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均匀设计和均匀设计软件讲解

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第八章 均匀设计

第八章 均匀设计

例8.3.2 为了研究环境污染对人体的危害，考察镉(Cd)、铜(Cu)、 锌(Zn)、镍(Ni)、铬(Cr)、铅(Pb)的不同含量(包括交互作用)对老鼠 寿命的影响. 每种金属含量都取17个水平(百万分之一，ppm)： 0.01，0.05，0.1，0.2，0.4，0.8，1，2，4，5，8，10，12，14， 16，18，20. 选用U17(1716)表，由相应的使用表知，六个因素安排 在1、4、6、10、14、15列，试验方案和试验结果如程序数据所示. 由于每种金属的含量从0.01到20，最大和最小相差200倍，直接 用各因素的水平值作回归不易获得好的结果，因此对各金属含量 取对数后作回归分析，又因各金属含量之间有交互作用，所以选 用二次回归. 试验次数n=17, 不可能也不必要考虑所有的二次项和交互项, 只 要考虑显著因素的交互以及专业角度认为值得考虑的因素与项 .
采用分析员应用系统在线性回归主窗口Model采用
stepwise selection, 临界水平Criteria可取α=0.15或0.25以确 定主要因素(本例取5项或9项).
α=0.15时 Parameter Estimates Parameter Standard Estimate Error t Value 35.57486 10.21599 6.30963 3.30969 6.66639 4.51329 2.62857 1.73431 1.92423 1.98003 1.98307 1.63804 13.53 5.89 3.28 1.67 3.36 2.76
均匀设计的结果分析: (1)简单方法是使用直观分析法，从试验点中选一 个指标最优的点，相应的因素水平组合即为较优 工艺条件. 由于试验点均匀分散，试验点中较优 的工艺条件离全面试验的最优工艺条件不会很远. (2)在条件允许的情况下，即通常在误差有一定的 自由度即n-1-p>0的情况下，均匀设计的结果分析 可以采用回归分析(利用SAS完成计算).

均匀设计法

均匀设计法

第六章 均匀设计法
▪例如用U11(1110)的1，7 和1，2列分别画图，得到下面的图 (a)和图 (b)。我们看到，(a)的点散布比较均匀，而(b)的点散 布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同， 因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。
11 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
第六章 均匀设计法
▪1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个 五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10， 而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都 不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究，提 出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将 这一方法用于导弹设计，取得了成效。
▪均匀设计法与正交设计法的不同：
两种设计的均匀性比较
很难找到正交设计和均匀设计具有相同的试验数和相同的水平数。我们从 如下三个角度来比较：
v 1.试验数相同时的偏差的比较
v 当因素s=2时，若用L8(27)安排试验，其偏差为0.4375；
若用均匀设计表
U
* 8
(88
)
，则偏差最好时要达0.1445。
显然试验数相同时均匀设计的均匀性要好得多。值得
U6(64)的使用表
s列
号
213
312 3
412 3 4
偏差值越小，表示均匀度越好
D
0.1875 0.2656 0.2990
第六章 均匀设计法
均匀设计和正交设计的比较
将目前最常用正交设计和均匀设计作一下比较，讨论两种试验设计方法的特 点。
➢1.试验次数的比较 ➢正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至少为 水平数的平方。例如一项试验，有五个因素，每个因素取31 水平，若用正交设计，至少需要做961次试验，而用均匀设 计只需31次，所以均匀设计适合于多因素多水平试验。

