2015届高二升级考试数学试题

2015年度高二数学理科考试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释）1．已知复数满足：i zi +=2（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i 2- B ．i 2 C ．2 D ．2-2．在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x 、y 的值分别为（ ） A ．2，5 B ．5，5 C ．5，7 D ．8，7 3．命题“12sin ,>∈∀x R x ”的否定是（ ） A ．12sin ,≤∈∀x R x B ．12sin ,>∉∀x R x C ．12sin ,0≤∈∃x R x D ．12sin ,0>∉∃x R x4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = A ．18 B ．36 C ．54 D ．725．若变量,x y 满足约束条件 0,4,0,x y x y y k -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩且 3z x y =+的最小值为8-，则k =（ ）A.3B.3-C.2D.2-6．已知曲线23ln 1x y x =-+的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．127．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数7，那么从高三学生中抽取的人数应为 （ ） A.7 B.8 C.9 D.108．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．ˆ0.4 2.3yx =+ B ．ˆ2 2.4y x =- C ．ˆ29.5y x =-+D ．ˆ0.3 4.4yx =-+ 9．设随机变量ξ服从正态分布2N 1σ（，）,若P 2)0.8ξ<=（,则(01)P ξ<<的值为（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6 10．5)11)(2(22-+xx的展开式的常数项是（ ）． A ．2 B ．3 C ．-2 D ．-311．点(,0)F c 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，点P 为双曲线左支上一点，线段PF 与圆2224b x y +=相切于点Q ，且1=2PQ P F ，则双曲线的离心率等于（ ）A D ．212．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A.a b c <<B.b c a <<C.a c b <<D.c a b <<13．已知y x ,取值如表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且a x y+=95.0ˆ，A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65 D ．1.8014．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.95y x a =+，则a =（ ）A ．2.2B ．2.6C ．2.8D ．2.9 15．若随机变量X 服从两点分布，其中()310==X P ，则()23+X E 和()23+X D 的值分别是（ ）A ．4和4B ．4和2C ．2和4D ．2和2 16．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )． A.18 B.14 C.25 D .12第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）17．从6名候选人中选派出3人参加A、B、C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则不同的选派方法有种.18．设212axdx=⎰，则61axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中常数项为．19．由两条曲线y＝x2，y＝14x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．20．已知双曲线12222=-byax（0a b>>）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线)(22>=ppyx的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为c2，且cPA=，则双曲线的渐近线方程为___________.三、解答题（题型注释）21．（本小题满分14分）如图所示,棱柱111ABC A B C-为正三棱柱,且1AC C C=,其中点,F D分别为11,AC B B的中点.CD1C（1）求证://DF平面ABC;（2）求证:DF⊥平面1ACC;（3）求平面1DC A与平面ABC所成的锐二面角的余弦值且侧面PAD ⊥底面ABCD ,E 为侧棱PD 的中点（1）求证：PB //平面EAC ； （2）求证：AE ⊥平面PCD ；（3）若直线AC 与平面PCD 所成的角为30︒,求CDAD的值 23．（本小题满分12分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率； （2）从全市高中学生（人数很多）．．．．．．．．．．．．．中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望()ξE .24．（本小题12分）据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表： 0.0750.0400.060服务时间/小时O现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.25．已知椭圆2222:1(0)x yG a ba b+=>>过点，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P-.（1）求椭圆G的方程；（2）求△PAB的面积．26．（本小题满分14分）设函数2()(2)lnf x x x=+，2()2,g x x ax a R=+∈（1）证明：()f x是(0,)+∞上的增函数；（2）设()()()F x f x g x=-，当[)1,x∈+∞时，()0F x≥恒成立，求a的取值范围．27．（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD为正方形，⊥EA平面ABCD，CF ∥EA，且222===CFABEA（1）求证：⊥EC平面BDF；（2）求二面角E BD F--的余弦值.28．本小题满分12分）在平行六面体1111ABCD A BC D-中，12AA AD AB===，160A AD DAB∠=∠=︒,O是AD的中点．1A（1）证明：AD⊥面1AOB;（2）若1A B AB=，求直线1AC与平面11BB D D所成角的正弦值．参考答案1．D 【解析】试题分析：由2=+zi i 得，22121i z i i i+==+=-+，所以虚部为2-.选D. 考点：复数的基本运算.2．C 【解析】试题分析：从茎叶图可知，甲组成绩为9、15、10+x 、21、27，由于甲组数据的众数为15，故x=5.乙组的成绩为9、13、10+y 、18、27，由于乙组数据的中位数是17，故y=7.所以选C.考点：统计. 3．C【解析】先改写量词，再对结论进行否定，故“12s i n ,>∈∀x R x ”的否定是“12sin ,0≤∈∃x R x ”【命题意图】本题考查全称命题的否定 4．D 【解析】试题分析：由等差数列的前n 项和公式得()()7242854818=+=+=a a a a S ，故答案为D.考点：等差数列的前n 项和公式. 5．C 【解析】试题分析：根据题意，画出约束条件所对应的可行域，可知，2k -<，结合目标函数的特点，可知函数在点(,)k k --处取得最小值，则有38k k --=-，解得2k =，故选C. 考点：线性规划. 6．A 【解析】 试题分析：设切点为),(00y x ，则切线的斜率132132)(00000-==⇒=-='=x x x x x f k 或，又00>x 则30=x ；考点：1．导数的几何意义； 7．D 【解析】试题分析：因为分层抽样的抽样比相等，所以所抽高一学生，高二学生，高三学生的比为210比270比300即7比9比10；从高一学生中抽取的人数7那么从高三学生中抽取的人数应为 10考点：分层抽样. 8．A 【解析】试题分析：∵变量x 与y 正相关，∴可以排除D ，C ；样本平均数3x =， 3.5y =代入A 符合，B 不符合 故选：A ．考点：线性回归方程 9．B 【解析】试题分析：随机变量ξ服从正态分布()2,1σN ，因此()()5.011=<=>ξξP P ，()=<<21ξP ()()12<-<ξξP P 3.05.08.0=-=，()()3.02110=<<=<<ξξP P ，故答案为B.考点：正态分布的应用. 10．B 【解析】试题分析：二项式5211）（-x 的第1+r 项为1025525)1()1()1(---⋅=-⋅⋅r r r r r rx C xC ，5)11)(2(22-+xx 的展开式的常数项为82510252)1()1(.--⋅-⋅=-⋅r r rr r r x C x C x ，10251025)1(2)1(.2--⋅-⋅⋅=-⋅r r r r r r x C x C ，即常数项为3)1(2)1(555445=-⋅⋅+-⋅C C ．考点：二项式的展开式． 11．C【解析】设左焦点1(,0)F c -，由1=2PQ PF ，所以Q 是线段PF 的中点,连接1PF ，OQ ，则OQ PF ⊥，且11//2OQ PF ，则1PF PF ⊥，在1PFF ∆中，1PF b =，2PF a b =+，12FF c =，由勾股定理得2224(2)c b a b =++,所以2224244ab c b a =++，2b a =，两边平方得2224c a a -=，解得25e =，e =【命题意图】本题考查双曲线方程、圆的方程、双曲线的简单几何性质、切线等基础知识，意在考查数形结合思想和综合分析问题解决问题的能力． 12．C 【解析】试题分析：构造函数()()h x xf x =，∴()()()h x f x x f x ''=+⋅，∵()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，∴()h x 是定义在实数集R 上的偶函数，当x ＞0时，()()()0h x f x x f x ''=+⋅>，∴此时函数()h x 单调递增． ∵111()()222a f h ==，2(2)2(2)(2)b f f h =--==，111(ln )(ln )(ln )(ln 2)(ln 2)222c f h h h ===-=，又1ln 222<<，.a c b ∴<<．故选C ．考点：比较大小.13．B 【解析】 试题分析：通过图表可知25.563.94.71.66.58.13.1,46865410=+++++==+++++=y x ，将（4,5.25）代入，即,495.025.5a +⨯=解得.45.1=a 故选B. 考点：回归直线经过样本点的中心.14．B 【解析】试题分析：回归直线方程一定过样本点的中心),(y x ，由已知5.4,2==y x ，代入回归直线得6.2=a考点：统计、回归直线 15．B 【解析】试题分析：由于服从两点分布，()321==X P ，因此()32321310=⨯+⨯=X E ，()92323213132022=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X D ，()()42323=+=+X E X E ，()()2923=⋅=+X D X D .考点：随机变量的期望和方差.16．B 【解析】试题分析：从5个数中任取2个不同的数的所有情况为2510C =，取到2个数之各为偶数的有4种，那么()42105P A ==，取到的2个数均为偶数有1种，那么()110P B =，由条件概率公式()()()1110|245P AB P B A P B ===.故选B.考点：条件概率.17．100 【解析】试题分析：A 活动可从5人中任选1人参加，然后再从剩下的5人选两人参加B 、C 活动即可，故共有1002515=A C考点：排列组合 18．540- 【解析】 试题分析：⎰=-===21212314|2x xdx a ，()()r r rr rr r r x a C x ax C T 266666111---+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴，令026=-r ，得3=r ，因此展开式中常数项为()540133336-=-C .考点：1、定积分的计算；2、二项式定理的应用. 19．43【解析】试题分析：由题意，两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域如下图中阴影部分，则其面积为12222313201011131111542[()(1)]2[|()|]2()4443434123x x dx x dx x x x -+-=⋅+-⋅=+=⎰⎰考点：定积分的应用． 20．y x =±【解析】由已知||,||OA a AF c ==，所以，||,,2p OF p b ==把2py b =-=代入双曲线方程22221x y a b-=得，222,x a =所以，直线2p y =-被双曲线截得的线段长为，从而2,c c ==，所以，2222,a b a a b +=∴=，所求渐近线方程为y x =±.考点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系..21．（1）见解析；（2）见解析；（3 【解析】（1）证明:作AC 的中点O ,连结BO .在1ACC ∆中,//=FO 112C C ,又据题意知，//=BD 112C C ． ∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形. 2分 ∴//DF OB ，又⊄DF 平面ABC ，⊂OB 平面ABC ．∴//DF 平面ABC ． 4分 （2）证明:棱柱111ABC A B C -为正三棱柱1C C ∴⊥平面ABC又BO ⊆平面ABC1BO C C ∴⊥ 5分ABC ∆是正三角形且AO OC = ∴BO AC ⊥ 6分综上1BO C C ⊥,BO AC ⊥且1AC CC C =,1,AC C C ⊆平面1ACC∴BO ⊥平面1ACC 7分又//FD BO∴DF ⊥平面1ACC 8分CD1C A（3）∵//FO 1C C ，∴⊥FO 平面ABC ．在正∆ABC 中，⊥BO AC ，∴,,OA OB OF 三线两两垂直． 分别以,,OA OB OF为,,z x y 轴，建系如图． 9分 则(1,0,0)A ，1(1,0,2)C -，D ．∴1(2,0,2)AC =-，(=-AD ． 10分 设平面ADE 的一个法向量为1(,,z)=x y n ，则11100AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2200-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩x z x z ，令1=x ，则1,0==z y ．∴平面1ADC 的一个法向量为1(1,0,1)=n ． 12分 又平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)=n ． 13分 ∴121212,⋅>===cos <n n n n n n ．∴平面DEA 与平面ABC 14分CC【命题意图】本题考查线线,线面关系和二面角的求解,考查学生空间思维能力和综合分析能力等． 22．（1）见解答过程 （2）见解得过程 （3）CDAD=【解析】 试题分析：（1）要证明PB //平面EAC ,可在平面EAC 内找一条直线与PB 平行,连接连结BD 交AC 于O,连结EO,则EO//PB,由此可证PB //平面EAC .（2）要证明AE ⊥平面PCD ,可先证,AE CD AE PD ⊥⊥,注意线线垂直、线面垂直的相互转化.（3）直线AC 与平面PCD 所成的角为∠ACE ,再通过解三角形确定CDAD= 试题解析：（1）连结BD 交AC 于O,连结EO,因为O 、E 分别为BD 、PD 的中点, 所以EO//PB,EO EAC PB EAC ⊂⊄平面平面,所以PB//平面EAC （4分） （2）法一：AE ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD CD AE PAD ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面CO ABCD ⊂面正三角形PAD 中,E 为PD 的中点,所以,AE PD ⊥,又PD CD D =,所以,AE⊥平面PCD （10分）法二：ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD PDC PAD CD PDC ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面面面CO ABCD ⊂面正三角形PAD 中,E 为PD 的中点,所以,AE PD ⊥, 又PDCPAD PD =面面,AE PAD ⊂面,所以,AE⊥平面PCD （10分）（3）由（2）AE⊥平面PCD,直线AC 与平面PCD 所成的角为∠ACE30,2Rt ACE ACE AC AE ∴∠=︒=中，,又PAD AE AD ∆=正中，,AC ∴=,又矩形ABCD AC 中，,=解得CDCD AD=∴=， （14分） 考点：1空间中的线面位置关系；2直线与平面所成的角. 23．（1）52=P ；（2）()56=ξE 【解析】试题分析：（1）解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的关系，这些数据中，比较明显的有组距、组距频率，间接的有频率，小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形的面积等于频率，小长方形的面积之和等于1，因此频率之和为1；（2）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（4）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. 试题解析：解：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为 2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +===（2）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=；11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=； 22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为因为ξ～2(3,)5B ，所以26355E np ξ==⨯=. 考点：1、频率分布直方图的应用；2、离散型随机变量的分布列和数学期望.24．（1）72人；（2）ξ的分布列为：期望2535251=⨯+⨯+⨯=ξE . 【解析】试题分析：（1）先由抽到持“应该保留”态度的人的概率为05.0，由已知条件求出x ，再求出持“无所谓”态度的人数，由此利用分层抽样的概念就能求出应在“无所谓”态度抽取的人数；（2）由条件知第一组在校学生人数1=ξ，2，3，分别求出)1(=ξP ，)2(=ξP ，)3(=ξP ，由此能求出ξ的分布列和数学期望.试题解析：（1）∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为05.0，∴05.03600120=+x，解得60=x ，∴持“无所谓”态度的人数共有7206060012021003600=----，∴应在“无所谓”态度抽取723600360720=⨯人； （2）由（1）知持“应该保留”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，在校学生为46180120=⨯人，社会人士为2618060=⨯人，于是第一组在校学生人数1=ξ，2，3，51)1(362214===C C C P ξ， 51)1(362214===C C C P ξ，53)2(361224===C C C P ξ，51)3(360234===C C C P ξ，即ξ的分布列为：∴2535251=⨯+⨯+⨯=ξE .考点：1.分层抽样；2.离散型随机变量的期望与方差.25．（1）221124x y +=；（2）92.【解析】试题分析：（1）要求椭圆标准方程，就是要求得,a b ，因此我们要寻找关于,,a b c 的两个等式，本题中有离心率c e a ==，是一个等式，另一个是椭圆过点)，即22331a b+=，再结合222a b c =+可解得2a b ==，得到标准方程；（2）要求△PAB 的面积，应该先确定,A B 位置，也即确定直线l ，我们可以设l 的方程为y x m =+，条件PAB ∆是以AB 为底边的等腰三角形怎么应用？这个条件用得较多的是其性质，三线合一，即取AB 的中点E ，则有PE AB ⊥，我们就用这个来求出参数m 的值，方法是设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)E x y ，把直线方程代入椭圆方程，可得12x x +，从而求出1202x x x +=用m 表示，再由PE AB ⊥可很快求得m ，以后就可得到点A B 、的坐标，求出面积.试题解析：（1）由已知得22331,3c a b a +== . 1分解得a =又2224b a c =-=，所以椭圆G 的方程为221124x y +=. 4分 （2）设直线l 的方程为y x m =+.由221124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22463120x mx m ++-=. ① 6分设A 、B 的坐标分别为112212(,),(,),()x y x y x x <AB 中点为E 00(,)x y ，则120003,244x x m mx y x m +==-=+=　. 8分 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率24134m k -==--+，解得m =2. 10分 此时方程①为24120x x +=，解得123,0x x =-=　， 所以121,2y y =-=　，所以|AB|=此时，点P （－3，2）到直线AB ：20x y -+=的距离2d ==， 所以△PAB 的面积S =19||22AB d =. 12分 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交综合问题(相交弦长，点到直线距离，三角形面积等).26．（1）见解析；（2）2a ≤- 【解析】试题分析：第一步证明函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，只需证明）()0f x '≥成立，若x x x x x f ++='2ln 2)(0≥，我们只需0)12ln 2(2≥++xx x ，由于0>x ,令12ln 2)(2++=x x x g ，因为3234242)(xx x x x g -=-='，所以：)(x h 在)2,0(上递减，),2(+∞上递增，)(x h 最小值022ln )2(>+=h 故：0)(,2ln 2)(>=++='x h x x xx x x f 则，所以：)(x f 是),0(+∞上的增函数． （2）第二步求a 的取值范围，可分离常数a ，，由02ln )2()()()(22≥--+=-=ax x x x x g x f x F 得：x x x x a 222ln )2(-+≤在[)+∞∈,1x 上恒成立，只需求出xx x x x h 222ln )2()(-+=的最小值即可．试题解析：（1）若证明)(x f 是),0(+∞上的增函数，只需证明0)(≥'x f 在),0(+∞恒成立， 即：02ln 2)(≥++='x x x x x f 0)12ln 2(2≥++⇔x x x 012ln 22≥++⇔xx设),0(,12ln 2)(2+∞∈++=x x x x h ，3234242)(xx x x x h -=-=' 所以：)(x h 在)2,0(上递减，),2(+∞上递增，)(x h 最小值022ln )2(>+=h 故：0)(2ln 2)(>=++='x xh x xx x x f ，所以：)(x f 是),0(+∞上的增函数． （2）由02ln )2()()()(22≥--+=-=ax x x x x g x f x F 得：x x x x a 222ln )2(-+≤在[)+∞∈,1x 上恒成立，设x x x x x G 222ln )2()(-+=,则22)1)(ln 2()(x x x x G --='，所以)(x g 在)2,1(递增，),2(e 递减，),(+∞e 递增,所以)(x G 的最小值为)(),1(e G G 中较小的，022)1()(>+-=-e eG e G ， 所以：)1()(G e G >，即：)(x G 在[)+∞∈,1x 的最小值为2)1(-=G ，只需2-≤a考点：1．导数与函数的单调性；2．研究一个函数的单调性与极值，3．极端原理的使用；27．（1）详见解析；（2）二面角E BD F -- 【解析】 试题分析：（1） 因为EA ∥CF ，所以ACFE 是一个平面图形，在这个平面图形中，AC ＝AE ＝2，所以ΔACE 是等腰直角三角形.连接AC 交BD 于点O ，连接FO.易得OC ＝FC ，所以ΔOCF 也是等腰直角三角形.由此可证得EC ⊥OF.又由三垂线定理可证得BD EC ⊥，从而可得⊥EC 平面BDF .法二，以点A 为坐标原点，AD 所在的直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AE 所在直线为z 轴建立直角坐标系，利用向量也可证得EC ⊥面BDF .（2）由（1）知向量EC 为平面BDF 的法向量，再用向量方法求出平面EBD 的法向量即可求出二面角E BD F --的余弦值. 试题解析：（1）（法一）连接AC 交BD 于点O ，连接FO.过点O 作OH ∥AE 交EC 于点H ，连接HF ，因为O 是AC 的中点，所以H 是EC 的中点，所以112OH EA ==，因为EA ∥CF ，且EA=2CF ，所以OH ∥CF 且OH=CF ，又因为112OC AC == 所以四边形OCFH 为菱形，而EA 垂直于平面ABCD ， 所以EA AC ⊥从而OH OC ⊥，从而四边形OCFH 为正方形进而OF CH OF CE ⊥⇒⊥又因为四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥; 又 EA BD ⊥且EA AC A =从而BD ⊥面EAC ， 则BD EC ⊥又,BD BDF OF BDF ⊂⊂且BD OF O =所以⊥EC 平面BDF . (6)分（法二）以点A 为坐标原点，AD 所在的直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AE 所在直线为z 轴建立直角坐标系，则(0,0,0);((();E(0,0,2)A B D C F ，所以(2,2,0);(2,0,1);(2,2)BD BF EC =--=-=-- 从而有EC ·BD =0，EC ·BF =0 所以,EC BD EC BF ⊥⊥ 又因为,BDBF B =从而EC ⊥面BDF（2）由（1）知向量EC 为平面BDF 的法向量 设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =则00n BD n ED⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020z⎧=⎪⎨-=⎪⎩；令1z =得x y ==故 cos ,210n EC n EC n EC⋅<>===⋅ 所以二面角E BD F --考点：1、空间线面间的位置关系；2、二面角. 28．（1）证明见解析；（2）5. 【解析】 试题分析：（1）本题证明线面垂直，根据纯平面垂直的判定定理，只要证明直线AD 与平面1AOB 内的两条相交直线垂直即可，而从已知条件可看出只要在1AAO ∆和ABO ∆中利用正弦定理及勾股定理就能证得1AO AO ⊥，AO BO ⊥；（2）本小题是求直线与平面所成的角，由（1）已经知道1AO AO ⊥，AO BO ⊥，再在1AOB ∆中应用勾股定理又可证明1AO BO ⊥，于是我们可以分别以1,,OA OB OA 为,,x y z 轴建立窨直角坐标系，用向量法求解线面角.试题解析：（1）证明:由AD 的中点O ， 由11160AA ADAO AD A AD =⎫⇒⊥⎬∠=︒⎭同理BO AD ⊥ AO ⇒⊥平面1A BO ．（2）1122AO A A AB ==,2BO AB =11A B ∴= 1A BO ∴∆为直角三角形，1AO BO ⊥ 以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴，建立坐标系，不妨设12A B A A A D ===，则(1,0,0)A，B，1A ，(1,0,0)D -由11(DD AA D =⇒-(BC AD C =⇒-，1(AC ∴=- 设(,,)n x y z =为平面11BB D D 的法向量可求得(3,1,1)n =- 11sin cos 5AC n AC n θα⋅===⋅x1考点：1.线面垂直；2.直线与平面所成的角.。

