《空间向量在立体几何中的应用》教学设计

人教版高中选修(B版)2-13.2空间向量在立体几何中的应用课程设计一、教学目标本节课的教学目标是：1.理解空间向量的概念和性质2.掌握空间向量的表示方法和运算法则3.学会将空间向量应用于解决立体几何问题4.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力二、教学内容1.空间向量的概念和性质2.空间向量的表示方法和运算法则3.空间向量在立体几何中的应用三、教学重难点1.空间向量的运算法则和应用2.解决立体几何问题的思路和方法四、教学方法1.课堂讲授法：介绍空间向量的概念和性质，讲解空间向量的表示方法和运算法则。

2.探究性学习法：通过实际问题探究空间向量在立体几何中的应用。

3.组织学生自主学习：通过让学生自己思考和解决问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。

五、教学过程与方法第一步：引入活动1.引导学生回顾上节课的内容：介绍二维向量的概念和运算法则。

2.提出问题：在立体几何中，如何表示和运用三维向量？第二步：学习重难点1.空间向量的表示方法和运算法则：–三维坐标系和三维向量的表示方法；–空间向量的加、减、数乘、点乘、叉乘等运算。

2.空间向量在立体几何中的应用：–直线的垂直平分线和中垂线的向量表示法；–面的法向量的向量表示法；–平面的交角、距离和夹角的向量表示法。

第三步：实践探究1.小组合作：将任意平面和直线的向量表示法用到具体的几何问题中去解决。

2.课堂展示：每个小组展示自己的解决方案，其他小组互相评价并提出建议和改进意见。

第四步：总结检查1.总结空间向量的表示方法和运算法则；2.总结空间向量在立体几何中的应用；3.搜集相关知识点，进行小测验，检查学生是否掌握了本节课的内容。

六、板书设计空间向量的概念和性质空间向量的表示方法：- 三维坐标系表示法- 坐标差表示法空间向量的运算法则：- 加法- 减法- 数乘- 点乘- 叉乘空间向量在立体几何中的应用- 直线的垂直平分线和中垂线的向量表示法- 面的法向量的向量表示法- 平面的交角、距离和夹角的向量表示法七、教学资源1.教学课件；2.相关数学教材参考。

教学单元设计：空间向量与立体几何1. 单元概述1.1 单元目标本单元旨在通过空间向量与立体几何的研究，使学生掌握空间向量的基本概念、运算规则及其在立体几何中的应用。

通过本单元的研究，学生应能熟练运用空间向量解决立体几何中的相关问题，提高空间想象能力和解决问题的能力。

1.2 单元内容本单元共包括以下几个主要内容：1. 空间向量的基本概念及表示方法2. 空间向量的线性运算3. 空间向量的数量积与夹角4. 空间向量的坐标运算5. 空间向量在立体几何中的应用2. 教学目标2.1 知识与技能1. 掌握空间向量的基本概念及其表示方法2. 掌握空间向量的线性运算规则3. 掌握空间向量的数量积与夹角计算4. 掌握空间向量的坐标运算方法5. 能够运用空间向量解决立体几何中的相关问题2.2 过程与方法1. 通过实例分析，培养学生的空间想象力2. 运用图形演示和数学证明，提高学生的问题解决能力3. 培养学生运用空间向量解决实际问题的能力2.3 情感态度与价值观1. 培养学生对数学学科的兴趣和热情2. 培养学生克服困难的意志和团队协作精神3. 引导学生认识数学在实际生活中的应用价值3. 教学重点与难点3.1 教学重点1. 空间向量的基本概念及其表示方法2. 空间向量的线性运算规则3. 空间向量的数量积与夹角计算4. 空间向量的坐标运算方法5. 空间向量在立体几何中的应用3.2 教学难点1. 空间向量的数量积与夹角计算2. 空间向量的坐标运算方法3. 空间向量在立体几何中的应用4. 教学策略与方法4.1 教学策略1. 采用问题驱动的教学模式，引导学生主动探究2. 利用图形演示和数学证明，帮助学生直观理解3. 提供丰富的练题，巩固所学知识4. 注重个体差异，因材施教4.2 教学方法1. 讲授法：讲解空间向量的基本概念、运算规则及应用2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用空间向量解决问题3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队协作能力4. 练法：提供课后练，巩固所学知识5. 教学评价5.1 评价目标1. 学生对空间向量基本概念的理解程度2. 学生掌握空间向量运算规则的程度3. 学生运用空间向量解决立体几何问题的能力5.2 评价方法1. 课堂问答：检查学生对空间向量基本概念的理解2. 课后作业：检验学生对空间向量运算规则的掌握3. 小组项目：评估学生运用空间向量解决立体几何问题的能力4. 期末考试：全面考核学生在本单元的研究成果6. 教学计划6.1 课时安排本单元共需安排12课时，具体分配如下：1. 空间向量的基本概念及表示方法（2课时）2. 空间向量的线性运算（3课时）3. 空间向量的数量积与夹角（2课时）4. 空间向量的坐标运算（3课时）5. 空间向量在立体几何中的应用（2课时）6.2 教学活动安排1. 第1-2课时：介绍空间向量的基本概念及表示方法2. 第3-5课时：讲解空间向量的线性运算规则3. 第6-7课时：讲解空间向量的数量积与夹角计算4. 第8-10课时：讲解空间向量的坐标运算方法5. 第11-12课时：应用空间向量解决立体几何中的相关问题7. 教学资源1. 教材：选用权威、系统的数学教材，如《高等数学》等2. 辅助教材：提供相关的辅导书、教辅材料，以丰富教学内容3. 网络资源：利用网络平台，提供相关教学视频、课件、题等资源4. 几何画板：利用几何画板软件，直观演示空间向量的运算和立体几何问题8. 教学反思在教学过程中，教师应不断反思教学方法、教学内容和学生研究情况，根据实际情况调整教学策略，以提高教学效果。

