c 边的对角为C ，(),,0,A B C π∈，由余弦定理，有222cos 2b c a A bc+-=．但由已知又有222cos 2b c a bcα+-=．所以 ()cos cos ,,0,,A A ααπ=⎧⎪⎨∈⎪⎩由余弦函数的单调性，得A α=，即a 边的对角为α．同理，得b 边的对角为β，c 边的对角为γ．逆命题2： 对于正实数,,a b c ，及()0,θπ∈，若有2222cos a b c bc θ=+-，则,,a b c 对应的线段构成一个三角形，且a 边的对角为θ．证明 由0θπ<<，有1cos 1θ-<<，得22222222cos 2b c bc b c bc A b c bc +-<+-<++，即 ()()222b c a b c -<<+，又因,,a b c 为正实数，有b c a b c -<<+．所以，,,a b c 对应的线段可以构成一个三角形．记为ABC ，而a 边的对角为A ，()0,A π∈，由余弦定理，有222cos 2b c a A bc+-=．但由已知又有222cos 2b c a bcθ+-=．所以 ()cos cos ,,0,,A A θθπ=⎧⎪⎨∈⎪⎩由余弦函数的单调性，得A θ=，即a 边的对角为θ．测试3：四过关了吗？（认知结构，思维能力，经验题感，情感态度） 例3-1 （空间图形的最短路程．）如图6，一圆柱体的底面周长为24cm ，高AB 为4cm ，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到C 点的最短路程为 ． 图6解 把圆柱体沿母线AB 展开，得图7所示的矩形，从A 点到C 点的最短路程就是线段AC 的长．因为BC 的长是底面圆的周长的一半12cm ，高AB 的长是4cm ，所以在Rt ABC 中，由勾股定理得AC ===cm ．图7同意的举手 不同意的站起来反思（1）合理成分例3-1中有三个“化归”是很好的：化归1：把一个实际问题转化为一个数学问题； 化归2：把一个空间问题转化为平面问题； 化归3：把一个平面问题转化为解直角三角形．（用到两点之间直线距离最短） （2）认识封闭但是，在把空间图形展平时没有注意到由A 点到C 点有两类路径： ●只走侧面（有两条路线），展平后，转变为“两点之间直线距离最短”； ●既走侧面又走底面，走侧面时，转变为“两点之间直线距离最短”；走底面时，也走“两点之间的直线距离”．这时，要用到底面的展平，并且底面展平有多样性．“流行的误解”就在于只看到第一类路径，没有看到第二类路径（认识封闭1），更没有看到第二类路径的多样性（认识封闭2）．（逻辑性错误）如图8，将圆柱的侧面展开为矩形、上底面展开为母线AB 上方的圆，由“两点之间直线距离最短”可以得到两条直线距离：第一条，如例3-1所述，是沿侧面展平后的直线距离，有11L AC ===．第二条，是先沿侧面走母线AB ，然后走圆的直径BC ，展平后有22244L AB BC π=+=+．由于242444123π+<+=<，所以2L 比1L 更小． 图8那么，是不是任何情况下都有21L L <呢？例3-2 如图6，一圆柱体的底面周长为16cm ，高AB 为4cm ，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到C 点的最短路程是( )．解 如图8，沿用例3-1的解法，有11L AC ====，22164L AB BC π=+=+，但161644453.2π+>+=+=>=21L L >． 那么，什么时候1L 小、什么时候2L 小呢？（3）问题探索考虑更一般性的情况．例3-3 如图6，一圆柱体的底面周长为2r π，高AB 为h ，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到C 点，求最短路程．解 如图8，沿用例3-1的解法，有11L AC ===222L AB BC h r =+=+．（1）12L L =⇔2424r h r h π=+⇔=-．（2）12L L <⇔2424r h r h π<+⇔<-．（3）12L L >⇔2424r h r h π>+⇔>- 记常数240.6814π≈-为a ，可见，1L 与2L 的大小关系有三种情况：当ra h<时，沿侧面爬行的路程最短，为1L =；当r a h >时，先竖直向上爬到A 的正上方，再沿直径爬到C 点的路程最短，为22L h r =+；当ra h=时，两种爬行方式的路程一样．看上去，这种讨论已经很细致了，然而，这依然有认识的封闭． （4）进一步思考事实上，蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到C 点的路径，除了以上12,L L 两种之外，还存在无穷多条从A 到C 的路径．如图9所示3L ：A D C →→，其中AD 是侧面上的最短距离（侧面展平后的直线距离），DC 是上底面两点之间的直线距离．图9下面，我们来讨论3L 的最值．设圆心角BOD α∠=，0απ≤≤，则BD r α=，展平后，D 为圆与矩形的切点，3L 为折线ADC ，在直角ABD 中，有AD ==，在COD 中用余弦定理，有cos2CD α===，得3L 的长度为函数()2cos2S AD CD r αα=+=，（0απ≤≤）．闭区间上的连续函数必有最大最小值，不作展开．测试4 三视图（江苏不考）如图10，给出正方体．（为了避免相关方向的线被重合（比如1AB 与AD 重合），图形作了一些技术性的调整）例4-1 （1）请画出正方体的三视图．（三个正方形，请保留）（2）若在正方体1111D C B A ABCD -中截去一个三棱锥111A AB D -，得到如图11的几何体，请画出图11的三视图．（在保留图上继续，结果为图12：三个正方形都加上一条对角线）图10图11图12（3）若在图11的基础上再截去一个三棱锥1BDC C -得到如图13的几何体，请画出图13的三视图．图13结果：图11、图13的三视图均为图12，因为三视图中1AB 与 1DC 重合，1AD 与 1BC 重合，11B D 与 BD 重合．