教学导航２０２３年４月下半月㊀㊀㊀以不变应万变:探究函数中的动点运动路径问题◉福建省厦门外国语学校石狮分校㊀晏海斌㊀㊀动态问题是近几年几何综合题型中常见的考点．动点问题是研究在几何图形中,一个动点经过运动之后形成的几何图形或者线段,或者求动点运动路径的长度的问题．这类题型难度较大,学生常常无从下手,失去解题的信心．动点问题常见的解题思路是选取动点运动的临界点,进而通过猜想㊁证明运动路径完成解题．但是,学生在实际运用过程中还是觉得困难重重,因为在证明猜想过程中需要用到几何图形的多种性质,如 三点共线 同一法 等,对于学生的能力要求较高,运用起来有一定的难度．因此,在教学中,笔者一直在思考有没有更加简便的方法,可以帮助学生更加便捷地解决这类问题下面结合具体实例运用数形结合的方法,借助直角坐标系将动点问题回归到函数问题进行探讨,与大家共享．１教学片段在求线段中点的坐标时,学生可以利用直角坐标系来推导公式,再进行熟练运用．中点坐标公式对于解决动点问题将会产生很大作用,推导过程如下．图１导入㊀如图１,已知平面直角坐标系中,点A 的坐标是(x １,y １),点B 的坐标是(x ２,y ２),求线段A B 中点M 的坐标．解析:如图１,分别过点A ,点B 作x 轴㊁y 轴的平行线,相交于点C ,作MH ʅA C 于点H ,则A C 的长度等于x ２与x １的差．由三角形的中位线定理,可得点M 的横坐标与点H 的横坐标相同,即x M ＝x １＋x ２－x １２＝x １＋x ２２;同理可证,点M 的纵坐标y M ＝y １＋y １－y ２２＝y １＋y ２２．由此可以得到线段A B 中点M 的坐标是(x １＋x ２２,y １＋y ２２)．运用直角坐标系求线段中点坐标的思路,可以为求动点路径长度助力,接下来研究例１．图２例１㊀如图２,已知正方形A B C D 的边长为２,M 是A D 的中点,点E 从线段A B 的端点A 出发,沿A B 运动到点B 停止．连接E M 并延长与C D 的延长线相交于点F ,过点M 作E F 的垂线与射线B C 于点G ,连接E G 和F G ．(１)设A E 的长度为x ,ΔE G F 的面积为y ,求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(２)若P 是线段M G 的中点,求动点P 的运动路径的长度．解析:(１)略．图３(２)建立如图３的平面直角坐标系,作MH ʅB C ,垂足为H ．由M G ʅE F ,可得øAM E ＝øHM G ．又因为øM A E ＝øMH G ＝９０ʎ,所以әAM E ʐәHM G ,可得A EH G＝AM HM ,即x H G ＝１２,所以H G ＝２x ．因此O G ＝O H ＋H G ＝AM ＋H G ＝１＋２x ,所以点G 的坐标为(１＋２x ,０)．又因为点M 的坐标为(１,２),根据导入例题的中点坐标公式,可得M G 中点P 的坐标为(１＋x ,１)．由点P 的纵坐标为１可知,点P 在直线y ＝１上运动．由点P 的横坐标为１＋x 可以得到,点P 的横坐标随着x 的增大而增大的．点E 从线段A B 的端点A 出发,沿A B 运动到点B 停止,所以当x 取最小值０时,点P 在路径的最左端,坐标为(１,１);当x 取最大值２时,点P 在路径的最右端,坐标为(３,１)．由此可知,点P 的运动路径长为３－１＝２．本例通过构造直角坐标系结合相似三角形的性质来解决,使复杂的问题变得简便清晰．在解答过程中,由点P 的纵坐标确定了点P 的运动路线,避免了几何证明中学生并不擅长的 三点共线 问题,使学生更易于理解,并且过程简便,避免了繁琐的计算．经过这道题的应用,笔者思考例２是否也能类比例１的方法来解决．图４例２㊀如图４,已知A B 的长度为１０,线段A B 上有两点C ,D ,且A C ＝D B ＝２,线段C D 上有一动点P ,分别以A P ,P B 为边在线段A B 的同侧作等边三角形A E P和等边三角形P F B ,连接E F ．若G 为E F 的中点,当点P 从点C 开始运动,到点D 结束,点G 运动路径的长度是多少?解析:建立如图５的平面直角坐标系,作E M ʅ４４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年４月下半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀图５A P ,F N ʅPB ,垂足分别为M ,N ．设A P 的长度为x ,则B P 的长度为１０－x ．