人教B版选修2《空间向量在立体几何中的应用》教案及教学反思1. 教学目的本节课是人教B版选修2课程的一部分，主要教授空间向量在立体几何中的应用。

本课程将帮助学生：•深入理解空间向量的概念及其运算法则•掌握将空间向量应用于立体几何中的方法和技巧•发展自己的独立思考能力和解决问题的能力2. 教学内容2.1 知识点本节课的重点知识点为：•空间向量的定义•空间向量的基本运算法则•点、线、面等几何图形在空间向量中的表示方法•空间向量在几何问题中的应用2.2 教学步骤本节课教学步骤如下：第一步：导入教师简单介绍空间向量及其基本运算法则，引发学生对此概念的兴趣。

第二步：概念讲解教师详细讲解空间向量的概念，以及点、线、面等几何图形在空间向量中的表示方法。

为了增强学生的理解，教师可以使用相关的图形和实例进行讲解。

第三步：举例说明教师通过几个实例，向学生展示如何使用空间向量解决立体几何问题。

在示例中，教师应尽可能地让学生自己思考并尝试解决问题，同时指导学生正确的解决方法，让学生深入理解知识点。

第四步：练习安排学生进行一定数量和难度的练习，让学生掌握应用相关知识解决问题的方法和技巧。

第五步：讲解与总结最后，教师应总结本节课的主要内容，并对学生的问题进行讲解和解答。

3. 教学反思本节课的教学方法主要采用“以实例为主，以问题为导向”的方式，让学生能够在探究中理解和掌握知识点。

这种探究式学习的方法能够有效激发学生的主动学习意识和自主学习能力。

在实际教学中，教师应充分发挥学生的主观能动性，让他们能够独立思考和解决问题。

同时，教师还应充分利用技术手段，如音视频、实例演示等方式进行综合教学，探索出适合学生的多元化、个性化的教学方式。

在上述教学步骤中，教师尤其需要注意：•难度掌握：教师在设计实例和练习时，应根据学生的实际情况及能力水平，掌握好难度，以确保学生的接受能力和理解能力•差异处理：同学的学习能力和理解能力会存在差异，教师需要采用差异化教学方法，根据学生的特点进行教学•评估方法：教师应采用多种评估方法，对学生进行全面评价，如通过小组讨论、思维导图、课堂测验等方式，合理衡量学生的学习成果和进步情况总之，人教B版选修2《空间向量在立体几何中的应用》教学，应侧重于实践探究和知识应用，培养学生的独立思考和解决问题的能力，让学生能够掌握并应用相关知识，提高学生的立体几何解题能力，为日后的数学学习打下基础。

