高中数学-05高考模拟-衡阳八中高三上学期月考(二)数学(文)试题2020届(解析)20200830

衡阳市八中高三第二次月考数学（文科）试题卷（2008、09、28）说明：本卷满分共150分、时量为120分钟一、选择题：（5 × 10 = 50分，每题均有唯一正确答案）1、 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = （ ） A –4 B –6 C –8 D –102、 已知 M =｛x ｜y = x 2 + 1 ｝，N =｛y ｜y = x 2 – 1 ｝，那么M ∩N =( ) A. φ B. M C. N D. R3、 设全集=<==A C xx A R U u 则},01|{, （ ）A ．1{|0}x x ≥B ．}01|{>xx C ．{x|x ≥0} D ．{x |x ＞0}4、已知函数y = f(｜x ｜)的图象如图所示，则函数y = f(x)的图象不可能是( )5、 已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 是“}{n a 为等差数列”的 ( )A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6、 已知三个不等式，①x 2-4x+3<0，②x 2-6x+8<0，③2x 2-9x+m<0，要使同时满足①和②的所有x 的值都满足③，则实数m 的取值范围是( ) A.m>9 B.m=9 C.m ≤9 D.0＜m ≤97、 已知函数)1(log )(+=x x f a 的定义域和值域都是[0，1]，则a 的值是（ ）A ．22 B ．2 C ．2D ．318、正项等比数列｛a n ｝与等差数列｛b n ｝满足7711,b a b a ==且71a a ≠，则4a ，4b 的大小关系为 （ ） （A ） 4a =4b（B ）4a ＜4b （C ）4a ＞4b （D ）不确定9、函数f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且f(x)=-f(x+2)，当0≤x ≤1时，f(x)= ，若已知n ∈Z ，则使f(x)=- 成立的x 值为( )A.2nB.2n-1C.4n+1D.4n-110、设a 1,a 2,…，a 50是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1+a 2+…+a 50=9，且（a 1+1）2+（a 2+1）2+…+（a 50+1）2=107，则： a 1,a 2, …，a 50中为0的个数有（ ） A 、10 B 、11 C 、12 D 、13二、填空题：（5×5 = 25分）11、夏季某高山上的温度从山脚起，每升高100米降低0.7℃，已知山顶处的温度是14.8℃，山脚温度是26℃，则这山的山顶相对于山脚处的高度是 ；12、二次函数y = x 2 + 2ax + b 在[－1，+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围.13、不等式0)31(||>-x x 的解集是14、设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，则{}n a 的通项公式为 ．15、某同学在电脑中打出如下若干个圈:●○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前2008个圈中的●的个数是 ．三、解答题：（12+10+12+13+14+14=75分） 16、若函数f(x) = 2x-a+ 3的反函数的图象经过点P （5，2），试求f(x)反函数，并解不等式：f -1(x)＞ log 2x + log 2(x -5)；17、已知：数列｛a n ｝是等比数列，前n 项的和为S n ，若 S m = 20，S 2m = 60，212x试求S 4m 的值；18、设函数y = x 3 + ax 2 + bx + c 的图象如图所示，且与y = 0在原点相切，若函数的极小值为－4，（1）求a 、b 、c 的值；（2）求函数的递减区间。

2021-2021学年湖南省衡阳八中高三〔上〕第二次月考数学试卷〔文科〕一、选择题〔每题5分，共60分〕1．〔5分〕∈R，那么“＜﹣1”是“2﹣1＞0”的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．〔5分〕向量=〔λ1，1〕，=〔2，2〕，假设〔〕⊥，那么λ=〔〕A．0 B．6 C．﹣6 D．﹣123．〔5分〕i为虚数单位，复数=i〔2﹣i〕的模||=〔〕A．1 B． C． D．34．〔5分〕函数f〔〕=2〔2a﹣1〕b是偶函数，那么函数的定义域为〔〕A． B． C．〔0，2]D．[2，∞〕5．〔5分〕角α的终点经过点〔﹣3，4〕，那么co〔π﹣α〕=〔〕A． B．﹣C． D．﹣6．〔5分〕﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，那么b2〔a2﹣a1〕=〔〕A．8 B．﹣8 C．±8 D．7．〔5分〕两圆22=1和22﹣6﹣89=0，那么这两个圆的位置关系是〔〕A．相离B．相交C．外切D．内切8．〔5分〕某高校调查了2021学生每周的自习时间〔单位：小时〕，制成了如下图的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[，30]，样本数据分组为[，2021[2021，[，25〕，[25，〕，[，30]．根据直方图，假设这2021学生中每周的自习时间不超过m小时的人数为164，那么m的值约为〔〕A． B．26.5 C． D．279．〔5分〕假设关于的线性回归方程是由表中提供的数据求出，那么表中m的值为〔〕34563m4A． B．3 C． D．210．〔5分〕函数f〔〕=2﹣8n的单调递减区间为〔〕A．[2，∞〕B．〔﹣∞，2]C．〔0，2]D．〔﹣2，2〕11．〔5分〕三棱锥A﹣BCD中，，，且各顶点均在同一个球面上，那么该球的体积为〔〕A． B．4πC．2πD．12．〔5分〕设函数f〔〕=n〔〕3〔﹣1＜＜1〕，那么使得f〔〕＞f〔3﹣1〕成立的的取值范围是〔〕A．〔0，〕B．〔﹣∞，〕C．〔﹣1，〕 D．〔，〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共202113．〔5分〕函数=in〔ωφ〕〔ω＞0，0＜φ＜π〕的最小正周期为π，且函数图象关于点对称，那么函数的解析式为．14．〔5分〕两条平行直线1：〔1m〕﹣2=0和2：m24=0之间的距离为．15．〔5分〕设，是满2=4的正数，那么gg的最大值是．16．〔5分〕函数f〔〕=〔m＜﹣1〕，对于任意∈R，且≠0，均存在唯一实数t〔t≠〕，使得f〔〕=f〔t〕，假设关于的方程|f〔〕|=f〔〕有4个不相等的实数根，那么a的取值范围是．三、解答题〔共70分〕17．〔12分〕袋中放有形状大小相同的小球假设干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，从袋中随机抽取一个小球，取到标号为2的小球的概率为，现从袋中不放回地随机取出2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．〔1〕记“ab=2”为事件A，求事件A发生的概率．〔2〕在区间[0，2]上任取两个实数，，求事件B“22＞〔a﹣b〕2恒成立〞的概率．18．〔12分〕如图，四棱锥〔≠0〕与椭圆相交于B，C两点〔异于点A〕，线段BC被轴平分，且AB⊥AC，求直线的方程．21．〔12分〕函数f〔〕=n．〔1〕求f〔〕在[，3]上的最大值与最小值；〔2〕求证：f〔〕﹣〔1〕2≤﹣3﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．〔10分〕以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点小时的人数为164，那么m的值约为〔〕A． B． C． D．27【解答】解：因为2021学生中每周的自习时间不超过m小时的人数为164，那么自习时间不超过m小时的频率为：=，第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，第四组的频率为，第五组的频率为，其中前三组的频率之和=，其中前四组的频率之和=，那么落在第四组，m=25×=应选：B．9．〔5分〕假设关于的线性回归方程是由表中提供的数据求出，那么表中m的值为〔〕34563m4 A． B．3 C． D．2【解答】解：根据表中数据，计算=×〔3456〕=，=×〔3m4〕=；代入线性回归直线得，=×，解得m=．应选：C．10．〔5分〕函数f〔〕=2﹣8n的单调递减区间为〔〕A．[2，∞〕B．〔﹣∞，2]C．〔0，2]D．〔﹣2，2〕【解答】解：f′〔〕=2﹣=〔＞0〕．由f′〔〕≤0，解得0＜≤2．∴函数f〔〕=2﹣8n的单调递减区间为〔0，2]．应选：C．11．〔5分〕三棱锥A﹣BCD中，，，且各顶点均在同一个球面上，那么该球的体积为〔〕A． B．4πC．2πD．【解答】解：补体为底面边长为1，高为的长方体，外接球的球心为长方体体对角线中点，所以球的半径r=1，球的体积，应选D．12．〔5分〕设函数f〔〕=n〔〕3〔﹣1＜＜1〕，那么使得f〔〕＞f〔3﹣1〕成立的的取值范围是〔〕A．〔0，〕B．〔﹣∞，〕C．〔﹣1，〕 D．〔，〕【解答】解：显然f〔〕是奇函数，而＞0时，f〔〕递增，故＜0时，f〔〕递增，故f〔〕在〔﹣1，1〕递增，假设f〔〕＞f〔3﹣1〕，那么，解得：0＜＜，应选：A．二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共202113．〔5分〕函数=in〔ωφ〕〔ω＞0，0＜φ＜π〕的最小正周期为π，且函数图象关于点对称，那么函数的解析式为．【解答】解：函数=in〔ωφ〕〔ω＞0，0＜φ＜π〕的最小正周期为π，所以：ω=2，且函数图象关于点对称，那么：〔∈Z〕，解得：〔∈Z〕，由于0＜φ＜π，当=0时，，所以函数的解析式为：．故答案为：．14．〔5分〕两条平行直线1：〔1m〕﹣2=0和2：m24=0之间的距离为．【解答】解：由于两条直线1：〔1m〕﹣2=0和2：m24=0平行，直线的斜率存在，且=≠，求得m=1，∴两条平行直线1：2﹣2=0和2：24=0，故它们之间的距离为=，故答案为：．15．〔5分〕设，是满2=4的正数，那么gg的最大值是g2．【解答】解：∵，是满2=4的正数∴2=4≥2即≤2∴gg=g≤g2即最大值为g2故答案为g216．〔5分〕函数f〔〕=〔m＜﹣1〕，对于任意∈R，且≠0，均存在唯一实数t〔t≠〕，使得f〔〕=f〔t〕，假设关于的方程|f〔〕|=f〔〕有4个不相等的实数根，那么a的取值范围是〔﹣4，﹣2〕．【解答】解：由题意可知f〔〕在[0，∞〕上单调递增，值域为[m，∞〕，∵对于任意∈R，且≠0，均存在唯一实数t，使得f〔〕=f〔t〕，且≠t，∴f〔〕在〔﹣∞，0〕上是减函数，值域为〔m，∞〕，∴a＜0，∵|f〔〕|=f〔〕有4个不相等的实数根，∴0＜f〔〕＜﹣m，又m＜﹣1，∴0＜＜﹣m，即0＜〔1〕m＜﹣m，∴﹣4＜a＜﹣2，故答案为：〔﹣4，﹣2〕，三、解答题〔共70分〕17．〔12分〕袋中放有形状大小相同的小球假设干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，从袋中随机抽取一个小球，取到标号为2的小球的概率为，现从袋中不放回地随机取出2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．〔1〕记“ab=2〞为事件A，求事件A发生的概率．〔2〕在区间[0，2]上任取两个实数，，求事件B“22＞〔a﹣b〕2恒成立〞的概率．【解答】解：〔1〕根据从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是，可得=，解得n=2．从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有根本领件12个，其中“ab=2〞为事件A的根本领件有4个，那么〔≠0〕与椭圆相交于B，C两点〔异于点A〕，线段BC被轴平分，且AB⊥AC，求直线的方程．【解答】解：〔1〕由条件知椭圆离线率e==，∴b2=a2﹣c2=a2，将点A〔2，1〕，代入椭圆方程得解得，故椭圆方程为：；〔2〕将直线：=m〔≠0〕代入椭圆方程，24〔m〕2﹣8=0，整理得：〔142〕28m4m2﹣8=0，线段BC被平分得：BC=﹣=0，≠0，m=0，∴B，C关于原点对称，设B〔，〕，C〔﹣，﹣〕，∴2=，又∵AB⊥AC，A〔2，1〕，∴•=〔﹣2〕〔﹣﹣2〕〔﹣1〕〔﹣﹣1〕=5﹣〔12〕2=5﹣=0，解得=±，由=，直线=过点A〔2，1〕故=不符合题意，所以，此时直线的直线方程=﹣．21．〔12分〕函数f〔〕=n．〔1〕求f〔〕在[，3]上的最大值与最小值；〔2〕求证：f〔〕﹣〔1〕2≤﹣3﹣1．【解答】解：〔1〕f〔〕的定义域是〔0，∞〕，f′〔〕=n1，令f′〔〕＞0，解得：＞，令f′〔〕＜0，解得：0＜＜，故f〔〕在[，〕递减，在〔，3]递增，故f〔〕min=f〔〕=﹣，f〔〕ma=3n3；〔2〕要证f〔〕﹣〔1〕2≤﹣3﹣1，即证n﹣1≤0，令h〔〕=n﹣1，〔＞0〕，h′〔〕=﹣1=，令h′〔〕＞0，即1﹣＞0，解得：0＜＜1，令h′〔〕＜0，解得：＞1，故h〔〕在〔0，1〕递增，在〔1，∞〕递减，故h〔〕ma=h〔1〕=0，故h〔〕≤0，问题得证．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．〔10分〕以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，假设直线过点为圆心，3为半径．〔Ⅰ〕求直线的参数方程和圆C的极坐标方程；〔Ⅱ〕设直线与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|．【解答】解：〔Ⅰ〕直线的参数方程为〔t为参数〕，〔答案不唯一，可酌情给分〕圆的极坐标方程为ρ=6inθ．〔5分〕〔Ⅱ〕把代入2〔﹣3〕2=9，得，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2=﹣7，那么|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，∴|PA|•|PB|=7．〔10分〕[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔〕=2bc的顶点为〔1，﹣1〕．〔1〕解不等式|f〔〕|≥3；〔2〕假设实数a满足|﹣a|＜，求证：|f〔〕﹣f〔a〕|＜|a|．【解答】〔1〕解：函数f〔〕=2bc的顶点为〔1，﹣1〕，故，解得：b=﹣2，c=0，∴f〔〕=2﹣2，∵|f〔〕|≥3，∴f〔〕≥3，或f〔〕≤﹣3，∴2﹣2≥3，或2﹣2≤﹣3，解得≤﹣1或≥3，故不等式的解集为〔﹣∞，﹣1]∪[3，∞〕〔2〕证明：|f〔〕﹣f〔a〕|=|2﹣2﹣a22a|，=|〔﹣a〕〔a﹣2〕|，=|﹣a|•|a﹣2|，≤|a﹣2|，=|a﹣a2a﹣2|，≤〔|﹣a|2|a|2〕，=〔2|a|2〕=|a|．。

