青岛版-数学-九年级上册-3.1 圆的对称性第2课时 教案

青岛版数学九年级上册《圆的对称性——轴对称、＊垂径定理》教学设计1一. 教材分析《圆的对称性——轴对称、＊垂径定理》这一节的内容主要包括圆的轴对称性和垂径定理的证明。

学生在学习这一节内容之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、半径等。

本节课的内容是对圆的性质的进一步拓展，让学生了解圆的对称性，并学会运用垂径定理解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆的对称性和垂径定理的证明，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，理解和掌握圆的对称性和垂径定理。

三. 教学目标1.理解圆的轴对称性，能找出圆的对称轴。

2.学会运用垂径定理证明圆的性质。

3.培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.圆的轴对称性的理解。

2.垂径定理的证明。

五. 教学方法1.引导观察法：通过引导学生观察圆的对称现象，让学生发现圆的对称性。

2.操作实践法：让学生通过实际操作，学会运用垂径定理证明圆的性质。

3.小组讨论法：让学生在小组内进行讨论，共同解决问题。

六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，以便于学生更好地理解圆的对称性和垂径定理。

2.圆的模型：准备一些圆的模型，让学生直观地观察圆的对称性。

3.垂径定理的证明道具：准备一些道具，如直尺、圆规等，以便于学生进行垂径定理的证明。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些圆的图片，如圆形的餐具、建筑等，引导学生观察这些圆形的物品，并提问：“你们发现这些圆形物品有什么共同的特点？”让学生思考圆的对称性。

2.呈现（10分钟）教师通过课件展示圆的对称性，引导学生找出圆的对称轴。

同时，教师讲解圆的对称性的定义和性质。

3.操练（10分钟）教师让学生分组，每组用道具进行圆的对称性的操作实践。

学生通过实际操作，加深对圆的对称性的理解。

课题圆的对称性科目数学年级九年级课时第1课时授课教师杨志梅一、教材分析在学生已有的生活经验与数学经历的基础上学习《对圆进一步认识》，研究圆的对称性及与圆有关的基本事实、与圆有关的位置关系、圆中的计算。

是学生认识发展的又一次飞跃。

教材注重从学生已有的生活经验和知识背景出发，结合具体情境和操作活动激活已经存在于学生头脑中的经验，促使学生逐步归纳内化，通过这章的学习扩展学生的知识面，提高解决问题的能力，空间观念进入了一个新的领域。

“圆的对称性”的学习是这一章的开始，也是本章的基础知识。

由圆的轴对称性得出的垂径定理及其推论是初中阶段的重要定理，也是重要的解决有关圆中求值问题的主要知识方法，是中考的常考考点。

二、教学目标（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）根据新课程标准的要求，结合教材的具体内容，确立教学目标为：1、知识与技能目标：理解圆的对称性与垂径定理2、过程与方法目标：①经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，体验“猜测——实验——归纳——证明”的方法②能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。

3、情感态度与价值观目标：通过学生的数学活动培养学生分析问题、解决问题。

三、教学重点垂径定理及其应用四、教学难点垂径定理的应用五、教学用具透明纸课件多媒体设备六、教学过程教学过程教师活动学生活动设计意图一、创设情境、图片导入打开多媒体出示图片感受圆之美调动学生感官；创设情境，让学生感受圆之美，激发学习欲望。

二、第一关、展示学习成果（知识要点说一说，基本图形认一认）组织学生活动，根据学生活动进行必要的点拨与引导小组交流，选出代表展示本组的收获与困惑检测学生预习情况，深化基础知识的理解与基本图形的认识第二关、学以致用（基本技能练一练，解题思路想一想）教师巡回督查，重点指导学困生。

引导学生总结思路，师生互动问答。

出示学生根据出示的问题进行自主练习，完成后组长组织合作交流。

对同伴进行点拨评价，让学生有针对性地练习，对垂径定理进行巩固，使学生掌握基本应用技能，提高学生解决问题的能力，培养学生的反思总结课件进行变式演练。

圆的对称性学习目标：1、了解1度的弧，知道圆心角与其所对弧的度数和关系。

2、会进行弧的度数的有关计算。

重点：进行弧的度数的有关计算 难点：进行弧的度数的有关计算 教学过程： 【温故知新】1、已知：如图，AB ⊥CD 于M ，CD 为⊙O 的直径，CM=2cm ，AB=8cm ，则直径CD 的长为（ ）（A ）10cm （B ）8cm （C ）6cm （D ）5cm2、如图以平行四边形ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD.BC 于E.F 延长BA 交圆A 于G ，求证：【创设情境】前面我们学习了垂径定理和角、弧、弦之间的关系，这节课我们继续学习1度弧及弧的度数。

