2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I第4讲幂函数与二次函数教师用书理新人教版

第4讲 幂函数与二次函数最新考纲 1.了解幂函数的概念；掌握幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象和性质；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知 识 梳 理1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝2x 13是幂函数.( )(2)当n>0时，幂函数y＝x n在(0，＋∞)上是增函数.( )(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.( )(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.( )解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x 13不是幂函数，(1)错.(3)由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)错.(4)对称轴x＝－b2a，当－b2a小于a或大于b时，最值不是4ac－b24a，故(4)错.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b <a <c B.a <b <c C.b <c <aD.c <a <b解析 因为a ＝243＝423，b ＝323，c ＝523又y ＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，所以c >a >b . 答案 A3.已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)的值是( ) A.5B.－5C.6D.－6解析 由f (1)＝f (2)＝0知方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为1，2，则p ＝－3，q ＝2，∴f (x )＝x 2－3x ＋2，∴f (－1)＝6. 答案 C4.(2017·杭州测试)若函数f (x )是幂函数，则f (1)＝________，若满足f (4)＝8f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________.解析 由题意可设f (x )＝x α，则f (1)＝1，由f (4)＝8f (2)得4α＝8×2α，解得α＝3，所以f (x )＝x 3，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.答案 11275.若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2的图象不经过原点，则实数m 的值为________.解析 由⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合. 答案 1或26.若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围是________.解析 二次函数f (x )图象的对称轴是x ＝1－a ，由题意知1－a ≥3，∴a ≤－2.答案 (－∞，－2]考点一 幂函数的图象和性质【例1】 (1)(2017·济南诊断测试)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( ) A.12B.1C.32D.2(2)若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞ C.(－1，2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2 解析 (1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.(2)因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎨⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，m ≤－5－12或m ≥5－12，－1＜m ＜2，即5－12≤m <2.答案 (1)C (2)D规律方法 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性； (2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【训练1】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )(2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A.－3B.1C.2D.1或2解析 (1)设f (x )＝x α(α∈R )，则4α＝2，∴α＝12，因此f (x )＝x 12，根据图象的特征，C 正确.(2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2－3n在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎨⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1， 又n ＝1时，f (x )＝x －2的图象关于y 轴对称，故n ＝1. 答案 (1)C (2)B考点二 二次函数的图象与性质【例2】 (2017·湖州调研)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]. (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数； (3)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]， ∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).(3)当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋3＝（x ＋1）2＋2，x ≤0，x 2－2x ＋3＝（x －1）2＋2，x >0，其图象如图所示，又∵x ∈[－4，6]，∴f (|x |)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数.规律方法 解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍.【训练2】 (1)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )(2)(2017·武汉模拟)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 解析 (1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c <0， 从而由abc >0，所以ab <0，所以对称轴x ＝－b2a>0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B 知f (0)＝c >0， 所以ab >0，所以x ＝－b2a<0，B 错误. (2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2， 又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4. 答案 (1)D (2)－2x 2＋4考点三 二次函数的应用(多维探究) 命题角度一 二次函数的恒成立问题【例3－1】 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围.解 (1)由题意知⎩⎨⎧－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，故k 的取值范围是(－∞，1).规律方法 (1)对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若是二次函数，就隐含着a ≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a ＝0和a ≠0两种情况讨论.(2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .【训练3】 (2016·九江模拟)已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对x ∈[－3，1]，f (x )＞0恒成立，则实数a 的取值范围为________. 解析 因为f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4， 对称轴x ＝－(a －2)，对x ∈[－3，1]，f (x )＞0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系得：⎩⎨⎧－（a －2）＜－3，f （－3）＞0，或⎩⎨⎧－3≤－（a －2）≤1，Δ＜0，或⎩⎨⎧－（a －2）＞1，f （1）＞0， 解得a ∈∅或1≤a ＜4或－12＜a ＜1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4命题角度二 二次函数的零点问题【例3－2】 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1x i ＝( ) A.0B.mC.2mD.4m解析 由f (x )＝f (2－x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象也关于直线x ＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x ＝1对称. 不妨设x 1<x 2<…<x m ，则x 1＋x m2＝1，即x 1＋x m ＝2，同理有x 2＋x m －1＝2，x 3＋x m －2＝2，…，又∑mi ＝1x i ＝x m ＋x m －1＋…＋x i ，所以2∑mi ＝1x i ＝(x 1＋x m )＋(x 2＋x m －1)＋…＋(x m ＋x 1)＝2m ，所以∑mi ＝1x i ＝m . 答案 B规律方法 (1)解本题的关键是抓住两函数的图象关于直线x ＝1对称，利用中点公式求解，考查分类讨论、数形结合思想.(2)涉及二次函数的零点常与判别式有关，常借助函数的图象的直观性实施数形转化.【训练4】 (2017·丽水一模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R )恰有4个零点，则m 的取值范围是________.解析函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点可化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝m恰有4个交点，作函数y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，故m的取值范围是(－1，0).答案(－1，0)[思想方法]1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.[易错防范]1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为( )A.1，3B.－1，1C.－1，3D.－1，1，3解析因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.答案 A2.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )A.a>0，4a＋b＝0B.a<0，4a＋b＝0C.a>0，2a＋b＝0D.a<0，2a＋b＝0解析因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－b2a＝2，所以4a＋b＝0.答案 A3.在同一坐标系内，函数y＝x a(a≠0)和y＝ax＋1a的图象可能是( )解析若a<0，由y＝x a的图象知排除C，D选项，由y＝ax＋1a的图象知应选B；若a>0，y＝x a的图象知排除A，B选项，但y＝ax＋1a的图象均不适合，综上选B.答案 B4.若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a等于( )A.－1B.1C.2D.