陕西高二上学期期中考试数学试卷

数学（理科）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：北师大版必修3，必修4，必修5，选修2-1第一章，第二章. 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在正方体中，（ ）1111ABCD A B C D -1AB AD BB ++=A. B. C. D.1AC1AC 1C A 1CA 2.在等差数列中，，则的公差为（ ）{}n a 2102,18a a =={}n a A.1B.2C.3D.43.图中阴影部分所表示的区域满足的不等式是（）A. B. 220x y +-…220x y +->C.D.220x y +-…220x y +-<4.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列四组向量中能使的是l m αnl α⊥（）A. ()()1,0,1,1,0,1m n =-=B. ()()0,2,1,0,1,2m n ==-C.()()1,2,1,2,1,2m n =-=--D.()()2,1,1,4,2,2m n =-=--5.如图所示，程序框图的输出值（）S =A.15B.22C.24D.286.“”是“关于的不等式有解”的（ ）1m >x ()210x m x m -++<A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.已知，且，则（ ） 2παπ<<1cos 9α=sin 2α=A. B. D. 23-238.给出命题：在中，若，则成等差数列.这个命题的逆命题，否命ABC 3B π=,,A B C 题，逆否命题中，真命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.39.将函数的图象向左平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的，()3sin f x x =6π12纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（ ） ()g x ()g x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦A. B. C. D. []3,3-33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.已知均为正数，若，则当取得最小值时，的值为（ ） ,x y 261x y+=3x y +x y +A.24B.4C.16D.1211.已知命题：已知，若数列是递增数列，则；命题p ()2*2n a n an n =-∈N {}n a 1a …:q若，），则的最小值是4，则下列命题为真命题的是（ ） (0A ∈π4sin sin A A+A.B.C.D.p q ∨p q ∧()p q ⌝∧()p q ⌝∨12.在中，角所对的边分别为，已知，则ABC ,,A B C ,,a b c 2220,3b bc c a --==的面积的最大值为（ ）ABCA.3B.6C.D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“”的否定是__________.*2,2n n n ∀∈>N 14.在空间直角坐标系中，点的坐标分别是，Oxyz ,,,A B C M ()()()2,0,2,2,1,0,0,4,1-，若四点共面，则__________.()0,,5m -,,,A B C M m =15.已知等边的边长为4，若，则__________.ABC 3CM BM =- AM AB ⋅=16.已知数列的前项和为，且满足，则{}n a n n S ()*123n n n S a n =-∈N 2022S =__________.三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在中，角的对边分别为，已知. ABC ,,A B C ,,a b c cos cos cos 0b C c B A ++=（1）求；A（2）若的周长. 10,a b ==ABC 18.（本小题满分12分）已知：关于的不等式对任意实数都成立，：关于的方程p x 220ax ax -+>x q x2cos 0x a -=在区间上有解.[]0,π（1）若是真命题，求实数的取值范围；p a （2）若是真命题，是假命题，求实数的取值范围. p q ∨p q ∧a 19.（本小题满分12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，底面M ABCD -,90,AB CD ADC MD ∠=⊥∥ ，且是的中点.ABCD 22,MD DC AD AB P ====MC（1）证明：平面；BP ∥MAD （2）求直线与平面所成角的正弦值. MB DBP 20.（本小题满分12分）某公司组织了丰富的团建活动，为了解员工对活动的满意程度，随机选取了100位员工进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图（这[40,50),[50,60),[60,70),,[90,100] 100人的评分值都分布在之间）.[]40,100（1）求实数的值以及这100人的评分值的中位数；m （2）现从被调查的问卷满意度评分值在的员工中按分层抽样的方法抽取5人进行[)60,80座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率. 21.（本小题满分12分）如图，四棱柱的底面为矩形，为中点，平1111ABCD A B C D -ABCD 2,AD AB M =BC面平面. 11AA D D ⊥11,ABCD AA A D AD ==（1）证明：平面；1A D ⊥11ABB A （2）求二面角的平面角的余弦值. 1B A A M --22.（本小题满分12分） 在数列中，. {}n a 312111,2341n n a a a a a a n +=++++=+ （1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前项和. 11n n n b a a +={}n b n n S府谷中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学（理科） 参考答案､提示及评分细则1.A ，故选A.111AB AD BB AB BC CC AC ++=++=2.B 设的公差为，则，解得.故选B.{}n a d 112,918a d a d +=+=2d =3.B 图中直线对应的方程是，由于直线是虚线，故排除A ，C 选项.当220x y +-=时，，所以点在不等式所对应的区0,0x y ==200220⨯+-=-<()0,0220x y +-<域，所以阴影部分所表示的区域满足的不等式是.故选B. 220x y +->4.D 若，则，在选项D 中，，所以.故选D.l α⊥m n ∥ 2n m =- m n ∥5.A 由程序框图，数据初始化：；第一次循环：；第二1,014i S ==<3,314i S ==<次循环：；第三次循环：；此时不成立，结束循环，5,814i S ==<7,15i S ==14S …输出值为15.故选A.S 6.A 若关于的不等式有解，则二次函数与x ()210x m x m -++<()21y x m x m =-++轴有2个交点，所以，解得，所以“”是“关于的x ()2Δ[1]40m m =-+->1m ≠1m >x 不等式有解”的充分不必要条件.故选A.()210x m x m -++<7.B 由题得，因为，所以2214212sin,sin ,sin 292923ααα-=∴=∴=±2παπ<<.故选B. 2,sin 2223πααπ<<∴=8.D 原命题中，若，则，所以成等差数列，故3B π=223A CB B ππ+=-==,,A B C 原命题是真命题，所以其逆否命题是真命题.原命题的逆命题是“在中，若成ABC ,,A B C 等差数列，则”，由成等差数列，得，因为3B π=,,A B C 2B A C =+，所以，所以逆命题是真命题，所以否命题也是真命题.故选3A B C B π++==3B π=D.9.C 由题意可得函数，又，所以，()3sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以，所以.故选C. 1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()3,32g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦10.C 因为，所以261x y+=，当且仅当()2618233661224x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++++= ⎪⎝⎭…，即时取等号，又因为，所以，所以.182x y y x =3y x =261x y+=4,12x y ==16x y +=故选C.11.D 要使数列是递增数列，只要，解得，所以为假命{}n a 221224a a -<-32a <p 题；因为，所以，所以，当且仅当“()0,A π∈sin 0A >4sin 4sin A A +=…”时等号成立，而，故不等式取等号条件不成立，故为假命题.从而sin 2A =(]sin 0,1A ∈q 为真命题.故选D.()p q ⌝∨12.A 由，得.因为，所以2220b bc c --=2b c =2222259cos 24b c a c A bc c+--==，当时，211sin 222ABC S bc A c ==⋅ =25c =的面积取最大值3.故选.ABC A 13. 将改为，将改为.*2,2n n n ∃∈N …*n ∀∈N *n ∃∈N 22n n >22n n …14.6 ，又四点共面，则()()()0,1,2,2,4,3,2,,7AB AC AM m =-=--=--,,,A B C M 存在，使得，即，即,x y ∈R AM x AB y AC =+()()()2,,70,1,22,4,3m x y --=-+--解得. 22,4,723,y m x y x y -=-⎧⎪=+⎨⎪-=--⎩6m =15.14 由题意，，故点为线段上靠近点的四等分点，故3CM BM =-M BC B ()11,cos0cos1204414142BM AM AB AB BM AB AB AB BM AB ⎛⎫=∴⋅=+⋅=+=⨯+⨯⨯-= ⎪⎝⎭16.当时，，所以，当时，202211143⎛⎫- ⎪⎝⎭1n =11123a a =-113a =-2n …①，又②，②-①得，整理111123n n n S a ---=-123n n n S a =-1111233n n n n na a a --=-+-得，所以()1223n n n a a n -+=….()()()2022123420212022246202020222222233333S a a a a a a =++++++=+++++10112202211193112114319⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⨯=- ⎪⎝⎭-17.解：（1）由正弦定理得，sin cos sin cos cos 0B C C B A A +=即，()sin cos 0B C A A ++=则. sin cos 0A A A=因为，所以，()0,A π∈sin 0A ≠所以，得. cos A =34A π=（2）由（1）知，，又，34A π=10,a b ==所以由余弦定理可得，210072c ⎛=+-⨯ ⎝即，解得（舍）或. 212280c c +-=14c =-2c =所以三角形的周长为10212++=+18.解：（1）对于，当时，不等式恒成立；p 0a =20>当时，若关于的不等式对任意实数都成立，则0a ≠x 220ax ax -+>x 解得. 20,Δ80,a a a >⎧⎨=-<⎩08a <<综上，若是真命题，则实数的取值范围是. p a [)0,8（2）对于，因为，所以，即， q 0x π……1cos 1x -……22cos 2x -……所以若是真命题，则实数的取值范围是.q a 22a -……又因为是真命题，是假命题， p q ∨p q ∧所以与一个是真命题，一个是假命题.p q 当真假时，解得；p q 08,22,a a a <⎧⎨<->⎩或…28a <<当假真时，解得.p q 08,22,a a a <⎧⎨-⎩或………20a -<…综上，实数的取值范围是.a [)()2,02,8-⋃19.