衡阳市八中2020届高三第二次月考试题理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ＝[－1，2]，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则A ∩B ＝( )A.[1，4]B.[1，2]C.[－1，0]D.[0，2]2.设i 是虚数单位，复数a ＋i1＋i为纯虚数，则实数a 的值为( )A.－1B.1C.－2D.23.函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是( )4．已知等差数列{}n a 中，27,a a 是函数2()42f x x x =-+的两个零点，则{}n a 的前项和等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列命题错误的是（ ）A.命题“ 2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“ 2,13x R x x ∀∈+≤”;B.若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题C. 双曲线22123x y -=的焦距为5D.设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α 6．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45B ．35C ．45-D ．35-7．已知函数()[](]2,,0,{ 1,0,1,sinx x f x x x π∈-=-∈则()1f x dx π-=⎰（ ）A. 2π+B.2π C. 22π-+ D. 24π-8.若()1,1x e -∈，ln a x =，ln 12xb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln x c e =，则（ ）A ． b c a >>B ．c b a >> C. b a c >> D ．a b c >> 9．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴是直线（ ）A. 12x π=B. 6x π=C. 3x π= D. 23x π=10.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，62AB =u u u r , 6AC =u u u r , 12AE ED =u u u r u u u r,则AE EB ⋅u u u r u u u r等于 （ ）A. 14-B. 9-C. 9D.1411．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G 为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A.316π B. 318π C. 48164π3131π12．若函数()y f x =， x M ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a 级类周期函数．若函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[)0,2x ∈时， ()()212,01,22,12,x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩函数()212ln 2g x x x x m =-+++．若[]16,8x ∃∈， ()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B. 13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ D. 13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a r 与b r 的夹角为030，且1a =r ，21a b -=r r ，则b =r ．14．设实数,x y 满足约束条件220402 x y x y y --⎧⎪⎨+≤-≥⎪⎩≤，则y z x =的最大值是_______.15．有一个游戏：盒子里有n 个球，甲，乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢。

湖南省衡阳市第八中学2020届高三数学上学期月考试题（二）文（含解析）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.己知集合{}23M x x =-<<，{N x y ==，则M N =I （ ）A. ()2,-+∞B. [)1,3C. (]2,1--D. ()2,3-【答案】B 【解析】 【分析】解出集合N ，再利用集合的交集运算律得出M N ⋂.【详解】{{}{}101N x y x x x x ===-≥=≥Q ，因此，[)1,3M N =I ，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键就是交集运算律的应用，考查运算求解能力，属于基础题.2.设x ∈R ，则“220x x +->”是“15x <<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式220x x +->，得出解集，再利用集合的包含关系得出两条件的充分必要性关系. 【详解】解不等式220x x +->，得2x <-或1x >，{}15x x <<Q 是{}21x x x -或的真子集，因此，“220x x +->”是“15x <<”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查必要条件的判定，一般转化为集合间的包含关系来判断，具体关系如下：（1）A B Ü，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件； （2）A B Ý，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件； （3）A B =，则“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件；（4）A B ⊄，则“x A ∈”是“x B ∈”的既不充分也不必要条件.3.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的函数是（ ） A. ()22xxf x -=-B. ()21f x x =-C. ()12log f x x =D. ()sin f x x x =【答案】B 【解析】 【分析】分析各选项中函数的奇偶性与单调性，可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数()y f x =的定义域为R ，()()22xx f x f x --=-=-，该函数为奇函数，不合乎题意；对于B 选项，函数()y f x =的定义域为R ，()()()2211f x x x f x -=--=-=，该函数为偶函数，且该函数在()0,∞+上单调递增，合乎题意；对于C 选项，函数()y f x =的定义域为()0,∞+，该函数为非奇非偶函数，不合乎题意； 对于D 选项，函数()y f x =的定义域为R ，()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，该函数为偶函数，由于()()20f f ππ==，所以，该函数在()0,∞+上不可能为增函数，不合乎题意.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，考查函数单调性与奇偶性定义的应用，属于中等题.4.设x 、y R ∈，向量()2,a x =r ，()3,b y =r ，()1,1c =-r ，且a c ⊥r r ，//b c r r，则a b +r r 等于（ ）A. 5B. 4D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据a c ⊥r r ，//b c r r，利用平面向量垂直与共线向量的坐标表示列方程组解出x 、y 的值，可得出a b +r r的坐标，然后利用平面向量的求模公式得出结果.【详解】由于a c ⊥r r ，//b c r r ，可得203x y -=⎧⎨=-⎩，解得23x y =⎧⎨=-⎩，()2,2a ∴=r ，()3,3b =-r ，()5,1a b ∴+=-r r ，因此，a b +==r r C.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算以及平面向量模的坐标表示，将题中的条件利用坐标进行转化，是解题的关键，考查化归与转化思想，属于基础题.5.已知直线y x m =-+是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为______．【答案】2 【解析】 【分析】根据导数几何意义列式求解.【详解】设切点为00(,)x x m -+，则因为000332211y x x x x x '=-∴-=-∴=（负值舍去）， 所以20003ln ,11, 2.x m x x m m -+=--+==【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.6.函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则2f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）3 B. 33 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先利用函数()y f x =的图象求出函数()y f x =的解析式，然后由解析式结合诱导公式计算出2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】由图象可知，函数()y f x =的最小正周期T 满足35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则T π=， 222T ππωπ∴===，()()2sin 2f x x ϕ∴=+， 5552sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，得5sin 16πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭. 22ππϕ-<<Q ，433ππϕ∴<<，562ππϕ∴+=，3ϕπ∴=-，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.因此，2sin 22sin 2sin 322333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A. 【点睛】本题考查利用图象求三角函数()()()sin 0f x A x b ωϕω=++>的解析式，基本步骤如下：（1）先求振幅A 与b ：()()max min2f x f x A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求频率ω：2Tπω=； （3）求初相ϕ：将对称中心坐标或顶点坐标代入解析式，利用特殊值以及角的范围确定初相的值.7.要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） A. 向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） B. 向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变）C. 向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变）D. 向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数()y f x =的解析式化为()52sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项.【详解】()2cos 22sin 22sin 233243f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q ， 因此，将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），可得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题： （1）左右平移指的是在自变量x 上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致.8.函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 利用排除法：由函数的解析式可得：()()f x f x -=-，函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当2x π=时，22sin12021142f ππππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭，选项B 错误， 本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9.已知函数()f x 满足()()f x f x =-，且在R 上是连续函数，且当(),0x ∈-∞时,()()0f x xf x '+>成立，即()()0.20.233a f =⋅，()()ln 2ln 2b f =⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D.a cb >>【答案】A 【解析】构造函数()()g x xf x =，判断出该函数的奇偶性与单调性，由()0.23a g =，()ln 2b g =，()31log 29c g g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，并比较0.23、ln 2、2-的大小关系，结合函数()y g x =的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】()()f x f x =-Q ，则函数()y f x =为偶函数， 构造函数()()g x xf x =，则函数()y g x =为奇函数， 当(),0x ∈-∞时，()()()0g x f x xf x ''=+>， 则函数()y g x =在(),0-∞上为增函数，由奇函数的性质可知，函数()y g x =在()0,∞+上也为增函数，由于函数()y f x =在R 上是连续函数，则函数()y g x =在R 上也是连续函数， 由此可知，函数()y g x =在R 上为增函数， 且()0.23a g =，()ln 2b g =，()31log 29c g g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 由中间值法可知0.231ln 202>>>>-，则()()()0.23ln 22g g g >>-，因此，a b c >>，故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合问题，考查函数值大小的关系，解题时要充分利用函数单调性与奇偶性之间的关系，难点在于构造新函数，考查函数思想的应用，属于中等题.10.