－2解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得， ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案 B5.若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(－6，＋∞)D.(－∞，－6)解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)， 所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2. 答案 A 二、填空题6.已知P ＝2－32，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________.解析 P ＝2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22>12>25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223>⎝ ⎛⎭⎪⎫123>⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P >R >Q . 答案 P >R >Q7.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________.解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1，2]上是减函数可得[1，2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g (x )＝a x ＋1在[1，2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1.答案 (0，1]8.(2017·湖州调研)已知f (x ＋1)＝x 2－5x ＋4. (1)f (x )的解析式为________；(2)当x ∈[0，5]时，f (x )的最大值和最小值分别是________. 解析 (1)f (x ＋1)＝x 2－5x ＋4，令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－5(t －1)＋4＝t 2－7t ＋10，∴f (x )＝x 2－7x ＋10. (2)∵f (x )＝x 2－7x ＋10，其图象开口向上，对称轴x ＝72，∵x ∈[0，5]，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72min＝－94，又f (0)＝10，f (5)＝0.∴f (x )的最大值为10，最小值为－94. 答案 (1)x 2－7x ＋10 (2)10，－94三、解答题9.已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围. 解 幂函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1.∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数.由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.10.已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]， 对称轴x ＝－32∈[－2，3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1， ∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意. 综上可知，a ＝－13或－1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.(2016·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24.又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫f （x ）＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件. 答案 A12.(2017·长沙一中期中测试)函数f (x )＝(m 2－m －1)·x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0D.无法判断解析 依题意，幂函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴⎩⎨⎧m 2－m －1＝1，4m 9－m 5－1>0，解得m ＝2，则f (x )＝x 2 015.∴函数f (x )＝x 2 015在R 上是奇函数，且为增函数. 由a ＋b >0，得a >－b ，∴f (a )>f (－b )，则f (a )＋f (b )>0. 答案 A13.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是______.解析 作出函数y ＝f (x )的图象如图.则当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根. 答案 (0，1)14.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R ). (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1， F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围. 解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x >0，－（x ＋1）2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立.又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0].15.(2016·嘉兴模拟)已知m ∈R ，函数f (x )＝－x 2＋(3－2m )x ＋2＋m . (1)若0<m ≤12，求|f (x )|在[－1，1]上的最大值g (m )；(2)对任意的m ∈(0，1]，若f (x )在[0，m ]上的最大值为h (m )，求h (m )的最大值.解 (1)f (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －3－2m 22＋4m 2－8m ＋174，则对称轴为x ＝3－2m 2， 由0<m ≤12，得0<2m ≤1，则1≤3－2m 2<32，故函数f (x )在[－1，1]上为增函数，则当x ＝1时，函数f (x )取得最大值，f (1)＝4－m ； 当x ＝－1时，函数f (x )取得最小值f (－1)＝3m －2. 又∵0<m ≤12，∴0<3m ≤32，－2<3m －2≤－12，则|f (－1)|＝|3m －2|∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2，|f (1)|＝|4－m |＝4－m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，4，则|f (1)|>|f (－1)|，即|f (x )|在[－1，1]上的最大值g (m )＝f (1)＝4－m .(2)由(1)知函数的对称轴为x ＝3－2m2，且函数开口向下， 由0<m ≤1，则0<2m ≤2，所以12≤3－2m 2<32，若m ≤3－2m 2，即0<m ≤34时，函数f (x )在[0，m ]上单调递增，则最大值h (m )＝f (m )＝－3m 2＋4m ＋2. 若m >3－2m 2，即34<m ≤1时，函数f (x )在[0，m ]上不单调，此时当x ＝3－2m 2时，函数f (x )取得最大值h (m )＝m 2－2m ＋174， 即h (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＋174，34<m ≤1，－3m 2＋4m ＋2，0<m ≤34，当0<m ≤34时，h (m )＝－3m 2＋4m ＋2的对称轴为m ＝－42×（－3）＝23，即当m＝23时，函数h (m )取得最大值h ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋4×23＋2＝103. 当34<m ≤1时，h (m )＝m 2－2m ＋174的对称轴为m ＝1，此时函数h (m )在⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1上为减函数，则函数h (m )<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342－2×34＋174＝5316<103.所以h (m )的最大值为103.。

第二章 函数与基本初等函数I 2.6 幂函数与二次函数 理1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )． (2)对数的性质 ①log a Na＝ N ；②log a a N＝ N (a >0且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线 y ＝x 对称．【知识拓展】1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log log .m n a a nb b m=其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及13log 3y x =都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(教材改编)(log 29)·(log 34)等于( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析 (log 29)·(lo g 34)＝2log 23·2log 32＝4. 2．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有选项B 正确． 3．已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5a b c ＝，＝，＝，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b答案 C解析 3310log log 0.331()5,5c == ∵log 3103>log 33＝1且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x为增函数，32410log log 3.4log 3.63555∴＞＞.即324log 0.3log 3.4log 3.615()5,5＞＞故a >c >b .4．(2016·成都模拟)函数y ＝log 0.5x －的定义域为 ．答案 (34，1]解析 由log 0.5(4x －3)≥0且4x －3>0，得34<x ≤1.5．(教材改编)若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是 ．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．题型一 对数的运算例1 (1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n＝ .(2)计算：－log 62＋log 62·log 618log 64＝ .答案 (1)12 (2)1解析 (1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n＝3， ∴a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.(2)原式 ＝1－2log 63＋62＋log 663·log 6log 64＝1－2log 63＋62＋－log 6＋log 6log 64＝1－2log 63＋62＋1－62log 64＝－log 62log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．(1)若a ＝log 43，则2a ＋2－a＝ .(2)(2016·济南模拟)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋22－lg 2＋1＝ .