高二数学直线与圆锥曲线的位置关系1

2019-2020学年高二数学《2.5直线与圆锥曲线》教学过程二【课前热身】1.过点(0,1)的直线与椭圆14922=+y x 的位置关系为A A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定2.已知双曲线方程x 2-y 2=1，过P (2，1)点的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为CA. 4B. 3C. 2D. 13. 直线过点（2,4）与抛物线y 2=8x 只有一个公共点，这样的直线共有B A.1条 B.2条 C. 3条 D.4条 【要点整合】[1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点（特殊情况除外），相切只有一个交点，相离无交点.判断直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y （或x ）得变量x （或y ）的方程：ax 2+bx+c=0（或ay 2+by+c=0）若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：Δ＞0直线与圆锥曲线相交； Δ=0直线与圆锥曲线相切； Δ<0直线与圆锥曲线相离.若a=0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点.若曲线为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；若曲线为抛物线，则直线与抛物线的对称轴平行.2．直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)， 且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2－4ac 。

则弦长公式为：d=221221)()(y y x x -+-=2212))(1(x x k -+=22)1(a k Δ+=Δ||)1(2a k +。

【典例精析】热点一 直线与圆锥曲线的交点问题例1. 直线1+-=k kx y 与椭圆14922=+y x 有_ C _个公共点 A. 0个 B. 一个 C. 二个 D. 不确定变式迁移1 不论k 为何值,如果直线 y=kx+b 与椭圆14922=+y x 总有公共点,求b 的取值范围？]2,2[-热点二 中点弦问题例2 在椭圆x 2＋4y 2＝16中，求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在直线的方程和弦长．变式迁移 2 （2010山东）已知抛物线 ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，求该抛物线的准线方程。

高二数学选修1-1 圆锥曲线及轨迹-苏教版一、复习的目标、重点1、通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程，掌握它的定义。

2、通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线、抛物线的定义。

3、理解圆锥曲线的统一定义4、理解曲线与方程的关系，掌握求轨迹方程的一般方法和步骤。

二、知识结构1、圆锥曲线的定义，并利用定义解决有关问题。

2、求轨迹方程并判断是什么曲线 三、基础训练1、设定点F 1(0,－3)，F 2(0,3)，动点P(x ,y )满足条件|PF 1|+|PF 2|=a （a >0），则动点P 的轨迹是 椭圆或线段或不存在2、已知A 、B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m /s ，则炮弹爆炸点的所在曲线为 双曲线的一支3、如果M(x ,y )在运动过程中，总满足关系式10)3()3(2222=-++++y x y x ，则M 的轨迹是 椭圆4、若动圆与定圆(x －2)2+y 2=1外切，又与直线x +1=0相切，则动圆圆心的轨迹是 抛物线5、“点M 在曲线y 2=4x 上”是“点M 的坐标满足方程y =x 2-”的 必要不充分 条件6、若P(2,－3)在曲线x 2－ay 2=1上，则a 的值为31四、典例选讲例1、若一个动点P(x ,y )到两个定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)的距离之差的绝对值为定值a (0≤a ≤2)，试探求点P 的轨迹。

解：当a =0时，|PF 1－PF 2|=0，从而PF 1=PF 2，所以点P 的轨迹为直线：x =0 当a =2时，|PF 1－PF 2|=2=F 1F 2，点P 的轨迹为两条射线：y =0（|x |≥1）当0<a <2时，|PF 1－PF 2|=a <F 1F 2，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，a 为实轴长的双曲线。

例2、已知圆C 1：(x +3)2+y 2=1和圆C 2：(x －3)2+y 2=9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹。

精编高二文科数学直线与圆锥曲线的位置关系题型与练习 1直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____. 2．已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长 3：己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ． 求C 的离心率；5：已知椭圆M ：)1(12222≥>=+b a by a x 的离心率为23，点P （0，3/2）到椭圆M 上的点的最远距离为7，（1）求此椭圆的方程 （2）若直线y=kx+4交椭圆M 于A ，B 两点，且OA ，OB 的斜率之和为2，（O 是坐标原点），求斜率k 的值6已知椭圆C ：22221x y a b +=（a>b>0F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。

则k =（A ）1 （B （C （D ）27．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>过点A （1 , -2）。

（I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线L ，使得直线L 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L 的L 的方程；若不存在，说明理由。

8..若椭圆221axby +=与直线1x y +=交于A,B 两点，M 为AB 的中点，直线OM(O 为原点)的斜率，又OA OB ⊥，求此椭圆的方程。

变式1：已知直线y x b =+与抛物线22x y =交于A,B 两点,且OA OB ⊥(O 为坐标原点),则b 的值是_________________9.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上没一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1。

（Ⅰ）求曲线C 的方程（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有FA ＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

