下载文档原格式
![《函数连续性》教学设计及反思[权威资料]](https://uimg.taocdn.com/8415137f5022aaea988f0f4d.webp)
《函数连续性》教学设计及反思[权威资料] 《函数连续性》教学设计及反思本文档格式为WORD,感谢你的阅读。
【摘要】本文通过对高等数学中的《函数的连续性》的教学，谈谈学生在学习中存在的问题，针对高师学生自身及《高等数学》这一课程的特点，不断尝试不同的课堂设计，课堂教学，寻找一种更轻松的课堂教学模式，让学生想学、乐学、主动去学。
【关键词】函数连续函数改变量高等数学【】 G424 【】 A 【】 1006-5962(2012)11(b)-0117-02《高等数学》是我们学校计算机专业的一门重要课程，这也是专转本学生必学必考的一门课程。
据多数学生反映及本人教学发现，高等数学确实是一门比较难的课程，对于我们学校的学生而言学习更为困难。
之所以更难，有两个主要原因。
其一，高等数学这门课程难，它是初等数学以外的一门数学，它有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。
其二，计算机专业学生自身特点.在经过一学年的《高等数学》课程教学后，发现学生对这门课程表现出不知所措，无奈，无所谓的态度，这是一种令人担忧的现象，尤其是在讲函数的连续性这里，问题更是很多，为了能改变课堂教学中学生突然没反应这一令教师尴尬的场面，我进行了不断尝试，认真钻研教材，结合学生的特点，努力寻找一种他们易懂易学的方法，引起他们学习的兴趣，帮助他们找回学习的信心。
笔者打算就函数的连续性第一课时谈谈自己的教学设计，并针对设计进行教学反思与评价。
1 函数的连续性第一课时教学设计《函数的连续性》是南京大学出版社周明儒编著的《高等数学》(文科类)第一章《极限与连续》中第5小节的内容，函数连续的概念、证明函数在某点连续以及判断分段函数在某点的连续性是本节课的重点，也是难点.函数的连续性第一课时是在学生学习了函数概念、函数极限的概念、性质以及计算的基础上，对函数的性质进一步进行的讨论。
高等数学研究的主要对象是初等函数，而连续性是初等函数的重要性质。
第四章微分中值定理和导数的应用微分中值定理费马引理：设函数y=f(x) 在点的一个邻域上有定义，并在可导，假如（或）则一、罗尔(Rolle) 定理罗尔（Rolle）定理假如函数f(x) 在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b) ，那么在（a,b）内起码有一点，使得函数f(x) 在该点的导数等于零，即。
几何解说:在曲线弧AB上起码有一点C，在该点处的切线是水平的。
例1.判断函数，在[-1，3]上能否知足罗尔定理条件，若知足，求出它的驻点。
【答疑编号11040101】解知足在[-1，3]上连续，在（-1，3）上可导，且f(-1)=f(3)=，∵，取例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断有几个实根，并指出这些根所在的区间。
【答疑编号11040102】二、拉格朗日(Lagrange) 中值定理1.拉格朗日(Lagrange) 中值定理假如函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a,b ）内起码有一点，使等式成立。
注意：与罗尔定理对比条件中去掉了f(a)=f(b) 2.结论亦可写成。
几何解说:在曲线弧AB上起码有一点 C，在该点处的切线平行于弦AB。
拉格朗日中值定理又称微分中值定理例3（教材162页习题，3题（2）题）、判断f(x)=sinx在上能否知足拉格朗日中值定理。
【答疑编号11040103】推论1假如函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。
例4（教材162页习题，4题）、证明【答疑编号11040104】证设又，即，推论2假定在区间I上两个函数f(x)和g(x)的导数到处相等，则f(x)与g(x)至多相差一个常数。
洛必达法例一、型及型不决式解法：洛必达法例1、定义假如当x→a（或x→∞）时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无量大，那么极限称为或型不决式。
2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
大一高等数学教材章节目录第一章导言第1节数学的发展和数学的定义第2节数学基本概念与基本运算第3节数学语言与符号第二章集合论与逻辑第1节集合的基本概念与运算第2节布尔代数与命题逻辑第3节谓词逻辑与命题公式第三章数列与极限第1节数列的概念与性质第2节数列极限的定义第3节数列极限的性质与计算方法第四章函数与连续第1节函数的概念与性质第2节函数的分类与表示第3节连续函数与间断点第五章导数与微分第1节导数的定义与性质第2节函数的求导法则第3节高阶导数与隐函数求导第六章微分中值定理与应用第1节微分中值定理第2节高阶导数的应用第3节泰勒公式及其应用第七章积分与不定积分第1节定积分与不定积分的概念第2节积分运算法则第3节不定积分与定积分的关系第八章微积分基本定理与应用第1节微积分基本定理与反函数微分法第2节曲线的弧长与体积第3