（1）证明：取的中点为，连接，因为分别是的中点，MD Q ,PQ AQ ,P Q ,MC MD 所以，又，所以， 1,2PQ DC PQ DC =∥1,2AB DC AB DC =∥,PQ AB PQ AB =∥所以四边形是平行四边形，所以，ABPQ BP AQ ∥又平面平面，所以平面.BP ⊄,MAD AQ ⊂MAD BP ∥MAD （2）解：因为底面，所以两两互相垂直，90,ADC MD ∠=⊥ ABCD ,,DA DC DM 以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐D ,,DA DC DMx y z 标系如图所示，则，，则()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,2,1,0D A C B ()()0,0,2,0,1,1M P ，()()()2,1,2,2,1,0,0,1,1MB DB DP =-==设平面的一个法向量为，所以DBP (),,m x y z = 0,0,m DB m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即令，则. 20,0,x y y z +=⎧⎨+=⎩1x =()1,2,2m =-设直线与平面所成角为，则，即直线与平MB DBP θ44sin 339MB m MB mθ⋅-===⨯⋅MB 面所成角的正弦值为. DBP 4920.解：（1）由，解得. ()0.0050.0100.0300.0250.010101m +++++⨯=0.020m =中位数设为，则，解得. x ()0.050.10.2700.030.5x +++-⨯=75x =（2）易得满意度评分值在内有20人，抽得样本为2人，记为， [)60,7012,a a 满意度评分值在内有30人，抽得样本为3人，记为， [)70,80123,,b b b 记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件， A 基本事件有，()()()()()()121112132122,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b 共10个，()()()()23121323,,,,,,,a b b b b b b b 包含的基本事件个数为4个，A 所以. ()42105P A ==21.（1）证明：因为底面是矩形，ABCD 所以，又平面平面，平面平面AB AD ⊥11AA D D ⊥ABCD 11AA D D ⋂平面，,ABCD AD AB =⊂ABCD 所以平面，又平面， AB ⊥11AA D D 1A D ⊂11AA D D 所以，1AB A D ⊥因为，所以，11AA A D AD ==22211AA A D AD +=所以， 11AA A D ⊥又平面， 11,,AA AB A AA AB ⋂=⊂11ABB A 所以平面.1A D ⊥11ABB A （2）取的中点，连接，因为， AD O 1AO 11A A A D =所以，又平面平面， 1A O AD ⊥11AA D D ⊥ABCD 平面平面平面， 11AA D D ⋂1,ABCD AD A O =⊂11AA D D 所以平面，连接，又底面为矩形，所以， 1A O ⊥ABCD OM ABCD OM AD ⊥所以两两互相垂直，1,,OM AD OA 以为坐标原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，O 1,,OM OD OA ,,x y z 1AB =则，所以()()()()10,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0A D A M -.()()()110,1,1,0,1,1,1,1,0AA A D AM ==-= 由（1）知平面，所以是平面的一个法向量.1A D ⊥11ABB A 1A D 11ABB A 设平面的一个法向量为，则 1A AM (),,n x y z = 10,0,n AA n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即令，则. 0,0,y z x y +=⎧⎨+=⎩1x =()1,1,1n =- 设二面角的平面角为，则 1B A A M --θ11cos A D n A D nθ⋅===⋅ 由图可知二面角的平面角为锐角， 1B A A M --所以二面角. 1B A A M --22.解：（1）因为，则31212341nn a a a a a n +++++=+ 当时，， 1n =12122a a ==当时，， 2n (31)12234n n a a a a a n -++++= 与相减，得，31212341nn a a a a a n +++++=+ 11n n n a a a n +=-+所以，又，所以，121n n n a a n ++=+212a =()1221n n a n n a n ++=+…所以当时，，3n (1322122141136)nn n n n a a a n n n a a a a a a n n ---++=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=- 当时，满足上式，当时，上式不成立，2n =1n =所以1,1,1, 2.6n na n n =⎧⎪=+⎨⎪⎩…（2）由（1）知()()12,1,136,2,12n n n n b n a a n n +=⎧⎪==⎨⎪++⎩…因为，()()3611361212n n n n ⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭所以当时，，1n =12S =当时，2n …1111112363636344512n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 111111113623623614344512322n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭显然当时，上式成立，所以.1n =36142n S n =-+。

陕西省渭南市韩城市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．双曲线22:116x C y -=的渐近线方程为（）A ．4y x =±B ．4xy =±C ．16x y =±D ．16y x=±2．抛物线220x y =的准线方程是（）A ．5x =-B ．10x =-C ．5y =-D ．10y =-3．椭圆22:1164x y C +=的焦距为（）A ．B ．C ．D ．4．方程()()2222132x y x y +-=--+表示的图形是（）A ．椭圆B ．圆C ．直线D ．双曲线5．过点⎛ ⎝⎭且与双曲线22132x y -=有相同焦点的椭圆方程为（）A ．221105x y +=B ．2221105x y +=C ．22123x y +=D ．22183x y +=6．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径6AB =，深度1MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，则焦点F 的坐标为（）A ．9,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．9,08⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知O 为坐标原点，点A 在圆()()22221x y -+-=上运动，则线段OA 的中点P 的轨迹方程为（）A ．()()22111x y -+-=B ．()()22112x y -+-=C ．()()221112x y -+-=D ．()()221114x y -+-=8．已知O 为坐标原点，点()01,A y 在抛物线()2:20C y px p =>上，点B 在抛物线C 的准线l上，且AB l ⊥，若点A 到直线OB ，则p =（）A ．2B ．4C ．6D ．8二、多选题9．已知椭圆22:14x y C k +=的离心率为12，则k 的值可以为（）A ．2B ．3C ．16D ．16310．已知1F ，2F 分别是双曲线22:14y C x -=的左、右焦点，P 是C 上位于第一象限的一点，且120PF PF ⋅=，则（）A ．122PF PF -=B ．221220PF PF +=C ．128PF PF ⋅=D ．12=PF 11．已知圆1C ：()()2224x a y ++-=与圆2C ：()()2224x y a -+-=，则下列结论正确的是（）A ．若圆1C 与圆2C 外切，则2a =或2-B ．当1a =时，圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为3y x =C ．若圆1C 与圆2C 关于点()1,3-对称，则4a =-D ．当0a =时，对任意的R λ∈，曲线W ：()()2211440x y x y λλλ+++--=恒过圆1C 与圆2C 的交点三、填空题12．直线320x y ++=与直线380x y +-=之间的距离为.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()10F ,，过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于D ，E 两点，O 为坐标原点，若OD OE ⊥，则a =.14．已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 且斜率为2的直线与C 的一条渐近线在第四象限相交于点M ，四边形12MF NF 为平行四边形.若直线2NF 的斜率62,73k ⎡⎤∈--⎢⎣⎦，则C 的离心率的取值范围为.四、解答题15．已知ABC V 的三个顶点的坐标分别为()2,0A ，()4,2B ，()1,3C .(1)求过点C 且与直线AB 平行的直线的方程；(2)求BC 边上的高所在直线的方程.16．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点.当AB x⊥轴时，||4AB =.(1)求C 的方程；(2)若8AB =，求直线l 的方程.17．已知直线():1l y k x =+，圆22:4440C x y x y +--+=.(1)若直线l 与圆C 相切，求k 的值；(2)记圆C 的圆心为C ，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，ABC V 为等边三角形，求k 的值.18．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()2222210,0:x y C m n m n-=>>有公共焦点1F ，21,F C 与2C 在第一象限的交点为P ，且12121,1,PF PF PF PF =-⊥.(1)求1C 与2C 的方程；(2)记1C 的上顶点为2,A C 的左顶点为B ，直线AB 与1C 的另一个交点为D ，求AD .19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，渐近线方程为y =x ，AB 4=，直线1:2l y x m =+与C 的左、右支分别交于点M ，N （异于点A ，B ）.(1)求C 的方程；(2)若直线AM 与直线BN 的斜率之积为94-，求m 的值.。