已知函数()()()4101xf x a x x x =-+>+若曲线上存在不同的两点A 、B 使得曲线()f x 在A 、B 处的切线垂直，则a 的取值范围是（ ） A. ()1,+∞B. ()3,1-C. (11--D.()1-【答案】C 【解析】求出函数()y f x =的导数，求出()y f x '=在()0,∞+上的值域()1,3a a -+，将问题转化为()()131a a -+<-，解出该不等式可得出结果.【详解】()()411x f x a x x =-++Q ，()()()2411f x a x '∴=-++，易知，函数()y f x '=在()0,∞+上单调递减，当0x >时，则()24041x <<+，所以，()()241131a a a x -<-+<++，函数()y f x '=在()0,∞+上的值域()1,3a a -+，由于曲线()y f x =上存在不同的两点A 、B 使得曲线()y f x =在A 、B 处的切线垂直，所以，()()131a a -+<-，整理得2220a a +-<，解得11a -<<-+因此，实数a 的取值范围是(11---，故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线垂直关系的转化，解题的关键就是转化为导数值域问题进行求解，考查化归与转化思想，属于难题.11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()(2)0f x f x +-=, 且当[0,1)x ∈时，()ln()1x xf x e x =++,则函数1()()3g x f x x =+在区间[6,6]-上的零点个数是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B 【解析】由()()20f x f x +-=，令1x =，则()10f =，∵()()20f x f x +-=， ∴()f x 的图像关于点()1,0对称， 又()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()()()22f x f x f x =--=-， ∴()f x 是周期为2的函数.当[)0,1x ∈时，()1ln ln 111xx x f x e e x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭为增函数， 画出()f x 及13y x =-在[]0,6上的图像如图所示，经计算，结合图像易知，函数()f x 的图像与直线13y x =- 在[]0,6上有3个不同的交点，由函数的奇偶性可知， 函数()()13g x f x x =+在区间[]6,6-上的零点个数是5.12.若存在唯一的正整数0x ，使得不等式20x xax a e-->恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 240,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 241,3e e ⎛⎫⎪⎝⎭C. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.241,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知满足不等式()21x x a x e >+的解中只有一个正整数，利用导数分析函数()2x xf x e=的单调性与极值，结合函数图象得出()()1223f af a⎧>⎪⎨≤⎪⎩，于此可求出实数a 的取值范围.【详解】由题意知满足不等式()21x xa x e>+的解中只有一个正整数， 构造函数()2x xf x e =，则()()21xx f x e-'=，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<. 所以，函数()y f x =在1x =处取得极大值，即()()21f x f e==极大值. 如下图所示：结合图形可知()()1223f a fa ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，即22243a e a e ⎧<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得2413a e e ≤<，因此，实数a 的取值范围是241,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：D. 【点睛】本题考查利用导数考查函数不等式的整数解个数问题，解决这类问题的通常利用数形结合思想找出等价条件，要结合图形找出一些关键点进行分析，列出不等式组进行求解.二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13.已知函数f (x )＝22,010x x log x x ⎧≤⎨->⎩，，则f (f (－2))＝________.【答案】3 【解析】【详解】∵f (x )＝22,010x x log x x ⎧≤⎨->⎩，，∴f (－2)=14，∴f (f (－2))＝f (14)=21134log -=故答案为：3点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰.本题解答分两个层次：首先求出f (－2) 的值，进而得到f (f (－2))的值.14.若函数()1sin 223f x x p 骣÷ç=-÷ç÷ç桫，0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值是_______.【答案】4- 【解析】 【分析】 由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出23x π-的取值范围，再利用正弦函数的性质得出函数()y f x =的最小值.【详解】04x π≤≤Q ，2336x πππ∴-≤-≤，所以，函数()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，因此，函数()y f x =的最小值为()110sin 232f π⎛⎛⎫=-=⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故答案为：-【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题，解题时要求出对象角的取值范围，结合正弦函数的图象得出最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.15.已知0x >，0y >，且3x y xy +=，若23t t x y +<+恒成立，则实数t 的取值范围是________. 【答案】()4,3-. 【解析】 【分析】在等式3x y xy +=两边同时除以xy 得到311x y +=，将代数式3x y +和31x y+相乘，展开后利用基本不等式求出3x y +的最小值12，由题意得出()2min 312t t x y +<+=，解出该不等式即可得出实数t 的取值范围.【详解】0x Q >，0y >，且3x y xy +=，在等式3x y xy +=两边同时除以xy 得311x y+=，由基本不等式得()319336612x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当3x y =时，等号成立，所以，3x y +的最小值为12，由于不等式23t t x y +<+恒成立，则()2min 312t t x y +<+=，即2120t t +-<，解得43t -<<，因此，实数t 的取值范围是()4,3-，故答案为：()4,3-.【点睛】本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.16.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“关联函数”，区间[],a b 称为“关联区间”.若()ln f x x x =-与()2g x m x=-+在[]1,3上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】113ln 2,ln 33⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】令()()0f x g x -=，可得出2ln m x x x=-+，将问题转化为直线y m =与函数()2ln h x x x x=-+在区间[]1,3上的图象有两个交点，求实数m 的取值范围，然后利用导数分析函数()y h x =的单调性与极值以及端点函数值，可得出实数m 的取值范围. 【详解】令()()0f x g x -=，得2ln 0x x m x -+-=，得2ln m x x x=-+.问题等价于直线y m =与曲线()2ln h x x x x=-+在区间[]1,3上的图象有两个交点，求实数m 的取值范围.()2221221x x h x x x x--'=--=，令()0h x '=，得2x =. 当12x <<时，()0h x '<；当23x <<时，()0h x '>.所以，函数()y h x =在2x =处取得极小值，亦即最小值，且()()min 23ln 2f x f ==-.又()13f =，()113ln 33f =-，且()()13f f >. 因此，当113ln 2ln 33m -<≤-时，直线y m =与函数()2ln h x x x x=-+在区间[]1,3上的图象有两个交点，故答案为：113ln 2,ln 33⎛⎤--⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查函数新定义问题，解题的关键就是将问题转化为函数零点来处理，并利用参变量分离法来处理，考查化归与转化数学思想，属于难题.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答） （一）必考题:共60分. 17.已知函数()()323f x ax bx=+，在1x =时有极大值3.（1）求a 、b 的值；（2）求函数()f x 在[]1,3-上最值.【答案】（1）2a =-，3b =；（2）最大值()115f -=，最小值()381f =-. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的导数()f x '，由题意得出()()1310f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，列出a 、b 的方程组，可解出实数a 、b 的值；（2）由（1）得出()3269f x x x '=-+，利用导数求出函数()y f x =在区间[]1,3-上的极值，并与端点函数值比较大小，可得出函数()y f x =在区间[]1,3-上的最大值和最小值. 【详解】（1）()()323f x ax bx=+Q ，()296f x axbx '∴=+，由题意得()()13331960f a b f a b ⎧=+=⎪⎨=+='⎪⎩，解得23a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知()3269f x x x =-+，则()()21818181f x x x x x '=-+=--.令()0f x '=，得0x =或1x =，列表如下：因此，函数()y f x =在区间[]1,3-上的最大值()115f -=，最小值()381f =-. 【点睛】本题考查导数与导数的极值、以及利用导数求最值，解题时要注意导数与极值、最值之间的关系，同时要注意导数求函数最值的基本步骤，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.已知函数()()22cos sin cos f x x x x x a x R =---∈的最大值为5.（1）求a 的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递减区间.【答案】（1）3-；（2）最小正周期为π，单调递减区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）将函数()y f x =解析式利用二倍角公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，利用函数()y f x =的最大值可求出实数a 的值；（2）由（1）得出()2cos 233f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用周期公式可计算出函数()y f x =的最小正周期，再由()2223k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解出该不等式可得出函数()y f x =的单调递减区间.【详解】（1）由题意可得()22cos sin cos cos22f x x x x x a x x a=---=-12cos 222cos 2cos sin 2sin 2cos 222333x x a x x a x a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()y f x =的最大值为25a -=，因此，3a =-； （2）由（1）知，()2cos 233f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==. 由()2223k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，因此，函数()y f x =的单调递减区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角函数的基本性质，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式进行化简，并结合正、余弦函数的基本性质进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5cB a=，11cos 14B =.