趣味数学 第一讲 笛卡尔

数学文化伟大的创造者迪卡尔的故事数学文化伟大的创造者迪卡尔的故事笛卡儿在数学上的杰出贡献主要是将代数和几何巧妙联结在一起，从而创造了解析几何这门新数学分支。

几何这门从古希腊时代就产生并经过欧几里得总结的学科，它经过两千年来无数个数学家们的不断完善，就像一座雄伟的宫殿高耸在数学王国之中。

笛卡儿非常喜欢这座宫殿，在这里的每一个证明题就像一颗颗闪光的珍珠叫人爱不释手。

然而笛卡儿发现，人们只能一颗颗地把这些珠子捡起，却很难用线将这些各具特色的珠子都串起来。

当时的代数，由于数学家们片面地强调形式的美和协调性，因此被法则和公式锁得死死的，人们往往只能在狭隘的领域里徘徊。

笛卡儿批评当时的代数是一种充满混杂与晦暗，故意用来阻碍思想的艺术，而不像一门改进思想的科学。

笛卡儿主张让代数和几何中一切最美好的东西互相取长补短，于是他开始着手寻找一种能让代数和几何联结的新方法。

1619 年在多瑙河畔的军营中，笛卡儿开始用大部分时间来思考他在数学领域里的新想法：是不是可以用代数中的计算过程来代替几何中的证明呢?要想这样做就必须找到一座能连接几何和代数的桥梁使几何图形数值化，从而能用计算的方法加以解决。

在那些日子里，笛卡儿的思维一直处于一种高度的兴奋状态。

奇迹终于出现了，11月10日晚上，笛卡儿躺在床上迷迷糊糊地进入了梦乡。

他梦见自己用金钥匙打开了欧几里得的数学宫殿的大门，遍地的珍珠光彩夺目。

他拿起一根线刚把珠子串了起来，线突然断了，珠子撒了一地。

突然，这些珠子都不见了，宫殿里顿时空旷如坪。

这时，他看见窗前一只黑色的苍蝇在疾飞着，眼前留下苍蝇飞过的痕迹一条条的斜线和各种形状的曲线。

这些不正是他最近全力研究的直线和曲线吗?笛卡儿呆住了。

一会儿苍蝇停住了，在眼前留下一个深深的小黑点……笛卡儿从梦中惊醒过来，脑海中还不时浮现出梦中的情景，让他异常兴奋，使他难以入睡。

突然，笛卡儿悟出了这其中的奥妙：苍蝇的位置不是可以由窗框两边的.距离来确定吗?苍蝇疾飞时留下的痕迹不正是说明直线和曲线都可以由点的运动而产生吗?笛卡儿兴奋极了，一骨碌爬起来，拿笔计算。

笛卡儿、费马与坐标方法坐标方法的诞生与生产和科技的发展紧密相关。

16世纪以后，天文、力学、航海等都对几何学提出了新需要。

比如，德国天文学家开普勒（，1571—1630）发现行星是绕着太阳沿椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略（，1564—1642021年，他发表了著名的《几何学》，这标志着解析几何的诞生。

在《几何学》中，笛卡儿引用“变量”这个概念，并建立平面上的坐标系。

他在解决作图问题时，把坐标平面上的“点”与作为坐标的有序“数对”对应起来，再把平面上的“曲线”与含有两个未知量的“方程”对应起来。

最重要的是点与坐标的对应，流动的坐标就是变量，方程既表示已知量与未知量之间的关系，又确定了变量之间的关系。

所有这些都依赖于平面上坐标系的建立。

费马是17世纪上半叶最伟大的数学家之一。

以公元前3世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯（Apollonius，约公元前2021年，英国数学家沃利斯（，1616—1703）首先有意识地引进负的纵、横坐标，改进了笛卡儿、费马的坐标系，得到了完整的圆锥曲线的方程，并用这些方程直接推导出圆锥曲线的几何性质，充分显示出坐标方法的巨大力量。

意大利数学家卡瓦列里（，1598—1647）最先使用极坐标来求阿基米德螺线下的面积。

美国物理学家、数学家牛顿（，1642021年最先发表了上述有关极坐标系的文章，所以人们一般都称伯努利为极坐标系的发明者。

此后，数学家们还引进了空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系，用坐标方法讨论曲面和空间曲线。

坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题。

这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系。

从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展，并且为近代数学的机械化证明提供了有力的工具。

随着数学学习的不断深人，同学们会看到坐标方法的更广泛应用，感受到它的巨大力量。

你能联系自己的学习经历，谈谈坐标方法的作用与意义吗1。

笛卡尔坐标系的由来故事
咱来唠唠笛卡尔坐标系的由来，可有意思啦。

从前有个叫笛卡尔的哥们儿，这可是个超级聪明的家伙。

他整天就躺在床上想事儿，为啥呢？据说他在军队服役的时候，那地方可冷了，他就躲在暖和的被窝里思考人生和数学。

有一天啊，他看到天花板上有个蜘蛛在爬。

你想啊，一般人看到蜘蛛，可能就“啊”一声赶走了。

但笛卡尔不一样，他的小脑袋瓜就开始飞速运转。

他就想啊，怎么才能准确地说出这个蜘蛛的位置呢？
他就琢磨出来了一个超棒的办法。

他先在墙角那里想象出三条线，就像咱们现在说的坐标轴一样。

一条是横着的，一条是竖着的，还有一条是从墙里往外指的（当然啦，这是个大概的想象）。

然后呢，他发现只要知道蜘蛛到这三条线的距离，就能准确地说出蜘蛛在天花板这个平面上的位置啦。

这就是笛卡尔坐标系最初的灵感来源。

这个想法可不得了，一下子就把几何和代数联系起来了。

以前几何是研究图形的，代数是研究数字和方程的，就像两个不同星球的东西。

笛卡尔这么一搞，就像是建了一座超级大桥，让这两个星球能互通有无了。

后来啊，这个坐标系就不断发展，在数学、物理、工程学，甚至是游戏开发这些地方都超级有用。

咱们现在能玩那些超酷的3D游戏，里面人物的位置、物体的摆
放，都离不开笛卡尔坐标系这个超牛的发明呢。

所以说啊，有时候一个小小的想法，就像笛卡尔看到蜘蛛这个事儿，就能改变整个世界的面貌，是不是很神奇呢？。

笛卡尔零点定理
笛卡尔零点定理是数学中的一个重要定理，它描述了实数与复数之间的一种关系。

该定理表明，对于任何实数a，总存在一个复数z，使得z的模等于a，并且z与实轴上的原点o之间的角度为直角。

这个定理的证明需要用到复数的代数形式和三角形式之间的转换，以及一些三角函数的基本性质。

通过将复数z表示为x+yi的形式，其中x和y都是实数，我们可以将z的模等于a等价于x^2+y^2=a^2，并且z与原点之间的角度为直角等价于x=0。

然后我们可以利用三角函数的基本性质来证明存在一个复数z满足这些条件。

笛卡尔零点定理在数学中有着广泛的应用，例如在解决某些几何问题、求解某些微分方程、研究某些函数的性质等方面。

这个定理也与复数的代数形式和三角形式之间的转换有关，因此在复数理论中也有着重要的地位。

[趣味数学]笛卡尔在海盗船上的故事新的数学思想当时还没有达到能够把他们作为数学或者哲学论文的形式记载下来的程度.只是在1637年,笛卡尔致力于自己的大作<<更好地指导推理和寻求真理的方法论>>的著述,他在著作中还附加了一篇题为<<几何>>的附录,这时新的数学思想才得以实现.但是<<几何>>所包含的基本思想,早在还是一名年轻的志愿兵的笛卡尔在布莱达时就产生了.笛卡尔所加入的军队无所事事.他对荷兰的地方已经相当熟悉了.特别是笛卡尔开始能听懂荷兰话,而且还会说.