§1 矩阵的初等变换

矩阵的初等变换矩阵是数学中一种重要的数据结构，它可以用来描述和探究物理、金融、社会学和数学科学等各个领域的问题。

矩阵的初等变换是一种常见的矩阵操作，可以将矩阵进行变换，获得新的矩阵。

本文将简要介绍矩阵的初等变换，并通过实例阐述它的定义和相关技巧。

首先，要讨论矩阵的初等变换，需要先理解矩阵的概念。

矩阵是一种数学结构，由行列式组成，用来表示特定系统的数据。

矩阵由数字、向量或符号组成，可以用来描述线性方程和向量空间等，是线性代数的基础。

矩阵的初等变换是指使用一些基本的算术操作将矩阵改变为新的矩阵的过程。

特别地，它可以使用行变换、列变换、行列式变换和折叠操作等技巧。

矩阵的行变换是一种将矩阵的行作为基准，通过添加和减少某一行的某一项，以改变矩阵的值的操作。

例如，给定一个矩阵A，其中有5行，将第2行乘以2和第3行加上第2行可以得到新的矩阵B，即：A：1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 85 6 7 8 9B=A+2*R2+R31 2 3 4 54 7 10 13 167 11 15 19 234 5 6 7 85 6 7 8 9行变换可以将矩阵转换为更容易进行操作的形式，如简化矩阵的行列式计算，将矩阵进行分配等。

列变换是一种将矩阵的列作为基准，对矩阵进行添加、减少或替换元素操作，以实现变换的操作。

例如，给定一个矩阵A，其中有7列，通过乘以2，减去第4列和第5列，可以得到新的矩阵B，即： A：1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 9B=A+2*C1-C4-C51 2 3 2 1 0 72 3 4 -2 -3 5 83 4 5 -2 -3 6 9列变换可以用于转换特定的矩阵形式，如获得对称矩阵、对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵等。

行列式变换通常指的是改变矩阵的行或列，以改变矩阵的行列式的值。

例如，给定一个矩阵A，其中有相同的元素，将第1行减去第2行，第3行减去第2行，可以得到新的矩阵B，即：A：1 2 3 41 2 3 41 2 3 4B=A-R20 0 0 00 0 0 00 0 0 0行列式变换可以用来计算行列式的值，也可以用于转换矩阵的特定形式，如转置、依赖度等。

矩阵的初等变换是指对矩阵进行一系列特定的行变换、列变换或行列变换，其目的是简化矩阵的形式或者解方程组。

常见的初等变换包括以下三种：
1.交换两行或两列：将矩阵中的两行或两列进行交换。

2.某一行或列乘以一个非零常数**：将矩阵中的某一行或某一列的所有元素乘以一个非零常数。

3.某一行或列加上另一行或列的若干倍**：将矩阵中的某一行或某一列的元素分别加上另一行或列对应位置元素的若干倍。

矩阵的初等变换可以应用于多个领域，主要包括以下几个方面的应用：
1.线性方程组的求解：通过对增广矩阵进行初等变换，将线性方程组化简为最简形式，从而求得方程组的解。

2.矩阵的求逆：通过初等变换将原矩阵化为单位矩阵或对角矩阵，从而求得原矩阵的逆矩阵。

3.矩阵的标准形式：利用初等变换将矩阵化为标准形式，如行阶梯形矩阵或最简行阶梯形矩阵，便于进一步的研究和计算。

4.特征值和特征向量的求解：通过初等变换将矩阵转化为对角矩阵，
从而求得矩阵的特征值和特征向量。

5.线性空间的基变换：在线性代数中，我们可以通过初等变换将一组向量变换为线性空间的一组基，从而简化问题的处理。

总的来说，矩阵的初等变换在线性代数、方程组求解、特征值分析等领域都具有重要的应用价值，能够简化计算、找出规律、解决实际问题。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。

为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。

§1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。

一、引例求解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+=+--979634226442224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x(1)(1) )(1B )(2B)(3B ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+-=+-+00304244324321x x x x x x x x )(4B 问题10共采取了几种变换将(1)变为)(4B 的？（三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数)0(≠k 乘某方程； (ⅲ) 将某方程的k 倍加到另一方程上。

且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）20在这三种变换下，(1)与)(4B 是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即同解变换） 30采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？ （阶梯形。