节平面和空间曲线的曲率和曲率半径第九章偏导数与多元函数微分学第1节多元函数的定义与性质第2节偏导数的计算法则第3节多元函数的极值与最值第十章重积分与曲面积分第1节重积分的概念与性质第2节二重积分的计算方法第3节曲面积分与曲线积分第十一章空间解析几何第1节空间直线与平面的方程第2节空间曲线的方程与求交问题第3节空间曲面的方程与性质第十二章常微分方程第1节常微分方程的基本概念第2节一阶常微分方程的解法第3节高阶常微分方程的解法第十三章概率论与数理统计第1节概率的基本概念与性质第2节随机变量与概率分布第3节统计量与估计第十四章线性代数第1节矩阵与线性方程组第2节向量空间与变换矩阵第3节特征值与特征向量以上是大一高等数学教材的章节目录，每个章节都包含了该主题的基本概念、性质和相关计算方法。
希望这份目录能够帮助你在学习高等数学的过程中更好地组织学习内容，理解各个章节的关系和内在逻辑。
祝你在数学学习中取得好成绩！。
高等数学教材北大版本目录目录第一章极限与连续函数第一节极限的概念与性质1.1 实数集的性质1.2 数列极限的定义与性质1.3 无穷小量与无穷大量的比较1.4 函数极限的定义与性质1.5 极限存在准则1.6 极限运算法则1.7 极限存在的计算方法第二节一元函数的连续性2.1 连续函数的概念与性质2.2 连续函数的运算法则2.3 连续函数的分段定义与分段连续性2.4 介值定理及其推论2.5 零点存在性的判定第三节导数与微分3.1 导数的概念与几何意义3.2 导数的计算3.3 切线与法线方程3.4 高阶导数与莱布尼茨公式3.5 微分的概念与性质3.6 高阶导数的计算方法第二章微分学第一节函数的单调性与极值1.1 单调数列的判定1.2 函数单调性的判定1.3 极值的概念1.4 极值的判定条件1.5 函数的最值与最值存在性的判定第二节函数的凹凸性与拐点2.1 函数的凹凸性的概念与性质2.2 函数的拐点概念2.3 拐点的判定与求法2.4 函数的凹凸区间与拐点的图像第三节函数的图形与曲率3.1 函数的图形与切线方程3.2 曲率的概念与曲率圆方程3.3 渐近线与极限曲线第三章积分学第一节不定积分1.1 不定积分的概念与基本性质1.2 不定积分的计算方法1.3 牛顿-莱布尼茨公式与定积分第二节定积分2.1 定积分的概念与性质2.2 定积分的计算2.3 定积分与不定积分的关系2.4 定积分的应用第三节微积分基本定理与换元积分法3.1 微积分基本定理3.2 定积分的换元积分法3.3 径向对称函数的定积分第四章无穷级数第一节数项级数的概念与性质1.1 数项级数的概念1.2 数项级数收敛性的判定1.3 常见数项级数的性质与收敛域第二节幂级数2.1 幂级数的概念与收敛域2.2 幂级数的运算法则2.3 幂级数的收敛半径与收敛区间 2.4 幂级数的和函数及其性质第五章二元函数与多元函数的微分学第一节二元函数的极限与连续性1.1 二元函数的极限概念1.2 二元函数的连续性1.3 多元函数的限制与间断点第二节多元函数的偏导数与全微分 2.1 多元函数的偏导数2.2 隐函数的求导2.3 多元函数的全微分第三节多元函数的泰勒公式与极值 3.1 多元函数的泰勒公式3.2 多元函数的极值与条件极值 3.3 多元函数的拉格朗日乘数法第六章多元函数的积分学第一节二重积分1.1 二重积分的概念与性质1.2 二重积分的计算1.3 二重积分的应用第二节三重积分2.1 三重积分的概念与性质2.2 三重积分的计算2.3 三重积分的应用第七章常微分方程第一节常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的基本概念1.2 一阶常微分方程的解1.3 可分离变量的方程第二节一阶常微分方程的应用2.1 可解的方程2.2 高效变量的方程2.3 齐次方程第三节高阶常微分方程3.1 二阶线性常微分方程3.2 常系数齐次线性方程3.3 变动参数法与电路问题总结以上为高等数学北大版本教材目录，涵盖了极限与连续函数、微分学、积分学、无穷级数、二元函数与多元函数的微分学、多元函数的积分学、常微分方程等多个主要章节。
高等数学 第四章 不定积分的概念和性质1—2节 课堂笔记及练习题主 题：第四章 不定积分的概念和性质1—2节 学习时间：2015年11月30日—12月6日内 容：这周我们将学习第四章不定积分的概念和性质（1—2节）。
积分运算与微分运算互为逆运算，它们同是高等数学的重点，需要充分重视。
其学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、理解原函数与不定积分的概念2、非常熟练地掌握求不定积分的基本方法：基本积分公式、不定积分的性质、换元法。
基本概念：原函数和不定积分的概念知识点：基本积分公式、不定积分的性质、换元法知识结构图一元函数积分学原函数不定积分定义运算法则计算方法直接积分法换元法第一类换元法全体个体第二类换元法第一节、不定积分的概念和性质一、原函数与不定积分的概念（要求理解各概念） 定义1：设)(x f 为某区间I 上的函数，如果存在函数)(x F ，使在该区间上有)()(x f x F ='或,)()(dx x f x dF =则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。
原函数存在定理：如果)(x f 在区间I 上连续，则在区间I 上)(x f 的原函数一定存在。