答案 (1)433(2)1解析 (1)∵a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23，log log 2222a a --∴+=+log 2=＝3＋33＝433. (2)原式＝2×(12lg 2)2＋12lg 2×lg 5＋2－2＝12lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－12lg 2 ＝12lg 2＋1－12lg 2＝1. 题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1(2)(2017·合肥月考)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2) D ．(2，2)答案 (1)D (2)B解析 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.(2)构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在(0，12]上的图象，可知f (12)<g (12)，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为(22，1)．思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )(2)(2016·新疆乌鲁木齐一诊)设f (x )＝|ln(x ＋1)|，已知f (a )＝f (b )(a <b )，则( ) A ．a ＋b >0 B ．a ＋b >1 C ．2a ＋b >0 D ．2a ＋b >1答案 (1)B (2)A解析 (1)由题意y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝(13)x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象性质可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.(2)作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0.0＝ab ＋a ＋b <a ＋b24＋a ＋b ，即(a ＋b )(a ＋b ＋4)>0，显然－1<a <0，b >0， ∴a ＋b ＋4>0，∴a ＋b >0，故选A. 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小例 3 (2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a答案 C 解析 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1. 所以()0.52log 3log 30.5log 321212a f ＝＝－＝－＝，()22log 5log 52log 521214b f ＝＝－＝－＝，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .命题点2 解对数不等式例4 (1)若log a 23<1，则a 的取值范围是 ．(2)设函数212log ()()log ()(0),x x f x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩＞0，＜若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 (1)(0，23)∪(1，＋∞) (2)C解析 (1)当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内为增函数，所以log a 23<log a a 总成立．当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数，由log a 23<log a a ，得a <23，故0<a <23.综上，a 的取值范围为(0，23)∪(1，＋∞)．(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a 或1220log ()log ().a a a ⎧⎪⎨--⎪⎩＜，＞解得a >1或－1<a <0，故选C. 命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a －a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 (1)对数值大小比较的主要方法 ①化同底数后利用函数的单调性； ②化同真数后利用图象比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．(1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 (1)D (2)A 解析 (1)当x ≤1时，21－x≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2， 解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)，故选A.3．比较指数式、对数式的大小考点分析 比较大小问题是每年高考必考内容之一：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1. 典例 (1)(2016·全国乙卷)若a >b >0,0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c <b cD ．c a>c b(2)(2016·河南八市质检)若a ＝20.3，b ＝log π3，c ＝log 4cos 100，则( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．a >b >cD ．c >a >b(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是( ) A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．a <c <b解析 (1)对A ：log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，因为0<c <1，所以lg c <0， 而a >b >0，所以lg a >lg b ， 但不能确定lg a 、lg b 的正负， 所以它们的大小不能确定，所以A 错； 对B ：log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg blg c，而lg a >lg b ，两边同乘以一个负数1lg c 改变不等号方向，所以B 正确；对C ：由y ＝x c在第一象限内是增函数， 即可得到a c >b c，所以C 错； 对D ：由y ＝c x在R 上为减函数， 得c a <c b，所以D 错．故选B.(2)因为20.3>20＝1,0＝log π1<log π3<log ππ＝1， log 4cos 100<log 41＝0，所以a >b >c ，故选C.(3)由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下四种可能：①1<c <b <a ；②0<a <1<c <b ；③0<b <a <1<c ；④0<c <b <a <1.对照选项可知A 中关系不可能成立． 答案 (1)B (2)C (3)A1．(2015·湖北)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]答案 C解析 依题意，有4－|x |≥0，解得－4≤x ≤4①；x 2－5x ＋6x －3>0，解得x >2且x ≠3②；由①②求交集得函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．故选C. 2．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b答案 B解析 ∵a ＝log 37，∴1<a <2.∵b ＝21.1，∴b >2. ∵c ＝0.83.1，∴0<c <1. 即c <a <b ，故选B.3．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )答案 A解析 函数f (x )＝ln(x 2＋1)是偶函数，排除C ；当x ＝0时，f (x )＝0，排除B 、D ，故选A.4．(2016·吉林模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤1，f x －＋1，x >1，则f (2 018)等于( )A ．2 019B ．2 018C ．2 017D ．2 016答案 A解析 由已知f (2 018)＝f (2 017)＋1 ＝f (2 016)＋2＝f (2 015)＋3＝…＝f (1)＋2 017＝log 2(5－1)＋2 017＝2 019.5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)等于( )A ．1 B.45 C ．－1 D ．－45答案 C解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)24log 51(2)5=-+＝－1.6．若函数f (x )＝log a (x 2＋32x )(a >0，a ≠1)在区间(12， ＋∞)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(12，＋∞)答案 A解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈(12，＋∞)时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y＝log a M 为增函数，又M ＝(x ＋34)2－916，因此M 的单调递增区间为(－34，＋∞)．又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 7．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ .答案 －1解析 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1.8．函数2()log )f x x =的最小值为 ．答案 －14解析 2()log )f x x =＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝(t ＋12)2－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14，故f (x )的最小值为－14.9．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是 ．答案 (13，1)解析 当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1， 解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是(13，1)．*10.(2016·南昌模拟)关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )有下列命题：①函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f (x )是减函数； ③函数f (x )的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f (x )是增函数． 其中是真命题的序号为 ． 答案 ①③④解析 ∵函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )，显然f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确；当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1|x |＝lg x 2＋1x ＝lg(x ＋1x )，令t (x )＝x ＋1x ，x >0，则t ′(x )＝1－1x，可知当x ∈(0,1)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )>0，t (x )单调递增，即在x ＝1处取得最小值为2.由偶函数的图象关于y 轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.11．已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是 ． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1， 故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14.*12.已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ； ②当t ∈(0,2]时，k <－4t－tt恒成立，即k <4t ＋9t－15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3)． *13.(2017·厦门月考)已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －－x恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln(x ＋1x －1)－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )， ∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数． (2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －－x恒成立，∴x ＋1x －1>mx －－x>0，∵x∈[2,6]，∴0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2,6]上恒成立．令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，x∈[3,6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.。

