广东省揭阳三中2014-2015学年高二下学期第一次段考数学试卷(理科)

2013—2014学年度揭阳一中高二级第二学期阶段考试（一）数学科试卷（理科）一．选择题(每小题5分，共40分) 1．复数12i-+的虚部是（ ） A ．15- B ．15i - C ．15 D ．15i2．设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为( )A ．单调递减B ．有增有减C ．单调递增D ．不确定 3．曲线23y x x =+在点A (2,10)处的切线的斜率是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．()f x 在定义域内可导，其图象如左图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是( )5．若()ln(2)f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A. [1,)+∞B. (1,)+∞C. (,1]-∞D. (,1)-∞6.一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程为 ( )A.10米B.229 米 C.15米 D.225 米 7.设函数5221)(23+--=x x x x f ，若对于任意[]2,1-∈x ，m x f ＜)(恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．),7(+∞B ．),8(+∞C ．[),7+∞D ．[)8,+∞8.若()f n 为21()n n N *+∈的各位数字之和，如2141197,19717+=++=则(14)17f =,记1211()(),()(()),()(())k k f n f n f n f f n f n f f n +===k N *∈则2010(8)f =( )（A ）3； （B ）5 ； （C ）8； （D ）11二．填空题（每小题5分，共30分） 9．函数()xxf x e e-=+的导函数为 ．10.34|2|x dx -+⎰＝11．复数(3)(1)i m i --+对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是___ . 12．曲线23y x =-与直线y=2x 所围成的图形的面积_ ___ _.13.如图，函数()21()5g x f x x =+的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则)5()5(f f '+= ．14．函数)0(3)(23>+-=a a x a x x f 的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是____________． 三．解答题：（本大题共6小题，共80分）15. （本小题满分12分）用数学归纳法证明：1)n n*++<∈N ． 16. （本小题满分12分）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（1）求,a b 的值；（2）当2c =-时，求函数()f x 在区间[03]，上的最大值．17． （本小题满分14分）求抛物线243y x x =-+-及在点(0,3)-，(3,0)处的切线所围成的面积.18．（本小题满分14分）设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足•4PA PB =,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点，.求(1)求点A B 、的坐标； (2)求动点Q 的轨迹方程.19.（本小题满分14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1）求a 的值（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.20.（本小题满分14分） 设函数()2xf x e ax =--（1）若()f x 在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）当(),0x ∈-∞时，求()f x 的单调区间；（3）若1,a k =为整数，且当0x >时，()()10,x k f x x '-++>求k 的最大值 .2013—2014学年度揭阳一中高二级第二学期阶段考试（一）数学科试卷（理科）答案一，选择题二，填空题9， ()xxf x e e -'=-；10， 14.5 ；11，113m -<<；12， 32/3 ；13， -5；14，22>a ；三，解答题15.证明：（1）当1n =时，左边1=，右边2=，12<，所以不等式成立.…… (3分) （2）假设n k =时不等式成立，即1k++<5分） 则当1a k =+时，1+< =<= ………………………………（10分）即当1n k =+时，不等式也成立．由（1）、（2）可知，对于任意n *∈N 时，不等式成立． …………………………（12分） 16.①解： 2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．……………………………（5分）②由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)987f c =+=-．………………………（12分） 17．（本小题满分14分）解：依题意得∴+-=',42x y 在点(0,3)-处的切线是:34y x += 即：43y x =- 在点(3,0)处的切线是：2(3)y x =-- 即：26y x =-+ ……………………5 分解方程组4326y x y x =-⎧⎨=-+⎩得两切线的交点为)3,23( …………………………7 分33222302[43(43)[62(43)]S x x x dx x x x dx =---+-+---+-⎰⎰……………………10分33222302(69)x dx x x dx =+-+⎰⎰ ……………………11分33233119(39)2333402x x x x =+-+= …………………………14分 18.解: (1)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或…………（2分）当1-<x 时,0)(<'x f , 当11<<-x 时,0)(>'x f ,当1>x 时,0)(<'x f所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f ， 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.… (6分)(2) 设),(n m p ，),(y x Q ，()()4414,1,122=-+-=--∙---=∙n n m n m n m ……………………（9分）21-=PQ k ，所以21-=--m x n y ，又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以⎪⎭⎫⎝⎛-+=+4222m x n y 消去n m ,得()()92822=++-y x . ………………………（14分）19.（1）∵5x =时，11y =，由函数式210(6)3ay x x =+--， 得11102a=+，∴2a =． ……………………（3分） （2）由（1）知2a =，∴每日的销售量为2210(6)3y x x =+--，()36x <<．每日销售该商品所获得的利润为()()223[10(6)]3f x x x x =-+--3210(1572)1078x x x =-+-，()36x <<． ………………………（7分）()210(33072)f x x x '=-+()()3064x x =--． ………………………（9分）于是，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：由上表可以看出，4x =是函数在区间()3,6内的极大值点，也是最大值点．（12分） ∴当4x =时，函数()f x 取得最大值42．因此当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．（14分）20（本小题满分14分）解：（1）()xf x e a '=-，()1,f e a '∴=-又()10,f a e '=∴= …………（4分）（2）()xf x e a '=-若0,a ≤则()0f x '>，()f x ∴在(),0-∞上单调递增； 若0a >，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =①当01a <<时， ln 0x a =<，ln x a ∴-∞<<时，()()0,f x f x '<单调递减；ln 0a x <<时，()()0,f x f x '>单调递增；②当1a ≥时，ln 0x a =>，()()0,f x f x '<在(),0-∞上单调递减； 综上，0,a ≤()f x 在(),0-∞上单调递增；01a <<时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,0a 上单调递增；1a ≥时，()f x 在(),0-∞上单调递减.……………………………………………（9分）（3）由于()()()()1,111x a x k f x x x k e x '=∴-++=--++ 故当0x >时，()()()11001xx x k f x x k x x e +'-++>⇔<+>- ①令()11x x g x x e +=+-，则()()()()2221111x x x x x e e x xe g x e e ----'=+=-- 由①知，函数()2xh x e x =--在()0,+∞上单调递增，而()()10,20h h <>所以()h x 在()0,+∞上存在唯一零点，故()g x '在()0,+∞上存在唯一零点。

