确定使距离和最短的点的位置

一点到两点的距离和最小值在数学中，一点到两点的距离和最小值是一个常见的问题。

这个问题经常出现在几何学、优化理论和数据分析中，具有广泛的应用。

首先，让我们来看看一点到两点的距离是什么。

在二维空间中，我们可以用勾股定理来计算两点之间的距离。

设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2,y2)，则点A到点B的距离可以表示为√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

同样地，在三维空间中，点A到点B的距离可以表示为√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。

根据这个公式，我们可以计算出任意两点之间的距离。

那么，一点到两点的距离和最小值是什么意思呢？它表示的是，在给定的一组点中，选择一个点，使得这个点到其余两个点的距离之和最小。

这个问题可以用于解决很多实际问题，比如在城市规划中选择最佳的交通枢纽位置，或者在物流中选择最佳的仓库位置等。

接下来，我们将介绍一些具体的应用例子，以帮助读者更好地理解一点到两点的距离和最小值的概念。

首先，我们考虑一个城市规划的问题。

在一个城市中，有多个居民区和商业区，我们需要选择一个位置建设一个公园，以方便居民休闲和娱乐。

我们可以将居民区和商业区视为点集，然后利用一点到两点的距离和最小值的概念来选择最佳的公园位置。

具体做法是，计算每个点到其余两个点的距离之和，然后选择使得这个距离和最小的点作为公园的位置。

这样，我们就能够选择一个最佳的位置，以满足尽量多的居民和商业区的需求。

其次，我们考虑一个物流优化的问题。

在一个物流系统中，有多个仓库和多个客户，我们需要选择一个仓库位置，以最小化物流成本。

同样地，我们可以将仓库和客户视为点集，然后利用一点到两点的距离和最小值的概念来选择最佳的仓库位置。

具体做法是，计算每个点到其余两个点的距离之和，然后选择使得这个距离和最小的点作为仓库的位置。

通过这种方法，我们就能够降低物流成本，提高物流效率。

点到直线的最短距离
在几何中，最短距离是一个重要的概念。

点到直线的最短距离即是求点到直线上任意一点的距离。

下文将详细介绍如何求取点到直线的最短距离。

一、基本概念
1. 点：一个具有特定坐标的位置。

2. 直线：由两个点构成的直线，可以用斜率-b/a形式表示。

二、点到直线的最短距离
1. 计算几何方法
该问题可以通过计算几何的方法来解决，计算方法如下：
由斜截式y=mx+b，将点的坐标格式化为（x,y），求得两点之间的距离为：
dmin=| (mx-y+b)/(sqrt(m^2+1))|
2. 向量方法
该问题也可以用向量方法来解决。

由直线由两个方程构成：
aX+bY+c=0
ax+by=c
将点的坐标转化为A(x,y),将方程式中的参数减去向量，即可将上述方
程通过计算向量的模长，即可得出点到直线的最短距离：
dmin=|((b^2+a^2).x-aby-ac) / (b^2+a^2)|
三、总结
本文介绍了如何求取点到直线的最短距离的两种方法：计算几何的方
法和向量的方法。

用计算几何的方法可以更精确的求取最短距离，而
向量方法可以更快速地计算出结果，比较适合大规模计算。

通过本文，任何想要计算点到直线的最短距离的人理解了两种方法，就可以根据
自身需要来选择最适合自己的方法去计算两点间的最短距离。

到两点的距离和最短问题的应用作者：廖华彬来源：《世纪之星·交流版》2016年第03期[摘要]到两点距离和最短问题，在生产生活和学习中都有着广泛的应用。

解决到两点距离和最短问题，在培养学生的“四基”、创新思维和应用数学解决实际问题方面有着不可替代的作用。

[关键词]矩离和最短；轴对称；最小值；应用例1：如图1-1所示，直线l的同侧有A、B两点，在直线l上求作一点P，使AP+BP值最小。

[简析]这个问题，我们把它简称为“到两点的矩离和最短问题”。

要求AP+BP最小值，很容易联想到“两点之间，线段最短”。

如何使AP和BP在一条线上呢？可以尝试通过轴对称变换达到目的。

[略解]如图1-2，作点A关于直线l的对称点C，连接CB交直线l于P；则点P就是所要求作的点。

这种方法，我们称它为“轴对称法”。

[略证]如图1-2，在直线l上另任取一点D，连接AD、CD、BD，根据“三角形两边之和大于第三边”易知，AP+BP值最小。

[概括]这道题可概括为一个数学模型：到一直线同侧两点矩离和最短的点，就是其中一点关于这条直线的对称点与另一点的连线和这条直线的交点。

此模型是图形与几何中的到两点的矩离和最短问题，解这类问题的思想和方法在生产生活和学习中都有着广泛的应用。

解决到两点距离和最短问题，在培养学生的“四基”、创新思维和解决实际问题方面有着不可替代的作用。

一、基础应用例2：（2005南充中考题）点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，M、N 分别是AB、BC边上的中点，MP+MP的最小值是（）[简析]根据题意画出图2-1来，由图2-1很容易想到这实际上是在AC上求点P使到点M、N的矩离和最短；从而用轴对称法，由图2-2易求得MP+MP的最小值是1，所以选B。

