【配套K12】高中数学第一章基本初等函数II示范教案新人教B版必修4

1.2.4 诱导公式(二)[学习目标] 1.掌握诱导公式四的推导，并能应用解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至四，能作综合归纳，体会出四组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．[预习导引] 1．诱导公式四 (1)公式四：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin_α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cot_α，cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－tan_α.(2) 以－α替代公式四中的α，可得如下公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin_α， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cot_α，cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝tan_α. 2．诱导公式四的记忆π2＋α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.要点一 利用诱导公式求值例1 (1)已知co s (π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．解 (1)∵cos (π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，又α为第一象限角．则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－13sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－19.规律方法 这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．跟踪演练1 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α的值．解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.要点二 利用诱导公式证明恒等式例2 求证：tan 2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos 6π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.证明 左边＝tan －α·－sin α·cos －αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－tan α·－sin α·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．跟踪演练2 求证：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1.证明 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2 θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2 θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.∴左边＝右边，故原式成立． 要点三 诱导公式的综合应用例3 已知f (α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝－sin α·cos α·－cos α－cos αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，∴sin α＝－15， 又α是第三象限的角， ∴cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.规律方法 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱． 跟踪演练3 在△ABC 中，sin A ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，试判断△ABC 的形状．解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . 又∵sinA ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B2，∴sin(π2－C )＝sin(π2－B )，∴cos C ＝cos B .又B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形.1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－233 B.233C.13 D ．－13 答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.2．已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m 表示为( ) A.m 2－12B.m 2＋12C.1－m 22 D ．－m 2＋12答案 C解析 sin(α－180°)－sin(270°－α) ＝－sin(180°－α)－sin[180°＋(90°－α)] ＝－sin α＋sin(90°－α)＝cos α－sin α＝m ， sin(180°＋α)sin(270°＋α)＝－sin α·(－cos α) ＝sin αcos α＝12[1－(cos α－sin α)2]＝1－m 22.3．cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.答案 1解析 原式＝sin 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1.4．已知sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2， 求sin 3π－α＋5cos 34π－α3cos 35π＋α－sin 3－α的值． 解 由sin (α－3π)＝cos(α－2π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2， 得－sin α＝2cos α.①若cos α＝0，由sin 2α＋cos 2α＝1， 得sin α＝±1，此时，①式不成立，故cos α≠0， ∴tan α＝－2.∴sin 3π－α＋5cos 34π－α3cos 35π＋α－sin 3－α ＝sin 3α＋5cos 3α－3cos 3α＋sin 3α＝tan 3α＋5－3＋tan 3α ＝－23＋5－3＋－23＝311.1.学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．一、基础达标1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 A解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.2．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25答案 C 解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝cos α＝15.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C ．－223 D.223答案 A解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.4．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m2答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .5.cos α＋π·sin2α＋3πtan α＋4π·tan α－πsin 3π2＋α的值为________．答案 －1解析 原式＝－cos α·sin 2αtan α·tan α·cos 3α＝－sin 2αtan 2α·cos 2α ＝－tan 2αtan 2α＝－1.6．计算sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________. 答案892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.7．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α； (3)ta n(5π－α)．解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2 α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223.(3)tan(5π－α)＝ta n(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24. 二、能力提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13 D ．－23 答案 D解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos (75°＋α)＝－23.9．在△ABC 中，下列表达式为常数的是________． ①sin(A ＋B )＋sin C ②cos(B ＋C )－cos A③sin A ＋B2cos C 2 ④cosB ＋C 2cos A 2答案 ③解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B 2＝π2－C2，∴sinA ＋B 2＝sin(π2－C 2)＝cos C 2. ∴sinA ＋B2cos C 2＝cos C2cos C 2＝1.10．化简：sin ⎝⎛⎭⎪⎫4k －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．解 原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则 原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0；当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0.综上所述，原式＝0.11．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．解 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 12．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2， 求sin 3π＋α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值． 解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2.∴sin 3π＋α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α ＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin 3α＋cos α5sin α－3cos α ＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5×2＝－1335. 三、探究与创新 13．是否存在角α，β，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin 3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4.当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

人教版高中必修4(B版)第一章基本初等函(Ⅱ)课程设计课程设计背景本课程是高中数学必修4(B版)的第一章——基本初等函(Ⅱ)，主要内容为导数的概念和意义、导数的计算、导数的应用等方面。

