- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
【例】 L(a, b, c)与L(b, a, c)如果a, b, c表示三个不同的客体, 则表示两个不同的命题
2.2 命题函数与量词
【例】H表示谓词 “能够到达山顶”, l表示客体 “李四”, t表示客 体 “老虎”, c表示客体 “汽车”. H(l): 李四能够到达山顶 H(t): 老虎能够到达山顶 H(c): 汽车能够到达山顶
• 作业: (2) (3) (4)
2.4 变元的约束
• 给定一个谓词公式A,其中有一部分公式形 如(x)B(x)或(x)B(x) • 、后面所跟的x叫做量词的指导变元或作 用变元 • B(x)叫做相应量词的作用域或辖域。 • 在辖域中,x的所有出现称为约束出现,x称 为约束变元 • B中不是约束出现的其它变元的出现称为自 由出现,这些变元称自由变元。
• • •
2. 存在量词
“存在”,“有一个”,“有些”,“至少有一个 ”等词统称为存在量词 • 符号化为“” • (x),(y)等表示个体域里有些个体 • (x)F(x) 和 (y)G(y) 等分别表示在个体域中存在个 体具有性质F和存在个体具有性质G。 • 全称量词与存在量词统称为量词。
• 有三个客体的命题可用L(a, b, c)表示 • A(b)一元谓词; B(a, b)二元谓词; L(a, b, c)三元谓词
• 一般来说, n元谓词需要n个客体名称插入到固定的 位置上, 如果A为n元谓词, a1,a2,…,an是客体名称, 则A(a1,a2,…,an)就可以成为一个命题 • 一元谓词表达了客体的“性质”, 而多元谓词表达了 客体之间的“关系” • 单独一个谓词不是完整的命题 • 谓词填式: 谓词字母后填以客体所得的式子 • 在多元谓词中, 客体出现的次序与事先约定有关
• 在一个公式中,同一个变元既可以是约束的,又
可以是自由的,容易混淆。
【例】(x)(y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔ (x) R(x,y)
• 约束变元与表示该变元的符号无关
• (x)P(x)与(y)P(y),(x)P(x)与(y)P(y)都具有相
同意义
• 可以对约束变元换名,以避免混淆
• 命题函数不是命题, 只有客体变元取特定名称时, 才能成为命题
【例】R(x)表示 “x是大学生” 1. x的讨论范围是某大学的学生, 则R(x)为永真式 2. x的讨论范围是某中学的学生, 则R(x)为永假式 3. x的讨论范围是某剧场里的观众, 则R(x)可能为真也 可能为假 【例】Q(x, y)表示 “x比y重” 1. x,y指人或物时, 它是一个命题 2. x,y指实数时, 它不是一个命题
【例】张三是大学生, 李四是中学生 两个命题的谓语不同, 表明对应的两个客体的身份 不同
• 引入一种符号表示谓语, 再引入一种方法表 示客体名称 • 一般用大写字母表示谓词, 用小写字母表示 客体名称
• 用谓词表达命题必须包括客体和谓词两部分
【例】A表示“是大学生”, B表示“是中学生” c表示“张三”, d表示“李四” A(c)表示 “张三是大学生” B(d)表示 “李四是中学生”
• 为了使换名后的公式中出现的变元要么是约束的
,要么是自由的,我们提出如下的换名规则: ⑴对约束变元可以换名,其更改变元名称范围是 量词中的指导变元,以及该量词辖域中的所有该 变元,公式的其余部分不变。 ⑵换名时一定要更改成辖域中没有出现的变元名 ,最好是公式中没有的变量名。
【例】对 (x)(y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔(x)R(x,y) 中的约束变元 y 换名。 解:用u置换约束变元y。换名后为: (x)(u)(P(x,u)∧Q(u,z))↔(x) R(x,y) 不能换成: (x)(u)(P(x,u)∧Q(y,z))↔(x) R(x, y) 也不能换成:(x)(z)(P(x, z)∧Q(z,z))↔(x) R(x,y) 也不能换成:(x)(u)(P(x,u)∧Q(u,z))↔(x) R(x,u)
• 谓词公式也有以下约定: ⑴ 最外层的括号可以省略。 ⑵ 如果按¬、∧、∨、→、↔在运算中的优先级 别,省略括号后不改变原来的运算次序,可以省 略括号,但量词后面括号不能省略。
【例】并非每个实数都是有理数。 解:设R(x):x是实数 Q(x):x是有理数 该命题符号化为:¬ (x)(R(x)→Q(x))
【例】个体域是人类集合,对下列命题符号化。 ⑴ 凡人要死。 ⑵ 有的人是研究生。 解:⑴ 令F (x):x要死。 命题“凡人要死。”符号化为:(x)F (x) ⑵ 令G(x):x是研究生。 命题“有的人是研究生。”符号化为:(x)G(x)
• 在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变 元x被全称量化和存在量化。 • 一般地说,命题函数不是命题,如果对命题函数 中所有客体变元进行全称量化或存在量化,该命 题函数就变成了命题。
• 对于给定的谓词公式,能够准确地判定它的辖域 、约束变元和自由变元是很重要的。 • 通常,一个量词的辖域是某公式A的一部分,称为 A的子公式。因此,确定一个量词的辖域即是找出 位于该量词之后的相邻接的子公式,具体地讲: ①若量词后有括号,则括号内的子公式就是该量 词的辖域; ②若量词后无括号,则与量词邻接的子公式为该 量词的辖域。
• n元谓词就是有n个客体变元的命题函数