其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程； 将③代入②得32x x =，表明3x (或2x )可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）40 由于(1)与其增广矩阵)(b A B =构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？⎝⎛=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------97963211322111241211 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------34330635500222041211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----310620000111041211 5000310000111041211B =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---. 对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：②-③ ③-2① ④-3① ①②③④①↔ ② ③ ÷③↔④ ④-2③ ③↔④ ④-2③ ①②③④②-③ ③-2①④-3① ②÷ 2③+5② ④-3②二、初等变换1、定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：(ⅰ) 对调两行（对调i 、j 两行记作：j i r r ↔）；(ⅱ) 以数k ≠0乘某行中的所有元素（第i 行乘k 记作：k r i ⨯）；(ⅲ) 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j 行的k 倍加到第i 行记作：j i r k r +）。

矩阵的初等变换矩阵的初等变换是指矩阵的元素可以通过运用一系列简单的操作进行变换，而不改变矩阵的表达式形式。

它主要有三种：行变换、列变换和对角变换。

1、行变换行变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一行或者多行乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一行或者多行加上矩阵的另一行乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两行。

2、列变换列变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一列或者多列乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一列或者多列加上矩阵的另一列乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两列。

3、对角变换对角变换就是把矩阵的一行或者一列乘以一定的非零常数，改变的只有矩阵的对角线上的元素。

二、矩阵的初等变换的作用矩阵的初等变换在数学中被用来解方程组，对矩阵进行相应的变换，可以使矩阵变得简单易懂，方便求解。

1、消元消元是指用初等变换将不完全行列式变为下三角形式，也就是将原有的矩阵通过初等变换转化为更简单易懂的形式。

消元可以解决线性方程组，求解使方程组成立的一组解。

2、求逆矩阵求逆矩阵是指找到可以使一个矩阵的乘积等于单位矩阵的矩阵，如果形式方程有唯一解，则可以通过求逆矩阵来求解。

三、矩阵的初等变换的实践1、求解线性方程组例1：求解下列线性方程组x1+x2+x3=22x1+x2+2x3=5x1+2x2+2x3=4通过消元法可以将方程转化为x2+2x3=32x2+4x3=7又因为，x3=3-2x2，于是有x2=1/2x3=7/4因此，原方程的解为：x1=2-x2-x3=2-1/2-7/4=9/4x2=1/2x3=7/42、求逆矩阵例2：求解矩阵A的逆矩阵A=[2 34 5]首先，计算矩阵A的行列式，即|A|=2*5-3*4=-2，所以|A|不等于0，A是可逆矩阵。

计算A的逆矩阵A^(-1)，A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]最终A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]四、结论矩阵的初等变换是一种重要的数学工具，它可以利用简单的操作改变矩阵的形式，从而解决一些数学方程，例如求解线性方程组和求逆矩阵。

§3.1 矩阵的初等变换定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： 1． 互换两行（记j i r r ↔）；2． 以数)0(≠k k 乘以某一行（记k r i ⨯）； 3． 把某一行的k 倍加到另一行上（记j i kr r + ）．若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换．定义2 若矩阵A 经有限次初等行变换变成B ，则称A 与B 行等价，记；若矩阵A 经有限次初等列变换变成B ，则称A 与B 列等价，记 ； 若矩阵A 经有限次初等变换变成B ，则称A 与B 等价，记B A ~ ． 等价关系满足：1． 反身性： A A ~；2． 对称性： A B B A ~~⇒；3． 传递性：B A ~,C A C B ~~⇒． 例 用初等行变换解线性方程组：解：（称B 是该线性方程组的增广矩阵）,，）（13111141211B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---称为行阶梯形矩阵，特点：横线下方全是0；每阶只有一行，阶数即非零行行数；竖线后面第一个元素为非零元)(231311411B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---称为行最简形矩阵，特点：在行阶梯形的基础上，每行第一个非零元素为1，且该元素所在的列其余元素为0。

2B对应的线性方程组为取cx=3，则．例1. 用初等行变换化矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1314221312A为行阶梯形.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---91513142212．用初等行变换把矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=41311221222832A 化成行最简形.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00003232102301对n m ⨯矩阵A ，总能经若干次初等行变换和初等列变换变成形式，（称之为标准形）．该标准形由 m 、n 、r 完全确定，特点：左上角是一个单位矩阵，其余元素均为0.为了应用方便，以下引入初等矩阵的知识。