在本章学习后，学生能够理解导数的定义，掌握导数的计算方法，理解导数的应用，并能够用导数解决实际问题。

本课程的设计目标是培养学生的分析、推理、计算、解决问题等能力，激发学生对数学的兴趣和探索精神，从而提高学生的数学素养和综合素质。

教学目标1.掌握导数的概念、意义和性质。

2.熟练掌握导数的计算方法，包括用导数求解曲线的切线、法线等。

3.能够灵活运用导数解决实际问题，如极值、最优化等问题。

教学内容1.导数的概念和意义。

2.导数的计算方法：用定义法求导、常见函数导数等。

3.导数的性质：可加性、可减性、可乘性、可除性等。

4.导数的应用：切线、法线、最值、极值、最优化等。

教学方法1.通过教师讲解、板书和实例计算等方式，介绍导数的概念和意义，加深学生对导数的认识。

2.通过教师示范、学生练习等方式，熟练掌握导数的计算方法。

3.通过案例分析、课堂讨论等方式，引导学生理解导数的应用，并掌握解决实际问题的方法。

课堂活动设计活动一：导数的概念和意义1.教师引入导数的概念和意义，并讲解导数的计算方法。

2.学生利用教材中的例题，通过导数的计算方法实际计算导数。

3.结合实例分组进行讨论，理解导数的意义和性质。

活动二：导数的计算方法1.教师在黑板上呈现导数计算的步骤和方法，引导学生掌握导数的计算方法。

2.学生通过个人实践，运用导数计算曲线的切线、法线等，并与同学进行交流讨论。

3.通过小组讨论、集体分享等形式，深入理解导数计算方法的精髓。

活动三：导数的应用1.教师讲解导数的应用、如何用导数解决最值问题等。

2.学生分组进行案例分析，通过导数的应用解决实际问题，并与组员进行交流讨论。

3.通过小组分享、全班讨论等形式，深入探讨导数的应用，提高学生解决实际问题的能力。

1.2.1 三角函数的定义示范教案整体设计教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念．教材中是分三步引入三角函数的定义的．首先以锐角三角函数为引子，即当象限角为锐角时，复习直角三角形中的边、角关系，锐角三角函数；接着推广锐角三角函数，即在象限角的终边上任取一点，启发学生研讨这一点的坐标与象限角大小的关系，进而证明三个比值x r ，yr，yx与点在终边上的位置无关；最后根据判断函数的标准(函数值是否唯一，是否给出定义域)，定义正弦、余弦和正切三个三角函数．本小节的第二个内容是判断三个三角函数在各象限的符号，为进一步研究三角函数作好准备．例题1、2的作用是学会由已知条件求三角函数值，掌握终边在坐标轴上的角的三角函数值．三维目标1．理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．3．能根据三角函数的符号，确定角所在的象限．重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数，三角函数符号．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．思路2.引导学生回忆锐角三角函数概念，体会引进象限角概念后，用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义，从而为定义任意角的三角函数奠定基础．推进新课新知探究定义1提出问题1我们曾学习了锐角三角函数，你能回忆一下锐角三角函数的定义吗？2你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？活动：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．如图1所示，以角α的顶点O 为坐标原点，以角α的始边的方向作为x 轴的正方向，建立直角坐标系xOy ，并且使∠xOy＝90°.图1如图1(1)，α为锐角，记∠MOP＝α，P(x ，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，MP⊥Ox 于点M ，则OM ＝x ，MP ＝y ，r ＝OP ＝x 2＋y 2>0，根据锐角三角函数的定义知sinα＝y r ，cosα＝x r ，tanα＝y x ，cotα＝x y. 讨论结果：(1)锐角三角函数是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数．(2)略．定义2提出问题1如果改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？2怎样根据锐角三角函数的定义来定义任意角的三角函数？活动：教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画画图形，看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变．在任意角α的终边上取点A(图1(2))，使OA ＝1，设点A 的坐标为(l ，m)，再任取一点P(x ，y)，设OP ＝r(r≠0)，由相似三角形对应边成比例，得|x|r ＝|l|，|y|r ＝|m|，|y||x|＝|m||l|. 因为A ，P 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同．因此得x r ＝l ，y r ＝m ，y x ＝m l. 不论点P 在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于α的大小，与点P 在α终边上的位置无关．即当点P 在α的终边上变化时，这三个比值始终等于定值．因此我们可定义x r 叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα＝x r ；y r 叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα＝y r ； y x 叫做角α的正切，记作tanα，即tanα＝y x. 依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当α≠2kπ±π2(k∈Z )时，它有唯一的正切值与之对应．因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数．由图1(1)可以看出，当α为锐角时，上述所定义的三角函数与在直角三角形中所定义的三角函数是一致的．有时我们还用到下面三个函数角α的正割：secα＝1cosα＝r x； 角α的余割：cscα＝1sinα＝r y； 角α的余切：cotα＝1tanα＝x y. 这就是说，secα，cscα，cotα分别是α的余弦、正弦和正切的倒数．教师出示定义后，可让学生解释一下定义中的对应关系．教师应指出任意角的正弦、余弦、正切的定义是本节教学的重点．教师在教学中可以在学生对锐角三角函数已有的几何直观认识的基础上，先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系，在直角坐标系中考查锐角三角函数，得出用角的终边上点的坐标(比值)表示锐角三角函数的结论．在此基础上，再定义任意角的三角函数．教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：①正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．②sinα不是sin 与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的．③当α的终边在y 轴上，即α＝2kπ±π2(k∈Z )时，tanα，secα没有意义；当α的终边在x 轴上，即α＝kπ(k∈Z )时，cotα，cscα没有意义．讨论结果：(1)略．(2)略．三角函数在各象限的符号提出问题1学习了任意角，我们可以对哪些问题进行讨论？2根据三角函数的定义，正弦、余弦、正切的定义域、值域是怎样的？3怎样判断三角函数在各象限的符号？活动：请根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值在各象限的符号填入图2中的括号内．三角函数定义域 sinαcosα图2教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域、函数值的符号等结论．对于正弦函数sinα＝y ，因为y 恒有意义，即α取任意实数，y 恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα＝y x ，因为x ＝0时，y x无意义，即tanα无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，y x恒有意义，即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠π2＋kπ(k∈Z )． (由学生填写下表)三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号，当点P 在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P 在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面探究问题．即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．讨论结果：(1)定义域、值域、单调性等．(2)y ＝sinα与y ＝cosα的定义域都是全体实数R ，值域都是[－1,1]．y ＝tanα的定义域是{α|α≠π2＋kπ(k∈Z )}，值域是R . (3)由三角函数定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以确定三角函数的符号． 应用示例思路1例 1已知角α的终边经过点P(2，－3)，求角α的六个三角函数值．活动：教师留给学生一定的时间，学生独立思考并回答．明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数．教师要点拨引导学生习惯画图，充分利用数形结合，但要提醒学生注意α角的任意性．解：如图3，因为x ＝2，y ＝－3，图3所以r ＝22＋－32＝13. 于是sinα＝y r ＝－313＝－31313， cosα＝x r ＝213＝21313， tanα＝y x ＝－32，cotα＝－23， secα＝r x ＝132，cscα＝r y ＝－133. 例 2求下列各角的六个三角函数值：(1)0；(2)π；(3)3π2. 活动：教师引导学生充分利用三角函数定义，必要时也可画出图形，通过本例进一步理解三角函数定义中比值与点P 的位置没有关系．解：(1)因为当α＝0时，x ＝r ，y ＝0，所以sin0＝0，cos0＝1，tan0＝0，csc0不存在，sec0＝1，cot0不存在；(2)因为当α＝π时，x ＝－r ，y ＝0，所以sinπ＝0，cosπ＝－1，tanπ＝0，cotπ不存在，secπ＝－1，cscπ不存在；(3)因为当α＝3π2时，x ＝0，y ＝－r ， 所以sin 3π2＝－1，cos 3π2＝0，tan 3π2不存在， cot 3π2＝0，sec 3π2不存在，csc 3π2＝－1.图4P到原点的距离为r，作∠AOB＝例 3若sinα<0①，且tanα>0②，则α是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案：C活动：教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系，提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系．可以知道：三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．解析：我们证明如果①②式都成立，那么θ为第三象限角．因为①sinθ<0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；又因为②式tanθ>0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．答案选C.反过来，请同学们自己证明．点评：本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号，其条件以一个不等式出现，在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚，然后再给出证明．这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.已知cosθ·tanθ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角答案：C例 4确定下列各三角函数值的符号：(1)cos260°；(2)sin(－π3)；(3)tan(－672°20′)；(4)tan 10π3. 活动：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式(公式一这也是我们下一步要归纳总结的)： sin α＋k·2π＝sinα，cos α＋k·2π＝cosα，tan α＋k·2π＝tanα，其中k∈Z .解：(1)因为260°是第三象限的角，所以cos260°<0；(2)因为－π3是第四象限的角，所以sin(－π3)<0； (3)因为tan(－672°20′)＝tan(－2×360°＋47°40′)，而47°40′是第一象限的角， 所以tan(－672°20′)>0；(4)因为tan 10π3＝tan(2π＋4π3)，而4π3是第三象限的角，所以tan 10π3>0. 变式训练sin330°等于( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32答案：B例 1已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sinα＋3secα＝__________.解析：设角α终边上任一点为P(k ，－3k)(k≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋－3k 2＝10|k|.(1)当k>0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sinα＝y r ＝－3k 10k＝－31010，secα＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sinα＋3secα＝10×(－31010)＋310＝－310＋310＝0. (2)当k<0时，r ＝－10k ，α为第二象限角，sinα＝y r ＝－3k －10k ＝31010，secα＝r x ＝－10k k ＝－10，∴10sinα＋3secα＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0. 综合以上两种情况均有10sinα＋3secα＝0.答案：0点评：本题的解题关键是要清楚当k>0时，P(k ，－3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P(k ，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内，这活动：让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应引起注意这种情况．同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．解：要使函数y ＝sinα＋tanα有意义，则sinα≥0且α≠kπ＋π2(k∈Z )． 由正弦函数的定义知道，sinα≥0.∴角α的终边在第一、二象限或在x 轴上或在y 轴非负半轴上，即2kπ≤α≤π＋2kπ(k∈Z )．∴函数的定义域是{α|2kπ≤α<π2＋2kπ或π2＋2kπ<α≤(2k＋1)π，k∈Z }.课堂小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到．本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式．两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础，经常要用，请同学们熟记．作业课本本节练习A组4；练习B组4、5.设计感想关于三角函数定义法，总的说来有两种：“单位圆定义法”(以后讲到)与“终边定义法”．这两种方法本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习．理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握．教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合．在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解．。