• 特殊情况: n=0时, 称为0元谓词, 它本身就是一个
命题
• 命题是n元谓词的特殊情况
• 由一个或n个简单命题函数以及联结词组合而成的 表达式称为复合命题函数
• 【例】S(x)表示 “x学习很好”; W(x)表示 “x工作很好” ﹁ S(x)表示 “x学习不是很好”; S(x) ∧ W(x)表示 “x学习和工作都很好”; • 【例】H(x,y)表示 “x比y长得高”, l表示李四, c表示张三 ﹁H(l,c)表示 “李四不比张三长得高”
• • • •
根据常识,认为这个推理是正确的 但无法用命题逻辑给予推证 问题在哪里呢? 这类推理中,各命题之间的逻辑关系不是 体现在原子命题之间,而是体现在构成原 子命题的内部成分之间,即体现在命题结 构的更深层次上。
• 在研究某些推理时,有必要对原子命题作 进一步分析,分析出其中的客体词,谓词 和量词,研究它们的形式结构的逻辑关系 、正确的推理形式和规则,这些正是谓词 逻辑的基本内容。
• 命题函数中的个体变元被量化以后变成命题,其 真值与个体域的选定有关. • 为了统一,我们今后使用全总个体域 • 其它个体域用一个谓词来表示,叫做特性谓词。 特性谓词加入的方法为: ⑴ 对全称量词,特性谓词作为条件命题的前件加 入。 ⑵ 对存在量词,特性谓词作为合取项加入。
【例】对下列命题在①,②两个个体域中符号化。 命题:⑴ 所有老虎是要吃人。 ⑵ 存在一个老虎要吃人。 个体域:① 所有老虎组成的集合。 ② 全总个体域。 解:设A(x):x是要吃人的。 个体域为所有老虎的集合。 ⑴符号化为 (x)A(x) ⑵符号化为 (x)A(x) 个体域为全总个体域。设特性谓词T(x):x是老虎。 ⑴符号化为 (x)(T(x)→A(x)) ⑵符号化为 (x) (T(x)∧A(x))
2.1 谓词的概念与表示
• 命题是具有真假意义的陈述句 • 从语法上分析,一个陈述句由主语和谓语 两部分组成。
• 【例】电子计算机是科学技术的工具 主语: 电子计算机 谓语: 是科学技术的工具 • 主语是客体, 它可以是具体的,也可以是抽象的
小王, 老师 唯物主义
• 谓语: 用以刻划客体的性质或关系
• “b是A”类型的命题可用A(b)表示
【例】5大于3 B表示 “…大于…” a表示
• 类似于“a大于b”类型的命题, 可用B(a,b)表示
【例】小明站在小李和小王之间 L表示 “…站在…和…之间” a表示 “小明”, b表示 “小李”, c表示“小王” 小明站在小李和小王之间可用L(a, b, c)表示
【例】没有不犯错误的人。 解:设M(x):x是人 F(x):x犯错误 此命题可以理解为:存在一些人不犯错误,这句话是不 对的。此时,符号化为:¬ (x) (M(x)∧¬ F(x) ) 也可以理解为:任何人都是要犯错误的。此时,符号化 为:(x) (M(x)→F(x)) 【例】并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快。 解:设F(x):x是兔子。 G(x):x是乌龟。 H(x,y):x比y跑得快。 该命题符号化为:¬ (x) (y) (F(x)∧G(y)→H(x,y))
• 目前所学的符号还是不能很好地表达日常生活中 的各种命题 • 量词: 用以刻画 “所有的”和 “存在一些”的不同概念
1. 全称量词
日常生活和数学中常用的“一切的”,“所有的 ”,“每一个”,“任意的”,“凡”,“都” 等词统称为全称量词 符号化为“” (x),(y)等表示个体域里的所有个体 (x)F(x)和(y)G(y)等分别表示个体域中的所有 个体都有性质F和都有性质G
• 作业: (1)
2.3 谓词公式与翻译
• 我们把A(x1,x2,…,xn)称为谓词演算的原子公式, 其 中x1,x2,…,xn是客体变元 • 定义2-3.1按下列规则构成的表达式称为谓词演算 的合式公式,简称谓词公式。
⑴原子谓词公式是合式公式。 ⑵若A是合式公式,则¬ A是合式公式。 ⑶若 A 和 B 是合式公式,则 (A∧B) , (A∨B) , (A→B) 和 (A↔B)是合式公式。 ⑷如果A是合式公式,x 是 A中出现的任意个体变元,则 (x)A,(x)A是合式公式。 ⑸ 只有有限次地应用⑴、⑵、⑶、⑷所得的公式是合式 公式。
• 上例有一个共同的形式 H(x). 当x分别取l, t, c时, 分别表示不同的命题 • H(x)本身不是一个命题, 只有当x取特定的客体时, 才能确定一个命题 • 多元有类似情况 如L(x,y)
• H(x)与函数表示类似
• 定义 2-2.1 由一个谓词, 一些客体变元组成的表达
式称为简单命题函数
【例】说明下列各式量词的辖域,找出约束变元和自由变元。 ⑴ (x)P(x)→Q(y) ⑵ (x) (P(x)∧(y)Q(x,y)) ⑶ (x) P(x)∧(y)Q(x,y) ⑷ (x)(y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔ (x) R(x,y) 解:⑴(x)的辖域为P(x),x是约束变元。 ⑵ (x) 的辖域为 P(x)∧(y)Q(x,y) , (y) 的辖域为 Q(x,y) , x 和 y 都是约 束变元,无自由变元。 ⑶(x) 的辖域为 P(x) ,(y) 的辖域为 Q(x,y) , P(x) 中的 x 和 Q(x,y) 中的 y 是约束变元,Q(x,y)中的x是自由变元。 ⑷(x)和(y)的辖域为P(x,y)∧Q(y,z),x, y是约束变元, z是自由变元; (x)的辖域为R(x,y),x是约束变元,y是自由变元