空间向量在立体几何中的应用教学设计一、教学目标1.知识目标：了解空间向量的概念和性质，掌握空间向量的基本运算法则。

2.能力目标：能够应用空间向量的知识解决立体几何中的问题，如线段长度、向量共线、线段垂直等。

3.情感目标：培养学生的观察力和分析问题的能力，增强解决问题的自信心。

二、教学重点与难点1.教学重点：空间向量的概念和运算法则。

2.教学难点：将空间向量的知识应用到立体几何问题中。

三、教学准备白板、黑板笔、投影仪、屏幕、计算器等。

四、教学过程Step 1 引入1.教师出示两个立方体模型并提问：你们能用线段表示两个立方体顶点之间的距离吗？2.引出空间向量的概念，并与平面向量进行比较，说明二者的区别。

Step 2 理论讲解1.教师通过投影仪将空间向量的定义、表示和性质呈现给学生，学生做好笔记。

2.教师讲解空间向量的基本运算法则，例如加法、数乘和点乘，并通过具体的例题演示计算过程。

Step 3 实例分析1. 教师出示一道题目：“已知直线l: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$，过直线l上一点A(2,3,4)，作与直线垂直的平面，并找出平面与原点O(0,0,0)的距离。

”2.请学生先思考如何解决这个问题，然后汇报自己的解题思路。

3.教师引导学生运用空间向量的知识来解答问题，并逐步给予提示。

4.学生进行计算，分组讨论和交流思路。

Step 4 拓展应用1.教师设计一道拓展题：“已知线段AB与线段CD的中点E重合，向量BD的坐标为(1,2,3)，向量CE的坐标为(4,5,6)，求向量AD的坐标。

”2.学生尝试解答，提出自己的解题思路。

3.教师引导学生应用向量共线的性质来解答问题，并逐步给予提示。

4.学生进行计算，分组讨论和交流思路。

Step 5 总结与归纳1.教师引导学生回顾本节课的学习内容，总结空间向量的基本性质和运算法则。

2.学生通过小组合作的方式归纳学习过程中的思考和解题方法。

授课主题 第12讲---空间向量在立体几何中的应用授课类型T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直;④能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系; ⑤能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理;⑥能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂(一) 知识框架(二) 空间向量空间向量:在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向空间向量的定义与运算空间向量运算几何意义空间向量的坐标表示及运算应用空间向量的运算解决立几问题证明平行、垂直求空间角与距离体系搭建,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>。

空间向量数量积的性质：① ||cos ,a e a a e ⋅=<>；② 0a b a b ⊥⇔⋅=；③ 2||a a a =⋅． 空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； ②a b b a ⋅=⋅（交换律）；③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）。

如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量在立体几何中的应用教案教案标题：空间向量在立体几何中的应用一、教学目标：1. 理解空间向量的概念和性质；2. 掌握空间向量的运算法则；3. 理解和掌握空间向量在立体几何中的应用。

二、教学内容：1. 空间向量的概念和性质；2. 空间向量的运算法则；3. 空间向量在立体几何中的应用。

三、教学过程：1. 知识导入通过复习二维向量的性质和运算法则，引入空间向量的概念。

2. 理论讲解讲解空间向量的概念、性质和运算法则，包括向量的加法、减法、数量积和向量积等。

3. 练习与讨论以几何问题为例，引导学生运用空间向量的知识解决相应的几何问题。

例如，通过向量积的应用求解三角形的面积、判断四边形是否是平行四边形等。

4. 实例分析选择一些典型的例题进行详细分析和讲解，帮助学生理解和巩固概念和运算法则。

例如，通过两条直线的法向量来判断直线的位置关系。

5. 拓展应用通过讨论一些拓展性和应用性的问题，帮助学生将空间向量的知识应用到更多的实际问题中。

例如，利用向量的数量积求解棱柱的体积，利用向量的向量积判断平面和直线的位置关系等。

6. 归纳总结对本节课所学内容进行总结和概括，帮助学生加深对空间向量的理解和掌握。

四、教学资源：1. 教科书和课外参考书；2. 相关的几何题目和练习题；3. 板书和投影仪等。

五、教学评价：1. 课堂讨论和提问，查看学生对空间向量的理解和应用能力；2. 批改学生的练习题和作业，评估学生的掌握程度；3. 考试或小测验，检验学生对空间向量知识的吸收和应用能力。