1.直线与圆锥曲线C 的位置关系将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程ax 2+bx+c=0.（1）交点个数①当 a=0或a ≠0，⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点;②当 a ≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点;③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点;(2) 弦长公式：2.对称问题：曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上3.求动点轨迹方程①轨迹类型已确定的，一般用待定系数法②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法问题1：已知点1F 为椭圆15922=+y x 的左焦点，点)1,1(A ，动点P 在椭圆上，则||||1PF PA +的最小值为点拨：设2F 为椭圆的右焦点，利用定义将||1PF 转化为||2PF ，在结合图形，用平面几何的知识解决。

||||6||||21PF PA PF PA -+=+，当2F A P 、、共线时最小，最小值为2-62014江门调研高二数学(理)：⒛（本小题满分14分）点M 与定点)0 , 2(F 的距离和它到直线8=x 的距离之比是2:1．⑴求点M 的轨迹方程（写成标准方程形式）；⑵设点M 的轨迹与x 轴相交于1A 、2A 两点，P 是直线8=x 上的动点，求21PA A ∠的最大值解：⑴设) , (y x M 是轨迹上任意一点……1分依题意，21|8|)2(22=-+-x y x ，即|8|)2(222-=+-x y x ……3分 两边平方得，222)8()2(4-=+-x y x ……4分4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ⋅-+⋅+=-⋅+=化简得点M 的轨迹方程为1121622=+y x ……6分（未化成标准方程扣1分） ⑵由⑴得)0 , 4(1-A 、)0 , 4(2A ……7分设直线8=x 交x 轴于Q ，根据椭圆的对称性，不妨设) , 8(m P （0>m ），则 （方法一）m PQ A 12tan 1=∠，mPQ A 4tan 2=∠……9分 PQA PQ A PQ A PQ A PQ A PQ A PA A 21212121tan tan 1tan tan )tan(tan ∠⋅∠+∠-∠=∠-∠=∠……10分 4882+=m m ……11分 0>m ，所以m m 38482≥+……12分，所以334882≤+m m ……13分 x tan 在区间)2 , 0(π单调递增，所以21PA A ∠的最大值为6π……14分 （方法二）||||cos 212121PA PA PA A ⋅=∠……8分2222241248+⋅++=m m m ……10分，222264)48(48m m m +++=0>m ，所以m m 38482≥+……11分，222)48(3164+≤m m ……12分 所以233111cos 21=+≥∠PA A ……13分 x cos 在区间)2 , 0(π单调递减，所以21PA A ∠的最大值为6π……14分 广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试： 椭圆12222=+by a x 上有一点M （-4，59）在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.（1）求椭圆方程；（2）若点N 在抛物线上，过N 作准线l 的垂线，垂足为Q 距离，求|MN|+|NQ|的最小值.解：（1）∵12222=+by a x 上的点M 在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. ∴c=-4，p=8……①∵M （-4，59）在椭圆上 ∴125811622=+b a ……②∵222c b a +=……③∴由①②③解得：a=5、b=3 ∴椭圆为192522=+y x由p=8得抛物线为。

高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点．(ⅰ)证明：k·kON为定值；(ⅱ)是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）;（2）(ⅰ）;(ⅱ）不存在．【解析】（1）由于曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4，结合椭圆的定义可知曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，从而可写出曲线C的方程；（2）由已知可设出过点直线l的方程，并设出直线l与曲线C所有交点的坐标；然后联立直线方程与曲线C的方程，消去y就可获得一个关于x的一元二次方程，应用韦达定理就可写出两交点模坐标的和与积；(ⅰ)应用上述结果就可以用k的代数式表示出弦的中点坐标，这样就可求出ON的斜率，再乘以k就可证明k·kON 为定值；(ⅱ）由F1N⊥AC，得kAC•kFN= -1，结合前边结果就可将此等式转化为关于k的一个方程，解此方程，若无解，则对应直线不存在，若有解，则存在且对应直线方程很易写出来.试题解析：（1）由已知可得：曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，所以，故曲线C的方程为：. 4分（2）设过点M的直线l的方程为y=k(x+4)，设B(x1, y1)，C(x2, y2）(x2>y2)．(ⅰ)联立方程组，得，则， 5分故，， 7分所以，所以k•kON=为定值. 8分(ⅱ)若F1N⊥AC，则kAC•kFN= -1，因为F1(-1,0)，故， 10分代入y2=k(x2+4)得x2=-2-8k2，y2="2k" -8k3，而x2≥-2，故只能k=0，显然不成立，所以这样的直线不存在． 13分【考点】1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系.2.双曲线+=1的离心率，则的值为.【答案】-32【解析】由题意可得，a=2，又∵e==3，∴c=3a=6，∴b2=c2-a2=36-4=32，而k=-b2，∴k=-32【考点】双曲线离心率的计算.3.已知椭圆，直线是直线上的线段，且是椭圆上一点，求面积的最小值。

学远教育高二数学知识点直线与圆锥曲线的位置关系直线的斜率怎么求？？[高二数学] 题型:单选题已知 M(a,2 ) 是抛物线 y  2x 上的一定点，直线 MP、MQ 的倾斜角之和为 ，且分别与抛物线交于 P、 Q 两点，则直线 PQ 的斜率为（ ）2A.1 2B. 1 2C. 2D. -2问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析考查知识点：直线和圆锥曲线的位置关系问题 直线的倾斜角 直线的斜率 斜率的计算公式难度:难 解析过程： 已知 M(a,2 ) 是抛物线 y  2x 上的一定点，直线 MP、MQ 的倾斜角之和为 ，且分别与抛物线交于 P、 Q 两点，则直线 PQ 的斜率为（ ）2A.1 2B. 1 2C. 2D. -2规律方法： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，题中已知倾斜角之和，再借助两点式求直线斜率。