2014-2015学年广东省揭阳市高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣1=0}，B={x|x（x﹣1）=0}，则A∪B=（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{0，﹣1}D．{0，﹣1，1} 2．（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）2，则z的共轭复数为（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i3．（5分）已知命题p：四边形确定一个平面，命题q：两两相交的三条直线确定一个平面，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）4．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则a32﹣a22=（）A．9B．18C．21D．5．（5分）已知||=6，||=4，与的夹角为120°，则（+2）•（﹣3）的值是（）A．﹣84B．144C．﹣48D．﹣726．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=3x+5y，则log3的最大值为（）A．18B．2C．9D．log37．（5分）图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50，100）的用户数为A1，用电量在[100，150）的用户数为A2，…，以此类推，用电量在[300，350]的用户数为A6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s值为（）A．82B．70C．48D．308．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）、f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x+5）是偶函数D．f（x+7）是奇函数二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）9．（5分）一几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为．10．（5分）函数f（x）=1﹣e x的图象与y轴相交于点P，则曲线在点P处的切线的方程为．11．（5分）在的二项式展开式中，常数项等于．12．（5分）抛物线y=上到焦点的距离等于6的点的坐标为．13．（5分）在区域中随机取一点P（a，b），则满足b≥sina+1的概率为．二.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2cosθ与ρ2﹣4ρcosθ+3=0的交点的极坐标为．（几何证明选讲选做题）15．如图，锐角三角形ABC是一块钢板的余料，边BC=24cm，BC边上的高AD=12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的面积为cm2．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＞c，已知△ABC的面积S=，cosB=，b=3．（1）求a和c的值；（2）求cos（B﹣C）的值．17．（12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点（1）证明：PB∥平面AEC；（2）已知AP=1，AD=，设EC与平面ABCD所成的角为α，且tanα=，求二面角D﹣AE﹣C的大小．19．（14分）已知函数f（x）=，f（1）=1，f（）=，数列{x n}满足x1=，x n+1=f（x n）．（1）求x2，x3的值；（2）求数列{x n}的通项公式；（3）证明：++…+＜．20．（14分）双曲线C的焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且双曲线C 经过点P（4，2）．（1）求双曲线C的方程；（2）设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线x=上，且，是点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．21．（14分）若实数x、y、m满足|x﹣m|≤|y﹣m|，则称x比y更接近m．（1）若x2﹣3比1更接近0，求x的取值范围；（2）对任意两个正数a、b，试判断与哪一个更接近ab？并说明理由；（3）当a≥2且x≥1时，证明：比x+a更接近lnx．2014-2015学年广东省揭阳市高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣1=0}，B={x|x（x﹣1）=0}，则A∪B=（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{0，﹣1}D．{0，﹣1，1}【解答】解：集合A={x|x2﹣1=0}={﹣1，1}，B={x|x（x﹣1）=0}={0，1}，则A∪B={﹣1，0，1}．故选：D．2．（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）2，则z的共轭复数为（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i【解答】解：i为虚数单位，复数z=（1+i）2=1+2i﹣1=2i．则z的共轭复数为：﹣2i．故选：A．3．（5分）已知命题p：四边形确定一个平面，命题q：两两相交的三条直线确定一个平面，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）【解答】解：命题p：四边形确定一个平面，是一个假命题，例如：把一个平面四边形沿着对角线折起一个角度可得一个空间四边形，因此不正确；命题q：两两相交的三条直线确定一个平面，是一个假命题，例如一个三棱锥的三条棱不在同一个平面内．因此￢p∨q是真命题．故选：C．4．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则a32﹣a22=（）A．9B．18C．21D．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则a1=，a2=5﹣=，a3=∴a32﹣a22==18．故选：B．5．（5分）已知||=6，||=4，与的夹角为120°，则（+2）•（﹣3）的值是（）A．﹣84B．144C．﹣48D．﹣72【解答】解：由已知可得=﹣6×4×=﹣12，所以（+2）•（﹣3）==36﹣96+12=﹣48；故选：C．6．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=3x+5y，则log3的最大值为（）A．18B．2C．9D．log3【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+5y得y=，平移直线y=，则由图象可知当直线y=经过点A时直线y=的截距最大，此时z最大，当经过点B时，直线的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（1，3），此时z=3×1+5×3=18，则log3的最大值为log3=log39=2，故选：B．7．（5分）图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50，100）的用户数为A1，用电量在[100，150）的用户数为A2，…，以此类推，用电量在[300，350]的用户数为A6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s值为（）A．82B．70C．48D．30【解答】解：由图2知，输出的s=A2+A3+A4+A5，由图1知，A1+A6=（0.0024+0.0012）×50×100=18，故s=100﹣18=82，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）、f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x+5）是偶函数D．f（x+7）是奇函数【解答】解：由f（x+1）、f（x﹣1）都是奇函数得f（﹣x+1）=﹣f（x+1），f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），从而有f（x）=﹣f（2﹣x），f（x）=﹣f（﹣x﹣2），故有f（2﹣x）=f（﹣x﹣2）⇒f（x+2）=f（x﹣2）⇒f（x+4）=f（x），即f（x）是以4为周期的周期函数，因f（x﹣1）为奇函数，8也是函数f（x）的周期，所以f（x+7）也是奇函数．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）9．（5分）一几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为π．【解答】解：由题意，该几何体为一圆柱的一半，底面直径为2，高为2．体积V==π．故答案为：π．10．（5分）函数f（x）=1﹣e x的图象与y轴相交于点P，则曲线在点P处的切线的方程为x+y=0．【解答】解：由f（x）=1﹣e x，得f（0）=1﹣e0=0．又f′（x）=﹣e x，∴f′（0）=﹣e0=﹣1．∴f（x）=1﹣e x在点P（0，0）处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0），即x+y=0．故答案为：x+y=0．11．（5分）在的二项式展开式中，常数项等于﹣20．=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r x6﹣2r【解答】解：展开式的通项为T r+1令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣1）3=﹣20故答案为：﹣2012．（5分）抛物线y=上到焦点的距离等于6的点的坐标为（4，4）或（﹣4，4）．【解答】解：抛物线解析式变形得：x2=8y，即p=4，∴焦点坐标为（0，2），设所求点坐标为（a，a2），根据题意得：=6，解得：a=4或﹣4，则所求点坐标为（4，4）或（﹣4，4），故答案为：（4，4）或（﹣4，4）13．（5分）在区域中随机取一点P（a，b），则满足b≥sina+1的概率为．【解答】解：如图，由题意，满足几何概型，矩形的面积为2π×4=8π，满足b≥sina+1的是图中阴影部分，其面积为=（3a+cosa）|=6π，所以由几何概型的概率公式得满足b≥sina+1的概率为；故答案为：二.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2cosθ与ρ2﹣4ρcosθ+3=0的交点的极坐标为．【解答】解：根据ρ=2cosθ，得x2+y2=2x，根据ρ2﹣4ρcosθ+3=0，得x2+y2﹣4x+3=0，∴x=，y=，∴交点（，﹣）或（，），化为极坐标为：．故答案为：．（几何证明选讲选做题）15．如图，锐角三角形ABC是一块钢板的余料，边BC=24cm，BC边上的高AD=12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的面积为64cm2．【解答】解：设EF与AD交于O，则∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴．设正方形EFGH的边长是xcm．则解得：x=8故正方形零件的面积为64cm2．故答案为：64．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＞c，已知△ABC的面积S=，cosB=，b=3．（1）求a和c的值；（2）求cos（B﹣C）的值．【解答】解：（1）∵＞0，∴，∴，由，得ac=5．由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2=26，联立，结合a＞c，解得a=5，c=1．（2）由正弦定理知，∴=，∵a＞c，∴，∴，∴cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC==．17．（12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意得，（2分）解得x6=90，（3分）这6位同学成绩的标准差：．（6分）（2）这6位同学中，成绩落在（70，75）的有编号为3、5两位同学，故ξ的可能取值为：0，1，2．（7分）且，（8分），（9分），（10分）∴ξ的分布列为：（11分）ξ的数学期望：．（12分）18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点（1）证明：PB∥平面AEC；（2）已知AP=1，AD=，设EC与平面ABCD所成的角为α，且tanα=，求二面角D﹣AE﹣C的大小．【解答】证明：（1）连结BD交AC于点O，连接EO．∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又E为PD的中点，∴EO∥PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）过点E作EF∥PA交AD于F，连结FC，∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，且∴∠ECF=α﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解法一：过D作DQ⊥AE交AE于点Q，连结CQ，∵PA⊂面PAD，∴面PAD⊥面ABCD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）又面PAD∩面ABCD=AD，CD⊥AD，∴CD⊥面PAD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵AQ⊂面APD∴CD⊥AQ，且DQ∩AQ=Q，∴AQ⊥面CDQ，故AQ⊥CQ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴∠DQC是二面角D﹣AE﹣C的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵AP=1，，∴又∵E为PD的中点，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）在Rt△AQD中，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∵0＜∠CQD＜π，∴，即二面角D﹣AE﹣C的大小为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）解法二：以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，﹣（7分）则A（0，0，0），，，，P（0，0，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）故，，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由条件可知，为平面ADE的一个法向量，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）设平面AEC的一个法向量为，则由，得，取x=2，得，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）设二面角D﹣AE﹣C的大小为θ，则=，∴，即二面角D﹣AE﹣C的大小为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（14分）已知函数f（x）=，f（1）=1，f（）=，数列{x n}满足x1=，x n+1=f（x n）．（1）求x2，x3的值；（2）求数列{x n}的通项公式；（3）证明：++…+＜．【解答】（1）解：∵f（x）=，f（1）=1，f（）=，∴，解得a=2，b=1，∴，∵数列{x n}满足x1=，x n+1=f（x n），∴x2=f（）==，x3=f（）==．（2）解：由（1）猜想x n=．用数学归纳法证明：①n=1时，x1==，成立．②假设n=k时成立，即，=f（x k）==，也成立，则x k+1由①②知x n=．（3）证明：∵=≤，∴++…+＜==（1﹣）＜．∴++…+＜．20．（14分）双曲线C的焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且双曲线C 经过点P（4，2）．（1）求双曲线C的方程；（2）设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线x=上，且，是点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意知双曲线C的焦点在x轴，设其方程为=1，（1分）∵点P（4，2）在双曲线C上，∴，①又b2=8﹣a2，②②代入①去分母整理得：a4﹣68a2+32×8=0，又a＜c，解得a2=4，b2=4，（3分）∴所求双曲线C的方程为．（4分）（2）设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（，t），其中x0＞2，或x0＜﹣2．（5分）当y0≠t时，直线AB的方程为y﹣t=（x﹣），即（y 0﹣t）x﹣（）y+tx0﹣=0，（6分），若存在以点O为圆心的定圆与AB相切，则点O到直线AB的距离必为定值，设圆心O到直线AB的距离为d，则d=．（7分）∵y0≠0，∴t=﹣，（8分）又=4，∴====2，（11分）此时直线AB与圆x2+y2=4相切，（12分）当y0=t时，，代入双曲线C的方程并整理得t4﹣2t2﹣8=0，即（t2﹣4）（t2+2）=0，解得t=±2，此时直线AB：y=±2．也与圆x2+y2=4也相切．（13分）综上得存在定圆x2+y2=4与直线AB相切．（14分）21．（14分）若实数x、y、m满足|x﹣m|≤|y﹣m|，则称x比y更接近m．（1）若x2﹣3比1更接近0，求x的取值范围；（2）对任意两个正数a、b，试判断与哪一个更接近ab？并说明理由；（3）当a≥2且x≥1时，证明：比x+a更接近lnx．【解答】解：（1）依题意可得|x2﹣3|≤1⇔﹣1≤x2﹣3≤1或，∴x的取值范围为；（2）解法一：∵===，即，∴比更接近ab；解法二：∵对任意两个正数a、b，有，，∴，即，∴比更接近ab；（3）证明：令，则p（x）在区间[1，+∞）上单调递减，且p（e）=0，由，得当x≥1时，q'（x）≥0，∴q（x）在[1，+∞）上单调递增，且当x≥1时，有q（x）≥q（1）=0，①当1≤x≤e时，∵p（x）≥0，a≥2，∴．∴比x+a更接近lnx．②当x＞e时，方法一：∵p（x）＜0，q（x）＞0．，∴．令f（x）=2lnx﹣x﹣2，则．当x＞e时，f'（x）＜0．∴f（x）在区间（e，+∞）单调递减，当x＞e时，f（x）＜f（e）=﹣e＜0综上可知，当x≥1时，．即．∴比x+a更接近lnx．方法二：当x＞e时，∵p（x）＜0，q（x）＞0．∴，令，则．令f'（x）=0，解得，∵x＞e∴不合舍去，∵（e﹣1）2＜1+e，∴∴x1＞e∵当e＜x＜x1时，f'（x）＞0．当x＞x1时，f'（x）＜0．∴f（x）在区间（e，x1）单调递增，在（x1，+∞）单调递减，又e＜x1＜3∴当x＞e时，．综上可知，当x≥1时，．即．∴比x+a更接近lnx．。

揭阳第三中学2014－2015学年度第一学期第一次阶段考试题高二数学（共4页）答卷时间：120分钟，全卷满分150分，不准使用计算器。

命题:陈吉涛一.选择题（每小题5分,共50分;每小题的答案是唯一的,请写入答题卷）1．等差数列}{n a 中,7,351==a a ,9a 等于（ ）A ． 9B ． 10C ．11D ．122．两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于20km, 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间相距（ ）km .A ．20B ．240C ．40D ．202 3. 在ΔABC 中,a=1,b=3, A=30°,则B 等于（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°4.在公比为整数的等比数列}{n a 中，若,12,64231=+=+a a a a ,则3a 等于（ ）A ． 56B ． 512C ． 524 D ．5485.等差数列}{n a 的前n 项和是n S ，若856S ,30,2则==S a 等于（ ） A. 31 B. 32 C. 33 D. 346.在ABC ∆中，,4:2:3sin :sin :sin =C B A 那么=B cos ( )A. 87 B. 87- C.32- D. 327.等差数列}{n a 中，,105=a 则73a a +等于（ ）A. 10B. 15C. 20D. 258.已知等差数列}{n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则7a 等于（ ） A ． 4 B ． 6 C ． 8 D ．109.等比数列}{n a 的前n 项和是n S ,且321,2,4a a a 成等差数列，若1a =1,则4S 等于（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 10.已知等比数列{}n a 满足0n a >，1,2,,n =且25252(3)n n a a n -=≥，则当1≥n 时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A ．(21)n n -B ．2(1)n +C ．2nD ．2(1)n -二.填空题（每小题5分,共20分，答案请写入答题卷）11.在ABC ∆中，角A ，B ，C 成等差数列，则=B sin ＿＿＿＿＿＿＿. 12.在数列}{n a 中，31=a ,=+=+21,12a a a n n 则＿＿＿＿＿＿＿.13.在等差数列}{n a 中，063,293=--x x a a 是方程的两根，则=6a ＿＿＿＿＿＿＿. 14.在ABC ∆中,ABC ,120,30,2∆===︒︒则B A c 的面积为＿＿＿＿＿＿＿. 三.解答题（共80分，答案请写入答题卷） 15.（本小题满分12分） 等比数列{a n }中,若a 1=27, a 9=2431,q<0,求数列{a n }前8项的和S 8.16.（本小题满分12分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.且有2sin a b A =。

揭阳市2014-2015学年度高二下学期期末学业水平考试理综物理试题一、单项选择题：本题包括4小题，每小题4分，共16分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。

13．将一带电的检验电荷，在电场中从a 点匀速移到b 点，需克服电场力做功W ，则A ．电场力对检验电荷做正功为WB ．检验电荷的电势能增加量为WC ．该电场是匀强电场D ．ab 两点的电势差大小为W14．如图所示的电路，L 是小灯泡，C 是极板水平放置的平行板电容器。

有一带电油滴悬浮在两极板间静止不动。

若滑动变阻器的滑片向下滑动，则A ．L 变亮B ．L 亮度不变C ．油滴向上运动D ．油滴向下运动15．关于通电直导线在匀强磁场中所受的安培力，则A ．安培力的方向总是垂直于磁场的方向B ．安培力的方向可以不垂直于直导线C ．安培力的大小与通电直导线和磁场方向的夹角无关D ．将直导线从中点折成直角，安培力的大小一定变为原来的一半16．如图所示，电阻不计的光滑足够长“U”形金属框架固定在水平面上，处于竖直向下的匀强磁场中。

电阻为R 的ab 棒在恒力F 作用下从静止开始向右运动，则A ．ab 棒做匀加速运动B ．a 点电势比b 点电势低C ．回路中电流先增大后不变D ．ab 棒受到水平向右的安培力二、双项选择题：本题包括5小题，每小题6分，共30分。