陕西省长安区高二数学上学期期中考试试题新人教A 版高二数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}012,202<--=<≤=x x x N x x M ，则集合=⋂N M ( ). A.{}10<≤x x B.{}10≤≤x x C.{}20<≤x x D.{}20≤≤x x 2.0y -=的倾斜角为( ) A ．6π B ．3π C ．23πD ．56π3.在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差4.在边长为1的正方形ABCD 内随机取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为( ) A ．4π B ．14π- C ．8π D ．18π- 5.已知向量a 与b 的夹角为120，且1==a b ，则－a b 等于( ) A ．1 B．2 D ．3 6.有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示 （单位：cm ），则该几何体的表面积．．．为( ) A ．212cm π B. 215cm πC.224cmπD. 236cm π 7.若23x <<，12xP ⎛⎫=⎪⎝⎭，2log Q x =，R =的大小关系是( )A ．Q P R <<B ．Q R P <<C ．P R Q <<D ．P Q R <<8.下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行主视图6侧视图D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 9.下列不等式一定成立的是（ ） A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈ D ．211()1x R x >∈+ 10.不等式0121≤+-x x 的解集为（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C ．[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D ．[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,11.已知{}n a 为等比数列，=+-==+101657,824a a a a a a 则，（ ). A.7 B.5 C.5- D.7-12.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )A ．-1B ．23C ．32D ．413.若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．214.一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为( ) A ．378B ．34C 7D ．18二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，满分30分.15.圆心为点()0,2-，且过点()14，的圆的方程为 ．16.若函数()()()2213f x a x a x =-+-+是偶函数，则函数()f x 的单调递减区间为 ． 17.已知递增的等差数列{}n a ，满足21321,4a a a ==-，则_____n a =18.若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围为 ．19.设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 ． 20.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ⋅=________.三、解答题：本大题共4小题，满分50分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 21.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列．（1）求角B 的大小；（2）若()sin A B +=sin A 的值．22.（本小题满分12分）已知不等式0232>+-x ax 的解集为{},1b x x x ><或 18．求b a ,的值.19．解关于x 的不等式)(0)(2R c bc x b ac ax ∈<++-23.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ； （2）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．24.（本小题满分14分）直线y kx b =+与圆224x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S （其中O 为坐标原点）．（1）当0k =，02b <<时，求S 的最大值； （2）当2b =，1S =时，求实数k 的值．参考答案一、选择题：共14小题，每小题5分，满分70分．二、填空题：共6小题，每小题5分，满分30分．15．()22225x y ++=或224210x y y ++-= 16．()0,+∞或[)0,+∞17． 21n - 18.[3,0]- 19. 4 20. -16三、解答题：本大题共4小题，满分50分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 21.（本小题满分12分）【解】（1）在△ABC 中，A B C π++=， 由角A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+．解得3B π=．（2）方法1：由()sin 2A B +=，即()sin 2C π-=，得sin 2C =．所以4C π=或34C π=．由（1）知3B π=，所以4C π=，即512A π=．所以5sin sinsin 1246A πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭sin cos cos sin 4646ππππ=+12222=+4=．方法2：因为A ，B 是△ABC 的内角，且()sin 2A B += 所以4A B π+=或34A B π+=．由（1）知3B π=，所以34A B π+=，即512A π=．以下同方法1．22.（本小题满分12分）【解】（1）由题知：方程0232=+-x ax 的两个根是b x x ==21,1，所以把11=x 带入方程0232=+-x ax 中解得1=a ，由根系数关系知22==ab .所以2,1==b a . (2)由（1）知，要解不等式为：02)2(2<++-c x c x即0)(2<--c x x ）（，方程0)(2=--c x x ）（的解为：c x x ==21,2. ①当2<c 时，原不等式解集为)2,c （；②当2=c 时，原不等式解集为Φ； ③当2>c 时，原不等式解集为)2c ，（ 4．（本小题满分12分）【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。

期中教学质量检测 高二数学（文科）试题注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.3.回答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.第I 卷（选择题共60分）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 不等式的解集为（ ）2340x x --<A. B. （－4，1） (,1)(4,)-∝-+∝U C. （－1，4） D.(,4)(1,)-∝-+∝U 2. 已知是等差数列，，，则的公差等于（） {}n a 172a a +=-32a ={}n a d A. 3 B. 4C. -3D. -43. 若，则下列不等式正确的是（ ） 110a b<<A.B.C.D.a b >a b <a b ab +>33a b >4. 若，则有（ ） 0x >42x x+-A. 最小值1B. 最小值2C. 最大值1D. 最大值25. 下列不等式中正确的是（ ）A.B. C.D.2+1>2a a 221+1>0+1x x x ≥（）1+2x x≥2≤6. 在中，若，，，则此三角形解的情况为（ ） ABC A 3b =c =45B =A. 无解B. 两解C. 一解D. 解的个数不能确定7. 在△ABC 中，若三边之比，则等于（ ）::2:3:4a b c =sin 2sin 2sin A BC-A. B. C. 2D. －21212-8. 等差数列的前n 项和为，若，，则（）．{}n a n S 36S =621S =9S =A. 27 B. 45C. 18D. 36 9. 若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇{}n a 121n n a a +=-{}n a {}1n b +数列”，且，则（ ）12b =nb=A.B. C. D.123n -⨯12n -12n +2n 10. 有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍初日屠五两，今三十日居讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫最后5天所屠肉的总两数为（ ） AB.C. D.()30521-()515521-251552⨯253152⨯11. 东寺塔与西寺塔为昆明市城中古景，两塔一西一东，已有1100多年历史.东寺塔基座为正方形，塔身有13级.如图，在A 点测得塔底在北偏东的点D 处，塔顶C 的仰角为60︒.在A 的正东方向且距D 点的B 点测得塔底在北偏西，则塔的高度约为30︒50m 45︒CD（ ））2.4≈A.B. C. D.30m 35m 40m 45m 12. 若关于x 的不等式的解集中恰有三个整数，则实数a 的取值2(3)220x a x a -+++<范围为（ ）A. B. [3,2)--[3,2)(4,5]--⋃C.D.(3,2)(4,5)--⋃[3,2][4,5]-- 第II 卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在正项等比数列中，，则______．{}n a 48128a a a =22214log log a a +=14. 若变量x ，y 满足约束条件，则2x ＋y 的最大值为．4{20,0x y x y x y ≤≤≥≥+-15. 已知，记，则与的大小关系为______.()12,0,1a a ∈1212=,1M a a N a a =+-M N 16. 已知数列的前n 项和满足，则数列的前2022项的和为{}n a n S 22n n n S +=11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭______．三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17. 已知：等差数列中，，，公差．{}n a 3415aa +=2554aa =0d <（1）求数列的通项公式；{}n a na（2）求数列的前n 项和的最大值及相应的n 的值．{}n a n S 18. 己知x ，y 都是正实数， （1）若，求的最小值． 21x y +=21x y+（2）若，求的最大值；3212x y +=xy 19. 在中，内角A ，B ，C 对应的边分别为，，．ABC A b c cos sin B b A =（1）求角B 的大小；（2）若，，求的周长． 1b =ABC A ABC A 20. 请解答下列问题： （1）若关于的不等式的解集为或，求的值. ()22320R xx a a -+>∈{1xx <∣}x b >,a b（2）求关于的不等式的解集.()2325R,0axx ax a a -+>-∈≠21. 已知的内角的对边分别为，已知． ABC A ,,A B C ,,a b c 2cos a c b A +=（1）证明：；2B A =（2）设为边上的中点，点在边上，满足，且，四边形D BCE AB DEAB ⊥6A π=，求线段的长． ACDE CE 22. 设是递增的等差数列，是等比数列，已知，，，{}n a {}n b 1=1a 14b =242b a =．328b a =（1）求数列和的通项公式；{}n a {}n b （2）设，求数列的前n 项和；22log nn nc a b ={}n c n T （3）设，记数列的前n 项和为，证明：．23nn n a b d +={}n d n P 5n P <答案1-12 CCDBC CBBDC CB 13. 2 14. 715. M N >16.2022202317.（1）∵为等差数列，{}n a ∴．2534a a a a +=+∴ 25251554a a a a +=⎧⎨=⎩解得或 2569a a =⎧⎨=⎩2596a a =⎧⎨=⎩因为， 0d <所以， 2596a a =⎧⎨=⎩故解得 11946a d a d +=⎧⎨+=⎩1101a d =⎧⎨=-⎩∴．()10111na n n =--=-（2）∵，()()1210111212222n n n a a n n S n n ++-===-+又，函数图像的对称轴为直线，102-<212122y x x =-+212x =故当n ＝10或11时，取得最大值，其最大值为55． n S 18.（1）. 212122()559y x x y x y x y x y +=++=++≥+=当且仅当时等号成立. 