均匀设计及其应用

均匀设计及其应用

法的试验数据分析要用到回归分析方 法，例如线性回归模 型、 次回归模型 、 二 非线 性回归模
型 ，以 及 各 种 选 择 回归 变 点 的 方 法 ，也 有 利 用 多元 样 条 函 数 技 术 、小 波 理 论 、人 工 神 经 网 络
模型应用于试验设计 和数据分析． 具体选择何种模型要根据实际试验的具体性质来确 定． 利用 回归分析得出的模型 ， 即可进行 影响因素的重要性分 析及新条件试验 的结果估算 ， 预报和最
均 匀 设 计 及 其 应 用
刘 永 才
（ 中国航天科工集 团第三研究 院， 北京 １０ ７ ） ０ ０ ４
［ 摘
要］ 概谜 了均匀设计法的诞 生 、 发展、基本内强与应 用特点 ． 介绍了均 匀设计法在 国防和
国民经济诸多领域中的应用成果 ． 总结了均匀设计法诞生、发展与广泛应用的几个鲜明特点． ［ 关键调］ 均匀设计 ； 试验设计 ； 均匀设计法应用
究其诸多影响 因素的需要 ， 由中国科学院应用数 学所方开 泰教授和王元教 授提出的一种试验 设计方法． 均匀设计 是统计试 验设 计的方法 之一 ， 它与其它 的许多试 验设计方法 ，如正交设 计、 最优设计 、 旋转设计、稳健 设计 和贝叶斯设计等相辅相成． 我们知道 ， 试验设计就是如何在试验域内最有效地选择试验点 ， 过试验得到响应 的观 通
・５ ・ ９
均匀设计 是通过一套精心 设计 的表来进行试验设计 的， 对于每一个均匀设计 表都有一个
使 用 表 ，可 指导 如何 从 均 匀 设 计 表 中 选 用 适 当 的列 来 安 排 试 验 ． 匀 设 计 分 会 还 编 制 了 一 套 均 软 件《 匀 设 计 与 统 计 调 优 软 件 包 》 试 验 设 计 和 数 据 处 理 、分 析 使 用 ，非 常 方 便 ． 匀 设 计 均 供 均

《均匀设计xuy》PPT课件

《均匀设计xuy》PPT课件

更好的均匀性，优先选用
因素的最大数
m U U*nn(n (nm ))
试验次数
水平数
均匀设计表
均匀设计表的特点



每个因素每个水平做一次且仅做一次试验 任两个因素的试验点点在平面格子点上，每行 每列有且仅有一个试验点 ——均匀性的体现 任两列组成的试验方案一般不等价 试验数按水平数的增加而增加

实际经验+专业知识+试验条件+统计分析
26
在农业试验中
考虑4个因素，对某农作物产量的影响：
1. 2. 3. 4.
平均施肥量X：12个水平 (70,74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,114)。 种子播种前浸种时间T：6个水平(1,2,3,4,5,6)。 土壤类型B，分4种B1，B2，B3，B4。 种子品种A，分3个A1，A2，A3。

选因素

根据实际经验和专业知识挑选对试验指标影响较大 的因素
均匀试验设计的基本方法-3

确定因素的水平

可以随机排列因素的水平序号 选择U*n均匀表
均匀试验设计的基本方法-4

选择均匀设计表

根据试验的因素数和水平数来选择 参考使用表 首选Un*表
均匀试验设计的基本方法-5

进行表头设计

U 6 (32 21 )
列号 试验号 1 2 3
1
2
(1)1
(2)1
(2)1
(4)2
(3)1
(6)2
3
4 5 6
(3)2
(4)2 (5)3 (6)3
(6)3
(1)1 (3)2 (5)3

