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第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例知能训练轻松闯关理北师大版

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高考数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3平面向量的数量积与平面向量应用举例课

高考数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3平面向量的数量积与平面向量应用举例课

2019年高考数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3 平面向量的数量积与平面向量应用举例课时跟踪检测理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3 平面向量的数量积与平面向量应用举例课时跟踪检测理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年高考数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3 平面向量的数量积与平面向量应用举例课时跟踪检测理的全部内容。

4。

3 平面向量的数量积与平面向量应用举例［课时跟踪检测］［基础达标］1．已知|a|＝6,|b|＝3,a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( ）A．－4 B．4C．－2 D．2解析:∵a·b＝｜a｜｜b|cos〈a，b〉＝18cos<a，b〉＝－12，∴cos<a，b〉＝－23.∴a在b方向上的投影是|a|cos〈a，b〉＝－4。

答案:A2．（2017届河南八市重点高中质检）已知平面向量a，b的夹角为错误!，且a·（a－b)＝8,|a|＝2，则｜b｜等于( )A。

错误!B．2错误!C．3 D．4解析：因为a·（a－b）＝8，所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a|｜b｜cos〈a，b〉＝8，所以4＋2｜b｜×错误!＝8，解得|b｜＝4。

答案：D3．已知平面向量a，b,｜a｜＝1,|b|＝错误!，且|2a＋b｜＝错误!，则向量a与向量a＋b的夹角为( )A.错误!B．错误!C。

近年届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例演练直

近年届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例演练直

（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例分层演练直击高考文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例分层演练直击高考文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第3讲平面向量的数量积及应用举例1．(2018·无锡质检)已知向量a＝(2，1),b＝（5，－3)，则a·b的值为________．［解析] 因为a·b＝（2,1）·（5，－3)＝10－3＝7.[答案] 72．等边三角形ABC的边长为1，错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，那么a·b＋b·c＋c·a ＝________．[解析］由题意知｜a｜＝|b|＝|c｜＝1,且a与b的夹角为120°，b与c的夹角为120°,c 与a的夹角也为120°。

故a·b＋b·c＋c·a＝－错误!.［答案］－错误!3．已知|a｜＝3，|b｜＝4,且a与b不共线，若向量a＋k b与a－k b垂直，则k＝________．[解析] 因为（a＋k b)⊥(a－k b)，所以（a＋k b)·（a－k b）＝0，即|a｜2－k2｜b|2＝0。

又因为｜a｜＝3，｜b|＝4,所以k2＝916，即k＝±错误!.[答案] ±错误!4．如图，菱形ABCD的边长为2,∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则错误!·错误!的最大值为________．［解析］由平面向量的数量积的几何意义知，错误!·错误!等于错误!与错误!在错误!方向上的投影之积，所以(错误!·错误!)max＝错误!·错误!＝错误!·（错误!＋错误!）＝错误!错误!2＋错误!2＋错误!错误!·错误!＝9.［答案] 95．已知平面向量a＝（1，2)，b＝（4,2）,c＝m a＋b(m∈R），且c与a的夹角等于c与b 的夹角,则m＝________.[解析] 由题意得：错误!＝错误!⇒错误!＝错误!⇒错误!＝错误!⇒m＝2.[答案］ 26．(2018·南通市高三第一次调研测试)在△ABC中，若错误!·错误!＋2错误!·错误!＝错误!·错误!,则错误!的值为________．解析:由错误!·错误!＋2错误!·错误!＝错误!·错误!,得2bc×错误!＋ac×错误!＝ab×错误!，化简可得a＝错误!c。

高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复

高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复

(2)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标 系，则E2，12，设F(x，y)，则
0≤x≤2 0≤y≤1
，A→E·A→F＝2x＋12y，令z＝2x＋12y，当z＝2x＋12y过
点(2,1)时，A→E·A→F取最大值92.
答案
心，则A→P·B→C的值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
(2)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F为
该矩形内(含边界)任意一点，则A→E·A→F的最大值为________．
审题视点 (1)因AB、AC已知，故把B→C写为B→C＝A→C－A→B， 利用AP＝BP＝CP和数量积定义化简．
(2)建立坐标系，设F(x，y)，用坐标计算A→E·A→F.
解析 (1)∵B→C＝A→C－A→B， ∴A→P·B→C＝A→P·A→C－A→P·A→B. 又cos∠BAP＝AB2＋2·AABP·2A－PBP2＝2·AABB·2AP， ∴A→B·A→P＝A2B2， 同理A→C·A→P＝A2C2， ∴A→P·B→C＝A2C2－A2B2＝126－42＝6.
π
π
A.3
B.4
2π
3π
C. 3 解析：设
a
与
b
的夹角为
D. 4 θ，则
cos
θ＝|aa|·|bb|＝3－×32＝－12，
∴θ＝23π. 答案：C
3．已知|a|＝4，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，则 b 在 a 方向
上的射影为( )
A．2
3 B.2
C．－2
D．－32
解析：∵|b|cos 120°＝3×－12＝－32，∴b 在 a 方向上的射影
(1)向量的数量积的定义 已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，把 |a||b|cosθ

高考数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3.1平面向量的数量积与平面向量的应用理

高考数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3.1平面向量的数量积与平面向量的应用理

2021/12/12
第四页，共四十四页。
知识梳理·自主学习
课前热身 稳固根基
2021/12/12
第五页，共四十四页。
知识点一 平面向量的数量积
1．数量积的定义：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，则
数量
|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝
|a||b|cosθ .
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第十五页，共四十四页。
1．向量投影 |a|cosθ(|b|cosθ)(θ 是 a 与 b 的夹角)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方 向上)的投影，且|a|cosθ＝a|b·b| (|b|cosθ＝a|a·b| )． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 3．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得 到 b＝c，两边不能约去同一个向量．
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第二十九页，共四十四页。
考向二 平面向量数量积的性质 方向 1 求平面向量的模 【例 2】 设向量 a，b 满足|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，则|a＋2b|＝
___4__2___.
【解析】 因为|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，所以(a＋b)2＝|a|2＋ 2a·b＋|b|2＝4＋9＋2a·b＝9，所以 a·b＝－2，所以|a＋2b|＝
2021/12/12
第十四页，共四十四页。
6．(2019·济南模拟)已知向量 a，b，其中|a|＝ 3，|b|＝2，
π 且(a－b)⊥a，则向量 a 和 b 的夹角是 6 .