（1）求角A 的大小；（2）设BC 边的中点为D ，AD =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）23π；（2）【解析】 【分析】（1）计算出sin B 的值，代入题中等式可得出37a c =，利用正弦定理边角互化思想得出()3sin 7sin 7sin A C A B ==+，利用两角和的正弦公式展开后可求出tan A 的值，结合角A的范围可得出角A 的值；（2）在ABD ∆中，由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，求出c 和a 的值，再利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积.【详解】（1）由11cos 14B =，得sin B = 又sin 5B c =，37a c ∴=， 由正弦定理有sin sin a c A C=得3sin 7sin A C =，()3sin 7sin A A B ∴=+即113sin 7sin cos 7cos sin sin 2A A B A B A A =+=+，化简得sin A A +=0，tan 0A ∴=，tan A ∴=0A π<<Q ，23A π∴=； （2）37a c =Q ，73a c ∴=，1726BD a c ∴==，在ABD ∆中，由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，即2277112196614c c c c ⎛⎫+-⨯⨯= ⎪⎝⎭，解得6c =，则7143a c ==，11sin 6142214ABC S ac B ∆∴==⨯⨯⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，在求解三角形的问题时，可充分利用边角互化思想结合三角恒等变换思想进行计算求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.20.如图，在五面体ABCDFE 中，侧面ABCD 是正方形，ABE ∆是等腰直角三角形，点O 是正方形ABCD 对角线的交点EA EB =，26AD EF ==且//EF AD .（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）若侧面ABCD 与底面ABE 垂直，求五面体ABCDFE 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）45. 【解析】 【分析】（1）取AB 的中点M ，连接OM 、EM ，证明四边形OFEM 为平行四边形，可得出//OF EM ，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出//OF 平面ABE ；（2）取AD 的中点G ，BC 的中点H ，连接GH 、FG 、FH ，将五面体ABCDFE 分割为三棱柱ABE GHF -和四棱锥F CDGH -，证明出AD ⊥底面ABE 和OF ⊥平面ABCD ，然后利用柱体和锥体体积公式计算出两个简单几何体的体积，相加可得出五面体ABCDFE 的体积.【详解】（1）取AB 的中点M ，连接OM 、EM ，Q 侧面ABCD 为正方形，且AC BD O =I ，O ∴为AC 的中点，又M Q 为AB 的中点，//OM BC ∴且12OM BC =， //EF BC Q 且12EF BC =，//OM EF ∴，所以，四边形OFEM 为平行四边形，//OF EM ∴.OF ⊄Q 平面ABE ，EM ⊂平面ABE ，//OF ∴平面ABE ；（2）取AD 的中点G ，BC 的中点H ，连接GH 、FG 、FH ，Q 四边形ABCD 为正方形，AD AB ∴⊥.Q 平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD I 平面ABE AB =，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥底面ABE ，易知3EF =，AE BE ==(2192ABE S ∆=⨯=，9327ABE GHF ABE V S EF -∆=⋅=⨯=，M Q 为AB 中点，EA EB =，EM AB ∴⊥，AD ⊥Q 平面ABE ，EM ⊂平面ABE ，EM AD ∴⊥，AB AD A =Q I ，AB 、AD ⊂平面ABCD ，EM ∴⊥平面ABCD .//OF EM Q ，OF ∴⊥平面ABCD ，且3OF EM ==，1633183F CDGH V -∴=⨯⨯⨯=，因此，271845ABCDFE V =+=五面体.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，以及多面体体积的计算，在计算多面体体积时，一般有以下几种方法：（1）直接法；（2）等体积法；（3）割补法.在计算几何体体积时，要结合几何体的结构选择合适的方法进行计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.21.已知()ln f x ax x =-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，都有()x f x a ⋅≥，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，对a 分0a ≤和0a >两种情况，分析()f x '在()0,∞+上的符号，可得出函数()y f x =的单调区间；（2）由()x f x a ⋅≥，转化为1ln 0a x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，构造函数()1ln a x x x g x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，且有()10g =，问题转化为()()1g x g ≥，对函数()y g x =求导，分析函数()y g x =单调性，结合不等式()()1g x g ≥求出实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()ln f x ax x =-的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=. ①当0a ≤时，对任意的0x >，()0f x '<，此时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,∞+； ②当0a >时，令()0f x '<，得10x a <<；令()0f x '>，得1x a>. 此时，函数()y f x =的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2）()x f x a ⋅≥Q ，即2ln ax x x a -≥，得2ln 0ax a x x --≥， 又1x ≥，不等式两边同时除以x ，得ln 0a ax x x --≥，即1ln 0a x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭.易知()10g =，由题意可知()()1g x g ≥对任意的1x ≥恒成立，()22ax x ag x x-+'=. ①若0a ≤，则当1x >时，10x x->，ln 0x >，此时()0g x '<， 此时，函数()y g x =在[)1,+∞上单调递减，则()()1g x g ≤，不合乎题意； ②若0a >，对于方程20ax x a -+=. （i ）当2140a ∆=-≤时，即12a ≥，()0g x '≥恒成立， 此时，函数()y g x =在[)1,+∞上单调递增，则有()()1g x g ≥，合乎题意； （ii ）当2140a ∆=->时，即102a <<时， 设方程20ax x a -+=的两个不等实根分别为1x 、2x ，且12x x <， 则121=x x ，1210x x a+=>，所以，210x x >>，21221x x x ∴=<，21x ∴>. 当21x x <<时，()0g x '<；当2x x >时，()0g x '>，()()21g x g ∴<，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题方法就是利用分类讨论法进行求解，解题时要找出参数分类讨论的依据，考查分类讨论数学思想的应用，属于难题.(二)选考题(共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分)选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2x ty t =⎧⎨=+⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为34πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）过直线l 上的一点向圆C 引切线，求切线长的最小值.【答案】（1）22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2. 【解析】 【分析】（1）将圆C 的极坐标方程利用两角和的正弦公式展开，并在等式两边同时乘以ρ，再由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩可将圆C 的极坐标方程化为普通方程； （2）设直线l 上任意一点P 的坐标为(),2t t +，利用勾股定理以及两点间的距离公式得出切，转化为关于t 的二次函数求出切线长的最小值. 【详解】（1）34πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭Q，33sin cos cos sin 44ππρθθ⎫∴=+⎪⎭， 即cos sin ρθθ=-，等式两边同时乘以ρ得2cos sin ρρθρθ=-，所以，圆C 的普通方程为22x y x y +=-，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）设l 上任意一点(),2P t t +，11,22C ⎛⎫-⎪⎝⎭Q，半径2r =， ∴2==≥，当且仅当1t =-时，切线长取最小值2.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，同时也考查了圆的切线长的计算，计算时可以代数法求解，也可以利用几何法结合勾股定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()1f x x x a a=-++，0a >. （1）若2a =，求不等式()3f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式.()4f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)93[,]44-；(2) (0,2(2)⋃+∞. 【解析】【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，得出所求不等式为1232x x -++≤，然后利用零点分段法去绝对值，分段解出不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式得出()min 11f x a a a a=+=+，由题意得出()min 4f x >，即14a a+>，在0a >时，解出该不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）2a =时，不等式为1232x x -++≤. 当2x -≤时，不等式化为1232x x -+--≤，94x ∴≥-，此时924x -≤≤-； 当122x -<<时，不等式化为532≤恒成立，此时122x -<<； 当12x ≥时，不等式化为1232x x -++≤，34x ∴≤，此时1324x ≤≤. 综上，不等式的解集为93,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （2）()()111f x x x a x a x a a a a ⎛⎫=-++≥+--=+ ⎪⎝⎭，()()min 44f x f x >⇔>Q ，14a a ∴+>，又0a >Q ，14a a∴+>，解得02a <<2a >即a 的取值范围是(()0,22+∞U .【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式恒成立问题的求解，涉及绝对值三角不等式的应用，在求解恒成立问题时，需结合条件转化为函数的最值来处理，考查化归与转化数学思想的应用，属于中等题.。