（不同的几何体有相同的三视图）例4-2 （4）若在图11的基础上再截去两个三棱锥C AB B 1-,111CD B C -得到如图14的几何体，请画出图14的三视图．图14（5）再从图14几何体中截去三棱锥1ACD D -得到如图15的正四面体11D ACB ，请画出图15的三视图．图15图16结果：图14、图15的三视图均为图16，因为图14中三棱锥1ACD D -的三视图完全被图15的三视图重合：正视图中，图15的1D A 重合了图14 的1DD ，图15的AC 重合了图14的DC ； 左视图中，图15的1D C 重合了图14的1DD ，图15的AC 重合了图14的AD ； 俯视图中，图15的1D A 重合了图14的AD ，图15的1D C 重合了图14的DC ． 结论：不同的几何体可以有相同的三视图；同一个几何体摆法不同可以有不同的三视图．（概念理解、技能熟练）例4-4 （2010年高考数学福建卷文科第3题）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图18所示，则其侧面积等于（ ）（A （B ）2（C ） （D ）6解 由正视图知，三棱柱是以底面 图17边长为2，高为1的正三棱柱，所以侧面积为3216⨯⨯=，选（D ）．对不对？主视图为矩形的三棱柱不唯一，（1）左视图可以是一般平形四边（并非矩形）；（2）底面是正三角形的三棱柱其俯视图可以不是正三角形；就是说，题目给的三棱柱可以是斜三棱柱．题目无解．可以改为求体积高考修改题 1 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图14所示，则其体积等于（ ）（ A （B ）2（C ） （D ）6解 依题意，三棱柱的底面边长为2，三棱柱的高为1，其体积为221V Sh ⎫==⨯=⎪⎪⎭A ）． 高考修改题2 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图14所示，则其侧面积的取值范围为 ．解 依题意，三棱柱有两侧面为平行四边形，平行四边形的底为2、高为1，面积为2+2=4；第三个侧面为矩形，矩形的底为2、高为1sin θ（θ为矩形面与底面的夹角090θ<≤），面积为2sin θ．得三棱柱的侧面积为24sin S θ=+（090θ<≤）． 当θ增大时，S 增大；当90θ=时，6S =，所以，侧面积的取值范围为[6,)+∞测试5 形同而质异的三角题 例5-1 若ABC 的角,A C 满足()()01cos cos 4cos cos 5=+++C A C A ，则tantan 22A C= ． （2011年高中数学联赛一试B 卷第5题） 例5-2 若ABC 的角,A C 满足()()5cos cos 4cos cos 10A C A C +-+=，则tantan 22A C= ． 例5-3 若ABC 的内角,A C 满足()()4cos cos 5cos cos 10A C A C +++=，则tantan 22A C= ． 例5-4 若ABC 的内角,A C 满足()()4cos cos 5cos cos 10A C A C +-+=，则tantan 22A C= ．讲解 第一、求解．例5-1 若ABC 的角,A C 满足()()01cos cos 4cos cos 5=+++C A C A ，则tantan 22A C= ．解：因为22221tan 1tan 22cos ,cos 1tan 1tan 22A CA C A C--==++，代入已知等式并化简整理，得 92tan 2tan 22=C A ．又因为2,2C A 均为锐角，所以02tan 2tan >CA ，故32tan 2tan =CA ．（联赛题的参考答案）例5-2 若ABC 的角,A C 满足()()5cos cos 4cos cos 10A C A C +-+=，则tantan 22A C= ． 解：同上，把万能公式代入已知等式并化简整理，得221tan tan 229A C =． 又因为2,2C A 均为锐角，所以02tan 2tan >CA ，故 1tan tan 223A C =．可见，两道题目不仅形式类似，其求解步骤也近乎雷同，只有答案3与13的数值差别，这个差别与已知两式中加减号的不同有关．例5-3 若ABC 的内角,A C 满足()()4cos cos 5cos cos 10A C A C +++=， 则tantan 22A C= ． 解 因为22221tan 1tan 22cos ,cos 1tan 1tan 22A CA C A C--==++，代入已知等式并化简整理，得 22tan tan 922A C =-． 所以，此题无解．请分析，为什么例5-1与例5-3两道错题只是数字4与5交换了一下位置，就会形式上一个有解、一个无解呢？例5-4 若ABC 的内角,A C 满足()()4cos cos 5cos cos 10A C A C +-+=，则tantan 22A C= ． 解 因为22221tan 1tan 22cos ,cos 1tan 1tan 22A CA C A C--==++，代入已知等式并化简整理，得 221tan tan 229A C =-．所以，此题无解．请分析，为什么例5-2与例5-4两道题目只是数字4与5交换了一下位置，就会一个有解、一个无解呢？第二、反思． 例5-1结论不成立证明 在ABC 中，有02222222A C C A πππ+<⇒<<-<， 由正切函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数知 tantan 222C A π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 得 sin sin 222tan tan tan tan 122222cos cos 222A A A C A A A A πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<-==⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭． 