这位年轻的水兵借口到天主教的军队里服役,决定动身到德国去.当时,欧洲已经爆发三十年战争.他去德国,不得不绕道经过哥本哈根,革但斯克,波兰和匈牙利.笛卡尔到了德国之后,就报名参加了马克西米利安.巴伐利斯基公爵的军队.军队实际上是为了保护德国皇帝费迪南二世的利益而集结起来的.但是这种思想对他只是个比较小的诱惑.笛卡尔确实有一个全然不同的目的,就是扩大自己在科学界的交往,而做到这一点最好是多和皇宫的人接触.关于笛卡尔参加战斗的情况的可靠报道保存下来的很少.可能他赶上参加了布拉格附近的白山战役,这是三十年战争的主要战役之一.我们现在只知道这次战役以后发生的事情. 他所厌烦的军队已经被他离弃,整个战争的变化已经成为过去,离开德国之后,他可以回家了.这位士兵学者和他的仆人一起克服了战争所造成的许多困难,终于勉强地走到了弗利斯兰,乘坐一艘不大的商船驶往法国,船费是中等价钱.小商船仅仅适合于沿岸航行.全体船员除了船长和他的副手之外,还有几个水手,他们的职责就是照看两根不高的桅杆上的船帆,擦洗已经破裂的甲板,船尾的一个不大的客舱分配给旅客.一天夜里,笛卡尔躺在狭窄的,不通风的客舱里的木板床上,翻来覆去睡不着,心里很烦,就走上了甲板,凭靠在围绕甲板的栏杆绳子上,津津有味地陶醉于北海之夜的魅力之中.皎洁的月亮在黑黝黝的水中显出闪耀夺目的缕缕波纹,光波和着波浪的节拍有节奏地摇晃着,好像是用来呼唤招引着什么面目不清,神秘莫测,而又永恒无穷的东西.有时,涌起的波浪喧嚣地撞击在船舷上,无数个闪闪发光的下落的水珠向四处飞散,耽于幻想的航海者突然感觉到一种带有咸味的凉爽.有时候,在皓月神秘如梦的光照之下,海面被大海中不知名的栖息者用锋利而有力的鳍突然切断,又过了许久,才逐渐地恢复了他动摇不定的沉静.在远处,几乎是在地平线附近,有许多的光点忽隐忽现,那可能是航行的巨轮船舷的灯火,也可能是远处听不见的雷鸣电闪......笛卡尔坐在斜垂在大帆船船舷上的阴影里,脑海里翻来覆去地慢慢地回忆着历历在目的战争生活,在可爱的小河边上不出名的拉哈耶所度过的早已过去了的童年生活情景,还有那向耶稣会教徒们学习的岁月.需要一种自觉的努力来使得自己摆脱沉思默想的状态,好倾听舵轮那边传来的说话声.笛卡尔听出是船长的副手和一个有着黑胡须的,宽肩膀的水手的声音,还在他们上船的时候,这个水手脸上捉摸不定的表情就使他感到吃惊.当时,笛卡尔在他故作冷漠的背后,看出对于他自己,更多地是对他仆人小心地踏在踏板带到船上的一只沉甸甸的大箱子掩饰不住的贪婪的注视.此刻,他俩正在用荷兰话交谈."你能肯定那个法国人不懂得荷兰话吗?"船长的副手闻到. "是的.他们听不懂荷兰话,就像看不清眼下的黑夜一样,"水手回答到"还在码头上时,我故意大声招呼和那个士兵并肩站着的细高个古德坚,好让他留神比他的长剑还长的那人的长鼻子,可是,不管是那个法国人,还是他的仆人,都毫无反应.要是在我们中间这么说,哪个小伙子都得找茬打架." "可是这个并不能说明任何问题"船长的副手提出了异议,"不过,"他停了一会儿,接着说"也许你是对的,那对我们就更好了."谈话的人都沉默不语了.过了几分钟,船长的副手又说了起来."你打算什么时候干掉他们?""明天傍黑的时候"黑胡须答道,"得使他们来不及在他们的箱子上上锁.我已经事先告诉古德坚了,我们已经做好了一切准备.""船长知道吗?""古德坚告诉他了.喂,得这么分.箱子归我,剩下的别人可以分."又是一阵沉默,还是船长的副手打破了沉默."船长怎么说就怎么办.别把自己装进去,黑鬼.以前你想欺骗别人,已经给你安排过一次死刑了.