每小题给出的四个选项中，有两个选项符合题目要求，全选对得6分，只选1个且正确的得3分，有错选或不选的得0分。

17．如下的说法中，正确的是A ．是轻核聚变反应B ．β衰变说明了原子核中有电子C ．光电效应说明了光具有粒子性D ．核反应方程应该遵循质子数和中子数守恒18．关于静电场的电场强度和电势，下列说法正确的是A ．电场强度的方向处处与等势面垂直B ．电场强度为零的地方，电势也为零C ．若电场强度的大小逐渐减小，电势也逐渐降低D ．任一点的电场强度总是指向该点电势降落最快的方向19．一台理想变压器的输出端仅接一个标有“12V ，6W”的灯泡，且正常发光，变压器输入端的电流表示数为0.2A ，则A ．原线圈的输入功率为3WB ．原线圈的输入功率为6WC ．变压器原、副线圈的匝数之比6∶3D ．变压器原、副线圈的匝数之比5∶2b aFB20．圆形区域内有如图所示的匀强磁场，一束相同比荷的带电粒子（不计重力）对准圆心O 射入，分别从a 、b 两点射出，则从b 点射出的粒子 A ．带正电 B ．在磁场中的运动时间较短C ．速率较小D ．运动半径较小21．如图所示，质量相同的两带电小球Ａ与Ｂ，在光滑绝缘水平桌面上由静止开始沿同一直线相向运动。

侧（左）视图俯视图正（主）视图（第6题图）揭阳第一中学2014-2015年度第二学期第2次阶段考试高二级理科数学 试题参考数据：1、台体的体积公式：h S S S S V )''(31++=，其中'S 、S 分别表示上、下底面面积，h 表示高；2、若),(~2σμN X ，有6828.0)(=+<<-σμσμX P ，9544.0)22(=+<<-σμσμX P ，9974.0)33(=+<<-σμσμX P .一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合0}A ≥，2{|16}B x x =<，则=B A （ ） A.)4,1( B.)4,1[ C.),1[+∞ D.)4,[e 2．已知复数 ，则z 等于（ ）A.22B.1C.2D.2 3.“πϕ=”是“曲线)2sin(ϕ+=x y 过坐标原点”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知集合{}2,1=A ，{}6=B ，{}7,4,3=C ，从这三个集合中各取一 个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ） A.6 B.12 C.24 D.365.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其 随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是（ ） A.51 B.52 C.101 D.2036. 某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ） A ．20π3 B ．10π3C ．6πD ．16π3z =7. 已知随机变量ξ服从正态分布)49,1(N ，则=≥)4(ξP （ ） A.0013.0 B.0026.0 C.0228.0 D.0456.0 8．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A. 12B. 10C.5log 13+D.5log 23+9. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=得，8.750605060)20203040(11022≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K . 附表：参照附表，下列结论正确的是（）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”10. 若椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的面积为ab π，则=⎰（ ）A ．4π B ．8π C D11.设1F 、2F 为椭圆的两个焦点，以2F 为圆心作圆2F ，已知圆2F 经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线1MF 恰与圆2F 相切，则该椭圆的离心率e 为（ ）A ．13-B ．32-C ．22D ．2312.设)(x f 是连续的偶函数，且当0>x 时，)(x f是单调函数，则满足)43()(++=x x f x f 的所有x 之和为（ ）A.3B.3-C.8D.8-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若3tan =α，则=α2sin ．14．在矩形ABCD 中，AB =(1,3)-，(,2)AC k =-，则实数k = ． 15．已知等差数列{}n a 中，有11122012301030a a a a a a ++++++=成立．类似地，在等比数列{}n b 中，有_____________________成立．16. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=．当]1,0[∈x 时，()2f x x =.若在区间]3,2[-上方程+2()0ax a f x -=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知21()cos 22f x x x =-， （1）写出)(x f 图像的对称中心的坐标和单调递增区间；（2）ABC ∆三个内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若01)(=+A f ，2=+c b ．求a 的最小值．18.（本小题满分10分）某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：幸福度7 3 08 6 6 6 6 7 7 8 8 9 99 7 6 5 5若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.（1）从这16人中随机选取3人，记X 表示抽到“极幸福”的人数，求X 的分布列及数学期望，并求出至多有1人是“极幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的数学期望．19.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 与矩形BDEF 所在平面互相垂直，3BAD π∠=．（1）求证：∥FC 平面AED ；（2）若BD k BF ⋅=，当二面角C EF A --为直二面角时，求k 的值； （3）在（2）的条件下，求直线BC 与平面AEF 所成的角θ的正弦值．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n ++++=-=．（1）求证：数列{1}n a -是等比数列；（2）令(2)(1)n n b n a =--（1,2,3...n =），如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，过点(0,2)D -作抛物线22(0)x py p =>的切线l ，切点A 在第二象限．（1）求切点A 的纵坐标；（2）若离心率为23的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 恰好经过切点A ，设切线l 交椭圆的另一点为B ，记切线l ，OA ，OB 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若k k k 4221=+，求椭圆方程．22．（本小题满分14分）已知函数()()ln 1f x x a x =--，其中0>a . （1） 若函数()f x 在(0,)+∞上有极大值0，求a 的值； （提示：当且仅当1=x 时，1ln -=x x ）（2） 讨论并求出函数()f x 在区间1[,]e e上的最大值；（3）在（2）的条件下设()()1h x f x x =+-，对任意1212,(0,)()x x x x ∈+∞≠， 证明：不等式121212()()2x x x x h x h x -+<-恒成立.揭阳第一中学2014-2015年度第二学期第2次阶段考试高二级理科数学 答案一、选择题：BBADA BCBCD AD 二、填空题: 13.5314. 4 15.30302110201211b b b b b b = 16.3252<<a三、解答题：17.解：（1）化简得：)32cos()(π+=x x f ，………2分对称中心为：))(0,122(Z k k ∈+ππ，……4分，单调递增区间为：)](6,32[Z k k k ∈--ππππ……6分（2）由（1）知： 01)32cos()(=++=πA A f ，1)32cos(-=+∴πA ，π<<A 0 ，37323πππ<+<∴A ，ππ=+∴32A ，3π=∴A ，………8分根据余弦定理：1)2(34343cos 22222=+-≥-=-+=c b bc bc c b a π， 当且仅当1==c b 时，a 取最小值1.………12分18.解：（1）X 的可能取值为0、1、2、3，………1分2811)0(316312===C C X P ，7033)1(31614212===C C C X P ， 709)2(31624112===C C C X P ，1401)3(31634===C C X P ，………3分 X ∴的分布列为………4分 数学期望431401370927033128110)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ， ………5分 至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则14012170332811)1()0()(=+==+==X P X P A P .………6分 （2）解法一：ξ的可能取值为0、1、2、3，随机选取1人是“极幸福”的概率为41164==P ∴6427)43()0(3===ξP ； 6427)43(41)1(213===C P ξ64943)41()2(223===C P ξ； 641)41()3(3===ξP∴ξ的分布列为数学期望)(ξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………10分 解法二：依题意知，随机选取1人是“极幸福”的概率为41164==P ， 故随机变量ξ满足二项分布)41,3(~B ξ，故数学期望43413)(=⨯=ξE .………10分 19．（1）证明：AD BC ED FB ∥∥, ，B BC PB = ，D AD ED = ，∴平面FBC ∥平面EDA ，故∥FC 平面AED ………4分（2）解：取BD EF ,的中点N M ,.由于,,CF CE AF AE ==所以EF CM EF AM ⊥⊥,，AMC ∠就是二面角C EF A --的平面角．………6分当二面角C EF A --为直二面角时，BD AN MN 23==，即.23=k ………8分（3）几何方法：由（2）⊥CM 平面AEF ，欲求直线BC 与平面AEF 所成的角，先求BC 与MC 所成的角.……9分连结BM ，设.2=BC 则在MBC ∆中，6322=⋅==MN CM ，2=MB ，.462cos 222-=⋅-+=∠BC MC MB BC MC MCB .46sin =∴θ……12（3）向量方法：以D 为原点，DC 为y 轴、DE 为z 设.2=AD 则)3,21,23(M ，)0,2,0(C ，平面AEF 的法向量)3,23,23(--==MC n ，……10分，)0,1,3(-==..46-==.46sin=∴θ………12分20．解：（1）由题可知：1231n n na a a a a n a-+++++=-①123111n n na a a a a n a+++++++=+-②②—①可得121n na a+-=.即：111(1)2n na a+-=-，又1112a-=-．所以数列{1}na-是以12-为首项，以12为公比的等比数列．………6分（2）由（1）可得11()2nna=-，22n nnb-=．………8分由111112212(2)32222n n n n n nn n n n nb b+++++-------=-==>，可得3n<．而由1n nb b+-<可得3n>．所以12345nb b b b b b<<=>>>>，故nb有最大值3418b b==．………10分所以，对任意*n N∈，有18nb≤．如果对任意*n N∈，都有214nb t t+≤，即214nb t t≤-成立，则2max1()4nb t t≤-，故有：21184t t≤-．解得12t≥或14t≤-．所以，实数t的取值范围是11(,][42-∞-+∞，）．………12分21.解：（1）设切点),(yxA，且pxy22=，由切线l的斜率为pxk0=，得l的方程为pxxpxy220-=，又点)2,0(-D在l上，2220=∴px，即点A的纵坐标=y2.……4分（2）由（1）得)2,2(pA-，切线斜率pk2-=，设),(11yxB，切线方程为2-=kxy，由23=e，得224ba=，所以椭圆方程为142222=+bybx，且过)2,2(pA-，42+=∴pb．由041616)41(442222222=-+-+⇒⎩⎨⎧=+-=b kx x k b y x kx y ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+∴2210210414164116k bx x k k x x ， ………7分010011120101100101101222(2)2(2)243y x y x y y k k x x x x x kx x kx x x x x k x x +∴+=+=-+-=+=-10001222()23321431641434x x x k x x kk k b k k k ++=--+=--+==将pk 2-=，42+=p b 代入得：32=p ，所以144,3622==a b ．∴椭圆方程为13614422=+y x ．……… 12分22. 分析：（1）11'()ax f x a x x-=-=………1分 明显，当∈x 1(0,)a 时，0)(>'x f ，当∈x 1(,)a +∞时，0)(<'x f故函数)(x f 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减，………3分因此函数)(x f 在 (0,)+∞上有极大值1()ln 10f a a a=--+=∴ln 1a a =-，解得1=a ………5分（2）∵11'()axf x a x x-=-= ①若1e a ≥，即10a e <≤，则当1[,]x e e∈ 时，有'()0f x ≥，∴函数)(x f 在1[,]e e上单调递增，则max ()()1f x f e ea a ==-+．………6分②若11e e a <<，即1a e e <<，则函数f (x )在 11(,)e a 上单调递增，在1(,)e a上单调递减，∴max 1()()ln 1f x f a a a==--+．………7分③若11a e ≤，即a e ≥，则当1[,]x e e ∈ 时，有'()0f x ≤，函数f (x )在1[,]e e上单调递减，则max 1()()1af x f a e e==--+．………8分 综上得，当10a e <≤时，max ()1f x ea a =-+；当1a e e<<时，max ()ln 1f x a a =--+； 当a e ≥时，max ()1af x a e=--+．………9分（3）要证明121212()()2x x x x h x h x -+<-，只需证明121212ln ln 2x x x x x x -+<-………10分 只需证明()1212121ln ln 2x x x x x x -<-+即证明12112211ln 21x x xx x x -<+，………11分 不妨设120x x >>，令12x t x =，则1>t ，则需证明0ln 2111<-+-t t t ………12分 令)1(ln 2111)(>-+-=t t t t x ϕ，则0)1(2)1()(22<+--='t t t x ϕ，）上单调递减，在（∞+∴1)(t ϕ 0ln 21110)1()(<-+-=<∴t t t t 即ϕϕ 故不等式121212()()2x x x x h x h x -+<-得证………14分。