可见，结论32tan 2tan=CA 不成立． 例5-1条件不成立在ABC 中，有()()()cos cos 11cos 1cos cos cos A C A C A C +=--++cos cos A C >+ （三角形中cos 1,cos 1A C <<）()cos cos A C π=--+ （诱导公式）0>，（三角形中C A ππ<-<） 得 cos cos 0A C +>． ⑦ cos cos 10A C +>． ⑧得 cos cos 01cos cos 1A CA C +<<+， 与条件 ()()4cos cos 5cos cos 10A C A C +++=cos cos 5cos cos 14A C A C +⇔=-+矛盾．可见，结论()()01cos cos 4cos cos 5=+++C A C A 不成立．今年高考题 已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ．（2012高考数学福建卷理科第20题，14分）讲解 由()2x f x e ax e '=+-知，曲线在))1(,1(f 处的切线斜率为20k a ==，得0a =，这时(1)0f e a e a =+-==．于是，问题来了：计算得出过点))1(,1(f 处的切线重合于x 轴，与题目说的“在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴”到底有没有矛盾？有人说“同一平面内，且没有公共点的直线叫平行线，而重合有无数个公共点”，有矛盾，是错题；有人说“重合可以是平行的特例”，虽然不承认“错题”，也只肯定到“不要紧”，至少在客观上有了歧义（歧义题），若提前发现肯定会修改．比如改为：在点))1(,1(f 处的切线斜率为0，或在点))1(,1(f 处的切线垂直于x 轴． 2 数学高考解题的建议 2-1 数学高考题（1）高考题：为了实现诊断、预测、甄别、选拔等特定目的，而组织化、系统化、标准化的数学问题组织形式，称为数学试题．用于高考的数学试题称为高考题．（2）高考创新题：高考主要通过创新试题来考创新精神（意识）．数学创新试题是指在试题背景、试题形式、试题内容或解答方法等方面具有一定的新颖性与独特性的数学试题，其基本目的在于诊断考生的数学创新意识与数学创新能力．高考创新题主要形式有①开放探索题：高考中的开放探索题是指条件完备，但结论不确定、需要探索的数学问题．有时候结论是开放的，但为了阅卷方便，只要求考生写出三二个，不同的考生答案会不一样；有时候叙述为“是否存在…？请说明理由”,需要考生自己去探索出结论并加以证明．把开放性与探索性结合起来是这类题目的显著特点．（参见例6、例7）②信息迁移题：高考中的信息迁移题是在题目中即时提供一个新的数学情景（或给出一个名词概念，或规定一种规则运算等），让考生学习陌生信息后立即解答相关问题（迁移）．这类题目背景公平，能有效考查学生的真实水平．由于高考的选拔性质，即时提供的新信息常常有一定的高等数学背景，但不是考高等数学知识．即时接收信息、并立即加以迁移是两个相关的要点．（参见例8、例9、例10）③情景应用题：这是一类有现实情境、重视应用的题目．要求考生通过文字语言、符号语言、图形语言、表格语言等的转换，揭示题目的本质属性，构建解决问题的数学模型．函数、方程、数列、不等式、概率统计等主体内容是高考应用题建模的主要载体．阅读理解和数学建模是解题的两个关键．（参见例11、例12、例13）④过程操作题：这是一类通过具体操作过程，从中获得有关数学结论的题目，可以用来考查三维目标中的“过程与方法”．由于高考条件的限制，“经历过程”无法“动手实践”，只能是一些“语言描述的操作过程”，但有的描述和操作会有现实情境、而不完全是数学内部的过程与操作．（参见例14、例15）⑤归纳（类比）猜想题：这是在观察相关数学情境的基础上，通过归纳或类比作出数学猜想的一类题目．本来，由归纳或类比作出的猜想可能对也可能错，但考试总是要求写出正确的猜想（学生中“有一定道理”的猜想可能会被判错）．应该说，这是一类探索中的题型,最好有猜想理由的说明．（参见例16、例17）例6 （2010年宁夏理科第14题、5分）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）点评：这是开放题，为考生搭建了一个自主探究的活动平台，使考生的才能得到充分发挥，使不同基础、不同水平、不同志向的考生都得到成功的体验，创新意识得到发展．体现新课程关于评价的新理念．（《数学通报》2012，1任子朝 陈昂：实施《课程标准》后高考数学能力考查研究）例7-1 （2011年陕西理科第21题、14分）设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1(),()()().f x g x f x f x x''==+ （Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论()g x 与1g x ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系； （Ⅲ）是否存在00x >，使得01()()g x g x x-∠对任意成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由．（探索题）例7-2 （2012年全国高考数学陕西卷理科第21题、14分）设函数()nn f x x bx c =++，（n N +∈，,b c ∈R ）．（Ⅰ）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点； （Ⅱ）设2n =，若对任意[]12,1,1x x ∈-，有()()21224f x f x -≤，求b 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点，判断数列23,,x x …,,n x …的增减性．