高考数学一轮总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.3平面向量的数量积与平面向量应用举例课件理

高考数学一轮总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.3平面向量的数量积与平面向量应用举例课件理

A．(－15,12)
B．0
C．－3
D．－11
解析：∵a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， ∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3.
答案：C
第十九页，共42页。
3．已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，且 a＝(－2，－6)，|b|＝ 10，则 a·b＝________. 解析：因为 a＝(－2，－6)， 所以|a|＝ －22＋－62＝2 10， 又|b|＝ 10，向量 a 与 b 的夹角为 60°， 所以 a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2 10× 10×12＝10. 答案：10
投影 叫做向量 b 在 a 方向上的投影
几何 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上 意义 的投影___|b_|c_o_s_θ____的乘积
第七页，共42页。
3.向量数量积的运算律 (1)a·b＝ b·a . (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝ a·(λb) ． (3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c .
第二十三页，共42页。
角度一 平面向量的模
[多 维 视 角]
(2017 年全国卷Ⅰ)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则 |a＋2b|＝________.
【解析】 ∵a·b＝|a||b|cos60°＝2×1×21＝1， ∴|a＋2b|＝ a＋2b2＝ a2＋4a·b＋4b2＝ 4＋4＋4＝2 3.
1
考情分析
第三页，共42页。
考点分布
1.平面向量 数量积的 概念与运 算、夹角 与模
考纲要求
考点频 率
命题趋势
1.平面向量的数量积
(1)理解平面向量数量积的 含义及其物理意义．

2018届高考数学一轮第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例

2018届高考数学一轮第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例

第3讲 平面向量的数量积及应用举例1．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB →＝(1，1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC →＝2，则n ·BC →等于( )A ．－2B ．2C ．0D ．2或－2解析：选B.n ·BC →＝n ·(BA →＋AC →)＝n ·BA →＋n ·AC →＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2. 2．(2016·江西省九校联考)在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( )A ．－94 B.94C.274 D ．－274解析：选B.CD →·CB →＝CD →·(CA →＋AB →)＝CD →·CA →＋0＝|CD →|·|CA →|·cos ∠ACD ＝32×3×cos 60°＝94. 3．已知|a |＝1，a·b ＝12，|a －b |2＝1，则a 与b 的夹角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 解析：选C.设a 与b 的夹角为θ，因为a·b ＝|a||b |·cos θ＝12，且|a |＝1，所以|b |cos θ＝12.①又|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a·b ＝1，即1＋|b |2－1＝1，故|b |＝1.②由①②得cos θ＝12.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°.故选C.4．设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为( )A.32B.22C.52D.72解析：选A.设e 1，e 2的夹角为θ，则由以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，得12×1×1×sin θ＝12，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e 1·e 2＝0.从而对e 3＝12e 1＋k e 2两边同时平方得1＝14＋k 2，解得k ＝32或－32(舍去)．5．已知AB →，AC →是非零向量，且满足(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.因为(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB →－2AC →·AB →＝0. (AC →－2AB →)⊥AC →⇒(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC →＝0，所以AB →·AB →＝AC →·AC →＝2AB →·AC →，即|AB →|＝|AC →|，而cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，所以∠A ＝60°，所以△ABC 为等边三角形．6．(2016·沈阳一模)在△ABC 中，已知|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269解析：选B.因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC→＝0，因为E ，F 为边BC 的三等分点，不妨设E 为靠近C 的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)· (AB →＋BF →)＝⎝⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109，故选B.7．(2016·江西省模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝________．解析：由题意得a·b ＝－1，所以|a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2＝ 3. 答案： 38．(2016·江西省九校联考)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．解析：由于AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则有|AB →|＝5，|AC →|＝3，那么cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝2＋615，可得sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝2－315，故△ABC 的面积为S ＝12|AB→||AC →|sin ∠BAC ＝1－32.答案：1－329．(2016·山西省第一次四校联考)已知圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________．解析：因为AB →＋AC →＝2AO →，所以O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形．在△AOC 中，有|OA→|＝|AC →|，所以∠B ＝30°.由定义知，向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝23×32＝3. 答案：310．(2015·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解析：因为AB →2＝4|a |2＝4，所以|a |＝1，故①正确；因为BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，所以|BC →|＝|b |＝2，故②错误；因为b ＝AC →－AB →，所以a ·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；因为BC →＝b ，故④正确；因为(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确． 答案：①④⑤11．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：由已知得，a·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. (1)①因为|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a ＋b |＝4 3.②因为|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768.所以|4a －2b |＝16 3.(2)因为(a ＋2b )⊥(k a －b )，所以(a ＋2b )·(k a －b )＝0，k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0， 即16k －16(2k －1)－2×64＝0.所以k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．12．(2016·河北省监测)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°，D 为线段BC 上的点，E为线段AB 上的点，|CD →||CB →|＝|AE →||AB →|＝t ，求当AD →·CE →＝274时实数t 的值．解：以C为原点，CA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系如图所示，则C (0，0)，B (0，4)，A (3，0)，由题意CD →＝tCB →＝t (0，4)＝(0，4t )，AE →＝tAB →＝t (－3，4)＝(－3t ，4t )，所以CE →＝CA →＋AE →＝(3，0)＋(－3t ，4t )＝(3－3t ，4t )，AD →＝AC →＋CD →＝(－3，0)＋(0，4t )＝(－3，4t )，AD →·CE→＝(－3，4t )·(3－3t ，4t )＝16t 2＋9t －9＝274，解得t ＝－2116(舍去)或t ＝34，所以t ＝34.1．(2016·郑州第一次质量预测)在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 B ．[2，4]C ．[3，6]D ．[4，6]解析：选D.记MN 的中点为E ，则有CM →＋CN →＝2CE →，CM →·CN →＝14[(CM →＋CN →)2－(CM →－CN →)2]＝CE→2－14NM →2＝CE →2－12.又|CE →|的最小值等于点C 到AB 的距离，即322，故CM →·CN →的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3222－12＝4.当点M 与点A (或B )重合时，|CE →|达到最大，|CE →|的最大值为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋（2）2＝132，因此CM →·CN →的取值范围是[4，6]，故选D. 2．(2016·石家庄调研)若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，则|a ＋b －c |的最小值为________．解析：因为a·b ＝0，且|a |＝|b |＝|c |， 所以|a ＋b |＝2，又因为(a ＋b )·c ＝|a ＋b ||c |cos 〈(a ＋b )，c 〉＝2cos 〈(a ＋b )，c 〉，所以|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ＋b )·c ＝3－22cos 〈(a ＋b )，c 〉，所以当cos 〈(a ＋b )，c 〉＝1时，|a ＋b －c |2min ＝3－22＝(2－1)2， 所以|a ＋b －c |的最小值为2－1. 答案：2－13．(2016·安康模拟)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (0，2)、B (4，1)、C (－6，9)．(1)若AD 是BC 边上的高，求向量AD →的坐标；(2)若点E 在x 轴上，使△BCE 为钝角三角形，且∠BEC 为钝角，求点E 横坐标的取值范围．解：(1)设D (x ，y )，则AD →＝(x ，y －2)，BD →＝(x －4，y －1)，由题意知AD ⊥BC ，则AD →·BC →＝0，即－10x ＋8(y －2)＝0，即5x －4y ＋8＝0，① 由BD →∥BC →，得8(x －4)＝－10(y －1)，即4x ＋5y －21＝0，②联立①②解得x ＝4441，y ＝13741，则AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4441，5541.(2)设E (a ，0)，则EB →＝(4－a ，1)，EC →＝(－6－a ，9)，由∠BEC 为钝角，得(4－a )·(－6－a )＋9＜0，解得－5＜a ＜3，由EB →与EC →不能共线，得9(4－a )≠－6－a ，解得a ≠214.故点E 的横坐标的取值范围为(－5，3)．4．(2016·河南省三市调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a－c )BA →·BC →＝cCB →·CA →. (1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C . 根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A ＞0，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)， 即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2，即△ABC 的面积的最大值为32＋32.。