广东省揭阳三中2014-2015学年高一下学期第一次段考数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，共计50分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．sin2cos3的值（）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在2．函数y=2sinx在区间[，）的值域是（）A． [﹣，） B．（﹣，2] C． [，] D． [﹣，2）3．终边与x轴重合的角α的集合是（）A． {α|α=2kπ，k∈Z} B． {α|α=kπ，k∈Z} C． {α|α=，k∈Z} D． {α|α=kπ+，k∈Z}4．函数在其定义域上是（）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数5．若﹣＜α＜0，则点P（tanα，cosα）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知f（α）=，则f（﹣）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．7．已知α为第三象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限8．已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 89．已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx﹣β），其中a，b，α，β均为非零实数，若f=﹣1，则f等于（）A．﹣1 B． 0 C． 1 D． 210．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数y=f（x）对应的解析式为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）11．在直角坐标系中，O是原点，A（，1），将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为．12．y=的定义域是．13．不等式1+tanx≥0的解集是．14．函数f（x）是周期为π的偶函数，且当时，，则的值是．三、解答题：（本大题共6小题，计80分）15．已知=﹣1，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α+sin αcos α+2．16．化简（1）；（2）．17．已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，求的值．18．已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=．（1）求tanα的值；（2）把用tanα表示出来，并求其值．19．求函数y=﹣cos2x++的最大值及最小值，并写出x取何值时函数有最大值和最小值．20．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的最小正周期为，最小值为﹣2，图象过（，0），求该函数的解析式．广东省揭阳三中2014-2015学年高一下学期第一次段考数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，共计50分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．sin2cos3的值（）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在考点：三角函数值的符号．专题：规律型．分析：确定2弧度，3弧度在第二象限，再根据三角函数在各象限的符号规律，即可求得结论．解答：解：因为2弧度，3弧度在第二象限，所以sin2＞0，cos3＜0∴sin2cos3＜0故选A．点评：本题考查三角函数的符号，掌握规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦，是解题的关键．2．函数y=2sinx在区间[，）的值域是（）A． [﹣，） B．（﹣，2] C． [，] D． [﹣，2）考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的图象和单调性的性质进行求解即可．解答：解：∵≤x＜，∴当x=时，函数y=2sinx取得最大值，此时最大值为2，当x=时，函数y=2sinx取得最小值，此时最小值为2×=﹣，∵≤x＜，∴﹣＜y≤2，即函数的值域为（﹣，2]，故选：B．点评：本题主要考查三角函数的值域的求解，根据正弦函数的图象和性质是解决本题的关键．3．终边与x轴重合的角α的集合是（）A． {α|α=2kπ，k∈Z} B． {α|α=kπ，k∈Z} C． {α|α=，k∈Z} D． {α|α=kπ+，k∈Z}考点：终边相同的角．专题：三角函数的求值．分析：终边在x轴的角只有和x轴正半轴或者负半轴重合解答：解：设终边在x轴上的角为α，当α在x轴正半轴时，α=2kπ，其中k∈Z；当α在x轴负半轴时，α=π+2kπ=（2k+1）π，其中k∈Z综上所述：α的集合是{α|α=kπ，k∈Z}，故选：B．点评：本题考查终边相同的角的表示方法，属于基础题．4．函数在其定义域上是（）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数考点：余弦函数的奇偶性．专题：计算题．分析：由诱导公式先把函数化简，然后根据余弦函数的奇偶性与单调性（y=cosx是偶函数，且在R上单调性不唯一．）即可作出判断．解答：解：因为，所以该函数是偶函数，其在整个定义域R上不是单调函数．故选B．点评：三角函数问题，一般先要利用三角的有关公式把原函数化简为正弦型或余弦型函数，然后根据正、余弦函数的性质解决．5．若﹣＜α＜0，则点P（tanα，cosα）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：三角函数值的符号．专题：计算题．分析：由于﹣＜α＜0，可得tanα＜0，cosα＞0，从而可得答案．解答：解：∵﹣＜α＜0，∴tanα＜0，cosα＞0，即点P（tanα，cosα）位于第二象限．故选B．点评：本题考查三角函数值的符号，关键在于熟练掌握诱导公式，属于基础题．6．已知f（α）=，则f（﹣）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析： f（α）解析式利用诱导公式化简，整理得到结果，把α=﹣π代入计算即可求出f（﹣）的值．解答：解：f（α）=﹣=﹣=﹣cosα，则f（﹣π）=﹣cos（﹣π）=﹣cosπ=﹣cos（10π+）=﹣cos=﹣．故选：A．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．已知α为第三象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限考点：象限角、轴线角；角的变换、收缩变换．分析： α为第三象限角，即k∈Z，表示出，然后再判断即可．解答：解：因为α为第三象限角，即k∈Z，所以，k∈Z当k为奇数时它是第四象限，当k为偶数时它是第二象限的角．故选D．点评：本题考查象限角，角的变换，是基础题．可以推广到其它象限．8．已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：弧长公式．专题：常规题型．分析：根据扇形的面积公式建立等式关系，求出半径，以及弧长公式求出弧长，再根据扇形的周长等于2个半径加弧长即可求出周长．解答：解：设扇形的半径为R，则R2α=2，∴R2=1，∴R=1，∴扇形的周长为2R+α•R=2+4=6故选C点评：本题主要考查了扇形的面积公式，以及扇形的周长和弧长等有关基础知识，属于基础题．9．已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx﹣β），其中a，b，α，β均为非零实数，若f=﹣1，则f等于（）A．﹣1 B． 0 C． 1 D． 2考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：把x=2010，f=﹣1代入已知等式求出asinα+bcosβ的值，再将x=2011及asinα+bcosβ的值代入计算即可求出值．解答：解：由题意得：f=asin+bcos=asinα+bcosβ=﹣1，则f=asin+bcos=﹣（asinα+bcosβ）=1，故选：C．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题．10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数y=f（x）对应的解析式为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，把点（，1）代入函数的解析式求得φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得A=1，=•=﹣，解得ω=2，再把点（，1）代入函数的解析式可得 sin（2×+φ）=1，结合，可得φ=，故有，故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，把定点的坐标代入求得φ的值，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）11．在直角坐标系中，O是原点，A（，1），将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为（﹣1，）．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：依题意知OA=OB=2，利用任意角的三角函数的定义，直接求出B的坐标即可．解答：解：依题意知OA=OB=2，∠AOx=30°，∠BOx=120°，所以x=2cos120°=﹣1，y=2sin120°=，即B（﹣1，）．故答案为：（﹣1，）点评：本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，常考题型．12．y=的定义域是{x|2kx+≤x≤2kx+，k∈Z}．考点：余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：直接利用无理式的范围，得到三角函数不等式，解三角不等式即可．解答：解：由1﹣2cosx≥0得，∴{x|2kx+≤x≤2kx+，k∈Z}．故答案为：{x|2kx+≤x≤2kx+，k∈Z}．点评：本题考查函数的定义域，三角不等式（利用三角函数的性质）的解法，是基础题．13．不等式1+tanx≥0的解集是．考点：正切函数的单调性．专题：计算题．分析：不等式即 tanx≥﹣，又 kπ﹣＜x＜kπ+，k∈z，可得解答：解：不等式即 tanx≥﹣，又 kπ﹣＜x＜kπ+，k∈z，∴，故答案为：．点评：本题考查正切函数的定义域，正切函数的单调性，注意利用正切函数的定义域为 kπ﹣＜x＜kπ+，k∈z，这是解题的易错点，属于中档题．14．函数f（x）是周期为π的偶函数，且当时，，则的值是2．考点：正切函数的奇偶性与对称性．专题：计算题．分析：先把等价转化为f（），再由函数f（x）是周期为π的偶函数，进一步简化为，然后利用当时，求解．解答：解：∵函数f（x）是周期为π的偶函数，∴=f（）=f（﹣）=，∵当时，，∴==2．故答案为：2．点评：本题考查正切函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意函数的周期性、奇偶性的灵活运用．三、解答题：（本大题共6小题，计80分）15．已知=﹣1，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α+sin αcosα+2．考点：三角函数的化简求值．专题：常规题型；计算题．分析：由已知得tanα=（1）由于已知tanα，故考虑把所求的式子化为正切的形式，结合tanα=，可知把所求的式子分子、分母同时除以cosα即可（2）同（1）的思路，但所求式子没有分母，从而先变形为分式的形式，分母添1，而1=sin2α+cos2α，以下同（1）解答：解：由已知得tanα=（1）（2）sin2α+sinαcosα+2=sin2α+sinαcosα+2（cos2α+sin2α）===点评：本题主要考查了三角函数求值化简中的常用技巧：已知tanα，求形如①②asin2α+bsinαcosα+ccos2α，对于①常在分子、分母上同时除以cosα，对于②要先在分母上添上1，1=sin2α+cos2α，然后分子、分母同时除以cos2α，从而把所求的式子化简为含有“切”的形式．16．化简（1）；（2）．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：（1）由同角三角函数的基本关系和根式的化简可得；（2）由诱导公式逐个化简可得．解答：解：（1）====1；（2）===﹣sinθ．点评：本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系和诱导公式的应用，属基础题．17．已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：求出已知方程的解确定出sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而确定出tanα的值，原式利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简，把tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，∴sinα=﹣或sinα=2（舍去），∴cosα=±=±，即tanα=±，原式==﹣tanα=±．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=．（1）求tanα的值；（2）把用tanα表示出来，并求其值．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由sinα+cosα=，得cosα=﹣sinα，由α是三角形的内角，得到，由此能求出tanα．（2）由三角函数恒等式得=．再由tanα=﹣，能求出结果．解答：解（1）∵sinα+cosα=，∴cosα=﹣sinα，∵sin2α+cos2α=1，∴25sin2α﹣5sin α﹣12=0．∵α是三角形的内角，∴，∴tanα=﹣．（2）===．∵tanα=﹣，∴==﹣．点评：本题考查三角函数的求值运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意同角三角函数间的相互关系和三角函数恒等式的合理运用．19．求函数y=﹣cos2x++的最大值及最小值，并写出x取何值时函数有最大值和最小值．考点：二次函数的性质；余弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最值及相应的x取值．解答：解：令t=cosx，则t∈[﹣1，1]所以函数解析式可化为：=因为t∈[﹣1，1]，所以由二次函数的图象可知：当时，函数有最大值为2，此时当t=﹣1时，函数有最小值为，此时x=2kπ+π，k∈Z点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．20．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的最小正周期为，最小值为﹣2，图象过（，0），求该函数的解析式．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的周期求得ω 的值，由函数的最值求得A，根据图象过定点出φ的值，从而求得函数的解析式．解答：解：∵函数的最小正周期为，∴T==，解得ω=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵函数的最小值为﹣2，∴A=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以函数解析式可写为y=2sin（3x+ϕ）．又因为函数图象过点（，0），所以有：，解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵|ϕ|≤π，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，函数解析式为：，或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，根据图象过定点出φ的值，属于中档题．。