说明：如果)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，显然c c x F ()(+为任意常数）也是)(x f 的原函数，这说明)(x f 如果存在原函数，应有无穷多个，)(x f 的全体原函数是一个函数族。
c x F +)(为)(x f 全体原函数的一般表达式。
定义2：设)(x F 是)(x f 在区间I 的一个原函数，则)(x f 的全体原函数c x F +)(称为)(x f 在区间I 的不定积分，记⎰+=c x F dx x f )()(其中⎰叫积分号，)(x f 叫被积函数，dx x f )(叫被积表达式，x 叫积分变量，c 为任意常数叫积分常数。
范例解析：1、单选题：设)(x f 的一个原函数为x1，则=')(x f （ ） A 、||ln xB 、x1 C 、21x - D 、32x解题思路：因为x 1为)(x f 的原函数，所以21)1()(xx x f -='=，从而32)(xx f ='。
第四章 函数的连续性
● 引言
在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数．从今天开始，我们就来看看这类函数的特点．主要讲以下几个问题：
１．什么是“函数的连续性”？
２．“间断”或“不连续”有哪些情形？
３．连续函数有哪些性质？
４．初等函数的连续性有何特点？
§１ 连续性概念
● 引言
“连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲，是不难理解的．例如下图１中的函数()y f x =，我们说它是连续的，而图２中的函数在0x 处是间断的．
由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线．而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了．
当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性．
例如，可以举出这样的例子，它在每点都连续但却无法用图形表示出来（如Rieman 函数）． 因此，为了给出“连续”的定义，需要对此作进一步分析和研究．
从图２看出，在0x 处，函数值有一个跳跃，当自变量从1x 左侧的近傍变到1x 右侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化．而在其它点处（如1x 处），情况则完全相反．：当自变量从1x 向左侧或向右侧作微小改变时，对应的函数值也只作微小的改变；这就是说，当自变量x 靠近1x 时，函数值就靠近1()f x ，而当1x x →时，1()()f x f x →．换句话说，当1x x →时，()f x 以1()f x 为极限，即1
1lim ()()x x f x f x →=． 根据这一分析，引入下面的定义：
一 函数在一点的连续性
1. 函数f 在点0x 连续的定义
定义１（f 在点0x 连续）设函数f 在某0()U x 内有定义，若0
0lim ()()x x f x f x →=，则称f 在点0x 连续． 注 00
0lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==，即“f 在点0x 连续”意味着“极限运算与对应法则f 可交换． ２．例子
例１．0,sin ,cos x R x x ∀∈在0x 处连续．
例２．2
lim(21)5(2)x x f →+==．
例３．讨论函数1sin ,0()0
,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点x=0处连续性． ３．函数f 在点0x 连续的等价定义
１） 记号：0x x x ∆=-——自变量x 在点的增量或改变量．设00()y f x =，0000()()()()y f x f x f x x f x y y ∆=-=+∆-=-——函数y 在点0x 的增量．
注：自变量的增量x ∆或函数的增量y ∆可正、可负、也可为零．（区别于“增加”）．
２） 等价定义１：函数f 在点0x 连续⇔0
lim 0x y ∆→∆=． ３） 等价定义２：函数f 在点0x 连续⇔0,0εδ∀>∃>，当0||x x δ-<时，0|()()|f x f x ε-<． 注：一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式．如用三种定义，可以证明以下命题： 例４．证明函数()()f x xD x =在点0x =连续，其中()D x 为Dirichlet 函数．
４．函数f 在点0x 有极限与函数f 在点0x 连续之间的关系
１） 从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定f 在00()U x 内不定义（f 在点0x 可以没有定义）．而f 在
点0x 连续则要求f 在某0()U x 内有定义（包括0x ）．
２） 在极限中，要求00||x x δ<-<，而当“f 在点0x 连续”时，由于x=0x 时，0|()()|f x f x ε-<恒成立．所以换为：0||x x δ-<.
