【原创二轮精品】上海市17区县2013届高三一模(数学理科)分类汇编：专题十四 虚数

2013年高考数学模拟试题（理科）答案命题人：卧龙寺中学 吴亮 李丰明一､选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分11.[1,3] 12. -8 13. 96 14.511[2,2],66k k k Z ++∈ 15. A. 8(,)(2,)3-∞-+∞ B.C. 4三．解答题:本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分12分)解:(1)---------------------6分(2)由(1)知bc=5,而c=1,所以b=5, -----------12分17.(本题满分12分)解:(1)当n=1时,a 1=S 1=k+1,当n≥2时,a n =S n -S n-1=kn 2+n-[k(n-1)2+(n-1)]=2kn-k+1(*),经检验,n=1,(*)式成立,∴a n =2kn-k+1(n∈N *). -----------------6分(2)∵a m ,a 2m ,a 4m 成等比数列,∴a 22m =a m ·a 4m ,即(4km-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1),整理得mk(k-1)=0,对任意的m∈N *成立,∴k=0或k=1. ------------------12分18.(本题满分12分)223121,25453||||3,51:2145 2.2cosA 2cos A (0,),sinA ,bc 5,ABC bcs 5inA a A AB AC AB AC cosA bc π-=-=⎝⎭==⨯======∈==⨯⨯= 又所以而所以所以的面积为所以-------------12分19．(本小题满分12分)解：(1)设事件A 表示甲运动员射击一次，恰好击中9环以上(含9环)，则P (A )＝0.35＋0.45＝0.8. 甲运动员射击3次均击中9环以下的概率为P 0＝(1－0.8)3＝0.008.所以甲运动员射击3次，至少有1次击中9环以上的概率为P ＝1－0.008＝0.992.------------------6分(2)记乙运动员射击1次，击中9环以上为事件B ，则P (B )＝1－0.1－0.15＝0.75.由已知ξ的可能取值是0,1,2.P (ξ＝2)＝0.8×0.75＝0.6；P (ξ＝0)＝(1－0.8)×(1－0.75)＝0.05；P (ξ＝1)＝1－0.05－0.6＝0.35.ξ的分布列为所以E ξ＝0×0.05＋1×0.35＋2×0.6故所求数学期望为1.55. --------------------12分20. (本小题满分13分)解：(1)设A (x 1，y 1)，因为A 为MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以y 1＝32，又因为点A (x 1，y 1)在椭圆C 上，所以x 21＋y 214＝1，即x 21＋916＝1，解得x 1＝±74，则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，32， 所以直线l 的方程为67x －7y ＋21＝0或67x ＋7y －21＝0. ---------6分(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋3或x ＝0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，当AB 的方程为x ＝0时，|AB |＝4>3，与题意不符． 当AB 的方程为y ＝kx ＋3时，由题设可得A 、B 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 2＋y 24＝1的解， 消去y 得(4＋k 2)x 2＋6kx ＋5＝0，所以Δ＝(6k )2－20(4＋k 2)>0，即k 2>5，则x 1＋x 2＝－6k 4＋k 2，x 1·x 2＝54＋k 2， y 1＋y 2＝(kx 1＋3)＋(kx 2,3)＝244＋k 2， 因为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2<3，所以1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 4＋k 22－204＋k2<3， -------------12分解得－163<k 2<8，所以5<k 2<8.因为OA →＋OB →＝λOP →，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝λ(x 3，y 3)，所以当λ＝0时，由OA→＋OB →＝0， 得x 1＋x 2＝－6k 4＋k 2＝0，y 1＋y 2＝244＋k 2＝0， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；当λ≠0时，x 3＝x 1＋x 2λ＝－6k λ(4＋k 2)， y 3＝y 1＋y 2λ＝24λ(4＋k 2)， 因为点P (x 3，y 3)在椭圆上，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6k λ(4＋k 2)2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤24λ(4＋k 2)2＝1， 化简得λ2＝364＋k 2， 因为5<k 2<8，所以3<λ2<4，则λ∈(－2，－3)∪(3，2)．综上，实数λ的取值范围为(－2，－3)∪(3，2)． ---------------13分21．(本小题满分14分)解：(1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2. 因为当x >2或x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0. 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)． -------------2分当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2. -------------4分(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示，当5－42<a <5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点， 即方程f (x )＝a 有三个不同的解．--------------9分(3)f (x )≥k (x －1)，即(x －1)(x 2＋x －5)≥k (x －1)．因为x >1，所以k ≤x 2＋x －5在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x 2＋x －5，此函数在(1，＋∞)上是增函数．所以g (x )>g (1)＝－3.所以k 的取值范围是k ≤－3.---------------14分。

开始开始1 0i S ¬¬，1i i ¬+i ≤n是否 结束结束输出S 2iS S ¬+使用的定义域为的定义域为的值是的值是 . 为 3x ææ-÷中最大的是中最大的是 .-43，= . ．某算法的程序框图如右图，若输出的的值为的值为 个数可以构成等差数列的概 )2，83的图像的交点为P ，过P段12P P 的长为 . ．已知不等式2a >的取值范围是的取值范围是 ．．的面积为的面积为 ．．31225332974251233973311294325272779111313513．如下图，对大于或等于2的正整数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”(其中*m n N Î、)：例如27的“分裂”中最小的数是1，最大的数是13；若3m 的“分裂”中最小的数是211，则m =14．已知函数11()||||f x x x xx=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R Î）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是的取值范围是 . .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知,,,A B C D 是空间四点，命题甲：,,,A B C D 四点不共面，命题乙：直线A C 和B D不相交，则甲是乙成立的不相交，则甲是乙成立的 [答]( ) （A ）充分不必要条件）充分不必要条件（（B ）必要不充分条件）必要不充分条件 （C ）充要条件）充要条件 （（D ）既不充分也不必要条件16．若向量,m n 满足1m n == ，m 与n 的夹角为060，则()m m n ×+= [答]（ ）（A ）12（（B ）32（C ）2 （（D ）312+17．已知函数()|arctan(1)|f x x =-，若存在12,[,]x x a b Î，且12x x <，使12()()f x f x ³成立，则以下对实数a 、b 的描述正确的是的描述正确的是 [答]（ ））（（A ）1a < （（B ）1a ³ （（C ）1b £ （（D ）1b ³18．数列{}n a 满足121a a ==，122cos ()3n n n n a a a n N p*++++=Î，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2012S 的值为的值为 [答] ( )（A ）672- （（B ）671- （（C ）2012 （（D ）672三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．已知函数2sin 3(sin cos )()sin cos cos x x x f x x xx-=+；(1)(1)求函数求函数()f x 的最小正周期；的最小正周期；(2)(2)求函数求函数()2y f x p =-，[0 ]2x pÎ，的值域的值域. .解：解：20.（本题满分14分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．科学研究表明：一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。