第一章基本初等函数(Ⅱ)
本章概览
三维目标
1.理解任意角的概念，掌握弧度制，能进行弧度和角度的互化；探索终边相同的角的表示方法，以便提高用数学的观点分析、解决问题的能力.
2.探索任意角的正弦、余弦、正切的定义，知道任意角的余切、正割、余割的定义，能够借助单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切，培养用几何方法解决代数问题即数形结合的思想.
3.探索同角三角函数的基本关系式和诱导公式，并掌握其应用，以便揭示知识之间普遍联系的规律，树立辩证唯物主义思想.
4.探究正弦、余弦和正切函数的图象和性质，理解周期函数与最小正周期的意义，知道三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，提高数学的应用能力.
5.结合具体实例认识正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的实际意义；知道y=Asin(ωx+φ)中参数
A、ω、φ对函数图象变化的影响和它们的物理意义；模仿使用“五点法”“变换法”画三角函数的简图，从而培养从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，实现从感性认识到理性认识的飞跃.
6.会由已知三角函数值求角，并会用arcsinx、arccosx、arctanx表示角；探讨用三角函数解决简单的实际问题，发展数学应用意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和判断，以便进一步提高应用数学知识分析和解决实际问题的能力和增加学习数学的兴趣. 知识网络。

2017-20１8学年高中数学第一单元基本初等函数（Ⅱ)1.1.1 角的概念的推广学案新人教B版必修4编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一单元基本初等函数(Ⅱ)1.1.１角的概念的推广学案新人教Ｂ版必修4)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为２０1７-201８学年高中数学第一单元基本初等函数（Ⅱ)1.1.1 角的概念的推广学案新人教Ｂ版必修４的全部内容。

１.1.１角的概念的推广学习目标 1.了解角的概念.2。

掌握正角、负角和零角的概念,理解任意角的意义。

3。

熟练掌握象限角、终边相同的角的概念,会用集合符号表示这些角。

知识点一角的相关概念思考我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量．那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义?正角、负角、零角是怎样规定的?梳理(1)角的概念:角可以看成是____＿＿__绕着它的_＿_＿＿___从一个位置__＿_＿＿__到另一个位置所成的图形。

(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类:类型定义图示正角按照＿__＿______＿__＿而成的角负角按照___＿______＿___而成的角零角当射线_______＿,称它形成了一个零角（３)角的运算：各角和的旋转量等于______＿___＿_＿＿_＿。

知识点二终边相同的角思考１假设60°的终边是OＢ，那么-６６０°，４20°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考２如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示设α表示任意角,所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为Ｓ＝{β｜β＝α＋k·3６0°,k∈Ｚ},集合S的每一个元素都与α终边相同,当k=０时，对应元素为α。

