10.4-2二项式定理(3)--二项式系数的性质5月3日
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二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用,并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一:二项式定理设a , b 是任意实数,n 是任意给定的正整数,则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理,其中右边的多项式叫的二项式展开式,每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意:二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项,n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ,并且第一个字母a 依次降幂排列,第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二:二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意:该项为二项展开式的第1m +项,而不是第m 项. 知识点三:二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中,与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数,那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数,那么它的展开式中间两项的二项式系数最大,并且相等,即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中,所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四:二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析:熟记二项式定理.解答:51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析:灵活运用通项公式. 解答:272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析:根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数,那么它的展开式中间两项的二项式系数最大,并且相等,即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数,再利用通项公式计算.解答:由于7为奇数,所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析:二项式()na b +的展开式中,所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式定理百科二项式定理(Binomial theorem)是数学中的一个重要定理,它描述了如何展开一个二项式的幂。
这个定理在代数、组合数学、概率论等领域都有广泛应用。
本文将详细介绍二项式定理及其应用。
一、二项式定理的定义二项式定理是指对于任意实数a和b以及非负整数n,都有以下等式成立:$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$其中,$\binom{n}{k}$表示组合数,计算公式为$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$式中的$\binom{n}{k}$可以读作n选择k,它表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
二项式系数$\binom{n}{k}$决定了二项式展开后各项的系数。
二、二项式定理的展开式通过二项式定理,可以将一个二项式的幂展开成多个项的和。
例如,对于$(a+b)^3$,应用二项式定理,展开式为:$$(a+b)^3=\binom{3}{0}a^3b^0+\binom{3}{1}a^2b^1+\binom{3}{2}a ^1b^2+\binom{3}{3}a^0b^3$$化简得:$$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$可以看出,展开后的每一项的指数和为3,且系数由组合数$\binom{3}{k}$确定。
三、二项式定理的应用1. 代数应用二项式定理常用于代数运算中,特别是求解多项式的展开式和系数。
通过二项式定理,可以快速计算高次幂的二项式展开式,简化复杂计算过程。
同时,二项式定理也可用于证明其他代数恒等式。
2. 组合数学组合数学研究的是离散结构和计数问题。
二项式定理的组合数$\binom{n}{k}$用于计算从n个元素中选择k个元素的方法数。
这对于排列组合、概率计算等问题都具有重要意义。
3. 概率论在概率论中,二项分布是一种重要的离散概率分布,它描述了一系列独立重复实验中成功次数的概率分布。
二项式定理可以用于计算二项分布的概率,判断在一定概率下,事件发生k次的概率。
二项式系数的性质教案教案标题:二项式系数的性质教案一、教学目标:1. 理解二项式系数的概念和含义;2. 掌握计算二项式系数的方法;3. 理解二项式系数的性质及其在组合数学中的应用。