xy O CAB2015年佛山市普通高中高二教学质量检测数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题： （每题5 分，共 50 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项CABABDADCA二、填空题（每题 5分，共 20 分）11． 13- 或 12．213．1614．12p三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【解析】(Ⅰ)顶点C 到斜边AB 的距离为( ) 22021810 25 512d +´-- === + , (3)分 所以斜边 245 AB d == , …………………………4 分 故 ABC D 的面积为 11254520 22S AB d =´´=´´= ．………6 分 (Ⅱ)解法 1:由题意知,CD AB ^ ,又 12AB k =- ,所以 2 CD k = , (7)分 所以直线CD 的方程为: 21 y x =- ,即210 x y --= , ……………………………9 分由 280 210 x y x y +-= ì í--= î ,解得 23x y = ì í = î ,………11 分所以点D 的坐标为( ) 2,3 ．…………12 分解法 2:因为 45 AB = ,所以 210 AC BC == , ……………………………8 分 所以 , A B 在以C 为圆心,210 为半径的圆上, ……………………………9 分 由 22280(1)40x y x y +-= ì í++= î ,解得 1 1 25 x y =- ì í= î 或 2 2 6 1 x y = ì í =î ,……………………………11分 因为D 为 AB 的中点,所以点D 的坐标为( ) 2,3 ．……………………………12 分16.【解析】(Ⅰ)连接BD 交 AC 于点O ,连接FO ,则点O 是BD 的中点．因为点F 为 1 A D 的中点,所以 1 A B ∥FO ．…………4 分 又 1 A B Ë平面 AFC ,FO Ì 平面 AFC ,所以 1 A B ∥平面 AFC ． ………………………………6 分(Ⅱ) 在正方体 1111 ABCD A B C D - 中, 1 = AA AD ,F 为 1 A D 的中点, 所以 1 AF A D ^ ,……………………8 分因为 11 A B ^平面 11 ADD A ,又 AF Ì平面 11 ADD A , 所以 11 AF A B ^ ,又 1111 = A B A D A I ,所以 11 AF A B D ^平面 ,……………………10 分又 AF Ì平面 AFC ,所以平面 11 A B D ^平面 AFC . ………………12 分 17.【解析】(Ⅰ)由题意知,圆心A 在直线 :40 l x y +-= 上,…………………………1分又圆A 与x 轴、 y 轴都相切,所以圆心A 也在直线 y x = 上, ……………………………………3 分BACDB 1C 1D 1A 1FBCDASPM所以圆心 ( ) 2,2 A ,半径 2 r = ,……………………………5 分所以圆A 的方程为( ) ( ) 22224 x y -+-= ．………………………6 分(Ⅱ) 解法 1:设直线 1 : l y kx = ,因为直线 1 l 将圆 A 的弧长分成1:3的两部分, 所以劣弧所对的圆心角为90 o,……………9 分则圆心A 到直线 1 l 的距离 2cos 4522 2d r ==´= o, ……………………………………12 分 又 222 2 1 k d k- == + ,解得 23 k =± ,所以直线l 的斜率为 23 k =± ． (14)分 解法 2:设直线 1 : l y kx = ,因为直线 1 l 将圆A 的弧长分成1:3的两部分, 所以劣弧所对的圆心角为90 o,……………9 分则圆心A 到直线 1 l 的距离 2cos 4522 2d r ==´= o, ……………………………………12 分 又 22 OA = ,所以OA 与直线l 的夹角为30 o,又直线OA 的倾斜角为45 o ,所以直线l 的倾斜角为75 o 或15 o ,故斜率 tan 7523 k ==+ o 或 tan1523 k ==- o ,所以直线 1 l 的斜率为 23 k =± ……………14 分 18.【解析】(Ⅰ)证明:在直角 PBC D 中, 4 = PC , 3 = BC , 3 : 5 : = DC PD ．所以 5 = PB , 2 5= PD , 23 = DC ．……………………………………1 分又 ° = Ð = Ð 90 C PAD , P P Ð = Ð ,所以 PAD D ∽D PCB ,即 BCADPB PD PC PA = = ． 所以 2 PD PC PA PB × == , 3 = - = PA PB AB , 32PD BC AD PB × == ．而D SAB 中, 2 = = PA SA , 13 = SB ．……………………………………3 分所以 2 2 2SB AB SA = + ,即 AB SA ^ ．………………………………4 分因为AD PB ^ ,所以 AD SA ^ ,又 A AD AB = I ,所以 ^ SA 平面ABCD ． ………6 分 (Ⅱ)解法 1:[传统法]在图 2 中,延长BA 、CD 相交于点P ． 连接SP ,取SP 中点M ,连接 MD MA 、 ,如图．………7 分 又 SA PA = , SD PD = ,所以 SP MA ^ , SP MD ^ ． 所以 AMD Ð 为所求二面角的平面角． …………9 分 又 AD SA ^ , PB AD ^ , A PB SA = I , 所以 ^ AD 平面SPB ,又 Ì MA 平面SPB , 所以 MA AD ^ ．……………………………………11 分在直角 SPA D 中, 2 = = SA PA ,M 为SP 中点,所以 2 2 = SP , 2 = MA ． 在 SPD D 中,由(Ⅰ)知 25= = SD PD ,M 为SP 中点,所以 22 172MD PD PM =-=,xyOP MBAl BC D ASyxz 所以 234cos 17 MA AMP MD Ð== ,即平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值为 1734 2 .……14分 注:若不利用 MA AD ^ 这一结论,也可以利用余弦定理求出 AMP Ð cos .解法 2:[向量法]以A 为原点建立空间直角坐标系 A xyz - 如图所示,…………………………7 分由(Ⅰ)知, 2 = PA , 3 = AB , 23= AD , 2 = SA ,所以 ( ) 0,0,0 A , 3 ,0,0 2 D æöç÷ èø , ( ) 0,0,2 S , 126,,0 55 C æö ç÷ èø, 所以 3 ,0,2 2 SD æö =- ç÷ èø uuu r , 126,,2 55 SC æö =- ç÷ èøuuu r , …………9 分设平面SCD 的法向量为 ( ) ,, x y z = n ,则 SD SC ì ^ ï í ^ ï î uuu r uuu r n n ,即 320 2 126 20 55x z x y z ì -= ï ï í ï +-= ï î ,解得 4 3 x zy zì = ï í ï =- î , 令 1 z = ,得 ( ) 4,3,3 =-n ,…………11 分 显然平面SAB 的一个法向量为 3 ,0,0 2 AD æö= ç÷ èøuuu r ． …………12 分所以 6234cos , 3 17 34 2AD AD AD × <>===× ´ uuu ruuu r uuu r n n n ． …………13分 即平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值为 17342 ．…14 分 19.【解析】(Ⅰ)直线l 与曲线C 相切,则由2 2 10x pyx y ì =- í+-= î 消去 y 并整理得, 2 220 x px p -+= .……3 分 由 ( ) 22420 p p D =-×= ,解得 2 p = ,所以曲线C 的方程为 24 x y =- .…………………………6 分(Ⅱ) 依题意可设 ( ) ( ) 1122 ,, A x y B x y 、 ,显然直线AB 的斜率存在, 设直线AB 的方程为 ( ) 2 y k x =- ,……………7分由 ( )24 2 x y y k x ì =- ï í =- ï î ,消去 y 整理得 2 480 x kx k +-= ,……………………………………………8 分 由韦达定理得 12 4 x x k +=- , 12 8 x x k =- ,…………………………………9分由题意有, 21111 11 4 4x y x k x x - ===- ,同理 2 24 x k =- ,…………………………………10 分 所以 12 12 4 x x k k k + +=-= , 1212162x x k k k ×==- ,…………………………………12分消去k 即有 12 12 2 k k k k + ×=-,即 12122 k k k k + =- , 所以 1 k 、 2 k 满足关系式1211 2 k k +=- ． ……………………………………………14分 20.【解析】(Ⅰ) 设圆C 的半径为r , 9 OC = ,………………1分依题意 821 OC r ++= ,解得 4 r = ,………………3 分所以圆C 的标准方程为:( ) 22916 x y -+= ．………………4 分(Ⅱ) 假设存在符合题意的定点 ( ) 0 ,0 P x ,当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为 ( ) 0 y k x x =- , 即 0 0 kx y kx --= ,………………5 分所以圆心O 到直线l 的距离为 0 1 21 kx h k- =+ ,由垂径定理得, ( ) 22 22 0 22 0111226464 22642 11 k x k x d r h k k -- =-=-= ++ ,………………6 分 同理,圆心C 到直线l 的距离为 0 2 29 1 k kx h k- =+ ,则 ( ) ( ) 2 22 200 022 22222 161865 9 22162 11 k x x k x d r h k k --+ - =-=-= ++ ,………………7 分 由题意有, 1 2 d d l = ,即 ( )( )22 0 1 22 2 00 6464 161865k x dd k x x l -- == --+ ,两边平方得, ( )() 22222000 6464161865 k x k x x l éù --=--+ ëû,整理得,( )() 22222 000 166******** x x x k l l éù -+---+= ëû,………………10 分由于对任意实数k ,上式均成立,故有 ( ) 2 22200016640 6418650 x x x l l ì -= ï í ---+= ï î ,解得 2 l = , 则 200 241080 x x -+= ,解得 06 x = 或 0 18 x = , …………12 分当 0 6 x = 时,考虑直线l 斜率不存在时,此时 1 27 d = , 2 7 d = 也符合题意． (13)分 故存在定点 ( ) 6,0 P 或 ( ) 18,0 P ,使得 1 d , 2 d 的比值总等于同一常数 2 l = ．………………14 分。