六、教学延伸：可以运用计算机软件或在线平台进行立体几何模拟和实践，帮助学生更加直观地理解和掌握空间向量的应用。

空间向量与立体几何：教学设计1. 课程概述本课程旨在帮助学生深入理解空间向量与立体几何的基本概念，方法和技能。

通过本课程的学习，学生将能够熟练运用空间向量解决立体几何问题，提高空间想象能力和解题能力。

2. 教学目标2.1 知识与技能1. 掌握空间向量的基本概念，如向量的定义，模长，方向等。

2. 学会空间向量的线性运算，如加法，减法，数乘和标量积。

3. 熟悉空间向量在立体几何中的应用，如计算距离，角和体积等。

2.2 过程与方法1. 培养学生的空间想象力，能够将实际问题转化为向量问题。

2. 培养学生运用向量方法解决立体几何问题的能力。

3. 培养学生通过向量分析，发现和解决几何问题的思维习惯。

2.3 情感态度与价值观1. 培养学生对数学的兴趣和热情，感受数学的美。

2. 培养学生克服困难，解决问题的勇气和信心。

3. 教学内容3.1 空间向量基本概念1. 向量的定义2. 向量的模长3. 向量的方向3.2 空间向量的线性运算1. 向量加法2. 向量减法3. 数乘向量4. 标量积3.3 空间向量在立体几何中的应用1. 计算距离2. 计算角3. 计算体积4. 教学方法采用讲授，讨论，练习和实验等多种教学方法，以帮助学生更好地理解和掌握空间向量与立体几何的知识。

5. 教学评价通过课堂表现，作业，小测和期末考试等方式，评价学生在知识，技能和情感态度方面的进步。

6. 教学计划第一周：空间向量基本概念1. 向量的定义2. 向量的模长3. 向量的方向第二周：空间向量的线性运算1. 向量加法2. 向量减法3. 数乘向量4. 标量积第三周：空间向量在立体几何中的应用1. 计算距离2. 计算角3. 计算体积第四周：综合练习与复习1. 课堂练习2. 小组讨论3. 期末考试复习7. 教学资源1. 教材：空间向量与立体几何2. 课件：PowerPoint3. 练习题：纸质和在线4. 视频：教学视频和动画8. 教学建议1. 鼓励学生在课堂上积极提问，培养问题意识。

高中数学人教B版选修2－1第三章《3.2空间向量在立体几何中的应用（通用）》省级名师优质课教案比赛获奖教案示
范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1、知识与技能
(1) 进一步理解向量垂直的充要条件;
(2)利用向量法证明线线、线面垂直;
(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法;
2、过程与方法
通过学生对空间几何图形的认识,建立恰当的空间直角坐标系,利用向量的坐标将几何问题代数化,提高学生应用知识的能力。

3、情感态度与价值观
通过空间向量在立体几何中的应用,让学生感受数学、体会数学的美感,
从而激发学数学、用数学的热情。

2学情分析
在前面立体几何初步的学习中,同学们已经掌握了利用几何法证明平行和垂直的方法,通过本节课的学习要使学生会用空间向量法解决此类问题
3重点难点
教学重点：建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量;平面的法向量。

教学难点：建立恰当的空间直角坐标系,用向量法求线线角、线面角、二面角。

4.1第一学时
教学活动
1【讲授】空间向量在立体几何中的应用
空间向量在立体几何中的应用。

空间向量与立体几何：教学设计介绍本文档旨在设计一份关于空间向量与立体几何的教学计划。

通过简单的策略和避免法律复杂性的原则，我们将提供一个独立决策的教学方案。

目标- 帮助学生理解空间向量和立体几何的基本概念和原理- 培养学生分析和解决空间向量和立体几何问题的能力- 激发学生对空间向量和立体几何应用的兴趣教学内容1. 空间向量基础知识- 介绍空间向量的定义和表示方法- 讲解空间向量的加法、减法和数量乘法运算- 演示空间向量的共线性和共面性判断方法2. 空间向量的应用- 探讨空间向量在物理力学、工程力学和几何问题中的应用- 引导学生分析并解决与空间向量相关的实际问题3. 立体几何基础知识- 介绍立体几何的基本概念，如点、线、面、体等- 讲解立体几何中的平行、垂直、重合等关系- 演示立体几何中的平面交线、直线交线等问题4. 立体几何的应用- 探讨立体几何在建筑设计、计算机图形学和机械制图中的应用- 引导学生分析并解决与立体几何相关的实际问题教学方法- 授课讲解：通过讲解理论知识，帮助学生建立起对空间向量和立体几何的基本理解。