衡阳市八中2019届高三第二次月考试题文科数学请注意： 时量120分钟 满分150分第I 卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求. 1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,B x x n n A ==?，则AB = ( )A.{}1,2B.{}1,4C.{}2,3D.{}9,16 2*.已知复数2b ia i i++=(,a b 是实数)，其中i 是虚数单位，则复数a bi +的共轭复数是( )A.12i +B.12i -+C.12i -D.12i --3*.已知直线l 的倾斜角为q且过点，其中1sin()22p q-=，则直线l 的方程为( )20y --=40y +-=C.0x -=360y +-=4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第2天走了( )A ．24里 B. 48里 C ．96里 D.192里5.已知13241,log 3,log 72a b c 骣÷ç===÷ç÷ç桫，则,,a b c 的大小关系为( ) A. a b c << B.b a c << C.c a b << D.a c b << 6.已知向量,a b 满足||1=a，||+=a b1)=-b ，则,a b 的夹角等于( )A.3p B.6p C.23p D.56p 7.已知,x y 满足约束条件020x y x y y ì-?ïïï+?íïï³ïïî，若z ax y =+的最大值为4，则a =( )A.3B.2C.2-D.3-8.设,,D E F 分别为ABC D 三边,,BC CA AB 的中点，则EB FC +=( )C A 1 A.12BC B.12AD C.BC D.AD9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11A B的中点是P ，过点1A 作与截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为( )A.410*.在等差数列中{}n a ，121a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围是( ) A. 21[3,)8--B.7(,3)2--C. 21(3,)8--D. 7[,3)2--11.已知函数()2sin()(0,0)f x x =w +j w><j <p 相邻两条对称轴间的距离为32p，且()02f p=，则下列说法正确的是( ) A. 2w=B. 函数()y f x =-p 是偶函数C. 函数()f x 的图象关于点3(,0)4p 对称 D. 函数()f x 在,2轾p 犏-p -犏臌上单调递增12.已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为( )A. (,]e -?B.(,)e -?C.(,)e -+?D.[,)e -+?第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13*.若1sin 2,2q=，则2cos ()4pq+= . 14.若过点(2,3)P 作圆22:20M x x y -+=的切线l ，则直线l 的方程为 .15*.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积是_______2cm ．16*.己知实数,,,a b c d 满足2ln ,21b a d c ==+，则22()()a c b d -+-的最小值 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.(本小题12分) ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知c o ss i 3.C c a -=(1)求B ；(2)若3,7,a b D ==为AC 边上一点，且sin BDC ?BD .18*.(本小题12分) 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且*2()n n S a n n N =-?．(1)证明：{}1n a +是等比数列；(2) 若数列2log (1)n n b a =+，求数列21211n n b b -+禳镲镲睚镲镲铪的前n 项和n T ．19.(本小题12分) 如图在三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA CA CB ====，13BAA p?. (1)证明：1AB A C ^；(2*)若11cos 4CAA ?，求四棱锥111A BB C C -的体积. B 1C 120*.(本小题12分) 已知过点(0,2)P -的圆M 的圆心在x 轴的非负半轴．．．．上，且圆M 截直线20x y +-=所得弦长为(1)求圆M 的标准方程；(2)若过点(0,1)Q 的直线l 交圆M 于,A B 两点，求当PAB D 的面积最大时直线l 的方程.21*.(本小题12分) 已知函数1ln ()(1),2a xf x x a x=+--，其中a R Î．(1)试讨论函数()()F x xf x =的单调性； (2)若a Z Î，且函数()f x 有两个零点，求实数a 的最小值．22.(本小题10分) (选修4-5：不等式选讲) 已知不等式|||3|6x x x +-<+的解集为(,)m n ．(1)求,m n 的值；(2)若0,0,0x y nx y m >>++=，求证：16x y xy +?．衡阳市八中2019届高三第二次月考试题文科数学参考答案命题人：彭源 审题人：吕建设请注意： 时量120分钟 满分150分第I 卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求. 1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,B x x n n A ==?，则AB = ( B )A.{}1,2B.{}1,4C.{}2,3D.{}9,16 2*.已知复数2b ia i i++= (,a b 是实数)，其中i 是虚数单位，则复数a bi +的共轭复数是( A )A.12i +B.12i -+C.12i -D.12i --3*.已知直线l 的倾斜角为q 且过点，其中1sin()22p q-=，则直线l 的方程为( B ) 20y --=40y +-= C.0x -=360y +-=4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第2天走了( C )A ．24里 B. 48里 C ．96里 D.192里5.已知13241,log 3,log 72a b c 骣÷ç===÷ç÷ç桫，则,,a b c 的大小关系为( D ) A. a b c << B.b a c << C.c a b << D.a c b << 6.已知向量,a b 满足||1=a ，||+=a b 1)=-b ，则,a b 的夹角等于( A )A.3p B.6p C.23p D.56p 7.已知,x y 满足约束条件020x y x y y ì-?ïïï+?íïï³ïïî，若z ax y =+的最大值为4，则a =( B )A.3B.2C.2-D.3-8.设,,D E F 分别为ABC D 三边,,BC CA AB 的中点，则EB FC +=( D ) A. 12BC B.12AD C.BC D.AD 9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11A B 的中点是P ，过点1A 作与1截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为( C )A.410*.在等差数列中{}n a ，121a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围是( C ) A. 21[3,)8--B.7(,3)2--C. 21(3,)8--D. 7[,3)2--11.已知函数()2sin()(0,0)f x x =w +j w><j <p 相邻两条对称轴间的距离为32p，且()02f p=，则下列说法正确的是( D ) A. 2w=B.函数()y f x =-p 是偶函数C. 函数()f x 的图象关于点3(,0)4p 对称D. 函数()f x 在,2轾p 犏-p -犏臌上单调递增12.已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为( A )A. (,]e -?B.(,)e -?C.(,)e -+?D.[,)e -+?第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.若1sin 2,2q=，则2cos ()4p q+= 14. 14.若过点(2,3)P 作圆22:20M x x y -+=的切线l ，则直线l 的方程为 4310x y -+= 或 20x -= .15*.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积是_163p__2cm ．16*.己知实数,,,a b c d 满足2ln ,21b a d c ==+，则22()()a c b d -+-的最小值95. 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.(本小题12分) ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知c o ss i 3.C c a -=(1)求B ；(2)若3,7,a b D ==为AC边上一点，且sin 3BDC?，求BD . 解：(1)3cos sin cossin sin bC c B B C C B A -=\-=sin sin sin tan C B B C B \-=\=- 20,3B B p<<p \=(2)在ABC D 中，由2222cos b a c ac B =+-得23400c c +-=，5c ∴=由sin sin c b C B =得57sin 2sin sin 3C C π=∴=在BCD D 中，由sin sin BD a C BDC =∠得4514BD =.18*.(本小题12分) 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且*2()n n S a n n N =-?． (1)证明：{}1n a +是等比数列；(2) 若数列2log (1)n n b a =+，求数列21211n n b b -+禳镲镲睚镲镲铪的前n 项和n T ． 解：(1)当1n 时，111211S a a =-\=11122(1)21n n n n n n S a n S a n a a +++=-\=-+\=+112(1)n n a a +\+=+\{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)得：212log 2nn n n a b n +=\==，212111111()(21)(21)22121n n b b n n n n -+\==--+-+111111(1)2335212121n nT n n n \=-+-++-=-++19.(本小题12分) 如图在三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA CA CB ====，13BAA p?. (1)证明：1AB A C ^；(2*)若11cos 4CAA ?，求四棱锥111A BB C C -的体积.(1)证明：取AB 的中点O ，连结1,A O CO ，易证1,,AB AO AB CO ^^AB \^平面11,AOCAB AC \^(2)解：由22211112cos A C AA AC AA AC CAA =+-?得，1AC =，又2221111,AO CO AO CO AC AO CO ==\+=\^由(1)可知1AB A O ^，1A O \^平面ABC1111111112223A BBC C ABC A B C A ABC A ABC ABC V V V V S AO ----D \=-===20*.(本小题12分) 已知过点(0,2)P -的圆M 的圆心在x 轴的非负半轴．．．．上，且圆M 截直线 20x y +-=所得弦长为1B 1C 1(1)求圆M 的方程；(2)若过点(0,1)Q 的直线l 交圆M 于,A B 两点，求当PAB D 的面积最大时直线l 的方程. 解：(1)设圆M 的方程为：222()(0)x a y r a -+=? 则圆心M 到直线20x y +-=由题意得：222242a r r ìï+=ïïïíï+=ïïïî由题意得204a r ì=ïïíï=ïî 所以所求圆M 的方程为：224x y +=(2) 由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+则圆心M 到直线lAB =(或由12()AB x x =+AB =又点(0,2)P -到直线l 的距离等于d =，所以13(42PAB S AB dD ==-因为20k ³，所以当0k =时，max ()PAB S D =所以所求直线l 方程为：10y -=21*.(本小题12分) 已知函数1ln ()(1),2a xf x x a x=+--，其中a R Î．(1)试讨论函数()()F x xf x =的单调性； (2)若a Z Î，且函数()f x 有两个零点，求实数a 的最小值．解：(1) 21()()(1)ln (0)2F x xf x x a x a x x ==+-->，则 (1)()()(1)a x x a F x x a x x+-¢=+--=当0a £时，()0F x ¢>，所以函数()F x 在(0,)+?上单调递增； 当0a >时，若(0,)a ，则()0F x ¢<，若(,)a +?，则()0F x ¢> 所以函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +?上单调递增；综上可知，当0a £时，，函数()F x 在(0,)+?上单调递增；当0a >时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +?上单调递增；(2) 函数()f x 有两个零点等价于21()(1)ln (0)2F x x a x a x x =+-->有两个零点. 由(1)可知，当0a £时，，函数()F x 在(0,)+?上单调递增，()F x 最多一个零点，不符合题意。

湖南省衡阳市第八中学高三数学上学期第二次月考试题文文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ） A ．5A ∈ B ．1.5A ∉ C ．1A -∉ D ．0A ∈ 【答案】A2．已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，则p ⌝为（ ） A ．10,2x x x ∀>+< B ．10,2x x x ∀≤+<C ．10,2x x x ∃≤+<D ．10,2x x x∃>+<【答案】D3．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x =【答案】B4．集合{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=≤,则A B =（ ）A ．()1,3B ．[]1,3C ．[]1,+∞D ．[],3e 【答案】B5．若函数()y f x =的定义域是[]1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（ ） A ．(]0,2016 B ．[]0,2015 C ．(]1,2016 D ．[]1,2017 【答案】B 6．“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】B7．若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（ ）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()321f f f <-< 【答案】D8．函数()[]()cos 2,x f x x ππ=∈-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C9．已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2，则()=2016f （ ）A 、-12B 、-16C 、-20D 、0 【答案】A10．定义运算：,,a a ba b b a b ≤⎧*=⎨>⎩．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）A ．22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,1- C ．2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．21,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】D11．