【探索新知】 思考：1、把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角的度数是多少？2、把顶点在圆心的周角等分为360份时，整个圆被分成了多少份？每一份的弧是否相等？为什么？3、什么叫做1°的弧？圆心角的度数和它所对弧的度数有什么关系？ 【巩固提升】1、学习课本73页例4，学生独立思考后，师生共同规范步骤并总结方法。

2、完成74页练习第1、2题。

3、学习课本73页例5 ，学生独立思考后解答，不会的可以小组讨论。

4、完成74页练习第3题。

【课堂小结】说一说学习了哪些数学知识和数学思想，解题时应该注意什么？【达标检测】1、如图1 ，⊙O 的半径是1，B.C 是圆周上的两点，∠BOC=36°，则劣弧的度数为( )A.18°B.36°C.72°D.条件不足，无法求出 2、如图2，AB 的直径，，∠BOC=40°，则的度数为( )BA图1 图23、如图AB.CD 为⊙O 的两条直径，弦CE ∥BA ，为40°，求BOD 的度数。

A B。

第三章 对圆的进一步认识3.1 圆的对称性第2课时 教学设计教学目标1.掌握圆心角的概念；2.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量相等就可以推出其它的两个量对应相等，以及它们在解题中的应用．．教学重点及难点重点：圆心角、弧、弦之间关系定理.难点：“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及证明. 教学准备多媒体课件．教学过程【新课导入】师生活动：师生一起思考、观察，由问题引入授课内容． 设计意图：观察思考问题目的是为本节知识做准备引入新课.【探究新知】想一想 若将圆以圆心为旋转中心，旋转180°，你能发现什么？解析：圆绕着它的圆心旋转180°，能与原来的图形重合.因此圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心设计意图：由浅入深进行学习知识，便于学生理解新知识，加强学习.圆的轴对称性（圆是轴对称图形）圆的对称性圆的中心对称性？ 垂径定理及其推论 ？？？想一想若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转过后的图形能与原图形重合吗？解析：若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转过后的图形能与原图形重合吗？师生活动：学生巩固练习，加强对新知识的理解，得到问题答案.设计意图：对于新知识通过思考，加深理解，巩固基础.知识讲解圆心角.如图，在⊙上任取两点A与B，连接OA，OB，得到∠AOB.圆心角：顶点在圆心的角.(如∠AOB)设计意图：让学生思考和交流对知识的理解，学会论证，及时巩固．想一想在⊙O内画圆心角∠AOB=∠A´OB´，连接AB，A´B´.弦AB与弦A´B´，弧AB与弧A´B´有什么关系?弧AB=弧A´B´, AB=A´B´定理：在同圆中，如果两个圆心角相等，那么其所对的弧相等，所对的弦相等。