- 实例演示：通过实际案例和示例，展示空间向量和立体几何在实际问题中的应用。

- 小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决一些空间向量和立体几何问题，培养他们的合作和分析能力。

- 实践操作：引导学生进行实践操作，使用计算工具或绘图软件解决空间向量和立体几何问题。

教学评估- 课堂练习：通过课堂练习，检验学生对空间向量和立体几何的掌握程度。

- 作业任务：布置作业任务，要求学生独立解决一些空间向量和立体几何问题。

- 课堂讨论：组织学生进行课堂讨论，评价他们的分析和解决问题的能力。

结束语通过本教学设计，我们将帮助学生建立对空间向量和立体几何的基本理解和应用能力。

同时，培养他们的分析和解决问题的能力，激发他们对空间向量和立体几何的兴趣和热情。

专题七 立体几何第2课时 空间关系与空间角命题人: 审核人: 时间：教学班级行政班级 姓名 学号 面批时间课前自学案【考情分析】立体几何是高考的重点内容之一,从近几年高考试题来看,主要是考查线面位置关系的判断与证明;三是考查空间向量的应用,尤其空间向量法求空间角（特别是二面角）是考查的热点之一.主要问题类型：(1)空间线面关系的证明；(2)空间角的求法；(3)存在性问题的处理方法．求解时应注意的问题：(1)利用空间向量求异面直线所成的角时，应注意角的取值范围； (2)利用空间向量求二面角的平面角时，应注意观察二面角是钝角还是锐角． 【要点梳理】1．平行关系及垂直关系的转化2．空间角的求解(1)异面直线所成的角：若异面直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，它们所成的角为θ(0＜θ≤π2)，则cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|.(2)线面角：设直线l 与平面α所成的角为θ(0≤θ≤π2)，直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则sin θ＝|cos 〈a ，μ〉|＝|a ·μ||a ||μ|. (3)二面角：设二面角大小为θ(0≤θ≤π)，两个面的法向量分别为μ和v ，则|cos θ|＝|cos 〈μ，v 〉|＝|μ·v ||μ||v |.易错警示：①求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，是线面角的正弦，容易误以为是线面角的余弦．②求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．编号012【课前自测】1.(2013年高考卷理 4）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为 3的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( )（A ） 512π （B ）3π （C ） 4π （D ） 6π2.(2009年高考卷理5)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件课内探究案【考点突破】考点一：空间位置关系的判定例1.（1）(2013年高考广东卷理科6)设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥(2)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α变式训练：(1) (2014年高考广东卷理 7）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是( )A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定(2)设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β ②若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ④若n ⊥α，n ⊥β，则β∥α 其中真命题的序号为( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 考点二：空间位置关系的证明例2.（2013广东卷文）如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三图 4GEF ABCD图 5DGBFCAE棱锥A BCF -,其中22BC =.(1) 证明:DE //平面BCF ;(2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.考点三：空间角的求解例3.(12理18）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB=CD=CF. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面AED ；（Ⅱ）求二面角F -BD -C 的余弦值.【当堂检测】1. 【2014全国2高考理第11题】直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.3010D.22 2． 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为_____________.3. 【2014高考全国1第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B AB 1⊥.（Ⅰ）证明：1AB AC =;（Ⅱ）若1AC AB ⊥，︒=∠601CBB ,BC AB =,求二面角111C B A A --的余弦值.专题七 立体几何编号第2课时 空间关系与空间角命题人: 审核人: 时间：教学班级 行政班级 姓名 学号 面批时间课后拓展案A 组1. 【2014高考卷第17题】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点. （Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD 且13CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.2．【2014高考天津第17题】如图，在四棱锥PABCD 中，PA 底面ABCD ，AD AB ，//AB DC ，2AD DC AP ，1AB ，点E 为棱PC 的中点．（Ⅰ）证明：BE DC；（Ⅰ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅰ）若F为棱PC上一点，满足BF AC，求二面角F AB P的余弦值．B组3.（2013年高考北京卷理科17）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面AB C⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求1BDBC的值.4.【2014高考全国2第18题】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，3求三棱锥E-ACD的体积.反思：这节课不满意的几点：(1) 题量的安排。