广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习 方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移. 一．选择题(5*8=40分)1．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【知识点】交集及其运算；子集与真子集．A1【答案解析】A 解析：∵集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，∴x 24＋y 216＝1为椭圆和指数函数y ＝3x 图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A 1、A 2，则A∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}共四种，故选A ．【思路点拨】由题意集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，画出A ，B 集合所表示的图象，看图象的交点，判断A∩B 的子集的个数． 【题文】2． 22log sinlog cos1212ππ+的值为（ ）A .-2B .–l C.12D .1 【知识点】对数的运算性质．B7 【答案解析】A 解析：====﹣2．故选A ．【思路点拨】利用对数的运算法则进行计算即可．先结合对数运算法则：log a （MN ）=log a M+log a N ，利用二倍角的正弦公式将两个对数式的和化成一个以2为底的对数的形式，再计算即得.【题文】3．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“14xy ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案解析】A 解析：∵x，y ∈R ，当1x y +=时，y=1﹣x ，∴xy=x（1﹣x ）=x ﹣x 2=2111424x ，∴充分性成立； 当xy≤时，如x=y=0，x+y=0≠1，∴必要性不成立；∴“1x y +=”是“14xy ≤”的充分不必要条件．故选：A ． 【思路点拨】由1x y +=，推出14xy ≤，判定充分性成立；由14xy ≤，不能得出1x y +=，判定必要性不成立即可． 【题文】4．已知函数cos21()sin 2x f x x-=，则有（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线2x π=对称 B ．函数()f x 的图像关关于点(,0)2π对称C ．函数()f x 的最小正周期为2πD ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递减【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】B 解析：∵cos21()sin 2x f x x-==∴函数f （x ）不是轴对称图形，∴A 不正确； ∵函数f （x ）的最小正周期为π，∴C 不正确； ∵函数在区间(0,)π不单调，∴D 不正确； ∵函数f （x ）的对称中心为（）k ∈Z ，∴函数f （x ）的图象关关于点(,0)2π对称正确，故选B ．【思路点拨】分析函数cos21()sin 2x f x x-=性质，要先利用公式化成正弦型、余弦型或正切型函数的标准形式，然后再研究性质． 【题文】5．已知0<a<b<l ．则（ ） A.11b a > B. 11()()22a b < C. 22(lg )(lg )a b < D.11lg lg a b > 【知识点】不等式的基本性质．E1【答案解析】D 解析：∵0＜a ＜b ＜1，∴，可得； ；（lga ）2＞（lgb ）2；lga ＜lgb ＜0，可得．综上可知：只有D 正确．故选：D ．【思路点拨】利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出．【题文】6．已知函数 2()2cos f x x x =+，若 '()f x 是 ()f x 的导函数，则函数 '()f x 在原点附近的图象大致是（ ）A B C D【知识点】函数的图象．B8【答案解析】A 解析：函数f （x ）=x 2+2cosx ，∴f′（x ）=2x ﹣2sinx=2（x ﹣sinx ）， f′（﹣x ）=﹣2x+2sinx=﹣（2x ﹣2sinx ）=﹣f′（x ），导函数是奇函数， ∵x∈（0，），x ＞sinx ＞0，∴B、C 、D 不正确．故选：A ．【思路点拨】由题可得f′（x ）=2x ﹣2sinx ，判断导函数的奇偶性，利用特殊值的函数值推出结果即可．【题文】7.已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m≤-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） 111.(,].(,][1,).[1,).[,1]444A B C D -∞--∞-+∞+∞-【知识点】分段函数的应用．B1【答案解析】B 解析：对于函数f （x ）=，当x≤1时，f （x ）=﹣（x ﹣）2+；当x ＞1时，f （x ）=＜0．则函数f （x ）的最大值为．则要使不等式f （x ）≤m 2﹣m 恒成立， 则m 2﹣m 恒成立，即m 或m≥1．故选B ．【思路点拨】求出分段函数的最大值，把不等式f （x ）≤m 2﹣m 恒成立转化为m 2﹣m 大于等于f （x ）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m 的取值范围． 【题文】8．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（ ） A ．2sin 22cosααα= B ．2cos 22sin ααα= C ．2sin 22sin βββ=- D ．2cos 22sin βββ=-【知识点】余弦函数的图象．C3【答案解析】C 解析：∵cos xk x=，∴|cosx|=kx， ∴要使方程cos xk x=（k ＞0）在（0，+∞）上有两个不同的解，则y=|cosx|的图象与直线y=kx （k ＞0）在（0，+∞）上 有且仅有两个公共点，所以直线y=kx 与y=|cosx|在（，π）内相切，且切于点（β，﹣cosβ），此时y=|cosx|=﹣cosx ．∴切线的斜率为sinβ=，∴βsinβ=﹣cosβ，∴2βsinβsinβ=2sinβcosβ，∴sin 2β=﹣2βsin 2β，故选：C ．【思路点拨】将方程cos xk x=转化为|cosx|=kx ，作出两个函数的图象，利用数形结合，以及导数的几何意义即可得到结论．二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

2014-2015学年度高三第二学期联考数学理试题一．选择题(本大题共8个小题；每小题5分，共40分)1. 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且ni i m +=+11)1(,则m nim ni +=-（ ）A.iB.-iC.1i +D.1i - 2. 已知6,10a b a b -=+=r r r r，则a b ⋅=r r（ ）A.1B. 2C.3D.53. 数列{}n a 满足121122,021,1n n n n n a a a a a +≤<⎧=⎨-≤<⎩，若145a =，则2015a =（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．544. 已知某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．163B ．4C ．143 D ．65.甲、乙两所学校高三级某学年10学成绩平均分用茎叶图如图所示，则甲乙两所学校的平 均分x 及方差2s 的大小关系为（ ）A ．22,x x s s >>乙乙甲甲 B ．22,x x s s ><乙乙甲甲 C ．22,x x s s <<乙乙甲甲 D ．22,x x s s <>乙乙甲甲6. 如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A .712π B.23π C .34π D. 56π7. 下列命题中正确命题的个数是（ ） ①“数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列{}n a 是常数列”；②不等式|1||1|1x y -+-≤表示的平面区域是一个菱形及其内部；甲 乙8 5 4 1 8 6 79 7 5 4 9 0 1 4 5 66 5 10 0 5 5③f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x ＞0时的解析式是f(x)＝2x ，则x ＜0时的解析式为f(x)＝－2－x ；④若两个非零向量a b r r 、共线，则存在两个非零实数λμ、，使a b λμr r r +=0.A ．4B ．3C ．2D ．1 8. 定义在[)1+∞，上的函数()f x 满足：①(2)=()(f x cf x c 为正常数）；②当24x ≤≤时，2()=(3)1,f x x -+若函数()f x 的图象上所有极小值对应的点均在同一条直线上，则c =（ ）A.1B.2C. 1或2D. 2或4二．填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9～13题）9．函数x xy -+=11lg的定义域为集合A ，集合)1,(+=a a B . 若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 ；10.在26(1)(1)(1)x x x ++++++L 的展开式中含2x 项的系数为 ；（用数字作答）11．观察式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<,由此归纳出一个正确的一般结论为： ； 12.定义某种运算⊕,a b ⊕的运算原理如图所示,设1S x =⊕,[2,2]x ∈-,则输出的S 的最大值与最小值的差为 ；抛物线24y x =的焦点为F ，过点N(3,0)的直线与抛物线 相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于C ，||3BF =， 则BCF ∆与ACF ∆的面积之比为 ；（二）选做题 (考生只能选做一题)14．极坐标系中，圆223sin ρρθ+=的圆心到直线10sin cos ρθρθ+-=的距离是 ．15．如图，圆O 的直径8=AB ，C 为圆周上一点，4=BC ，过C 作圆的切线l ，过点A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段DE 的长度为 ．lE D C BA三．解答题（本小题满分12分）设函数()cos(2)cos 3f x x x xπ=--.(I)求()f x 的最小正周期，并指出由()f x 的图像如何变换得到函数cos 2y x =的图像；(II)ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()32f A π-=，2b c +=，求a 的最小值．（本小题满分12分）已知某校的数学专业开设了A,B,C,D 四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门。

广东省揭阳市第三中学2014-2015学年高二下学期第一次阶段考试数学（理）试题一、选择题： （每小题5分，共40分）1. 已知集合{}|11M x x =-<<，{|N x y ==，则MN =（ ）A. {}|01x x <<B. {}|01x x ≤<C. {}|0x x ≥D. {}|10x x -<≤ 2.已知命题2:,210p x R x ∀∈+>，则（ ） A ．2:,210p x R x ⌝∃∈+≤ B ．2:,210p x R x ⌝∀∈+≤C ．2:,210p x R x ⌝∃∈+<D ．2:,210p x R x ⌝∀∈+<3. 设向量(),1a x =，()4,b x =，1a b ⋅=-，则实数x 的值是（ ） A. 2- B. 1- C. 13-D. 15- 4. 若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则35z x y =+的取值范围是( )A. [)3+∞，B. []83-，C. (],9-∞D. []89-，5. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h =( )AB.C.D.6．在C ∆AB 中，60A =，a =，b = ）A ． 45B =或135 B ．135B =C ．45B =D ．以上答案都不对7．如图所示的程序框图，若输出的41S =，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．3?k >B ．4?k >C ．5?k >D ． 6?k >8. 已知()1sin cos f x x x =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，*N n ∈，则()2015f x =（ ）A ．sin cos x x +B ．sin cos x x --C ．sin cos x x -D ．sin cos x x -+二、填空题：（每小题5分，共30分）9. 不等式2230x x --<的解集是 ． 10．函数sin xy x=的导数为_________________； 11．已知数列{}n a 为等差数列，1233a a a ++=，5679a a a ++=，则4a = ． 12. 函数32y x x x =--的单调递增区间为____________。

b cM广东省揭阳市第三中学2014-2015学年高二下学期第一次阶段考试物理试题一、单项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。

13、关于电磁感应，下列说法正确的是（ ） A 、穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大 B 、穿过线圈的磁通量为零，感应电动势一定为零 C 、穿过线圈的磁通量变化越大，感应电动势越大D 、穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大14、如图，闭合线圈上方有一竖直放置的条形磁铁，磁铁的N 极朝下。

当磁铁向下运动时（但未插入线圈内部）（ ） A 、线圈中感应电流的方向与图中箭头方向相同，磁铁与线圈相互吸引 B 、线圈中感应电流的方向与图中箭头方向相同，磁铁与线圈相互排斥 C 、线圈中感应电流的方向与图中箭头方向相反，磁铁与线圈相互吸引 D 、线圈中感应电流的方向与图中箭头方向相反，磁铁与线圈相互排斥 15、如图所示，导体杆OP 可绕O 轴沿半径为r 的光滑的半圆形框架在匀强磁场中以角速度ω转动，磁感应强度为B ，AO 间接有电阻R ，杆和框架电阻不计，则所施外力的功率为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、16、如图11所示，一闭合直角三角形线框以速度v 匀速穿过匀强磁场区域，从BC 边进入磁场区开始计时，到A 点离开磁场区止的过程中，线框内感应电流的情况(以逆时针方向为电流的正方向)是如图12所示中的（ ）二、双项选择题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，有两个选项符合题目要求，全部选对的得6分，只选一个且正确的得3分，有选错或不答的得0分。

17、电磁感应现象揭示了电和磁之间的内在联系，根据这一发现，发明了许多电器设备。

下列用电器中，没有．．利用电磁感应原理的是（ ） A 、电吹风 B 、日光灯镇流器 C 、变压器 D 、白炽灯泡18、如图所示，直导线MN 竖直放置并通以向上的电流I ，矩形金属线框abcd 与MN 处在同一平面，边ab 与MN 平行，则（）Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ ΧA 、线框向左平移时，线框中有感应电流B 、线框竖直向上平移时，线框中有感应电流C 、线框以MN 为轴转动时，线框中有感应电流D 、MN 中电流突然变化时，线框中有感应电流 19、电阻R 、电容C 与一线圈连成闭合电路，条形磁铁静止于线圈的正上方，N 极朝下，如图所示．现使磁铁开始自由下落，在N 极接近线圈上端的过程中，流过R 的电流方向和电容器极板的带电情况是（ ） A 、从a 到b B 、从b 到a C 、上极板带正电 D 、下极板带正电20、如图所示电路中，A 、B 是相同的两个灯泡，L 是一个带铁芯的线圈，电阻可不计.调节R ，电路稳定时两灯都正常发光，则在开关合上和断开时（ ）A 、两灯同时点亮、同时熄灭B 、合上S 时，B 比A 先到达正常发光状态C 、断开S 时，A 、B 两灯都不会立即熄灭，通过A 灯的电流方向与原电流方向相同，而B 灯的电流反向D 、断开S 时，A 灯会突然闪亮一下后再熄灭21、一线圈匝数为n=10匝，线圈电阻不计，在线圈外接一个阻值R = 2.0Ω的电阻，如图甲所示。