高考数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3.2平面向量数量积的应用高三全册数学

高考数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3.2平面向量数量积的应用高三全册数学
第四页，共四十三页。
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
第五页，共四十三页。
考点一 平面向量在平面几何中的应用
【例 1】 (2020·武汉调研)在△ABC 中，A→B·A→C＝0，|A→B|＝4，|B→C |＝5，D 为线段 BC 的中点，E 为线段 BC 垂直平分线 l 上任一异于 D
的点，则A→E·C→B＝( A )
第十七页，共四十三页。
考点三 平面向量在解析几何中的应用 【例 3】 若点 O 和点 F 分别为椭圆x42＋y32＝1 的中心和左焦点，
点 P 为椭圆上的任意一点，则O→P·F→P的最大值为____6____．
第十八页，共四十三页。
【解析】 由题意，得 F(－1,0)，设 P(x0，y0)， 则有x420＋y320＝1，解得 y02＝31－x420， 因为F→P＝(x0＋1，y0)，O→P＝(x0，y0)， 所以O→P·F→P＝x0(x0＋1)＋y02＝x20＋x0＋31－x420 ＝x420＋x0＋3＝14(x0＋2)2＋2， 因为－2≤x0≤2，故当 x0＝2 时，O→P·F→P取得最大值 6.
第三十二页，共四十三页。
(1)O 为△ABC 的外心⇔|O→A|＝|O→B|＝|O→C|＝2sianA. (2)O 为△ABC 的重心⇔O→A＋O→B＋O→C＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔O→A·O→B＝O→B·O→C＝O→C·O→A. (4)O 为△ABC 的内心⇔aO→A＋bO→B＋cO→C＝0.
圆 O 的交点处时，O→D·O→C取得最小值，最小值为－ 2，此时(O→C
－O→A)·(O→C－O→B)取得最大值，最大值为 1＋ 2，故选 A.
第二十四页，共四十三页。
(2)∵b2－4e·b＋3＝0， ∴(b－2e)2＝1，∴|b－2e|＝1. 如图所示，把 a，b，e 的起点作为公共点 O，以 O 为原点， 向量 e 所在直线为 x 轴，则 b 的终点在以点(2,0)为圆心，半径为 1 的圆上，|a－b|就是线段 AB 的长度．要求|AB|的最小值，就是 求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心 M 到直线 OA 的距离减去圆的半径长，因此|a－b|的最小值为 3－1.