第六章-均匀试验设计PPT课件

第六章-均匀试验设计PPT课件

每个因素的每个水平只做1次试验
均匀设计所采用的均匀设计表的任意两列组成的 试验方案一般并不等价 ，每个均匀设计表都有一个附 加的使用表，进行均匀设计时，要遵循使用表的规定 ，才能达到较好的试验效果。
均匀设计的特点
1）均匀设计的最大特点是试验次数等于 因素的最大水平数，而不是平方的关系。
如当水平数从9水平增加到10水平时，试 验数n 也从9增加到10。而正交设计当水平 增加时，试验数按水平数的平方的比例在 增加；当水平数从9到10时，试验数将从 81增加到100。
由于这种方法不再考虑正交设计中为“整 齐可比”而设置的实验点，因而大大减少了 试验次数，这是它与正交试验设计法的最大 不同之处。
均匀设计和正交设计相似，也是通过一套精心 设计的表（均匀设计表）来进行试验设计的。
均匀表符号
均匀表列数（最 多安排因素数）
Un (tq )
均匀表横行数 （试验次数）
字码数 （水平数）
第一轮试验安排做12个样，评价以后进行回归处 理，从中剔除两个对乳化影响不大的乳化剂，再安排 第二轮7次试验。在第二轮试验中就出现了稳定性较 好的样品。第三轮试验下来，整个稳定区间就出来了。 将乳化剂加入量少而又能得到稳定乳状液的配方算出， 验证之，又存放两天观察，得到了看起来像雪花膏一 样的雪白的含苯并噻吩的甲苯─水乳化液。又按对水 含量变化的要求，制备出从10 ％ ～25％不同含水量 的稳定乳液。做完这些以后，我又观察三天，确信乳 液稳定后，将乳化条件、配方变化和稳定性变化关系 图整理出来，然后向指导教授汇报。
中国科学家巧妙的将“数论方法”和“统计 试验设计”相结合，发明了均匀设计法。
均匀设计法诞生於１９７８年。由中国著名
数学家方开泰教授和王元院士合作共同发

均匀设计

均匀设计

均匀设计基本步骤１、明确试验目的, 确定试验指标。

若考察的指标有多个则一般需要对指标进行综合分析;２、选择试验因素。

根据专业知识和实际经验进行试验因素的选择, 一般选择对试验指标影响较大的因素进行试验;３、确定因素水平。

根据试验条件和以往的实践经验, 首先确定各因素的取值范围, 然后在此范围内设置适当的水平;４、选择均匀设计表, 排布因素水平。

根据因素数、水平数来选择合适的均匀设计表进行因素水平数据排布;５、明确试验方案, 进行试验操作;６、试验结果分析。

建议采用回归分析方法对试验结果进行分析进而发现优化的试验条件。

依试验的目的和支持条件的不同也用直接观察法取得最好的试验条件(不再进行数据的分析处理);７、优化条件的试验验证。

若通过回归分析方法计算得出优化的试验条件则一般需要进行优化试验条件的实际试验验证并进一步修正回归模型;８、缩小试验范围进行更精确的试验, 寻找更好的试验条件, 直至达到试验的目的为止。

均匀设计注意事项１、当所研究的因素和水平数目较多时, 均匀设计试验法比其它试验设计方法所需的试验次数更少, 但不可过分追求少的试验次数, 除非有很好的前期工作基础和丰富的经验, 否则不要企图通过做很少的试验就可达到试验目的, 因为试验结果的处理需要采用回归分析方法完成, 过少的试验次数很可能导致无法建立有效的模型, 也就不能对问题进行深入的分析和研究, 最终使试验和研究停留在表面化的水平上(无法建立有效的模型, 只能采用直接观察法选择最佳结果)。

一般情况下, 建议试验的次数取因素数的３～５倍为好;２、优先选用表进行试验设计。

通常情况下表的均匀性要好于表, 其试验点布点均匀, 代表性强, 更容易揭示出试验的规律, 而且在各因素水平序号和实际水平值顺序一致的情况还可避免因各因素最大水平值相遇所带来的试验过于剧烈或过于缓慢而无法控制的问题;３、对于所确定的优化试验条件的评价, 一方面要看此条件下指标结果的好坏, 另一方面要考虑试验条件是否合理可行的问题, 要权衡利弊, 力求达到用最小的付出获取最大收益的效果。

第七章 均匀试验设计

第七章 均匀试验设计

7.均匀试验设计本章要点：均匀试验设计的概念，特点；均匀试验均匀性准则，均匀试验基本方法和应用。

重点：因素、水平数确定，均匀试验设计表选择和使用；含有定性因素的均匀设计。

难点：如何采用均匀试验设计求得最佳试验结果，难点就在如何进行数据分析，目前可以通过数据处理软件SAS 、Minitab 、Mathematics 、MATLAB 、SPSS 等进行，因此必须掌握其中一种，使得均匀试验设计发挥出真正作用。