第二章函数概念与基本初等函数I 2.4 二次函数与幂函数教师用书理苏教版1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).(2)二次函数的图象和性质(1)定义：一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图象过定点(1，1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 【知识拓展】1.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.2.幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性.(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( × )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数.( × )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )(4)函数122y x =是幂函数.( × )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( √ ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n是定义域上的减函数.( × )1.(教材改编)若幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (9)＝________. 答案 27解析 设f (x )＝x α，则2α＝22， ∴α＝32，∴f (x )＝32x .∴f (9)＝329＝27.2.(教材改编)设α∈{－1，1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值和为__________. 答案 4解析 当α＝1，3时，函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数；当α＝－1时，y ＝1x的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }；当α＝12时，y ＝12x ＝x 的定义域是{x |x ≥0}.∴满足题意的a 值为1和3，其和为4.3.(教材改编)函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝______. 答案 －3解析 f (x )＝2(x －m4)2＋3－m 28，由题意m4＝2，∴m ＝8，∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3.4.已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________. 答案 [1，2]解析 如图，由图象可知m 的取值范围是[1，2].5.(教材改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减. 答案 y ＝12x- (0，＋∞)解析 设f (x )＝x a，则2a＝22， ∴a ＝－12，即幂函数的解析式为y ＝12x -，单调减区间为(0，＋∞).题型一 求二次函数的解析式例1 (1)(2016·南京模拟)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式. 解 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2. ∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， 又f (x )的图象过点(4，3)， ∴3a ＝3，a ＝1，∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.思维升华 求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 答案 (1)x 2＋2x ＋1 (2)－2x 2＋4解析 (1)设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a ，由已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1，∴a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴－a ＝－(－2a b)，即b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2，又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4. 题型二 二次函数的图象和性质 命题点1 二次函数的单调性例2 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是__________. 答案 [－3，0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件. 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3，0]. 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知a <0， 又3－a2a＝－1，∴a ＝－3. 命题点2 二次函数的最值例3 已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值. 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上 且对称轴为x ＝1a.①当0<1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]内，∴f (x )在[0，1a ]上单调递减，在[1a，1]上单调递增.∴f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a.②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]的右侧，∴f (x )在[0，1]上单调递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下 且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.命题点3 二次函数中的恒成立问题例4 (1)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12解析 2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立. 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12.综上，实数a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12. (2)(2016·江苏徐州一中质检改编)若14t 2－kt －1≤0在t ∈[－1，1]上恒成立，求实数k 的取值范围.解 求二次函数f (t )＝14t 2－kt －1在给定区间[－1，1]上的最大值M ，二次函数f (t )的图象的对称轴为直线t ＝2k .①当2k ∈[－1，1]，即k ∈[－12，12]时，M ＝f (－1)或f (1)，由M ≤0，得f (－1)≤0且f (1)≤0，解得－34≤k ≤34，又k ∈[－12，12]，故－12≤k ≤12；②当2k <－1，即k <－12时，函数f (t )在[－1，1]上单调递增，故M ＝f (1)＝14－k －1，由M ≤0，得k ≥－34，又k <－12，故－34≤k <－12；③当2k >1，即k >12时，函数f (t )在[－1，1]上单调递减，故M ＝f (－1)＝14＋k －1，由M ≤0，得k ≤34，又k >12，故12<k ≤34.综上知，实数k 的取值范围为[－34，34].思维升华 (1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 ①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 由题意得a >2x －2x2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.(2)已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2，a ]，求f (x )的最小值. 解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，∴应进行讨论，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1. 综上，当－2<a ≤1时，y min ＝a 2－2a ，当a >1时，y min ＝－1. 题型三 幂函数的图象和性质 例5 (1)若12(21)m +>122(1)m m +-，则实数m 的取值范围是__________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析 因为函数y ＝12x 的定义域为[0，＋∞) 且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1，解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12；解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2. 综上所述，m 的取值范围是5－12≤m <2. (2)已知函数f (x )＝x －m ＋3(m ∈N *)是偶函数，且f (3)<f (5)，求m 的值，并确定f (x )的函数解析式.解 由f (3)<f (5)，得3－m ＋3<5－m ＋3，所以(35)－m ＋3<1＝(35)0.因为y ＝(35)x是减函数，所以－m ＋3>0.解得m <3. 又因为m ∈N *，所以m ＝1或2； 当m ＝2时，f (x )＝x －m ＋3＝x 为奇函数，所以m ＝2舍去. 当m ＝1时，f (x )＝x－m ＋3＝x 2为偶函数，所以m ＝1，此时f (x )＝x 2.思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.(2016·盐城模拟)幂函数的图象经过点(4，2)，若0<a <b <1，则下列各式正确的是________.