XX 中学2014—2015学年度第二学期高 二 级期末考试文科数学科试卷本试卷共 3 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．）（1）设集合{}{}21,0,1,|M N x x x =-==,则M N ⋂=( )（A ）{}1,0,1-（B ）{}0,1（C ）{}1 （D ）{}0（2）复数z ＝1－3i1＋2i，则( )（A ）|z |＝2 （B ）z 的实部为1 （C ）z 的虚部为－i （D ）z 的共轭复数为－1＋i（3）已知函数()f x 是偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，则()3f -=（ ）A ．15-B ．15C ．3-D ．3 （4）执行右面的程序框图，若输出的k ＝2，则输入x 的取值范围是( )（A ）(21，41) （B ）[21，41] （C ）(21，41] （D ）[21，41) （5）已知p ： ∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1≥0，q ：(a －1)2≤1；则p 是q 成立的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）函数f (x )＝(x ＋2)3－(1 2)x的零点所在区间是( )（A ）(－2，－1) （B ）(－1，0) （C ）(0，1) （D ）(1，2)（7）已知向量a=（1, 2），b=（2,3）若（c +a ）∥b ，c ⊥（b +a ），则c=( )（A ）（ 79 ， 73） （B ）（ 73 ， 79 ） （C ）（ 73 ， 79） （D ）（－ 79 ，－ 73）开始 是x ≤81？否 输入x x ＝2x －1结束k ＝0输出k k ＝k ＋1（8）空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )（A ）8＋2 5 （B ）6＋2 5 （C ）8＋2 3（D ）6＋2 3（9）等比数列}{n a 的前321,2,4,a a a S n n 且项和为成等差数列，若a 1=1，则S 4为( )（A ）15 （B ）8 （C ）7 （D ）16（10）已知函数f (x )＝cos (2x ＋π 3)，g (x )＝sin (2x ＋2π3)，将f (x )的图象经过下列哪种变换可以与g (x )的图象重合( ) （A ）向右平移 π12（B ）向左平移 π6（C ）向左平移 π12（D ）向右平移 π6（11）过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF （O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为( )（A ） 2（B ）2（C ） 5（D ） 3（12）给出下列命题:○110.230.51log 32()3<<; ○2函数()lg sin f x x x =-有3个零点; ○3函数1()112++-=ln x xf x x 的图像以原点为对称中心; ○4已知a 、b 、m 、n 、x 、y 均为正数，且a ≠b ，若a 、m 、b 、x 成等差数列，a 、n 、b 、y 成等比数列，则有m> n ，x< y ．其中正确命题的个数是( ) （A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．）（13）某城区有大学生3500人、中学生4000人，小学生4500人，为掌握各类学生的消费情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为300的样本，应抽取中学生 人.（14） 若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x －2y ＋3≥0，y≥x ，则z =x ＋2y 的最小值等于__________.（15）已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x=±，则该双曲线的标准方程为_____。

2015-2016学年第一学期宝安区期末调研测试卷高二理科数学2016.1本试卷共6页，22小题，满分150分•考试用时120分钟.注意事项：1 •答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用 0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自 己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答 题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损2 •选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求 填涂的，答案无效.3 .非选择题必须用 0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先 划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求 作答无效. 4 •作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，满分 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .不等式X 2-2x -5 - 2x 的解集是（)A .| x 亠 5或 x _ -1 匚B .^x | x 5或 x ：：： -1C . ：x|-1 ：： x ：：5；—&—¥■—FD—►.| - 仁 x 二 5』 2.已知向量a =（-1,0,2）,b = （1,1,0），且a kb 与2b -a 相互垂直，则k 值为（ ）2 24.若方程E ：-上 y 1表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为1 -m m -2（） A . 1,2 B .：,1） （2, ：： C . （-：：,2） D . （1,：：）5.在=ABC 中,a = 2、3,b= 2、2,B = 45，则角 A 等于（）7 3 A .B .-553.“ x 2 = y 2”是“ x = y ”的()A .充分不必要条件C .必要不充分条件C .丄D . 15B .充分必要条件D .既不充分也不必要条件A. 30 B . 60 C . 60 或120 D . 30 或1506•已知-14盘,8成等差数列，—1,b ib ,b 3,-4成等比数列，那么 岂空 的值为( )b 255A • 5B • -5C •D •-227.若动点M(x, y)始终满足关系式.x 2 (y 2)^ . x 2 (y-2)2=8，则动点M 的轨迹方程为()2 2 2 2 2 2 2 2xy, xy, xy, xy,A •1 B •1 C •1 D • 116 12 12 16 12 16 16 128 •已知等差数列:a n [的前n 项和S n ,且满足S n 1 =n 2 -n -2,则a ^：()A • 4B • 2C • 0D • -2x - y _ 09•已知x, y 满足约束条件《x + yE2，若z = x + ay 的最大值为4,则a=()、y 兰0A • 3B • 2C • -2D • -310 •在 ABC 中，a =2,c =1，则角C 的取值范围是()(八31A •陀丿B • —,—<6 3 .丿C •—,— 丨 <6 2丿D • (0,611 •已知直线l :^kx 2k 1与抛物线C : y 2 = 4x ，若I 与C 有且仅有一个公共点，则实数k 的取值集合为()尸r f1 IA • J -1,- >B • {-1,。