7.1均匀试验设计的概念与特点均匀试验设计就是只考虑试验点在试验范围内均匀分布的一种试验设计方法，是部分因子设计的主要方法之一。

它适用于多因素、多水平的试验设计场合。

试验次数等于因素的水平数, 是大幅度减少试验次数的一种优良的试验设计方法。

和正交试验设计相比，均匀设计给试验者更多的选择，从而有可能用较少的试验次数获得期望的结果。

均匀设计也是电脑仿真试验设计(computer experiments)的重要方法之一，同时也是一种稳健试验设计(robust experimental design)。

70 年代以来，我国推广“正交设计”方法并取得丰硕的成果。

然而当试验需考察的因素较多，且每个因素有较多的水平时，运用“正交设计”方法所需做的试验次数仍会较多，以至难于安排试验。

设一个试验中有m 个因素，它们各自取了n 个水平．若用正交试验法来安排这一试验，欲估计某一因素的主效应，在方差分析模型中占n －1个自由度，m 个因素共有m(n －1)个自由度．如果进一步考虑任两个因素的交互作用，共有m C 2个这样的交互作用，每个占(n —1)2个自由度．上述两项自由度之和为m(n-1)＋1/2 m(m-1)(n-1)2，若高阶交互作用可以忽略，其试验数必须大于m(n-1)＋1/2 m(m-1)(n-1)2。

例如，在一个5因素三水平的试验中，试验数必须大于5×2＋1/2·5·4·22＝50。

均匀设计与均匀设计表格

均匀设计与均匀设计表格

第一章试验设计和均匀设计1.1试验设计在工农业生产和科学研究中，经常需要做试验，以求达到预期的目的。

例如在工农业生产中希望通过试验达到高质、优产、低消耗，特别是新产品试验，未知的东西很多，要通过试验来摸索工艺条件或配方。

如何做试验，其有学问。

试验设计得好，会事半功倍，反之会事倍功半，甚至劳而无功。

本世纪30年代，由于农业试验的需要，费歇尔(R.A.Fisher)在试验设计和统计分析方面做出了一系列先驱工作，从此试验设计成为统计科学的一个分支。

随后，F.Yates,R.C.Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.Cox和G.E.P.Box对试验设计都作出了杰出的贡献，使该分支在理论上日趋完善，在应用上日趋广泛。

60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了众所周知的贡献。

田口玄一的方法对我国试验设计的普与和广泛应用有巨大的影响，70年代我国许多统计学家深入工厂、科研单位，用通俗的方法介绍正交试验设计，帮助工程技术人员进展试验的安排和数据分析，获得了一大批优秀成果，出版了许多成果汇编，举办了不少成果展览会。

在广泛使用试验设计方法的洪流中，必然会出现一些新的问题，这些总是用原有的各种试验设计方法不能圆满地解决，特别是当试验的围较大，试验因素需要考察较多等级〔在试验设计中这些等级称之为水平〕时，用正交试验与其它流行的试验方法要求做较多的试验，常使得试验者望而生畏。

许多实际问题要求一种新的试验方法，它能有效地处理多水平的试验，于是王元和方开泰于1978年提出了均匀设计〔见文献「1－3」〕，该设计考虑如何将设计点均匀地散布在试验围，使得能用较少的试验点获得最多的信息。

10多年来，均匀设计在国得到了广泛应用，并获得不少好的成果。

试验设计在工业生产和工程设计中能发挥重要的作用，例如：1）提高产量；2）减少质量的波动，提高产品质量水准；3）大大缩短新产品试验周期；4）降低本钱；5）延长产品寿命。