第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案含解析理20190627332

第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案含解析理20190627332

第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0°，180°]，其中当a 与b 的夹角是90°时，a 与b 垂直，记作a⊥b ，当a 与b 的夹角为0°时，a∥b ，且a 与b 同向，当a 与b 的夹角为180°时，a∥b ，且a 与b 反向．2．平面向量的数量积 定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b .规定：零向量与任一向量的数量积为0 投影 |a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影； |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积(1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉．结论 几何表示 坐标表示 模 |a |＝a ·a|a |＝x 21＋y 21数量积 a ·b ＝|a ||b |cos θ a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2夹角cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥ba ·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b ＞0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b ＜0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.3．当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b |； 当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b |.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为∠B. ( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ( )(3)若a·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) (4)a·b ＝a·c (a ≠0)，则b ＝c .( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)设a ＝(5，－7)，b ＝(－6，t )，若a·b ＝－2，则t 的值为( ) A ．－4 B ．4C.327 D ．－327A [a·b ＝5×(－6)－7t ＝－2，解得t ＝－4，故选A.]3．(教材改编)已知|a |＝2，|b |＝6，a·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π3C.2π3 D.5π6D [cos θ＝a·b |a||b |＝－632×6＝－32，又0≤θ≤π，则θ＝5π6，故选D.]4．已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a⊥b ，则m ＝________. 2 [由a⊥b 得a·b ＝0，即－6＋3m ＝0， 解得m ＝2.]5．(教材改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．－2 [由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.]平面向量数量积的运算1a －b )＝( ) A ．4 B ．3C ．2D ．0B [因为|a |＝1，a·b ＝－1，所以a ·(2a －b )＝2|a |2－a·b ＝2×12－(－1)＝3，故选B.]2．已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 ( ) A ．－322B ．－3 5C.322D ．3 5 C [因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD ＝(5,5)，又AB →＝(2,1)，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选C.]3．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18C.14D.118B [如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.][规律方法] 平面向量数量积的三种运算方法1当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. 2当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝x 1，y 1，b ＝x 2，y 2，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.3利用数量积的几何意义求解. 平面向量数量积的应用►考法1 【例1】 (1)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 中点，则|AD →|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(2019·广州模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|a －2b |＝2，则|b |等于( )A ．4B ．2C. 2 D ．1(1)A (2)D [(1)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a－b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×2×3×co s π6＋4＝4，则|AD →|＝2.(2)由|a －2b |＝2，得(a －2b )2＝|a |2－4a·b ＋4|b |2＝4，即|a |2－4|a||b |cos 60°＋4|b |2＝4，即|b |2－|b |＝0，解得|b |＝0(舍去)或|b |＝1，故选D.] ►考法2 求向量的夹角【例2】 (1)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A.3π4 B.π4C.π3 D.2π3(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 [(1)∵(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，∴5a 2＋6a·b －8b 2＝0. 又|a |＝|b |＝1， ∴a·b ＝12，∴cos θ＝a·b |a||b |＝12.又θ∈[0，π]，∴θ＝π3，故选C.(2)因为2a －3b 与c 的夹角为钝角，所以(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2,1)＜0，所以4k －6－6＜0，所以k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.]►考法3 平面向量的垂直问题【例3】 (1)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．(2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．(1)－5 (2)712 [(1)∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，∴t a ＋b ＝(t ＋6，－t －4)．又a ⊥(t a ＋b )，则a ·(t a ＋b )＝0，即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5. (2)由AP →⊥BC →得AP →·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，∴(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0， 即－3(λ－1)－9λ＋4＝0. 解得λ＝712.][规律方法] 平面向量数量积求解问题的策略 1求两向量的夹角：，要注意θ∈[0，π].2两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a＋b |.3求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .③若a ＝x ，y ，则|a |＝x 2＋y 2.(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a＋2b |＝________.(2)(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．(1)23 (2)33[(1)法一：|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.法二：(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.(2)由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2|＝3e 1－e 22＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝3e 1－e 2·e 1＋λe 2|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋3λ－1e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33.] 平面向量与三角函数的综合【例4】 (2017·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． [解] (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是t a n x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路1题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.2给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎛⎪⎫2，－2，n ＝(sinx ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n ，求t a n x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解] (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m⊥n .所以m·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以t a n x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0＜x ＜π2，所以－π4＜x －π4＜π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.1．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A [因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA→||BC →|cos∠ABC ＝1×1×cos∠ABC ，所以cos∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.]2．(2015·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2C [法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a ·b ＝－3， 从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.]3．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( ) A．1 B．2 C．3 D．5A[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.]4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.7[∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.]自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

高考数学第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案理

高考数学第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案理

第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0°，180°]，其中当a 与b 的夹角是90°时，a 与b 垂直，记作a⊥b ，当a 与b 的夹角为0°时，a∥b ，且a 与b 同向，当a 与b 的夹角为180°时，a∥b ，且a 与b 反向．2．平面向量的数量积(1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉．1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b ＞0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b ＜0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.3．当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b |； 当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b |.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为∠B. ( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ( )(3)若a·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( )(4)a·b ＝a·c (a ≠0)，则b ＝c .( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)设a ＝(5，－7)，b ＝(－6，t )，若a·b ＝－2，则t 的值为( ) A ．－4 B ．4C.327 D ．－327A [a·b ＝5×(－6)－7t ＝－2，解得t ＝－4，故选A.]3．(教材改编)已知|a |＝2，|b |＝6，a·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π3C.2π3 D.5π6D [cos θ＝a·b |a||b |＝－632×6＝－32，又0≤θ≤π，则θ＝5π6，故选D.]4．已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a⊥b ，则m ＝________. 2 [由a⊥b 得a·b ＝0，即－6＋3m ＝0， 解得m ＝2.]5．(教材改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．－2 [由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.]平面向量数量积的运算1．a －b )＝( ) A ．4 B ．3C ．2D ．0B [因为|a |＝1，a·b ＝－1，所以a ·(2a －b )＝2|a |2－a·b ＝2×12－(－1)＝3，故选B.]2．已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 ( ) A ．－322B ．－3 5C.322D ．3 5 C [因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD ＝(5,5)，又AB →＝(2,1)，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选C.]3．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18C.14D.118B [如图所示，AF →＝AD →＋DF →. 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.][规律方法] 平面向量数量积的三种运算方法1当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. 2当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝x 1，y 1，b ＝x 2，y 2，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.3利用数量积的几何意义求解.平面向量数量积的应用【例1】 (1)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB→＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 中点，则|AD →|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(2019·广州模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|a －2b |＝2，则|b |等于( )A ．4B ．2C. 2 D ．1(1)A (2)D [(1)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×2×3×co s π6＋4＝4，则|AD →|＝2. (2)由|a －2b |＝2，得(a －2b )2＝|a |2－4a·b ＋4|b |2＝4， 即|a |2－4|a||b |cos 60°＋4|b |2＝4，即|b |2－|b |＝0，解得|b |＝0(舍去)或|b |＝1，故选D.] ►考法2 求向量的夹角【例2】 (1)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A.3π4 B.π4C.π3 D.2π3(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 [(1)∵(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，∴5a 2＋6a·b －8b 2＝0. 又|a |＝|b |＝1， ∴a·b ＝12，∴cos θ＝a·b |a||b |＝12.又θ∈[0，π]，∴θ＝π3，故选C.(2)因为2a －3b 与c 的夹角为钝角，所以(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2,1)＜0，所以4k －6－6＜0，所以k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向． 综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.] ►考法3 平面向量的垂直问题【例3】 (1)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．(2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．(1)－5 (2)712 [(1)∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，∴t a ＋b ＝(t ＋6，－t －4)．又a ⊥(t a ＋b )，则a ·(t a ＋b )＝0，即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5. (2)由AP →⊥BC →得AP →·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， ∴(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0， 即－3(λ－1)－9λ＋4＝0. 解得λ＝712.][规律方法] 平面向量数量积求解问题的策略 1求两向量的夹角：，要注意θ∈[0，π].2两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.3求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . ③若a ＝x ，y ，则|a |＝x 2＋y 2.(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(2)(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．(1)23 (2)33[(1)法一：|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.法二：(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.(2)由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2|＝3e 1－e 22＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2. 所以cos 60°＝3e 1－e 2·e 1＋λe 2|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋3λ－1e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33.] 平面向量与三角函数的综合【例4】 (2017·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． [解] (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是t a n x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路1题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.2给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎛⎪⎫2，－2，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求t a n x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解] (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m⊥n .所以m·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以t a n x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0＜x ＜π2，所以－π4＜x －π4＜π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.1．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A [因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA→||BC →|cos∠ABC ＝1×1×cos∠ABC ，所以cos∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.]2．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )A．－1 B．0 C．1 D．2C[法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.]3．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( ) A．1 B．2 C．3 D．5A[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.]4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m ＝________.7[∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.]自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