你看着,有了第二次你就用不着第三次----你要亲手把你的小命送到地狱去." 笛卡尔听见黑胡须瓮声瓮气地用鼻子哼了一声,又接连从鼻孔中发出不满德喘气声.不能浪费时间.笛卡尔沿着甲板上最黑暗的有阴影的地方小心地挪动者脚步,好不容易才回到客舱的门口,连忙用门闩把门关好,设法一点多余的声响也不出地唤醒了仆人.他借助好心人别克曼的帮助很快学会的荷兰话对他多么有用啊!他的命运多好,恰好在海盗这么麻痹大意地具体商量他们卑鄙的罪恶的行动计划时,把他推到甲板上来了.对付这个计划的对策制定出来了.只有迅速和果断才能保证获得成功.拂晓时,左舷那边显露出来的弯曲的海岸轮廓映入眼帘.晨风变换了方向,全体船员都被召唤到甲板上的船帆前面.当船长出现在甲板上的时候,船已经绕过在海里突出得很远的沙洲,平稳地驶离了海岸.突然,客舱的门全都敞开了,两个法国人急速地从里面跳了出来,笛卡尔敏捷地一击,把船长打倒在地,这时候他的仆人握着的火枪的枪口已经对准倒在地上的船长的后脑勺.笛卡尔一手举枪,一手持剑,迅如闪电一般地转向其余所有的匪徒,用荷兰话大声喊道:"不许动,坏蛋们!谁动一动,我们打穿他的脑袋!"被弄得措手不及的海盗们个个呆若木鸡.原来这个法国人会说荷兰话!哎呀,这是他用长鼻子开的玩笑.接着是几分钟的战斗.笛卡尔跳到船长台上,命令绞帆,调转方向以左舷顺风而航行.船很快就轻轻地停靠在海滨的沙洲上了.笛卡尔命令自己的仆人把东西仍在地上,从船上跳下去,对船副严加看管.然后自己才跳了下来.他放下手中的剑,左手举起第二只手枪.在三只抢的瞄准下,海盗们只好重新又扬起帆,离开了海岸,一会儿就走远了.两个勇敢无畏的人获得了自由.海盗们抡起拳头并发出了咒骂声而离去,海盗再也不能打扰他们了.法国出现在他们的面前.亲爱的土伦已经在迎接自己坐不安席的儿子和他的忠实的手持武器的仆人.笛卡尔就是这样一位勇敢的学者,一位无畏的人.他本人在他的回忆录中讲述过他的海上旅行时和海盗发生的这场冲突.他能够利用他所拥有的利剑,多半还靠当兵练就的技艺强迫海盗们靠岸并使他和他的仆人有可能上岸.可能他偷听海盗们的谈话不是在深夜的黑暗中,他也不是通过威胁船长的生命使所有的船员服从自己,也可能所发生的一切正像我们刚才的描述那样.在法国生活了若干年之后,他又去意大利旅行.笛卡尔参观了罗马,威尼斯,佛洛伦撒和洛列图.(他把最后的这个地方看作是履行他当年向洛列图圣母许下的誓言,当时,"预言的"梦向他揭示了新的,用他的话来说是万能科学的本质-----坐标法)巴黎的生活充满了世俗的欢乐和科学,文学学术讨论会.笛卡尔越来越有心想把自己对事物的见解以书面的形式陈述出来.他的很多朋友坚持劝告他这样做.但是,带有宗教偏见和世俗的专制体制的法国对于这一目标来说并不适宜.笛卡尔又想起了可爱的荷兰,连和海盗的小小冲突也抹煞不了他对荷兰的美好回忆.他写到,在这个国家里,"可以享受充分的自由;在那里可以毫无危险地安然入睡",而在其他任何地方都做不到这一点.笛卡尔,这个出奇地片刻难安的人开始搬到了多德雷赫特一个老朋友别克曼那里.过了不久,他又移居到佛拉涅科尔,有时住在阿姆斯特丹,有时住在莱顿,戴文特,乌德勒支,格尔德尔维克等等地方.在荷兰,笛卡尔写完了自己的<<几何>>,这一著作不长,但堪称为几何学著作的珍宝.用笛卡尔的话来说,他是大厚本的拙劣著作的反对者.他说过,后人将不仅因为他所写的东西而对他表示感谢,而且还将因为他没有写的东西,从而使他们有可能有兴趣地,独自地,当然是利用他开始的那些构思去思考,而对他表示感谢.。