1.3.3 已知三角函数值求角[学习目标] 1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.2.了解符号arcsin x ，arccos x ，arctan x 的含义，并能用这些符号表示非特殊角．[知识链接]已知角x 的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？答 不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个． [预习导引] 1．arcsin y 的含义一般地，对于正弦函数y ＝sin x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上有唯一的x 值和它对应，记为x ＝arcsin_y ⎝⎛⎭⎪⎫其中－1≤y ≤1，－π2≤x ≤π2，即arcsin y (|y |≤1)表示⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上正弦值等于y 的一个角．2．arccos y 的含义一般的对于余弦函数y ＝cos x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1]，那么在[0，π]上有唯一的x 值和它对应，记作x ＝arccos_y (－1≤y ≤1,0≤x ≤π)．3．arctan y 的含义一般地，如果正切函数y ＝tan x (y ∈R )且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，那么对每一个正切值，在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内有且只有一个角x ，使tan x ＝y ，记作x ＝arctan_y .要点一 已知正弦值，求角 例1 已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝－14，求x .解 设x －π3＝t ，则有sin t ＝－14.t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，t ＝arcsin ⎝⎛⎭⎪⎫－14，又sin t ＝－14， 所以t 是第三、四象限角，且t 1＝arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14是第四象限角．又sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－14， 且π－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14是第三象限角， 所以t 2＝π－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14. 由正弦函数周期性可知t ＝2k π＋t 1或t ＝2k π＋t 2(k ∈Z )时，sin x ＝－14.所以t ＝2k π＋arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14(k ∈Z )， 或t ＝2k π＋π－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14(k ∈Z )． 因此x 的集合为⎩⎨⎧x |x ＝2k π＋π3＋arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，⎭⎬⎫或x ＝2k π＋4π3－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，k ∈Z .规律方法 方程y ＝sin x ＝a ，|a |≤1的解集可写为{x |x ＝2k π＋arcsin a ，或(2k ＋1)π－arcsin a ，k ∈Z }．也可化简为{x |x ＝k π＋(－1)karcsin a ，k ∈Z }． 跟踪演练1 已知sin x ＝32. (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求x 的取值集合； (2)当x ∈[0,2π]时，求x 的取值集合； (3)当x ∈R 时，求x 的取值集合．解 (1)∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，且知sin π3＝32.∴满足条件的角只有x ＝π3. ∴x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3.(2)∵sin x ＝32>0， ∴x 为第一或第二象限角且sin π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝32. ∴在[0,2π]上符合条件的角x ＝π3或x ＝2π3.∴x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，2π3.(3)当x ∈R 时，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋π3或x ＝2k π＋2π3，k ∈Z .要点二 已知余弦值，求角 例2 已知cos x ＝－13.(1)当x ∈[0，π]时，求x ； (2)当x ∈[0,2π]时，求x ； (3)当x ∈R 时，求x 的取值集合． 解 (1)∵cos x ＝－13，且x ∈[0，π]，∴x ＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝π－arccos 13. (2)∵x ∈[0,2π]且cos x ＝－13<0.∴x 为第二象限角或第三象限角． ∴x ＝π－arccos 13或x ＝π＋arccos 13.(3)当x ∈R 时，x 与π－arccos 13终边相同或者与π＋arccos 13终边相同．∴x ＝2k π＋π－arccos 13(k ∈Z )或x ＝2k π＋π＋arccos 13(k ∈Z )．∴x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k ＋1π±arcco s 13，k ∈Z .规律方法 方程cos x ＝a ，|a |≤1的解集可写成{x |x ＝2k π±arccos a ，k ∈Z }．跟踪演练2 若cos 2x ＝12，其中π2<x <π，则x 的值为( )A.π6B.5π6C.2π3D.5π3 答案 B解析 ∵π2<x <π，∴⎭⎬⎫π<2x <2πcos 2x ＝12>0⇒⎩⎨⎧3π2<2x <2π，2x ＝5π3.∴x ＝5π6.要点三 已知正切值，求角例3 (1)已知tan α＝－2，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求α；(2)已知tan α＝－2，且α∈[0,2π]，求α； (3)已知tan α＝－2，α∈R ，求α.解 (1)由正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数可知，符合条件tan α＝－2的角只有一个，故α＝arctan(－2)．(2)∵tan α＝－2<0，∴α是第二或第四象限角．又∵α∈[0,2π]由正切函数在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π上是增函数，知符合tan α＝－2的角有两个，∵tan(π＋α)＝tan (2π＋α)＝tan α＝－2且arctan(－2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0.∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2)． (3)α∈R ，则α＝k π＋arctan(－2)(k ∈Z )．规律方法 方程tan x ＝a ，a ∈R 的解集为{x |x ＝k π＋arctan a ，k ∈Z }． 跟踪演练3 已知tan x ＝－1，求x ，并写出在区间[－2π，0]内满足条件的x . 解 因为tan x ＝－1，所以满足条件的x 的解集为 {x |x ＝k π＋arctan(－1)，k ∈Z }＝x |x ＝k π－π4，k ∈Z ，在x ＝k π－π4中，令k ＝0或－1，得x ＝－π4或x ＝－5π4，即在[－2π，0]内正切值为－1的角x 有2个：－π4与－5π4.1．已知α是三角形的内角，sin α＝32，则角α等于( ) A.π6 B.π3 C.5π6或π6 D.2π3或π3 答案 D2．若sin x ＝14，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则x 等于( )A ．arcsin 14B ．π－arcsin 14C.π2＋arcsin 14 D ．－arcsin 14 答案 B3．若cos x ＝13，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则x ＝________.答案 －arccos 134．arcsin(－1)＋arctan 33＝________. 答案 －π31.理解符号arcsin x 、arccos x 、arctan x 的含义．每个符号都要从以下三个方面去理解，以arcsin x 为例来说明． (1)arcsin x 表示一个角；(2)这个角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2； (3)这个角的正弦值是x ，所以|x |≤1. 例如：arcsin 2，arcsin 3都是无意义的． 2．已知三角函数值求角的大致步骤 (1)由三角函数值的符号确定角的象限．(2)求出[0,2π)上的角． (3)根据终边相同的角写出所有的角.一、基础达标1．下列叙述错误的是( )A ．arctan y 表示一个⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的角 B ．若x ＝arcsin y ，|y |≤1，则sin x ＝y C ．若tan x2＝y ，则x ＝2arctan yD ．arcsin y 、arccos y 中的y ∈[－1,1] 答案 C2．若α是三角形内角，且sin α＝12，则α等于( )A ．30° B．30°或150° C ．60° D．120°或60° 答案 B解析 ∵sin 30°＝12，sin(180°－30°)＝sin 30°＝12，∴α＝30°或150°. 3．已知cos x ＝－32，π<x <2π，则x 等于( ) A.7π6 B.4π3 C.11π6 D.5π6 答案 A解析 符合条件cos x 0＝32的锐角x 0＝π6， 而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－cos π6＝－32，∴x ＝π＋π6＝7π6.4．若tan x ＝－3，0<x <2π，则角x 等于( ) A.π3或2π3 B.2π3或4π3C.4π3或5π3D.2π3或5π3 答案 D解析 ∵tan x ＝－3<0，∴x 为第二或第四象限角． 符合条件tan x 0＝3的锐角x 0＝π3.而tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－tan π3＝－3， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－tan π3＝－3， ∴x ＝π－π3＝2π3或x ＝2π－π3＝5π3.5．arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π＝________. 答案π3解析 arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π＝arcsin 32＝π3. 6．直线2x ＋y －1＝0的倾斜角是________(用反正切表示)． 答案 π＋arctan(－2)解析 ∵2x ＋y －1＝0，∴y ＝－2x ＋1.设直线y ＝－2x ＋1的倾斜角为θ，则tan θ＝－2，∴θ为钝角，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.∵arctan(－2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴θ＝π＋arctan(－2)． 7．求值arcsin 32－arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12arctan －3.解 arcsin32＝π3，arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2π3， arctan(－3)＝－π3，∴原式＝π3－2π3－π3＝1.二、能力提升8．使得等式2cos x2＝1成立的x 的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π＋π3，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π＋π6，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π±23π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋π6，k ∈Z答案 C解析 cos x 2＝12>0，x 2为第一象限角或第四象限角．∴x 2与π3或－π3终边相同．∴x 2＝2k π±π3，k ∈Z ，∴x ＝4k π±23π，k ∈Z . 9．直线x ＋2y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．arctan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 B ．－arctan 12C ．arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－55 D ．arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－255 答案 D解析 A ，B ，C 均表示负锐角，只有D 选项中arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25 5表示钝角．故选D.10．已知sin α＝13，若π2<α<π，用反正弦符号表示α为________．答案 π－arcsin 13解析 满足sin α＝13的锐角为α0＝arcsin 13.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π且sin(π－α0)＝sin α0＝13， ∴α＝π－α0＝π－arcsin 13.11．用反三角函数的形式把下列各式中的x 表示出来． (1)cos x ＝－45 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<x <π， (2)sin x ＝－14 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，(3)3tan x ＋1＝0 (0<x <π)，(4)sin x ＝－14 ⎝⎛⎭⎪⎫π<x <3π2.答案 (1)arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 (2)arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 (3)π－arctan 13 (4)π＋arcsin 1412．利用反正切表示直线ax ＋by ＋c ＝0 (ab >0)的倾斜角．(结果含a 、b ) 解 ∵ab >0，ax ＋by ＋c ＝0.∴y ＝－ab x －c b ，k ＝－a b .由k ＝－a b<0，∴直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为钝角π－arctan a b. 三、探究与创新13．已知sin α2＝－32，且α是第二象限的角，求角α.解 ∵α是第二象限的角，∴α2是第一或第三象限的角．∵sin α2＝－32<0，∴α2是第三象限的角． 在[0,2π]内找到满足条件的α2，∵sin π3＝32， ∴在[0,2π]内满足条件的角α2＝π＋π3＝4π3. ∴所有满足条件的α2＝2k π＋4π3(k ∈Z )，即α＝4k π＋8π3 (k ∈Z )．。