灵活掌握 两点式求直线的斜率是解题的关键。

直线和椭圆的相交问题[ 高二数学]已知直线 y=x-1 和椭圆x2 y2  1(m>1)交于 A、B 两点,若以 AB 为直径的圆过 m m1椭圆的焦点 F,则实数 m 的值为（）学远教育学远教育A. 2  3考查知识点：B.3 1C. 2  3D.3 1直线和圆锥曲线的位置关系问题难度:难 解析过程：已知直线 y=x-1 和椭圆x2 y2  1(m>1)交于 A、B 两点,若以 AB 为直径的圆过 m m1椭圆的焦点 F,则实数 m 的值为（）A. 2  3B.3 1C. 2  3D.3 1解： 将 y=x－1 代入椭圆方程(m－1)x2+my2=m(m－1), 并化简得(2m－1)x2－2mx+2m－ x  m2=0. 设 A,B 坐标为(x1,y1),(x2,y2), 则由韦达定理, 得 x 1 22 2 m 2 m  m , x x  . 1 2 2 m  1 2 m  1由已知易得, 左焦点 F(－1,0)且∠AFB=900, 于是 即 y1y2=－x1x2－(x1+x2)－1.y 1y 2  1, (x  1 )( x 1 ) 1 2又 A(x1,y1), B(x2,y2)在直线 y=x－1 上， 故 y1y2=(x1－1)(x2－1)=x1x2－(x1+x2)+1 于是由上述两式便得 x1x2=－1, ∴2m－m2=1－2m, 即 m2－4m+1=0, 解得规律方法：同学你好，像这样的题目将直线方程与椭圆方程联立消去 y 根据根与系数之间的关系求解。

解析几何中的直线与曲线的位置关系易错归类解析
郭嫣娜
【期刊名称】《中学生数理化:高二数学、高考数学》
【年(卷),期】2022()7
【摘要】直线与曲线的位置关系是高考考查的重点内容之一,主要以解答题的形式进行考查,属于中等难度。

本文通过剖析圆锥曲线问题中的易错点,总结如何熟练解答圆锥曲线的有关题目,从而帮助同学们高效备战高考.
【总页数】4页(P22-25)
【作者】郭嫣娜
【作者单位】江西省萍乡中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.让解析几何真正沟通代数与几何——"直线与圆锥曲线的位置关系(1)"课堂实录与反思
2.探究高中数学解析几何——以圆锥曲线与直线的位置关系为例
3.圆锥曲线中的相关性质易错归类解析
4.圆锥曲线中的综合问题易错归类解析
5.圆锥曲线中的取值范围问题易错归类解析
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直线与圆锥曲线的关系林秀雅一、定点问题1、直线l 交抛物线22(0)y px p =>于A 、B 两点，212y y p =- ， 求证：直线l 过抛物线焦点F ．1、已知直线l 与抛物线m ：22y px =（p ＞0）交于A 、B 两点，若0OA OB =．求证：直线l 必过一定点．2、已知定点0,0()M x y 在抛物线m ：22y px =（p ＞0）上，动点,A B m ∈且0MA MB =．求证：弦AB 必过一定点．3、如图，在双曲线2211213y x -=的上支上有三点()11,A x y ，()2,6B x ，()33,C x y ，它们与点()0,5F 的距离成等差数列.()1求13y y +的值；()2证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.二、定值问题。

1、（2000年全国高考）过抛物线m ：2y ax =（a ＞0）的焦点F 作直线l 交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为,p q ，则11p q --+的值必等于（ ） A ．2a B ．12a C ．4a D ．4a2、若双曲线方程为x a y b22221-=，AB 为不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 中点，设AB 、OM 的斜率分别为k k AB OM 、，则AB OM k k ⋅= 。

3、（2004年 北京）过抛物线22y px =（p ＞0）上一定点000(,)(P x y y ＞0），作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ，求证：PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB 的斜率为非零常数．4、已知定点0,0()M x y 在抛物线m ：22y px =（p ＞0）上，动点,A B m ∈且0MA MB =．求证：弦AB 必过一定点．三、对称问题1、求抛物线C ：y2－2x －4y ＋6=0关于下列元素的对称曲线：⑴点（0，1）；⑵直线x ＋y －1=0；2、抛物线y=x2＋3x －1上存在两个不同点关于直线x ＋y=0对称，求这两个点的坐标.3、已知抛物线px y 22=()0>p 上存在关于直线1=+y x 对称的两点，求p 的取值范围4、如果抛物线12-=ax y 上总有关于直线0=+y x 对称的相异两点，求a 的取值范围四、存在性问题1．已知A 、B 为抛物线x 2=2py (p >0)上两点，直线AB 过焦点F ，A 、B 在准线上的射影分别为C 、D .（1）若6-=∙，求抛物线的方程。

专题：直线和圆的位置关系(★★★) 教学目标 掌握直线和圆锥曲线的关系，掌握利用圆的相关性质解决相关问题，强化解析几何中的数形结合意识，加强计算能力，分析能力，问题转化能力知识梳理10min. 一、直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程：02=++c bx ax (或02=++c by ay )．若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线 相交 ；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 相切 ；Δ<0⇔直线与圆锥曲线 相离 ．若a ＝0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．二、中点坐标公式：1212,y 22x x y y x ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。

三、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()AB x x y y x x kx kx k x x =-+-=-+-=+-221212(1)[()4]k x x x x ++-= 或者2222212121212122111()()()()(1)()AB x x y y x x y y y y k k k=-+-=-+-=+- 2121221(1)[()4]y y y y k++-= 四、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =五、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a+=-=。