例3：（2007湖北荆门中考题）如图1-1，要在河边修建一个水泵站，分别向A、B两村送水，水泵站应修建在河边的什么地方，可使所用的水管最短？[简析]这是生活中的一个实际问题，我们可以把它提炼概括为一个数学问题：实际上就是在直线上求作一点，使它到点A、B两点的矩离和最小。

在直线上找一点使它到直线同侧两点的距离和最小教学初探几何作图是几何基础知识的基本要求，而在初中几何作图中，最值问题的作图是比较困难的作图，这类题型是历年来中考数学的热点，备受青睐，而这类题型比较贴近生活实际，创意新颖设计巧妙，很能激起学生的学习兴趣，也能考查学生的综合能力，也正是因为综合知识的运用，所以往往比较难以想到求作方法，如人教版八年级上册第42页探究题就是这类最值问题。

课本探究题：如图要在燃气管道1上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用输气管最短？（图1）我们可以把管道1近似看作一条直线，问题就是在l上找一点C，使AC与CA的和最小，即在直线上确定一点，使它到直线同侧两点的距离这和最小，这是最常见的最值问题，如图2，课本是这样处理的：以1为对称轴做A（或B）的对称点A′（或B′），连结A′B（或AB′）？交l于C点？？，C即所求点证明如图3为了证明点C的位置就是所求，我们不妨在直线1上另外取一点C′.连接AC′，BC′，A′C′.因为直线l是点A、A′的对称轴，点C，C′在L上，所以CA=CA′，C’A=C′A′.A C+CB=A′C+CB=A′B在AA′BC′中，∵A’B<A′C′+C′B.∴AC+CB<AC′+C′B。

即AC+CB最小。

如果按照课本上方法直接去作图，学生很难理解为什么这样作图，为什么这么点是最点。

但是稍作改动，设想如果两个点在管道的两旁如下图如何作图？这样问题就简单化了，很多同学都可以马上回答：连接A、B两点交l于C，点C即为所求。

为什么？那是因为两点之间线段最短。

假如这两个镇在管道的同侧呢，又如何确定这个泵站的位置？能否把A镇或者B镇移到管道的另一侧去呢？如图4.实际上可行吗？那怎么办？我们可以在图上代表A、B镇的点在图上移动，这样的移动要符合什么条件？使它到管道上每一点的距离与原址到管道的距离一样，这时你联想到什么？线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，线段是关于线段垂直平分线轴对称图形，即这两点关于直线L对称，那么怎么作图也就明白了，这样作图就容易多了，对课本的作法和证明方法也就自然而然地理解了。

确定使距离和最短的点的位置
1、如图一，在公路a 的两旁有M 、N 两个村庄，为方便两村村民，要在公路（边）上开一家小卖部，问：小卖部开在什么地方，能使它到M 、N 两村距离和最短？
2、如图二，在河流l 的同侧有两个村庄A 、B ，要在河边建一个扬水站P ，使铺设的总管道PA+PB 最短，在图上标出点P 。

a M
N l A B m n A B
图一 图二 图三
运用数学知识解决实际问题：
例1、如图三：A 、B 两村被河隔开，现在要在河上架一座桥，桥要架在什么地方，才能使到A 、B 两村的距离和最短？
例2、如图四：在公路OX 、OY 上要设A 和B 两个邮筒，邮递员每天从邮局P 到邮筒A 和B 取信，然后返回邮局，问：邮筒A 和B 的位置应该确定在哪里，才能使邮递员每天走的路程最短？
巩固练习：
1、如图五：AC 、BC 所在直线为两海岸线，一舰艇从M 点出发到N 点，再由N 点去BC 岸，但到N 点之前，要先去AC 岸，问：走怎样的路线，才能使所行路程最短？
2、如图六：某住宅小区拟在休闲场地的三条道路上修建三个凉亭A 、B 、C ，且凉亭用长廊连通，如果凉亭Ａ、Ｂ的位置已经选定，那么凉亭Ｃ建在什么地方，才能使工程造价最低？用尺规作图作出图形，并简要说明理由。