2015-2016学年浙江省普通高中高二（上）学业水平测试数学试卷一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．（3分）函数f（x）=3的定义域为（）A．（﹣∞，0）B．[0，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，2）2．（3分）下列数列中，构成等比数列的是（）A．2，3，4，5 B．1，﹣2，﹣4，8 C．0，1，2，4 D．16，﹣8，4，﹣2 3．（3分）任给△ABC，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式成立的是（）A．c2=a2+b2+2abcosC B．c2=a2+b2﹣2abcosCC．c2=a2+b2+2absinC D．c2=a2+b2﹣2absinC4．（3分）如图，某简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成，则该组合体三视图的俯视图为（）A． B．C．D．5．（3分）要得到余弦曲线y=cosx，只需将正弦曲线y=sinx向左平移（）A．个单位B．个单位C．个单位D．个单位6．（3分）在平面直角坐标系中，过点（0，1）且倾斜角为45°的直线不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（3分）已知平面向量=（1，x），=（y，1）．若∥，则实数x，y一定满足（）A．xy﹣1=0 B．xy+1=0 C．x﹣y=0 D．x+y=08．（3分）已知{a n}（n∈N*）是以1为首项，2为公差的等差数列．设S n是{a n}的前n项和，且S n=25，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．69．（3分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F．若F到直线y=x的距离为，则p=（）A．2 B．4 C．2 D．410．（3分）在空间直角坐标系Oxyz中，若y轴上点M到两点P（1，0，2），Q （1，﹣3，1）的距离相等，则点M的坐标为（）A．（0，1，0）B．（0，﹣1，0）C．（0，0，3）D．（0，0，﹣3）11．（3分）若实数x，y满足，则y的最大值为（）A．B．1 C．D．12．（3分）设a＞0，且a≠1，则“a＞1”是“log a＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点．设AM与平面BB1D1D的交点为O，则（）A．三点D1，O，B共线，且OB=2OD1B．三点D1，O，B不共线，且OB=2OD1C．三点D1，O，B共线，且OB=OD1D．三点D1，O，B不共线，且OB=OD114．（3分）设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=（）A．3 B．C．D．15．（3分）在空间中，设l，m为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊂α，m不平行于l，则m不平行于αB．若l⊂α，m⊂β，且α，β不平行，则l，m不平行C．若l⊂α，m不垂直于l，则m不垂直于αD．若l⊂α，m⊂β，l不垂直于m，则α，β不垂直16．（3分）设a，b，c∈R，下列命题正确的是（）A．若|a|＜|b|，则|a+c|＜|b+c|B．若|a|＜|b|，则|a﹣c|＜|b﹣c|C．若|a|＜|b﹣c|，则|a|＜|b|﹣|c|D．若|a|＜|b﹣c|，则|a|﹣|c|＜|b| 17．（3分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，l1，l2为双曲线的两条渐近线．设过点M（b，0）且平行于l1的直线交l2于点P．若PF1⊥PF2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．18．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，线段AD，BD的中点分别为E，F．现将△ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是（）A．（，） B．（，]C．（，]D．（，）二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．（6分）设，为平面向量．若=（1，0），=（3，4），则||=，•=．20．（3分）设全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，则A的补集∁U A=．21．（3分）在数列{a n}（n∈N*）中，设a1=a2=1，a3=2．若数列{}是等差数列，则a6=．22．（3分）已知函数f（x）=，g（x）=ax+1，其中a＞0．若f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（10分）已知函数f（x）=2sinxcosx，x∈R．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求函数g（x）=f（x）+f（x+）的最大值．24．（10分）设F1，F2分别是椭圆C：+y2=1的左、右焦点，过F1且斜率不为零的动直线l与椭圆C交于A，B两点．（Ⅰ）求△AF1F2的周长；（Ⅱ）若存在直线l，使得直线F2A，AB，F2B与直线x=﹣分别交于P，Q，R 三个不同的点，且满足P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程．25．（11分）已知函数f（x）=ax++，a∈R．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）当a＜2时，证明：函数f（x）在（0，1）上单调递减；（Ⅲ）若对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），不等式（x﹣1）[f（x）﹣]≥0恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年浙江省普通高中高二（上）学业水平测试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．（3分）函数f（x）=3的定义域为（）A．（﹣∞，0）B．[0，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，2）【解答】解：要使函数f（x）=3有意义，可得x﹣2≥0，解得x≥2．函数的定义域为：[2，+∞）．故选：C．2．（3分）下列数列中，构成等比数列的是（）A．2，3，4，5 B．1，﹣2，﹣4，8 C．0，1，2，4 D．16，﹣8，4，﹣2【解答】解：由等比数列的定义以及性质可知，A，B，C都不是等比数列．故选：D．3．（3分）任给△ABC，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式成立的是（）A．c2=a2+b2+2abcosC B．c2=a2+b2﹣2abcosCC．c2=a2+b2+2absinC D．c2=a2+b2﹣2absinC【解答】解：式子c2=a2+b2﹣2abcosC符合余弦定理，正确；故选：B．4．（3分）如图，某简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成，则该组合体三视图的俯视图为（）A． B．C．D．【解答】解：简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成，左侧是圆锥，右侧是圆柱，俯视图为：三角形与矩形组成，故选：D．5．（3分）要得到余弦曲线y=cosx，只需将正弦曲线y=sinx向左平移（）A．个单位B．个单位C．个单位D．个单位【解答】解：∵cosx=sin（x﹣）∴余弦函数y=cosx的图象可看作正弦y=sinx图象向左平移个单位得到．故选：A6．（3分）在平面直角坐标系中，过点（0，1）且倾斜角为45°的直线不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：过点（0，1）且倾斜角为45°的直线为y﹣1=x，即x﹣y+1=0，当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0过第一，二，三象限，不过第四象限，故选：D．7．（3分）已知平面向量=（1，x），=（y，1）．若∥，则实数x，y一定满足（）A．xy﹣1=0 B．xy+1=0 C．x﹣y=0 D．x+y=0【解答】解：平面向量=（1，x），=（y，1）．若∥，则xy=1．即xy﹣1=0．故选：A．8．（3分）已知{a n}（n∈N*）是以1为首项，2为公差的等差数列．设S n是{a n}的前n项和，且S n=25，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：S n=25=n+，化为n2=25，解得n=5．故选：C．9．（3分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F．若F到直线y=x的距离为，则p=（）A．2 B．4 C．2 D．4【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0）．F到直线y=x的距离为，可得：=，解得p=4．故选：B．10．（3分）在空间直角坐标系Oxyz中，若y轴上点M到两点P（1，0，2），Q （1，﹣3，1）的距离相等，则点M的坐标为（）A．（0，1，0）B．（0，﹣1，0）C．（0，0，3）D．（0，0，﹣3）【解答】解：根据题意，设点M（0，y，0），∵|MP|=|MQ|，∴=，即y2+5=y2+6y+11，∴y=﹣1，∴点M（0，﹣1，0）．故选：B．11．（3分）若实数x，y满足，则y的最大值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：做出直线y=x，y=x与圆（x﹣1）2+y2=1的图象，得出不等式组对应的可行域，如图阴影部分所示，根据题意得：y的最大值为1，故选：B．12．（3分）设a＞0，且a≠1，则“a＞1”是“log a＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵log a＜1=log a a，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0＜a＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a＜，综上可知a的取值是（0，）∪（1，+∞），故“a＞1”是“log a＜1”的充分不必要条件，故选：A．13．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点．设AM与平面BB1D1D的交点为O，则（）A．三点D1，O，B共线，且OB=2OD1B．三点D1，O，B不共线，且OB=2OD1C．三点D1，O，B共线，且OB=OD1D．三点D1，O，B不共线，且OB=OD1【解答】解：【解法一】如图1，连接AD1，BC1，利用公理2可直接证得，并且由D1M∥AB且D1M=AB，∴OD1=BO，∴D1，O，B三点共线，且OB=2OD1．【解法二】以正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，DA所在的直线为x 轴，DC所在的直线为y轴，DD1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），M（0，，1）；设点O（x，x，z），∴=（x﹣1，x，z），=（﹣1，，1）；又与共线，∴=λ，∴（x﹣1，x，z）=（﹣λ，λ，λ），即，解得，∴点O（，，）；∴=（﹣，﹣，），又=（﹣1，﹣1，1），∴=，∴D1，O，B三点共线，且OB=2OD1．故选：A．14．（3分）设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=（）A．3 B．C．D．【解答】解：设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）若ab的最大值为3，则2≤2，当ab=3时：=1，解得：λ=，故选：D．15．（3分）在空间中，设l，m为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊂α，m不平行于l，则m不平行于αB．若l⊂α，m⊂β，且α，β不平行，则l，m不平行C．若l⊂α，m不垂直于l，则m不垂直于αD．若l⊂α，m⊂β，l不垂直于m，则α，β不垂直【解答】解：若l⊂α，m不平行于l，则m⊂α，m平行于α，m与α相交都有可能，故不正确；若l⊂α，m⊂β，且α，β不平行，则l，m可以与交线平行，故不正确；若l⊂α，m不垂直于l，则m不垂直于α，利用反证法可得正确；若l⊂α，m⊂β，l不垂直于m，α，β垂直时也成立，故不正确．故选：C．16．（3分）设a，b，c∈R，下列命题正确的是（）A．若|a|＜|b|，则|a+c|＜|b+c|B．若|a|＜|b|，则|a﹣c|＜|b﹣c|C．若|a|＜|b﹣c|，则|a|＜|b|﹣|c|D．若|a|＜|b﹣c|，则|a|﹣|c|＜|b|【解答】解：根据不等式的基本性质，对各选项考察如下：对于A选项：若|a|＜|b|，不一定有|a+c|＜|b+c|成立，如a=﹣2，b=3，c=﹣1，此时|a+c|＞|b+c|，故A不正确；对于B选项：若|a|＜|b|，不一定有|a﹣c|＜|b﹣c|成立，如a=﹣2，b=3，c=1，此时|a﹣c|＞|b﹣c|，故B不正确；对于C选项：若|a|＜|b﹣c|，不一定有|a|＜|b|﹣|c|，如a=2，b=2，c=﹣3，此时|a|＞|b|﹣|c|，故C不正确；对于D选项：若|a|＜|b﹣c|，则必有|a|﹣|c|＜|b|成立，因为，|a|＜|b﹣c|≤|b|+|c|，所以，|a|﹣|c|＜|b|，故D正确．故答案为：D．17．（3分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，l1，l2为双曲线的两条渐近线．设过点M（b，0）且平行于l1的直线交l2于点P．若PF1⊥PF2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可得F1（﹣c，0）、F2（c，0），双曲线的渐近线为：y=x，直线PM的方程为：y=﹣（x﹣b），联立，可得x=，∴P（，）∴=（+c，），=（﹣c，）∵PF1⊥PF2，∴•=0，∴（+c，）•（﹣c，）=0∴=0∴b2=4a2，∴c2=5a2，∴e==，故选：B．18．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，线段AD，BD的中点分别为E，F．现将△ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是（）A．（，） B．（，]C．（，]D．（，）【解答】解：可设菱形的边长为1，则BE=CF=，BD=1；线段AD，BD的中点分别为E，F；∴，=；∴===；∴=；由图看出；∴；∴；即异面直线BE与CF所成角的取值范围是．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．（6分）设，为平面向量．若=（1，0），=（3，4），则||=1，•= 3．【解答】解：||==1，•=1×3+0×4=3．故答案1，3．20．（3分）设全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，则A的补集∁U A={4} ．【解答】解：∵全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，∴∁U A={4}，故答案为：{4}21．（3分）在数列{a n}（n∈N*）中，设a1=a2=1，a3=2．若数列{}是等差数列，则a6=120．【解答】解：∵数列{}是等差数列，∴公差d=．则．则，…．累积得：，∴a6=120．故答案为：120．22．（3分）已知函数f（x）=，g（x）=ax+1，其中a＞0．若f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是（0，1）．【解答】解：f（x）=，（1）若a＜0，作出f（x）和g（x）的图象如图，显然f（x）与g（x）只有一个交点．（2）若a=0，作出f（x）和g（x）的图象如图，显然f（x）与g（x）只有一个交点．（3）若a＞1，作出f（x）和g（x）的图象如图，显然f（x）与g（x）只有一个交点．（4）若0＜a＜1，作出f（x）和g（x）的图象如图，显然f（x）与g（x）有两个交点．（5）若a=1，作出f（x）和g（x）的图象如图，显然f（x）与g（x）只有一个交点．综上，a的取值范围是（0，1）．故答案为（0，1）．三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（10分）已知函数f（x）=2sinxcosx，x∈R．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求函数g（x）=f（x）+f（x+）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（）=2sin cos=1，（Ⅱ）∵f（x）=sin2x，∴函数f（x）的最小正周期为T==π，（Ⅲ）∵g（x）=sin2x+sin（2x+）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴当x=k，k∈Z时，函数g（x）的最大值为．24．（10分）设F1，F2分别是椭圆C：+y2=1的左、右焦点，过F1且斜率不为零的动直线l与椭圆C交于A，B两点．（Ⅰ）求△AF1F2的周长；（Ⅱ）若存在直线l，使得直线F2A，AB，F2B与直线x=﹣分别交于P，Q，R 三个不同的点，且满足P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的长轴长2a=2，焦距2c=2．又由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a所以△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=2+2（Ⅱ）由题意得l不垂直两坐标轴，故设l的方程为y=k（x+1）（k≠0）于是直线l与直线x=﹣交点Q的纵坐标为y Q=设A（x1，y1），B（x2，y2），显然x1，x2≠1，所以直线F2A的方程为y=（x﹣1）故直线F2A与直线x=﹣交点P的纵坐标为y P=同理，点R的纵坐标为y R=因为P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，所以|y P|•|y R|=|y Q|2即|×|=整理得9|x1x2+（x1+x2）+1|=|x1x2﹣（x1+x2）+1|．（*）联立y=k（x+1）与椭圆方程，消去y得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0所以x1+x2=，x1x2=代入（*）化简得|8k2﹣1|=9解得k=±经检验，直线l的方程为y═±（x+1）．25．（11分）已知函数f（x）=ax++，a∈R．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）当a＜2时，证明：函数f（x）在（0，1）上单调递减；（Ⅲ）若对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），不等式（x﹣1）[f（x）﹣]≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：∵f（﹣x）=﹣ax=﹣（ax++）=﹣f（x），又∵f（x）的定义域为{x∈R|x≠﹣1且x≠1}，∴函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）证明：任取x1，x2∈（0，1），设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（x1﹣x2）+==．∵0＜x1＜x2＜1，∴2（x1x2+1）＞2，0＜（x12﹣1）（x22﹣1）＜1，∴＞2＞a，∴a﹣＜0．又∵x1﹣x2＜0，∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）在（0，1）上单调递减；（Ⅲ）解：∵（x﹣1）[f（x）﹣]=（x﹣1）[ax]==．∴不等式（x﹣1）[f（x）﹣]≥0恒成立化为不等式ax2（x2﹣1）+2≥0对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立．令函数g（t）=at2﹣at+2，其中t=x2，t＞0且t≠1．①当a＜0时，抛物线y=g（t）开口向下，不合题意；②当a=0时，g（t）=2＞0恒成立，∴a=0符合题意；③当a＞0时，∵g（t）=a（t﹣）2﹣+2．∴只需﹣+2≥0，即0＜a≤8．综上，a的取值范围是0≤a≤8．。

2015年下学期高二理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．１．已知{}n a 是等比数列，2512,4a a =-=，则公比q = A A ．12- B ．－2 C ．2 D ．12 ２. 曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是 DA ．74y x =+B ．4y x =-C ．72y x =+D ．2y x =-3. 由曲线2y x =，3y x =围成的封闭图形的面积为A A ．112B 。

14C 。

13D 。

7124. 设两个实数变量,x y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩错误!未找到引用源。

则目标函数5z x y =+的最大值为 DA. 2 错误!未找到引用源。

B. 3 C. 4 D. 55. 已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两个焦点，过点2F 的直线交椭圆于点 错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，若 错误!未找到引用源。

，则 错误!未找到引用源。

的值为 CA. 9B. 10C. 11D. 166. 已知3()f x x ax =-在[)1,+∞上不是单调函数，则a 的取值范围是 CA ．]3,(-∞B ．(,3)-∞C ．(3,)+∞D ．),3[+∞7. 已知,,,a b c d 是实数，且a b >，则“c d >” 是“a c b d +>+” BA ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．非充分非必要条件8. 已知 错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，,,,x a b y 成等差数列，错误!未找到引用源。

成等比数列，则2()a b cd+ 的最小值是 D A. 0 B. 1C. 2D. 4 9. 已知0a >，函数2()f x ax bx c =++。

0x 满足方程20ax b +=，则下列选项的命题中为假命题的是 CA. 0,()(x )x R f x f ∃∈≤ B 。

2015～2016学年度第一学期高二阶段性测试一数学试题十月 时间：120分钟 分数：150分一．选择题：（每小题5分，共10题）1. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30° C ．a=1,b=2,∠A=100° D ．b=c=1, ∠B=45°2.在等比数列}{n a 中，如果公比1>q ，那么等比数列}{n a 是A.递增数列B.递减数列C.常数列D.递增数列或递减数列都有可能 3.在ABC ∆中，若0cos cos =-B b A a ，则ABC ∆的形状A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 4.函数),0(32)(2<+-=x xx x x f 取得最大值为 A.232-- B.322- C.232- D.232+5. 若{a n }是等差数列，首项01>a 054>+a a ，054<⋅a a ，则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 的值为( )．A ．4B ．5C ．7D ．86. 如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．)22(，-B ．（－2，0）C ．（－2，1）D ．（0，1） 7. 在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一行成等差数列，每一列成等比数列，则a b +的值为A ．1B ．1716C ．1916D ．988. 对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题： ①若a b >，0c ≠，则ac bc >； ②若a b >，则22ac bc >； ③若22ac bc >，则a b >； ④若a b >，则11a b<中，真命题为 A. ①B. ②C. ③D. ④9. 已知ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则三角形的周长是 A.9 B.12 C. 15D. 1810.张先生从2005年起，每年1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率为r 保持不变，且 每年到期存款自动转为新的一年定期，那么到2012年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取 回的钱数为(单位为元)A.)]1()1[(8r r r a +-+ B.)]1()1[(7r r ra+-+ C.7)1(r a + D ．8)1(r a + 二．填空题（每小题5分，共5题）11. 不等式x x≤1的解集是12. 不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是13. 数列}{n a 的前n 项和为21n S n n =++,()1nn n b a =-，n N *∈则数列}{n b 的前50项的和为14.等差数列{}n a 中，若468101250a a a a a ++++=，则10143a a -的值为 ． 15.如图，一艘轮船按照北偏西︒40的方向以30海里每小时的速度航行，一个灯塔原来在轮船的北偏东︒20方向上，经过40分钟后，灯塔在轮船的北偏东︒65方向上，则灯塔和轮船原来的距离为 ．16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知0cos )sin 3(cos cos =-+B A A C . （Ⅰ） 求角B 的大小；（Ⅱ） 若4,13=+=c a b ，求△ABC 的面积.17.（本小题满分12分）（1）不等式0252>-+x ax 解是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ，解不等式01522>-+-a x ax ；（2）求不等式4212≥++-x x 的解集18.(本小题满分12分)设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=. （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．19.（本小题满分12分）若a 为实数，解关于x 的不等式02)2(2<--+x a ax20. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a b c 、、，且22265a c b ac +-=．(1)求22sin sin 22A CB ++的值；(2)若2b =，求ABC ∆面积的最大值．21.（本小题满分14分）}{na 是首项14a=的等比数列，且3S ，2S ，4S 成等差数列．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若2log n n b a =，设n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和，若n T ≤1n b λ+对一切*n N∈恒成立，求实数λ的最小值．答案DDDAD;DDCCA一、[)[)1,1,0+∞⋃-;(]2,2-;49;20;10+16解（1）0cos )sin 3(cos )cos(=-++-B A A B A0cos sin 3sin sin =-∴B A B A 3tan =∴B 3π=∴B（2）2121322acc a-+= =ac c a 3)(2-+1=∴ac∴S=43 17解a 525-= 2-=∴a03522<-+∴x x ∴不等式的解集是3(-，)21（2）1.当21≥x 时1≥x2．当212<≤-x 时 21x -≤≤- 3.当2-<x 时2-<x∴不等式的解集是(],1-∞-[)1,⋃+∞18解：2,2==q d12,12-=-=∴n n n b n a 12326-+-=n n n s 19解：0)2)(1(<-+ax x 1. 当0>a 时ax 21<<- 2. 当0=a 时 1->x3. 当02<<-a 时1->x 或ax 2<4. 当2-=a 时1-≠x 5. 当2-<a 时ax 2>或1-<x 20解：（1）ac B ac 56cos 2=53cos =∴B 25422sin 2sin 22=++∴B C A（2）532422acc a-+= ac 54≥2≤∴S21解(1)1)2(4--⋅=n n a(2)1+=n b n2121+-=n T n 2182(2)28n n n nλ≥=+++ 116λ∴≥λ∴的最小值是116。