点评：第（Ⅱ）、（Ⅲ）问都需要考生自己去探索出结论并加以证明．例8 （2010年四川理科第16题）函数()f x 定义域为A ，若12,x x A ∈且()()12f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()()21f x x x R =+∈是单函数．下列命题： ①函数()()2f x xx R =∈是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠则()()12f x f x ≠； ③若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，它至多有一个原象； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）（信息迁移） 答案：②③④．解释 ：①错，当()()12f x f x =时可以有12x x =±．（假命题，找反例） ②逆否命题，真命题．③推出必要条件，真命题． ④提供充分条件，真命题．例9 （2011江苏省数学卷第19题）已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+=)(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致（1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围； （2）设,0<a 且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以,a b 为端点的开区间上单调性一致，求a b -的最大值．（信息迁移题）点评：本题在考生理解了函数的单调性的基础上，新定义了“单调性一致”的概念，考生需要把新的定义与自己已有的知识融合，这种解决新问题的能力是考生在今后学习中非常重要的．试题的第（2）问，实际是讨论不等式在区间(),a b 上恒成立问题，需要分类讨论，运用函数性质及实数运算的符号法则分析结果．解决问题的过程中所用到的知识和方法并不深奥，但分析问题、解决问题的能力要求很高，属于对高层次数学思维和数学素质的考查．学生进人高校或社会后能否继续发展，在很大程度上取决于他们的学习能力．具有良好的阅读理解力是继续学习的前提．近年的高考试卷对阅读理解能力，特别是对数学语言，包括文字语言、图形语言、符号语言、图表语言的阅读理解能力的考查加大了力度，教师在日常教学中应多加关注．（参见本刊特约数学试题评阅组．2011年高考数学试题“红黑榜”．基础教育课程，2011，9）例10 （2010年天津理科第4题）对实数a 和b ，定义运算“⊗”：, 1,, 1.a ab a b b a b -<⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()222f x x x x =-⊗-若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）．()A ()3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ ()B ()3,21,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭()C 111,,44⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()D 311,,44⎛⎫⎛⎫--∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（信息迁移题）【答案】B例11 （2010年安徽理科第21题、13分） 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分． 现设4n =，分别以1234,,,a a a a 表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令12341234X a a a a =-+-+-+-，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述． (Ⅰ)写出X 的可能值集合；(Ⅱ)假设1234,,,a a a a 等可能地为1,2,3,4的各种排列，求X 的分布列； (Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X ≤，(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由． （这是数学高考中第一次出现概率题压轴）讲解 列表，计算1，2，3，4的全排列及相应的X 值4321,,,a a a a11a - 22a - 33a - 44a -X1，2，3，4 0 0 0 0 0 1，2，4，3 0 0 1 1 2 1，3，2，4 0 1 1 0 2 1，3，4，2 0 1 1 2 4 1，4，2，3 0 2 1 1 4 1，4，3，2 0 2 0 2 4 2，1，3，4 1 1 0 0 2 2，1，4，3 1 1 1 1 4 2，3，1，4 1 1 2 0 4 2，3，4，1 1 1 1 3 6 2，4，1，3122162，4，3，1 1 2 0 3 6 3，1，2，4 2 1 1 0 4 3，1，4，2 2 1 1 2 6 3，2，1，4 2 0 2 0 4 3，2，4，1 2 1 1 2 6 3，4，1，2 2 2 2 2 8 3，4，2，1 2 2 1 3 8 4，1，2，3 3 1 1 1 6 4，1，3，2 3 1 0 2 6 4，2，1，3 3 0 2 1 6 4，2，3， 1 3 0 0 3 6 4，3，1，2 3 1 2 2 8 4，3，2，1 3 1 1 3 8（I ）由表可见，X 的可能值集合为{}0,2,4,6,8．