高二数学解析几何试题答案及解析1.双曲线的虚轴长等于( )A．B．C．D．4【答案】C【解析】双曲线方程化为因为是双曲线方程，所以则标准方程为所以虚轴长故选C2.若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．A．B．C．D．【答案】D．【解析】消去参数，得直线的普通方程为，则直线的斜率为．【考点】直线的参数方程；2．直线的斜率．3.圆与的圆心距与曲线的长度的大小关系是（）．A．B．C．D．无法比较【答案】A．【解析】两圆的圆心分别为，则圆心距，曲线表示半径为2的圆心角为的圆弧，弧长为．；则【考点】圆的参数方程；2．弧长公式．4.已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且它的离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）此问是待定系数法求椭圆的标准方程第一步先设椭圆的标准方程是，根据已知条件列3个关于的方程，求解；（Ⅱ）此题考查直线与椭圆相交的综合问题，总体思路是第一步，先将直线与椭圆联立，利用韦达定理得到和，，第二步，利用，表示点的坐标，第三步，将点的坐标代入椭圆方程，得到，第四步，根据直线与圆相切，得到与的关系，消参后求的范围．试题解析：解:（Ⅰ）设椭圆的标准方程为由已知得:解得所以椭圆的标准方程为:（Ⅱ）因为直线:与圆相切所以，把代入并整理得:设，则有因为，，所以，又因为点在椭圆上，所以，因为，所以所以，所以的取值范围为【考点】1．椭圆的标准方程；2．直线与椭圆相交的综合问题．5.如图，是圆的切线，切点为交圆于两点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】连接，∵是圆的切线，切点为交圆于两点，，∴，∴，解得，∴，∴，故选B．【考点】1.与圆有关的比例线段的应用；2.计算.6.（本小题满分12分）已知椭圆经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．【答案】（1）（2）【解析】（1）待定系数法求椭圆方程；（20先求出直线方程代入椭圆方程，然后由韦达定理求出两根之和，再求出中点横坐标，最后代入直线方程求出中点纵坐标即得结果．试题解析：（1）因为椭圆经过点A，所以b=4．又因离心率为，所以所以椭圆方程为：依题意可得，直线方程为，并将其代入椭圆方程，得．（2）设直线与椭圆的两个交点坐标为，则由韦达定理得，,所以中点横坐标为，并将其代入直线方程得，故所求中点坐标为．【考点】求椭圆方程、直线与椭圆相交求弦的中点坐标．7.（本小题满分12分）已知一条光线从点射出，经过轴反射后，反射光线与圆相切，求反射光线所在直线的方程．【答案】或【解析】根据对称性先求出点A关于x轴的对称点，然后设出反射光线所在的直线方程，利用直线与圆相切求出反射光线所在的直线的斜率，从而求出反射光线所在的直线方程．试题解析：A关于x轴的对称点．反射光线相当于是从点射出的光线．因为反射光线的斜率存在，所以反射光线所在的直线可设为即因为该直线与圆相切，所以…10分所以反射光线所在直线方程为或．【考点】求直线方程．8.已知是椭圆的左右焦点，P是椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．四条线段【答案】B【解析】连接并延长交于M点，是外角的角平分线，所以是等腰三角形,所以,Q为中点，连接OQ，则OQ===，所以M表示以O为圆心为半径的圆，故选B【考点】椭圆定义及动点轨迹方程【方法点睛】求动点的轨迹方程的一般步骤：建立合适的坐标系，设出所求点及相关点坐标，代入动点满足的关系式并将其坐标化，整理化简并检验是否有不满足要求的点；本题中要充分结合等腰三角形的性质及椭圆定义得到动点到定点的距离为定值，结合三角形中位线的性质得到点到原点的距离为定值，因此得到其轨迹为圆9.（本题满分10分）已知椭圆，经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于，两点，试问：直线是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】（1）根据椭圆经过点以及两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形可列得方程组，从而求解；（2）若直线斜率存在时，可设，再利用韦达定理以及条件斜率乘积为，可得到，满足的关系式，即可得证，再验证当斜率不存在也符合即可．试题解析：（1）根据题意；（2）当的斜率存在时，设，，∴，∴或（舍）∴过定点，当斜率不存在时也符合，即直线恒过定点．【考点】1．椭圆的标准方程；2．椭圆中定点问题．【思路点睛】定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．10.已知直线与直线平行，则的值是（）A．B．C．－D．或0【答案】A【解析】由题意，解得，经检验时，两直线重合，时，两直线平行，故选A．【考点】11.过点的椭圆（）的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点．（1）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；（2）当点异于点时，求证：为定值．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）将点代入椭圆方程可求得，再由离心率求得，从而得到椭圆的方程，再将直线的方程供稿椭圆，求得交点坐标即可求得线段的长；（2）设直线的方程为（且），代入椭圆方程，求得点坐标，再联立直线的方程求得点坐标，然后结合点坐标，利用向量的数量积公式即可得出结论．试题解析：（1）由已知得，，解得，所以椭圆方程为．椭圆的右焦点为，此时直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，，代入直线的方程得，，所以，故．（2）当直线与轴垂直时与题意不符．设直线的方程为（且）．代入椭圆方程得．解得，，代入直线的方程得，，所以点的坐标为．又直线的方程为，又直线的方程为，联立得．因此，又．所以．故为定值．【考点】1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、平面向量的数量积．12.以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】椭圆的焦点为、双曲线顶点为，因此双曲线焦点为，双曲线方程是，选C．【考点】椭圆与双曲线方程【名师】用待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤（1）作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．（2）设方程：根据上述判断设出方程．（3）找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组．（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．13.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后，水面宽________米．