专题七 框图汇编2013年3月（黄浦区2013届高三一模 文科）9．执行右边的程序框图，若10p =，则输出的S = ．9．81；（金山区2013届高三一模）16．右图是某程序的流程图，则其输出结果为( )(A)20112010 (B) 20111(C) 20122011 (D) 2012116．C（虹口区2013届高三一模）6、在下面的程序框图中，输出的y 是x 的函数，记为)(x f y =，则=-)21(1f ．6、1-；开始 ? 是输入p结束输出否结束n ←1,S ←0n ←n +1 n <p输出S 否是S ←S + 2n -1输入p 开始 （第9题图）（宝山区2013届期末）6.执行右边的程序框图，若0.95p =，则输出的n= ．6（长宁区2013届高三一模）8、阅读如图所示的程序框图，输出的S 值为._________ 8、21+（崇明县2013届高三一模）7、执行框图，会打印出一列数， 这个数列的第3项是 . 7、30否是输出输入实数结束开始打印A N ←A ←3, N ←1N ≤10 结束开 始 A ←是否第7题图开始结束是否输出S 第16题图S =0 k =1 k >2011k ← k+1（青浦区2013届高三一模）9．如果执行右面的框图，输入4 N ，则输出的数S 等于54．（嘉定区2013届高三一模 文科）6．执行如图所示的程序框图，则输出的a 的 值为_____________．6．37（静安区2013届高三一模 文科）9．（文）请写出如图的算法流程图输出的S 值 .开始结束输出是 否（文）91093；（闵行区2013届高三一模 文科）8．某算法的程序框图如右图，若输出的S 的值为62，则正整数n 的值为 . 8．5；（松江区2013届高三一模文科）17．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有A．1个B．2个C．3个D．4个17．C。

专题三 空间几何汇编2013年3月（松江区2013届高三一模 文科）15．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是 A ．210x y +-= B ．210x y -+= C ．220x y +-= D ．210x y --= 15．D（嘉定区2013届高三一模 文科）16．以下说法错误的是……………………………（ ） A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是),0[πB ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π C ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是),0[πD ．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 16．C（浦东新区2013届高三一模 文科）10．若一个圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 8π 2cm .（黄浦区2013届高三一模 文科）15．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是 （ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形15．A（虹口区2013届高三一模）16、已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）.A 如果21l l ⊥ ，32//l l ．则31l l ⊥． .B 如果21//l l ，32//l l ．则1l 、2l 、3l 共面． .C 如果21l l ⊥ ，32l l ⊥．则31l l ⊥． .D 如果1l 、2l 、3l 共点．则1l 、2l 、3l 共面． 16、A ；（青浦区2013届高三一模）6．若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 π2 ．（奉贤区2013届高三一模）13、（理）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”给出如下定义：若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -， 若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -．已知C 是直线334y x =+上的一个动点，点D 的坐标是（0，1），则点C 与点D 的“非常距离”的最小值是_________．13． 理78（杨浦区2013届高三一模 文科）7. 若圆椎的母线cm 10=l ,母线与旋转轴的夹角030=α,则该圆椎的侧面积为2cm . 7. π50（普陀区2013届高三一模 文科）4. 【文科】正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线C B 1与D C 1所成的角的大小为 .4.【文科】60（嘉定区2013届高三一模 文科）8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的底面积是________． 8．42R π（浦东新区2013届高三一模 文科）12．如图所示，已知一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为23π+ .（金山区2013届高三一模）9．若直线l ：y=kx 经过点)32cos ,32(sin ππP ，则直线l 的倾斜角为α = ． 9．56π（青浦区2013届高三一模）13．正六边形111111F E D C B A 的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形222222F E D C B A ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是439 ．俯视图左视图主视图A BCD 1A 1B 1C 1D （第4题图）杨浦区2013届高三一模 文科）5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 5．2arctan ；（（青浦区2013届高三一模）5．已知：正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积=V 33 ．（虹口区2013届高三一模）10、在A B C ∆中，32=AB ，2=AC 且︒=∠30B ，则A B C ∆的面积等于 ． 10、32或3；（普陀区2013届高三一模 文科）13. 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为 . 13.1:1（松江区2013届高三一模 文科）13．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为11(,)P x y ,22(,)Q x y 两点之间的“折线距离”．则原点)0,0(O 与直线05=-+y x 上一点),(y x P 的“折线距离”的最小值是 ▲ ．13． （杨浦区2013届高三一模 文科）12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中4AE =米，6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上. 则矩形BNPM 面积的最大值为____ 平方米 . 12． 48；（崇明县2013届高三一模）3、过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线方程是 . 3、+=0x y（长宁区2013届高三一模）17、已知m ，n 是两条不同直线，βα,是两个不同平面，下列（第13题图） SB AC EHG FA MEPDCBNF命题中的假命题的是（ ）A.βαβα//,,则若⊥⊥m mB.αα⊥⊥n m n m 则若,,//C.n m n m //,,//则若=βααD.βαβα⊥⊂⊥则若,,m m17、C（闵行区2013届高三一模 文科）12． (文)已知△ABC 的面积为1，在△ABC 所在的平面内有两点P Q 、，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=，则△APQ 的面积为 ．12．文13； （宝山区2013届期末）12.已知半径为R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3Rπ，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R= ．（青浦区2013届高三一模）11．已知01c os s i n 2=-+θθa a 与01cos sin 2=-+θθb b (b a ≠)．直线MN 过点),(2a a M 与点),(2b b N ，则坐标原点到直线MN 的距离是 1 ．（长宁区2013届高三一模）11、（理）我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S 、周长c 与内切圆半径r 之间的关系为cr S 21=。