３） 从对极限的要求看：“f 在点0x 连续”不仅要求“f 在点0x 有极限”，而且0
0lim ()()x x f x f x →=；而在讨论0
lim ()x x f x →时，不要求它等于0()f x ，甚至于0()f x 可以不存在． 总的来讲，函数在点0x 连续的要求是：①()f x 在点0x 有定义；②0
lim ()x x f x →存在；③00lim ()()x x f x f x →=. 任何一条不满足，f 在点0x 就不连续．同时，由定义可知，函数在某点是可连续，是函
数在这点的局部性质．
５．f 在点0x 左（右）连续定义
① 定义２：设函数f 在点0()U x +（0()U x -内有定义），若00lim ()()x x f x f x +→=（0
0lim ()()x x f x f x -→=），则称f 在点0x 右（左）连续．
② f 在点0x 连续的等价刻划
定理4.1 函数f 在点0x 连续⇔f 在点0x 既是右连续，又是左连续．
如上例４：00lim ()lim 0(0)x x xD x x f ++→→===（右连续），00
lim ()lim 0(0)x x xD x x f --→→===（左连续）． 例５．讨论函数2,0()2,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩
在点0x =的连续性． 二 区间上的连续函数
１．定义
若函数f 在区间Ｉ上每一点都连续，则称f 为Ｉ上的连续函数．对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续．若函数f 在区间[,]a b 上仅有有限个第一类间断点，则称f 在
[,]a b 上分段连续．
２．例子
（１）函数,,sin ,cos y C y x y x y x ====是Ｒ上的连续函数；（２）函数y =在(1,1)-内每一点都连续．在1x =处为左连续，在1x =-处为右连续，因而它在[1,1]-上连续．
命题：初等函数在其定义区间上为连续函数．
函数[]y x =，sgn y x =在[1,1]-上是分段连续的[]y x =在Ｒ上是分段连续吗？ sgn x 在Ｒ上是分段连续吗？
三 间断点及其分类
１．不连续点（间断点）定义
定义３ 设函数f 在某00()U x 内有定义，若f 在点0x 无定义，或f 在点0x 有定义而不２，不则称
点0x 为函数f 的间断点或不连续点．
注 这个定义不好；还不如说：设f 在00()U x 内不定义，如果()f x 在0x 不连续，则称0x 是()
f x 的不连续点（或间断点）．由上述分析可见，若0x 为函数f 的间断点，则必出现下列情形之一：①()f x 在点0x 无定义；②0lim ()x x f x →不存在；③0
0lim ()()x x f x f x →≠．据此，对函数的间断点作如下分类： ２．间断点分类
１） 可去间断点 若0
lim ()x x f x A →=，而f 在点0x 无定义，或有定义但0()f x A ≠，则称0x 为f 的可去间断点．
例如：0x =是函数sin ()|sgn |,()x f x x g x x
==的可去间断点． “可去间断点”名称何来？通过一定的手段，可以“去掉”．设0x 是()f x 的可去间断点，且
0lim ()x x f x A →=．00
(),(),f x x x f x A x x =⎧⎨≠⎩则0x 是()f x 的连续点． 例如，对sin ()x g x x =，定义sin ,0()1,0
x x g x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则()g x 在0x =连续． ２） 跳跃间断点 若00
lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→存在，但00(0),(0)f x f x +-，则称点0x 为函数f 的跳跃间断点．
例如，对[]y x =，00
lim[]0,lim[]1x x x x +-→→==-故0x =是它的跳跃间断点． 再如0x =是sgn x 的跳跃间断点．
可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点，其特点的函数在该点处的左、右极限都存在．
３） 第二类间断点 函数的所有其它形式的间断点（即使称函数至少有一侧极限不存在的点）称为函数
的第二类间断点．
例如，0x =是函数1x ，1sin x
的第二类间断点． 作业：P73 2（2）（3）（6）（7）， 3。