【答案】．【解析】如下图所示，建立直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入可得，，所以抛物线的方程为，于是将可得，，所以水面宽为，故应填．【考点】1、抛物线的实际应用．【思路点睛】本题主要考查了抛物线的应用，考查了学生利用抛物线的解决实际问题的能力，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据已知条件建立适当的直角坐标系，并写出点的坐标，然后设出所求的抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线的方程可求得，得到抛物线的方程，最后把代入抛物线的方程即可得出点的坐标，进而得出所求的答案．14.已知命题：点不在圆的内部，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”．（1）若“且”是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）或．【解析】（1）“且”是真命题，所以，得不等式组；（2）是的必要不充分条件得：或，从而求解．试题解析：（1）若为真：，解得或若为真：则，解得或，若“且”是真命题，则，解得或（2）若为真，则，即，由是的必要不充分条件，则可得或即或，解得或．【考点】1、复合命题的真假；2、充分条件、必要条件；3、不等式组．15.设是椭圆的左右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是底角为的等腰三角形，所以，因为P在直线上一点，所以，所以椭圆的离心率为，故选C．【考点】椭圆简单的几何性质．16.直线的倾斜角为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线的倾斜角为,由直线方程可知直线的斜率,即,,．故D正确．【考点】直线的斜率,倾斜角．17.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米．【答案】【解析】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），到抛物线解析式得出：a=-0．5，所以抛物线解析式为，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：，解得：，所以水面宽度增加到米，【考点】二次函数的应用18.已知椭圆：的右焦点，过的直线交椭圆于两点，且是线段的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）已知是椭圆的左焦点，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设，，代入椭圆方程并作差，由中点坐标公式与直线的斜率得到的关系，从而求得椭圆的离心率；（2）联立直线与椭圆的方程，消去，利用韦达定理求得，从而求得求的面积．试题解析：（1）设，，则，，两式相减，得．∵线段的中点坐标为，∴．∵直线的斜率为，∴．∴，∴．（2）由（1）可知直线：，由，得，．又，所以．【考点】1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．19.抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】把抛物线转化为标准式方程为所以抛物线焦点在轴上，且即其准线方程为故选B．【考点】1、抛物线的简单性质；2、抛物线的标准式方程．20.已知抛物线上的任意一点P，记点P到轴的距离为，对于给定点，则的最小值为．【答案】【解析】过P作PB垂直于直线x=-1，垂足为B∵抛物线方程为y2=4x，∴2p=4，得可得焦点F（1，0），且直线x=-1是抛物线的准线，因此，|PA|+d+1=|PA|+|PB|=|PA|+|PF|,∵|PA|+|PF|≥|AF|∴当且仅当P、A、F三点共线时，|PA|+|PF|达到最小值,因此，|PA|+d+1的最小值为|AF|=,所以|PA|+d的最小值为．故答案为：．【考点】抛物线的几何性质和两点之间的距离公式等知识．【易错点睛】过P作PB垂直于直线x=-1，垂足为B，根据抛物线的定义得：|PA|+d+1=|PA|+|PB|=|PA|+|PF|．利用三角形两边之和大于第三边，可得当且仅当P、A、F三点共线时，|PA|+d+1达到最小值，因此可用两点的距离公式求出|PA|+d+1的最小值．本题给出定点A和抛物线上动点P，求P到A点与P到抛物线准线距离之和的最小值，学生易在P到轴的距离为，当成P到准线的距离为，忘记减1，造成失误．21.如图，直线与抛物线交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）把直线方程抛物线方程联立求得焦点的坐标，则中点的坐标可得，利用的斜率推断出垂直平分线的斜率，进而求得垂直平分线的方程，把代入求得的坐标．（2）设出的坐标，利用到直线的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形，利用的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．试题解析：（1）解方程组得或即，从而AB的中点为．由，直线AB的垂直平分线方程令，得（2）直线OQ的方程为，设．∵点P到直线OQ的距离=，，∴==∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴或．∵函数在区间上单调递增，∴当时，的面积取到最大值．【考点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其应用及直线与圆锥曲线的综合应用和点直线的距离公式，着重考查了解析几何基础知识的灵活运用．本题解答中，设出的坐标，利用到直线的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形，利用的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．22.已知圆经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率．【答案】【解析】由可知过点【考点】圆与椭圆的方程及性质23.已知：，不等式恒成立，：椭圆的焦点在轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．【答案】【解析】首先由不等式恒成立和椭圆性质分别得到两命题中m的取值范围，由复合命题p∧q为真命题可知两命题都是真命题，由此求交集可得到m的取值范围试题解析：∵p：∀x∈R，不等式恒成立，即解得：；-q：椭圆的焦点在x轴上，∴m﹣1＞3﹣m＞0，解得：2＜m＜3，由p∧q为真可知，p，q都为真，解得．【考点】1．不等式，椭圆的性质；2．复合命题24.如图，抛物线和圆，其中，直线经过的焦点，依次交于四点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，由题意知抛物线的焦点，则设直线的方程为：，联立，消去，得：，根据抛物线的定义，得：，故选B．