专题九 复数2013年2月（黄浦区2013届高三一模 理科）16．若cos isin z θθ=+（R θ∈，i 是虚数单位），则|22i |z --的最小值是 （ ）A ．22B ．2C ．122+D ．122-16．D（青浦区2013届高三一模）17．已知复数i z 210+=在复平面上对应点为0P ，则0P 关于直线zi z l =--22:的对称点的复数表示是……………………………………………………………………………（ .B ）．A .i - .B iC .i -1D .i +1（崇明县2013届高三一模）16、下面是关于复数21z i=-+的四个命题： ①2z =； ②22z i =； ③z 的共轭复数为1i +； ④z 的虚部为1-．其中正确的命题……………………………………………………………………………（ ）A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④16、C（金山区2013届高三一模）6．若复数(1+2i)(1+a i)是纯虚数，(i 为虚数单位)，则实数a 的值是 ．6．21（崇明县2013届高三一模）1、设复数(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z = . 1、3+5i（宝山区2013届期末） 1.在复数范围内，方程210x x ++=的根是．12-± （宝山区2013届期末）4.已知复数(2)x yi -+(,x y R ∈)的模为,则yx的最大值是 . 3（长宁区2013届高三一模）6、（理）已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若10110i 0zz z =（i 是虚数单位），则z = ． 6、（理）0，i -（杨浦区2013届高三一模 理科）2．若复数iiz -=1 (i 为虚数单位) ，则=z . 2．2；（松江区2013届高三一模 理科）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知z C ∈，且满足2()52z z z i i ++=+． （1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求证：w 1≥．20．解：（1）设(,)z a bi a b R =+∈，则222z a b =+，()2z z i ai += …………2分 由22252a b ai i ++=+得22522a b a ⎧+=⎨=⎩……………………………4分解得12a b =⎧⎨=⎩ 或 12a b =⎧⎨=-⎩……………………………… 5分∴12z i =+或12z i =-……………………………… 7分 （2）当12z i =+时，(12)2w zi m i i m i m =+=++=-++=1≥…………………… 10分当12z i =-时，(12)2w zi m i i m i m =+=-+=++=1≥………………………13分∴w 1≥ ……………………………14分 （浦东新区2013届高三一模 理科）21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知复数122sin ,1(2cos )z z i θθ==+，[,]32ππθ∈.（1）若12z z ⋅为实数，求角θ的值；（2）若复数12,z z 对应的向量分别是,a b ，存在θ使等式()()0a b a b λλ→→→→+⋅+=成立， 求实数λ的取值范围. 解：（1）[]i i z z )cos 2(1)3sin 2(21θθ+-=⋅(2sin )(2sin 2i R θθθ=++∈， (2)分232sin =∴θ，……………………………………………………………………4分 又πθπ≤≤232，πθ322=∴，即3πθ=.……………………………………6分（2）228a b +=，………………………………………………………………………8分2sin a b θθ⋅=-，………………………………………………………10分)()(→→→→+⋅+b a b a λλ0)1()(222=⋅+++=→→→→b a b a λλ.得0)cos 32sin 2)(1(82=-++θθλλ，整理得)3sin(122πθλλ--=+.……12分 因为]6,0[3ππθ∈-，所以]21,0[)3sin(∈-πθ. 只要012212≤+≤-λλ即可，………………13分解得32--≤λ或032≤≤+-λ.……………………………………………14分（嘉定区2013届高三一模 理科）19．（本题满分12分）设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin 4(22θθ，其中R ∈a ，),0(πθ∈，i 为虚数单位．若z 是方程0222=+-x x 的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值．19．（本题满分12分）方程0222=+-x x 的根为i x ±=1．………………（3分）因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以i z +=1，………………（5分）所以⎩⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ，解得21cos -=θ，因为),0(πθ∈，所以32πθ=，……（8分）所以43sin 2=θ，所以4sin 4122=+=θa ，故2±=a ．…………（11分）所以3πθ2=，2±=a ．…………（12分）。

宝山区22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分． 设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程； (2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =，当焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积； (3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．崇明县23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．徐汇区22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F，点(1,-在椭圆C 上，点T满足2OT OF =（其中O 为坐标原点）, 过点F 作一斜率为(0)k k >的直线交椭圆于P 、Q 两点(其中P 点在x 轴上方，Q 点在x 轴下方) .(1)求椭圆C 的方程；(2)若1k =，求PQT ∆的面积；(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q '与QT 的位置关系，并说明理由.松江区22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分对于双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>，定义1:C 22221x y a b+=为其伴随曲线，记双曲线C 的左、右顶点为A 、B .（1）当a b >时，记双曲线C 的半焦距为c ，其伴随椭圆1C 的半焦距为1c ，若12c c =，求双曲线C 的渐近线方程；（2）若双曲线C 的方程为221x y -=，过点(M 且与C 的伴随曲线相切的直线l 交曲线C 于1N 、2N 两点，求12ON N ∆的面积（O 为坐标原点）（3）若双曲线C 的方程为22142x y -=，弦PQ ⊥x 轴，记直线PA 与直线QB 的交点为M ，求动点M 的轨迹方程.金山区22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点．(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若22QB PB ，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t ∈，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．青浦区22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分,第3小题满分2分.设直线0,11≠+=p p x k y L ：交椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：于D C 、两点，交直线x k y L 22=：于点E ．（1）若E 为CD 的中点，求证:2221ab k k -=⋅；（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真； （3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．静安区22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．已知椭圆12222=+by a x 的两个焦点为)0,(1c F -、)0,(2c F ，2c 是2a 与2b 的等差中项，其中a 、b 、c 都是正数，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23． （1）求椭圆的方程；（2）过点A 作直线交椭圆于另一点M ，求AM 长度的最大值；（3）已知定点)0,1(-E ，直线t kx y +=与椭圆交于C 、D 相异两点．证明：对任意的0>t ，都存在实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．黄浦区22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O 的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到点F （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）过椭圆C 的“准圆”与y 轴正半轴的交点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，求12,l l 的方程；（3）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围．。

专题十二 应用题2013年2月（杨浦区2013届高三一模 理科）12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀， 其中4AE =米，6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上. 则矩形BNPM 面积的最大值为____ 平方米 . 12． 48；（松江区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）。

（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．21．解：（1）由题意：当04x <≤时，()2v x =； …………………………2分 当420x <≤时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[4,20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………………………4分故函数()x v =**2,04,15,420,82x x N x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ …………………………6分 （2）依题意并由（1）可得()=x f *2*2,04,15,420,.82x x x N x x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩………8分 当04x ≤≤时，()x f 为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=； …………10分当420x ≤≤时，()22221511100(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+，()max (10)12.5f x f ==． …………………………12分所以，当020x <≤时，()x f 的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．（浦东新区2013届高三一模 理科）20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形AMPN 健身场地，如图点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知 60=∠ACB 且30||=AC 米，=AM x ，]20,10[∈x . （1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围； （2）设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为Sk37，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪， 每平方米的造价为Sk12（k 为正常数），求总造价T 关于S 的函数)(S f T =； 试问如何选取||AM 的长使总造价T 最低（不要求求出最低造价）. 解：（1）在PMC Rt ∆中，显然x MC -=30||， 60=∠PCM ，∴)30(3tan ||||x PCM MC PM -=∠⋅=，………………2分矩形AMPN 的面积)30(3||||x x MC PM S -=⋅=，[10,20]x ∈…4分于是32253200≤≤S 为所求.……………………………6分（2） 矩形AMPN 健身场地造价=1T S k 37 ……………………7分 又ABC ∆的面积为3450，即草坪造价=2T )3450(12S Sk-，……………8分 由总造价21T T T +=，∴)3216(25SS k T +=，32253200≤≤S .…10分 36123216≥+SS ，……………………………………………………11分 当且仅当SS 3216=即3216=S 时等号成立，……………………………12分 此时3216)30(3=-x x ，解得12=x 或18=x ，所以选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.………………………14分NNPMDCBANPM D C BA （黄浦区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，ABCD 是一个矩形花坛，其中AB = 6米，AD = 4米．现将矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点， 且矩形AMPN 的面积小于150平方米．（1）设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试用解析式将S 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）由△NDC ∽△NAM ，可得DN DCNA AM=， ∴46x x AM -=，即64x AM x =-，……………………3分 故264x S AN AM x =⋅=-， ………………………5分由261504x S x =<-且4x >，可得2251000x x -+<，解得520x <<，故所求函数的解析式为264x S x =-，定义域为(5,20)． …………………………………8分（2）令4x t -=，则由(5,20)x ∈，可得(1,16)t ∈，故2266(4)166(8)4x t S t x t t +===++- …………………………10分8)96≥=， …………………………12分当且仅当16t t=，即4t =时96S =．又4(1,16)∈，故当4t =时，S 取最小值96．故当AN 的长为8时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为96平方米． …………14分（长宁区2013届高三一模）21、（本题满分14分）（理）经过统计分析，公路上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当公路上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (1)当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过公路上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）（文）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x 表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x 元，又该厂职工工资固定支出12500元。