函数()log 1xa f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A ．()1,10 B ．()1,+∞ C ．()0,1 D ．()10,+∞ 【答案】B12．设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016 【答案】D二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.）13．已知函数()22,0,1log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩则()()2f f -=______．【答案】314．函数()xf x xe =在点()()1,1f 处的切线的斜率是 .【答案】2e15．幂函数1222)33)(+-+-=m m xm m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m 【答案】216．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A B k k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),3A B ϕ>；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）【答案】②③ 【解析】：①错：(1,1),(2,5),||17,||7,A B A B AB k k =-=7(,)317A B ϕ∴=<； ②对：如1y =；③对；22222|22|2(,)2()()1()A B A B ABA B x x A B x x x x x x ϕ-==≤-+-++；④错；1212121222212||||(,)()()1()x x x x x x x x e e e e A B x x e e e e ϕ--==-+-+-，121212221()1111,(,)||()x x x x x x e e A B e e e e ϕ+-==+>--因为1(,)t A B ϕ<恒成立，故1t ≤.三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设集合{}{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=．（1）若15a =，判断集合A 与B 的关系； （2）若A B B =，求实数的组成的集合C ．【答案】{}5,3=A （1）若51=a ，则{}5=B ，于是A B ⊆（2）若B B A = ，则A B ⊆，分如下两种情形讨论：①当a=0时，A B ⊆=φ符合题意②当0≠a 时，由{}5,31⊆⎭⎬⎫⎩⎨⎧=a B ，则a=3或5. 故实数a 组成集合{}5,3,0=C .18．衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名后按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【答案】（1）第3组的人数为0.310030⨯=，第4组的人数为0.210020⨯=，第5组的人数为0.110010⨯=，因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为第3组：306360⨯=；第4组：206260⨯=；第5组：106160⨯=. 所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人.（2）记第3组的3名志愿者为123,,A A A ，第4组的2名志愿者为12,B B ，则从5名志愿者中抽取2名志愿者有12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，共10种，其中第4组的2名志愿者12,B B 至少有一名志愿者被抽中的有11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为710.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,A A AB CB A ABB =⊥．（1）求证：1AB ⊥平面1A BC ；（2）若15,3,60AC BC A AB ==∠=，求三棱锥1C AA B -的体积．【答案】（1）在侧面11A ABB 中，因为1A A AB =，所以四边形11A ABB 为菱形，所以11AB A B ⊥，因为CB ⊥平面111,A ABB AB ⊂平面11A ABB ，所以1CB AB ⊥，又因为11,A B BC B AB =∴⊥平面1A BC ．（2）因为CB ⊥平面11,A ABB AB ⊂平面11A ABB ，AB ⊂平面11A ABB ，CB AB ∴⊥，在Rt ABC ∆中，5,3AC BC ==，所以由勾股定理，得4AB =，又在菱形11A ABB 中，160A AB ∠=，所以1A AB ∆为正三角形，则11111443332C AA B AA B V S CB -∆=⨯=⨯⨯⨯=三棱锥20．2()sin 2f x x x =+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()12Af =，ABC ∆的面积为的最小值.【答案】（1）111()cos 22sin(2)22262f x x x x π=-+=-+， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，∴()f x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++（k Z ∈）.（2）∵1()sin()1262A f A π=-+=，∴1sin()62A π-=，∴3A π=.又∵1sin 23bc π=，∴12bc =，∵222222cos 12a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥=，∴a ≥（当且仅当b c ===”）∴的最小值是考点：正弦函数的图象和性质、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用． 21．已知条件4:11p x ≤--，条件22:q x x a a +<-，且p 是的一个必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】由411x ≤--得:31p x -≤<，由22x x a a +<-得()()10x a x a +--<⎡⎤⎣⎦，当12a =时，:q ∅；当12a <时，():1,q a a --；当12a >时，():,1q a a --由题意得，p 是的一个必要不充分条件，当12a =时，满足条件；当12a <时，()[)1,3,1a a --⊆-得11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，当12a >时，()[),13,1a a --⊆-得1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦综上，[]1,2a ∈-．已知函数 22．已知函数()2ln f x x bx a x =+-.（1）当函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*0,1,x n n n N ∈+∈，求的值；（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且1202x x x +=，求证：()0f x '>． 【答案】（1）()2a f x x b x '=+-，所以()()12511106f b a b f b a '=+-=-⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩， ∴函数()f x 的解析式为()()26ln 0f x x x x x =-->；（2）()()226266ln 21x x f x x x x f x x x x --'=--⇒=--=，因为函数()f x 的定义域为0x >，令()()()2323022x x f x x x x+-'==⇒=-=或，当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且函数()f x 的定义域为0x >，令()()()2323022x x f x x x x+-'==⇒=-=或，且()0,2x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，且函数()f x 至少有1个零点，而()10f =，不符合要求，()()()()2361ln 30,462ln 46ln 04e f f =-<=-=>，∴()03,4x ∈，故3n =．（3）当1a =时，函数()2ln f x x bx x =+-，()()2211112222ln 0,ln 0f x x bx x f x x bx x =+-==+-=，两式相减可得()()22121212121212ln ln ln ln 0,x x x x b x x x x b x x x x --+--+==-+-．()()000112,2f x x b f x x b x x ''=+-=+-，因为1202x x x +=，所以()()12120121212ln ln 222x x x x f x x x x x x x +-'=⨯+-+--+()21212121122112212221112ln ln 21ln ln 211ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -⎡⎤-=-=--⎢⎥-+-+⎣⎦⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦设()()21211,ln 1t x t h t t x t -=>=-+， ∴()()()()()()22222141140111t t t h t t t t t t t +--'=-==>+++，所以()h t 在()1,+∞上为增函数，且()10h =，∴()0h t >，又211x x >-，所以()00f x '>．考点：导数几何意义，零点存在定理，构造函数证明不等式【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.。

湖南省衡阳八中2020届高三上学期11月月考数学（文科）一、单选题1．已知命题:0p x ∀>,总有()1e 1xx +≥,则p ⌝为 A ．00x ∃>,使得()001e 1xx +<B ．00x ∃<,使得()001e 1xx +<C ．0x ∀>,总有()1e 1xx +≤ D ．0x ∀≤,总有()1e 1xx +≤2．在一个棱长为3cm 的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为1cm 的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面有三个面涂有颜色的概率是（ ） A ．49B ．827C ．29D ．1273．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（ ）A ．向右平移6π个单位长度B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移12π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为﹣2， 则判断框①中可以填入的条件是（ ） A ．n ≥999 B ．n ＜9999 C ．n ≤9999D ．n<9995. 某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：临界值参考:（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）参照附表，得到的正确结论是 A ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关” C ．有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”D ．有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”6．在△ABC 中，已知向量AB 与AC 满足()0AB AC BC ABAC+⋅=，且0A B A CA B A C⋅=，则△ABC 为（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等腰直角三角形7．已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若直线2F H 的斜率为C 的离心率为( )A ．2B CD ．38.元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两秤=10斤,1斤=10两,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,则得银最少的3个人一共得银A.两 B.889127两 C. 111131两 D. 84031两 9．设01a a >≠且，设函数()log xa f x a x =-，则当a 变化时，函数()f x 的零点个数可能是（ ） A.1个或2个B.1个或3个C.2个或3个D.1个或2个或3个10．小金同学在学校中贯彻着“在玩中学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A 、B 、C 三个木桩，A 木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B 木桩上，则所需的最少次数为（ ）A ．69B ．64C ．61D ．6311．已知定义在R 上的函数()g x ，其导函数为()g x '，若3()()g x g x x =-+，且当0x …时，23()2g x x >'，则不等式22(1)2()331g x g x x x <++-+的解集为( ) A ．1(2-，0) B ．1(,)2-∞- C ．1(2，)+∞ D ．1(,)2-∞12．定义在R 上的函数()f x 若满足：①对任意1x 、()212x x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦；②对任意x ，都有()()2f a x f a x b ++-=，则称函数()f x 为“中心撇函数”，点(),a b 称为函数()f x 的中心.已知函数()32y f x =++是以()3,2-为中心的“中心撇函数”，且满足不等式()()2233f m n f n m -≤--+，当3,02n ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2m n +的取值范围为（ ）A ．