①f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b)②f (1a )<f (1b)<f (b )<f (a )③f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a)④f (1a)<f (a )<f (1b)<f (b )答案 ③解析 设幂函数为f (x )＝x α，将(4，2)代入得α＝12，所以f (x )＝12x ，该函数在(0，＋∞)上为增函数， 又0<a <b <1，所以1a >1b>1，即a <b <1b <1a，所以f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a).3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例 (14分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值. 思想方法指导 已知函数f (x )的最值，而f (x )图象的对称轴确定，要讨论a 的符号. 规范解答解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a . [2分](1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； [4分](2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；[9分](3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.[12分]综上可知，a 的值为38或－3.[14分]1.(教材改编)幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，4)，那么函数f (x )的单调递增区间是__________. 答案 [0，＋∞)解析 把点(2，4)代入函数解析式得4＝2α，所以α＝2，故f (x )＝x 2，所以函数的单调递增区间为[0，＋∞).2.(教材改编)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么f (－2)，f (0)，f (2)大小关系为____________. 答案 f (0)＜f (2)＜f (－2)解析 函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x ).可知函数f (x )图象的对称轴为x ＝12，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大.3.已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是____________. 答案 [0，4]解析 由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)， 若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.4.若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是____________. 答案 [32，3]解析 二次函数图象的对称轴为x ＝32且f (32)＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈[32，3].5.若a <0，(12)a 、(0.2)a 、2a大小关系为__________.答案 (0.2)a>(12)a >2a解析 若a <0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是单调减函数，又∵0.2<12<2，∴(0.2)a>(12)a >2a .6.已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________. 答案 {1}解析 由定义域为R ，则x 2－2x ＋a ≥0恒成立.又值域为[0，＋∞)，则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点，所以Δ＝4－4a ＝0，则a ＝1，所以实数a 的取值集合为{1}. 7.(2016·连云港模拟)已知幂函数f (x )＝12x -，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________. 答案 (3，5)解析 ∵幂函数f (x )＝12x -单调递减，定义域为(0，＋∞)，∴由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得3<a <5.8.(2016·无锡模拟)已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________________. 答案 [1，2]解析 作出已知函数的图象如图所示，当x ＝1时，y 最小，最小值为2； 当x ＝2时，y ＝3；当x ＝0时，y ＝3. 由图象知m 的取值范围是[1，2].*9.若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________. 答案 [0，2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋，x 2＋ax －a ，x －∞，，x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2－ax ＋a ＝(x －a 2)2＋a －a 24，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2＋ax －a ＝(x ＋a2)2－a －a 24.①当a 2>1，即a >2时，f (x )在[1，a2)上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，不合题意； ②当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意；③当a2<0，即a <0时，不符合题意.综上，a 的取值范围是[0，2].10.若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ] (b >1)，则a ＋b ＝________.答案 92解析 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即函数f (x )在[1，b ]上单调递增. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，②又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，∴a ，b 的值分别为32，3.∴a ＋b ＝92.11.(2016·江苏赣榆高级中学质检)设函数f (x )＝x 2－3x ＋a .若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为________. 答案 (0，94]解析 方法一 由f (x )＝0，得a ＝－x 2＋3x ＝－(x －32)2＋94.因为x ∈(1，3)，所以－(x －32)2＋94∈(0，94]，所以a ∈(0，94].方法二 因为f (x )＝x 2－3x ＋a ＝(x －32)2－94＋a ，所以要使函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则需f (32)≤0且f (3)>0，解得0<a ≤94.12.(2016·江苏淮阴中学期中)已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两个实数根是α，β，且有1<α<2<β<3，则实数a 的取值范围是__________. 答案 (2，115)解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋a ＋2>0，4－4a ＋a ＋2<0，9－6a ＋a ＋2>0，解得2<a <115，所以实数a 的取值范围为(2，115).13.(2016·江苏泰州中学质检)已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ].若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为__________. 答案 (0，1)∪{2}解析 因为f (x )＝(x －1)2＋a －1，且f (0)＝f (2)＝a ，当a －1≥－a ，即a ≥12时，此时恒有[a －1，a ]⊆[－a ，a ]，故t ∈(0，2]，从而它的最大值为2；当a －1<－a ，即0<a <12，此时t ∈(0，1)且t 2－2t ＋a ≥－a 在0<a <12上恒成立，即t ≥1＋1－2a(不成立，舍去)或t ≤1－1－2a ，由于0<a <12，故t ∈(0，1).综上，g (a )的值域为(0，1)∪{2}. 14.已知幂函数f (x )＝223m m x --(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调减函数.(1)求函数f (x )；(2)讨论F(x)＝a f x－bxf x的奇偶性.解(1)∵f(x)是偶函数，∴m2－2m－3应为偶数. 又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调减函数，∴m2－2m－3<0，－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0，1，2.当m＝0或2时，m2－2m－3＝－3不是偶数，舍去；当m＝1时，m2－2m－3＝－4，∴m＝1，即f(x)＝x－4.(2)F(x)＝ax2－bx3，∴F(－x)＝ax2＋bx3.①当a≠0且b≠0时，函数F(x)为非奇非偶函数；②当a≠0且b＝0时，函数F(x)为偶函数；③当a＝0且b≠0时，函数F(x)为奇函数；④当a＝0且b＝0时，函数F(x)既是奇函数，又是偶函数.。

第四节二次函数与幂函数突破点(一) 幂函数1.幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．对于幂函数，只讨论α＝1,2,3，12，－1时的情形．2．五种幂函数的图象3．五种幂函数的性质[例1] 幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )本节主要包括2个知识点： 1.幂函数； 2.二次函数.[解析] 令f (x )＝x α，则4α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x 12，则f (x )的图象如选项C 中所示．[答案] C [方法技巧]幂函数图象的规律(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内； (3)如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；(4)当α为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图象关于y 轴对称．幂函数的性质(1)幂函数在(0(2)幂函数的图象过定点(1,1)；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； (4)当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； (5)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．[例2] (1)设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________． (2)若(a ＋1)13－<(3－2a )13－，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)∵y ＝x 25(x >0)为增函数，∴a >c . ∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R)为减函数，∴c >b .∴a >c >b . (2)不等式(a ＋1) 13－<(3－2a )13－等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a .解得23<a <32或a <－1.[答案] (1)a >c >b (2)(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，32 [方法技巧]幂值大小比较的常见类型及解题策略(1)同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较． (2)同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较．