揭阳第三中学2014-2015学年第一学期第一次阶段考试高一数学试题 满分：150分命题人：黄洁珊一．选择题（每题5分，共50分，每题只有一个符合题意的选项） 1．设集合{}1->∈=x Q x A ，则（ ）A ． A ∅∉B ．2A ∉C ．2A ∈D ．{}2⊆A2．给出下列四个对应，其中构成映射的是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（4）C ．（1）（3）（4）D ．（3）（4） 3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．y ＝112--x x 与y=x+1 B ．y=x 与y=|x|C ．y=|x|与y ＝2x D ．y ＝12-x 与y=x-14．如图设全集U 为整数集，集合A={x ∈N|1≤x≤8}，B={0，1，2}则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（ ） A ． 3 B ．4 C ．7 D ．8 5．函数xy --=113的定义域是（ ）()()(]()()[)+∞⋃∞-⋃∞-∞-,1.1,00,.1,00,.1,.D C B A6．若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20052005ab +的值为( ) A.0 B.1 C.1- D.1或1- 7．已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是（ ）A ．x x 62+B ．782++x xC ．322-+x xD ．1062-+x x8．若函数2(21)1=+-+y x a x 在区间（－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－23，+∞）B ．（－∞，－23] C ．[23，+∞） D ．（－∞，23]9．若奇函数()x f 在[]3,1上为增函数，且有最小值0，则它在[]1,3--上（ ） A .是减函数，有最小值0 B .是增函数，有最小值0 C .是减函数，有最大值0 D .是增函数，有最大值010. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意(]()1212,,0x x x x ∈-∞≠，都有()()21210x x f x f x ->-则（ ）()()().546A f f f -<< ()()().456B f f f <-< ()()().654C f f f <-< ()()().645D f f f <<-二． 填空题（每题5分，共20分）11. 已知集合M={(x ，y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M ∩N ＝ ．12. 已知25(1)()21(1)x x f x x x +>⎧=⎨+≤⎩，则[(1)]f f = .13. 若函数1+=ax y 在上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是 14. 已知函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=p,f(3)=q ，那么f(36)= ．16. （12分）已知集合A={}71<≤x x ，B={x|2<x<10}，C={x|x<a }，全集为实数集R ． （Ⅰ）求A ∪B ，(C R A)∩B ；（Ⅱ）如果A ∩C ≠φ，求a 的取值范围．17. （14分）已知方程02=++q px x 的两个不相等实根为βα,．集合},{βα=A ，=B {2，4，5，6}，=C {1，2，3，4}，A ∩C ＝A ，A ∩B ＝φ，求q p ,的值？18.（14分）已知函数2()21f x x =-． （1）用定义证明()f x 是偶函数；（2）用定义证明()f x 在(,0]-∞上是减函数；（3）作出函数()f x 的图像，并写出函数()f x 当[1,2]x ∈-时的最大值与最小值．19. （14分）已知函数()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且()f x 在定义域上是减函数，（1）求函数(1)y f x =-定义域；（2）若(2)(1)0f x f x -+-<，求x 的取值范围．20. （14分） 已知：函数()f x 对一切实数,x y 都有()()f x y f y +-=(21)x x y ++成立，且(1)0f =.（1）求(0)f 的值。

广东省揭阳一中2014-2015学年高二下学期第一次段考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设全集U是实数集R，集合A={y|y=3x，x＞0}，B={x|y=}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x≤1}C．{x|1＜x＜2} D．{x|1＜x≤2}2．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥13．如图所示的框图输出结果为（）A．1023 B．1024 C．511 D．20474．函数f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C．D．5．设M=（其中0＜x＜y），则M，N，P的大小关系为（）A．M＜N＜P B．N＜P＜M C．P＜M＜N D．P＜N＜M6．观察下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n ﹣1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=（2n ﹣1）27．在平面直角坐标系中，不等式（a为常数）表示平面区域的面积为9，则的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．﹣8．已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P是双曲线C上一点，且|PF1|+|PF2|=6a，△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率e为（）A．B．2C．D．9．若方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[0，2] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）10．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）（）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）.11．已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=．12．若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=．13．已知双曲线x2﹣=1与抛物线y2=2px（p＞0）有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为M，若|MF|=5，则点M的横坐标为．14．记等差数列{a n}的前n项的和为S n，利用倒序求和的方法得：；类似地，记等比数列{b n}的前n项的积为T n，且，试类比等差数列求和的方法，将T n表示成首项b1，末项b n与项数n的一个关系式，即T n=．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x﹣4cosx．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（1）证明：PC⊥BD；（2）若E为PA的中点，求三棱锥E﹣ABC的体积．17．研究某新药的疗效，利用简单随机抽样法给100个患者服用此药，跟踪调查后得如下表的数据．无效有效合计男性患者15 35 50女性患者4 46 50合计19 81 100请问：（1）请分别估计服用该药品男患者和女患者中有效者所占的百分比？（2）是否有99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关？（写出必要过程）（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来更准确估计服用该药的患者中有效者所占的比例？说明理由．参考附表：K2=，期中n﹣a+b+c+dP（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706P（K2≥k0）0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82818．已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1．1）求{a n}、{b n}的通项公式；2）若c n=a n b n，{c n}的前n项和为T n，求T n．19．已知椭圆的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点（）．20．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）广东省揭阳一中2014-2015学年高二下学期第一次段考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设全集U是实数集R，集合A={y|y=3x，x＞0}，B={x|y=}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x≤1}C．{x|1＜x＜2} D．{x|1＜x≤2}考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：欲求出图中阴影部分所表示的集合，先要弄清楚它表示的集合是什么，由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合B中的元素但不在集合A中的元素组成的，即B∩C R A．解答：解：由图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩C R A，∵A={y|y=3x，x＞0}=（1，+∞），∴C R A=（﹣∞，1]，B={x|y=}，∴2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2，即B=[0，2]，∴B∩C R A=[0，1]故选：B．点评：本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识，属于基础题．2．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1考点：四种命题．分析：根据逆否命题的定义，直接写出答案即可，要注意“且”形式的命题的否定．解答：解：原命题的条件是““若x2＜1”，结论为“﹣1＜x＜1”，则其逆否命题是：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．故选D．点评：解题时，要注意原命题的结论“﹣1＜x＜1”，是复合命题“且”的形式，否定时，要用“或”形式的符合命题．3．如图所示的框图输出结果为（）A．1023 B．1024 C．511 D．2047考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=1，i=1；当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=3，i=2；当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=7，i=3；当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=15，i=4；当i=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=31，i=5；当i=5时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=63，i=6；当i=6时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=127，i=7；当i=7时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=255，i=8；当i=8时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=511，i=9；当i=9时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=1023，i=10；当i=10时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为：1023，故选：A点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．函数f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）=0可知图象经过原点，以及根据导函数大于0时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定．解答：解：因为f（0）=（02﹣2×0）e0=0，排除C；因为f'（x）=（x2﹣2）e x，解f'（x）＞0，所以或时f（x）单调递增，排除B，D．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的图象等基础知识，考查了排除法，属于基础题．5．设M=（其中0＜x＜y），则M，N，P的大小关系为（）A．M＜N＜P B．N＜P＜M C．P＜M＜N D．P＜N＜M考点：基本不等式．分析：由基本不等式可得N＞P且M＞N，可得答案．解答：解：由基本不等式可得≥，∵0＜x＜y，∴＞，∴N＞P，再由基本不等式可得M=＞====N，∴P＜N＜M，故选：D．点评：本题考查基本不等式比较式子的大小，属基础题．6．观察下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n ﹣1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=（2n ﹣1）2考点：归纳推理．专题：规律型．分析：分析已知中1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，各式子左右两边的形式，包括项数，每一个式子第一数的值等，归纳分析后，即可得到结论．解答：解：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n﹣1项，且第一项为n，则最后一项为3n﹣2右边均为2n﹣1的平方点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．7．在平面直角坐标系中，不等式（a为常数）表示平面区域的面积为9，则的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．﹣考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域的面积求出a，的几何意义为区域内的点到定点D（﹣4，2）的斜率，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则a＞0，由，解得，即C（a，﹣a），由，解得，即A（a，a），则对应的平面区域的面积S=，解得a=3，即A（3，3），C（3，﹣3），则的几何意义为区域内的点到定点D（﹣4，2）的斜率，由图象知，CD的斜率最小，此时=，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用以及斜率的求解，根据面积公式求出a的取值是解决本题的关键．8．已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P是双曲线C上一点，且|PF1|+|PF2|=6a，△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率e为（）A．B．2C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．解答：解：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c×，∴，解得e=．故选：C．点评：熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键．9．若方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[0，2] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）考点：函数在某点取得极值的条件；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题；数形结合．分析：因为是方程有解，转化为函数在[0，2]的函数值，利用导数求解即可．解答：解：由题意方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上有解，则﹣m=x3﹣3x，x∈[0，2]求函数的值域即得实数m的取值范围令y=x3﹣3x，x∈[0，2]y'=3x2﹣3令y'＞0，解得x＞1，故此函数在[0，1]上减，在[1，2]上增，又x=1，y=﹣2；x=2，y=2；x=0，y=0∴函数y=x3﹣3x，x∈[0，2]的值域是[﹣2，2]故﹣m∈[﹣2，2]，∴m∈[﹣2，2]，故选A点评：本题考查学生对一元三次方程的图象的认识，以及对函数值正负与图象关系的利用10．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）（）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0求出x的值，可得g（1﹣x）+g（x）=2，从而得到g（）+g（）+…+g（）的值．解答：解：∵g（x）=，∴g′（x）=x2﹣x﹣3，由g″（x）=2x﹣1=0，得x=．∴g（）=1∴g（x）的对称中心为（，1），∴g（1﹣x）+g（x）=2，∴g（）+g（）=g（）+g（）=…=2g（）=2g（）=2．∴g（）+g（）+…+g（）=2013故选C．点评：本题是新定义题，考查了函数导函数的零点的求法，考查了函数的性质，解答的关键是寻找函数值所满足的规律，是中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）.11．已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=1+2i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果．解答：解：因为（a+i）（1+i）=bi，所以a﹣1+（a+1）i=bi，所以，解得a=1，b=2，所以a+bi=1+2i．故答案为：1+2i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数相等条件的应用，考查计算能力．12．若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=3．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；压轴题．分析：先求出f′（x），因为x=1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，代入求出a即可．解答：解：f′（x）==．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力．13．已知双曲线x2﹣=1与抛物线y2=2px（p＞0）有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为M，若|MF|=5，则点M的横坐标为3．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和考查抛物线的性质，求出p，再根据抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，得到x0+=5，解得即可．解答：解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0）．双曲线x2﹣=1的焦点为（2，0）或（﹣2，0），∴=2，∵两曲线的一个交点为M，设点M的横坐标x0，|MF|=5，∴x0+=5，∴x0=5﹣=3，故答案为：3．点评：本题考查双曲线和考查抛物线的焦点，以及抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，考查学生的计算能力，比较基础．14．记等差数列{a n}的前n项的和为S n，利用倒序求和的方法得：；类似地，记等比数列{b n}的前n项的积为T n，且，试类比等差数列求和的方法，将T n表示成首项b1，末项b n与项数n的一个关系式，即T n=．考点：类比推理．专题：探究型．分析：等差数列与等比数列的定义的区别在于差与比，故类比倒序相加求和，可知倒序相乘求积，再利用等比数列的性质，即可得到结论．解答：解：由题意，T n=b1b2…b n①，倒序为T n=b n b n﹣1…b1②，①×②可得=（b1b2…b n）（b n b n﹣1…b1）=∵∴故答案为：点评：本题考查类比推理，解题的关键是类比解题的方法，类比倒序相加求和，可知倒序相乘求积．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x﹣4cosx．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．考点：三角函数的最值；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值求出即可；（Ⅱ）利用同角三角函数间的基本关系把sin2x变为1﹣cos2x，然后利用二倍角的余弦函数公式把cos2x变为2cos2x﹣1，得到f（x）是关于cosx的二次函数，利用配方法把f（x）变成二次函数的顶点式，根据cosx的值域，利用二次函数求最值的方法求出f（x）的最大值和最小值即可．解答：解：（Ⅰ）=；（Ⅱ）f（x）=2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cosx=3cos2x﹣4cosx﹣1=，因为cosx∈[﹣1，1]，所以当cosx=﹣1时，f（x）取最大值6；当时，取最小值﹣．点评：考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化间求值，此题以三角函数为平台，考查二次函数求最值的方法．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（1）证明：PC⊥BD；（2）若E为PA的中点，求三棱锥E﹣ABC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接BD，AC交于O点，由已知得PO⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥面PAC，由此能证明BD⊥PC．（2）由V E﹣ABC=V B﹣AEC，利用等积法能求出三棱锥E﹣ABC的体积．解答：（1）证明：连接BD，AC交于O点，∵PB=PD，∴PO⊥BD，又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，而AC∩PO=O，∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC．（2）解：由（1）知BD⊥面PAC，==3，∴V E﹣ABC=V B﹣AEC===．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．17．研究某新药的疗效，利用简单随机抽样法给100个患者服用此药，跟踪调查后得如下表的数据．无效有效合计男性患者15 35 50女性患者4 46 50合计19 81 100请问：（1）请分别估计服用该药品男患者和女患者中有效者所占的百分比？（2）是否有99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关？（写出必要过程）（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来更准确估计服用该药的患者中有效者所占的比例？说明理由．参考附表：K2=，期中n﹣a+b+c+dP（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706P（K2≥k0）0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828考点：独立性检验的应用．专题：应用题．分析：（1）根据列联表可求得服用该药品男患者和女患者中有效者所占的人数，再求比例；（2）计算K2，同临界值表进行比较，得到有多大把把握认为服用此药的效果与患者的性别有关；（3）计算服用该药的患者中有效者无效者的比例，来判断分层抽样是否更切合实际．解答：解：（1）利用简单随机抽样法给50个患者服用此药，男性有35位有效，因此服用该药品男患者中有效者所占的百分比==70%．给50个患者服用此药，女性有46位有效，因此服用该药品男患者中有效者所占的百分比=92%．（2）根据所给的数据代入求观测值的公式得到K2=≈7.86由于93967＞6.635，所以有99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关．（3）由（2）得结论知，服用此药的效果与患者的性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性比女性有效的比例有明显差异，因此在调查时，先确定此病的患者中男、女的比例，再把患者分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好．点评：本题考查独立性检验的应用及分层抽样．本题解题的关键是正确代入所给的数据，求出观测值，这里不需要把观测值同临界值进行比较，是一个基础题．18．已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1．1）求{a n}、{b n}的通项公式；2）若c n=a n b n，{c n}的前n项和为T n，求T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式能求出首项和公差，由此能求出a n=2n ﹣1（n∈N*）；由S n=2b n﹣1，能推导出{b n}是首项为1公比为2的等比数列，由此求出（n∈N*）．（2）由，利用错位相减法能求出{c n}的前n项和为T n．解答：解：（1）∵{a n}是等差数列，且a3=5，a7=13，设公差为d．∴，解得∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n∈N*）在{b n}中，∵S n=2b n﹣1当n=1时，b1=2b1﹣1，∴b1=1当n≥2时，由S n=2b n﹣1及S n﹣1=2b n﹣1﹣1，得b n=2b n﹣2b n﹣1，∴b n=2b n﹣1∴{b n}是首项为1公比为2的等比数列∴（n∈N*）（2）∵，∴①②①﹣②得==1+4（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）•2n=﹣3﹣（2n﹣3）•2n∴（n∈N*）点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19．已知椭圆的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点（）．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由△MOF是等腰直角三角形，得c2=b2=4，再根据a2=b2+c2可求得a；（Ⅱ）分情况讨论：（1）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为：y=kx+m，联立直线AB 方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及k1+k2=8可得关于k，m的关系式，消m代入直线AB方程可求得定点坐标；（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，由已知可求得AB方程，易验证其过定点；解答：（Ⅰ）解：由△MOF是等腰直角三角形，得c2=b2=4，a2=8，故椭圆方程为：=1．（Ⅱ）证明：（1）若直线AB的斜率存在，设AB的方程为：y=kx+m，依题意得m≠±2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则．由已知 k1+k2=8，可得，所以，即．所以，整理得．故直线AB的方程为，即y=k（）﹣2．所以直线AB过定点（）．（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知，得．此时AB方程为，显然过点（）．综上，直线AB过定点（）．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆标准方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．20．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（），由此能确定实数k的取值范围．（Ⅲ）由（2）知，当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x﹣1在x∈[2，+∞）上恒成立，由此能够证明+++…+＜（n∈N*且n＞1）解答：解：（Ⅰ）易知f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）=当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．（Ⅱ）当k≤0时，f（1）=1﹣k＞0，不成立，故只考虑k＞0的情况又f′（x）=当k＞0时，当0＜x＜时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0在上是增函数，在时减函数，此时要使f（x）≤0恒成立，只要﹣lnk≤0 即可解得：k≥1．（Ⅲ）当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x﹣1在x∈（1，+∞）上恒成立，令x=n2，则lnn2＜n2﹣1，即2lnn＜（n﹣1）（n+1），∴（n∈N*且n＞1）∴+++…+＜=即：+++…+＜（n∈N*且n＞1）成立．点评：本题考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，不等式的证明．考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．。