13x y ==所以的最小值为9. 21x y+（2）.32126x y xy +=≥∴≤当且仅当时等号成立. 2,3x y ==所以的最大值为6.xy 19.（1）在中，由正弦定理得， ABC A 2sin 2sin a R A b R B ==，，cos sin B b A =cos sin sin A B B A =∵，∴，(0,)A π∈sin 0A ≠，又显然，即，sin BB =2B π≠cos 0B ≠∴，又∵，∴.tan B =(0,)B π∈3Bπ=（2）∵，由． 3B π=1sin 2ABCS ac B ==△1ac =在△ABC 中，由余弦定理，得22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-∴，21()31a c =+-⨯∴，∴△ABC 的周长为3．2a c +=20.（1）因为关于的不等式的解集为或， 22320x x a -+>{|1x x <}x b >所以和为方程的两根，1b 22320x x a -+=所以，解得； 21312b b a +=⎧⎨⨯=⎩21b a =⎧⎨=±⎩（2）不等式， 2325ax x ax -+>-即，即，2(3)30axa x +-->(3)(1)0ax x -+>由已知，方程的根为，， 0a ≠(3)(1)0ax x -+=13x a=21x =-①当时，，原不等式的解集为； 0a >31a >-31x x x a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或②当时，，原不等式的解集为；30a -<<31a<-3|1x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭<<-③当时，，原不等式的解集为； 3a =-31a=-∅④当时，，原不等式的解集为．3a <-31a>-3|1x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-<<综上所述，当时，原不等式的解集为； 0a >31x x x a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或当时，原不等式的解集为； 30a -<<3|1x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭<<-当时，原不等式的解集为；3a =-∅当时，原不等式的解集为．3a <-3|1x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-<<21.（1）证明： ， 由正弦定理得， 2cos a c b A +=s sin 2sin c i o n s C B A A +=又，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，sin sin cos cos sin 2sin cos A A B A B B A ∴++=即，()sin sin cos cos sin sinA B A B A B A =-=-，()()0,,0,A B ππ∈∈ ，即，或，即（舍）， A B A =-2B A =A B A π-=-B π=故：证得． 2B A =（2）， ，，6A π=3B π=2C π=D 为BC 的中点， ，， 12BD a =111cos 224BE BD B a a =⋅=⋅=，，212ABC S a ==△21111sin 2224BDE S BD BE B a a a =⋅⋅=⨯⋅=△22ABC BDE ACDE S S S =-==四边形△△解得，，，， 2a =b =1BD =12BE =在中，由余弦定理可得：ECB A CE =， ==故：线段CE 22.（1）解：设数列的公差为，的公比为，{}n a d ()0d >{}n b q因为，，，，所以，所以，1=1a 14b =242b a =328b a =()()24=21+34=81+q d q d ⎧⎪⎨⎪⎩132dq +=则，解得或（舍去）， ()213212d d +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=1d 79d =-所以，所以，；=2q =n a n 11422n n n b -+=⨯=（2）解：由（1）可得，()1222112log 211n n c n n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭所以 111112122411223123n T n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫=-+-+-++ ⎪ ⎪⎭⎛⎫- +⎝⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111*********n n ⎛⎫=-+-+- ⎪+-⎝++⎭ . 122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭（3）证明：由（1）可得， ()1122221223333232n n nn n a n n n n b d ++++⎛⎫⎛⎫====⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以4211332111332133nn nP ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎤⎪⎡⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎝⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎝⎭=-⎭+.41154212153333n n n n ⎡⎤⎡⎤=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎝⎭⎭--=-⎢⎝⎢⎥⎣⨯⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦。

陕西省西安中学2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1121332AB AC AA -++C ．1211332AB AC AA -+- 5．已知()2,2,0A 、()1,4,2B 、A ．2C ．2A ．a c m R -=+B ．a c +D ．b =12．如图，在菱形ABCD 中，AB 使点A 、C 之间的距离为22，若正确的是（）A ．平面ABD ⊥平面BCDB ．线段PQ 的最小值为2C ．当AQ QC =，4PD DB =时，点D 到直线PQ D ．当P 、Q 分别为线段BD 、CA 的中点时，PQ 三、填空题13．已知圆()()221:121O x y ++-=与圆()22:3O x -r =．14．已知,a b 是空间两个向量，若||2,||2,|a b a ==- 15．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C 16．已知直线l ：40x y -+=与x 轴相交于点A ，过直线两条切线，切点分别为C ，D 两点，记M 是CD 的中点，(1)求证：1A D//平面1B CE(2)求直线CD与平面1B CE所成角的正弦值20．已知一个动点P在圆x(1)求点M的轨迹方程；(2)过定点()0,3-的直线l与点12 2121 2x xx x+=，求直线l的方程．21．中国古代数学名著《九章算术》草也．甍，屋盖也．”翻译为是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形为两个全等的等腰梯形，AB(1)当点N为线段AD的中点时，求证：直线(2)当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．。

高二年级数学（理科）分值： 150分 时间： 120分钟一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1,则是这个数列的（ ）A ．第六项B ．第七项C ．第八项D ．第九项 2．若,a b 为非零实数，且a b <，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b < B ．22ab a b < C ．2211ab a b < D ．b a a b< 3．已知等差数列{}n a 的公差是2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于（ ） A ．-4 B ．-6 C ．-8 D ．-10 4．在∆ABC 中，已知a=3-1，b=26，C=4π，则∆ABC 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．任意三角形 5．如果函数f (x )对任意a ，b 满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝( ) A.4 018 B.1 006 C.2 010 D.2 0146．在等差数列{}n a 中，已知a 1－a 4－a 8－a 12+a 15=2，那么S 15=（ ） A ．-30 B ．15 C ．-60 D ．-157．设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1a 2a 3…a 30=230，则a 3a 6a 9…a 30=（ ） A ．210B ．215C ．216D ．2208．已知a >0，b >0，则a 1＋b1＋2ab 的最小值是( ) A.2 B.22 C.4 D.59．在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8>0，且S 9<0，则S 1、S 2、…S 9中最小的是（ ） A ．S 4 B ．S 5 C ．S 6 D ．S 710．在三角形ABC 中，已知A 60︒=，b=1，则sin sin sin a b cA B c++++为（ ）A．D11．若不等式20ax bx c ++≥的解集为1{|2}3x x -≤≤，则不等式20cx bx a ++<的解集为（ ）A ．1{|2}3x x -<<B ．1{|3x x >或2}x <-C ．1{|3}2x x -<< D ．{|3x x <-或1}2x >12．若不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解，则a 的取值范围为（ ）A ．(235-,+∞)B ．235,1-⎡⎤⎣⎦C ．()1,+∞D ．()235,-∞-二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分)13．在等比数列{b n }中，S 4=4，S 8=20，那么S 12= ．14．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．15．在△ABC 中，cos A ＝135，sin B ＝53，则cos C 的值为 ． 16．如果数列{a n }的前n 项之和为S n =3＋2n，那么2232221n a a a a ++++ = ．17．若正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是 ． 三．解答题（共65分）18．（12分） 解关于x 的不等式31x xa -+≤1a(其中a >0且a ≠1)．19．（12分）已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n . 20．（13分）设某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)21． （14分） 已知，△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，m ＝(sin B ＋sin C,0)，n ＝(0，sin A )且|m |2－|n |2＝sin B sin C . (1)求角A 的大小；为(2)求sin B ＋sin C 的取值范围．22．（14分）已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请说明理由．高二年级数学（理科）答案主观题答案13．84 14．9 15. 166516．4713n + 17．[)9,+∞18．解 ①当a>1时，有x －3x ＋1≤－1，∴x－3x ＋2≤0，∴x 2＋2x －3x ≤0.