专题十 极限与坐标汇编2013年3月（闸北区2013届高三一模 文科）3．设{}n a 是公比为21的等比数列，且4)(lim 12531=+⋅⋅⋅+++-∞→n n a a a a ，则=1a ．3．3；（松江区2013届高三一模 文科）1．223lim 2n n nn n →∞+=- ▲ ．1． 21（普陀区2013届高三一模 文科）17. 已知0>a ,0>b ,若11lim 5n n n n n a b a b++→∞-=-，则b a +的值不可能．．．是………………（ ） （A ）7. （B ）8. （C ）9. （D ）10.17. D（长宁区2013届高三一模）1、计算：22342lim (21)n n n n →∞+-+= 1、43（金山区2013届高三一模）4．计算极限：2222lim()1n n n n →∞-++= ． 4．2 （浦东新区2013届高三一模 文科）8．已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=， 则lim n n S →∞的值为 163.（宝山区2013届期末）3.设(2,3),(1,5)A B -，且3AD AB =，则点D 的坐标是__________(7,9)-；（嘉定区2013届高三一模 文科）11．已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,11n A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+n B 22,0，⎪⎭⎫⎝⎛++n n C 23,12，其中n 为正整数，设n S 表示△ABC 的面积，则=∞→n n S lim ___________．11．25（静安区2013届高三一模 文科）6．（文）设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤+,40,30,1223,5y x y x y x 使目标函数y x z 56+=的值最大的点),(y x 坐标是 . 6．（文）)3,2(（普陀区2013届高三一模 文科）23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.【文科】在平面直角坐标系xOy 中，点n A 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=OB ，且)0,)32(3(1n n n B B ⋅=+，其中*n N ∈．（1）求2OA 的坐标，并证明．．点n A 在直线1y x =+上； （2）记四边形11n n n n A B B A ++的面积为n a ，求n a 的表达式；（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的正整数P ，使得对任意*n N ∈都有Pa n <成立？若存在，求P 的值；若不存在，请说明理由．23.【解】（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈………2分(若学生写出的答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π的非空子集，扣1分，以示区别。