广东省揭阳市第一中学2014—2015学年度下学期第一次阶段考试高二数学理试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m -2)x +(m +2)y -3=0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要2．下列推理所得结论正确的是( )A ． 由类比得到y x y x a a a log log )(log +=+B ． 由类比得到y x y x sin sin )sin(+=+C ． 由)()(c b a c b a ++=++类比得到D ． 由类比得到5．已知数列满足12430,3n n a a a ++==-，则的前10项和等于( ) A ． B ． C ． D ．6、已知正整数满足，使得取最小值时，则实数对(是( )A ．(5，10)B ．(6，6)C ．(10，5)D ．(7，2)7．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( ) A ． B ．C ．4D ．28．设函数．若存在的极值点满足，则m 的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．12．某数列是等比数列,记其公比为,前项和为,若成等差数列, ．13．若函数2()2l n f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 ． 14．下列几个命题：①方程2(3)0x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则．②函数y 是偶函数，但不是奇函数． ③函数()f x 的值域是，则函数(1)f x +的值域为[3,1]-．④一条曲线2|3|y x =-和直线 ()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1． 其中正确的有_________________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共80分)．15．(12分)已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．(1)求的最小正周期：(2)求在区间上的最大值和最小值．16．(12分)已知函数xb a x f ⋅=)(的图象过点)41,4(A 和)1,5(B ．(1)求函数)(x f 的解析式；(2)记)(log 2n f a n =，n ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0≤⋅n n S a 的n 值．17．(14分) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点．(1)证明：ED ⊥平面ACC 1A 1(2)设AA 1＝AC ＝2AB ，求二面角A 1－AD －C 1的大小．AB C D EA 1B 1C 118．(14分)已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．(1)求的值；(2)若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；(3)在(2)的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．19．(14分)已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点． (1)证明：抛物线在点处的切线与平行；(2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．20．(14分)已知函数．(1)数列11{}:1,(),n n n a a a f a +'==满足求数列的通项公式；(2)已知数列11{}0,()(*)n n n b b t b f b n N +=>=∈满足，求数列的通项公式； (3)设的前n 项和为S n ，若不等式对所有的正整数n 恒成立，求的取值范围．揭阳一中高二(94届)第二学期数学第一次阶段考试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.)62sin(22cos 2sin 3π+=+=x x x 所以，函数的最小正周期为（2）32626,46πππππ≤+≤-∴≤≤-x x 1)62sin(21≤+≤-∴πx ，，在区间上的最小值为，最大值为2.16．解：(1)由题意得：45141a b a b ⎧⎪⋅=⎨⎪⋅=⎩ 解得：54a -=，；(2)5()4n f n -=，2l o g()210n a fn n ==- ∵{}n a 为等差数列 ∴1()(9)2n nnS a a n n =+=-由0≤⋅n n S a 得 0)9)(5(≤--n n n ∴95≤≤n ∵+∈Z n ∴9,8,7,6,5=n面ADC 1．作EF ⊥AD ，垂足为F ，连接A 1F ，则A 1F ⊥AD ，∠A 1FE 为二面角A 1－AD －C 1的平面角．不妨设AA 1＝2，则AC ＝2，AB ＝2ED ＝OB ＝1，EF ＝AE ×ED AD ＝23，tan ∠A 1FE ＝3，∴∠A 1FE ＝60°．所以二面角A 1－AD －C 1为60°． ………………………14分解法二：(1)如图，建立直角坐标系O －xyz ，其中原点O 为AC 的中点．设A (a ，0，0)，B (0，b ，0)，B 1(0，b ，2c )．则C (－a ，0，0)，C 1(－a ，0，2c )， E (0，0，c )，D (0，b ，c )． ED →＝(0，b ，0)，BB 1→＝(0，0，2c )．ED →·BB 1→＝0，∴ED ⊥BB 1．又AC 1→＝(－2a ，0，2c )，ED →·AC 1→＝0，∴ED ⊥AC 1，∴EC ⊥面C 1A D ． cos ＜EC →，BC →＞＝EC →·BC →|EC →|·|BC →|＝12，即得EC →和BC →的夹角为60°．所以二面角A 1－AD －C 1为60°．18．解：函数的导函数为b a c bx ax x f 2323)(2'--++= ………………(2分)(1)由图可知 函数的图象过点(0，3)，且得 ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=03023233c d b a c b a d …………………(4分)(2)依题意 且⎩⎨⎧=+--+-=--+534648323412b a b a b a b a 解得 所以396)(23++-=x x x x f …………………(8分)(3)9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与轴有三个交点；2'，()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,276832． 当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点，故而，．19．解法一：(1)如图，设，，把代入得，由韦达定理得，，1224N M x x kx x +===，点的坐标为． 设抛物线在点处的切线的方程为，1224N M x x kx x +===，点的坐标为．，， 抛物线在点处的切线的斜率为，．(2)假设存在实数，使，则，又是的中点， ．由(Ⅰ)知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++ 22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x kx x x x =-=++-22214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得．即存在，使．20．解：(1)，………………………………………………………1分11{2},2(2)2n n n a a a -+∴+=+为等比数列 …………4分(2)由已知得，……1分1lg(1)2lg(1),n n b b +∴+=+∴又1lg(1)lg(1)0,b t +=+≠所以的公比为2的等比数列， ∴．………………………………………………………………8分 (3)1111(2)111k k k k k k k b b c b b b b +++++-===-，1212231111111()()()n n n n S c c c b b b b b b +∴=+++=-+-++-上是增函数又不等式对所有的正整数n恒成立，故的取值范围是……………………………………14分。