设计意图：培养学生思考、创新的意识．想一想在同圆等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系解析：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.设计意图：让学生在实践中学习知识，及时巩固意识．【应用新知】典例精析例1如图，AB与DE是⊙O的两条直径，C是⊙O上一点，AC∥DE.求证:（1）弧AD=弧CE（2）BE=EC证明:（1）连接OC.∵AC∥DE，∴∠AOD=∠OAC，∠COE=∠OCA.∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠AOD=∠COE.∴弧AD=弧CE.(2)∵∠AOD=∠BOE，∴∠BOE=∠COE.∴BE=CE.设计意图：巩固所学知识，加深对所学知识的理解．课堂练习1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：（1）如果AB=CD，那么______________, ________, ________.（2）如果OE=OF，那么______________,_________, ________.（3）如果AB=CD，那么______________,__________,_________.（4）如果∠AOB=∠COD，那么______________,__________,_________.参考答案：（1）∠AOB=∠COD弧OE=弧OF AB=CD（2）∠AOB=∠COD弧AB=弧CD AB=CD（3）∠AOB=∠COD弧AB=弧CD OE=OF（4）OE=OF弧AB=弧CD AB=CD2. 如图，⊙O1和⊙O2是两个等圆，直线A1B2平行于O1O2.分别交⊙O1于点A1、B1，交⊙O1于点A2、B2.求证：∠A1O1B1= ∠A2O2B2.证明:分别作O1C1⊥A1B1,O2C2⊥A2B2,垂足分别为C1、C2，∵A1B1∥O1O2，∴O1C1= O2C2，∴∠A1O1B1= ∠A2O2B23.如图，在⊙O中，弧AB=弧AC,∠ACB=60°求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC证明：∵弧AB =弧AC ∴AB =AC .又∠ACB =60°，∴AB =BC =CA .∴∠AOB =∠BOC =∠AOC .4.如图，AB 是⊙O 的直径,弧BC =弧CD =弧DE ,∠COD =35°，求∠AOE 的度数．参考答案：∵弧BC =弧CD =弧DE ，∴∠BOC =∠COD =∠DOE =35°，∴∠AOE =180°- 3×35°=75°.通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．【课堂小结】知识点：圆的轴对称性（圆是轴对称图形）圆的对称性圆的中心对称性（圆是中心对称图形） 垂径定理及其推论 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证明圆弧相等：（1）定义（2）垂径定理（3）圆心角、弧、弦、之间的关系板书设计：第三章对圆的进一步认识3.1 圆的对称性1.圆的对称性.2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．。