图四 图五 图六。

轴对称：最短路径问题【知识导图】1.两点之间，线段最短。

2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

3.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题讲解内容：只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置。

讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。

如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短【答案】作点B 关于直线l 的对称点B'，连接AB'与l 交于点C ，则点C 为所求的点。

【解析】在直线l 上任取不同于C 点的C'点，连接AC’,BC’∵点B 和B'关于直线l 对称∴CB=CB’、C'B=C'B'∴CA+CB=CA+CB'=AB'∵CA+CB’<C'A+C'B'∴AB'=CA+CB<C'A+C'B'一、导入考点1 二、知识讲解考点2 三 、例题精析例题1如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'，2.连接A'B交河对岸于点N,则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。

【解析】由平移的性质，得 AM∥A'N且AM=A'N, MN=M'N'，AM'∥A'N'，AM'=A'N' 所以A、B两地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B若桥的位置建在M'N'处，则AB两地的距离为： AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B 在△A'N'B中，∵A'N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'∴M'N'+A'N'+N'B＞AA'+A'B所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。

2012年尺规作图2深圳市菁优网络科技有限公司一、解答题（共30小题）1、（2006•杭州）已知角α和线段c如图所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B=α，腰长AB=c．要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹．2、（2006•长沙）如图，已知∠AOB和射线O′B′，用尺规作图法作∠A′O′B′=∠AOB（要求保留作图痕迹）．3、（2005•天水）如图，己知AB，求作：确定AB的圆心O．4、（2005•南通）已知：∠AOB，点M、N．求作：点Q，使点P在∠AOB的平分线上，且QM=QN．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）5、（2005•锦州）如图，己知四边形ABCD，用尺规将它放大，使放大前后的图形对应线段的比为1：2．（不写作法，但保留作图痕迹）6、（2004•西宁）如图，A、B是平面上两个定点，在平面上找一点C，使△ABC构成等腰直角三角形，且C为直角顶点，请问这样的点有几个？并在图中作出所有符合条件的点．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）7、（2004•乌鲁木齐）某市为筹办一个大型运动会，该市政府打算修建一个大型体育心中，在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置应到该市三条主要公路的距离相等，若采纳此人建议，请你在图中作出体育中心的位置．（不写作法，保留作图痕迹）8、（2004•山西）某服装厂里有大量剩余的等腰直角三角形边角料，现找出其中一种，测得∠C=90°，AC=BC（如图），现要从这种三角形中剪出几种不同的扇形，做成不同形状的玩具，要求使扇形的半径恰好在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其它边相切．请你在下面备用的等腰直角三角形中，设计出所有符合要求的不同的方案示意图．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）9、（2003•湘潭）如图，107国道OA和302国道OB在甲市相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使P到OA，OB的距离相等，且使PC=PD，试确定出点P的位置．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）10、（2003•汕头）如图，已知在△ABC中，∠A=90°，请用圆规和直尺作⊙P，使圆心P在AC上，且与AB、BC两边都相切．（要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明）11、（2003•青岛）某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流L边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？请你在图上画出这一点．12、（2003•辽宁）如图，已知：AB．求作：（1）确定AB的圆心O；（2）过点A且与⊙O相切的直线；13、（2003•广州）已知：线段a（如图）求作：（1）△ABC，使AB=BC=CA=a；（2）⊙O，使它内切于△ABC（说明：要求写出作法）14、（2003•广东）如图，AB、AC分别是菱形ABCD的一条边和一条对角线，请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）15、（2003•滨州）如图，某住宅小区拟在休闲场地的三条道路上修建三个凉亭A、B、C且凉亭用长廊两两连通．如果凉亭A、B的位置己经选定，那么凉亭C建在什么位置，才能使工程造价最低？请用尺规作出图形（不写作法，但保留作图痕迹），并简要说明理由．16、（2002•益阳）巳知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求作：Rt△ABC的外接圆⊙O．（用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）17、（2002•山西）如图，有一破残的轮片，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件．请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径．18、（2002•龙岩）已知：M、N分别在∠AOB的边OA、OB上．求作：以MN为底边的等腰△MNP，使点P在∠AOB的平分线OC上．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）19、（2002•兰州）已知△ABC，求作△ABC的内切圆．20、（2002•黄冈）在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）．现找出其中的一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其它边相切．请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）21、（2002•甘肃）制作铁皮桶，需在一块三角形余料上截取一个面积最大的圆，请画出该圆．22、（2002•大连）已知：有公共端点的线段AB、BC（如图），求作：⊙O，使它经过点A、B、C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．23、（2002•长沙）如图，A、B是两个蓄水池，都在河流的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点（不写作法，但保留作图痕迹）24、（2001•嘉兴）如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近．请在图中的公路AB上分别画出点P，Q的位置（保留画图痕迹）．（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远？（分别用文字表述你的结论，不必证明）果存在，请在图中的AB上画出这一点（保留画图痕迹，不必证明）；如果不存在，请简要说明理由．25、（2001•广州）如图，有一块锐角三角形的木板，现要把它截成半圆形板块（圆心在BC上）．问怎样截取才能使截出的半圆形的面积最大？（要求说明理由）26、（2001•甘肃）如图，A、B、C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置．27、（1999•天津）请找出下图圆中的圆心，并写出你找圆心的方法．（不要求证明）28、（1999•山西）如图，请作出由A地经过B地去河边l的最短路线．（要求：用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）29、（1999•青岛）已知：线段a，m（如图）．求作：等腰△ABC，使底边BC=a，底边上的中线AD=m．30、（1999•哈尔滨）如上图，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB两边距离相等．（保留作图痕迹）答案与评分标准一、解答题（共30小题）1、（2006•杭州）已知角α和线段c如图所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B=α，腰长AB=c．要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹．考点：作图—复杂作图。