9 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(九)一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1. 已知集合A ＝{0，2，4， }6，集合B ＝{2，4，5， }6，则A∩B 等于( ) A. {0，2，4， }6 B. {2，4， }6 C. {0， }5 D. {0，2，4， }52. 2sin π12·cos π12的值为( ) A. 12 B. 22 C. 32 D. 13. 与函数y ＝x 有相同图象的一个函数是( ) A. y ＝x2 B. y ＝x2xC. y ＝alogax(a>0，a ≠1)D. y ＝logaax(a>0，a ≠1) 4. 函数y ＝1－ln x 的定义域为( )A. (0， ]eB. (－∞， ]eC. (0， ]10D. (－∞， ]10(第5题)5. 已知某几何体的三视图(单位： cm)如图所示，则该几何体的体积是( ) A. 108 cm3 B. 100 cm3 C. 92 cm3 D. 84 cm36. 直线3x －y ＋1＝0的倾斜角为( ) A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°7. 当x>1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. (－∞，2]B. [2，＋∞)C. [3，＋∞)D. (－∞，3] 8. 下列命题错误的是( )A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ9. 三个数a ＝30.7，b ＝0.73，c ＝log30.7的大小顺序为( ) A. b<c<a B. b<a<c C. c<a<b D. c<b<a10. 有下列函数：①f(x)＝x 12， ②f(x)＝x 23，③f(x)＝cos x ，④f(x)＝x ，其中偶函数的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个11. 如果一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A. 163π B. 323π C. 16π D. 24π12. 函数y ＝4sin 2x(x ∈R)是( )A. 周期为2π的奇函数B. 周期为2π的偶函数C. 周期为π的奇函数D. 周期为π的偶函数13. 已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3，则2x ＋4y 的最小值为( )A. 6B. 12C. －6D. －114. 已知α，β都是锐角，sin α＝45，cos (α＋β)＝513，则sin β的值为( ) A. 1665 B. 5665 C. 865 D. 476515. 已知点(33，39)在幂函数y ＝f(x)的图象上，则f(x)的解析式是( ) A. f(x)＝3x B. f(x)＝x3 C. f(x)＝x －2 D. f(x)＝(12)x16. 已知向量a ＝(4，x)，b ＝(x ，4)，若a ，b 平行且反向，则x 的值为( ) A. 0 B. －4 C. 4 D. x ∈R17. 在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝( ) A. 9 B. 12 C. 15 D. 1818. 给出下列命题，其中正确命题的序号是( ) ①零向量的长度为零，方向是任意的； ②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ； ③向量AB →与向量BA →相等；④若非零向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线． A. ① B. ② C. ①③ D. ①④19. 已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P ＝a3＋a92，Q ＝a5·a7，则P 与Q 的大小关系是( )A. P>QB. P<QC. P ＝QD. 无法确定20. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为( )A. ⎝⎛⎭⎫14，12B. ⎝⎛⎭⎫－14，0C. ⎝⎛⎭⎫0，14D. ⎝⎛⎭⎫12，3421. 若一元二次不等式ax2＋bx ＋2>0的解集为(－12，13)，则a ＋b 的值是( ) A. 10 B. －10 C. 14 D. －1422. 若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与直线3x －y ＋1＝0平行，则此双曲线的离心率是( ) A. 3 B. 2 2 C. 3 D. 1023. “关于的不等式x2－2ax ＋a>0的解集为R”是“0≤a≤1”( ) A. 必要不充分条件 B. 充要条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件(第24题)24. 如图，Rt △ABC 的斜边AB ＝22，O 为斜边AB 的中点．若P 为线段OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·CP →的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. 225. 若M 是y2＝x 上的动点，N 是圆(x ＋1)2＋(y －4)2＝1关于直线x －y ＋1＝0的对称曲线C 上的一点，则|MN|的最小值是( ) A. 112－1 B. 102－1 C. 2 D.3－1二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)26. 命题 “对任意x ∈R ，都有x2＋1≥2x”的否命题是__________________．27. 若集合A ＝{－1，1}，B ＝{x|ax ＝1}，且B ⊆A ，则实数a 的取值集合为________． 28. 设函数y ＝x2－4x ＋3，x ∈[－1，4]，则f(x)的最大值为________．29. 已知双曲线x24－y2b2＝1的右焦点与抛物线y2＝45x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于________．30. 已知点P ，直线a ，b ，c 以及平面α，β，给出下列命题：①若a ，b 与α成等角，则a ∥b ；②若α∥β，c ⊥α，则c ⊥β；③若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α；④若α⊥β，a ∥α，a ⊥β；⑤若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b 或a ，b 异面直线．其中错误命题的序号是________．三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)31. (本题7分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin2B ＋sin2C ＝sin2A ＋sinBsinC ，且AC →·AB →＝4，求△ABC 的面积S.32. (本题7分，有A 、B 两题，任选其中一题完成，两题都做，以A 题计分)(A)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC 1∥平面CDB1.,[第32题(A)]),[第32题(B)])(B)长方形ABCD中，AB＝23，BC＝2，沿对角线AC将△DAC折起，使D点到P点的位置，且二面角P－AC－B为直二面角．(1)求PB长；(2)求三棱锥P－ABC外接球的表面积；(3)求二面角A－PB－C的余弦值．33. (本题8分)设函数f(x)＝|x2－4x －5|，x ∈[－2，6]．(第33题)(1)画出函数f(x)的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求不等式f(x)≤5的解集．34. (本题8分)已知圆C1的方程为(x ＋1)2＋y2＝18，圆C2的方程为(x －1)2＋y2＝错误!，动圆M 与C1外切且与C2内切． (1)求动圆圆心M 的轨迹方程；(2)过点P(m ，0)作直线l 交轨迹M 于A ，B 两点，若OS →＝OA →＋OB →，且四边形OASB 的对角线长相等，求m 的范围．9 2014高中学业水平考试《数学》模拟试卷(九) 1. B 2. A 3. D 4. A 5. B 6. C 7. D 8. B9. D 10. C 11. B 12. C 13. C 14. A 15. B 16. B 17. A 18. A 19. A 20. A 21. D 22. D 23. C24. A [解析：∵PA →＋PB →＝2PO →， ∴(PA →＋PB →)·CP →＝2PO →·CP →＝2||PO →||CP→.又∵||PO →＋||CP →＝2≥2||PO →·||CP →，∴|PO →|||CP →≤12，故选A.]25. A [解析：已知圆(x ＋1)2＋(y －4)2＝1关于直线x －y ＋1＝0的对称曲线C ：(x －3)2＋y2＝1，其中圆心坐标为C(3，0)，r ＝1.设N(x0，y0)(其中y02＝x0)，故||MN min＝d 心距－r ＝（x0－3）2＋y02－1＝（x0－3）2＋x0－1＝x02－5x0＋9－1＝112－1(x ＝52)．] 26. ∃x ∈R ，x2＋1<2x 27. {0，1，－1} 28. 829. 1 [提示：由已知得焦点F(5，0)，所以双曲线的c ＝5，则 b ＝1，故渐近线的方程为x－2y ＝0，∴d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪55＝1.]30. ①③④ [解析：①a 与b 可以平行、相交、异面；③b ∥a 或⊂α；④a 与β可以垂直、可以平行、也可以相交．]31. 解：由已知得b2＋c2＝a2＋bc ，∴bc ＝b2＋c2－a2＝2bccosA ，∴cosA ＝12，sinA ＝32.由AC →·AB →＝4，得bccosA ＝4，∴bc ＝8，∴S ＝12bcsinA ＝2 3.[第32题(A)]32. (A)证明：(1)直三棱柱ABC －A1B1C1，底面三边长AC ＝3，BC ＝4AB ＝5，∴ AC ⊥BC.又∵AC ⊥C ，∴ AC ⊥平面BCC1，∴ AC ⊥BC1.(2)设CB1与C1B 的交点为E ，连接DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC1的中点，∴ DE ∥AC1.∵ DE ⊂平面CDB1，∴ AC1∥平面CDB1.[第32题(B)](B)解：(1)10. (2)AC 的中点即为外接球球心，球半径R ＝2，S 球＝16π. (3)在平面图中，过D 作DE 垂直于AC ，垂足为E ，延长交AB 于H ，…，以EH 为x 轴，EC 为y 轴，EP 为z 轴建立空间直角坐标系(如图)，易得：P(0，0，3)，A(0，－1，0)，B(3，2，0)，C(0，3，0)．设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，PA →＝(0，－1，－3)，PB →＝(3，2，－3)，则⎩⎪⎨⎪⎧PA →·n ＝0，PB →·n ＝0，⇒⎩⎨⎧－y －3z ＝0，3x ＋2y －3z ＝0，令z ＝1，得n ＝(3，－3，1)，设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，CP →＝(0，－3，3)，CB →＝(3，－1，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧CP →·m ＝0CB →·m ＝0⇒⎩⎨⎧－3y ＋3z ＝0，3x －y ＝0.令x ＝1，得m ＝(1，3，3)．设二面角A －PB －C 的平面角为θ，则cos θ＝n·m|n|·|m|＝3×1＋（－3）×3＋1×313×13＝313.33. 解：(1)如下图所示．[第33题](2)f(x)在(－∞，－1]和[2，5]上单调递减，在[－1，2]和[5，＋∞)上单调递增．(3)方程f(x)＝5的解分别是2－14和0，2＋14，观察图象可得f(x)≤5的解集是[2－14，0]∪[4，2＋14]．34. 解：(1)x22＋y2＝1.(2)设l ：x ＝ty ＋m ，代入x22＋y2＝1，得 (t2＋2)y2＋2tmy ＋m2－2＝0， Δ>0⇒t2>m2－2，由韦达定理得y1＋y2＝－2tm ，y1y2＝m2－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由条件知，OA →⊥OB →，得x1x2＋y1y2＝0，即(t2＋1)y1y2＋tm(y1＋y2)＋m2＝0⇒t2＝32m2－1.由⎩⎨⎧32m2－1>m2－2，32m2－1≥0⇒m ∈(－∞，－233]∪[233，＋∞)．。