理论说明：在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以13,a a 中的奇数个数等于24,a a 中的偶数个数，因此13|1||3|a a -+-与24|2||4|a a -+-的奇偶性相同，从而1234|1||2||3||4|X a a a a =-+-+-+-．必为偶数．X 的值非负，且易知其值不大于8． 所以X 的值等于0，2，4，6，8．（II ）由列表的X 值，在等可能的假定下，得到X0 2 4 68P124 324 724 924 424（III ）（i ）首先41(2)(0)(2)246P X P X P X ≤==+===，将三轮测试都有2X ≤的概率记做p ，由上述结果和独立性假设，得3116216p ==． （ii ）由于152161000p =<是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有2X ≤的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测．例12 （2011年湖北理科第17题、文科第19题）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式;（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）． 讲解 （Ⅰ）由题意：当020,()60x v x ≤≤=时；当20200x ≤≤时，可设()v x ax b =+．再由已知得 2000,2060,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得 1200,33a b =-=， 故函数()v x 的表达式为60, 020, ()1(200), 20200. 3x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩ （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60, 020, ()1(200), 20200. 3x x f x x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩当020,()x f x ≤≤时为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200； 当20200x ≤≤时，211(200)10000()(200)33333323x x f x x x +-⎡⎤=-≤=≈⎢⎥⎣⎦， 当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立． 因为1000012003>，所以，当100,()x f x =时在区间[20，200]上取得最大值约为3333．即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．例13 （2011年湖南理科第20题）如图1，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为(0)v v >，雨速沿E 移动方向的分速度为()c c R ∈．E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分： （1）P 或P 的平行面（只有一个面淋 图19 雨）的淋雨量，假设其值与v c S -⨯成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离100D =，面积32S =时． （Ⅰ）写出y 的表达式（Ⅱ）设010v <≤，05c <≤，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解 （I ）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31||202v c -+，故 100315||(3||10)202y v c v c v v⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． （II ）由(I)知，当0v c <≤时，55(310)(3310)15c y c v v v+=-+=-； 当10c v <≤时，55(103)(3310)15c y v c v v-=-+=+. 合并得 5(310)15, 0,5(103)15, 10.c v c v y c c v v +⎧-<≤⎪⎪=⎨-⎪+<≤⎪⎩(1)当1003c <≤时，y 是关于v 的减函数．故当10v =时，min 3202c y =-． (2) 当1053c <≤时，在(0,]c 上，y 是关于v 的减函数；在(,10]c 上，y 是关于v 的增函数；故当v c =时，min 50y c =． 点评：《普通高中数学课程标准（实验稿）》强调“发展学生的数学应用意识”，“高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强”，这种理念在近年高考试题中体现得日渐鲜明．2011年数学高考卷中又出了不少联系现实、联系生活的应用试题．除例12、例13外，还有江苏的包装盒的面（体）积与正方形纸板裁剪方式的函数关系的应用题、福建的商品销售量与销售价格函数关系的应用题、山东的容器的建造费与容器两端半球形半径函数关系的应用题、安徽的以进入核电站完成某项具有高辐射危险任务为背景的概率应用题等．这些试题的背景考生都了解，所用的知识方法又是考生应知应会的，考生能否解决问题，能体现他们关注生活、关注数学应用、运用数学知识分析和解决问题的能力；同时试题充分体现了数学的文化价值与应用价值，能使学生感觉到数学有用，数学很亲切，数学就在我们身边．（参。