∴＋－x≤0，∴x≤－3或0<x≤1.(6分)②当0<a<1时，有x －3x＋1≥－1，∴x 2＋2x －3x≥0.∴－3≤x<0或x≥1.(8分)综上，当a>1时，x∈(－∞，－3]∪(0,1]； 当0<a<1时，x∈[－3,0)∪[1，＋∞)．(10分19．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋4d ＝8.∴a 1＝0，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4， ∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3.∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2.∴{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.20．(1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2160×100002000x＝560＋48x ＋10800x(x ≥10，x ∈N *)．(2)∵x >0，∴48x ＋10800x≥248×10800＝1440，当且仅当48x ＝10800x，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1440＝2000(元)．答 当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．21．解 (1)∵|m |2－|n |2＝(sin B ＋sin C )2－sin 2A＝sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋2sinB sinC 依题意有， sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋2sinB sinC ＝sin B sin C ，∴sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝－sinB sinC ，由正弦定理得：b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∵A ∈(0，π)所以A ＝2π3.(2)由(1)知， A ＝2π3，∴B ＋C ＝π3，∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝12sin B ＋32cos B ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3. ∵B ＋C ＝π3，∴0<B <π3，则π3<B ＋π3<2π3，则32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3≤1，即sin B ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤32，1. 22. 解 (1)已知得a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n＝8n (n ∈N *)，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)．②由①－②，得2n －1a n ＝8.∴a n ＝24－n.在①中，令n ＝1，得a 1＝8＝24－1，∴a n ＝24－n (n ∈N *)．由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2， ∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2，∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2. ∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6.∴b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8) ＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)．(2)∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k，设f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k，单调递增，且f (4)＝1.∴k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋4－24－k≥1.又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0， ∴不存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)．。

2023-2024~1高二年级期中数学试卷（答案在最后）时间：120分钟满分：150分一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知1sin 3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值为（）A.4-B.4C.-D.【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出cos α，tan α；【详解】解：因为1sin 3α=，22sin cos 1αα+=，所以22cos 3α=±，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 3α=-，所以1sin 3tan cos 43ααα===-故选：A2.已知0,0a b >>且22ab a b =+，则8a b +的最小值为（）A. B.10C.9D.272【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【详解】由22ab a b =+可得，1112a b+=，所以()1185592882a b ab b a b a b a +=⎛⎫+=++≥⎪⎭++= ⎝，当且仅当82b a a b =，即33,4a b ==时取得等号，所以8a b +的最小值为9，故选:C.3.函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案.【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ，故选:D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（）A.AC BE⊥ B.//EF 平面ABCDC.直线AB 与平面BEF 所成的角为定值D.异面直线AE ，BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】【分析】根据线线垂直、线面平行、线面角、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A ，连接BD ，根据正方体的性质可知1,AC BC AC BB ⊥⊥，而11,,BC BB B BC BB =⊂ 平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ，又BE ⊂平面11BB D D ，所以AC BE ⊥，故A 正确.对于B ，因为11//B D BD ，11B D ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以11//B D 平面ABCD ，又E ､F 在直线11D B 上运动，//EF ∴平面ABCD ，故B 正确.对于C ，直线AB 与平面BEF 所成的角即为直线AB 与平面11BB D D 所成的角，故为定值，故C 正确.对于D ，设11111,AC BD O A C B D O == ，当点E 在1D 处，F 为11D B 的中点时，由于1111//,O D OB O D OB =，所以四边形11OBO D 是平行四边形，所以11//BO OD ，所以异面直线,AE BF 所成的角是1OD A ∠，由于AC ⊥平面11BB D D ，1OD ⊂平面11BB D D ，所以1AC OD ⊥，所以1122a 236t n OA OD A OD ∠===.当E 在上底面的中心，F 在1B 的位置时，同理可得1OO A ∠是异面直线,AE BF 所成的角，且1222tan 12OO A ∠==.故D 不正确.故选：D5.宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n 个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n 层的圆球总数为n a ，容易发现：11a =，23a =，36a =，则105a a -=（）A.45B.40C.35D.30【答案】B 【解析】【分析】根据题意，归纳推理，第n 层的圆球总数个数表达式，再将10n =，5，代入求解即可．【详解】当1n =时，第1层的圆球总数为11a =，当2n =时，第2层的圆球总数为2123a =+=，当3n =时，第3层的圆球总数为31236a =++=，..．所以第n 层的圆球总数为()112 (2)n n n n a +=+++=，当5n =时，()5155152a +⨯==，当10n =时，()1051100512a⨯==+，故10540a a -=．故选：B ．6.已知焦点为12,F F 的双曲线C点P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为（）A.2B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】由双曲线定义可得24PF a =，16PF a =，应用余弦定理及已知有122cos 3PF F ∠=，最后由三角形面积公式列方程求a ，即得实轴长.【详解】设220PF m =>，则13PF m =，故212m a PF PF =-=（a 为双曲线参数），所以24PF a =，16PF a =，故22222121212212||||||524cos 2||||48PF PF F F a c PF F PF PF a +--∠==，而c a =c =，则2212252202cos 483a a PF F a -∠==，12(0,π)PF F ∠∈，所以12sin 3PF F ∠=，故1212121sin 2PF F PF PF S PF F =∠= ，则22234a a ⨯=⇒=，故长轴长2a =故选：B7.已知ABC 的三个顶点都在抛物线26x y =上，且F 为抛物线的焦点，若1()3AF AB AC =+，则||||||++= AF BF CF （）A.12 B.10C.9D.6【答案】C 【解析】【分析】设A ，B ，C 的纵坐标分别是123,,y y y ，由1()3AF AB AC =+，得三点纵坐标之和，再结合抛物线的定义即可求出||||||AF BF CF ++的值.【详解】由26x y =，得3p =.设A ，B ，C 的纵坐标分别是123,,y y y ，由1()3AF AB AC =+，有1213131()23y y y y y -=-+-，即12392y y y ++=.由抛物线的定义可得:1233||||||392pAF BF CF y y y p ++=+++== .故选：C8.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点12,F F ，过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点．其中M在第一象限．1121,3NF MN F F MF =≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（） A.612B.2]-C.1]D.1]2-【答案】D 【解析】【分析】由题可知四边形12MF NF 为矩形，根据勾股定理及椭圆的定义可得2222||2||20MF a MF b -+=，结合已知条件有)()2221Δ420a MF aa b ⎧>≥⎪⎨=->⎪⎩，进而即得.