(3)既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点二]已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x 23＋－m m 是幂函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，则m 的值为( )A ．－1B ．2C ．－1或2D ．3解析：选B ∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x23＋－m m 是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.又∵函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴m 2＋m －3>0，∴m ＝2.2．[考点一]图中C 1，C 2，C 3为三个幂函数y ＝x k 在第一象限内的图象，则解析式中指数k 的值依次可以是( )A ．－1，12，3B ．－1,3，12C.12，－1,3 D.12，3，－1 解析：选A 根据幂函数图象的规律知，选A.3．[考点一、二](2017·昆明模拟)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解析：选B 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．4．[考点二]若a ＝⎝⎛⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c解析：选D ∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523.∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，∴a＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b <a <c . 5．[考点二]若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 突破点(二) 二次函数1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，图象的对称轴是x ＝－b2a，顶点坐标是⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a ；(2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，图象的对称轴是x ＝m ，顶点坐标是(m ，n )； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，图象的对称轴是x ＝x 1＋x 22.2．二次函数的图象和性质考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求二次函数的解析式[例1] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8， ∴f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.[方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：二次函数的图象确定二次函数的图象，主要有以下三个要点：从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．[例2] 下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R)的导函数y＝f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13 B ．－13 C.53D ．－13或53[解析] ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图象开口向上，则②④排除．若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53；若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a ＞0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.故f (－1)＝－13或53.[答案] D二次函数的图象与性质的应用考法(一) 二次函数的单调性[例3] 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (2)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．[解] (1)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. 所以实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)． (2)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6，0]．[方法技巧]研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a A ⊆－b2a，＋∞，即区间A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)．考法(二) 二次函数的最值二次函数的最值问题主要有三种类型：“轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”．解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系，要结合函数图象，依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，则二次函数f (x )在闭区间[m ，n ]上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系m <n <－b 2a ，即－b 2a∈(n ，＋∞)m <－b 2a <n ，即－b2a ∈(m ，n )－b 2a <m <n ，即－b2a∈(－∞，m )图象最值f (x )max ＝f (m )，f (x )max ＝max{f (n )，f (x )max ＝f (n )，f (x )min ＝f (n ) f (m )}，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2a f (x )min ＝f (m )2[解] 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a . 当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， ∴1－a ＝2，∴a ＝－1.当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1， ∴a 2－a ＋1＝2，即a 2－a －1＝0， ∴a ＝1±52(舍去)．当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.[易错提醒]研究二次函数的性质时要注意二次项系数a 的正负及图象对称轴的位置．求最值时，也可考虑先用导数法确定单调性再根据极值与最值关系求解．考法(三) 二次函数中的恒成立问题[例5] 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1)．若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．[解] ∵f (x )的对称轴方程为x ＝a ，且f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3. 又a ≥2，∴2≤a ≤3. 故实数a 的取值范围是[2,3]．[方法技巧]由不等式恒成立求参数的解题思路(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否可分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .1．[考点二]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D 由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A ，C.又f (0)＝c <0，所以排除B.2．[考点三·考法(一)]函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．5解析：选B 函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.3．[考点一]二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________________．解析：依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1，∵图象过点(0,1)，∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1＝12x 2－2x ＋1.答案：f (x )＝12x 2－2x ＋14．[考点三·考法(二)]设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，求g (a )． 解：∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减， 则当x ＝a 时，y 取得最小值， 即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a ≤1，－1，a >1.5．[考点三·考法(三)]已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，求实数a 的取值范围．解：由题可知2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立． 当a ＝0时，适合；当a ≠0时，x ＝0时，有－3<0恒成立； x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16， 因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当1x ＝1，即x ＝1时，不等式右边取最小值12， 所以a <12，且a ≠0.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，则使f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 由f (x )＝x α在(0，＋∞)上单调递减，可知α<0.又因为f (x )＝x α为奇函数，所以α只能取－1.2．设a ＝⎝⎛⎭⎫2313，b ＝⎝⎛⎭⎫1323，c ＝⎝⎛⎭⎫1313，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a解析：选A ∵0<13<23<1，指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上单调递减，故⎝⎛⎭⎫1323<⎝⎛⎭⎫1313.又由于幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，故⎝⎛⎭⎫2313>⎝⎛⎭⎫1313，∴⎝⎛⎭⎫1323<⎝⎛⎭⎫1313<⎝⎛⎭⎫2313，即b <c <a ，故选A. 3．已知函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选D ∵函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2,1)，∴－2,1是方程ax 2－x －c ＝0的两根，由根与系数的关系可得－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a ，∴a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2.∴函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，可知其图象开口向下，与x 轴的交点坐标为(－1,0)和(2,0)．故选D.4．二次函数的图象与x 轴只有一个交点，对称轴为x ＝3，与y 轴交于点(0,3)．