二、教学准备:1. 教师准备:a. 熟悉二项式系数的概念、计算方法和性质;b. 准备相关的教学课件、习题和练习册。
2. 学生准备:a. 预习相关的二项式系数的概念和计算方法。
三、教学过程:1. 导入(5分钟):a. 通过一个简单的问题引入二项式系数的概念,例如:有5个红球和3个蓝球,从中选取2个球的组合数有多少种?b. 引导学生思考并讨论问题,引出二项式系数的概念。
2. 理解二项式系数的概念(10分钟):a. 介绍二项式系数的定义和表示方法,例如:C(n, k)表示从n个不同元素中选取k个元素的组合数。
b. 通过具体的例子解释二项式系数的含义,例如:C(5, 2)表示从5个元素中选取2个元素的组合数。
c. 利用教学课件展示相关的例题,引导学生进行思考和讨论。
3. 计算二项式系数的方法(15分钟):a. 介绍计算二项式系数的方法,例如:使用组合数公式C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)进行计算。
b. 通过具体的例子演示计算二项式系数的步骤,例如:计算C(5, 2) = 5! / (2!* (5-2)!)。
c. 引导学生进行练习,巩固计算二项式系数的方法。
4. 二项式系数的性质(15分钟):a. 介绍二项式系数的性质,例如:对于任意非负整数n和k,有以下性质:i. C(n, k) = C(n, n-k)ii. C(n, 0) = C(n, n) = 1iii. C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)b. 解释每个性质的含义和证明思路,通过具体的例子进行演示。
c. 引导学生进行练习,巩固二项式系数的性质。
5. 应用实例(15分钟):a. 介绍二项式系数在组合数学中的应用,例如:二项式定理和杨辉三角形等。
二项式定理高中数学二项式定理这玩意儿,听起来好像很吓人,啥“展开式”啊,“系数”啊,搞得好像要开个数学大会一样。
其实它并没有那么可怕。
咱们说白了,二项式定理就是一种用来展开(或者说拆开)像“(a+b)”这种式子的神奇工具。
你可能会问了,什么叫展开呢?简单来说就是把里面的东西拆开、整理得清清楚楚,告诉你它到底能长成什么样子。
打个比方,就像拆快递一样,把里面的东西一个个拿出来看清楚,哎哟,原来是个手机,不是个耳机,哈哈,是不是明白了?我们先从最基础的开始说,二项式定理就是帮助我们把像(a+b)的形式进行展开,看看它能变成什么模样。
比如说,你有(a+b)²,这个式子很常见吧?它到底是啥意思呢?你不妨先想想,(a+b)²就是(a+b)×(a+b),哎,就是这两个一模一样的东西相乘,咋弄呢?就拿“乘法分配律”那招吧,把a和b分别和另一个(a+b)里面的a和b都乘一遍。
你会得到:a×a + a×b + b×a + b×b,结果就是a² + 2ab + b²。
你瞧,这就是二项式定理的展开结果,超简单,完全可以照搬。
说实话,刚开始学的时候大家可能都会觉得这个很神秘,甚至会觉得有点蒙。
但其实呢,原来它的本质就是按部就班地去拆开它,明明白白地拿出来。
不过说到这里,你可能又在想了,怎么总是看到这类展开式里面的系数?是不是很复杂?别急,我们来聊聊这事儿。
其实啊,二项式定理里面的系数可不难搞。
你以为这系数是随便来的,其实它们是有规律的,这个规律叫“二项式系数”,它们可以通过一个叫做“杨辉三角”的东西来找。
这个东西可能看起来很复杂,但一旦你熟悉了它,便能像老朋友一样对它了如指掌。
我们从三角形的第一行开始数,开始算。
每一行的数都是通过上一行的数来加的,你就能找出这些系数,哦,这就是展开式里每一项前面的那个数。
举个例子哈,你如果有(a+b)³,那就等于(a+b)×(a+b)×(a+b)。
二项式系数性质与应用二项式系数是组合数学中的一种重要概念,它在代数、概率、统计等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍二项式系数的性质,并探讨其在实际问题中的应用。
一、二项式系数的基本性质1.1 二项式系数的定义二项式系数表示为C(n,k),其中n和k为非负整数,且0 ≤ k ≤ n。
其计算方法为C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!),其中“!”表示阶乘运算。
1.2 二项式系数的对称性二项式系数具有对称性,即C(n,k) = C(n,n-k)。
这是由于在组合中,选取k个元素与选取n-k个元素是等价的。
1.3 二项式系数的递推关系二项式系数有递推关系:C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)。
这一关系可以用来计算任意二项式系数,而无需重新计算阶乘。
1.4 二项式定理二项式定理是二项式系数的一个重要性质,表示为(a+b)^n = ΣC(n,k) * a^(n-k) * b^k,其中Σ表示求和运算,k的取值范围为0到n。
二、二项式系数的应用2.1 代数中的应用在代数中,二项式系数被广泛应用于多项式展开和系数计算。
通过二项式定理,我们可以展开任意次多项式,从而计算多项式的各项系数。
2.2 概率与统计中的应用在概率与统计中,二项式系数与二项分布密切相关。
二项分布用于描述一组独立重复试验中成功(或失败)的次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数可以用二项式系数来表示。
2.3 组合数学中的应用二项式系数是组合数学的基础概念,它与排列、组合、二项式定理等紧密相关。
在组合数学中,可以利用二项式系数解决一些计数问题,如排列组合问题、子集问题等。