【详解】因为过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且12MN F F =，所以四边形12MF NF 为矩形，由椭圆的对称性知：12NF MF =，而21||||2MF MF a +=，所以22221||||4MF MF c +=，则222222||4||44MF a MF a c -+=且M 在第一象限，整理得2222||2||20MF a MF b -+=，所以()22Δ420a b=->，所以222||2MF a a b =-又22121132NF MF MF MF MF a MF ==≥-2||(31)a MF a >≥，所以)()2222231Δ420a a a b aa b ⎧>-≥-⎪⎨=->⎪⎩，整理得2221432c e a<=≤-，所以2312e <≤-.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.（多选题）若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（）A.若1＜t ＜5，则C 为椭圆B.若t ＜1．则C 为双曲线C.若C 为双曲线，则焦距为4D.若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5【答案】BD 【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，对于A 中，当3t =时，此时方程222x y +=表示圆，所以不正确；当方程22151x yt t +=--表示焦点在y 轴上椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得35t <<，所以D 项正确；对于B 中，当1t <时，50,10t t ->-<，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以是正确的；对于C 中，当0=t 时，方程22151x y -=，此时双曲线的焦距为，所以不正确.故选BD.若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答椭圆和双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，关于数列{}n a ，下列命题中正确的是（）A.若1n n a a +=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B.若()2*=+∈n S An Bn n N（A ，B 为常数），则{}na 是等差数列C.若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D.若{}n a 是等比数列，则()*232,,--∈n n n n n S S S S S n N 也成等比数列【答案】BC 【解析】【分析】对于A ：根据等差、等比数列的定义分析判断；对于BC ：根据n a 与n S 之间的关系，结合等差、等比数列的定义分析判断；对于D ：根据等比数列的和项性质分析判断.【详解】对于选项A:因为1*()+∈=n n n a a N ，即10n n a a +-=，可知数列{}n a 是等差数列，当0n a =时，数列{}n a 不是等比数列，故A 错误；对于选项B ：因为2n S An Bn =+，当1n =时，11a S A B ==+；当2n ≥时，()()()221112-⎡⎤==+---+-=+-⎣⎦n n n a S An Bn A n B n An B S A ；可知1n =时，符合上式，综上所述：2=+-n a An B A ，可得()122--=≥n n a a A n ，所以数列{}n a 是等差数列，故B 正确；对于选项C:因为()11nn S =--，当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，112(1)n n n n a S S --=-=⨯-；可知1n =时，符合上式，综上所述：12(1)n n a -=⨯-，可得112(1)12(1)+-⨯-⨯==--nn n n a a ，所以数列{}n a 是等比数列，故C 正确；对于选项D:当数列{}n a 是等比数列时，取()1nn a =-，则2110S =-+=，此时显然2S ，42S S -，64S S -不是等比数列，故D 错误；故选：BC.11.（多选）已知抛物线22y px =()0p >的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，若(),2M m 是线段AB 的中点，则（）A.4p = B.抛物线的方程为216y x =C.直线l 的方程为24y x =- D.=10AB 【答案】ACD 【解析】【分析】由焦点到准线的距离可求得4p =，则可判断A 正确，B 错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线l 的斜率，从而求得l 的方程，可判断C 正确；()1212284y y x x +=+-=，所以126x x +=从而12410AB AF BF x x =+=++=判断D 正确.【详解】因为焦点F 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知4p =，故A 正确故抛物线的方程为28y x =，焦点()2,0F ，故B 错误则2118y x =，2228y x =．又(),2M m 是AB 的中点，则124y y +=，所以22121288y y x x -=-，即12121282y y x x y y -==-+，所以直线l 的方程为24y x =-．故C 正确由()1212284y y x x +=+-=126x x ⇒+=，得12410AB AF BF x x =+=++=．故D 正确故选：ACD ．12.已知点(1,2)M ，点P 是双曲线C ：221916x y-=左支上的动点，2F 为其右焦点，N 是圆D ：22(5)1x y ++=的动点，直线OP 交双曲线右支于Q （O 为坐标原点），则（）A.28PF ≥B.过点M 作与双曲线C 仅有一个公共点的直线恰有2条C.||||PM PN -的最小值为5- D.若2DPF △的内切圆E 与圆D 外切，则圆E 的半径为32【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线焦半径的结论可知A 正确，由点和双曲线的位置关系可以确定与双曲线有一个公共点的直线条数不止2条，根据双曲线定义和,PM PN 的位置关系可判断C ，最后根据焦点三角形2DPF △的内切圆圆心在左端点的正上方，即圆心横坐标为3-可求其半径.【详解】如下图所示：由双曲线方程和圆D 方程可知，3,4,5a b c ===，所以左焦点为0()5,D -，右焦点2(5,0)F ；对于A ，由于P 在双曲线左支上，根据焦半径公式可知28PF a c ≥+=，故A 正确；对于B ，由过点M 的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在，设直线斜率为k ，则直线l 的方程为2(1)y k x -=-，联立直线l 和双曲线C 的方程得：222(169)18(2)9(420)0k x k k x k k -----+=；①当21690k -=时，即43k =±，该方程为一元一次方程，仅有一个实数根，所以直线l 和双曲线C 仅有一个公共点，此时直线l 与双曲线的渐近线43y x =±平行，即此时有两条直线42(1)3y x -=±-与双曲线相交，且仅有一个交点，符合题意；②当21690k -≠时，该方程为一元二次方程，由直线与双曲线有一个公共点可知，该方程仅有一个实数根，所以[]22218(2)36(169)(420)0k k k k k ∆=-+--+=，整理得2250k k --=，即1414k ±=，此时直线为双曲线的切线，分别为1412(1)4y x ±-=-，所以过点M 可作两条切线；综上可知，过点M 可作与双曲线有一个公共点的直线共有4条，所以B 错误；对于C ，由双曲线定义可知，26PF PD -=，2225PM PF MF PF ≥-=-2,,P M F 三点共线时等号成立；1PN PD DN PD ≤+=+，当且仅当,,P D N 三点共线时等号成立；所以，215PM PN PF PD -≥--=-C 正确；对于D ，如图所示，分别设2DPF △的内切圆与三边切点为,,A G H ，又因为22,,PG PH DG DA F A F H ===，所以22226PF PD F H GD F A DA a -=-=-==，又因为A 在x 轴上，0()5,D -，2(5,0)F ，不妨设(,0)A t ,由26F A DA -=，得5(5)6t t --+=，即3t =-；所以(3,0)A -即为双曲线的左端点，又因为2EA DF ⊥，所以圆心E 在左端点A 的正上方，即圆心横坐标为3-，设(3,)E r -，则圆E 的半径为r ，由于圆D 与圆E 外切，1r =+，解得32r =；所以D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a ，b 满足(2,1)a = ，(1,2)b y y =-+ ，且a b ⊥ ，则||a b -= ________.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示求得参数y ，然后由模的坐标表示求解．【详解】∵a b ⊥ ，∴2(1)20a b y y ⋅=-++= ，解得4y =，即(3,6)b =- ，∴||(5,5)a b -=-==故答案为：14.已知实数x ，y 满足直线l 的方程230x y ++=的最小值为______．【答案】【解析】【分析】将问题转化求点(0,1)到直线l ：230x y ++=上点的距离最小值，即可得结果.(0,1)到直线l：230x y++=上点的距离，所以其最小值为d15.已知F为椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的右焦点，O为坐标原点，M为线段OF垂直平分线与椭圆C 的一个交点，若3cos7MOF∠=，则椭圆C的离心率为______．【答案】23【解析】【分析】设(),0F c，,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭，将0,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆C的方程，得222214cb ya⎛⎫-=⎪⎝⎭，在MOE△中，不妨设32cOE==，利用勾股定理和椭圆中222a bc=+，求出9a=，则可得出离心率.【详解】解：设(),0F c，,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭，将0,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆C的方程，得222241cya b+=，即222214cb ya⎛⎫-=⎪⎝⎭.设E为线段OF的垂直平分线与x轴的交点，则MOE△为直角三角形，由于3cos7MOF∠=，所以在MOE△中，不妨设32cOE==，则7OM=，6c=.由勾股定理可得||ME y===即2221404cba⎛⎫-=⎪⎝⎭，得229140ba⎛⎫-=⎪⎝⎭，又222223636a b c b a -==⇒=-，所以42853240a a -+=，解得281a =或22436a c =<=（舍去），故9a =，椭圆C 的离心率6293c e a ===.故答案为：23.16.斐波那契数列，又称黄金分割数列，被誉为最美的数列，若数列{}n a 满足121,1a a ==，()*123,N n n n a a a n n --=+≥∈，则称数列{}n a 为斐波那契数列，则222122023202320242a a a a a +++= _____．【答案】12##0.5【解析】【分析】由题设递推关系得到21211----=-+n n n n n a a a a a ，利用裂项相消法运算求解.【详解】因为()*123,Nn n n a a a n n --=+≥∈，则12--=-+n n n a a a ，可得21211----=-+n n n n n a a a a a ，则()()()22221220231122323342022202320232024a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+-++-++⋅⋅⋅+-+ 202320242023202411=-+=a a a a ，所以2221220232023202420232024202320241222a a a a a a a a a +++== .