《圆的对称性》（第2课时）教案探究版一、教学目标知识与技能1．了解圆是中心对称图形及圆心角的概念．2．掌握圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．过程与方法1．通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力．2．学生亲自经历探索圆心角定理的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透了分类和转化的数学思想．情感、态度1．通过学习圆心角、弧、弦之间相等关系定理的过程，使学生体会数学的严谨性，培养学生事实求是的科学态度．2．培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生学习数学的兴趣，体验探索成功后的快乐．二、教学重点、难点重点：圆心角、弧、弦之间关系的定理．难点：对“圆心角、弧、弦之间关系的定理”中“在同圆或等圆条件”的理解及定理的证明．三、教学过程设计（一）复习引入1．什么是图形的旋转？师生活动：教师出示问题，学生根据已经学过的知识回答问题．答：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转．2．什么是中心对称图形？师生活动：教师出示问题，学生根据已经学过的知识回答问题．答：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．那么，今天我们就利用旋转、中心对称及弧、弦、等弧、等圆的相关知识来进一步研究圆的性质．设计意图：通过有针对性的复习，为本节课的学习扫清障碍．（二）探究新知1．观察与思考任意画一个圆，思考下面的问题：（1）如下图，以圆心O为旋转中心，将这个圆旋转任意一个角度，你有什么发现？特别地，如果将⊙O绕圆心旋转180°，直径AB的两个端点的位置会发生什么变化？师生活动：教师出示问题，学生思考、小组讨论，教师引导学生得出结果．答：发现：圆绕圆心O旋转任意一个角度，都能与原来的圆重合，圆具有旋转不变性．如果将⊙O绕圆心旋转180°，直径AB的两个端点的位置会互换．（2）圆是中心对称图形吗？如果是，哪个点是它的对称中心？师生活动：教师出示问题，学生思考、小组讨论，教师最后总结．答：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．因为圆绕它的圆心旋转180°后，能与原来的图形重合，所以圆是中心对称图形．结论圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．设计意图：通过学生自己动手让学生发现圆的旋转不变性和圆的中心对称性．如图，在⊙O上任取两点A与B，连接OA，OB，得到∠AOB．像∠AOB这样，顶点在圆心的角叫做圆心角（central angle）．2．实验与探究（1）如下图，任意画一个⊙O，在⊙O内画圆心角∠AOB=∠A'OB'．连接AB，A'B'．（2）以点O 为旋转中心，将圆心角∠AOB 连同︵AB 逆时针方向旋转，旋转角为∠AOA'，则半径OA 与OA'重合．这时OB 与OB'重合吗？为什么？师生活动：教师出示问题，学生思考、小组讨论，教师引导学生得出结果．答：OB 与OB'重合；理由：因为∠AOA'=∠AOB +∠BOA'，∠BOB'=∠A'OB'+∠BOA'，∠AOB =∠A'OB'，所以∠AOA'=∠BOB'．因为旋转后半径OA 与OA'重合，所以半径OB 与OB'也重合．（3）这时，︵AB 与︵A'B' 重合吗？弦AB 与A'B'重合吗？由此你能得到什么结论？ 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导学生得出结论．答：由（2）可得旋转后半径OA 与OA'重合，半径OB 与OB'重合．所以点A 与A'重合，点B 与点B'重合．所以︵AB 与︵A'B' 重合，弦AB 与A'B'重合，即︵AB =︵A'B' ，AB =A'B'．这就是说，在同圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等． 教师讲解：利用旋转的基本性质还可以得出：在同圆中，如果︵AB =︵A'B'，那么∠AOB =∠A'OB'，弦AB =A'B'；反之，如果弦AB =A'B'，那么∠AOB =∠A'OB'，︵AB =︵A'B'．上面的结论在两个等圆中也成立．这样我们得到定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．设计意图：通过教师和学生的共同努力得到了圆心角、弧、弦关系的一般结论，充分体现了师生合作的价值．（三）例题精讲例1 如图，AB 与DE 是⊙O 的两条直径，C 是⊙O 上一点，AC //DE ．求证：（1）︵AD =︵CE ；（2）BE =EC ．师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，师生共同完成本题． 证法1：（1）连接OC ．∵AC //DE ，∴∠AOD =∠OAC ，∠COE =∠OCA ． ∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA ．∴∠AOD =∠COE ．∴︵AD =︵CE ． （2）∵∠AOD =∠BOE ，∴∠BOE =∠COE ．∴BE =CE ．证法2：（1）如图，作直径MN ⊥AC ．∵AC //DE ，∴MN ⊥DE ． 由垂径定理，得︵DN =︵EN ，︵AN =︵CN ． ∴︵DN －︵AN =︵EN －︵CN ，即︵AD =︵CE ． （2）∵∠AOD =∠BOE ， ∴︵BE =︵AD =︵CE ．∴BE =CE ．CCC例2 如图，在⊙O 中，︵AB =︵AC ，∠ACB =60°．求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC ．师生活动：让学生独立解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法．教师引导：由︵AB =︵AC ，得到AB=AC ，△ABC 是等腰三角形．由∠ACB =60°，得到△ABC 是等边三角形，AB =AC =BC ．所以∠AOB =∠AOC =∠BOC ．证明：∵︵AB =︵AC ，∴AB =AC ，△ABC 是等腰三角形． 又∵∠ACB =60°，∴△ABC 是等边三角形，AB =BC =CA ． ∴∠AOB =∠BOC =∠AOC ．设计意图：培养学生正确应用所学知识的能力，增强应用意识． （四）挑战自我如图，在⊙O 中，︵AB =2︵CD ，试判断AB 与2CD 的大小关系，并说明理由．参考答案解：AB ＜2CD ．理由：如下图所示，取︵AB 的中点E ，连接AE ，BE ． ∵︵AB =2︵CD ，∴︵AE =︵BE =︵CD ．∴AE =BE =CD ．在△AEB 中，∵AB ＜AE +BE ，∴AB ＜2CD ．设计意图：通过本环节让教师查看学生对刚刚学过的知识的掌握情况． （五）课堂练习1．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与AD 是⊙O 的弦，AC =AD ．求证：︵BC =︵BD ．2．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，︵AB = ︵DC ．AC 与DB 相等吗？为什么？师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题． 参考答案1．证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴︵ACB =︵ADB ．∵AC =AD ，∴︵AC =︵AD ．∴︵BC =︵BD ． 2．解：相等；理由：∵︵AB =︵DC ，∴︵AB ＋︵BC ＝︵DC ＋︵BC ，即︵AC =︵BD ．∴AC =BD ． 设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． （六）课堂小结 1．圆的旋转不变性BA圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；圆绕圆心旋转任意角度后都能够与原来的图形重合，即圆具有旋转不变性．2．圆心角的概念顶点在圆心的角叫做圆心角． 3．圆心角、弧、弦关系的定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容． 四、课堂检测设计1．下列图形中表示的角是圆心角的是（ ）．2．下列说法中正确的是（ ）． A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等C ．圆心角相等，所对的弦相等D ．弦相等，所对的圆心角相等3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，︵BC =︵CD =︵DE ，∠BOC =40°， 那么∠AOE =（ ）．A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°4．如图，D ，E 分别是⊙O 的半径OA ，OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD =CE ，则︵AC 与 ︵CB 的大小关系是____________．5．如图所示，AB 是⊙O 的弦，C ，D 为弦AB 上两点，且OC =OD ，延长OC ，OD 分别交⊙O 于点E ，F ．试证：︵AE =︵BF ． 参考答案1．A ．2．B ．3．B ．4．︵AC =︵CB ． 5．证明：∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ． ∵AO =OB ，∴∠A =∠B ．∴∠OCD -∠A =∠ODC -∠B ，即∠AOC =∠BOD ． ∴︵AE =︵BF ．。