[]6,0-B ．[]2,0-C ．[]2,4D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13．已知复数11i z i-=+(i 为虚数单位），则____z = 14.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线的准线为l ,直线l 与双曲线22123x y -=的两条渐近线分别交于A,B 两点,AB =则p 的值为______．15.在中,A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,已知222a b c +-=,且sin 3sin ac B C =,则的面积为______．16．如图，在边长为3正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在正方体的表面上移动，且满足11B P D E ⊥，当P 在CC 1上时，AP=_______,点1B 和满足条件的所有点P 构成的平面图形的面积是_______.三、解答题17．已知向量(2cos ),(3cos )a x x b x x ==-，函数()2f x a b m =⋅-，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最大值为1-.（1）求m 的值，并求()f x 的单调递减区间；（2）先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的23倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程11()2g x =-在区间2[0,]3π上所有根之和.18．已知函数()tan f x x =-，函数()y f x =在()0,∞+上的零点按从小到大的顺序构成数列{}()Nn a n *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设232(3)(321)nn a b n n n π=++-，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19．在四棱锥P ABCD -中，090ABC ACD ∠=∠=,060BAC CAD ∠=∠=，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 中点，M 为AD 中点，F 为PC 中点,23PA AB ==． （1）求证： //EF 平面ABCD ； （2）证明：AF ⊥平面PCD ； （3）求三棱锥E ACF -的体积.20．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2x =-. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于,A B 两点(异于左右顶点)，椭圆C 的左顶点为D ，试判断直线AD 的斜率与直线BD 的斜率之积与12-的大小，并说明理由.21．已知函数()()ln 1,f x mx x e m R e =-++∈为自然数2.71828.（1）若函数()f x 存在不小于3e +的极小值，求实数m 的取值范围； （2）当1m =-时，若对[),x e ∀∈+∞，不等式()()0x ex e eaf x --+≥恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知曲线1C ：sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2C ：(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位. （Ⅰ）求出1C ，2C 的普通方程.（Ⅱ）若曲线2C 上的点M 到曲线1C 的距离等于为d ，求d 的最大值并求出此时点M 的坐标；23．已知函数()1f x x x x a =---. （I ）当2a =时，求不等式()1f x <的解集；（II ）若()1,x ∈+∞时，()2f x x >-恒成立，求实数a 的取值范围.数学（文科）参考答案一、单选题1．已知命题:0p x ∀>,总有()1e 1xx +≥,则p ⌝为 A ．00x ∃>,使得()001e 1xx +<B ．00x ∃<,使得()001e 1xx +<C ．0x ∀>,总有()1e 1xx +≤ D ．0x ∀≤,总有()1e 1xx +≤ 【答案】A 【解析】 【详解】命题的否定是对命题结论的否定，全称命题的否定是特称命题，因此p ⌝为00x ∃>,使得()001e 1xx +<，故选A.2．在一个棱长为3cm 的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为1cm 的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面有三个面涂有颜色的概率是（） A ．49B ．827C ．29D ．127【答案】B 【解析】 【分析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面有三个面涂有颜色，有8种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个， 可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面有三个面都涂色，有8种结果，所以所求概率为827． 故选：B ．3．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移12π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度【答案】A 【解析】 【分析】由图象求得函数解析式的参数，再利用诱导公式将异名函数化为同名函数根据图象间平移方法求解. 【详解】由图象可知1A =，又712344Tπππ-==，所以T π=， 又因为2T πω=，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又因为771,sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-∴⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又||2ϕπ<，所以,3πϕ= 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为()sin 2g x x =，故只需向右平移6π个单位长度.故选A.4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为﹣2，则判断框①中可以填入的条件是（ ）A ．n ≥999B ．n ＜9999C ．n ≤9999D ．n<999【答案】B 【解析】 【分析】分析循环结构中求和式子的特点，可到最终结果：2lg(1)S n =-+，当2S =-时计算n 的值，此时再确定判断框的内容.【详解】由图可得：2lg1lg 2lg 2lg3...lg lg(1)S n n =+-+-++-+，则2lg(1)2S n =-+=-，所以9999n =，因为此时需退出循环，所以填写：9999n <.故选：B.6. 某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：临界值参考:（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）参照附表，得到的正确结论是 A ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关” C ．有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”D ．有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”【答案】A由公式2255(2020105)11.97810.82830252530K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，有99.9%的把握认为喜欢统计专业与性别有关；即在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”，故选A.6．在△ABC 中，已知向量AB 与AC 满足()0AB AC BC ABAC+⋅=，且0A B A CA B A C⋅=，则△ABC 为（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】 解:0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭,A ∴∠的角平分线与BC 垂直,AB AC ∴=,cos 0||||AB AC A AB AC =⋅=2A π∴∠=∴三角形为等腰直角三角形,故选D ．7．已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若直线2F H 的斜率为3-，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B CD ．3【答案】A 【详解】由题意可知,渐近线方程为b y x a=±，由2230F H k HF O =∠=所以，260,tan 603b HOF a ∠===所以即，224c a=所以,故2c a =答案选A.8.元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两秤=10斤,1斤=10两,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,则得银最少的3个人一共得银A.两 B.889127两 C. 111131两 D. 84031两 【答案】D 【解答】解：一秤一斤十两共120两,将这5人所得银两数量由小到大记为数列,则是公比的等比数列,于是得55115(1)(12)120112a q a S q --===--,解得112031a =, 故得银最少的3个人一共得银数为2123120840(122)3131a a a ++=++=(两． 故选D ．9．设01a a >≠且，设函数()log xa f x a x =-，则当a 变化时，函数()f x 的零点个数可能是（ ） A.1个或2个 B.1个或3个 C.2个或3个 D.1个或2个或3个【答案】D【解析】将零点问题化归为函数图像交点问题，然后由数形结合可知，存在以下三种情况：10．小金同学在学校中贯彻着“在玩中学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A 、B 、C 三个木桩，A 木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B 木桩上，则所需的最少次数为（ ）A ．69B ．64C ．61D ．63【答案】D 【解析】假设A 桩上有1n +个圆环，将1n +个圆环从A 木桩全部套到B 木桩上，需要最少的次数为1n a +，可这样操作，先将n 个圆环从A 木桩全部套到C 木桩上，至少需要的次数为n a ，然后将最大的圆环从A 木桩套在B 木桩上，需要1次，在将C 木桩上n 个圆环从C木桩套到B 木桩上，至少需要的次数为n a ，所以，121n n a a +=+，易知11a =. 设()12n n a x a x ++=+，得12n n a a x +=+，对比121n n a a +=+得1x =，()1121n n a a +∴+=+，1121n n a a ++∴=+且112a +=，所以，数列{}1n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列，5612264a ∴+=⨯=，因此，663a =，故选：D.11．已知定义在R 上的函数()g x ，其导函数为()g x '，若3()()g x g x x =-+，且当0x …时，23()2g x x >'，则不等式22(1)2()331g x g x x x <++-+的解集为( ) A ．1(2-，0) B ．1(,)2-∞- C ．1(2，)+∞ D ．1(,)2-∞【答案】B 【详解】定义在R 上的函数()g x ，3()()g x g x x =-+，()333()()()222x x x g x g x g x --=-+=--， 令3()()2x h x g x =-，则()()h x h x =-()h x ∴为偶函数23()()2x h x g x '='-，又当0x …时，23()2x g x >'， ()0h x ∴'>，()h x 在[0，)+∞为增函数，且()h x 在(,0)-∞为减函数不等式332(1)2(1)2()331()(1)22x x g x g x x x g x g x ++-<+⇔-+->+即()(1)1h x h x x x >+∴>+解得12x <-，故选B ．12．定义在R 上的函数()f x 若满足：①对任意1x 、()212x x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦；②对任意x ，都有()()2f a x f a x b ++-=，则称函数()f x 为“中心撇函数”，点(),a b 称为函数()f x 的中心.已知函数()32y f x =++是以()3,2-为中心的“中心撇函数”，且满足不等式()()2233f m n f n m -≤--+，当3,02n ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2m n +的取值范围为（ ）A ．[]6,0-B ．[]2,0-C ．[]2,4D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【详解】由()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦知此函数为增函数.由函数()32y f x =++是关于()3,2-的“中心撇函数”，知曲线()32y f x =++关于点()3,2-对称，故曲线()y f x =关于原点对称，故函数()y f x =为奇函数，且函数()y f x =在R 上递增，于是得()()2233f m n f n m -≤-，2233m n n m ∴-≤-.22330m n m n ∴-+-≤，()()30m n m n ∴-++≤⎡⎤⎣⎦.则问题转化为在线性约束条件()()30302m n m n n ⎧-++≤⎡⎤⎣⎦⎪⎨-≤≤⎪⎩下，求2m n +的取值范围。