【考点】圆与圆锥曲线的综合．25.已知焦点在x轴上的椭圆过点A（﹣3，0），且离心率e=，则椭圆的标准方程是（）A．=1B．=1C．=1D．=1【答案】D【解析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a=3，由离心率公式和a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a=3，e==，可得c=，b===2，则椭圆方程为+=1．故选：D．【考点】椭圆的简单性质．26.（2012•赤坎区校级模拟）抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x﹣y+2=0上，则此抛物线方程为．【答案】y2=﹣8x或x2=8y【解析】求出已知直线与坐标轴的交点A和B，在焦点分别为A和B的情况下设出抛物线标准方程，对照抛物线焦点坐标的公式求待定系数，即可得到相应抛物线的方程．解：直线x﹣y+2=0交x轴于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（2，0）①当抛物线的焦点在A点时，设方程为y2=﹣2px，（p＞0），可得=2，所以2p=8，∴抛物线方程为y2=﹣8x②当抛物线的焦点在B点时，设方程为x2=2p'y，（p'＞0），可得=2，所以2p'=8，∴抛物线方程为x2=8y综上所述，得此抛物线方程为y2=﹣8x或x2=8y故答案为：y2=﹣8x或x2=8y【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．27.设A（x1，y1）．B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线．（1）当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）（，+∞）．【解析】（1）先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得抛物线的焦点坐标．先看直线l的斜率不存在时，显然x1+x2=0；看直线斜率存在时设斜率为k，截距为b，进而用A，B的坐标表示出线段AB的中点代入设的直线方程，及用A，B的坐标表示出直线的斜率，联立方程可分别求得x 1+x2和x21+x22的表达式进而求得b的范围，判断即l的斜率存在时，不可能经过焦点F．最后综合可得结论．（2）设直线l的方程为：y=2x+b，进而可得过直线AB的方程，代入抛物线方程，根据判别式大于0求得m的范围，进而根据AB的中点的坐标及b和m的关系求得b的范围．解：（1）∵抛物线y=2x2，即x2=，∴p=，∴焦点为F（0，）①直线l的斜率不存在时，显然有x1+x2=0②直线l的斜率存在时，设为k，截距为b 即直线l：y=kx+b由已知得：⇒⇒⇒x12+x22=﹣+b≥0⇒b≥．即l的斜率存在时，不可能经过焦点F（0，）所以当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F（2）解：设直线l的方程为：y=2x+b′，故有过AB的直线的方程为y=﹣x+m，代入抛物线方程有2x2+x﹣m=0，得x1+x2=﹣．由A、B是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式△=+8m＞0，也就是：m＞﹣．由直线AB的中点为（，）=（﹣，+m），则+m=﹣+b′，于是：b′=+m＞﹣=．即得l在y轴上的截距的取值范围是（，+∞）．【考点】抛物线的应用；直线的斜率；恒过定点的直线．28.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，因此，从而选D.【考点】双曲线定义，双曲线离心率29.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，由余弦定理，可得【考点】双曲线方程及性质30.焦点在y轴的椭圆x2＋ky2＝1的长轴长是短轴长的2倍，那么k等于（）A．－4B．C．4D．【答案】D【解析】椭圆方程变形为【考点】椭圆方程及性质31.若直线被圆所截的的弦长为，则实数的值（）A．－2或6B．0或4C．－1 或D．－1或3【答案】D【解析】由圆的方程可知圆心为,半径为2.圆心到直线的距离.由题意可得,解得或.故D正确.【考点】圆的弦长问题.32.已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，它的准线过双曲线C1的焦点，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2⊥F1F2，则双曲线C1的离心率为．【答案】+1【解析】先设出抛物线方程，进而根据题意可得p与a和c的关系，把抛物线方程与双曲线方程联立，把x=c，y2=4cx，代入整理可得答案．解：设抛物线方程为y2=2px，依题意可知=c，∴p=2c，抛物线方程与双曲线方程联立得﹣=1，把x=c，代入整理得e4﹣6e2+1=0解得e=+1，故答案为：+1．【考点】双曲线的简单性质．33.如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用已知条件求出椭圆的方程，然后利用椭圆的离心率即可．解：设M（x，y），则P（x，2y），代入圆的方程并化简得：，解得a=2，b=1，c=．椭圆的离心率为：．故选：D．【考点】椭圆的简单性质；轨迹方程．34.椭圆上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于 .【答案】5【解析】由椭圆的方程可知,.由椭圆的定义可得点到另一个焦点的距离等于.【考点】椭圆的定义.35.若直线与直线平行，则的值为A．B．C．D．【答案】C【解析】由两直线平行可知系数满足【考点】两直线平行的判定36.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线的焦点距离为3，则（）A．B．C．3D． 4【答案】C【解析】根据题意，可设抛物线的标准方程为，由于点到该抛物线的焦点距离为3，故，解得，抛物线标准方程为，将点代入抛物线方程可得，因此；【考点】抛物线的焦半径；37.已知抛物线与直线相交于两点．（1）求证：；（2）当的面积等于时，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）；【解析】（1）要证，即证，联立直线与抛物线方程消去，得ky2＋y－k＝0，利用韦达定理可以证得；（2）设直线l与x轴的交点为N，求出点N的坐标为（－1,0），则，把（1）中的韦达定理代入可得的值；试题解析：（1）证明：联立，消去，得ky2＋y－k＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，.因为，所以，所以，所以，即，所以.（2）设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为（－1,0），所以，解得，所以【考点】直线与抛物线位置关系；38.直线与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题如图所示：，代入得：，解得：。