由等边三角形 三线合一 的性质可得,AM ＝１２A P ＝x２,E M ＝３AM ＝３x ２,所以点E 的坐标为(x ２,３x２)．同理可得,点F 的坐标为(５＋x ２,５３－３x２)．由中点坐标公式可以得到E F 的中点G 的坐标为æèççx ２＋５＋x ２２,３x ２＋５３－３x ２２öø÷÷,即(５＋x ２,５３２)．由点G 的纵坐标可知,点G 在直线y ＝５３２上运动．通过点G 的横坐标可得,点G 的横坐标随着x 的增大而增大．由于点P 的运动路径是从点C 开始到点D 结束,所以当点P 和点C 重合时,x 取最小值２,此时点G 在路径的最左端,坐标为(７２,５３２);当点P 与点D 重合时,运动结束,x 取最大值８,此时点G 在路径的最右端,坐标为(１３２,５３２)．由此可得,点G 运动路径的长度为１３２－７２＝３．根据上述解析可知,利用平面直角坐标系确定动点路径的方法同样适用于例２．通过观察两道例题我们发现,两道例题在解决过程中都运用了线段中点坐标公式,得到中点的坐标值均有定值,因此得到中点的运动路径是一条线段．那么有没有例外呢会不会有不是定值的情况,如果有这种情况,还能利用平面直角坐标系进行解决吗?于是,笔者又发现了例３．图６例３㊀如图６,在R tәA B C 中,øC ＝９０ʎ,A C ＝６,B C ＝８,动点P 沿线段A C 从点A 开始向点C 运动,速度为每秒１个单位,动点Q 沿线段C B 从点C 向点B 运动,速度是每秒２个单位,过点P 作P D ʊB C 交A B 于点D ,连接P Q ,点P ,Q 分别从点A ,C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一动点随之停止运动,设运动的时间为t s (t ȡ０)．(１)请用含t 的代数式表示Q B 和P D 的长度．(２)当t 的值是多少时,四边形P D B Q 为菱形?若不存在这样的值,说明理由．探究能否通过改变点Q 的速度,使四边形P D B Q 存在菱形的时刻,并求出点Q 的速度．(３)在整个运动过程中,求点M 运动路径的长度．解析:(１)(２)略．图７(３)建立如图７的平面直角坐标系,根据题意可知C Q ＝２t ,A P ＝t ,则C P ＝６－t ,所以点P 的坐标为(６－t ,０),点Q 的坐标为(０,２t )．根据中点坐标公式可得,P Q 的中点M 的坐标为(６－t ２,２t ２),即(６－t２,t )．由此我们发现x M 和y M 都不是定值,不能像例１和例２一样直接说明中点M 在一条定直线上运动．由于x M ,y M 都是随着t 的变化而变化,因此可以建立方程组x M ＝６－t２,y M ＝t ,{对方程组消元,可以得到x M ,y M 之间满足函数关系式y M ＝－２x M ＋６,因此点M 的运动路线为直线y ＝－２x ＋６,如图７中直线l ．根据题意,可知０ɤt ɤ４．当t ＝０时,x M ＝３,y M ＝０,此时点M 在运动路径的最右下端,坐标为(３,０),即M １;当t ＝４时,x M ＝１,y M ＝４,点M 在运动路径的最左端,坐标为(１,４),即M ２．由勾股定理可以求得,在整个运动过程中,线段P Q 的中点M 所经过的路径长为M １M ２＝(３－１)２＋(０－４)２＝２５．根据例３可以发现,即使动点的坐标不是定值,但只要与变量有关,也可以建立方程组通过消元找到动点的函数关系式,从而确定动点的运动路线,从而求出动点运动的路径长度．２教学反思通过本文中的几道例题,我们发现利用平面直角坐标系可以更加便捷地解决几何图形中动点的运动路径问题．在解决问题的过程中,动点的坐标使几何问题与代数方法相结合,将变量㊁函数以及图形与代数相结合,充分体现了数形结合思想．经过这样的尝试,我们发现几何中的复杂题型都可以运用代数方法进行转换,使问题变得简单㊁清晰．这样的转换方法拓宽了学生的视野,使学生在遇到类似的问题时也能快速进行联想,充分运用已知条件和所学知识解决问题,为学生今后进一步深入学习解析几何知识打下良好的基础．总之,数学学习需要教师不断创新教学思路,从多个角度思考问题,打破常规束缚,寻找更加简便的方法．教师只有不断钻研和增长教学能力,才能使学生在学习中不断发展思维的灵活性和创新性,灵活运用数学知识,提升解题能力,从而在不断创新的解题思路中,掌握数学方法和数学思想,理解数学的本质,提升学习数学的兴趣．Z５４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