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１．1．1 角的概念的推广预习课本P3~6，思考并完成以下问题(1）角是如何定义的?角的概念推广后,分类的标准是什么?(2)角的旋转量的性质是什么?（３)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时,要注意哪些问题？（4）终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角?错误!１.任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的表示：如图,OA是角α的始边,OB是角α的终边，O是角的顶点.角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3）角的分类:名称定义图示正角按照逆时针方向旋转而成的角负角按照顺时针方向旋转而成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角(４）角的旋转量的性质：各角和的旋转量等于各角旋转量的和，即α-β可化为α＋（－β).２．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合，那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．[点睛] 象限角的条件是:角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合.３．终边相同的角所有与角α终边相同的角,包括角α本身构成一个集合S＝{β|β=α+ｋ·360°，ｋ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.错误!１.判断下列命题是否正确．（正确的打“√”,错误的打“×")(1）－30°是第四象限角．（ )（２）钝角是第二象限的角．( )(3）终边相同的角一定相等.（)答案:(1)√（2)√(３)×2.与45°角终边相同的角是（）A.－45° ﻩB.2２５°C．3９５°ﻩ D.-3１5°答案:D３．下列说法正确的是( )A．锐角是第一象限角ﻩＢ.第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角ﻩD．第四象限角是负角答案:A４．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________,将３5°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数_＿＿_____．答案:-２5°39５°任意角的概念[典例］下列命题正确的是( ）A．终边与始边重合的角是零角B.终边和始边都相同的两个角一定相等Ｃ.在９０°≤β〈18０°范围内的角β不一定是钝角D.小于9０°的角是锐角［解析］终边与始边重合的角还可能是360°,72０°,…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如３０°与-330°,故B错;由于在90°≤β〈１8０°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角,C正确；小于９0°的角可以是0°,也可以是负角,故D错误.[答案] C理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.[活学活用]如图，射线OＡ绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转-30°到OＣ的位置,则∠AOC的度数为＿_______．解析：∠AOC=∠AOB＋∠BＯC=９0°＋(－3０°)=6０°.答案:６0°终边相同角的表示［典例] 写出与７5°角终边相同的角β的集合，并求在36０°≤β〈1 080°范围内与75°角终边相同的角．［解] 与75°角终边相同的角的集合为S={β|β＝k·3６0°+7５°，ｋ∈Z｝．当３60°≤β〈1 08０°时,即36０°≤ｋ·360°+７5°<1 080°，解得19２4≤k〈2错误!.又k∈Z,所以k=1或k=2。