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分：椭圆1、知识关系网2、基本知识点 1、椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定值2a (2a >|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距；第二定义: 平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比是常数e (0<e <1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l 叫做椭圆的准线,常数e 叫做椭圆的离心率；2、椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程22221(0)x y a b a b+=>> 22221(0)x y a b b a+=>> 图形顶点 (,0)a ±,(0,)b ± (0,)a ±,(,0)b ±对称轴 x 轴，y 轴，长轴长为2a ，短轴长为2b焦点 1(,0)F c -、2(,0)F c1(0,)F c -、2(0,)F c焦距 焦距为122(0),F F c c => 222c a b =-离心率 e =c a(0<e <1)准线方程2a x c=±2a y c=±点P (x 0,y 0) 的焦半径公式|P F 右|=a -ex 0 , |P F 左|=a +ex 0(“左加右减”)|P F 上|=a -ey 0 , |P F 下|=a +ey 0(“上减下加”)注:1、焦半径(椭圆上一点到焦点的连线段)公式不要求记忆,但要会运用椭圆的第二定义。

2、椭圆参数方程cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩：如图点(cos ,sin )N a b αα的轨迹为椭圆。

2、典型例题例1、F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( )A 、椭圆B 、直线C 、圆D 、线段例2、已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )A 、1162522=+y xB 、)0(1162522≠=+y y xC 、1251622=+y xD 、)0(1251622≠=+y y x例3、若F (c ，0)是椭圆22221x y a b+=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2M m+的点的坐标是( ) A 、(c ，2b a ±) B 、(-c ，2b a±) C 、(0，±b ) D 、不存在例4、如果椭圆221259x y +=上有一点P ，它到左准线的距离为2.5，那么P 点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是( )。

高二上数学选修一第二章《平面解析几何》知识点梳理2.8直线与圆锥曲线的位置关系课程目标A.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系.B.会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题.C.加强数形结合思想的训练与应用.重难点重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系难点：会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题我们知道，通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的问题。

类似地，因为平面直角坐标系中的点在椭圆、双曲线、抛物线上的充要条件是点的坐标满足对应的方程，所以我们同样可以通过方程组的解的问题来探讨直线与这些曲线的位置关系的问题。