正交设计和均匀设计讲解

正交设计和均匀设计讲解

C用碱量(x%)3
1(5%)
2(6%)
3(7%)
2(6%)
3(7%)
1
1(5%)
3(7%)
1(5%)
2(6%)
44 24
转化率（x%）
1
31
54
3
38
3
53
49
2
42
2
57
3
62
1
64
正交试验结果分析－极差分析法
• 以例1为例 • 分析内容： 3个因素中，哪些因素对收益率影响大，哪些因素
影响小； 如果某个因素对试验数据影响大，那么哪个水平
K3A 的影响是大体相同的。于是，可以把K1A、 K2A、K3A 之间 的差异看作是A取了三个不同水平引起的。
——正交设计的整齐可比性
• 对于因素B
试验号 列号 A温度（℃）1
1
1(80℃)
31
4
2(85℃)
53
7
3(90℃)
57
2
1(80℃)
5
2(85℃)
49
8
3(90℃)
62
3
1(80℃)
38
正交表是一种特别的表格，是正交设计的基本工具。 我们只介绍它的记号、特点和使用方法。
记号及含义
L 正交表的代号
S 正交表的列数
（最多能安排的因素个数，
包括交互作用、误差等）
LN qS
q 各因素的水平数
N 正交表的行数
（各因素的水平数相等）
（需要做的试验次数）
正交表的正交性（以L9 (34 )为例）
正交试验（表）法的特点： （1）均衡分散性－－代表性。 （2）整齐可比性－－可以用数理统计方法对

均匀设计方法简介

均匀设计方法简介

均匀设计方法简介在工农业生产和科学研究中，常须做试验，以获得予期目的：改进生产工艺，提高产品收率或质量，合成出某化合物等等。

怎样做试验，是大有学问的。

本世纪30年代，费歇（R.A.Fisher）在试验设计和统计分析方面做了一系列先驱工作，使试验设计成为统计科学的一个分支。

今天，试验设计理论更完善，试验设计应用更广泛。

本节着重介绍均匀设计方法。

一、试验设计对于一项试验，例如用微波加热法通过离子交换制备Cu13X分子筛。

我们可以13X分子筛、CuCl2为原料来制备，为寻找最佳条件，应如何设计这个试验呢？若我们已确定了微波加热功率（A）、交换时间（B）、交换液摩尔浓度（C）为三个影响因素，每个因素取五个不同值（即水平：A1，…，A5，B1，…，B5，C1，…，C5）。

有两种方法最易想到：1．全面试验：将每个因素的不同水平组合做同样数目的试验。

对上述示例，不计重复试验，共需做5×5×5=125次试验。

2．多次单因素试验：依次考查各因素（考查某因素时，其它因素固定）取最佳值。

容易知道，对上示例（不计重复试验）共需做3×5=15次试验。

该法在工程和科学试验中常被人们采用，可当考查的因素间有交互作用时，该法所得结论一般不真。

3．正交设计法：利用正交表来安排试验。

本世纪60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，使正交试验设计得到更广泛的使用。

70年代以来，我国许多统计学家深入工厂、科研单位，与广大工程技术人员、工人一起，广泛开展正交设计的研究、应用，取得了大批成果。

该法是目前最流行，效果相当好的方法。

正交表记为：L n(q m)，这里“L”表示正交表，“n”表总共要做的试验次数，“q”表每个因素都有q个水平，“m”表该表有4列，最多可安排m个因素。

常用的二水平正交表为L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)；三水平正交表有L9(34)，L27(313)；四水平正交表L16(45)及五水平正交表L25(56)等。