1．2.1 三角函数的定义1.了解锐角三角函数推广为任意角的三角函数的过程．2.理解任意角的三角函数定义．3．能利用任意角三角函数的定义求三角函数值判定三角函数在各象限内的符号．[学生用书P6])1．三角函数的定义和定义域在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝x2＋y2>0)．三角函数定义定义域sin αyrRcos αxrRtan αyx{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}sec αrx{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}csc αry{α|α≠kπ，k∈Z}cot αxy{α|α≠kπ，k∈Z}2.三角函数在各象限的符号(1)用图形表示：如图所示．(2)用表格表示α的终边x轴正半轴第一象限y轴正半轴第二象限x轴负半轴第三象限y轴负半轴第四象限sin α0＋＋＋0－－－cos α＋＋0－－－0＋tan α0＋不存在－0＋不存在－1．已知sin α＝35，cos α＝－45，则角α所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B2．若sin θcos θ＜0，则θ在第________象限．解析：当sin θ＞0，cos θ＜0时，θ在第二象限，当sin θ＜0，cos θ＞0时，θ在第四象限．答案：二、四3．求下列函数的定义域：(1)y＝sin x＋tan x；(2)y＝sin x＋cos xtan x.解：(1)要使函数有意义，必须使sin x与tan x有意义，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x∈Rx≠kπ＋π2（k∈Z），所以函数y＝sin x＋tan x的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}．(2)要使函数有意义，必须使tan x有意义，且tan x≠0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x≠kπ＋π2（k∈Z）x≠kπ（k∈Z），所以函数y＝sin x＋cos xtan x的定义域为{x|x≠kπ2，k∈Z}．三角函数的定义[学生用书P7]已知角α的终边过点P (m ，－3m )(m ≠0)，求α的正弦、余弦、正切值． 【解】 由题意可得，|OP |＝m 2＋（－3m ）2＝10|m |. (1)当m ＞0时，r ＝10|m |＝10m ，则sin α＝－3m10m＝－31010，cos α＝m10m＝1010， tan α＝－3mm＝－3.(2)当m ＜0时，r ＝10|m |＝－10m ， sin α＝31010，cos α＝－1010，tan α＝－3.综上可知，当m ＞0时，sin α＝－31010，cos α＝1010，tan α＝－3；当m ＜0时，sin α＝31010，cos α＝－1010，tan α＝－3.求已知角α的终边上一点的坐标，常用的解题方法有以下两种：(1)若该点坐标(a ，b )不含参数时，则先求出r ＝a 2＋b 2，然后由任意角的三角函数定义求得．(2)若该点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求角α的三角函数值．解：设点P (a ，3a )(a ≠0)是角α终边上任意一点，则tan α＝3，cot α＝33， 且r ＝a 2＋（3a ）2＝2|a |. 当a ＞0时， sin α＝32，cos α＝12，sec α＝2，csc α＝233. 当a ＜0时， sin α＝－32，cos α＝－12，sec α＝－2， csc α＝－23 3.所以sin α＝32，cos α＝12，tan α＝3，cot α＝33，sec α＝2，csc α＝233或sin α＝－32，cos α＝－12，tan α＝3，cot α＝33，sec α＝－2，csc α＝－233.三角函数值符号的判断[学生用书P7]判断下列各式的符号： (1)sin 145°cos(－210°)； (2)sin 15π7tan(－13π3)；(3)sin 1·cos 2·tan 3.【解】 (1)因为145°是第二象限的角， 所以sin 145°>0.因为－210°＝－360°＋150°， 所以－210°是第二象限的角，所以cos(－210°)<0.所以sin 145°cos(－210°)<0. (2)因为15π7＝2π＋π7，所以15π7是第一象限的角，所以sin 15π7>0.因为－13π3＝－6π＋5π3，所以－13π3是第四象限的角，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3<0.所以sin 15π7tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3<0.(3)因为1弧度的角是第一象限的角，2弧度的角是第二象限的角，3弧度的角是第二象限的角，所以sin 1>0，cos 2<0，tan 3<0， 所以sin 1·cos 2·tan 3>0.准确确定三角函数中角所在的象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键．为了便于记忆，可简单概括为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．即第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦为正，其余均为负；第三象限正切为正，正、余弦为负；第四象限余弦为正，其余均为负．若tan α·sin α＜0，则α是第几象限角？解：由tan α·sin α＜0，知⎩⎪⎨⎪⎧tan α＞0，sin α ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，sin α＞0，当tan α＞0，sin α＜0时，α为第三象限角； 当tan α＜0，sin α＞0时，α为第二象限角． 综上，α为第二、三象限角．三角函数式的化简与求值[学生用书P8]求sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x |tan x |(x ≠12k π，k ∈Z )的值．【解】 因为x ≠12k π，k ∈Z ，所以当x 是第一象限的角时，sin x >0，cos x >0，tan x >0， 原式＝sin x sin x ＋cos x cos x ＋tan x tan x ＝3.当x 是第二象限的角时， sin x >0，cos x <0，tan x <0， 原式＝sin x sin x ＋cos x －cos x ＋tan x －tan x ＝－1.当x 是第三象限的角时， sin x <0，cos x <0，tan x >0， 原式＝sin x －sin x ＋cos x －cos x ＋tan xtan x＝－1.当x 是第四象限的角时， sin x <0，cos x >0，tan x <0， 原式＝sin x －sin x ＋cos x cos x ＋tan x－tan x＝－1.综上可知，sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值为3或－1.简单的三角函数的化简求值，因给出的式子中含绝对值符号，所以要分类讨论，分类一定要全，求值一定要准．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________． 解析：因为sin θ＝yx 2＋y 2＝－255，所以y ＜0，且y 2＝64. 所以y ＝－8. 答案：－81．由定义可知，这六个比值的大小与在终边上所取的点P 的位置无关，只与角α的大小有关，即它们都是以角α为自变量，以比值为函数值的函数．定义中的α是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的．2．三角函数值在各象限的符号可简记为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦，正、余割同余、正弦”．在确定三角函数定义域时要特别注意某些三角函数有意义的范围，特别是tan x .1．角α的终边上有一点P (1，－1)，则sin α的值是( ) A ．π2B ．－22C ．±22D ．1解析：选B.利用三角函数定义知：sin α＝y r＝－112＋（－1）2＝－22. 2．已知sin α＝－12，cos α＝32，则角α终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.由题意可得，sin α＜0，cos α＞0，故α为第四象限角． 3．函数y ＝1－tan xsin x的定义域为________．解析：要使函数有意义，必须使sin x ≠0与tan x 有意义，所以有⎩⎪⎨⎪⎧α≠k π（k ∈Z ），α≠k π＋π2（k ∈Z ），所以函数的定义域为{x |x ≠k π2，k ∈Z }． 答案：{x |x ≠k π2，k ∈Z }4．若点P (2m ，－3m )(m <0)在角α的终边上，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________，sec α＝________，csc α＝________，cot α＝________．解析：因为m <0，所以r ＝（2m ）2＋（－3m ）2＝－13m ，所以sin α＝y r ＝－3m －13m ＝31313；cos α＝x r ＝2m －13m ＝－21313；tan α＝y x ＝－3m 2m ＝－32；sec α＝r x＝－132； csc α＝r y ＝133；cot α＝x y ＝－23；答案：31313 －21313 －32 －132133 －23, [学生用书P81(单独成册)])[A 基础达标]1．已知P (x ，4)是角θ终边上一点，且tan θ＝－25，则x 的值为( )A ．10B ．45C ．－10D ．－15解析：选C.由任意角的三角函数的定义，可知tan θ＝y x ＝4x ＝－25，所以x ＝－10.2．若角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π6，－2cos π6，则sin α的值等于( )A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C.因为2sin π6＝1，－2cos π6＝－3，所以r ＝12＋（－3）2＝2， 所以sin α＝－32.3．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2解析：选A.因为α是第三象限角， 所以sin α＜0，cos α＜0，所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－sin αsin α－cos α－cos α＝0.4．sin 2cos 3tan 4的值为( ) A ．负数 B ．正数 C ．0D ．不存在解析：选A.因为2，3，4弧度分别是第二、二、三象限的角，所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，所以sin 2cos 3tan 4<0.5．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则a 的取值范围是( )A ．(－2，3)B ．[－2，3)C ．(－2，3]D ．[－2，3]解析：选C.由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a >－2.即－2<a ≤3.6．下列函数中与函数y ＝tan α有相同定义域的是________． ①y ＝1cot α；②y ＝sec α；③y ＝csc α；④y ＝1－sin αcos α.解析：要使y ＝tan α＝yx有意义，只需角α的终边上异于原点的点P (x ，y )的横坐标x ≠0，显然函数②④的定义域与之相同．答案：②④7．点P (tan θ，cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解析：由题意可得，tan θ＜0，cos θ＜0，因此θ是第二象限角． 答案：二8．5sin 90°＋2sin 0°－3sin 270°＋10cos 180°＝________．解析：因为sin 90°＝1，sin 0°＝0，sin 270°＝－1，cos 180°＝－1，所以原式＝－2.答案：－29．已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，求cos α与tan α的值． 解：因为点P 到原点的距离为r ＝4＋y 2， 所以sin α＝y4＋y2＝－55， 所以y 2＋4＝5y 2， 所以y 2＝1， 所以r ＝5， 又易知y ＜0， 所以y ＝－1，所以cos α＝－25＝－255，所以tan α＝12.10．已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α 的值． 解：若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35.所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1. 综上可知，2sin α＋cos α的值为1或－1.[B 能力提升]11．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433D ． 3 解析：选C.依题意，可知sin α＝a a 2＋16， cos α＝－4a 2＋16.又sin α·cos α＝34， 所以－4a a 2＋16＝34， 即3a 2＋16a ＋163＝0，解得a ＝－43或－433，故选C. 12．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．解析：由题意P (m ，n )是角α终边上一点，sin α＝yr ＝n m 2＋n 2<0，所以n <0.又角α的终边与y ＝3x 重合，故n ＝3m <0，所以m <0.由|OP |＝10，则m 2＋n 2＝10，10m 2＝10，m 2＝1，所以m ＝－1.由n ＝3m ，所以n ＝－3.所以m －n ＝－1－(－3)＝2.答案：213．已知角α的终边上一点P (－3，m )且sin α＝13m ，求cos α，tan α的值． 解：由于r ＝x 2＋y 2＝3＋m 2，又sin α＝y r ＝m3＋m2， 由已知，得m 3＋m 2＝13m ， 所以m ＝0或m ＝6或m ＝－ 6. 当m ＝0时，r ＝3，y ＝0，所以cos α＝－1，tan α＝0.当m ＝6时，r ＝3，y ＝6， 所以cos α＝－33，tan α＝－ 2. 当m ＝－6时，r ＝3，y ＝－6， 所以cos α＝－33，tan α＝ 2. 综上所述，m ＝0时，cos α＝－1，tan α＝0；m ＝6时，cos α＝－33，tan α＝－2；m ＝－6时，cos α＝－33，tan α＝ 2. 14．(选做题)已知1sin 2α＝－1sin α，且lg cos α有意义． (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点是M (35，m )，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1sin 2α＝1|sin α|＝－1sin α可知，sin α＜0， 所以α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角．由lg cos α有意义可知cos α>0，所以α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角，综上可知，角α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， 由正弦函数的定义可知，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。