湖南省衡阳市第八中学2020届高三数学上学期第二次（9月）月考试题 文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．己知集合{}{}|23|1M x x N x y x =-<<==-，则M N =I （ ）A.(2,)-+∞B.[)1,3C.(]2,1--D.(2,3)- 2.设x R ∈ ，则“220x x +->”是“15x << ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的函数是（ ）A ．()22x x f x -=-B ．2()1f x x =-C ．12()log f x x = D ．()sin f x x x= 4.设,x y R ∈，向量(,2),(3,y),a x b ==r r (1,1)c =-r ，且,//,a c b c ⊥r r r r 则||a b +r r等于（ ）A.5B.4C.26D. 255．已知直线y x m =-+是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．36．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则()2f π=( )A ．3B ．3-，C ．32D ．32-7．要得到函数()2cos(2)3f x x π=+的图象，只需将()sin(2)3g x x π=+的图象（ ） A ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） B ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变）C ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变）D ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）8.函数f （x ）=2sin 1xx +的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，)(')(x xf x f + 0>成立，若0.20.2(3)(3),(ln 2)(ln 2)a f b f =⋅=⋅，3311(log )(log ),,,99c f a b c =⋅则的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>10.已知函数4()(1)(0)1xf x a x x x =-+>+若曲线上存在不同的两点A,B 使得曲线)(x f 在点A,B 处的切线垂直，则a 的取值范围是（ ）.(1,)A +∞ .(3,1)B - .(13,13)C ---+ .(13,1)D --11.定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=，且当[0,1)x ∈时，()ln()1x x f x e x =++，则函数1()()4g x f x x =+，在区间[6,6]-上的零点个数是( )A.4B.5C.6D.712.若存在唯一的正整数，使得不等式20x xax a e-->恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(0,)3e B ．241(,)3e eC ．1(0,)eD ．241[,)3e e一．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．已知函数()22,0,1log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩则()()2f f -=______．14.若函数1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()f x 的最小值是 . 15. 已知0,0x y >>，且3x y xy +=，若23t t x y +<+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．16．设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数y=f （x ）﹣g （x ）在x ∈[a ，b]上有两个不同的零点，则称f （x ）和g （x ）在[a ，b]上是“关联函数”，区间[a ，b]称为“关联区间”．若()ln f x x x =-与2g()x mx=-+在[1，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围 ．二．解答题（本大题共6小题.共计70分）17.(本题满分12分)已知函数)(3)(23bx ax x f +=,在1x =时有极大值3; （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 在[]3,1-上的最值.18.（本题满分12分）已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x －23sin x cos x －a (x ∈R)的最大值为5． (1)求a 的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递减区间．19.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23sin 5c B a =，11cos 14B =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设BC 边的中点为D ，74AD =，求ABC ∆的面积．20.（本题满分12分）如图，在五面体ABCDFE 中，侧面ABCD 是正方形，ABE ∆是等腰直角三角形，点O 是正方形ABCD 对角线的交点，EA=EB,AD=2EF=6且//EF AD (1) 证明：0F//平面ABE.(2) 若侧面ABCD 与底面ABE 垂直，求五面体ABCDFE 的体积。

衡阳市八中2024届高三第2次月考数学试题命题人：刘瑶 审题人：颜军注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1. 若集合{}{}202,1A x x B x x =≤≤=<，则A B = （）A. {}01x x ≤< B. {}12x x <≤C. {}02x x <≤ D. {0x x >或}1x <-2. 在复平面内，复数12i2i-+对应的点的坐标为( )A. (0,1)- B. ()0,1 C. 43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 43,55⎛⎫⎪⎝⎭3. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A. (3)(2)(1)f f f <-<B. (1)(2)(3)f f f <-<C. (2)(1)(3)f f f -<< D. (3)(1)(2)f f f <<-4. 已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“322n n n n S S S S ->-”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布N (105，σ2)，且成绩优良（不低于120分）的人数为360，则此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为（ ）A. 360B. 640C. 720D. 7806.椭圆(22213x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为上顶点，若12AF F △的面积为12AF F △的周长为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5..7. 设函数()()()eln xf x ax m ax x =--（其中e 为自然对数的底数），若存在实数a 使得()0f x <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A 21,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. ()2e ,+∞D. 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8. 如图，在三棱锥S ABC -中，2SA SC AC AB BC =====，二面角S AC B --的正切值是，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A. 12πB. 4πC.D.π二､多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分）9. 已知向量(1,3),(2,4)a b ==-，则下列结论正确的是（ ）.A. ()a b a+⊥B. |2|a b +=C. 向量,a b的夹角为34π D. b 在a10. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，若满足101a <<，740401a a ⋅>，()()20232024110a a --<，则下列选项正确的是（）A. {}n a 为递减数列B. 202320241S S +<C. 当2023n =时，n T 最小D. 当1n T >时，n 的最小值为404711. 已知函数()cos22sin f x x x =+，则（ ）A. 函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.B. 直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C. 函数()f x 值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 方程()()()0,2πf x a x =∈最多有8个根，且这些根之和为8π12. 已知直线():2l y k x =+交y 轴于点P ，圆()22:21M x y -+=，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则（ ）A. 若直线l 与圆M相切，则k =B. 当2k =时，四边形PAMB的面积为C. 直线AB 经过一定点D. 已知点7,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则CQ 为定值三､填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13. 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数e 2.71828≈．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8______个．14. 曲线()()e xf x x a =+在点()()0,0f 处的切线与直线12y x =-垂直，则=a ______.15. 底面ABCD 为菱形且侧棱⊥AE 底面ABCD 的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的几何体.若4,3DA DH DB AE CG =====.则三棱雃F BEG -的体积为__________.16. 设0a >，平行于x 轴直线:l y a =分别与函数2x y =和12x y +=的图像交于点A ，B ，若函数2x y =的图像上存在点C ，满足ABC V 为等边三角形，则a =_________．四､解答题（本大题共6小题，共70分）的的17. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC ，1AB AC ⋅=-且>c b ．（1）求角A 的大小；（2）设M 为BC 的中点，且AM =，求a 的长度．18. 某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a ，b ，c 三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格率分别为34，12，12．三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；恰有一道工序合格的工艺品为二等品；其余为废品．（1）求加工一件工艺品不是废品的概率；（2）若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使工厂亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X 元，求X 的分布列和数学期望．19. 在图1中，ABC V 为等腰直角三角形，90B Ð=°，AB =，ACD V 为等边三角形，O 为AC 边的中点，E 在BC 边上，且2EC BE =，沿AC 将ACD V 进行折叠，使点D 运动到点F 的位置，如图2，连接FO ，FB ，FE ，使得4FB =．（1）证明：FO ⊥平面ABC ．（2）求二面角E FA C --的余弦值．20. 若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，19a =，点()1,n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n 为正整数，（1）证明：数列{}1n a +是“平方递推数列”，且数列(){}lg 1n a +为等比数列；（2）设()lg 1,24n n n b a c n =+=+，定义,,*,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，且记*n n n d b c =，求数列{}n d 的前n 项和n S ．21. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，右顶点分别为F ，A ，()0,B b ，1AF =，点M 在线段AB上，且满足BM =OM 的斜率为1，O 为坐标原点.（1）求双曲线C 的方程.（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP FQ EQ FP ⋅=⋅恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.22. 已知函数()1ln f x x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0a >.（1）讨论()f x 极值点的个数；（2）若()f x 恰有三个零点()123123,,t t t t t t <<和两个极值点()1212,x x x x <.（ⅰ）证明：()()120f x f x +=；（ⅱ）若m n <，且ln ln m m n n =，证明：()()1231e ln 1mm n n t t t -->+.。