高考数学大一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3 平面向量的数量积与平面向量应

高考数学大一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3 平面向量的数量积与平面向量应

(5)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c。( × ) 解析 错误。当a⊥b且a⊥c时，a·b＝a·c，但是b不一定等于c。 (6)若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角。 (× ) 解析 错误。当a与b同向时，a·b>0；当a与b反向时，a·b<0。
[练一练]
1．(2015·课标全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a
基础自测
(1)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量。( √ ) 解析 正确。 (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算 结果是向量。( √ ) 解析 正确。 (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0。( × ) 解析 错误。当a与b为非零向量，且a⊥b时，a·b＝0。 (4)(a·b)c＝a(b·c)。( × ) 解析 错误。(a·b)c表示与c共线的向量；a(b·c)表示与a共线的向 量，而a与c的关系未知。
A．5
B．4
3．设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b＝( )
A．1
B．2
C．3
D．5
Hale Waihona Puke 解析 ∵|a＋b|＝ 10，∴(a＋b)2＝10， 即 a2＋b2＋2a·b＝10。 ① ∵|a－b|＝ 6，∴(a－b)2＝6， 即 a2＋b2－2a·b＝6。 ② 由①②可得 a·b＝1。故选项 A 正确。 答案 A
第四章 平面向量、数系的扩充与复 数的引入
第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向 量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面 向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问 题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。

高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例知能训练轻松闯关文

高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例知能训练轻松闯关文

第3讲 平面向量的数量积及应用举例1．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB →＝(1，1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC →＝2，则n ·BC →等于( )A ．－2B ．2C ．0D ．2或－2解析：选B.n ·BC →＝n ·(BA →＋AC →)＝n ·BA →＋n ·AC →＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2. 2．(2016·江西省九校联考)在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( )A ．－94 B.94C.274 D ．－274解析：选B.CD →·CB →＝CD →·(CA →＋AB →)＝CD →·CA →＋0＝|CD →|·|CA →|·cos ∠ACD ＝32×3×cos 60°＝94. 3．已知|a |＝1，a·b ＝12，|a －b |2＝1，则a 与b 的夹角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 解析：选C.设a 与b 的夹角为θ，因为a·b ＝|a||b |·cos θ＝12，且|a |＝1，所以|b |cos θ＝12.①又|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a·b ＝1，即1＋|b |2－1＝1，故|b |＝1.②由①②得cos θ＝12.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°.故选C.4．设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为( )A.32B.22C.52D.72解析：选A.设e 1，e 2的夹角为θ，则由以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，得12×1×1×sin θ＝12，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e 1·e 2＝0.从而对e 3＝12e 1＋k e 2两边同时平方得1＝14＋k 2，解得k ＝32或－32(舍去)．5．已知AB →，AC →是非零向量，且满足(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.因为(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB →－2AC →·AB →＝0. (AC →－2AB →)⊥AC →⇒(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC →＝0，所以AB →·AB →＝AC →·AC →＝2AB →·AC →，即|AB →|＝|AC →|，而cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，所以∠A ＝60°，所以△ABC 为等边三角形．6．(2016·沈阳一模)在△ABC 中，已知|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269解析：选B.因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC→＝0，因为E ，F 为边BC 的三等分点，不妨设E 为靠近C 的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109，故选B. 7．(2016·江西省模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝________．解析：由题意得a·b ＝－1，所以|a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2＝ 3. 答案： 38．(2016·江西省九校联考)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．解析：由于AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则有|AB →|＝5，|AC →|＝3，那么cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝2＋615，可得sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝2－315，故△ABC 的面积为S ＝12|AB→||AC →|sin ∠BAC ＝1－32.答案：1－329．(2016·山西省第一次四校联考)已知圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________．解析：因为AB →＋AC →＝2AO →，所以O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形．在△AOC 中，有|OA→|＝|AC →|，所以∠B ＝30°.由定义知，向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝23×32＝3. 答案：310．(2015·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解析：因为AB →2＝4|a |2＝4，所以|a |＝1，故①正确；因为BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，所以|BC →|＝|b |＝2，故②错误；因为b ＝AC →－AB →，所以a ·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；因为BC →＝b ，故④正确；因为(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确． 答案：①④⑤11．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：由已知得，a·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. (1)①因为|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a ＋b |＝4 3.②因为|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768.所以|4a －2b |＝16 3.(2)因为(a ＋2b )⊥(k a －b )，所以(a ＋2b )·(k a －b )＝0， k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.所以k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．1．(2015·高考陕西卷)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2解析：选B.根据a ·b ＝|a ||b |cos θ，又cos θ≤1，知|a ·b |≤|a ||b |，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a |－|b ||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立. 根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．2．(2016·安康模拟)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (0，2)、B (4，1)、C (－6，9)．(1)若AD 是BC 边上的高，求向量AD →的坐标；(2)若点E 在x 轴上，使△BCE 为钝角三角形，且∠BEC 为钝角，求点E 横坐标的取值范围．解：(1)设D (x ，y )，则AD →＝(x ，y －2)，BD →＝(x －4，y －1)，由题意知AD ⊥BC ，则AD →·BC →＝0，即－10x ＋8(y －2)＝0，即5x －4y ＋8＝0，①由BD →∥BC →，得8(x －4)＝－10(y －1)，即4x ＋5y －21＝0，②联立①②解得x ＝4441，y ＝13741，则AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4441，5541.(2)设E (a ，0)，则EB →＝(4－a ，1)，EC →＝(－6－a ，9)，由∠BEC 为钝角，得(4－a )·(－6－a )＋9＜0，解得－5＜a ＜3，由EB →与EC →不能共线，得9(4－a )≠－6－a ，解得a ≠214.故点E 的横坐标的取值范围为(－5，3)．3．(2016·河南省三市调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a－c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A ＞0，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)， 即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2，即△ABC 的面积的最大值为32＋32.。