第一章基本初等函数（II）示范教案整体设计本章网络结构1．任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上，为了计算中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制，但是其本质是一样的．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发，分成四条路线走，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．知道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准备．而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广，由此就得到了复杂多变的三角函数公式，而这些复杂的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性，因此还可以用这一特点进行一些特殊的运算．所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上．2．复习不是知识的罗列，方法的重复，而是知识的整合，能力的再提升、智慧火花的再闪现．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决问题最基本的方法．教师指导学生步步为营，将其引入数学王国，畅游科学殿堂．《基本初等函数Ⅱ》一章知识网络图三维目标1．通过全章复习，要求学生切实掌握三角函数的基本性质；掌握判定三角函数奇偶性；确定单调区间及求周期的方法；熟练掌握同角三角函数的基本关系式及诱导公式；弄清公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．2．要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图；掌握应用基本三角变换公式的求值、化简、证明；会由已知y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的三角函数值求角．3．本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数的基础知识、基本技能、基本运算能力，以及数形结合思想、转化与化规思想、类比思想等数学思想方法激发学生学习兴趣，培养他们善于总结、善于合作、善于创新、大胆猜想以及应用数学解决实际问题的能力．重点难点教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质．教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与性质的综合运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.让学生先来回顾全章单元目录，熟悉一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容：首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式，诱导公式．又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．接下来，我们又共同探讨了它们的应用．并能运用上述公式和性质进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的综合运用．由此展开全章的系统复习．思路2.你现在已经会求任意角的三角函数值，并会由三角函数值求角，会画三角函数的图象，会用三角函数模型来解释现实生活中具有周期性变换规律的一些现象．那么，你是如何学习到这些知识的？又是如何提高自己能力的？由此引导学生回顾全章知识的形成过程，进而展开全面复习．推进新课知识巩固提出问题我们是怎样推广任意角的？又是怎样得到任意角的三角函数定义的？本章学习了哪些同角三角函数的基本关系式？怎样推导的？本章都学习了哪些诱导公式？各有什么用途？怎样记忆？你是如何得到正弦线、余弦线和正切曲线的？你能从图象上说出三角函数的哪些性质？活动：教师引导学生认真回顾本章的学习过程．问题(1)，为了使学生了解知识的形成顺序与过程，教师可引导学生回忆从前的学习情景，让学生感悟数学是在什么样的背景下向前推进的，同时也加强系统数学知识的记忆，居高临下地来掌握全章知识．问题(2)，教师引导学生回忆三角函数定义，回忆同角三角函数的基本关系式的推导，并回忆这些公式的作用和应用方法技巧．利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，也就是就角所在象限进行分类讨论．同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义．sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α. 问题(3)，教师引导学生回顾的同时，最好能利用多媒体或幻灯片来展示这些公式．以前学习的都是孤立的、零碎的，现在是放在一起记忆提高，让学生明晰它们之间的逻辑关系．幻灯片如下：问题(4)，三角函数性质是通过图象来研究的，而且画图、识图、用图也是对学生的基本要求．教师要让学生亲自动手画一画，以加深学生对三角函数性质的进一步理解提升．让学生明了：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象，利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为0的点)．这五个点在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数〔特别是函数y＝Asin(ωx＋φ)〕的简图．教师同时打出幻灯片(如图1、图2、图3)：图1图2图3问题(5)，让学生由图象说性质，教师可引导学生从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性等方面叙述．教师要强调，正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质非常重要，应牢固掌握，但不要死记硬背．讨论结果：(1)～(5)略．应用示例思路1例1已知角α终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4(且均不为零)，求2sinα＋cosα的值．解：由题意，需对角α终边的位置进行讨论：(1)若角α终边过点P(4,3)，则2sinα＋cosα＝2·35＋45＝2；(2)若角α终边过点P(－4,3)，则2sin α＋cos α＝2·35＋－45＝25； (3)若角α终边过点P(－4，－3)，则2sin α＋cos α＝2·－35＋－45＝－2； (4)若角α终边过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α＝2·－35＋45＝－25. 点拨：任意角的三角函数定义不仅是本章的核心，也是整个三角函数的中心问题．要指导学生深刻理解三角函数定义的内涵，它只是一个比值，只与角的大小有关，而与点P 在角的终边上的位置无关．例2已知sin α＋3cos α＝0，求：(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2的值．解：(1)由已知，得tan α＝－3， 所以，3cos α－sin α3cos α＋sin α＝3－tan α3＋tan α＝3＋33－3＝－2－ 3. (2)2sin 2α－3sin αcos α＋2＝4sin 2α－3sin αcos α＋2cos 2α＝cos 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋tan 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋－2(4×9＋3×3＋2)＝4710. 点拨：本题主要考查利用同角三角函数关系式求值．对于只含有正弦、余弦函数的齐次式，在求解时常常转化为只含有正切的式子，这种变形技巧十分重要，也称为“1”的代换，在今后的学习中经常用到，应要求学生仔细体会并熟悉掌握．例3已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22)，与x 轴在原点右侧的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式．活动：本例是一道经典例题，主要考查三角函数模型的应用，及训练学生分析思维能力，对数形结合的思维要求也较高．教师可引导学生展开思考讨论，怎样根据题目中给出的条件找到思维的切入点．题目中虽然没有直接给出图象，实质是已知图象求解析式问题．指导学生画出草图，利用数形结合来深化题意的理解，事实上，学生很容易看出A 的值．