2.4 离散数学中的应用离散数学中的一些问题可以转化为二项式系数的计算问题,如定理证明、图论、递归关系等。
二项式系数的递推关系和性质在解决这些问题时起到了重要的作用。
2.5 应用于经济学和金融学二项式系数在经济学和金融学中也有一定的应用,例如二项式期权定价模型和二项式资产定价模型。
二项式系数有哪些特殊性质二项式系数是组合数学中的重要概念,具有许多特殊性质。
本文将详细介绍二项式系数的特性,并进行逐一讨论。
一、二项式系数的定义及基本性质二项式系数是指二次幂的展开式中,各项的系数。
设a和b为任意实数,则二次幂的展开式可表示为(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b+ ··· + C(n,n)b^n,其中C(n,k)表示从n个元素中取k个元素的组合数。
二项式系数具有以下基本性质:1. 对称性:C(n,k) = C(n,n-k),即二项式系数在列数上具有对称性质。
2. 递推关系:C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k),即每一个二项式系数都可以由前一个系数递推得到。
3. 边界条件:C(n,0) = C(n,n) = 1,即从n个元素中取0个或n个元素的组合数都为1。
二、二项式系数的特殊性质除了以上的基本性质外,二项式系数还具有许多特殊性质,包括:1. 杨辉三角形的构建二项式系数可以通过杨辉三角形的构建方法得到。
杨辉三角形的第n行第k个数即为C(n,k),通过构建杨辉三角形,可以直观地观察到二项式系数的对称性和递推关系。
2. 定理1:二项式系数的性质二项式系数满足定理1:C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)。
这一性质可以通过排列组合的原理得到,即从n个元素中取k个元素的组合数等于从n-1个元素中取k-1个元素的组合数再加上从n-1个元素中取k个元素的组合数。
3. 定理2:二项式系数的性质二项式系数满足定理2:C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k+1),其中k满足1<=k<=n-1。
这一性质可以通过将C(n,k)的递推关系重写为C(n-1,k) = C(n,k) - C(n-1,k-1)得到。
4. 定理3:二项式系数的性质二项式系数满足定理3:C(n+1,k+1) = (n+1)/(k+1) * C(n,k),其中n 和k满足1<=k<=n。
10.43二项式定理(3)教学目标:1.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用;2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题;3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质,提高分析问题和解决问题的能力。
教学重点、难点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用。
教学过程:一、复习:1.二项式定理,二项展开式的通项及二项式系数.二、新课讲解:1.二项式系数表(杨辉三角)()n a b +展开式的二项式系数,当n 依次取1,2,3…时,如下表所示: 1()a b +……………………1 12()a b +…………………1 2 13()a b +………………1 3 3 14()a b +……………1 4 6 4 15()a b +…………1 5 10 10 5 16()a b +………1 6 15 20 15 6 1………………………………上表叫二项式系数表,表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和(为什么?)这个表早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就已经出现,这个表叫杨辉三角。
利用这一性质,可根据相应于n 的各项二项式系数写出相应于1n +的各项二项式系数。
2.二项式系数的性质:()n a b +展开式的二项式系数是0nC ,1n C ,2n C ,…,n n C .r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ,例当6n =时,其图象是7个孤立的点(如图)(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵m n m n nC C -=). 直线2n r =是图象的对称轴. (2)增减性与最大值.∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅ , ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定,1112n k n k k -++>⇔<, 当12n k +<时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值;当n 是偶数时,中间一项2n n C 取得最大值;当n 是奇数时,中间两项12n n C -,12n n C +取得最大值.(3)各二项式系数和:∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ ,令1x =,则0122n r n n n n n nC C C C C =++++++ .三、例题:例1.求证:在()n a b +的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。