2、将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A与 O′A′重合.
B
B′
A
A′
O
O′
你能从中发现哪些等量关系?说一说你的 理由.
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦相等.
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
讨论归纳出：利用折叠法研究了圆是轴对称图 形；利用圆的轴对称性研究了垂径定理及 其逆定理；利用旋转的方法得到了圆的旋 转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究 了圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系 定理.
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。下午8时55 分8秒下午8时55分20:55:0821.11.8
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等， 那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗?你 是怎么想的？
2、在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们 所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是 怎么想的？
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午8时55分21.11.820:55November 8, 2021
• 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观 察是思考和识记之母。”2021年11月8日星期一8时55分8秒20:55:088 November 2021

3.1 圆的对称性 教学案（二）一、教与学目标：1．知道圆是中心对称图形并能说出对称中心.2．会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题.二、教与学重点难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题.三、教与学方法：自主探究，合作交流四、教与学过程：（一）、情境导入：（1）什么是中心对称图形?（2）我们采用什么方法研究中心对称图形?（二）、探究新知：1、问题导读：（1）将一个圆绕它的圆心旋转任意一个角度，你有什么发现？（2）圆是中心对称图形吗？如果是，哪个点是它的对称中心？（3）什么是圆心角（4）由圆的中心对称性，你还能发现圆的哪些性质？2、合作交流：按照下列步骤进行小组活动：（1）在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O′（2）在⊙O 和⊙O′中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接AB 、A′B′.（3）将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O′重合，∠AOB 与∠'''B O A 重合。

在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流.（4）如果将2中的∠AOB =∠'''B O A 换为AB= A′B′或AB=A′B′，你能发现什么结论？（5）如果将2中两个圆心角相等改为多个圆心角相等，你能得出哪些结论？’ ’利用这一性质，你能画出正n 边形。

3、精讲点拨：（1）上述三个方面的定理可以总结为：圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.注意：“同圆或等圆中”是定理的先决条件.（2）利用圆的中心对称性，可以作出正n 边形，正六边形是非常特殊的正多边形，它的边长等于其外接圆的半径（三）、学以致用：1、巩固新知：（1）如图,已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦。

若AB=CD ，则 ，若AB= CD ，则 ，若∠AOB=∠CO 'D ，则 ，（2）完成课本71页例3，72页练习1、2.，32、能力提升：（3）如图,AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，如果∠AOC=∠BOC ，那么∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？（4）如图，在⊙O 中，AC=BD ，∠AOB=50°,求∠COD 的度数．（四）、达标测评：1、选择题：（1）下列命题中，真命题是（ ）A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．相等的弦所对的弧相等C ．度数相等的弧是等弧D ．相等的弧所对弦相等（2）在同圆中，若AB=2CD ，则AB 与2CD 的大小关系是（ ） O ’ D C OB AA．AB>2CD B．AB<2CD C．AB=2CD D．不能确定2、填空题：（3）一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为．（4）如图，AB是⊙O的直径，BC = CD = DE,∠BOC=40°，则∠AOE的度数是度3、解答题：（4）（5）如图，在⊙O中，AB=AC，∠A=40°,求∠B的度数．（6）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，CE的度数为40°，求∠AOC 的度数.（7）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=DC，AC与BD相等吗？为什么？五、课堂小结：（1）谈一谈，这节课你有哪些收获？(2) 对于本节所学内容你还有哪些疑惑？六、作业布置：练习74页2题3题七、教学反思：。