直角坐标系中定点到原点的最小距离-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述直角坐标系是数学中常见的一种坐标系，以两条垂直的坐标轴为基础，分别称为x轴和y轴。

在直角坐标系中，每个点都可以用一个有序对(x, y)来表示，其中x代表该点在x轴上的坐标，y代表该点在y轴上的坐标。

本文将探讨定点到原点的最小距离问题，即如何找到直角坐标系中一个定点到原点(0,0)的最短距离。

我们将介绍直角坐标系的基本概念，定点到原点的距离计算方法，以及寻找定点到原点最小距离的具体步骤。

通过本文的学习，读者将能够更深入地理解直角坐标系的概念，掌握相关距离计算方法，以及解决实际问题中的定点距离最小化的技巧。

同时，我们还将探讨该问题在实际应用领域中的具体应用，为读者提供更多的启发和思考。

1.2文章结构1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，首先对直角坐标系中定点到原点的最小距离这一主题进行了概述，介绍了文章的目的和基本结构。

接着，在正文部分，将从直角坐标系的基本概念入手，介绍坐标系中的概念和特点，然后详细探讨定点到原点的距离计算方法，包括距离的定义和计算公式。

最后，将介绍如何寻找定点到原点的最小距离，讨论在什么条件下最小距离会出现。

在结论部分，将对全文进行总结，回顾文章的主要内容和重点讨论的问题。

同时，探讨定点到原点最小距离的应用领域，例如在几何学、物理学或工程学中的具体应用。

最后，展望未来的研究方向，指出可能的研究方向和拓展空间。

整个文章结构清晰，逻辑严谨，旨在深入探讨直角坐标系中定点到原点的最小距离这一重要问题。

1.3 目的本文旨在探讨直角坐标系中定点到原点的最小距离的计算方法和应用。

通过深入剖析定点到原点的距离计算方法，我们可以更好地理解直角坐标系的基本概念，并且能够解决实际问题中涉及到距离计算的挑战。

通过研究定点到原点的最小距离的求解过程，我们可以从理论上掌握求解最优解的方法，为实际应用提供有力的支持。

将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营。

问如何行走才能使总的路程最短。

模型一(两点在河的异侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

模型二(两点在河的同侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。

模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。

方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'P''的长。

模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。

方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。

各顶点间的最短距离
要计算各顶点间的最短距离，可以采用以下步骤：
1. 对于一个多边形中的每条边，计算它到另一个多边形的每个顶点的距离，找到距离最短的顶点，并记录距离和对应的多边形顶点。

2. 对于另一个多边形，按照同样的方法计算它到第一个多边形的每个顶点的距离，并记录距离和对应的多边形顶点。

3. 比较两个多边形中距离最短的顶点对应的距离，取其中距离最小的作为两个多边形之间的最短距离。

通过以上方法，可以计算出任意两个顶点之间的最短距离。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的算法和数据结构来优化计算效率和精度。

最短路径问题 姓名 类型一、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之和最小的问题:1. 一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。

作法：连接两个定点，交直线于一点,交点即为所求。

例1、如图，在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．作法:连接AB ，交直线l 于点P ，点P 即为所求。

说明：∵连接A 、B 两点的线中，线段最短。

∴连接AB ，交直线l 于点P ，此时PA+PB 最小=AB2. 一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。