2015-2016学年河北省衡水中学高二（下）二调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数f（x）=e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=2e（x﹣1） B．y=ex﹣1 C．y=e（x﹣1）D．y=x﹣e2．已知，，，…，若（a，b∈R），则（）A．a=5，b=24 B．a=6，b=24 C．a=6，b=35 D．a=5，b=353．（x2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）A．﹣B． +C．D．4．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）≥k2成立时，总可推出f （k+1）≥（k+1）2成立”，那么，下列命题总成立的是（）A．若f（1）＜1成立，则f（10）＜100成立B．若f（3）≥9成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k2成立C．若f（2）＜4成立，则f（1）≥1成立D．若f（4）≥16成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k2成立5．某人进行了如下的“三段论”推理：如果f′（x0）=0，则x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．你认为以上推理的（）A．小前提错误B．大前提错误C．推理形式错误 D．结论正确6．给出以下数阵，按各数排列规律，则n的值为（）A．66 B．256 C．257 D．3267．已知点列如下：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，1），P4（1，3），P5（2，2），P6（3，1），P7（1，4），P8（2，3），P9（3，2），P10（4，1），P11（1，5），P12（2，4），…，则P60的坐标为（）A．（3，8）B．（4，7）C．（4，8）D．（5，7）8．如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，（n=1、2、3、…）则在第n个图形中共有（）个顶点．A．（n+1）（n+2） B．（n+2）（n+3） C．n2D．n9．已知定义在R上的可导函数f（x）满足：f′（x）+f（x）＜0，则与f（1）（e是自然对数的底数）的大小关系是（）A．＞f（1）B．＜f（1）C．≥f（1）D．不确定10．已知a、b、c是△ABC的三边长，A=，B=，则（）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B11．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）（x∈R）是偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[0，2]时，f（x）=1﹣x，则方程f（x）=在区间[﹣10，10]上的解的个数是（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知x为实数，复数z=（x2+x﹣2）+（x2+3x+2）i为纯虚数，则x=．14．=．15．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f （x）的“拐点”．某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f（x）=x3﹣x2+3x﹣，根据这一发现，可求得f（）+f（）+…+f（）=．16．已知，g（x）=f（x）﹣x﹣b有且仅有一个零点时，则b的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数（e是自然对数的底数，e≈2.71）．（1）当a=﹣15时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间上是增函数，求实数的取值范围．18．已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R，都满足f（a•b）=af（b）+bf（a），若f（）=1，a n=．（1）求f（）、f（）、f（）的值；（2）猜测数列{a n}通项公式，并用数学归纳法证明．19．我校70校庆，各届校友纷至沓来，高73级1班共来了n位校友（n＞8且n∈N*），其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”（Ⅰ）若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；（Ⅱ）当n=12时，设选出的2位校友中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和Eξ．20．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x万元，且每万件国家给予补助2e﹣﹣万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数）（Ⅰ）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式（Ⅱ）当月产量在[1，2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）21．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：△PF2Q的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．22．已知函数f（x）=（x＞0）．（1）试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；（2）若f（x）＞恒成立，求整数k的最大值；（3）求证：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3．2015-2016学年河北省衡水中学高二（下）二调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数f（x）=e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=2e（x﹣1） B．y=ex﹣1 C．y=e（x﹣1）D．y=x﹣e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出函数f（x）=e x lnx的导数，再利用导数求出切线的斜率，再求出切点坐标，最后用点斜式方程即可得出答案．【解答】解：函数f（x）=e x lnx的导数为f′（x）=e x lnx+e x，∴切线的斜率k=f′（1）=e，令f（x）=e x lnx中x=1，得f（1）=0，∴切点坐标为（1，0），∴切线方程为y﹣0=e（x﹣1），即y=e（x﹣1）．故选：C．2．已知，，，…，若（a，b∈R），则（）A．a=5，b=24 B．a=6，b=24 C．a=6，b=35 D．a=5，b=35【考点】归纳推理．【分析】由题意可以找出相应的规律，问题得以解决．【解答】解：∵，，，…∴，，…，∵，∴a=6，b=a2﹣1=35，故选：C．3．（x2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）A．﹣B． +C．D．【考点】定积分在求面积中的应用；二项式系数的性质．【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．【解答】解：因为（x2+）6展开式的常数项是15，所以=15，解得a=2，所以曲线y=x2和圆x2+y2=2的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为==﹣．故选：A．4．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）≥k2成立时，总可推出f （k+1）≥（k+1）2成立”，那么，下列命题总成立的是（）A．若f（1）＜1成立，则f（10）＜100成立B．若f（3）≥9成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k2成立C．若f（2）＜4成立，则f（1）≥1成立D．若f（4）≥16成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k2成立【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，根据条件，不等式的性质只对大于等于号成立，所以A错误．B当f（3）≥9成立，无法推导出f（1），f（2）错误．C．若f（1）≥1成立，则得到f（2）≥4，D由条件可知D正确．【解答】解：A．由条件可知不等式的性质只对大于等于号成立，所以A错误．B．当f（3）≥9成立，无法推导出f（1），f（2），所以B错误．C．若f（1）≥1成立，则得到f（2）≥4，与f（2）＜4矛盾，所以错误．D．若f（4）≥16成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k2成立，正确．故选D．5．某人进行了如下的“三段论”推理：如果f′（x0）=0，则x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．你认为以上推理的（）A．小前提错误B．大前提错误C．推理形式错误 D．结论正确【考点】演绎推理的意义．【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．【解答】解：对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，而大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，∴大前提错误，故选B．6．给出以下数阵，按各数排列规律，则n的值为（）A．66 B．256 C．257 D．326【考点】归纳推理．【分析】由表中的数字关系可知，5=2×2+1，16=3×5+1，65=4×16+1，得到n=16×16+1=257．【解答】解：因为5=2×2+1，16=3×5+1，65=4×16+1，所以n=16×16+1=257，故选：C．7．已知点列如下：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，1），P4（1，3），P5（2，2），P6（3，1），P7（1，4），P8（2，3），P9（3，2），P10（4，1），P11（1，5），P12（2，4），…，则P60的坐标为（）A．（3，8）B．（4，7）C．（4，8）D．（5，7）【考点】数列的应用．【分析】设P（x，y），分别讨论当x+y=2，3，4时各有几个点，便可知当x+y=n+1时，第n 行有n个点，便可得出当x+y=11时，已经有55个点，便可求得P60的坐标．【解答】解：设P（x，y）P1（1，1），﹣﹣x+y=2，第1行，1个点；P2（1，2），P3（2，1），﹣﹣x+y=3，第2行，2个点；P4（1，3），P5（2，2），P6（3，1），﹣﹣x+y=4，第3行，3个点；…∵1个点+2个点+3个点+…+10个点=55个点∴P55为第55个点，x+y=11，第10行，第10个点，P55（10，1），∴P56（1，11），P57（2，10），P58（3，9），P59（4，8），P60（5，7）．∴P60的坐标为（5，7），故选D．8．如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，（n=1、2、3、…）则在第n个图形中共有（）个顶点．A．（n+1）（n+2） B．（n+2）（n+3） C．n2D．n【考点】归纳推理．【分析】本题考查的知识点是归纳推理，由已知图形中，我们可以列出顶点个数与多边形边数n，然后分析其中的变化规律，然后用归纳推理可以推断出一个一般性的结论．【解答】解：由已知中的图形我们可以得到：当n=1时，顶点共有12=3×4（个），n=2时，顶点共有20=4×5（个），n=3时，顶点共有30=5×6（个），n=4时，顶点共有42=6×7（个），…由此我们可以推断：第n个图形共有顶点（n+2）（n+3）个，故选B9．已知定义在R上的可导函数f（x）满足：f′（x）+f（x）＜0，则与f（1）（e 是自然对数的底数）的大小关系是（）A．＞f（1）B．＜f（1）C．≥f（1）D．不确定【考点】导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x f（x），利用导数研究其单调性，注意到已知f′（x）+f（x）＜0，可得g（x）为单调减函数，最后由，代入函数解析式即可得答案．【解答】解：设g（x）=e x f（x），∵f′（x）+f（x）＜0，∴g′（x）=e x（f′（x）+f（x））＜0∴函数g（x）为R上的减函数；∵，∴g（m﹣m2）＞g（1）即，∴＞f（1）故选：A．10．已知a、b、c是△ABC的三边长，A=，B=，则（）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B【考点】反证法与放缩法．【分析】由题意得c＜a+b，故B==＜，变形后再放大，可证小于A．【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴c＜a+b，∴B==＜==+＜+=A，∴B＜A，故选A．11．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】类比推理．【分析】类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：“=3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM，从而可验证结果的正确性．【解答】解：推广到空间，则有结论：“=3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM=，所以AO=AM﹣OM=，所以=3故答案为：312．已知函数f（x）（x∈R）是偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[0，2]时，f（x）=1﹣x，则方程f（x）=在区间[﹣10，10]上的解的个数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质；函数的周期性．【分析】由题意可求得函数是一个周期函数，且周期为4，故可以研究出一个周期上的函数图象，再研究所给的区间包含了几个周期即可知道在这个区间中的零点的个数．【解答】解：函数f（x）是R上的偶函数，可得f（﹣x）=f（x），又f（2﹣x）=f（2+x），可得f（4﹣x）=f（x），故可得f（﹣x）=f（4﹣x），即f（x）=f（x+4），即函数的周期是4，又x∈[0，2]时，f（x）=1﹣x，要研究方程在区间[﹣10，10]上解的个数，可将问题转化为y=f（x）与y=在区间[﹣10，10]有几个交点．如图：由图知，有9个交点．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知x为实数，复数z=（x2+x﹣2）+（x2+3x+2）i为纯虚数，则x=1．【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的概念进行求解即可．【解答】解：∵z=（x2+x﹣2）+（x2+3x+2）i为纯虚数，∴x2+x﹣2=0①且x2+3x+2≠0，②由①得x=1或x=﹣2，由②得x≠﹣1且x≠﹣2，综上x=1，故答案为：114．=．【考点】定积分．【分析】利用定积分的定义，结合表达式的几何意义化简求解即可．【解答】解：=﹣．=﹣．的几何意义是以（3，0）为圆心，以1为半径的圆的的面积，=．==．=给答案为：．15．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f （x）的“拐点”．某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f（x）=x3﹣x2+3x﹣，根据这一发现，可求得f（）+f（）+…+f（）=2015．【考点】导数的运算．【分析】根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函数f（x）的对称中心，得到f（1﹣x）+f（x）=2，即可得出．【解答】解：依题意，得：f′（x）=x2﹣x+3，∴f″（x）=2x﹣1．由f″（x）=0，即2x﹣1=0．∴x=，∴f（）=1，∴f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为（，1）∴f（1﹣x）+f（x）=2，∴f（）+f（）+…+f（）=2015，故答案为：2015．16．已知，g（x）=f（x）﹣x﹣b有且仅有一个零点时，则b的取值范围是b≥1或b=或b≤0．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得，函数f（x）的图象和直线y=x+b只有一个交点，分类讨论、数形结合求得b的范围．【解答】解：由题意可得，函数f（x）的图象和直线y=x+b只有一个交点，如图所示：当直线经过点A（0，1）时，b=1；当直线和y=（x＞0）相切时，设切点B（x0，），由==，求得x0=1，b=．当直线过原点（0，0）时，b=0．综上可得，b≥1或b=或b≤0，故答案为：b≥1或b=或b≤0．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数（e是自然对数的底数，e≈2.71）．（1）当a=﹣15时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间上是增函数，求实数的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导函数，由f′（x）＞0，可得函数的单调增区间；由f′（x）＜0，可得函数的单调减区间；（2）求导函数，根据f（x）在区间[，e]上是增函数，转化为（x﹣1）2≤1﹣a在区间[，e]上恒成立，求出x∈[，e]时，（x﹣1）2的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣15时，f（x）=（x2﹣15）e﹣x，求导函数，可得f′（x）=﹣（x﹣5）（x+3）e﹣x，令f′（x）=0得x=﹣3或x=5，由f′（x）＞0，可得﹣3＜x＜5；由f′（x）＜0，可得x＜﹣3或x＞5，∴函数的单调增区间为（﹣3，5），减区间为（﹣∞，﹣3），（5，+∞）；（2）f′（x）=﹣（x2﹣2x+a）e﹣x，∵f（x）在区间[，e]上是增函数，∴f′（x）=﹣（x2﹣2x+a）e﹣x≥0在区间[，e]上恒成立，∴（x﹣1）2≤1﹣a在区间[，e]上恒成立，当x∈[，e]时，（x﹣1）2的最大值为（e﹣1）2，∴（e﹣1）2≤1﹣a，∴a≤2e﹣e2，∴实数a的取值范围为（﹣∞，2e﹣e2]．18．已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R，都满足f（a•b）=af（b）+bf（a），若f（）=1，a n=．（1）求f（）、f（）、f（）的值；（2）猜测数列{a n}通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】数学归纳法．【分析】（1）利用赋值法，即可求出f（）、f（）、f（）的值；（2）由（1）可猜测：f（2﹣n）=f（）=n×（）n﹣1，下用数学归纳法证明即可，即可得到a n===（）n﹣1【解答】解：（1）f（）=f（）=f（）+f（）=f（）=1，f（）=f（×）=f（）+f（）=，f（）=f（×）=f（）+f（）=，（2）由（1）可猜测：f（2﹣n）=f（）=n×（）n﹣1，下用数学归纳法证明：当n=1时，左边=f（2﹣1）=f（）=1，右式=1×（）0=1，∴n=1时，命题成立．假设n=k时，命题成立，即：f（2﹣k）=f（）=k×（）k﹣1，则n=k+1时，左边=f（×）=f（）+f（）=×k×（）k﹣1+×1=k×（）k+=（k+1）×（）（k+1）﹣1∴n=k+1时，命题成立．综上可知：对任意n∈N*都有f（2﹣n）=f（）=n×（）n﹣1，所以：a n===（）n﹣119．我校70校庆，各届校友纷至沓来，高73级1班共来了n位校友（n＞8且n∈N*），其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”（Ⅰ）若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；（Ⅱ）当n=12时，设选出的2位校友中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）所选两人为“最佳组合”的概率p==，由此能求出n的最大值．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率：p==，…则．…化简得n2﹣25n+144≤0，解得9≤n≤16，∴n的最大值为16．…（Ⅱ）由题意得，ξ的可能取值为0，1，2，…则P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）=，0 1 2∴E ξ=0×+1×+2×=1．…20．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x 万元，且每万件国家给予补助2e ﹣﹣万元．（e 为自然对数的底数，e 是一个常数）（Ⅰ）写出月利润f （x ）（万元）关于月产量x （万件）的函数解析式（Ⅱ）当月产量在[1，2e ]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本） 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（Ⅰ）由月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，即可列出函数关系式； （2）利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，可得（Ⅱ）f （x ）=﹣x 2+2（e +1）x ﹣2elnx ﹣2的定义域为[1，2e ]，且由上表得：（）﹣+（+）﹣﹣在定义域[1，2e ]上的最大值为f （e ）．且f （e ）=e 2﹣2．即：月生产量在[1，2e ]万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f （e ）=e 2﹣2，此时的月生产量值为e （万件）．21．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 2（1，0），点H （2，）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆x 2+y 2=b 2上，且M 在第一象限，过M 作圆x 2+y 2=b 2的切线交椭圆于P ，Q 两点，问：△PF 2Q 的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上，建立方程组，可得a值，进而求出b值后，可得椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2求出|PQ|，可得结论．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上，∴由题意，得，…解得a=3，b=2…∴椭圆方程为．…（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），（|x1|≤3）∴|PF2|2=（x1﹣1）2+y12=（x1﹣9）2，∴|PF2|=3﹣x1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣连接OM，OP，由相切条件知：|PM|2=|OP|2﹣|OM|2=x12+y12﹣8=x12，∴|PM|=x1，∴|PF2|+|PM|=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣同理可求|QF2|+|QM|=3∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=6为定值．…22．已知函数f（x）=（x＞0）．（1）试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；（2）若f（x）＞恒成立，求整数k的最大值；（3）求证：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；数列的求和．【分析】（1）对函数f（x）求导数，可判f′（x）＜0，进而可得单调性；（2）问题转化为h（x）=＞k恒成立，通过构造函数可得h（x）min∈（3，4），进而可得k值；（3）由（Ⅱ）知（x＞0），可得ln（x+1）＞2﹣，令x=n（n+1）（n∈N*），一系列式子相加，由裂项相消法可得ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]＞2n﹣3，进而可得答案．【解答】解：（1）∵f（x）=（x＞0），∴f′（x）= []= []…∵x＞0，∴x2＞0，，ln（x+1）＞0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．…（2）f（x）＞恒成立，即h（x）=＞k恒成立，即h（x）的最小值大于k．…而h′（x）=，令g（x）=x﹣1﹣ln（x+1）（x＞0），则g′（x）=，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（2）=1﹣ln3＜0，g（3）=2﹣2ln2＞0，∴g（x）=0存在唯一实根a，且满足a∈（2，3），a=1+ln（a+1）当x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，当0＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，∴h（x）min=h（a）==a+1∈（3，4）故正整数k的最大值是3 …（3）由（Ⅱ）知（x＞0）∴ln（x+1）＞﹣1=2﹣＞2﹣…令x=n（n+1）（n∈N*），则ln[1+n（n+1）]＞2﹣，∴ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]＞（2﹣）+（2﹣）+…+[2﹣]=2n﹣3[]=2n﹣3（1﹣）=2n﹣3+＞2n﹣3∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3…2016年10月19日。