圆•重单合击吗此？处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
• 第四级
• ·第五级
α O
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
2019/8/30
5
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观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
• 单击此处编辑母A 版文本样式
· • 第•二第级O三级 • 第四级
·O
B • 第五级
B
顶点在圆心上
A
A
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• 第•二第级三3级.1圆的对称性（2）
• 第四级 • 第五级
2019/8/30
1
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学习目标
1•.理单解击圆此心处角编的辑概念母，版掌文握本圆样的式中心对称性和旋转不变性.
2.探•索第圆二心级角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问
• 第三级
题.（重点• ）第四级 • 第五级
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”
条件的意义.（难点）
2019/8/30
2
单击此处编母版标题样式
导入新课
熊•宝单宝击要此过处生日编了辑！母要版把文蛋本糕平样均式分成四块，你会分吗？
• 第二级
• 第三级
• 第四级 • 第五级
2019/8/30
∠COD=35°，∠AOE = 75° ． E D
C
A
O·
B
2019/8/30
15
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典例精析
例• 1单如击图此，处A编B辑是母⊙版O文的本直样径式， BC=CD=DE
∠CO•D第=•3二第5级°三级，求∠AOE 的度数．

2如果弦AB= A′B′
那么（1）弧AB与弧A′B′相等吗？（2）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱAOB与∠A′O′B′相等吗？
归纳（定理三）：___________________________________
熟练新知：先阅读教材第71页例3，然后独立规范证明过程：（考虑用其它的证明方法）
四．归纳总结，提升能力
本节我们学习了哪些知识？由同学回答。
3.1圆的对称性(2)
教学
目标
1.使学生明白圆的旋转不变性和中心对称性 。
2.能正确应用圆心角，弧，弦之间的关系定理。
3.进一步体会和研究几何图形的各种方法。
重点
难点
学习重点：圆心角，弧，弦之间的关系定理
学习难点：圆心角，弧，弦之间的关系定理
教学过程
一、前置练习，积累知识
复习思考：
（1）中心对称图形__________________________________________
由此 你可以得出结论：圆是________________图形，又是_____________________图形，_______________是它的对称中心，且圆有旋转_________性。
三、自主学习，合作探究
（A）阅读教材第71页“实验与探 究”（1），（2），（3）按要求完成作图，然后交流思考回答：1、圆心角是_______________________________________________。
布置作业：课本习题3.1 3、4预习圆心角的度数、弧的度数。
教学反思：
（2）将一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，你有 什么发现？
（3）圆是中心对称图形吗？如 果是，对称中心是什么？
二、情景激趣，导入新课：

初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料3.1 圆的对称性教学设计第二课时【教学目标】1.理解圆心角的概念，探索圆心角与其所对的弧、弦以及弦心距的关系.2.能运用圆心角、弧、弦、弦心距关系定理进行有关的推理和计算.3.通过观察、交流、归纳等过程，培养学生观察能力、探究问题的能力.【教学重难点】重点：圆心角、弧、弦、弦心距关系定理的应用.难点：圆心角、弧、弦、弦心距关系定理的应用.【教学过程】一、导入环节（2分钟）（一）导入课题，板书课题1.导入语：上一节课我们由圆的轴对称性推导出了垂径定理及推论，其实圆不仅是轴对称图形，它还是中心对称图形，那么由圆的中心对称性又能得到哪些结论呢？这一节课我和同学们继续探究圆的对称性，下面我们一起来看本节课的学习目标.2.教师板书课题.（二）出示学习目标课件展示学习目标，学生齐读读学习目标.过渡语：让我们带着目标，根据自主学习的要求,完成自学任务.二、概念学习(15分钟)（一）出示自学指导1.自学课本70—71页例3前面的内容，仔细阅读课本，完成以下内容圆心角:_______________________.等圆: __________________.同圆或等圆的半径_______.2.将一个圆绕它的圆心旋转________度,能够与它本身重合，这说明圆具有旋转不变性.圆是中心对称图形，它的对称中心是___________.3.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理：在同圆．．中，如果两个、两条、两条、两条弦的中有一组．．或等圆量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.我们称之为知一推三.（二）自学检测反馈如图,已知⊙O、⊙O'半径相等，AB、CD分别是⊙O、⊙O'的两条弦,OF,O′E分别是弦AB、CD的弦心距.填空：①若AB=CD，则， , .②若AB= CD,则， , .③若∠AOB=∠COD，则， , .④若OE=OF,则_________,_________,___________ .过渡语：你在自学环节还有哪些疑惑?请记录在学案上,准备交流释疑. 三、后教环节（15分钟）合作探究， 展示交流 要求：先独立思考并记录自己的疑惑，然后小组交流，最后个人整理解题过程.探究一： 如图，AB 与CD 是⊙O 的两条直径，C 是⊙O 上一点，AC ∥DE.求证：（1）练习：如图，已知AB 是⊙O 的直径．弦AC ∥OD ，求证：弧BD=弧CD 。