2013届高中数学·一模汇编（专题：解析几何）2013届高中数学·一模汇编 解析几何一、填空题1.（2013年上海宝山区理科一模5）不等式37922x -≤的解集是 _____________ 2. （2013年上海宝山区理科一模13）我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质． ①_____________________；②_______________________．3. （2013年上海崇明区一模3）过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线方程是4. （2013年上海崇明区一模17）等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，43AB =，则双曲线C 的实轴长等于5. （2013年上海奉贤区一模4）设直线1l ：02=+y ax 的方向向量是1d ，直线l 2 ：()041=+++y a x 的法向量是2n ，若1d 与2n 平行，则=a _________6. （2013年上海奉贤区一模13）【理】在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常 距离”给出如下定义：若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -，若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -．已知C 是直线334y x =+上的一个动点，点D 的坐标是（0，1），则点C 与 点D 的“非常距离”的最小值是_________7. （2013年上海奉贤区一模14）【文】椭圆()01342222>=+a ay a x 的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是_________．8. （2013年上海虹口区一模4）双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于 9. （2013年上海虹口区一模14）设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于 ．10. （2013年上海闸北区一模4）设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B ，则AFB ∆的面积为11. （2013年上海闸北区一模7）已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 ．12. （2013年上海杨浦区一模3）抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为13. （2013年上海杨浦区一模5）若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 ．14. （2013年上海杨浦区一模7） 若圆锥的母线10l cm =,母线与旋转轴的夹角30α=，则该圆椎的侧面积为2cm15. （2013年上海杨浦区一模9）（文）若直线l 过点()1,1-，且与圆221x y +=相切，则直线l 的方程为 ． 16. （2013年上海杨浦区一模11）若函数()(32)1x a f x log =-+ (1,0≠>a a )的图像过定点P ，点Q 在曲线022=--y x 上运动,则线段PQ 中点M 轨迹方程是17. （2013年上海杨浦区一模14）（理）在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y 23+=与圆222n y x =+相切，其中m 、n N ∈*，10≤-<n m ．若函数()n m x f x -=+1的零点()1,0+∈k k x ，Z k ∈,则=k18. （2013年上海徐汇区一模4）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则实数p 的值是__________19. （2013年上海徐汇区一模6）【理】若(1,2)n =-是直线l 的一个法向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________20. （2013年上海松江区一模7）抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 21. （2013年上海松江区一模14）理：定义变换T 将平面内的点(,)(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点(,)Q x y ．若曲线0:1(0,0)42x yC x y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与x 、y 轴正半轴的交点为(,0)n n A a 和(0,)n n B b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质：①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称； ②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点(0,2)；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部，其中n D 的坐标为(,)n n n D a b ； ④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则lim 1n n S →∞=其中所有正确结论的序号是22. （2013年上海青浦区一模3）抛物线22x y =的焦点坐标是___________23. （2013年上海青浦区一模11）已知01cos sin 2=-+θθa a 与01cos sin 2=-+θθb b (b a ≠)． 直线MN 过点),(2a a M 与点),(2b b N ，则坐标原点到直线MN 的距离是___________24. （2013年上海普陀区一模12）【理科】 若)0,3(-C 、)0,3(D ，M 是椭圆2214x y +=上的动点，则11MC MD+的最小值为 .25. （2013年上海闵行区一模4）已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是 .26. （2013年上海静安区一模3）【理】两条直线0943:1=+-y x l 和03125:2=-+y x l 的夹角大小为 ．27（2013年上海静安区一模5）【理】设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是28. （2013年上海静安区一模8）【理】已知曲线C 的极坐标方程为θρsin 4=．若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+⋅=⋅=23,2t y t x （t 为参数），则此直线l 被曲线C 截得的线段长度为29. （2013年上海静安区一模11）【理】机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海宝”从圆心O 出发，先沿北偏西1312arcsin方向行走13米至点A 处，再沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点B 、C 都在圆O 上．则在以圆心O 为坐标原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向的直角坐标系中圆O 的方程为30.（2013年上海静安区一模12）【理】过定点)0,4(F 作直线l 交y 轴于Q 点，过Q 点作QT FQ ⊥交x 轴于T 点，延长TQ 至P 点，使QP TQ =，则P 点的轨迹方程是31. （2013年上海静安区一模13）【理】已知直线0)1(4)1()1(=+-++-a y a x a （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数xx y 1+=的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是 32（2013年上海金山区一模9）若直线:=l y kx 经过点22(,)33P sin cos ππ，则直线l 的倾斜角为α= 33. （2013年上海金山区一模11）双曲线222:=C x y a -的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线2=16y x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为34. （2013年上海金山区一模14）若实数a 、b 、c 成等差数列，点()1,0P -在动直线:++=0l ax by c 上的射影为M ，点()0,3N ，则线段MN 长度的最小值是35. （2013年上海嘉定区一模9）动点P ),(y x 到点)1,0(F 的距离与它到直线01=+y 的距离相等，则动点P 的轨迹方程为___________OBC北南ANS理第11题（理）点M 是曲线1212+=x y 上的一个动点，且点M 为线段OP 的中点，则动点P 的轨迹方程为__________ 36. （2013年上海黄埔区一模5）若双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线过点P (1, 2)，则b 的值为37. （2013年上海黄埔区一模文7理4）已知直线1l ：20x ay ++=和2l ：(2)360a x y a -++=，则1l ∥2l 的充要条件是a =38. （2013年上海黄埔区一模13）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m (m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为39. （2013年上海黄埔区一模11）理．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF 的距离为d ，则d 的值为40. （2013年上海黄埔区一模13）（理）已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 是双曲线C 的中心，直线y =mx 是双曲线C 的一条渐近线．以线段OF 为边作正三角形MOF ，若点M 在双曲线C 上，则m 的值为二、选择题1．（2013年上海闸北区一模11）【理】曲线)0(0622>=-+y x y x 与直线)2(+=x k y 有公共点的充要条件是（ ） A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈0,43k ； B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∈34,0k ； C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∈43,0k ； D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈43,43k ．2. （2013年上海杨浦区一模17）若1F 、2F 为双曲线C : 1422=-y x 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠21PF F =︒60，则P 到x 轴的距离为（ ）A ．55； B ．155； C ．2155； D ．1520． 3. （2013年上海徐汇区一模18）【理】对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y (不是原点),A 的“对偶点”B 是指： 满足1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 若,,,P Q R S 是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”'''',,,P Q R S （ ）A ．一定共线；B ．一定共圆；C ．要么共线，要么共圆；D ．既不共线，也不共圆．4. （2013年上海松江区一模15）过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ）A ．210x y +-=；B ．210x y -+=；C ．220x y +-=；D ．210x y --=．4. （2013年上海青浦区一模15）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）A . x y 2±=；B ．x y 2±=；C . x y 21±=； D . x y 22±=. 6. （2013年上海普陀区一模16）【理科】双曲线22221x y a b λλ+=--（22b a >>λ）的焦点坐标为（ ） A ．)0,(22b a +±； B ．)0,(22b a -±；C ．)0,2(22λ-+±b a ；D ．),0(22b a +±.7. （2013年上海嘉定区一模16）以下说法错误的是（ ）A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是),0[πB ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0πC ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是),0[πD ．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π8. （2013年上海嘉定区一模17）（理）在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ，cby ax cby ax ++++=2211δ．有四个命题：①存在实数δ，使点N 在直线l 上；②若1=δ，则过M 、N 两点的直线与直线l 平行；③若1-=δ，则直线l 经过线段MN 的中点；④若1>δ，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交．上述命题中，全部真命题的序号是（ ）A ．① ② ③；B ．② ③ ④；C ．① ③ ④；D ．① ② ③ ④．三、解答题1. （2013年上海宝山区理科一模22）设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程； (2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =，当焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积； (3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．2. （2013年上海宝山区理科一模23）（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，△2ABF 的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究： ① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．yxABOF 1F 2PMOyx3. （2013年上海奉贤区理科一模21）某海域有A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处。

专题十七 二项式定理汇编2013年3月（闸北区2013届高三一模 文科）2．已知52)1(px +的展开式中，6x 的系数为80，则=p ． 2．2；（普陀区2013届高三一模 文科）8. 在2101(2)x x+的二项展开式中，常数项等于 . 8.180（浦东新区2013届高三一模 文科）11．二项式12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝的展开式前三项系数成等差数列，则n = 8 .（松江区2013届高三一模 文科）11．若二项式7()+x a 展开式中5x 项的系数是7，则)(lim 242n n a a a +++∞→ = ▲ ．．11．21（闵行区2013届高三一模 文科）6． （文）若二项式()21nx +展开式的各项系数的和为64，则其展开式的所有二项式系数中最大的是 . (用数字作答) 6．20；（黄浦区2013届高三一模 文科）8．91()x x+的展开式中5x 的系数是 （用数字作答）．8．36；（宝山区2013届期末）9．二项式103)1(xx -展开式中的常数项是 (用具体数值表示) 210)1(6106=-C （长宁区2013届高三一模）4、8)2(x -展开式中含4x 项的系数为 . 4、1 （崇明县2013届高三一模）6、251()x x-展开式中4x 的系数是 .（用数字作答）6、10（金山区2013届高三一模）7．在62()x x-的二项展开式中，常数项等于 ．(用数值表示) 7．–160（杨浦区2013届高三一模 文科）6. 若7)(a x +的二项展开式中，5x 的系数为7，则实数=a ．6.33±；。

嘉定区22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且34135=+a a ,93=S ．数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T -=1．（1）求数列}{n a 的通项公式；(2)写出一个正整数m ,使得91+m a 是数列}{n b 的项； （3)设数列}{n c 的通项公式为ta a c n n n +=，问：是否存在正整数t 和k （3≥k ）,使得1c ，2c ，k c 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(k t ；若不存在,请说明理由．奉贤区22、等比数列．．．．{}n c 满足11410-+⋅=+n n n c c ，*N n ∈，数列{}n a 满足n a n c 2=（1）求{}n a 的通项公式；（5分）（2)数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅,n T 为数列{}n b 的前n 项和．求n n T ∞→lim ；（5分） (3）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列?若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．（6分）徐汇区23．(本题满分18分） 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为是原来数列的一个子数列。

某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为1a ,公差为d 的无穷等差数列{}n a 的子数列问题，为此，他取了其中第一项1a ，第三项3a 和第五项5a .（1） 若135,,a a a 成等比数列，求d 的值；（2） 在11a =， 3d =的无穷等差数列{}n a 中，是否存在无穷子数列{}n b ，使得数列{}n b 为等比数列？若存在,请给出数列{}n b 的通项公式并证明；若不存在，说明理由；(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数a ,公比为正整数q （1q >)的无穷等比数 列{}n c ,总可以找到一个子数列{}n d ,使得{}n d 构成等差数列”。