空间向量在立体几何中的应用（教案）（平行、垂直问题的研究）一、教学目标：知识技能目标：1、进一步理解空间向量在立体几何中的运用。

解决平行和垂直两个问题。

2、利用向量解决立体几何问题培养学生数形结合的思想方法；方法过程：通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。

情感价值目标：通过空间向量在立体几何中的的运用，让学生感受空间向量作为工具解决几何问题的乐趣和意义，从而激发学数学、用数学的热情。

二、教学重点、难点、关键：重点：用空间向量解决平行和垂直问题的向量表现形式。

难点：向量运算的结果与几何问题的转化。

关键：正确建立空间直角坐标系，写出空间向量的坐标，以及平面法向量的求解。

三、教具准备：实物投影设备、多媒体设备、三角板。

四、教材分析：本节课的内容是安排在选修2-1第3章的知识基本结束之后的一节课，本节课的核心内容就是利用空间向量来解决立体几何中平行和垂直两个问题。

其一般方法是：先建立立体图形与空间向量的联系;进行空间向量运算;由向量运算的代数结果解释几何结论。

也就是整个教学过程中所涉及到的“三步曲”。

（1）、建立立体图形与空间向量的联系。

（2）、进行向量的运算，从而研究平行或者垂直的问题。

（3）、根据运算的结果来解释几何结论。

五、学情分析：高二、3班是一个理科普通班，很多学生立体几何的学习存在较大的困难，通过这节课的学习，要想提高学生的学习能力，增强学生对本章节学习的信心，从而对数学的学习也有一定的促进作用，要在学生的动手方面下功夫，同时在程序化完成这类题目方面进行强调，当然对于向量的运算与立体几何的结论的翻译也要反复巩固。

让学生体会数形结合的数学思想和运用向量运算的结果来解释几何问题的一些基本思路。

六、教学过程：（一）、课前练习：1、与向量=()2,3-1平行的一个向量是 （ ）A. 11,13⎛⎫ ⎪⎝⎭， B.()-1-3,2，C. 13--122⎛⎫ ⎪⎝⎭，， D .2、已知A ()1,1,1、B ()2,2,2、C ()32,4，，求平面ABC 的一个法向量___________。

空间向量与立体几何教学设计的探讨引言本文旨在探讨空间向量与立体几何教学设计的方法与策略。

通过合理的教学设计，可以帮助学生更好地理解和应用空间向量与立体几何的概念，提高他们的研究效果和兴趣。

教学目标1. 理解和掌握空间向量的基本概念和性质；2. 理解和应用空间向量在立体几何中的应用；3. 发展学生的空间想象力和几何思维能力。

教学内容1. 空间向量的定义和表示方法；2. 空间向量的运算法则；3. 空间向量的线性相关与线性无关；4. 空间向量的数量积与向量积；5. 空间向量在立体几何中的应用。

教学策略1. 激发学生的研究兴趣：通过引入生活中的实际问题，让学生意识到空间向量和立体几何的重要性和应用价值；2. 提供直观的教学材料：利用图形、实物模型等教具，帮助学生形象地理解和感受空间向量和立体几何的概念；3. 注重问题解决能力的培养：设计一些具有挑战性的问题，引导学生运用空间向量和立体几何的知识解决实际问题，培养他们的问题解决能力；4. 强化理论与实践的结合：通过实际案例分析、数学建模等方式，将理论知识与实际问题相结合，增强学生对空间向量和立体几何的应用能力；5. 鼓励合作研究：通过小组合作研究、讨论等形式，让学生互相交流和合作，共同解决问题，提高研究效果。

教学评价1. 课堂表现评价：通过观察学生在课堂上的参与程度、表现和回答问题的能力，评价学生的研究情况；2. 作业和测验评价：布置相关的作业和测验，评价学生对空间向量和立体几何的理解和应用能力；3. 项目评价：组织学生进行小组项目设计和展示，评价他们在实际问题解决中的综合能力。