如果学生没找出周期，教师可进一步点拨：题目中告诉的x 轴的横坐标2与6表示图象的哪段．根据题意，知道点M 、N 恰是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)在对应于包含0的周期的那段图象的五个关键点中的两个．由此可知A 、T.但要注意指导φ的求法．解：方法一：根据题意，可知T 4＝6－2＝4，所以T ＝16.于是ω＝2πT ＝π8.将点M 的坐标(2,22)代入y ＝22sin(π8x ＋φ)， 得22＝22sin(π8×2＋φ)，即sin(π4＋φ)＝1. 所以满足π4＋φ＝π2的φ为最小正数解为φ＝π4. 从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R . 方法二：将两个点M(2,22)，N(6,0)的坐标分别代入y ＝22sin(ωx ＋φ)并化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ ω＋φ＝1，6ω＋φ＝0.所以，在长度为一个周期且包含原点的闭区间上，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π.从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R . 点评：由三角函数图象求解析式确定φ时，答案可能止一个，这里可提醒学生注意，习惯上一般取离x 轴最近的一个，这样的解析式简洁．本例对学生有着很高的训练价值，特别是数形结合思想、转化与化归思想的运用．数形结合是数学中重要的思想方法，对各类函数的研究都离不开图象，在中学阶段，几乎所有函数的性质都是通过观察图象而得到的．思路2例题已知函数f(x)＝12log (sinx －cosx)．(1)求它的定义域和值域；(2)判断它的奇偶性；(3)判断它的周期性．图4活动：这是一组知识性很强的基础题，要求学生全面掌握有关三角函数的定义和性质．教师可先让学生自己动手操作，必要的时候给予点拨帮助．本题的关键是熟悉三角函数线或三角函数图象，利用数形结合直观性训练学生快速解题．如图4、图5.图5 正、余弦曲线解：(1)x 必须满足sinx －cosx>0，利用图4单位圆中的三角函数线或图5中的正、余弦曲线，知2k π＋π4＜x ＜2k π＋5π4(k∈Z )， ∴函数定义域为(2k π＋π4，2k π＋5π4)(k∈Z )．∵sinx－cosx ＝2sin(x －π4)， ∴当x∈(2k π＋π4，2k π＋5π4)时，0＜sin(x －π4)≤1. ∴0＜sinx －cosx≤2.∴y≥12log 2＝－12.∴函数值域为[－12，＋∞)． (2)∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，∴f(x)不具备奇偶性．(3)函数f(x)的最小正周期为T ＝2π.点评：利用单位圆中的三角函数线或正、余弦线可知，以第Ⅰ、Ⅱ象限的角平分线为标准，可确定sinx －cosx 的符号．以第Ⅱ、Ⅲ象限的角平分线为标准，可确定sinx ＋cosx 的符号．要让学生在深刻理解的基础上记忆这点，因函数的定义域是函数的核心，故研究函数的性质都必须以函数的定义域为前提.变式训练如图6，⊙O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在⊙O 上，且点C 位于第一象限，点B的坐标为(45，－35)，∠AOC＝α(α为锐角)．图6(1)求⊙O 的半径，并用角α的三角函数表示C 点的坐标；(2)若|BC|＝2，求tan α的值．解：(1)⊙O 的半径r ＝452＋－352＝1，点C(cos α，sin α)．(2)在△BOC 中，由于|OB|＝|OC|＝1，|BC|＝2，∴∠COB 是直角．由三角函数的定义，知cos(α－90°)＝sin α＝45，且α为锐角． 故sin α＝35，tan α＝43.课堂小结你对三角函数有什么新的认识？三角函数与以前所学函数有什么异同之处？在灵活应用本章知识进行三角函数式的化简、求值、证明方面你都有哪些提高？我们都解决了哪些实际问题？教师与学生一起归纳总结，共同完成本节小结．作业已知函数f(x)＝sin πx 图象的一部分如图7(1)，则图7(2)的函数图象所对应的函数解析式可以为( )图7A ．y ＝f(2x －12) B ．y ＝f(2x －1) C ．y ＝f(12x －1) D ．y ＝f(12x －12) 答案：B设计感想1．本教案设计只安排了1课时，课堂设计的容量较大，指导思想是充分利用多媒体，放手让学生根据教师提供的知识网络自己进行归纳总结，教师在知识的交汇处．在思维的提高上给予指导、点拨．建议教师课堂上不要把自己的思路、提前归纳整合的结果直接告诉学生．2．本教案设计注重了学生的学法指导，因为“在不断变动的世界上，没有任何一门或一套课程可供在可见的未来使用，或可供你终身受用．现在需要的最重要的技能是如何学习”．因此数学课的学习过程，不仅是传授知识、技能的过程，更是教会学生如何学习数学的过程．也就是说，学习数学的过程实际上就是学生获取、整合、储存、运用数学知识和获得学习能力的过程．在本章复习课设计中，就体现了学生如何学习的问题．3．本教案设计注重了思维层次的提高，复习不是简单的重复，不是练习堆积的习题课，而是成为学生再发现、再提高、再创造的氛围场所，是学生对所学知识居高临下的掌握和学生身心健康成长的愉悦体验．备课资料备用习题1．已知集合A ＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z }，B ＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z }，C ＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z }，那么集合A 、B 、C 之间的关系是( )A ．B AC B ．A B CC ．B C AD ．C B A2．若α是第四象限角，则π－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．一扇形的半径与弧长之比是3∶π，则该扇形所含弓形的面积与该扇形的面积之比是A ．(2π－33)∶2πB ．(6π－33)∶6πC ．(4π－33)∶4πD ．(8π－33)∶8π4．把函数y ＝4cos(x ＋π3)的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π65．如果|x|≤π4，设函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最大值为M ，最小值为m ，则M m 的值为… ( )A ．－54B ．－3－2 2C ．3＋2 2D ．－52＋52 6．已知y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的周期为1，最大值与最小值之差是3，且函数图象过点(18，34)，则函数表达式为( ) A ．y ＝3sin(2x ＋7π12) B ．y ＝3sin(2x －π12) C ．y ＝32sin(2πx ＋π12) D ．y ＝32sin(2πx －π12) 7．函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)，(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则f(x)的图象( ) A ．关于点(π12，0)对称 B ．关于直线x ＝512π对称 C ．关于点(512π，0)对称 D ．关于直线x ＝π12对称 8．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段的长为π4，则f(π4)＝__________.9．已知α、β∈(0，π2)，且α＋β>π2，求证：对于x∈(0，π)，有f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 参考答案：1.A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.09．证明：由α＋β>π2，知α>π2－β， 又由α，β∈(0，π2)，知π2－β∈(0，π2)．小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 ∵y＝sinx 在(0，π2)内为增函数，y ＝cosx 在(0，π2)内为减函数， ∴sin α>sin(π2－β)＝cos β，cos α<cos(π2－β)＝sin β.∴0<cos βsin α<1,0<cos αsin β<1. 又∵x∈(0，π)，∴(cos βsin α)x ＜1，(cos αsin β)x ＜1.∴f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2.。