故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在锐角ABC 中，,,a b c 是角,,A B C的对边，cos cos()C B A C -=-.（1）求角A 的度数；（2）若a =，且ABC的面积是b c +.【答案】(1)3π；（2）【解析】【详解】试题分析:（1）根据三角形内角关系及诱导公式将B 转化()cos cos B A C =-+，再根据两角和与差余弦公式展开化简,合并，约分得sin 2A =，最后根据三角形内角范围及特殊角对应函数值得角A 的度数；（2）先选用面积公式：1sin 2ABC S bc A ∆=，得12bc =，再根据余弦定理得2224b c +=，最后根据()2222b c b c bc +=++求b c +的值.试题解析:（1）在ABC 中，A B C π++=，那么由()cos cos C B A C -=-，可得()()()cos cos cos cos 2sin sin sin C A C B A C A C A C C =-+=--+=，≠0得3sin 2A =，则在锐角ABC 中，π.3A =（2）由（1）知3A π=，且1sin 2ABC S bc A == ，得12bc =，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，那么()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，则()22348b c a bc +=+=，可得b c +=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.已知公比为q 的正项等比数列{}n a ，且12a =，416a =，n n b na =．（1）求3b 的值；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）324b =；（2）1(1)22n n T n +=-+.【解析】【分析】（1）先利用已知条件求公比和n a ，再计算3a ，3b 即可；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）正项等比数列{}n a 中，12a =，416a =，故3418a q a ==，即2q =，故2n n a =，3328a ==，33324b a ==；（2）由2n n a =知，2n n b n =⋅123122232...2n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅①又23412122232 (2)n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅②由①-②得，1231112(21)222...222(1)2221n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=⋅=---1(1)22n n T n +∴=-+所以数列{}n b 的前n 项和1(1)22n n T n +=-+.【点睛】本题考查了数列通项公式和错位相减法求和，属于中档题.19.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是3．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）1h =．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据AB ⊥平面ADE ，结合AD AF ⊥，利用线面垂直以及面面垂直判定定理，可得结果.（Ⅱ）利用（Ⅰ）建系后求法向量，要注意两个法向量夹角和二面角平面角关系，不要弄错符号.试题解析：（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE BCF -中，AB ⊥平面ADE ，所以AB AD ⊥，又AD AF ⊥，AB AF A = ，所以AD ⊥平面ABFE ，AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABFE ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB ，AE ，AD 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图设正四棱锥P ABCD -的高为h ，2AE AD ==，则()0,0,0A ，()2,2,0F ，()2,0,2C ，()1,,1P h -，()2,2,0AF = ，()2,0,2AC = ，()1,,1AP h =- ．设平面ACF 的一个法向量()111,,m x y z =r，则1111220,{220,m AF x y m AC x z ⋅=+=⋅=+=取11x =，则111y z ==-，所以()1,1,1m =-- ．设平面AFP 的一个法向量()222,,n x y z =r ，则22222220,{0,n AF x y n AP x hy z ⋅=+=⋅=-+= 取21x =，则21y =-，21z h =--，所以()1,1,1n h =--- ．二面角C AF P --的余弦值是3，所以22cos ,3m n m n m n ⋅===⋅ ，解得1h =．点睛：本题主要考查了直线与平面，平面与平面垂直的证明，注意条件的合理转化，和用向量解立体几何时法向量的求解和应用.20.已知抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，点()02,A y 为抛物线上一点，且4AF =.（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线l ：y x m =+与抛物线交于不同两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求m 的值.【答案】（1）28y x=（2）8-【解析】【分析】（1）根据抛物线过点0(2,)A y ，且4AF =，利用抛物线的定义求解；（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立28y x m y x =+⎧⎨=⎩，根据OP OQ ⊥，由0OP OQ ⋅= ，结合韦达定理求解.【小问1详解】由抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且4AF =，得2442p p +=∴=所以抛物线方程为28y x =；【小问2详解】由不过原点的直线l ：y x m =+与抛物线交于不同两点P ，Q设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=，所以()22Δ28464320m m m =--=->，所以2m <，所以2121282,x x m x x m+=-=因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅= ，则2121212121212()()2()0x x y y x x x m x m x x m x x m +=+++=+++=，222(82)0m m m m ∴+-+=，即280m m +=，解得0m =或8m =-，又当0m =时，直线与抛物线的交点中有一点与原点O 重合，不符合题意，故舍去；所以实数m 的值为8-.21.已知数列{}n a 满足()*11122n n a a n N a +==-∈，．（1）设11n n b a =-，求证数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和n T ，是否存在正整数m ，使得11n m m T c c +<对任意的*N n ∈都成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，试说明理由．【答案】（1）证明见解析，1+=n n a n ；（2）存在，m 的最小值为3【解析】【分析】（1）结合递推关系可证得b n +1－b n =1，且b 1＝1，可证数列{b n }为等差数列，据此可得数列{}n a 的通项公式；（2）结合通项公式裂项有21122n n c c n n ，+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭求和有111213212n T n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭，再结合条件可得()134m m +≥，即求．【小问1详解】证明：∵1111111111112111n n n n n n n n n a b b a a a a a a ++-=-=-==-------，又由a 1＝2，得b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以b n ＝1+(n －1)×1＝n ，由11n n b a =-，得1+=n n a n．【小问2详解】∵221n n a c n n==+，()2411222n n c c n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以11111111212133242212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=+--< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，依题意，要使11n m m T c c +<对于n ∈N *恒成立，只需()134m m +≥，即212(3)(4)0m m m m +-=-+≥解得m ≥3或m ≤-4．又m ＞0，所以m ≥3，所以正整数m 的最小值为3．22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为8，以椭圆的左焦点为圆心，短半轴长为半径的圆与直线2:(4)2h y x =-直线相切．（1）求椭圆的方程C ；（2）已知直线:8l x =，过右焦点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 交于,A B 两点，过点A 作AD l ⊥，垂足为D ．①求证：直线BD 过定点E ，并求出定点E 的坐标；②点O 为坐标原点，求OBD 面积的最大值．【答案】（1）2211612x y +=；（2）①证明见解析，()50，；②15.【解析】【分析】（1）根据题意可得28a =b =，2216bc =+，解得，即a ，b ，c ，进而可得椭圆的方程．（2）①由题意得(2,0)F ，设直线:2()AB x my m =+∈R ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1(8,)D y ，联立直线AB 与椭圆的方程，由韦达定理可得12y y +，12y y ，且12123()my y y y =+，写出直线BD 方程，再令0y =，即可得出答案．②由①可得判别式△0>，211||||2OBD OED OEB S S S OE y y =+=⋅-，令1t =，化简结合函数单调性即可得出答案．【详解】（1）椭圆的长轴长为8，4a ∴=左焦点(,0)c -到直线hb=2216=b c + 又2b c ∴==∴椭圆的方程:C 2211612x y +=（2）由对称性，若直线BD 过定点E ，则该定点E 必在x 轴上，①由题得()20F ，，设直线2()AB x my m =+∈R ：，设11221()()(8)A x y B x y D y ，，，，，联立方程22211612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)12360m y my++-=，（*）所以有1221234my y m -+=+，1223634y y m -=+，且12123()my y y y =+，因为2128BD yy k x -=-，所以直线BD 的方程为()211288yy y y x x --=--0y =，得()()1212121212121866888y x ymy myy y x y y y y y y ---=-=-=----（**）将12123()my y y y =+，代入（**），则121213()68835yyy x y y +-=-=-=-故直线BD 过定点()50，，即定点E 为()50，．②在（*）中，222144436(34)1444(1)m m m ∆=+⨯+=⨯+，所以122||34y y m -=+又直线BD 过定点()50E ，故，212215||||223434OBD OED OEB S S S OE y y m m =+=⋅⋅-=⋅=++△△△令1t =≥，则260601313OBD t S t t t==++ 在[1)t ∈+∞，上单调递减，故当1t =，0m =时，max ()15OBD S = ．。