页脚内容12015-2016学年第一学期宝安区期末调研测试卷高二理科数学 2016.1本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式x x x 2522>--的解集是( )A ．{}15|-≤≥x x x 或B ．{}15|-<>x x x 或页脚内容2C ．{}51|<<-x xD ．{}51|≤≤-x x2．已知向量)0,1,1(),2,0,1(=-=b a ，且a b k a -+b 2与相互垂直，则k 值为（）A ．57 B ．53C ．51D ．13．“22y x =”是“y x =”的（）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．若方程121:22=---m y m x E 表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（） A ．()2,1 B ．()+∞∞-,2()1,YC ．)2,(-∞D ．),1(+∞5．在︒===∆45,22,32,B b a ABC 中，则角A 等于( )A ．︒30B ．︒60C ．︒︒12060或D ．︒︒15030或6．已知8,,,121a a -成等差数列，4,,,,1321--b b b 成等比数列，那么221b a a ⋅的值为( ) A ．5 B ．5-C ．25-D ．257．若动点),(y x M 始终满足关系式8)2()2(2222=-++++y x y x ，则动点M 的轨迹方程为（）页脚内容3A ．1121622=+y x B ．1161222=+y x C ．1161222=-y x D ．1121622=-y x 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足n n S n -=+21-2，则=1a （）A ．4B ．2C ．0D ．2-9．已知,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，若ay x z +=的最大值为4，则a =（）A ．3B ．2C ．2-D ．3-10．在1,2,==∆c a ABC 中，则角C 的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,6ππC ．⎪⎭⎫⎝⎛2,6ππ D ．]6,0(π11．已知直线x y C k kx y l 4:12:2=++=与抛物线，若C l 与有且仅有一个公共点，则实数k 的取值集合为()A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21,1B ．{}0,1-C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21,0,1D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,012．已知圆2221:b y x C =+与椭椭圆1:22222=+by a x C ，若在椭圆2C 上存在一点P ，使得由点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则椭圆2C 的离心率的取值范围是（）A ．]23,22[B ．)1,21[ C ．)1,23[ D ．)1,22[页脚内容4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知命题x m x f m x R x p )-(3)(:q ;1,:2=>+∈∀指数函数命题是增函数.若“q ∧p ”为假命题且“q ∨p ”为真命题，则实数m 的取值范围为.14．已知点N M ,分别是空间四面体OABC 的边BC OA 和的中点，P 为线段MN 的中点，若γμλ++=，则实数=++γμλ.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,1++⋅=-=n n n S S a a ，则数列{}n a 的通项公式=n a ．16．已知双曲线149:22=-y x C ，点M 与曲线C 的焦点不重合，若点M 关于曲线C 的两个焦点的对称点分别为B A ,，且线段MN 的中点P 恰好在双曲线C 上，则=-||BN AN 三、解答题：本大题6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分10分）设命题034:22<+-a ax x p （其中0>a ，R x ∈），命题065:2≥-+-x x q ，R x ∈. （1）若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知函数x x x g x x f 2)(,log )(22+==，数列{}n a 的前n 项和记为n S ，n b 为数列{}n b 的通项，n ∈N *.点),(),(n n S n n b 和分别在函数)()(x g x f 和的图象上．页脚内容5（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令)(112-⋅=n n n b f a C ，求数列{}n C 的前n 项和T n ．19．（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C所对的边（1）若ABC ∆面积,60,2,23︒===∆A c S ABC 求a 、b 的值； （2）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ∆的形状．20．（本小题满分12分）已知直线l 过点)1,1(M ，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于B A ,点，O 为坐标原点． （1）当||||OB OA +取得最小值时，直线l 的方程； （2）当22||||MB MA +取得最小值时，直线l 的方程．21．（本小题满分12分）如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 的中点． （1）求证：11AD E B ⊥（2）若二面角11A E B A --的大小为30°，求AB 的长． 22．（本小题满分12分）页脚内容6如图示，B A ,分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是||AF 与||FB 的等差中项，是||AF 与||FB 的等比中项.点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任一动点，过点A 作直线x l ⊥轴.以线段AF 为直径的圆交直线AP 于点M A 、，连接FM 交直线l 于点Q . （1）求椭圆C 的方程；（2）试问在x 轴上是否存在一个定点N ，使得直线PQ 必过该定点N ？若存在，求出N 点的坐标，若不存在，说明理由.宝安区2015-2016学年度第一学期期末调研考试试题高二数学（理科） 选择题：BACACBBDADCD 一、填空题13))2,1[∈m 14)4315)⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=)2()1(1)1(1n n n n a n 16)12三、解答题17[解] (1)当a ＝1时，由x 2－4x ＋3＜0，得1＜x ＜3，................1分 即命题p 为真时有1＜x ＜3.命题q 为真时，32≤≤x ................2分MQABFOxyP⋅⋅l页脚内容7由p ∧q 为真命题知，p 与q 同时为真命题，则有2＜x ＜3. 即实数x 的取值范围是(2,3)．................4分 (2)由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得(x －3a )(x －a )＜0. 又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，................6分由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件知，q 是p 的充分不必要条件． 则有{32≤≤x }⊂{x |a ＜x ＜3a }．................8分所以⎩⎨⎧><332a a 解得1＜a<2.即实数a 的取值范围是(1,2)．................10分 18题解(1)n n n b b n 2log 2=⇒=………………. 2分)1(2)1(2212-+-=⇒+=-n n S n n S n n ………………. 4分故12+=n a n ………………. 6分(2)分分10)121121(218)12)(12(1+--=-+=n n n n C n故24121+-=n T n ……………. 12分 19.[解] 1）23sin 21==∆A bc S ABC Θ，2360sin 221=︒⋅∴b ，得1=b ………3分页脚内容8由余弦定理得：360cos 21221cos 222222=︒⋅⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，所以3=a ………………………6分（2）由余弦定理得：2222222c b a acb c a c a =+⇒-+⋅=，所以︒=∠90C ……8分 在ABC Rt ∆中，c a A =sin ，所以a cac b =⋅= ……………………10分 所以ABC ∆是等腰直角三角形；……………………………12分20.[解] (1)设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)．……………….1分 设直线l 的方程为＋＝1，则＋＝1，……………….3分所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b ))11(ba +＝2＋＋≥2＋2＝4，……………….5分当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.……………….6分 (2)设直线l 的斜率为k ，则k <0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则⎪⎭⎫⎝⎛-0,11k A ，B (0,1－k )，……………….7分所以|MA |2＋|MB |2＝2111⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k ＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋≥2＋2＝4.当且仅当k 2＝，即k ＝－1时，上式等号成立……………….11分页脚内容9∴当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程为x ＋y －2＝0.．……………….12分 21[解] (1)证明：以A 为原点，，，的方向分别为x轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．………1分设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，)0,1,2(a E ，B 1(a,0,1)，＝(a,0,1)，)0,1,2(aAE =. 故＝(0,1,1)，)1,1,2(1--=a E B …………….2分∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，……………….3分∴B 1E ⊥AD 1.………….4分(2)连结A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C .确良.……………….5分 又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1， ∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时＝(0,1,1)．.……………….6分 设与n 所成的角为θ， 则cos θ＝＝..……………….8分 ∵二面角A ­B 1E ­A 1的大小为30°，页脚内容10∴|cos θ|＝cos30°，即＝，………………10分 解得a ＝2，即AB 的长为2.………………12分22.（1）由题意得AF a c =+，FB a c =-，........................................................1分即2()()2a c a c a c a c ++-=⎧⎪⎨+⋅-=⎪⎩（）（），..........................................................................................2分 解得：1,2==c a ，2223b a b ∴=-=，........................................................................................3分∴所求椭圆的方程为：13422=+y x ........................................................................4分 (2)假设在x 轴上存在一个定点)0,(n N ，使得直线PQ 必过定点)0,(n N ............5分 设动点),(00y x P ，由于P 点异于B 、A ，故00≠y 且20±≠x由点P 在椭圆上，故有4)4(31202222200x y b y a x -=⇒=+.......① (6)分又由（I ）知)0,1(),0,2(F A -，所以直线AP 的斜率200+=x y K AP .............................7分睢宁县文华中学2009----2010学年度第二学期教务处工作计划页脚内容11又点M 是以线段AF 为直径的圆与直线AP 的交点，所以FM AP ⊥， 所以00211y x k k K k AP MF MF AP +-=-=⇒-=⋅，.................................8分 所以直线FM 的方程：)1(200-+-=x y x y ................................................................9分 联立l FM 、的方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=2200x y x y ，得交点))2(3,2(00y x Q +-. 所以Q 、P 两点连线的斜率)2()2(32)2(3000200000++-=++-=x y x y x y x y k PQ ......② 将.①式代入②式，并整理得：004)2(3y x K PQ +-=.........................................................10分 又N 、P 两点连线的斜率nx y k PN -=00 若直线QP 必过定点)0,(n N ，则必有PN PQ K k =恒成立 即nx y y x -=+-00004)2(3整理得：))(2(340020n x x y -+-=....③......................11分 将.①式代入③式，得))(2(34)4(340020n x x x -+-=-⨯ 解得：2=n睢宁县文华中学2009----2010学年度第二学期教务处工作计划页脚内容12 故直线PQ 过定点()20，.....................................12分。