2a 2绝密★启用前2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）考生注意（满分 150 分，考试时间 120 分钟）1. 本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4. 用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题1. 计算： lim n + 20=n →∞3n +132. 设m ∈ R ， m 2 + m - 2 + (m 2 -1)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则m =x 2 3.若 y =x x ，则 x + y = -1 1 y - y4. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为 a 、b 、c ，若3a 2 + 2ab + 3b 2 - 3c 2 = 0 ，则角C 的大小是（结果用反三角函数值表示）5. 设常数a ∈ R ，若⎛x 2 + ⎝a ⎫5⎪ ⎭ 的二项展开式中 x 7 项的系数为-10 ，则a = ．6. 方程 3 + 1 = 3x -1的实数解为3x -1 37.在极坐标系中，曲线 ρ = cos θ +1与 ρ cos θ = 1的公共点到极点的距离为．8. 盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）9. 设 AB 是椭圆Γ 的长轴，点 C 在Γ 上，且∠CBA =π，若 AB=4， BC = ，则Γ 的4两个焦点之间的距离为10 ．设非零常数 d 是等差数列 x 1 , x 2 , x 3 ,x 1 , x 2 , x 3 , , x 19 ，则方差 D ξ =的公差，随机变量 ξ 等可能地取值11. 若cos x cos y + sin x sin y =1 , s in 2x + sin2 y = 2，则sin(x + y ) = ．2 3212. 设a 为实常数， y = f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x < 0 时， f (x ) = 9x + + 7 ， x若 f (x ) ≥ a +1对一切 x ≥ 0 成立，则a 的取值范围为13. 在 xOy 平面上，将两个半圆弧(x -1)2 + y 2 = 1(x ≥ 1)和 (x - 3)2 + y 2 = 1(x ≥ 3) 、两条直线 y = 1和 y = -1围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成, x 19 xn n 的几何体为Ω ，过(0, y )(| y |≤ 1) 作Ω 的水平截面，所得截面面积为 4π 利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω 的体积值为+ 8π ，试14. 对区间 I 上有定义的函数 g (x ) ，记 g (I ) = {y | y = g (x ), x ∈ I }，已知定义域为[0, 3]的函数 y = f (x ) 有反函数 y = f -1(x ) ，且 f -1([0,1)) = [1, 2), f -1((2, 4]) = [0,1) ， 若方程 f (x ) - x = 0 有解 x 0 ，则 x 0 =二、选择题15. 设常数a ∈ R ，集合 A = {x | (x -1)(x - a ) ≥ 0}, B = {x | x ≥ a -1} ，若 A ⋃ B = R ，则 a 的取值范围为（ ）(A) (-∞, 2) [2, +∞)(B) (-∞, 2] (C) (2, +∞) (D)16. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件(B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件17.在数列{a } 中， a = 2n -1 ，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素a i , j = a i ⋅ a j + a i + a j ，（数为（ ） i = 1, 2, , 7; j = 1, 2, ,12 ）则该矩阵元素能取到的不同数值的个(A)18 (B)28 (C)48 (D)6318. 在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1, d 2 , d 3 , d 4 , d 5 .若m , M 分别 为 (a i + a j + a k ) ⋅ (d r + d s + d t )的 最 小 值 、 最 大 值 ， 其 中{i , j , k } ⊆ {1, 2, 3, 4, 5},{r , s , t } ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} ,则m , M 满足（ ）. (A) m = 0, M > 0 (B) m < 0, M > 0 (C) m < 0, M = 0 (D) m < 0, M < 0三、解答题19.（本题满分 12 分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线 BC 1 平行于平面 DA 1C ，并求直线 BC 1 到平面D 1AC 的距离.D C ABC 1D 1A 1B 120．（6 分+8 分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1 ≤ x ≤ 10 ），每小时可获得利润是100(5x +1- 3) 元.x(1) 要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围；(2) 要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.1- y 2 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 521．（6 分+8 分）已知函数 f (x ) = 2 s in(ω x ) ，其中常数ω > 0 ；（1） 若 y = f (x ) 在[-π , 2π] 上单调递增，求ω 的取值范围；4 3（2） 令ω = 2 ，将函数 y = f (x ) 的图像向左平移 π个单位，再向上平移 1 个单位，得到函6数 y = g (x ) 的图像，区间[a , b ] （ a , b ∈ R 且a < b ）满足： y = g (x ) 在[a , b ] 上至少含有 30 个零点，在所有满足上述条件的[a , b ] 中，求b - a 的最小值．n x 2 222 ．（ 3 分+5 分+8 分） 如图，已知曲线 C 1 : 2- y = 1 ， 曲线C 2 :| y |=| x | +1，P 是平面上一点，若存在过点 P 的直线与C 1 , C 2 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2 型点”．(1) 在正确证明C 1 的左焦点是“C 1—C 2 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2) 设直线 y = kx 与C 2 有公共点，求证| k |> 1，进而证明原点不是“C 1 —C 2 型点”；(3) 求证：圆 x 2 + y 2 =1内的点都不是“C 1—C 2 型点”．223．（3 分+6 分+9 分）给定常数 c > 0 ，定义函数 f (x ) = 2 | x + c + 4 | - | x + c | ，数列a 1 , a 2 , a 3 , 满足a n +1 = f (a ), n ∈ N * . （1） 若a = -c - 2 ，求a 及 a ；（2）求证：对任意n ∈ N *, a- a ≥ c ，；123n +1n（3） 是否存在a 1 ，使得a 1, a 2 ,在，说明理由.成等差数列？若存在，求出所有这样的a 1 ，若不存a n ,2一． 填空题2013 年 上海 高考理科数学（参考答案）1. 12. －23. 04. π - arccos 15. －26. log 47.1+ 5 8.3 13 189.4 6 310. 30d ² 11. 2 312. 3a ≤- 8 713.2π 2+16π3214. 2题号 15 16 17 18 代号BBAD三． 解答题19. 【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1 为长方体，故 AB // C 1D 1 , AB = C 1D 1 ，故 ABC 1D 1 为平行四边形，故 BC 1 // AD 1 ，显然 B 不在平面 D 1AC 上，于是直线 BC 1 平行于平面DA 1C ；直线 BC 1 到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h11 1考虑三棱锥 ABCD 1 的体积，以ABC 为底面，可得V = ⨯( ⨯1⨯ 2) ⨯1 =而∆AD C 中， AC = D C = 5, AD= ，故 S 3 2 3 = 3 1 1 11 3 1 2∆AD 1C22 所以，V = ⨯ ⨯ h = ⇒ h = ，即直线 BC 1 到平面 D 1AC 的距离为 ．3 2 3 3 320. 【解答】(1)根据题意， 200(5x +1-3) ≥ 3000 ⇒ 5x -14 - 3≥ 0 x x又1 ≤ x ≤ 10 ，可解得3 ≤ x ≤ 10(2)设利润为 y 元，则 y = 900 ⋅100(5x +1- 3) = 9⨯104[-3( 1 - 1)2 + 61x x x 故 x = 6 时， y max = 457500 元．21. 【解答】(1)因为ω > 0 ，根据题意有⎧- πω ≥ - π 6 12⎪ 4 2⇒ 0 < ω ≤ 3 ⎨2π π 4 ⎪ ω ≤ ⎪⎩ 3 2(2)f (x ) = 2 sin(2x ) ，g (x ) = 2sin(2(x + π )) +1 = 2sin(2x + π) +1 6 3π 1 π 7g (x ) = 0 ⇒ sin(2x + ) = - ⇒ x = k π - 或 x = k π - 3 2 3 12π , k ∈ Z ，]k 2 + 1 ⎩⎪ 即 g (x ) 的零点相离间隔依次为 π 和2π ，33故若 y = g (x ) 在[a , b ] 上至少含有 30 个零点，则 b - a 的最小值为2π π 43π14⨯+15⨯= ．3 3 323. 【解答】：（1）C 1 的左焦点为 F (- 3, 0) ，过 F 的直线 x = - 3 与C 1 交于(- 3, ±2) ， 2与 C 2 交于(- 3, ±( +1)) ，故 C 1 的左焦点为“C 1-C 2 型点”，且直线可以 为 x = - 3 ；（2） 直线 y = kx 与 C 2 有交点，则⎧ y = kx ⎨⇒ (| k | -1) | x |= 1，若方程组有解，则必须| k |> 1； ⎩| y |=| x | +1直线 y = kx 与 C 2 有交点，则 ⎧ y = kx 2 2 21 ⎨x2 - 2 y 2= 2 ⇒ (1- 2k )x = 2 ，若方程组有解，则必须k < 2 故直线 y = kx 至多与曲线C 1 和 C 2 中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2 型点”。