则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y ＝a (x －3)2，又图象与y 轴交于点(0,3)，所以3＝9a ，即a ＝13.所以y ＝13(x －3)2＝13x 2－2x ＋3.答案：y ＝13x 2－2x ＋35．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的取值范围为________． 解析：只需要在x ∈(0,1]时，(x 2－4x )min ≥m 即可．因为函数f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，所以当x ＝1时，(x 2－4x )min ＝1－4＝－3，所以m ≤－3.答案：(－∞，－3][练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D ．m ＝1解析：选B 由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝1或m ＝2.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝1或m ＝2.2．若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax －5)的图象关于直线x ＝0对称，则f (x )的最大值是( ) A ．－4 B ．4 C ．4或－4D ．不存在解析：选B 依题意，函数f (x )是偶函数，则y ＝x 2＋ax －5是偶函数，故a ＝0，则f (x )＝(1－x 2)(x 2－5)＝－x 4＋6x 2－5＝－(x 2－3)2＋4，当x 2＝3时，f (x )取最大值为4.3．已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则下列成立的是( )A ．f (m )<f (0)B ．f (m )＝f (0)C ．f (m )>f (0)D ．f (m )与f (0)大小不确定解析：选A 因为函数f (x )是奇函数，所以－3－m ＋m 2－m ＝0，解得m ＝3或－1.当m ＝3时，函数f (x )＝x －1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m ＝－1时，函数f (x )＝x 3在定义域[－2,2]上单调递增，又m <0，所以f (m )<f (0)．4．已知函数f (x )＝x 2＋2|x |，若f (－a )＋f (a )≤2f (2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．(－2,2]C ．[－4,2]D ．[－4,4]解析：选A 由f (x )＝x 2＋2|x |，f (2)＝8知，f (－a )＋f (a )＝2a 2＋4|a |≤16，解得a ∈[－2,2]．5．设函数f (x )＝x 2－23x ＋60，g (x )＝f (x )＋|f (x )|，则g (1)＋g (2)＋…＋g (20)＝( ) A ．56B ．112C ．0D ．38解析：选B 由二次函数图象的性质得，当3≤x ≤20时，f (x )＋|f (x )|＝0，∴g (1)＋g (2)＋…＋g (20)＝g (1)＋g (2)＝f (1)＋|f (1)|＋f (2)＋|f (2)|＝112.6．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)解析：选C 由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0,2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4.二、填空题7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x －12＝1x (x ＞0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＞0，10－2a ＞0，a ＋1＞10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－1，a ＜5，a ＞3，∴3＜a ＜5.答案：(3,5)8．已知点P 1(x 1,2 018)和P 2(x 2，2 018)在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋9的图象上，则f (x 1＋x 2)的值为________．解析：依题意得x 1＋x 2＝－ba ，则f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫－b a ＝a ⎝⎛⎭⎫－b a 2＋b ⎝⎛⎭⎫－b a ＋9＝9. 答案：99．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，则实数a 的取值范围为________．解析：方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，即方程x ＋a －2x ＝0，也即方程a ＝2x －x在区间[1,5]上有根，而函数y ＝2x －x 在区间[1,5]上是减函数，所以－235≤y ≤1，则－235≤a ≤1.答案：⎣⎡⎦⎤－235，1 10．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 三、解答题11．(2017·杭州模拟)已知函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝h (x )＋1－2h (x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12的值域． 解：(1)∵函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，∴m 2－5m ＋1＝1，解得m ＝0或5. 又h (x )为奇函数，∴m ＝0.(2)由(1)可知g (x )＝x ＋1－2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12， 令1－2x ＝t ，则x ＝－12t 2＋12，t ∈[0,1]，∴f (t )＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1∈⎣⎡⎦⎤12，1，故g (x )＝h (x )＋1－2h (x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12的值域为⎣⎡⎦⎤12，1.12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1， 解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.(2)由题可知，f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立． 又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2， ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．。

第二章 函数与基本初等函数I 2.6 幂函数与二次函数 理1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )． (2)对数的性质 ①log a Na＝ N ；②log a a N＝ N (a >0且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线 y ＝x 对称．【知识拓展】1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log log .m n a a nb b m=其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及13log 3y x =都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(教材改编)(log 29)·(log 34)等于( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析 (log 29)·(log 34)＝2log 23·2log 32＝4. 2．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有选项B 正确． 3．已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5a b c ＝，＝，＝，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b答案 C解析 3310log log 0.331()5,5c == ∵log 3103>log 33＝1且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x为增函数，32410log log 3.4log 3.63555∴＞＞.即324log 0.3log 3.4log 3.615()5,5＞＞故a >c >b .4．(2016·成都模拟)函数y ＝log 0.5x －的定义域为 ．答案 (34，1]解析 由log 0.5(4x －3)≥0且4x －3>0，得34<x ≤1.5．(教材改编)若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是 ．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．题型一 对数的运算例1 (1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n＝ .(2)计算：－log 62＋log 62·log 618log 64＝ .答案 (1)12 (2)1解析 (1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n＝3， ∴a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.(2)原式 ＝1－2log 63＋62＋log 663·log 6log 64＝1－2log 63＋62＋－log 6＋log 6log 64＝1－2log 63＋62＋1－62log 64＝－log 62log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．(1)若a ＝log 43，则2a ＋2－a＝ .(2)(2016·济南模拟)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋22－lg 2＋1＝ .答案 (1)433(2)1解析 (1)∵a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23，log log 2222a a --∴+=+log 2=＝3＋33＝433. (2)原式＝2×(12lg 2)2＋12lg 2×lg 5＋2－2＝12lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－12lg 2 ＝12lg 2＋1－12lg 2＝1. 题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1(2)(2017·合肥月考)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2) D ．(2，2)答案 (1)D (2)B解析 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.(2)构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在(0，12]上的图象，可知f (12)<g (12)，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为(22，1)．思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )(2)(2016·新疆乌鲁木齐一诊)设f (x )＝|ln(x ＋1)|，已知f (a )＝f (b )(a <b )，则( ) A ．a ＋b >0 B ．a ＋b >1 C ．2a ＋b >0 D ．