高考数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例文

高考数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例文
12/12/2021
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1．已知 a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若 a 与 b 的夹角为钝角，
则 λ 的取值范围是__(_－__∞__，__－__6_)_∪___－__6_，__32_____．
[解析] 由 a·b<0，即 2λ－3<0，解得 λ<32.由 a∥b 得：6＝－λ，
则B→F·C→F＝13A→C－23A→B·13A→B－23A→C
12/12/2021
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＝19A→B·A→C－29A→B2－29A→C2＋49A→B·A→C ＝59A→B·A→C－29(A→B2＋A→C2) ＝59×4－29(A→B2＋A→C2)＝－1， 所以A→B2＋A→C2＝229，
第十九页，共四十四页。
2.(2017·高考江苏卷)如图，在同一个平面内，向量O→A， O→B，O→C的模分别为 1，1， 2，O→A与O→C的夹角为 α， 且 tan α＝7，O→B与O→C的夹角为 45°.若O→C＝mO→A＋ nO→B(m，n∈R)，则 m＋n＝____3____．
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(1)已知向量B→A＝12， 23，B→C＝ 23，12，则∠ABC
＝________. (2)已知三个向量 a、b、c 两两所夹的角都为 120°，|a|＝1， |b|＝2，|c|＝3，求向量 a＋b＋c 与向量 a 的夹角．
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【 解 】 (1) 由 两 向 量 的 夹 角 公 式 ， 可 得 cos ∠ ABC ＝
1．必明辨的 3 个易错点 (1)已知向量 a，b，c，若满足 a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有 b ＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一 个向量． (2)数量积运算不适合结合律． (3)两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因 为夹角为 0 时也有 a·b>0)；两个向量 a 与 b 的夹角为钝角， 则有 a·b<0，反之不成立(因为夹角为 π 时也有 a·b<0)．

高考数学一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3 平面向量的数量积与平面向量应用

高考数学一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3 平面向量的数量积与平面向量应用

4.3 平面向量的数量积与平面向量应用举例[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝18cos 〈a ，b 〉＝－12， ∴cos 〈a ，b 〉＝－23.∴a 在b 方向上的投影是|a |cos 〈a ，b 〉＝－4. 答案：A2．(2017届河南八市重点高中质检)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3D ．4解析：因为a ·(a －b )＝8，所以a ·a －a ·b ＝8，即|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝8，所以4＋2|b |×12＝8，解得|b |＝4.答案：D3．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2 B ．π3C.π6D ．π解析：由题意得|2a ＋b |2＝4＋4a ·b ＋3＝7，所以a ·b ＝0，所以a ·(a ＋b )＝1，且|a ＋b |＝a ＋b2＝2，故cos 〈a ，a ＋b 〉＝a a ＋b |a |·|a ＋b |＝12，所以〈a ，a ＋b 〉＝π3，故选B.答案：B4．(2017届辽宁抚顺一中月考)在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝( )A ．2B ．3C ．－3D ．6解析：∵BM →＝2MA →，∴BM →＝23BA →＝23(CA →－CB →)，∴CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CB →＋23CA →·CB →＝13CB →2＋23CB →·CA →＝3.故选B.答案：B5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1)，若m ⊥n ，且a ＋b ＝10，则△ABC 周长的最小值为( )A ．10－5 3B ．10＋5 3C ．10－2 3D ．10＋2 3解析：∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，即2cos 2C －cos C －2cos C －2＝0.整理得2cos 2C －3cos C －2＝0，解得cos C ＝－12或cos C ＝2(舍去)．又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab (1＋cos C )＝102－2ab ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12≥100－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝100－25＝75，∴c ≥53，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ≥10＋5 3.故选B.答案：B6．已知|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6 B ．π3C.2π3D ．5π6解析：由a ＋b ＝(3，1)得|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝4，又|a |＝1，|b |＝3，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1＋2a ·b ＋3＝4，解得2a ·b ＝0，所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝2，设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则由夹角公式可得cos θ＝a ＋b a －b |a ＋b ||a －b |＝|a |2－|b |22×2＝－12，且θ∈[0，π]，所以θ＝23π，即a ＋b 与a －b 的夹角为23π.答案：C7．(2017届山东师大附中模拟)如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值等于( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8解析：取BC →的中点D ，连接OD ，AD ，则OD →·BC →＝0且AO →＋OD →＝AD →，即AO →＝AD →－OD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →·BC →＝AD →·BC →－OD →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(52－32)＝8，故选D. 答案：D8．已知正三角形OAB 中，点O 原点，点B 的坐标是(－3，4)，点A 在第一象限，向量m ＝(－1,0)，记向量m 与向量OA →的夹角为α，则sin α的值为( )A ．－4＋3310B ．4＋3310C.33－410D ．4－3310解析：由题可得OA →，OB →夹角为60°，设OB →与m 的夹角为θ(θ为锐角)，则cos θ＝OB →·m |OB →||m |＝－－＋4×0－2＋42·－2＋02＝35， 则sin θ＝45，∴sin α＝sin(60°＋θ)＝sin60°cos θ＋cos60°sin θ＝ 32×35＋12×45＝4＋3310. 答案：B9．已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足(AB →－AC →)·(2AD →－BD →－CD →)＝0，则△ABC 的形状为________．解析：由已知得CB →·(AD →＋DB →＋AD →＋DC →)＝0 即CB →·(AB →＋AC →)＝0设D 为BC 中点，则CB →·2AD →＝0， ∴CB ⊥AD ，∴△ABC 为等腰三角形． 答案：等腰三角形10．(2018届衡水调研)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(2a ＋b )·b ＝0，∴2|a ||b |cos θ＋b 2＝0.由|a |＝|b |，可得cos θ＝－12.故a 与b 的夹角为120°.答案：120°11．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →· CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．设E (1，a )(0≤a ≤1)，所以DE →·CB →＝(1，a )·(1,0)＝1，DE →·DC →＝(1，a )·(0,1)＝a ≤1.故DE →·DC →的最大值为1.答案：1 112．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |；(3)若AB →＝a ，AC →＝b ，作△ABC ，求△ABC 的面积． 解：(1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 得4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.∵|a |＝4，|b |＝3，代入上式求得a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－64×3＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.同理，|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝37. (3)由(1)知∠BAC ＝θ＝120°， |AB →|＝|a |＝4，|AC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AC →|·|AB →|·sin∠BAC ＝12×3×4×sin120°＝3 3.[能 力 提 升]1．已知a ，b 均为单位向量，且a ·b ＝0，若|c －4a |＋|c －3b |＝5，则|c ＋a |的取值范围是( )A ．[3，10]B ．[3,5]C ．[3,4]D ．[10，5]解析：∵a ，b 均为单位向量，且a ·b ＝0， ∴设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )， 代入|c －4a |＋|c －3b |＝5，得x －2＋y 2＋x 2＋y －2＝5.即(x ，y )到A (4,0)和B (0,3)的距离和为5，∴c 的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段，|c ＋a |＝x ＋2＋y 2，表示M (－1,0)到线段AB 上点的距离，最小值是点(－1,0)到直线3x ＋4y －12＝0的距离．∴|c ＋a |min ＝|－3－12|5＝3.最大值为|MA |＝5.∴|c ＋a |的取值范围是[3,5]． 答案：B2．(2017年全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析：建立如图所示的坐标系，A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，PA →·(PB →＋PC →)＝2x 2＋2y 2－23y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32， 令x ＝0，y ＝32， 则[PA →·(PB →＋PC →)]min ＝－32，故选B.答案：B3．若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________．解析：由|2a －b |≤3可知，4a 2＋b 2－4a ·b ≤9，所以4a 2＋b 2≤9＋4a ·b .而4a 2＋b 2＝|2a |2＋|b |2≥2|2a |·|b |≥－4a ·b ，所以a · b ≥－98，当且仅当2a ＝－b 时取等号．答案：－984．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →. (1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )， 即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0， 所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤2＋2，即△ABC 的面积的最大值为32＋32.。