定义 单位阵E 经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，有如下形式：()行第行第j i j i E ←←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1101111011O OO ,()01111≠←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k i k k i E ,)(行第OO ()行第行第j i c c j i E ←←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111OOO )(,上述))(,( )),(( ),,(k j i E k i E j i E 就是三种初等矩阵．例3 矩阵,,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛101110020110都是初等矩阵，且有 ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101100110,/⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001100211002,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110111011 所以. , ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1011101110021100201100110111,,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001001010100⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛102010001也都是初等矩阵，由于 ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001001010100001010100,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000100011000210001100020001 .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001102010001102010001 所以,0010101000010101001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛- ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10002100011000200011.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1020100011020100011一般的有：初等矩阵是可逆矩阵，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵. ),,(),(1j i E j i E =-，))1(())((1ki E k i E =- ， ))(,())(,(1k j i E k j i E -=-．定理1 设 为 矩阵，对 作一次初等行变换，相当于 左乘以一个相应的初等矩阵，对 作一次初等列变换，相当于 右乘以一个相应的初等矩阵，即 ，；，；， ．定理2 设A 是可逆方阵，则存在有限个初等矩阵l P P P , , ,21Λ，使得证：A 可逆，则A 经有限次初等变换可变成单位阵E ，即，同样，即单位阵E 经限次初等变换可变成A ，所以存在有限个初等矩阵s P P P , , ,21Λ 和l s s P P P , , ,21Λ++ ，使得即推论 n m ⨯矩阵B A ~存在m 阶可逆阵P 和n 阶可逆阵Q ，使B PAQ =．利用初等行变换求可逆阵的逆阵的方法：设 A 是n 阶可逆矩阵，则有有限个初等矩阵l P P P , , ,21Λ ，使得故 E A P P P l =---11121 Λ，而 111211 ----=P P P A l Λ 即 111121 ----=A E P P P l Λ所以由 E A P P P l =---11121 Λ和111121 ----=A E P P P l Λ 可得),(),( 111121----=A E E A P P P l Λ即上式表明只要对),(E A 作初等行变换，使得),(E A 的左边A 变成E ，则右边E 就变成1-A ．例4 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A ，求1-A ．解 对 ),(E A 作初等行变换：所以 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-111253232311A ． .,, . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==3413523431223212B A B AX 其中解矩阵方程例..B A B E A B A B A X A 11--=就变为时，变为把）施以初等行变换，当对矩阵（可逆，则分析：若M BP P P P B A EB P P P P B A E P P P P A E AA EA AA P P P P E A P P P P m m m m m 123112311231111123123ΛΛΛΘΛΛΘ=∴=⇒=⇒==∴=------ 换：）并对之施以初等行变矩阵（构造B A M 53⨯()⎪⎪⎪⎭⎫----- ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫---- ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+---31914110052020112291526205203213413523431223212123231323r r r r r r r r B A ~~M⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫----- ⎝⎛------+-3164231000200013191411005202013132212325r r r r r r r r ~~ .~)()(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⇒⎪⎪⎪⎭⎫--⎝⎛-÷-÷3132233132231000100012123X r r .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=313223X 所以 ., .3 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+=3210113242A X A AX 其中解矩阵方程例⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+=1210113221000100012321011324222E A A X E A X A AX ）可得（由矩阵方程解()()., 11122---∴⋅-=E A A E A X 先求：方法Θ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--⨯1000100011210113222263E E A E E A M M 换：）并对之施以初等行变矩阵（构造⎪⎪⎪⎭⎫----- ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-461351341100010001461110120100110101110021010110340011~~~().⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-1212105198421A E A X 所以方法2：换：）并对之施以初等行变矩阵（构造A E A M 263-⨯()⎪⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛--=-3210113241210113222A E A M⎪⎪⎪⎭⎫--- ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12121051984100010001330302011110340011~~..⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=12121051984X 所以注：....Y CA Y CA E C A C A CA Y C YA B A X B AX 行变换求出或利用转置后进行初等作初等列变换，使则可以对矩阵，则若，则若列变换1111----=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛====→。