方法:利用轴对称变换将直线同侧两个定点转化为直线异侧两个定点，然后根据“两点之间线段最短”，用例1的方法确定动点的位置。

例2、 如图,在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小． 作法：①作点A 关于直线l 的对称点A ’；②连接A ’B,交直线l 于点P,点P 即为所求。

说明：连接AP 、AA ’，∵点A 和点A ’关于直线l 对称， ∴直线l 是AA ’的垂直平分线，∴PA=PA ’，∵两点之间，线段最短。

∴此时PA+PB 最小=PA ’+PB=AB 。

类型二、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之差最大的问题： 1.一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。

例3、在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作法：连接AB,并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求.证明：在直线l 上另取一点P ’，连接P'A 和P ’B ， ∵三角形的两边之差大于第三边， ∴AB B P A P ＜''-； 而连接AB ，并延长交直线l 于点P,此时AB PB PA =-,AB PB PA =-∴最大此时 2.一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。

方法：利用轴对称变换将直线异侧两个定点转化为直线同侧两个定点，然后根据“三角形的两边之差大于第三边”，用例3的方法确定动点的位置。

专题13.4最短路径问题1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求. 如图所示，点川，万分别是直线2异侧的两个点，在2上找一个点G使CA^CB最短，这时点Q是直线』与初的交点.⑵求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条宜线的对称点, 连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.如图所示，点月，万分别是直线2同侧的两个点，在』上找一个点G使CA+CB最短，这时先作点〃关为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C',连接EG、BC「、证明M -\-CB<AC f +C* 3 如下：证明：由作图可知，点万和万‘关于直线/对称，所以直线/是线段宓’的垂直平分线.因为点Q与C'在直线上，所以BC=B' G BC =B f r C f・在G 中,AB' <AC r +B f C ,所以AC+B' C<AC r +B f C ,所以AC+BC<AC f+C‘ B.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点「到直线上某点的距离和最小越个核心，所有作法都相同.利用轴对称解决最值问题应注意题目要球根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，「审题不淸导致答非所问.3.利用平移确左最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸「的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.4.生活中的距离最短问题由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜而反射的方式转化成一条线段，如图，AO+BO=AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法.Cy __-7 B5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.对点例题解析【例题1】在图中直线/上找到一点M使它到儿万两点的距离和最小.A【例题2】如图，小河边有两个村庄出B.要在河边建一自来水厂向川村与万村供水.(1)若要使厂部到心万村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到川，万两村的水管最短，应建在什么地方？【例题3】如图，从川地到万地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到万地的路程最短？【例题4】如图所示，A, 3两点在直线2的两侧，在/上找一点G使点C到点月、万的距离之差最大.如JII练题1 •直线』左侧有两点只Q，试在直线上确左一点Q使得防％最短.2•如图，△月氏与△处关于某条直线对称，请画岀对称轴.A DC F3•如图，A.万为重庆市内两个较大的商圈，现需要在主要交通干道』上修建一个轻轨站只问如何修建,4•如图，四边形ABCD 中，ZBAD=120° , ZB=ZD=90°,在BC、CD ±分别找一点M、N,使Z\AMN 周长最小时，则ZAMN+ZANM的度数为（）C. 110°D. 100°5•如图，两条公路0A. 0B相交，在两条公路的中间有一个汕库，设为点P,如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运汕车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加汕站，最后回到汕库所走的路程最短.专题13.4最短路径问题1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求. 如图所示，点川，万分别是直线2异侧的两个点，在2上找一个点G使CA^CB最短，这时点Q是直线』与初的交点.⑵求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条宜线的对称点, 连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.如图所示，点月，万分别是直线2同侧的两个点，在』上找一个点G使CA+CB最短，这时先作点〃关为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C',连接EG、BC「、证明M -\-CB<AC f +C* 3 如下：证明：由作图可知，点万和万‘关于直线/对称，所以直线/是线段宓’的垂直平分线.因为点Q与C'在直线上，所以BC=B' G BC =B f r C f・在G 中,AB' <AC r +B f C ,所以AC+B' C<AC r +B f C ,所以AC+BC<AC f+C‘ B.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点「到直线上某点的距离和最小越个核心，所有作法都相同.利用轴对称解决最值问题应注意题目要球根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，「审题不淸导致答非所问.3.利用平移确左最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸「的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.4.生活中的距离最短问题由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜而反射的方式转化成一条线段，如图，AO+BO=AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法.Cy __-7 B5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.对点例题解析【例题1】在图中直线/上找到一点M使它到儿万两点的距离和最小.A【答案】见解析。