2013年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考试注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。

2.本试卷共有31道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答。

一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。

1. 函数2log (2)y x =+的定义域是2. 方程28x=的解是 3. 抛物线28y x =的准线方程是 4. 函数2sin y x =的最小正周期是5. 已知向量(1 )a k =，，(9 6)b k =- ，。

若//a b ，则实数 k = 6. 函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 7. 复数23i +（i 是虚数单位）的模是8. 在ABC ∆中，角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B ===，，，则b= 9. 在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为 10. 从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的 概率为 （结果用数值表示）。

11. 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S 12. 36的所有正约数之和可按如下方法得到： 因为2236=23⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，D 1C 1B 1A 1D C AB选对得3分，否则一律得0分。

13.展开式为ad-bc 的行列式是（ ）（A ）a bd c (B)acb d(C)a d bc(D)b a dc14.设-1()f x为函数()f x = ）(A) 1(2)2f-= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f-= (D) 1(4)4f -=15.直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）(A) (2 3)-， (B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16函数12()f x x-=的大致图像是（）17.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） (A)11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b-<- 18.若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（ ） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称 19. 10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）（A ）45x （B ）290x （C ） 3120x （D ）4252x 20.既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（ ）（A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ） （A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22.设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（ ） （A ）u Z N ð （B ）u N N ð （C ）()u u ∅痧 （D ）{0}u ð23.已知 a b c R ∈、、，“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 24.已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）（A ）圆 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编1：集合姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）若集合},4|{2R y x y x A ∈==,1{|0}2x B x x-=≥+,则A B = A . [0,1]. B .(2,1]-. C . (2,)-+∞. D . [1,)+∞.2 ．（2013届浦东二模卷理科题）从集合{}2013,,4,3,2,1 中任取3个元素组成一个集合A ,记A 中所有元素之和被3除余数为i 的概率为)20(≤≤i P i ,则210,,P P P 的大小关系为[来源:学.科.网Z.X.X.K]210)(P P P A == 210)(P P P B =>210)(P P P C =< 210)(P P P D >>二、填空题 3 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））已知全集R U =,集合{}0322>--=x x x A ,则=A C U _____________.4 ．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）已知全集{12345}U =，，，，,集合2{|320}A x x x =-+=,{|2}B x x a a A ==∈，,则集合()U A B ð=_______.[来源:学科网]5 ．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)已知集合{}{}331,,0,1<<=-=x x B a A ,若A B ≠∅,则实数a 的取值范围是____.[来源:学.科.网Z.X.X.K]6 ．（2013届浦东二模卷理科题）已知集合A ={}2,1,2-,B =}1,a ,且B A ⊆,则实数a 的值是_______.7 ．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）已知集合{}2|4,M x x x =<∈R ,{}2|log 0N x x =>,则集合M N =I ________.上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编1：集合参考答案一、选择题1. A2. B [来源:学科网]二、填空题[-;3. ]3,14. {3,5}5. )1,0(6. 11,2;7. ()。