2015届高二第二学期期末综合练习题数学（文）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一 个是正确的） 1.i 是虚数单位，复数31ii--= A.i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -2.实数x ，y 满足条件24250,,x x y x y ⎧≥⎪+≤⎨⎪-++≥⎩，则目标函数y x z +=3的最大值为A ．7B ．8C ．10D ．113.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.阅读右面的程序框图，则输出的S =A ．14B ．30C ．20D ．555.设2log 3a =，4log 3b =， 1.21()2c =，则它们的大小关系是A. b a c <<B.b c a <<C.c a b <<D. a b c << 6.将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=65cos πx y 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移3π个单位，则所得函数图像对应的解析式是 A.cos(24x y π=- B. cos(26y x π=- C. sin 2y x = D.2cos()23x y π=- 7.已知函数120()()f x x x =>，若对于任意02(,)πα∈，都有1402(tan )()cos ()tan f f αββπα+≥≤≤成立，则β的取值范围是 Ａ．5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｂ．11,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｃ．50,,233πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Ｄ. 110,,266πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣8.已知函数5(4)4(6),()2(6)x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩(0,1)a a >≠.若数列{}n a 满足()n a f n =且1n n a a +>*,n N ∈，则实数a 的取值范围是Ａ．()7,8 Ｂ．[)7,8 Ｃ．()4,8 Ｄ．(1二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知集合{||2|3}M x x =-≤，集合3=<02x N x Rx ⎧-⎫∈⎨⎬+⎩⎭，则集合M NPC第11题图频率0.010.02a10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .11.如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 为切点，AP 与CB 的延长线交于点P ．若10=PA ，5=PB ，则AB 的长为 .12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率e =22(0)y px p =>的准线交点的纵坐标为6 ，则正数p 的值为 .13.已知函数2()2||1f x x x =-++，若2(log )(3)f m f >，则实数m 的取值范围是 .14.已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于 点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数； (Ⅲ)若从样本中数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.16．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，若(22A f =,1b =，2c =，求a 的值.17.(本小题满分13分）已知在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ,AD CD ⊥,22PA PD AD BC CD ====，,E F 分别是,AD PC 的中点.(Ⅰ)求证AD PBE ⊥平面； (Ⅱ)求证//PA BEF 平面； (Ⅲ)若PB AD =，求二面角F BE C --的大小.18．（本小题满分13分）已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1.（Ⅰ） 若1n b n =+，(i)求3a 的值和数列}{n a 的通项公式； (ii)求数列1{}na 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若12()n n nb b b n N *++=∈，且122,3b b ==，求数列{}n b 的前3n 项的和.19．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x =，2()(3)xg x x ax e =-+-⋅（其中a 实数,e 是自然对数的底数）． （Ⅰ）当5a =时，求函数()y g x =在点(1,)e 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[,2](0)t t t +>上的最小值；(Ⅲ) 若存在．．11212,[,]()x x e e x x -∈≠，使方程()2()x g x e f x =成立，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率21=e . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足OC ON OM λ=+，求实数λ的取值范围.频率a2013年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（一）数学试卷（文科） 评分标准一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C ABDDAC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．{}-1<3x x ≤ ；10．π3108+； 11． 12．4；13．1(,8)8；14．229-三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数．(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率； 15．解：（Ⅰ）由005010210025011.....a +++++=可得003.a = …………2分（Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为:020*********.....+++=……4分 数学成绩不低于60分的人数为500085425.⨯=人 ……5分(Ⅲ)数学成绩在[)40,50的学生人数：400052.⨯=人 ……6分 数学成绩在[)40,50的学生人数： 40014.⨯=人 ……7分 设数学成绩在[)40,50的学生为12,A A ，数学成绩在[]90,100的学生为3456,,,A A A A …………8分 两名学生的结果为：1213141516{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，23242526343536{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A A A454656{,},{,},{,}A A A A A A…………10分共15种； …………11分其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有{}12,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}36,A A ，{}45,A A ，{}46,A A ，{}56,A A 共7种， …………12分因此，抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为715…………13分16．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，若()22Af =,1b =，2c =，求a 的值.16．解：（Ⅰ）22()sin cos f x x x =- …………2分226sin()x π=-…………4分2T ππω== ………………5分由222262k x k πππππ-≤-≤+得，63k x k ππππ-≤≤+(Z k ∈).，……7分故)(x f 的单调递增区间为63,k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z k ∈). ………………8分（Ⅱ）22Af =(),则2sin()26A π-=⇒sin()16A π-= …………9分22,2,623A k A k k Z πππππ∴-=+=+∈ …………10分 又20,3A A ππ<<∴=………………………11分 2222cos 7a b c bc A =+-=…………12分a ∴=… ……………………13分17．(本小题满分13分）已知在四棱锥P-ABCD 中，//AD BC ,AD CD ⊥,PA=PD=AD=2BC=2CD ，E,F 分别是AD,PC 的中点，(Ⅰ)求证D BE A P ⊥平面； (Ⅱ) 证明PA//BEF 平面；(Ⅲ)若PB=AD ，求二面角F-BE-C 的大小.17．(Ⅰ) 证明:由已知得//ED BC ED BC =，，故BCDE 是平行四边形，所以//BE CD BE CD =，，---------1分 因为AD CD ⊥，所以BE AD ⊥, ---------2分 由PA=PD 及E 是AD 的中点，得PE AD ⊥, ---------3分 又因为BEPE E =,所以D BE A P ⊥平面. ---------4分(Ⅱ) 证明:连接AC 交EB 于G ,再连接FG ,由E 是AD 的中点及//BE CD ，知G 是BF 的中点， 又F 是PC 的中点，故//FG PA ， ---------5分 又因为,FG BEF PA BEF ⊂⊄平面平面， 所以PA//BEF 平面. ---------7分 (Ⅲ)解：设PA=PD=AD=2BC=2CD 2a =,则PF =，又2PB AD a ==，EB CD a ==，故222PB PE BE =+即PE BE ⊥， ---------8分 又因为BE AD ⊥，ADPE E =，所以BE PAD ⊥平面，得BE PA ⊥，故BE FG ⊥， ---------10分 取CD 中点H ，连接,FH GH ,可知//GH AD ,因此GH BE ⊥, ---------11分 综上可知FGH ∠为二面角F-BE-C 的平面角. ---------12分 可知111=,,222FG PA a FH PD a GH AD a =====， 故=60FGH ∠,所以二面角F-BE-C 等于60 . ---------13分18．（本小题满分13分）已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1.（Ⅰ） 若1n b n =+，(i)求3a 的值和数列}{n a 的通项公式； (ii)求数列1{}na 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若12()n n nb b b n N *++=∈，且122,3b b ==，求数列{}n b 的前3n 项的和.18．(Ⅰ) 解：(i)11a =,211123a a b =+=+=,322336a a b =+=+= ………………2分.由1a a n -=+得当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 1121n a b b b -=++++=(1)2n n +………4分而11a =适合上式，所以(1)()2n n n a n N *+=∈.………………5分(ii)由(i)得：12112()(1)1n a n n n n ==-++ ……………6分 1231111n nS a a a a =++++ 11111112(1)2()2()2()223231n n =-+-+-++-+……………7分122(1)11nn n =-=++ …………8分 (Ⅱ)解：因为对任意的n ∈*N 有54643431n n n n n n n n b b b b b b b b +++++++====， 所以数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6. …………9分又数列}{n b 的前6项分别为3112232233,,,,,，且这六个数的和为8. ……………10分 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则，当2()n k k =∈*N 时，36123456()8n k S S k b b b b b b k ==+++++=， ……………11分当21()n k k =+∈*N 时，363123456616263()n k k k k S S k b b b b b b b b b ++++==++++++++12313882k b b b k =+++=+ ， …………12分当1n =时3132S =所以，当n 为偶数时，34n S n =；当n 为奇数时，3542n S n =+. ……………13分19．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x =，2()(3)xg x x ax e =-+-⋅（其中a 是实常数,e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）当5a =时，求函数()y g x =在点(1,)e 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[,2](0)t t t +>上的最小值；(Ⅲ) 若存在．．11212,[,]()x x e e x x -∈≠，使方程()2()xg x e f x =成立，求实数a 的取值范围. 19．解：（Ⅰ）当5a =时2()(53)x g x x x e =-+-⋅，2()(32)xg x x x e '=-++⋅┈┈1分 故切线的斜率为(1)4g e '=， ┈┈┈┈ 2分 所以切线方程为：4(1)y e e x -=-，即430ex y e --=. ┈┈┈┈ 3分令()0f x '=，得1x e= ┈┈┈┈ 4分 ①当et 1≥时，在区间(,2)t t +上，()0f x '>，()f x 为增函数， 所以min ()()ln f x f t t t == ┈┈┈┈ 5分 ②当10t e <<时，在区间1(,)t e上()0f x '<，()f x 为减函数，┈┈┈┈ 6分 在区间1(,)e e上()0f x '>，()f x 为增函数，┈┈┈┈ 7分所以min 11()(f x f e e==-┈┈┈┈ 8分 (Ⅲ) 由()2()xg x e f x =可得223ln x x x ax =-+-32ln a x x x=++， ┈┈┈┈ 9分 令32()ln hx x x x=++， 22)1)(3(321)(xx x x x x h -+=-+=' ┈┈┈┈ 10分 x11(,)e1 1(,)e )(x h ' -+()h x单调递减 极小值（最小值）单调递增┈┈┈┈ 12分1132()h e e e =+-，14()h =，32()h e e e=++ 12420()()h e h e e e -=-+< ┈┈┈┈ 13分∴实数a 的取值范围为342(,]e e++20．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在的椭圆过点P ，且它的离心率1=e .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足OM λ=+，求实数λ的取值范围.20．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ┈┈┈┈┈┈┈ 1分 由已知得：2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩ 解得 2286a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 所以椭圆的标准方程为： 22186x y += ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5分 (Ⅱ) 因为直线l ：y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切2112(0)t k t t -=⇒=≠ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分 把t kx y +=代入22186x y +=并整理得： 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分 设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438k kt x x +-=+ 22121214362)(k t t x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ ┈┈┈┈┈┈┈┈ 8分 因为，),(2121y y x x OC ++=λ， 所以，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k kt C ┈┈ 9分 又因为点C 在椭圆上， 所以，222222222861(34)(34)k t t k k λλ+=++ ┈┈┈┈┈ 10分 222222221134()()1t k t t λ⇒==+++ ┈┈┈┈┈ 12分 因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t ┈┈┈┈┈ 13分 所以 202λ<<，所以 λ的取值范围为(0)(0,2) ┈┈┈┈ 14分。

高二数学试题（理科）一、选择题：本大题共10小题，每个题5分，共50分．1．已知空间向量a (1,0,1)=，b (2,1,1)=--，则+=a b ( )（A ）(1,1,0)- （B ）(1,0,1)- （C ）(1,1,1)- （D ）(1,1,0) 2．下列说法正确的是 ( ) （A ）不可能事件没有概率 （B ）必然事件的概率为0 （C ）随机事件的概率不大于1 （D ）随机事件的概率可以小于03．如图，''''A B C D 为各边与坐标轴平行的正方形ABCD 的直观图， 若''3A B =，则原正方形的面积是（ ）（A ）9 （B ）36 （C ）9或36 （D ）92或9244．如图是甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲得分的众数、乙得分的中位数分别是 ( )（A ）14分，25分 （B ）32分，25分（C ）32分，26分 （D ）14分，26分5．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边CD 上一定点，若在平行四边形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于（ ）（A ）14 （B ）13 （C ）12 （D ）236．某厂节能降耗技术改造后，生产某产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据如下表：x1 2 3 4 y2t34.5根据上表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为ˆy＝0.8x ＋1， 那么表中t 的值为（ ）（A ）2.8 （B ）2.7 （C ）2.6 （D ）2.5 7．执行如图所示的程序框图，如果输出的S =111111+112123⨯+⨯⨯+111112310+⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯ ，则输入的N 的值应该是（ ）（A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9甲 乙 4 0 8 4 4 1 2 5 85 4 2 36 52 2 6 9 2 13 2 3 49 5 4 1第4题图DACBE第5题图C'D'A'B'第3题图第7题图8．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)，(3,0,3)，(0,3,3)，(3,2,0)，若以yOz 为投影面画出该三棱锥的正视图，则得到的正视图为（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）9．设l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是两个平面，则下列命题不．正确．．的是( )（A ）若,m n 是两条异面直线，l m ⊥，l n ⊥，n α⊂，m β⊂且α∥β，则l α⊥ （B ）若,m n 是两条异面直线，n α⊂，m β⊂，m ∥α且n ∥β，则α∥β （C ）若l ⊥α，l m ⊥，l n ⊥，n β⊂，m β⊂，则//αβ（D ）若//l α，l β⊂，m αβ= ，n α⊄，//n m ，则//l n10．已知区域2{(,)|04}x y y x Ω=≤≤-，函数2()()1x x af x a a a -=--，其中 0a >且1a ≠，集合2{0|(1)(1)0}A m f m f m =>-+-≤，区域{(,)M x y =∈Ω |2,}y mx m m A =+∈，向区域Ω上随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率()P M =( )（A ）14ππ- （B ）22ππ- （C ）22π- （D ）14π-二、填空题：本大题共5小题，每个题5分，共25分．11．某班有男生30名，女生20名，采用分层抽样的方法从这50名学生中抽取一个容量为5的一个样本，则应抽取的男生人数为____________．12．阅读如图所示的程序，若输入的t 的值为6，则执行程序后输出的结果是________．INPUT t IF t<＝4 THEN c ＝0.2 ELSEc ＝0.2＋0.1*(t －3) END IF PRINT c END第12题图 第14题图 13．三棱柱ABC A B C -111中，上、下两底面共有111111,,,,,AB BC CA A B B C C A 六条棱，从中任选两条棱，它们所在直线是异面直线的概率为_________．14．如图，四面体PABC 四顶点P 、A 、B 、C 均落在球O 的球面上，且2AC BC ==，90ACB ∠= ，AP BP AB ==，PC AC ⊥．那么球O 的体积是____________．ACBP15．如图，正方体 1111D C B A ABCD -，棱长为a ，有下列命题： ①P 点在BDC ∆1所在平面上运动，棱锥11D AB P -体积不变；②若点M N L 、、分别是线段A B A D A A 11111、、上与端点不重合的三个动点，则MNL ∆必为锐角三角形；③若Q 为AA 1的中点，G 为底面A B C D 1111（包含边界）内的一个动点，且始终满足GQ A C ⊥1，则动点G 的轨迹长度为23a ； ④若垂直于1AC 的平面α由点1A 移动至点C ，则截正方体得到的多边形只能是三角形或六边形，且所得多边形面积和周长的最大值分别为233324a a 和. 其中下正确的命题有_________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答过程应写明文字说明、证明过程或推演步骤．16．（本小题满分12分）如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中．（Ⅰ）求异面直线1A D 与AC 所成角的大小； （Ⅱ）求证：平面1ACB ⊥平面11BB D D ．17．（本小题满分12分）袋中共有6个除颜色以外完全相同的小球，其中有标记为A ，B 的红球2个，标记为a ，b ，c ，d 的白球4个，若从中任意选取2个球．（Ⅰ）记{,}A a （不考虑顺序）为一种选取结果，试写出所有选取结果，并指出所有结果的个数；（Ⅱ）试求所选的两个球中至少有一个红球的概率．ABCDD 1C 1B 1A 1QG第15题图BD 1C 1 B 1A 1CDA第16题图18．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111A B C DA B C D -中，底面A B C D是平行四边形，其中111111A A A D A B ===，111160AA D AA B ∠=∠=︒，1111D A A B ⊥，点M 在11A B 上，且112AM MB =，N 为1AD 中点． （Ⅰ）若11A B ＝a ，11A D ＝b ，1A A＝c ，试用a ，b ，c 表示MN ；（Ⅱ）求线段MN 的长．19．（本小题满分12分）教育部、国家体育总局和共青团中央共同号召全国各级各类学校要广泛、深入地开展全国亿万大中学生阳光体育运动．为此，某校学生会对高二年级学生2013年6月这一个月时间内参加体育运动的情况进行统计，随机抽取了M 名学生作为样本，得到这M 名学生该月参加体育运动总时间的小时数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图（如图①）如下： 分组序号 2013年6月参加体育运动总时间（小时）组中值 （i a ） 频数 频率()i f1 [20,25)22.5 10 0.252 [25,30) 27.5 25n 3 [30,35) 32.5 mp4 [35,40)37.5 2 0.05合计——M1D 1C 1B 1A 1N A DBCM第18题图a频率/组距2025303540参加体育运动 小时数O（Ⅰ）求出表中M ，p 及图①中a 的值；（Ⅱ）现以这M 人为样本来估计总体，若该校高二学生有720人，试估计该校高二学生在2013年6月参加体育运动总时间不超过30小时的人数；（Ⅲ）该校数学兴趣小组利用算法流程（如图②），对样本数据作进一步统计分析，求输出的S 的值．20．（本小题满分13分）将图①所示的直角梯形ABEF （图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD折成直二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图②所示．（Ⅰ）证明：BE ∥平面ADF ；（Ⅱ）求平面BEF 与平面ABCD 所成锐二面角的正切值； （Ⅲ）求空间几何体ABCDFE 的表面积．第20题图第19题图图②图①图②图①21．（本小题满分14分）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2AD =，22BD =．M是AD 的中点，P 是BM 的中点．（Ⅰ）若45BDC ∠=︒，求直线CD 与平面ACB 所成角的大小；（Ⅱ）若二面角C BM D --的大小为60︒，求BDC ∠的大小；（Ⅲ）若CD x =，对任意[1,2]x ∈，则线段BD 上是否存在点E ，使得平面CPE ⊥平面CMB ？若存在，设BE y =，试写出y 关于x 的函数表达式，并求出y 的最大值；若不存在，说明理由．第21题图。