笛卡尔坐标系故事
话说在很久很久以前，有个叫笛卡尔的天才。

这笛卡尔呀，整天就琢磨着
怎么把咱们这个复杂的世界给简单、清楚地描述出来。

有一天，他灵光一闪，想出了个超级厉害的主意——笛卡尔坐标系！
想象一下，咱们面前有一张大大的白纸，就像一个超级大的舞台。

笛卡尔说：“咱们给这个舞台画两条线，一条横着的，一条竖着的。

”这横着的线呢，就像是咱们走路的路，从左走到右；竖着的线呢，就像是爬楼梯，从下往上。

然后呀，这两条线交叉的地方，就是原点，就好像是舞台的中心。

不管是天上飞的鸟，地上跑的兔子，还是水里游的鱼，咱们都能在这个舞
台上找到它们的位置。

比如说，一只小鸟在舞台的右上角，咱们就能通过这两
条线告诉别人小鸟到底在哪个准确的地方。

这下可好啦，有了笛卡尔坐标系，数学家们、科学家们都高兴坏了。

不管
是算东西的位置，还是研究物体怎么移动，都变得容易多啦！
笛卡尔这一招，可真是给咱们的世界来了个大整理，让一切都变得井井有条！
怎么样，这个关于笛卡尔坐标系的故事还不错吧？。

数学故事——笛卡尔勒内·笛卡儿，1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷拉海，1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是法国著名的哲学家、数学家、物理学家。

他是西方近代哲学奠基人之一。

在1650年，穷困潦倒的法国数学家笛卡儿正在街边随意的坐着，埋头苦思一道数学题。

而也就是在此时，他遇到了同样喜欢数学的公主克里斯蒂娜，公主被他的才华深深震撼，于是就将他招到了皇宫里面，成为了她的专属数学老师。

公主聪明又好学，笛卡尔也是尽其所能的教授公主，慢慢的，在两人心中，一份美好的爱情萌芽了。

可是此时的他已经52岁高龄，公主却还是一个懵懂的18岁少女。

没多久，他们两个人之间的感情被国王发现了，国王大为恼火，把数学家驱逐回了他的国家，公主也被自己的父亲软禁了。

没多久，回国之后的笛卡尔就思念成疾，染上了绝症，他不停的给公主写信，但是都被国王截下了。

公主久久没有回信，他心中仿佛明白了什么，在他弥留之际，他寄出了最后一封信，信上没有写一句话，只有一个方程式：“r=a（1-sinθ）”。

国王看不懂，以为这个方程里隐藏着两个人不可告人的秘密，遍把全城的数学家召集到皇宫，但是没有人能解开这个函数式。

他不忍看着心爱的女儿每天闷闷不乐，便把这封信给了她。

拿到信的克里斯蒂娜欣喜若狂，她立即明白了恋人的意图，找来纸和笔，着手把方程图形画了出来，一颗心形图案出现在眼前，克里斯蒂娜不禁流下感动的泪水，这条曲线就是著名的“心形线”。

国王去世后，克里斯蒂娜继承王位，登基后，她便立刻派人去法国寻找心上人的下落，收到的却是笛卡尔去世的消息，留下了一个永远的遗憾。

有关笛卡尔和瑞典公主的爱情传说，是真的吗？笛卡尔和克里斯蒂娜也的确有过交情，只不过，笛卡尔是1649年10月4日应克里斯蒂娜邀请才来到的瑞典，而且当时克里斯蒂娜已经是瑞典女王了。

女王请笛卡尔过去，主要是给自己上课，探讨一些哲学问题。

有资料记载，由于克里斯蒂娜女王时间安排很紧，笛卡尔只能在早晨五点与她讨论哲学。

笛卡尔因式分解定理
笛卡尔因式分解定理又称为“笛卡尔因表达式分解定理”，是由法国数学家笛卡儿提出的一
种定理。

笛卡尔因式的分解是一种将一个多项式拆分成若干独立因子的方法，它可以将一
个多项式分成它的系数和指数两个部分。

笛卡儿因式分解定理的原理很简单，总的来说就是有一个多项式，它可以分解成若干独立
因子，从而完成一次多项式分解。

例如，一个多项式原来可以写成：X^4+X^3+X^2+X+1，它可以被笛卡儿因式分解为因数（X+1）*（X^3+X+1），其中“X+1”是因子1，“X^3+X+1”
是因子2，然后将这两个因子乘在一起就能得到原来的多项式：X^4+X^3+X^2+X+1。