结论通过合理的教学设计和策略，可以帮助学生更好地理解和应用空间向量与立体几何的知识。

教师应注重培养学生的空间想象力和几何思维能力，激发他们的研究兴趣，提供直观的教学材料，并通过问题解决、理论与实践结合等方式，加强学生对知识的应用能力。

同时，教学评价也是教学过程中重要的一环，可以通过多种评价方式对学生的研究情况进行评价，促进他们的全面发展。

立体几何与空间向量的教学设计单元
1. 单元概述
1.1 单元目标
通过本单元的学习，学生应能够：
- 理解立体几何的基本概念，包括点、线、面、体等；
- 掌握空间向量的基本运算，包括向量的加法、减法、数乘和点乘；
- 能够运用立体几何与空间向量解决实际问题。

1.2 单元内容
本单元包括以下内容：
- 立体几何的基本概念；
- 空间向量的基本运算；
- 空间向量在立体几何中的应用。

2. 教学策略
2.1 教学方法
- 讲授法：用于讲解立体几何的基本概念和空间向量的基本运算；
- 实践操作法：用于让学生通过实际操作加深对立体几何和空间向量的理解；
- 问题解决法：用于引导学生运用立体几何和空间向量解决实际问题。

2.2 教学资源
- 教材：用于提供学习的理论知识；
- 计算机软件：用于辅助学生进行空间向量的实践操作；
- 实物模型：用于帮助学生直观地理解立体几何的概念。

3. 教学安排
3.1 教学时长
本单元的教学时长为20课时，其中：
- 立体几何的基本概念：5课时；
- 空间向量的基本运算：6课时；
- 空间向量在立体几何中的应用：9课时。

3.2 教学计划
请见下表：
4. 教学评价
本单元的教学评价将采用以下方式：
- 平时作业：30%；
- 课堂表现：30%；
- 期末考试：40%。

希望这份教学设计单元能够帮助你更好地进行教学活动。

如果有任何问题，请随时提问。

空间向量在立体几何中的应用（二）一、教学日标：1.用向量法解决立体儿何中常见的问题（如长度、距离问题）;2.熟练掌握向量的加法、减法法则；3.熟练掌握向量的数量积运算。

二、教学重点与难点：重点：求长度、距离尤其点到面的距离；难点：点到血的距离，向量的加法、减法法则以及数量积运算。

三、教学过程:1.类似用平而向量解决平而几何问题，我们也可以得岀用空间向量解决空间几何问题（比如：点、直线与平面Z间的位置关系，夹角以及距离问题），步骤如下:（1）建立立体图形为空间向量的联系，用空间向量表示问题小涉及的点、直线、平面, 把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系，以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的儿何意义。

（回到图形）2、例题讲解例1：如图1, 一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？解:如图1,不妨设曲二*二"二1，ZDABSM = ZDAA X = 60°卿冋堇旳加迭迭则，化为向量问题疋=五+乔+囲AC；二（而+而+石;丫进行向量运算■ 2 ・• 2 ■ 2 ，■ ，■ ■ ，■ ■ ，•=AB +AD +A4, ^1{AB AD^AB A\^AD AA^= 1 + 1 + 1 + 2（cos 60° + cos 60° + cos 60°）所以Hl二衙回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的衙倍。

练习1:（教材P107）.如图，60°的二面角的棱上冇A, B两点，直线AC, BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4, AC=6, BD=8,求CD的长.思考2：在例1中，如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的备棱间的夹角都等于a，那么山这个平行六血体的对•角线的长可以确定棱长吗？妇G 二Q ,二.4D 二轴二.v, /BAD - 0灿=2/）.1^ 二 a 由黑二丽+丽：疋二示+孰才+疝・丽+丽可+五可）即『二3『+2（3『co§a）.・.x= i a¥3+6co§a:.这个贱軸酬釧长可酬趙长.练习2：（教材P111）.如图，两条异面直线a, b所成的角为0 ,在直线a, b上分别取点AJ, E和点A, F,使AA'丄a,且AA」b（AA*称为异面直线a, b的公垂线）.己知AE=m,AF=n, EF=1,求公垂线AA，的长.思考3：例1中的晶体中相对的两个平而Z间的距离是多少？（提示：求两个平行平而的距离，通常归结为求点到平而的距离或两点间的距离）分析:面面更离转化为点毓离来求解：过低作丄平耐C于点乩酗H为麻相对两个竝间的距离.由ZA V AB二出皿二/BAD R朋二妙二關:.H在血.疋1（丑+胚$ 二l+l+2cos60。