专题三 解析几何2013年2月（杨浦区2013届高三一模 理科）17．若1F 、2F 为双曲线C : 1422=-y x 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠21PF F =︒60，则P 到x 轴的距离为 ………（ ）)(A． )(B ． )(C ． )(D ． 17．)(B ；（青浦区2013届高三一模）15．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（ D ）．A . x y 2±= .B x y 2±=C . x y 21±= D . x y 22±=（嘉定区2013届高三一模 理科）9．点M 是曲线1212+=x y 上的一个动点，且点M 为线段OP 的中点，则动点P 的轨迹方程为__________________． 9．2412+=x y （崇明县2013届高三一模）17、等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，AB =，则双曲线C 的实轴长等于……………………………………………………………………（ ）AB ．C ．4D ．817、C（黄浦区2013届高三一模 理科）13．已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 是双曲线C 的中心，直线y =是双曲线C 的一条渐近线．以线段OF 为边作正三角形MOF ，若点M 在双曲线C上，则m 的值为 ． 13．3+；（松江区2013届高三一模 理科）7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 ▲ 7．24y x =（虹口区2013届高三一模）14、设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于 ． 14、427； （松江区2013届高三一模 理科）14．定义变换T 将平面内的点(,)(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点Q ．若曲线0:1(0,0)42x yC x y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C L ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与x 、y 轴正半轴的交点为(,0)n n A a 和(0,)n n B b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质： ①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称； ②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点(0,2)；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部，其中n D 的坐标为(,)n n n D a b ；④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则lim 1n n S →∞=其中所有正确结论的序号是 ▲ ． 14． ③④（杨浦区2013届高三一模 理科）3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 . 3．2；（黄浦区2013届高三一模 理科）11．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF 的距离为d ，则d 的值为 ．11．165；（奉贤区2013届高三一模）13、（文）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为____________．文4（青浦区2013届高三一模）3．抛物线22x y =的焦点坐标是____)81,0( ．（奉贤区2013届高三一模）14、（文）椭圆()01342222>=+a ay a x 的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________． 文23a（杨浦区2013届高三一模 理科）5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 5．2arctan ；（金山区2013届高三一模）11．双曲线C ：x 2 – y 2 = a 2的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为__________．11．14422=-y x（虹口区2013届高三一模）4、双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于 ． 4、3π；（嘉定区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）经过)1,1(与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,26两点，过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MB MA =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：222||2||1||1OM OB OA ++21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）将)1,1(与⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,26代入椭圆C 的方程，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+143231112222b ab a ，…………（2分） 解得32=a ，232=b ．…………（5分）所以椭圆C 的方程为132322=+y x ．…………（6分）（2）由||||MB MA =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．①若点A 、B 在椭圆的短轴顶点上，则点M 在椭圆的长轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b a a b b OM OB OA ．……（1分） 同理，若点A 、B 在椭圆的长轴顶点上，则点M 在椭圆的短轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b ab a a OM OB OA ．……（2分） ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为kx y =（0≠k ）， 则直线OM 的方程为x ky 1-=．设),(11y x A ，),(22y x M ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=132322y x kx y ，解得221213k x +=，2221213k k y +=，……（4分） 所以2221212221)1(3||||k k y x OB OA ++=+==，同理可得2222)1(3||kk OM ++=， 所以2)1(3)2(2)1(321)1(321||2||1||1222222222=++++++++=++k k k k k k OM OB OA ．……（7分） 综上，222||2||1||1OM OB OA ++为定值2．…………（8分）（黄浦区2013届高三一模 理科）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O C的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到点F ． （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅u u u r u u u r的取值范围；（3）在椭圆C 的“准圆”上任取一点P ，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断12,l l 是否垂直？并说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解：（1）由题意知c =a ==，可得1b =，故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”方程为224x y +=． ………………4分（2）由题意，可设(,),(,)B m n D m n -(m <<，则有2213m n +=，又A 点坐标为(2,0)，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--u u u r u u u r， 故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--u u u r u u u r2244343()332m m m =-+=-, …………………………8分又m <<，故243()[0,732m -∈+，所以AB AD ⋅u u u r u u u r的取值范围是[0,7+． …………………………10分（3）设(,)P s t ，则224s t +=．当s =时，1t =±，则12,l l 其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有12l l ⊥．当s ≠(,)P s t 且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ， 则l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得223[()]3x kx t ks ++-=，即222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，由222236()4(31)[3()3]0k t ks k t ks ∆=--+--=， …………………………13分 可得222(3)210s k stk t -++-=，其中230s -≠， 设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是上述方程的两个根，故22122211(4)133t s k k s s ---===---，即12l l ⊥．综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有12l l ⊥． …… …………………………16分（虹口区2013届高三一模）21、（本题满分14分）已知圆:O 422=+y x ． （1）直线1l ：0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ； （2）如图，设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．21、（14分）解：（1）圆心)0,0(O 到直线0323=-+y x 的距离3=d ．圆的半径2=r ，∴2222=-=d r AB ．………………4分 （2）),(11y x M ，),(22y x P ，则),(111y x M --，),(112y x M -，42121=+y x ，42222=+y x ．………………8分1PM ：))(())((212212y y x x x x y y -+=-+，得121221x x y x y x m +-=．2PM ：))(())((212212y y x x x x y y --=-+，得121221x x y x y x n ---=．…………12分∴4)4()4(212222212122212222212122=----=--=⋅x x x x x x x x y x y x n m ………………14分（金山区2013届高三一模）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点．(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若22QB PB ⊥，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t ∈[4,，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为)0,(2c F .因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2=90º，得c =2b …………1分 在Rt △AB 1B 2中，1224AB B S b ∆==，从而20222=+=c b a .………………3分因此所求椭圆的标准方程为：221204x y += …………………………………………4分(2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为：2x my =-,代入椭圆方程得()2254160m y my +--=,…………………………6分设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则y 1、y 2是上面方程的两根，因此12245my y m +=+，516221+-=⋅m y y ，又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-u u u u r u u u u r ，所以 212122)2)(2(y y x x Q B P B +--=⋅2216645m m -=-+………………………………8分由21PB QB ⊥，得22B P B Q ⋅u u u u r u u u u r=0，即216640m -=，解得2m =±；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x –2y +2=0……………………10分 (3) 当斜率不存在时，直线:l 2-=x ，此时4||=MN ，5516=S ………………11分 当斜率存在时，设直线:l )2(+=x k y ，则圆心O 到直线的距离1|2|2+=k k d ，因此t=721482||22≤+-=k k MN ，得312≥k ………………………………………13分联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1420),2(22y x x k y 得0164)51(222=--+k ky y k ，由韦达定理知， 22212215116,514kk y y k k y y +-=+=+，所以222421)51(454||k k k y y ++=-，因此1214||2S y y =⋅⋅-=.设28153u k u =+≥，，所以S =，所以)5516,35[∈S …15分 综上所述：△B 2PQ 的面积]5516,35[∈S ……………………………………………16分（宝山区2013届期末）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分． 设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程；(2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =r ，当焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积；(3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列． 解：(1) 设00(,)A x y ，(,)M x y ，焦点(1,0)F ，则由题意00122x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00212x x y y =-⎧⎨=⎩……………………………………2分所求的轨迹方程为244(21)y x =-，即221y x =-…………………………4分(2) 22y x =，12(,0)F ，直线12()212y x x =-=-，……………………5分由2221y x y x ⎧=⎨=-⎩得，210y y --=， 2511212=-+=y y kAB ……………………………………………7分d =……………………………………………8分 4521==∆AB d S OAB ……………………………………………9分 (3)显然直线MA 、MB 、MF 的斜率都存在，分别设为123k 、k 、k ． 点A 、B 、M 的坐标为11222pA(x ,y )、B(x ,y )、M(-,m)． 设直线AB ：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入抛物线得2220p y y p k --=，……………………11分 所以212y y p =-，……………………………………………12分 又2112y px =，2222y px =，因而()22211112222y p p x y p p p +=+=+，()24222212211222222y p p p p p x y p p py y +=+=+=+ 因而()()()22121112122222111222222p y m p y m y y m y m m k k p p p p y p p y p x x ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭+=+=+=-++++ (14)分 而30222m mk p p p -==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故1232k k k +=．……………………………………………16分（崇明县2013届高三一模）23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分） 如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．23、解：（122=4,=3b ∴a ，椭圆E 的方程为22+=143x y（2）①由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=由直线与椭圆相切得220,0,430.m k m ≠∆=⇒-+=求得43(,)k P m m -，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离 223(2)22m d k m=++ 2222212()(1)0(4302)2kPQ d k m m k m-=->-+=⇒≠。