E B
C
O·
F A.还有什么困惑？
达标练习：
⌒ ⌒ 1.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，
OD∥AC，求证： BD=CD。
证明：连接OC ∵ OD∥AC ∴∠COD=∠ACO ∠CAO=∠DOB ∵OA=OC ∴ ∠OCA=∠OAC
⌒⌒ ∴ ∠COD= ∠DOB
练 习：
⌒ ⌒ 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么____A_B___=___C，D______∠_A_O__B_=_∠_C_O__D_．
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （（23））如如果果∠AAOBB==∠COCDD，，那那么么__________A_A__B__B=__C___D_=____，C，_D______∠__A___O___B__A=__B∠__=_C_C_O_．D_D．
青岛版九年级数学上册 第三章 对圆的进一步认识
3.1圆的对称性（2）
教学目标：
1.通过圆的旋转不变性和中心对称性。 2.能正确应用圆心角、弧、弦之间的关系定理。 3.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
回顾思考：
1.垂径定理。 2.中心对称图形的定义和性质。 3.列举中心对称图形的例子，并指出对称中心。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
解： 相 等
因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD. 又因为AO=CO，BO=DO， 所以△AOB ≌ △COD.
又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高，
所以 OE = OF.
A
E
B
O·
D
F C
例题展示：
如图，AB与DE是○O的两条直径，C是○O上一点，

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第2课时
一、新课导入
1．做一做：平行四边形绕对角线交点O旋转180°后，你发现了什么？2．想一想：圆是中心对称图形吗？对称中心在哪里？除了旋转180°后能重合外，旋转的角度是多少时也能与原来的图形重合？自己动手操作一下，可以发现：一个圆绕它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．
这就是圆的旋转不变性，本节课我们从圆的旋转不变性出发，研究圆心角、弧、弦之间的关系．
二、教学建议
1．圆的旋转不变性
建议：引导学生通过操作和思考，明确圆的中心对称性，同时指出圆与一般的中心对称图形的不同：圆绕圆心旋转任意的角度，都能与原来的图形重合．
2．弧、弦、圆心角定理
建议：(1)首先使学生明确圆心角、圆心角所对的弧、圆心角所对的弦的概念．
(2)对直观观察得到的结论进行证明时，要求学生明确每一步的理论依据并用数学语言叙述结论，培养学生的概括能力．
(3)在“同圆或等圆”的前提下，改变命题的题设和结论，引导学生从圆心角相等、弦相等、弧相等三种情况讨论，总结定理的叙述方式，使学生明确在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们对应的其余各组量也相等．
(4)通过训练，加深学生对定理的应用条件的理解，体会定理的应用范围．注重解题后的反思，适时引导学生小结，掌握定理的应用方法及常用辅助线的作法和它们所起的作用．
三、本课小结
1．圆心角：顶点在圆心的角．
2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理：同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
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.
O
实际应用
如即CD图图=，中60一0mC⌒条D,E，公为点路o的是C⌒转上D弯C⌒一D处点的是，圆一且心段)圆，弧其(中
OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段 弯路的半径。
C E
FD O
你说、我说、大家说：
当堂达标：
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径 A
，则A下、列A⌒C结=论A⌒D不正确B、的B是⌒C（=CB⌒D ）
A
●O
C
D
自主学习：
1、圆是轴对称图形吗？ • 圆是轴对称图形.
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴？
圆的对称轴是任意一条经过
圆心的直线,它有无数条对称轴.
●O
你是用什么方法找到对称轴的? 利用折叠的方法即可解决上述问题.
自主学习 ：2、按下面的步骤做一做：
1）拿出一张圆形纸片，把这个圆对折， 使圆的两半部分重合． 2）得到一条折痕CD． 3）在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，
其中，点M是两条折痕的交点，即垂足． 4）将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图． 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等 的线段和相等的弧？ 它们为什么相等呢？
自主学习：
• 如图,小明的理由是:
角 能 • 连接OA,OB, 则OA=OB.
形不 得能 出试
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
C
∵OA=OB，OM=OM，
CLeabharlann DM└C、AM=OM D、CM=DM
●O
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，
垂足为M，OM=3，则CD= 8 .
B
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径， 若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .

圆的对称性（1）学习目标：1、了解圆的轴对称性；2、探索证明“垂径定理”，会利用“垂径定理”进行相关的计算；3、培养猜想，论证，逻辑推理能力，以及数形结合分析问题、解决问题的能力。

学习重、难点：垂径定理及其应用温故知新：1、连结圆上任意两点的线段叫圆的，两条直径的交点是，圆上两点间的部分叫做，大于半圆的弧叫做，小于半圆的弧叫做。

2、动手实践，发现新知（1）同学们能不能找到纸圆的圆心？动手试一试。

（2）问题①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆，②实验说明圆是________图形，它的对称轴是，有条对称轴。

教学过程：合作探究：环节1：合作交流：拿出前面确定了圆心的圆形纸片，任意画一条直径AB，再画一条垂直于AB的弦CD，交点为P（如图1）。

沿着直径将圆对折（如图2），你发现图中有哪些等量关系？说出你的结论，能说明理由吗？与同学交流。

垂径定理：。

环节2：探究发现：讨论: 如图，在下列五个条件中:①AB是直径，② AB⊥CD，③ CP=DP，④ AC=AD，⑤ BC=BD.如果具备其中两个条件，能否推出其余三个结论成立？（知二推三）.ACDBO例如：1、已知①③，求证②④⑤ 推论1:平分弦（不是直径）的直径 2、已知②③，求证①④⑤ 推论2：弦的垂直平分线仿照以上推论，你还能得出哪些结论？小组讨论。

巩固练习： 1.如图，在⊙O 中，（1）若AB 为直径，弦CD ⊥AB ，则 、 、 。

（2）若AB 为直径，弦CD 交AB 于点E ，CE ＝DE ，则有 、 、 。

（3）若AB ⊥CD ，且CE ＝DE ，则 、 、 。

（4）若AB 为直径，且AC ＝，则 、 、 。

二、精讲点拨： ﹝一﹞ 自主学习例1小结：圆中常用辅助线的做法：当遇到弦时常巩固练习： 已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点。

求证：AC ＝BD 。

﹝二﹞例2：1400多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）约为37.02m ，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高）约为7.23m ，求桥拱的半径。

C
O B
三：拓展延伸：
⌒⌒ 1．如图，⊙O 中，如果AB=2AC，那么（ ）．
A．AB=AC B．AB=AC
B． C．AB<2AC D．AB>2AC
2、如图, ⊙O 的弦 AB 与半径 OE、OF 相交与 C、D,且 AC=BD,求证:OC=OD, ⌒⌒ AE=BF
四、系统总结:
TB:小初高题库
O
A
⌒⌒
⌒⌒
⌒⌒
A．AB=2CD B．AB>CD C．AB<2CD D．不能确定
3．如果两个圆心角相等，那么（ ）
C D
2
A．这两个圆心角所对的弦相等;
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角的顶点到所对的弦的距离相等; 教学过程：
D．以上说法都不对
B 1A
一、创设问题情境，引新课
前面我们已探讨过轴对称图形，那么圆是中心称性图形吗？ 二：精讲点拨：
因为
所以
因为
所以
注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，在本定理中的
“弧”是指同为优弧或劣弧.
4、自学课本 71 页例 3，把解题过程写在下面：
TB:小初高题库
青岛版初中数学
二、预习检测：
⌒⌒ 1.如图，在⊙O 中, AC=BD,∠1=30°,则∠2=__________°
2.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧 AB 与 CD 关系是（ ）
1、圆的旋转不变性；圆是中心称性图形，对称中心是圆心。
2、圆心角、弧、弦之间关系定理的推出：利用圆的中心称性
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它
们所对应的其余各组量都分别相等（注意条件和“知一推二”的意义）