空间向量与立体几何教案教案：空间向量与立体几何一、教学目标：1.知识与能力目标：掌握空间向量的基本概念和运算法则，并能够运用空间向量解决立体几何问题。

2.过程与方法目标：培养学生的观察能力和逻辑思维能力，通过实例分析和综合运用，激发学生对数学的兴趣和学习积极性。

3.情感态度目标：培养学生的合作学习精神，增强学生对数学的自信心和探究精神。

二、教学重点难点：1.教学重点：空间向量的概念、性质及运算法则。

2.教学难点：如何灵活应用空间向量解决立体几何问题。

三、教学方法：1.教师讲授与学生合作探究相结合的方法。

2.案例分析和综合运用的方法。

四、教学过程：第一节空间向量的概念和性质（40分钟）1.通过引入空间向量的概念，让学生了解空间向量的定义，并掌握向量的表示方法。

2.解释向量的性质，如向量的加法、数乘、共线和共面性质。

3.设计一些简单的例题进行讲解，引导学生掌握和理解空间向量的性质。

第二节空间向量的运算法则（40分钟）1.通过实例引导，让学生掌握向量的加法、减法、数量积和向量积的运算法则。

2.类比二维向量，在立体几何实例中引入空间向量运算，帮助学生理解和应用空间向量运算。

第三节空间向量在立体几何中的应用（40分钟）1.通过立体几何实例，引导学生运用空间向量解决立体几何问题。

2.给学生创设情境，让学生在小组合作的形式下，互相讨论和解决立体几何问题。

3.设计不同难度的立体几何问题，让学生进行综合运用，提高解决问题的能力。

第四节拓展课程与归纳总结（40分钟）1.设计拓展课程，引导学生发现和探究空间向量在其他学科中的应用，如物理、工程等领域。

2.巩固和总结空间向量的知识点，通过小测验和思维导图等方式，让学生检验和反思自己的学习效果。

五、教学资源准备：1.多媒体教学设备和教学课件。

2.各类立体几何教具和实物模型。

3.教科书及参考资料。

六、教学评价与反思：1.课堂提问与讨论，根据学生的回答和互动评价学生的理解和能力。

空间向量与立体几何的创新教学设计1. 引言空间向量与立体几何是高中数学的重要组成部分，对于培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和创新意识具有重要意义。

然而，传统的教学方式往往过于注重理论的灌输，而忽视了学生的实际操作和应用能力的培养。

为了改善这种状况，我们提出了一种创新的教学设计，旨在提高学生的学习兴趣和效果。

2. 教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念和运算规则。

2. 培养学生运用空间向量解决立体几何问题的能力。

3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

4. 培养学生的创新意识和实践能力。

3. 教学内容1. 空间向量的基本概念和表示方法。

2. 空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。

3. 空间向量的数量积和夹角。

4. 空间向量与立体几何的应用问题，包括空间直线与平面的位置关系、空间几何体的体积和表面积等。

4. 教学方法1. 问题驱动法：通过提出实际问题，引导学生思考和探索空间向量与立体几何的知识点。

例如，可以让学生研究空间几何体的体积和表面积的计算问题。

2. 案例分析法：通过分析典型案例，让学生了解和掌握空间向量在实际问题中的应用。

例如，可以让学生分析空间直线与平面的位置关系，并运用空间向量进行解答。

3. 小组合作法：鼓励学生进行小组合作，共同探讨和解决问题。

例如，可以让学生分组进行空间向量的运算练习，并互相批改和讲解。

4. 信息技术辅助教学：利用信息技术工具，如三维绘图软件和在线教育平台，辅助教学，提高学生的空间想象能力和实际操作能力。

例如，可以让学生使用三维绘图软件绘制空间几何体，并进行相关的计算和分析。

5. 教学评估1. 课堂表现评估：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问回答和小组合作中的表现，评估学生的学习情况和进步。

2. 作业和练习评估：通过批改学生的作业和练习，了解学生对空间向量与立体几何知识点的掌握程度。

3. 创新项目评估：鼓励学生进行创新项目的实践，如设计空间几何体的模型或编写相关的应用程序，并对其进行评估和反馈。