陕西省西安市西安高新第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合()(){}{|320},15A x x x B x x =-+<=∈-≤≤∣N，则A B = （）A ．[)1,3-B ．{}1,0,1,2-C ．(]2,5-D ．{}0,1,22．若复数z 满足1z i +=.则复数z 在复平面内的点的轨迹为（）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线3．抛物线22y x =的焦点到其准线的距离为（）A ．116B ．14C ．18D ．14．已知圆M 经过()()1,1,2,2P Q -两点，且圆心M 在直线:10l x y -+=，则圆M 的标准方程是（）A ．22(2)(3)5x y -+-=B ．22(3)(4)13x y -+-=C ．22(3)(2)25x y +++=D ．22(3)(2)25x y ++-=5．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg /L)与时间t （单位：h ）之间的关系式为0e(0)tP P t λ-= ，其中0P 为初始污染物含量，0,P λ均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h 过滤掉了80%的污染物．如果废气中污染物的含量不超过00.04P 时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（）A ．4hB ．6hC ．8hD ．12h6．在平面直角坐标系xOy 中，若圆2221:(4)(1)(0)C x y r r ++-=>上存在点P ，且点P 关于直线1y x =+的对称点Q 在圆222:(4)4C x y -+=上，则r 的取值范围是（）A ．(3,7)B ．[3]7，C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞7．双曲线22221x y C a b-=：的左、右焦点分别为12F F 、，过1F 作斜率为正且与C 的某条渐近线垂直的直线l 与双曲线C 在第一象限交于A ，12cos 53F AF ∠=，则C 的离心率为（）.A ．32B C D 8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，AC BC ⊥，1AC BC ==，点D 在上底面111A B C （包含边界）上运动，则三棱锥D ABC -外接球半径的取值范围为（）A ．⎡⎢⎣⎦B ．98⎡⎢⎣⎦C ．93,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．已知函数()22sin cos 2sin f x x x x =-，给出下列四个选项，正确的有（）A ．函数()f x 的最小正周期是πB ．函数()f x 在区间π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象可由函数y x =的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位得到10．已知点A ，B 在圆22:4O x y +=上，点P 在直线:250l x y +-=上，则（）A ．直线l 与圆O 相离B ．当AB =PA PB +的最小值是1C ．当PA 、PB 为圆O 的两条切线时，()+⋅ OA OB OP 为定值D ．当PA 、PB 为圆O 的两条切线时，直线AB 过定点84,55⎛⎫⎪⎝⎭11．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C 的蒙日圆，其圆方程为2222x y a b +=+.已知椭圆C ，点,A B 均在椭圆C 上，直线l ：40bx ay +-=，则下列描述正确的为（）A ．点A 与椭圆C 的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB ．若l 上恰有一点P 满足：过P 作椭圆C 的两条切线互相垂直，则椭圆C 的方程为2213x y +=C ．若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，则1b >D ．若1b =，椭圆C 的蒙日圆上存在点M 满足MA MB ⊥，则AOB 三、填空题12．已知ABC V 的三个顶点(6,3),(2,5),(7,4)A B C --，则边AB 的中线所在直线的一般式为.13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()2f x +为偶函数.当02x <<时，()()2log 1f x x =+，则()101f =.14．如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l '表示与椭圆C 的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C 的中心在坐标原点，焦点为1−s 0，()()2,00F c c >，由1F 发出的光经椭圆两次反射后回到1F 经过的路程为8c ．利用椭圆的光学性质解决以下问题：椭圆C 的离心率为；点P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，椭圆在点P 处的切线为l ，2F 在l 上的射影H 在圆228x y +=上，则椭圆C 的方程为．四、解答题15．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，重庆市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)0,1，[)1,2，…，[)8,9分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a b =．(1)求直方图中a ，b 的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；(2)设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由．16．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2a b -=，()sin sin sin 2A BA B +-=.(1)求c ；(2)若ABC V 的内切圆在AB 上的切点为D ，求AD .17．在平面直角坐标系xOy 中，已知,P Q 两点的坐标分别为(，，直线,PN QN 相交于点N ，且它们的斜率之积是12-.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)若点N 的轨迹与直线1y kx =+相交于两个不同的点,A B ，线段AB 的中点为M .若直线OM 的斜率为1-，求线段AB 的长.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3,BC E =为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =.(1)求证：AE ⊥平面PCD ；(2)求二面角F AE D --的正弦值；(3)设点G 在PB 上，且34PG PB =.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由.19．在平面直角坐标系xOy 中，利用公式x ax byy cx dy '=+⎧⎨'=+⎩①（其中a ，b ，c ，d 为常数），将点(,)P x y 变换为点(),P x y '''的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a ，b ，c ，d 组成的正方形数表a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭唯一确定，我们将a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A ，B ，…表示.(1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，将点(,)P x y 绕原点O 按逆时针旋转α角得到点(),P x y '''（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A ；(2)在平面直角坐标系xOy 中，求双曲线1xy =绕原点O 按逆时针旋转π4（到原点距离不变）得到的双曲线方程C ；(3)已知由（2）得到的双曲线C ，上顶点为D ，直线l 与双曲线C 的两支分别交于A ，B 两点（B 在第一象限），与x 轴交于点T ⎫⎪⎪⎝⎭.设直线DA ，DB 的倾斜角分别为α，β，求证：αβ+为定值.。

高二（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x≥1}，B={x|x2−x−2<0}，则A∪B=( )A. {x|x≥1}B. {x|1≤x<2}C. {x|−1<x≤1}D. {x|x>−1}2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则( )A. ￢p：∃x∈A，2x∈BB. ￢p：∃x∉A，2x∈BC. ￢p：∃x∈A，2x∉BD. ￢p：∀x∉A，2x∉B3.阅读如图所示的程序，则运行结果为()A. 1B. 2C. 5D. 74.下列各函数中，最小值为2的是( )A. y=x+1xB. y=sinx+1sinx，x∈(0,π2)C. y=x2+3x2+2D. y=x+1x5.直线ax+by+1=0(a,b>0)过点(−1,−1)，则1a+4b的最小值为( )A. 10B. 1C. 4D. 96.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，①m//n，m⊥α⇒n⊥α②α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n③α//β，m//n，m⊥α⇒n⊥β④若α∩γ=m，β∩γ=n，m//n，则α//β则以上说法中正确的有( )个A. 1B. 2C. 3D. 47.函数f(x)=xcosx+x在[−π,π]上的图象大致为( )A. B.C. D.8.已知曲线C1：y=sinx，C2：y=cos(2x−π3)，则下面结论正确的是( )A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移2π3个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右半移π12个单位长度，得到曲线C29.已知函数f(x+1)的定义域是[1,2]，求函数f(x)的定义域( )A. [2,3]B. [2,3]C. [0,1]D. (2,3]10.点(1,0)与(2,5)位于mx+y−1=0异侧，则m的范围是( )A. (−2,1)B. (−1,2)C. (−1,+∞)D. (−∞,2)11.设向量a，b，c满足a+b+c=0，(a−b)⊥c，a⊥b，若|a|=1，则|a|2+|b|2+|c|2=( )A. 3B. 4C. 5D. 612.一段1米长的绳子，将其截为3段，问这三段可以组成三角形的概率是( )A. 14B. 12C. 18D. 13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a,b夹角为45°，且|a|=1,|2a−b|=10，则|b|=______．14.向边长为2的正方形内随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域内(图中阴影区域)，由此可估计π的近似值为______.(保留四位有效数字)15.现从80瓶水中抽取6瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将80瓶水编号，可以编为00，01，02，……，79，在随机数表中任选一个数，例如选出第6行第5列的数7(下面摘取了附表1的第6行至第10行)。