高考数学总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.3平面向量的数量积及应用理市赛课公开课一等奖省

高考数学总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.3平面向量的数量积及应用理市赛课公开课一等奖省

[解析] 因为 n⊥(tm＋n)，所以 tm·n＋n2＝0，所以 m·n
＝－n2，又 t
4|m|＝3|n|，所以
cos〈m，n〉＝|mm|· ·n|n|＝43m|n·|n2 ＝
－34t＝13，所以 t＝－4.故选 B.
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触类旁通 向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b ＝|a||b|cos〈a，b〉．
15 2
C．－3 2 2
D．－3
15 2
解析 A→B＝(2,1)，C→D＝(5,5)，由定义知A→B在C→D方向
→→
上的投影为A|BC→·DCD| ＝5152＝3
2
2 .
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考向 平面向量数量积的性质
命题角度 1 平面向量的模
例 2 (1)平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b|
＝12.若平面向量
b
满足
23 b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝___3_____.
[解析] ∵e1·e2＝12，
∴|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝12，∴〈e1，e2〉＝60°.
又∵b·e1＝b·e2＝1>0，∴〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝30°.
由 b·e1＝1，得|b||e1|cos30°＝1，
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2.
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【变式训练 1】 [2017·湖北模拟]已知点 A(－1,1)，
B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量A→B在C→D方向上的投
影为(
)
A．3 2 2