2a ＋b >1答案 (1)B (2)A解析 (1)由题意y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝(13)x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象性质可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.(2)作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0.0＝ab ＋a ＋b <a ＋b24＋a ＋b ，即(a ＋b )(a ＋b ＋4)>0，显然－1<a <0，b >0， ∴a ＋b ＋4>0，∴a ＋b >0，故选A. 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小例 3 (2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a答案 C 解析 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1. 所以()0.52log 3log 30.5log 321212a f ＝＝－＝－＝，()22log 5log 52log 521214b f ＝＝－＝－＝，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .命题点2 解对数不等式例4 (1)若log a 23<1，则a 的取值范围是 ．(2)设函数212log ()()log ()(0),x x f x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩＞0，＜若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 (1)(0，23)∪(1，＋∞) (2)C解析 (1)当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内为增函数，所以log a 23<log a a 总成立．当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数，由log a 23<log a a ，得a <23，故0<a <23.综上，a 的取值范围为(0，23)∪(1，＋∞)．(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a 或1220log ()log ().a a a ⎧⎪⎨--⎪⎩＜，＞解得a >1或－1<a <0，故选C. 命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a －a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 (1)对数值大小比较的主要方法 ①化同底数后利用函数的单调性； ②化同真数后利用图象比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．(1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 (1)D (2)A 解析 (1)当x ≤1时，21－x≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2， 解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)，故选A.3．比较指数式、对数式的大小考点分析 比较大小问题是每年高考必考内容之一：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1. 典例 (1)(2016·全国乙卷)若a >b >0,0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c <b cD ．c a>c b(2)(2016·河南八市质检)若a ＝20.3，b ＝log π3，c ＝log 4cos 100，则( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．a >b >cD ．c >a >b(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是( ) A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．a <c <b解析 (1)对A ：log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，因为0<c <1，所以lg c <0， 而a >b >0，所以lg a >lg b ， 但不能确定lg a 、lg b 的正负， 所以它们的大小不能确定，所以A 错； 对B ：log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg blg c，而lg a >lg b ，两边同乘以一个负数1lg c 改变不等号方向，所以B 正确；对C ：由y ＝x c在第一象限内是增函数， 即可得到a c >b c，所以C 错； 对D ：由y ＝c x在R 上为减函数， 得c a <c b，所以D 错．故选B.(2)因为20.3>20＝1,0＝log π1<log π3<log ππ＝1， log 4cos 100<log 41＝0，所以a >b >c ，故选C.(3)由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下四种可能：①1<c <b <a ；②0<a <1<c <b ；③0<b <a <1<c ；④0<c <b <a <1.对照选项可知A 中关系不可能成立． 答案 (1)B (2)C (3)A1．(2015·湖北)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]答案 C解析 依题意，有4－|x |≥0，解得－4≤x ≤4①；x 2－5x ＋6x －3>0，解得x >2且x ≠3②；由①②求交集得函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．故选C. 2．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b答案 B解析 ∵a ＝log 37，∴1<a <2.∵b ＝21.1，∴b >2. ∵c ＝0.83.1，∴0<c <1. 即c <a <b ，故选B.3．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )答案 A解析 函数f (x )＝ln(x 2＋1)是偶函数，排除C ；当x ＝0时，f (x )＝0，排除B 、D ，故选A.4．(2016·吉林模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤1，f x －＋1，x >1，则f (2 018)等于( )A ．2 019B ．2 018C ．2 017D ．2 016答案 A解析 由已知f (2 018)＝f (2 017)＋1 ＝f (2 016)＋2＝f (2 015)＋3＝…＝f (1)＋2 017＝log 2(5－1)＋2 017＝2 019.5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)等于( )A ．1 B.45 C ．－1 D ．－45答案 C解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)24log 51(2)5=-+＝－1.6．若函数f (x )＝log a (x 2＋32x )(a >0，a ≠1)在区间(12， ＋∞)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(12，＋∞)答案 A解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈(12，＋∞)时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y＝log a M 为增函数，又M ＝(x ＋34)2－916，因此M 的单调递增区间为(－34，＋∞)．又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 7．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ .答案 －1解析 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1.8．函数2()log )f x x =的最小值为 ．答案 －14解析 2()log )f x x =＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝(t ＋12)2－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14，故f (x )的最小值为－14.9．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是 ．答案 (13，1)解析 当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1， 解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是(13，1)．*10.(2016·南昌模拟)关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )有下列命题：①函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f (x )是减函数； ③函数f (x )的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f (x )是增函数． 其中是真命题的序号为 ． 答案 ①③④解析 ∵函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )，显然f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确；当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1|x |＝lg x 2＋1x ＝lg(x ＋1x )，令t (x )＝x ＋1x ，x >0，则t ′(x )＝1－1x2，可知当x ∈(0,1)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )>0，t (x )单调递增，即在x ＝1处取得最小值为2.由偶函数的图象关于y 轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.11．已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是 ． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1， 故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14.*12.已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ； ②当t ∈(0,2]时，k <－4t－tt恒成立，即k <4t ＋9t－15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3)． *13.(2017·厦门月考)已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －－x恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln(x ＋1x －1)－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )， ∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数． (2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －－x恒成立，∴x ＋1x －1>mx －－x>0，∵x∈[2,6]，∴0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2,6]上恒成立．令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，x∈[3,6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.。