2014-2015学年广东省揭阳一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N＝（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）已知i为虚数单位，复数z＝a+bi（a，b∈R）的虚部b记作Im（z），则Im（）＝（）A．﹣B．﹣1C．D．13．（5分）已知两个单位向量的夹角为45°，且满足⊥（λ﹣），则实数λ的值为（）A．1B．C．D．24．（5分）已知数列{a n}为等比数列，若a4+a6＝10，则a7（a1+2a3）+a3a9的值为（）A．10B．20C．100D．2005．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16B．25C．36D．496．（5分）已知△ABC的三边a，b，c所对角分别为A，B，C，且，则cos B的值为（）A．B．C．﹣D．﹣7．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．28．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f（x）＝x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，则∠B的范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[，π）D．（，π）9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．2πC．D．10．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝（）A．B．C．D．211．（5分）函数f′（x）是R上的可导函数，x≠0时，f′（x）+＞0，则函数g（x）＝f（x）+的零点个数为（）A．3B．2C．1D．012．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3…，若a n＝2015，则n＝（）A．83B．82C．39D．37二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）（x ﹣）4的展开式中常数项为．（用数字表示）14．（3分）（x2﹣2sin x）dx＝．15．（3分）设P是函数y＝lnx图象上的动点，则点P到直线y＝x的距离的最小值为．16．（3分）已知函数f（x）＝，点O为坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），向量＝（0，1），θn 是向量与的夹角，则++…+的值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知函数f（x）＝sin（x ﹣）+cos x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若α是第一象限角，且f（α+）＝，求tan（α﹣）的值．18．（10分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．如表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：（1）请根据表中的数据，完成下列表格：（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，则选取的3个城市中至少有2个城市空气质量“良好”的概率是多少？19．（12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证：BN⊥平面C1B1N；（2）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；（3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB1，求的值．20．（12分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝（n∈N*）（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求证：{}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）数列{b n}满足b n＝（3n﹣1）•a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．21．（12分）椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．（14分）设函数f（x）＝，g（x）＝ln（x+1）．（1）求函数H1（x）＝f（x）﹣g（x）的最大值；（2）记H2（x）＝g（x）﹣bx，是否存在实数b，使H2（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：﹣1＜﹣lnn≤（n＝1，2，…）．2014-2015学年广东省揭阳一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N＝（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【解答】解：∵N＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}＝{x|1≤x≤2}，∴M∩N＝{1，2}，故选：D．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z＝a+bi（a，b∈R）的虚部b记作Im（z），则Im（）＝（）A．﹣B．﹣1C．D．1【解答】解：∵＝＝＝，∴Im（）＝﹣．故选：A．3．（5分）已知两个单位向量的夹角为45°，且满足⊥（λ﹣），则实数λ的值为（）A．1B．C．D．2【解答】解：由单位向量的夹角为45°，则•＝1×1×cos45°＝，由⊥（λ﹣），可得，•（λ﹣）＝0，即λ﹣＝0，则﹣1＝0，解得λ＝．故选：B．4．（5分）已知数列{a n}为等比数列，若a4+a6＝10，则a7（a1+2a3）+a3a9的值为（）A．10B．20C．100D．200【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，∴a7（a1+2a3）+a3a9＝a7a1+2a7a3+a3a9＝＝＝102＝100，故选：C．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16B．25C．36D．49【解答】解：执行程序框图，可得S＝0，n＝1，i＝1S＝1，不满足条件i＞5，i＝2，n＝3，S＝4不满足条件i＞5，i＝3，n＝5，S＝9不满足条件i＞5，i＝4，n＝7，S＝16不满足条件i＞5，i＝5，n＝9，S＝25不满足条件i＞5，i＝6，n＝11，S＝36满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为36．故选：C．6．（5分）已知△ABC的三边a，b，c所对角分别为A，B，C，且，则cos B的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：由正弦定理可得：，结合已知，故有：sin B＝2sin cos＝sin，解得：cos＝，因为：0＜B＜π，可得0，所以＝，解得B＝，所以cos B＝cos＝﹣，故选：C．7．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将z＝x+2y转化为：y＝﹣x+，通过图象得出函数过（0，1）时，z取到最大值，z max＝2，故选：D．8．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f（x）＝x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，则∠B的范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[，π）D．（，π）【解答】解：∵f（x）＝x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1，∴f′（x）＝x2+2bx+（a2+c2﹣ac），又∵函数f（x）＝x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，∴x2+2bx+（a2+c2﹣ac）＝0有两个不同的根，∴△＝（2b）2﹣4（a2+c2﹣ac）＞0，即ac＞a2+c2﹣b2，即ac＞2ac cos B；即cos B＜；故∠B的范围是（，π）；故选：D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．2πC．D．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一半圆锥与一半球的组合体；且半圆锥的底面圆半径为1，高为2；半球的半径也为1；∴该组合体的体积为V＝V半圆锥+V半球＝•π12•2+••13＝π+π＝π．故选：A．10．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝（）A．B．C．D．2【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，如图，∵|BF|＝2，∴B到准线的距离为d1＝2，即B的横坐标为1，从而点B（1，2）∵M（，0），∴直线AB方程为y＝4（x﹣），即y＝4x﹣2代入抛物线方程得4x2﹣5x+1＝0，从而点A的坐标为A（，﹣1）∴点A到准线的距离d2＝1+＝∴△BCF与△ACF的面积之比＝＝＝＝故选：B．11．（5分）函数f′（x）是R上的可导函数，x≠0时，f′（x）+＞0，则函数g（x）＝f（x）+的零点个数为（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：①x＞0时，已知条件就是在说：xf'（x）+f（x）＝（xf（x））'＞0，由于g（x）＝，且xf（x）＞0f（0）＝0，∴g（x）＞对任何大于零的x成立，所以显然在x轴正半轴不可能有零点；②x＜0时，已知条件就是在说xf'（x）+f（x）＜0，∴xf（x）＞0f（0）＝0 （x＜0），∴g（x）＝＜，此时总是负数，小于是不可能与x轴有交点的．所以没有零点，故选：D．12．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3…，若a n＝2015，则n＝（）A．83B．82C．39D．37【解答】解：由题意，一位数时只有8一个；二位数时，有17，26，35，44，53，62，71，80共8个三位数时：（0，0，8）有1个，（0，1，7）有4个，（0，2，6）有4个，（0，3，5）有4个，（0，4，4）有2个，（1，1，6）有3个，（1，2，5）有6个，（1，3，4）有6个，（2，2，4），有3个，（2，3，3）有3个，共1+4×3+2+3×3+6×2＝36个，四位数小于等于2015：（0，0，1，7）有3个，（0，0，2，6）有1个，（0，1，1，6）有6个，（0，1，2，5）有7个，（0，1，3，4）有6个，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6个，（1，1，3，3）有3个，（1，2，2，3）有3个，共有3×4+6×3+1+7＝38个数，∴小于等于2015的一共有1+8+36+38＝83个，即a83＝2015故选：A．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）（x﹣）4的展开式中常数项为．（用数字表示）【解答】解：设（x﹣）4展开式的通项为T r+1，则T r+1＝（﹣）r••x4﹣2r，令4﹣2r＝0得r＝2．∴展开式中常数项为：（﹣）2•＝．故答案为：．14．（3分）（x2﹣2sin x）dx＝18．【解答】解：（x2﹣2sin x）dx＝（x3+2cos x）|＝×33+2cos3﹣×（﹣3）3﹣2cos（﹣3）＝9+9＝18故答案为：1815．（3分）设P是函数y＝lnx图象上的动点，则点P到直线y＝x的距离的最小值为．【解答】解：由题意作图如下，令y′＝＝1得，x＝1，y＝0；故点P（1，0）时，点P到直线y＝x的距离的有最小值；故d＝＝；故答案为：．16．（3分）已知函数f（x）＝，点O为坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），向量＝（0，1），θn是向量与的夹角，则++…+的值为．【解答】解：由题意可得90°﹣θn是直线OA n的倾斜角，∴＝＝tan（90°﹣θn）＝＝＝﹣，∴++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知函数f（x）＝sin（x﹣）+cos x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若α是第一象限角，且f（α+）＝，求tan（α﹣）的值．【解答】解：（1）f（x）＝sin（x﹣）+cos x＝＝＝所以：函数f（x）的最小正周期为：（2）由于f（x）＝则：f（）＝sin（）＝cosα＝由于α是第一象限角所以：sinα＝则：则：tan（α﹣）＝18．（10分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．如表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：（1）请根据表中的数据，完成下列表格：（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，则选取的3个城市中至少有2个城市空气质量“良好”的概率是多少？【解答】解：（1）根据数据，完成表格如下：…（4分）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取n1＝×6＝4个…（5分）从“轻度污染”类城市中抽取n2＝＝2个，…（6分）现从这6个城市选取3个城市，所有的选取可能为：C63＝20种…（7分）其中至少有2个城市空气质量“良好”的选取可能为：C42C21+C43C20＝16种…（8分）故从6个城市选出的3个城市至少有2个城市空气质量“良好”的概率P＝＝…（10分）19．（12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证：BN⊥平面C1B1N；（2）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；（3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB1，求的值．【解答】（1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直．…（2分）以B为坐标原点，分别以BA，BB1，BC所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4）∵＝（4，4，0）•（﹣4，4，0）＝﹣16+16＝0＝（4，4，0）•（0，0，4）＝0∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1B1N；…（4分）（2）解：设n2＝（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，则则；…（8分）（3）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则，∵MP∥平面CNB1，∴．又PM⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1，∴当PB＝1时，MP∥平面CNB1∴…（12分）20．（12分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝（n∈N*）（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求证：{}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）数列{b n}满足b n＝（3n﹣1）•a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（1）…（2分）（2）由得即…（4分）又所以是以为首项，3为公比的等比数列．…（6分）所以即…（8分）（3）…（9分）＝两式相减得，∴…（11分）∴若n为偶数，则若n为奇数，则，∴﹣2＜λ＜3…（14分）21．（12分）椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，∴，解得c＝1．又，解得a＝2，∴b2＝a2﹣c2＝3．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）＝0，△＝64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．∴，．y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝＝．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），k AD•k BD＝﹣1，∴，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4＝0，∴．化为7m2+16mk+4k2＝0，解得m1＝﹣2k，．，且满足3+4k2﹣m2＞0．当m＝﹣2k时，l：y＝k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m＝﹣时，l：y＝k，直线过定点．综上可知，直线l过定点，定点坐标为．22．（14分）设函数f（x）＝，g（x）＝ln（x+1）．（1）求函数H1（x）＝f（x）﹣g（x）的最大值；（2）记H2（x）＝g（x）﹣bx，是否存在实数b，使H2（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：﹣1＜﹣lnn≤（n＝1，2，…）．【解答】解：（1）函数H（x）的定义域为（﹣1，+∞），又，令H1′（x）＝0得x＝0．当x∈（﹣1，0）时，H1′（x）＞0，H1（x）递增；当x∈（0，+∞）时，H1′（x）＜0，H1（x）递减．所以函数H1（x）的最大值为H1（0）＝0．（2）由已知得：，①若b≥1，则x∈[0，+∞）时，H2′（x）≤0，所以H2（x）＝g（x）﹣bx在[0，+∞）上为减函数，所以H2（x）＝ln（1+x）﹣bx＜H2（0）＝0在[0，+∞）恒成立．②若b≤0，则x∈[0，+∞）时，，所以H2（x）＝g（x）﹣bx在[0，+∞）上为增函数，所以H2（x）＝ln（1+x）﹣bx＞H（0）＝0，不能使H2（x）＜0在[0，+∞）上恒成立．③若0＜b＜1，则由H′2（x）＝0得x＝，当x∈[）时，H2′（x）＞0，所以H2（x）在[0，）上为增函数，所以H2（x）＝ln（1+x）﹣bx＞H2（0）＝0，所以不能使H2（x）＜0在[0，+∞）上恒成立．综上所述，b的取值范围是[1，+∞）．（3）由以上得：．取x＝得：．令，则，当n≥2时，＝﹣．因此，即．又lnn＝，故xn＝﹣ln（1+）＝＞＝﹣1+．综上所述，不等式﹣1＜﹣lnn≤（n＝1，2，…）成立．。