第四章-平面向量、数系的扩充与复数的引入第三节-平面向量的数量积及应用举例-2

第四章-平面向量、数系的扩充与复数的引入第三节-平面向量的数量积及应用举例-2

B．外心
C．重心
D．垂心
解析 (2)由原等式，得O→P－O→A＝λ(A→B＋A→C)，即A→P＝λ(A→B＋A→C)，根
据平行四边形法则，知A→B＋A→C是△ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应
向量A→D的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过△ABC 的重心。故选 C。
答案 (2)C
向量与平面几何综合问题的解法 1．坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示， 这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决。 2．基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关 于未知量的方程进行求解。
(2)cosA＝cos152π＝cosπ6＋π4
＝cosπ6cos4π－sinπ6sin4π＝
6－ 4
2，
因为A→B·A→C＝bccosA＝1，所以 bc＝ 6＋ 2。
又 sinA＝sin152π＝sinπ6＋π4＝
6＋ 4
2，
所以△ABC 的面积 S＝21bcsinA＝12(
6＋
2)×
6＋ 4
2＝2＋2
【变式训练】 已知在平面直角坐标系 xOy 中，A(－4，0)，C(4,0)， AB＝7，BC＝9，点 P 满足P→A·P→C＝－7，求|P→B|的取值范围。
解 设 P(x，y)，则P→A＝(－4－x，－y)，P→C＝(4－x，－y)。因为P→A·P→C ＝－7，所以(x＋4)(x－4)＋y2＝－7，化简整理得 x2＋y2＝32，点 P 的轨迹是 以 O(0,0)为圆心，半径为 3 的圆。因为|AB|＝7，|BC|＝9，所以点 B 是圆(x ＋4)2＋y2＝72 和圆(x－4)2＋y2＝92 的交点，即 B(－2,3 5)或 B(－2，－3 5)， 显然点 B 在圆 x2＋y2＝32 外，点 B 到圆心 O(0,0)的距离为 7，因此 7－3≤|P→B |≤7＋3，即|P→B|的取值范围是[4,10]。
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第3讲 平面向量的数量积及应用举例1．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB →＝(1，1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC →＝2，则n ·BC →等于( )A ．－2B ．2C ．0D ．2或－2解析：选B.n ·BC →＝n ·(BA →＋AC →)＝n ·BA →＋n ·AC →＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2. 2．(2016·江西省九校联考)在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( )A ．－94 B.94C.274 D ．－274解析：选B.CD →·CB →＝CD →·(CA →＋AB →)＝CD →·CA →＋0＝|CD →|·|CA →|·cos ∠ACD ＝32×3×cos 60°＝94. 3．已知|a |＝1，a·b ＝12，|a －b |2＝1，则a 与b 的夹角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 解析：选C.设a 与b 的夹角为θ，因为a·b ＝|a||b |·cos θ＝12，且|a |＝1，所以|b |cos θ＝12.①又|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a·b ＝1，即1＋|b |2－1＝1，故|b |＝1.②由①②得cos θ＝12.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°.故选C.4．设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为( )A.32B.22C.52D.72解析：选A.设e 1，e 2的夹角为θ，则由以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，得12×1×1×sin θ＝12，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e 1·e 2＝0.从而对e 3＝12e 1＋k e 2两边同时平方得1＝14＋k 2，解得k ＝32或－32(舍去)．5．已知AB →，AC →是非零向量，且满足(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.因为(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB →－2AC →·AB →＝0. (AC →－2AB →)⊥AC →⇒(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC →＝0，所以AB →·AB →＝AC →·AC →＝2AB →·AC →，即|AB →|＝|AC →|，而cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，所以∠A ＝60°，所以△ABC 为等边三角形．6．(2016·沈阳一模)在△ABC 中，已知|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269解析：选B.因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC→＝0，因为E ，F 为边BC 的三等分点，不妨设E 为靠近C 的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)· (AB →＋BF →)＝⎝⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109，故选B.7．(2016·江西省模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝________．解析：由题意得a·b ＝－1，所以|a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2＝ 3. 答案： 38．(2016·江西省九校联考)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．解析：由于AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则有|AB →|＝5，|AC →|＝3，那么cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝2＋615，可得sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝2－315，故△ABC 的面积为S ＝12|AB→||AC →|sin ∠BAC ＝1－32.答案：1－329．(2016·山西省第一次四校联考)已知圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________．解析：因为AB →＋AC →＝2AO →，所以O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形．在△AOC 中，有|OA→|＝|AC →|，所以∠B ＝30°.由定义知，向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝23×32＝3. 答案：310．(2015·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解析：因为AB →2＝4|a |2＝4，所以|a |＝1，故①正确；因为BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，所以|BC →|＝|b |＝2，故②错误；因为b ＝AC →－AB →，所以a ·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；因为BC →＝b ，故④正确；因为(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确． 答案：①④⑤11．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：由已知得，a·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. (1)①因为|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a ＋b |＝4 3.②因为|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768.所以|4a －2b |＝16 3.(2)因为(a ＋2b )⊥(k a －b )，所以(a ＋2b )·(k a －b )＝0，k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0， 即16k －16(2k －1)－2×64＝0.所以k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．12．(2016·河北省监测)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°，D 为线段BC 上的点，E为线段AB 上的点，|CD →||CB →|＝|AE →||AB →|＝t ，求当AD →·CE →＝274时实数t 的值．解：以C为原点，CA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系如图所示，则C (0，0)，B (0，4)，A (3，0)，由题意CD →＝tCB →＝t (0，4)＝(0，4t )，AE →＝tAB →＝t (－3，4)＝(－3t ，4t )，所以CE →＝CA →＋AE →＝(3，0)＋(－3t ，4t )＝(3－3t ，4t )，AD →＝AC →＋CD →＝(－3，0)＋(0，4t )＝(－3，4t )，AD →·CE→＝(－3，4t )·(3－3t ，4t )＝16t 2＋9t －9＝274，解得t ＝－2116(舍去)或t ＝34，所以t ＝34.1．(2016·郑州第一次质量预测)在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 B ．[2，4]C ．[3，6]D ．[4，6]解析：选D.记MN 的中点为E ，则有CM →＋CN →＝2CE →，CM →·CN →＝14[(CM →＋CN →)2－(CM →－CN →)2]＝CE→2－14NM →2＝CE →2－12.又|CE →|的最小值等于点C 到AB 的距离，即322，故CM →·CN →的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3222－12＝4.当点M 与点A (或B )重合时，|CE →|达到最大，|CE →|的最大值为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋（2）2＝132，因此CM →·CN →的取值范围是[4，6]，故选D. 2．(2016·石家庄调研)若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，则|a ＋b －c |的最小值为________．解析：因为a·b ＝0，且|a |＝|b |＝|c |， 所以|a ＋b |＝2，又因为(a ＋b )·c ＝|a ＋b ||c |cos 〈(a ＋b )，c 〉＝2cos 〈(a ＋b )，c 〉，所以|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ＋b )·c ＝3－22cos 〈(a ＋b )，c 〉，所以当cos 〈(a ＋b )，c 〉＝1时，|a ＋b －c |2min ＝3－22＝(2－1)2， 所以|a ＋b －c |的最小值为2－1. 答案：2－13．(2016·安康模拟)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (0，2)、B (4，1)、C (－6，9)．(1)若AD 是BC 边上的高，求向量AD →的坐标；(2)若点E 在x 轴上，使△BCE 为钝角三角形，且∠BEC 为钝角，求点E 横坐标的取值范围．解：(1)设D (x ，y )，则AD →＝(x ，y －2)，BD →＝(x －4，y －1)，由题意知AD ⊥BC ，则AD →·BC →＝0，即－10x ＋8(y －2)＝0，即5x －4y ＋8＝0，① 由BD →∥BC →，得8(x －4)＝－10(y －1)，即4x ＋5y －21＝0，②联立①②解得x ＝4441，y ＝13741，则AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4441，5541.(2)设E (a ，0)，则EB →＝(4－a ，1)，EC →＝(－6－a ，9)，由∠BEC 为钝角，得(4－a )·(－6－a )＋9＜0，解得－5＜a ＜3，由EB →与EC →不能共线，得9(4－a )≠－6－a ，解得a ≠214.故点E 的横坐标的取值范围为(－5，3)．4．(2016·河南省三市调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a－c )BA →·BC →＝cCB →·CA →. (1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C . 根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A ＞0，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)， 即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2，即△ABC 的面积的最大值为32＋32.。