2014年高考数学答题技巧及方法一、答题和时间的关系整体而言，高考数学要想考好，必须要有扎实的基础知识和一定量的习题练习，在此基础上辅以一些做题方法和考试技巧。

往年考试中总有许多考生抱怨考试时间不够用，导致自己会做的题最后没时间做，觉得很“亏”。

高考考的是个人能力，要求考生不但会做题还要准确快速地解答出来，只有这样才能在规定的时间内做完并能取得较高的分数。

因此，对于大部分高考生来说，养成快速而准确的解题习惯并熟练掌握解题技巧是非常有必要的。

二、快与准的关系在目前题量大、时间紧的情况下，“准”字则尤为重要。

只有“准”才能得分，只有“准”你才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时训练的结果，不是考场上所能解决的问题，一味求快，只会落得错误百出。

如去年第21题应用题，此题列出分段函数解析式并不难，但是相当多的考生在匆忙中把二次函数甚至一次函数都算错，尽管后继部分解题思路正确又花时间去算，也几乎得不到分，这与考生的实际水平是不相符的。

适当地慢一点、准一点，可得多一点分；相反，快一点，错一片，花了时间还得不到分。

三、审题与解题的关系有的考生对审题重视不够，匆匆一看急于下笔，以致题目的条件与要求都没有吃透，至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起，这样解题出错自然多。

只有耐心仔细地审题，准确地把握题目中的关键词与量（如“至少”，“a ＞0”，自变量的取值范围等等），从中获取尽可能多的信息，才能迅速找准解题方向。

四、“会做”与“得分”的关系要将你的解题策略转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表述，这一点往往被一些考生所忽视，因此卷面上大量出现“会而不对”“对而不全”的情况，考生自己的估分与实际得分差之甚远。

如立体几何论证中的“跳步”，使很多人丢失1／3以上得分，代数论证中“以图代证”，尽管解题思路正确甚至很巧妙，但是由于不善于把“图形语言”准确地转译为“文字语言”，得分少得可怜；再如去年理17题三角函数图像变换，许多考生“心中有数”却说不清楚，扣分者也不在少数。