一、典例解析例1.判断直线y=2x−2与椭圆x25+y24=1，是否有公共点，如有，求出公共点的坐标，如公共点有两个，求出以这两个公共点为端点的线段长。

解：联立直线与椭圆的方程，可得方程组y=2x−2x25+y24=1解方程组可得x=0y=−2或x=53y=43因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点的坐标为（0，-2）（53，43）从而可知所求线段长为（53−0）2−[43−（−2）]2=553你认为应该怎样来判断直线与椭圆是否有公共点？如果有两个公共点，应该怎样求得对应线段的长？1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.如消去y后得ax2+bx+c=0.由Ax+By+C=0,f(x,y)=0消元,①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l 与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a ≠0,设Δ=b 2-4ac.Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则所得弦长|P 1P 2|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]或|P 1P 2|=1+1k2[(y1+y2)2-4y1y2](k ≠0).(2)当斜率k 不存在时,可求出交点坐标,利用两点间距离公式直接运算.1.判断(1)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与点P (b ,0),过点P 可作出该椭圆的一条切线.()(2)直线y=k (x-a )与椭圆x2a2+y2b2=1的位置关系是相交.()(3)若直线与抛物线只有一个交点,则该直线与抛物线相切.()答案:(1)×(2)√(3)×2.顶点在原点,焦点在x 轴上且截直线2x-y+1=0所得弦长为15的抛物线方程为.解析:设所求抛物线的方程为y 2=ax (a ≠0).①直线方程变形为y=2x+1,②设抛物线截直线所得弦为AB.将②代入①,整理得4x 2+(4-a )x+1=0,则|AB|=(1+22)a -442-4×14=15.解得a=12或a=-4.所以所求抛物线的方程为y 2=12x 或y 2=-4x.答案:y 2=12x 或y 2=-4x例2.已知直线l :kx-y+2-k=0,双曲线C :x 2-4y 2=4,当k 为何值时,(1)l 与C 无公共点;(2)l 与C 有唯一公共点;(3)l与C有两个不同的公共点.分析直线与圆锥曲线的公共点的个数,就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数.因此本题可转化为方程组解的个数的判定,从而确定参数的取值.解:(1)将直线方程与双曲线方程联立,消去y得(1-4k2)x2-8k(2-k)x-4(k2-4k+5)=0.①要使l与C无公共点,即方程①无实数解,则有1-4k2≠0,且Δ<0,即64k2(2-k)2+16(1-4k2)(k2-4k+5)<0.解得k>-2+193或k<-2-193,故当k>-2+193或k<-2-193时,l与C无公共点.(2)当1-4k2=0,即k=±12时,方程①只有一解;当1-4k2≠0,且Δ=0,即k=-2±193时,方程①只有一解,故当k=±12或k=-2±193时,l与C有唯一公共点.(3)当1-4k2≠0,且Δ>0时,方程①有两个不同的解,即l与C有两个不同的公共点,于是可得,当-2-193<k<-2+193,且k≠±12时,l与C有两个不同的公共点.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程代入曲线C的方程,消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线C相离.(2)当a=0时,即得到一个一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点.此时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的对称轴.(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交.跟踪训练1已知直线l:y=2x+m,椭圆C:x24+y22=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不同的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点?解:直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组y=2x+m,①x24+y22=1,②将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0,③这个关于x的一元二次方程的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.(1)由Δ>0,得-32<m<32.于是,当-32<m<32时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点.(2)由Δ=0,得m=±32.也就是当m=±32时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点,即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点.(3)由Δ<0,得m<-32或m>32.从而当m<-32或m>32时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.例3已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P ,Q 两点,且OP ⊥OQ ,|PQ|=102,求椭圆的方程.分析设出椭圆方程,将椭圆方程和直线方程联立消去y ,转化为关于x 的一元二次方程,利用根与系数的关系,根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解.解:设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).由y=x+1,mx2+ny2=1,得(m+n )x 2+2nx+n-1=0,Δ=4n 2-4(m+n )(n-1)>0,即m+n-mn>0.由OP ⊥OQ ,得x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0,∴2(n -1)m+n−2nm+n +1=0,∴m+n=2.①又|PQ|2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=8(m+n -mn )(m+n )2=1022,将m+n=2代入得mn=34.②由①②式,得m=12,n=32或m=32,n=12.故椭圆方程为x22+32y 2=1或32x 2+y22=1.若直线l 与圆锥曲线F (x ,y )=0相交于A ,B 两点,求弦AB 的长可用下列两种方法:(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A ,B 的坐标,然后用两点间距离公式,便得到弦AB 的长,一般来说,这种方法较为麻烦.(2)不求交点坐标,可用一元二次方程根与系数的关系求解.设直线方程为y=kx+m ,与圆锥曲线F (x ,y )=0交于两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+(kx1+m -kx2-m )2=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2;或当k ≠0时,|AB|=1+1k2|y 1-y 2|=1+1k2·(y1+y2)2-4y1y2.当k=0时,直线平行于x 轴,∴|AB|=|x 1-x 2|.跟踪训练2抛物线y 2=12x 截直线y=2x+1所得弦长等于()A .15B .215C .152D .15解析:令直线与抛物线交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由y=2x+1,y2=12x ,得4x 2-8x+1=0,∴x 1+x 2=2,x 1x 2=14,∴|AB|=(1+22)(x1-x2)2=5[(x1+x2)2-4x1x2]=15.答案:A三、达标检测1.直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为()A .相交B .相切C .相离D .不确定解析:∵y=kx-k+1,∴y-1=k (x-1),过定点(1,1),定点在椭圆x29+y24=1内部,故选A .答案:A2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案:C3.已知点P (k ,1),椭圆x29+y24=1,点P 在椭圆外,则实数k 的取值范围为.解析:依题意得,k29+14>1,解得k<-332或k>332,故实数k 取值范围为-∞,-332∪332,+∞.答案:-∞,-332∪332,+∞4.已知直线l :x-y+m=0与双曲线x 2-y22=1交于不同的两点A ,B ,若线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上,则m 的值是.解析:设线段AB 的中点为M (x 0,y 0),由x -y+m=0,x2-y22=1,得x 2-2mx-m 2-2=0,∴x 0=m ,∴y 0=x 0+m=2m ,∵点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=5上,∴m 2+(2m )2=5,∴m=±1,检验可知判别式Δ>0.故m=±1.答案:±15.抛物线x 2=-y 上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值为.解析:设直线4x+3y+c=0与抛物线相切,由4x+3y+c=0,x2=-y ,得3x 2-4x-c=0,由Δ=16+12c=0,得c=-43,所以两平行线的距离为-8+4316+9=43.答案:436.如图,椭圆x216+y27=1的左、右焦点为F1,F2,一条直线l经过F1且与椭圆相交于A,B两点.(1)求△ABF2的周长;(2)若l的倾斜角是45°,求△ABF2的面积.解:(1)由x216+y27=1,知a=4,△ABF2的周长=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=16.(2)由椭圆方程x216+y27=1,可得F1(-3,0),F2(3,0),又l的倾斜角是45°,故斜率k=1,∴l的方程为y=x+3.将直线方程代入椭圆方程,整理得23x2+96x+32=0,∴x1+x2=-9623,x1x2=3223,|AB|=(1+1)×-96232-4×3223=11223.设点F2到直线l的距离为d,则d=|3-0+3|2=32.∴S△ABF2=12|AB|·d=12×11223×32=168232.四、小结。

高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固知识网络知识要点梳理知识点一：圆锥曲线的统一定义椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内，到一定点的距离与它到一条定直线（不经过定点）的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。

定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率。

①e∈（0，1）时轨迹是椭圆；②e=1时轨迹是抛物线；③e∈（1，+∞）时轨迹是双曲线。

知识点二：圆锥曲线的标准方程和几何性质1．椭圆：(1)定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫焦点．(2)标准方程当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；(3)椭圆的的简单几何性质:范围：，，焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝，2．双曲线(1)定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点．(2)标准方程当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.(3)双曲线的简单几何性质范围：，；焦点，顶点，实轴长=，虚轴长=，焦距＝；离心率是，准线方程是；渐近线：.3．抛物线(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(2)标准方程四种形式：，，，。

(3)抛物线标准方程的几何性质范围：，，对称性：关于x轴对称顶点：坐标原点离心率：.知识点三：直线和圆锥曲线的位置关系1．直线Ax+By+C＝0和椭圆的位置关系：将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程，其判别式为Δ。

(1)若Δ＞0，则直线和椭圆相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和椭圆相切，有一个切点(或一个公共点)；(3)若Δ＜0，则直线和椭圆相离，无公共点．2．直线Ax+By+C＝0和双曲线的位置关系：将直线方程代入双曲线方程后化简方程①若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；②若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系：将直线方程代入抛物线方程后化简后方程：①若为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；②若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和抛物线相离，无公共点。