笛卡儿因式分解这种技术主要是使用在多项式式子上的，例如，如果我们要算出一个多项式：Y^5+Y^2-3Y+27，要想求出它的因式，就可以用笛卡儿因式分解法，将原式从右向左
数起共有5项，从中可以找出它的两个因子，即（Y-3）*（Y^4+Y+27），然后将这两个
因数乘起来就可以求出原式：Y^5+Y^2-3Y+27.
依据笛卡尔因式分解定理，可以有效的分解多项式，它有助于我们更有效的分析多项式，
也是一种高效的求解多项式的方法。

笛卡尔因式分解是数学分析中的一个重要的技术，该
技术可以帮助我们研究和推理复合函数来解出不可解的非线性方程组。

研究者也可以用笛
卡尔因式分解来分析常数，特别是当求出多项式的值很困难时，使用笛卡尔因式分解法可
以有效解决问题。

综上所述，笛卡尔因式分解定理是一个重要的概念，尤其是当求解复杂的多项式方程时十分重要，它可以用来求出多项式的系数和指数，有助于我们做出更好的推理，从而更好的
解决函数方程中的复杂问题。

笛卡尔，１７世纪时出生于法国，他对于后人的贡献相当大，他是第一个创造发明坐标的人，可惜一生穷困潦倒。

当时法国正流行黑死病，笛卡尔不得不逃离法国，于是他流浪到瑞典当乞丐。

某天，他在市场乞讨时，有一群少女经过，其中一名少女发现他的口音不像是瑞典人，她对笛卡尔非常好奇，于是上前问他……你从哪来的啊?法国你是做什么的啊我是数学家。

这名少女叫克丽丝汀，１８岁，是一个公主，她和其它女孩子不一样，并不喜欢文学，而是热衷于数学。

当她听到笛卡尔说名身份之后，感到相当大的兴趣，于是把笛卡尔邀请回宫。

笛卡尔就成了她的数学老师，将一生的研究倾囊相授给克丽丝汀。

而克丽丝汀的数学也日益进步，直角坐标当时也只有笛卡尔这对师生才懂。

后来，他们之间有了不一样的情愫，发生了喧腾一时的师生恋。

这件事传到国王耳中，让国王相当愤怒！下令将笛卡尔处死，克丽丝汀以自缢相逼，国王害怕宝贝女儿真的会想不开，于是……将笛卡尔放逐回法国，并将克丽丝汀软禁。

笛卡尔一回到法国后，没多久就染上了黑死病，躺在床上奄奄一息。

笛卡尔不断地写信到瑞典给克丽丝汀，但却被国王给拦截没收。

所以克丽丝汀一直没收到笛卡尔的信……在笛卡尔快要死去的时候，他寄出了第１３封信，当他寄出去没多久后...就气绝身亡了。

这封信的内容只有短短的一行……r=a(1－sinθ)国王拦截到这封信之后，拆开看，发现并不是一如往常的情话。

国王当然看不懂这个数学式，于是找来城里所有科学家来研究，但都没有人能够解开到底是什么意思。

国王心想……反正笛卡尔快要死了，而且公主被软禁时郁闷不乐的，所以，就把信交给克丽丝汀。

当克丽丝汀收到这封信时，雀跃无比，她很高兴她的爱人还是在想念她的。

她立刻动手研究这行字的秘密。

没多久就解出来了，用的就是直角坐标图（注：实际上是极坐标系）当θ＝0°时，r＝a(1－0)＝a ……A点当θ＝90°时，r＝a(1－1)＝0 ……B点当θ＝180°时，r＝a(1－0)＝a ……C点当θ＝270°时，r＝a(1＋1)＝2a ……D点把A,B,C,D四点用弧线连接起来……连接出来……就是有名的心脏线！这就是笛卡尔和克丽丝汀之间秘密数学式……不久之后那位国王也死了，克丽丝汀继承王位登基之后马上派人在欧洲四处寻找笛卡尔的踪迹，可惜……人已故。