chapter06均匀设计法

chapter06均匀设计法

2
3
1.4(2)
1.8(3)
19(4)
25(6)
3.0(6)
1.0(2)
0.336
0.294
4
5
2.2(4)
2.6(5)
10(1)
16(3)
2.5(5)
0.5(1)
0.476
0.209
6
7
3.0(6)
3.4(7)
22(5)
28(7)
2.0(4)
3.5(7)
0.451
0.482
根据试验方案进行试验，其收率(Y)列于表的 最后一列，其中以第7号试验为最好，其工艺 条件为配比3.4，吡啶量28ml，反应时间3.5h。 我们可用线性回归模型来拟合上表的试验数据
每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设 计表中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的 均匀度。下表是U6(64)的使用表。它告诉我们，若有两个因 素，应选用1，3两列来安排试验；若有三个因素，应选用1， 2，3三列，…，最后1列D表示刻划均匀度的偏差 (discrepancy)，偏差值越小，表示均匀度越好。
^
(8 1)
令xik 代表因素xi 在第k次试验时取的值，yk 表示响应值 (8 2) (8 3) (8 4) (8 5)
i 1, 2,, m
xi xi
i 1
_
N
i 1, 2, m
1 N y yk N i 1 回归方程组系数由下列正规方程组决定：
第六章 均匀设计法
§6－1 基本原理
一、引言
正交试验设计利用：
均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀 可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的试验 结果，但是，当试验中因素数或水平数比较大时，正 交试验的次数也会很大。如5因素5水平，用正交表需 要安排55＝25次试验。这时，可以选用均匀设计法， 仅用5次试验就可能得到能满足需要的结果

均匀设计法

均匀设计法

2
1.4(2) 19(4) 3.0(6) 0.336
3பைடு நூலகம்
1.8(3) 25(6) 1.0(2) 0.294
4
2.2(4) 10(1) 2.5(5) 0.476
5
2.6(5) 16(3) 0.5(1) 0.209
6
3.0(6) 22(5) 2.0(4) 0.451
7
3.4(7) 28(7) 3.5(7) 0.482
xik
_
xi
xik
_
xj
Liy
N K 1
xik
_
xi
yk
_
y
Lyy
N i1
yk
_
y
2
_
N
xi xi
i1
i 1, 2, m
i, j 1, 2, , m i 1, 2, , m
(8 2) (8 3) (8 4) (8 5)
_ 1 N
y N i1 yk 回归方程组系数由下列正规方程组决定：
^
2mT
方程(8 9)化为 y b0 bl xl (T Cm2 ) (8 11)
l 1
在这种情况下，为了求得二次项和交互作用项，就不能
选用试验次数等于因素数的均匀设计表，二必须选用试
验次数大于或等于回归方程系数总数的U表了
§9－2 应用举例
▪ 利用均匀设计表来安排试验的步骤：
• （1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。 • （2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使
§6－1 基本原理
• 一、引言
• 正交试验设计利用：
▪ 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐
▪ 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀

均匀设计

均匀设计

4
均匀设计表 U*7（74） 实验号 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 2 3 6 1 4 7 2 5 3 5 2 7 4 1 6 3 4 7 6 5 4 3 2 1
均匀设计表 U*7（74）的使用表 因素个数 2 3 列号 1，3 2，3，4 D 0.1582 0.2132
希望实验次数尽可能的少，问如何安排实验？

根据因素和水平，选取均匀设计表U*7(74)或 U7(74) 由它们的使用表中可以查到，当因素数为3时， 两个表的偏差分别为0.2132和0.3721，故应当选 用U*7(74)来安排该试验 根据U*7(74)表的使用表，将A、B、C三个因素 分别安排在该表的2、3、4列
Y3
18.33 22.62 32.87 37.87 33.75 31.18 40.80 43.79 25.05 50.54 59.69 67.12 33.70 30.66 67.04 56.52 78.48

某实验考察四个因素对农作物产量的影响， 四个因素中包含两个定量因素X1、X2和两 个定性因素A、B，希望尽可能的较少实验 次数，问如何安排实验

适用于原因变量取值范围大，水平多（一般不少 于5）的场合 主要用于全部因素为定量因素的实验研究场合


通常是对所研究的问题中诸因素及其交互作用的 重要性一概不知的大规模（或每做一次实验，费 用十分昂贵的）实验研究的场合，通过此设计进 行因素筛选 当因素和水平的数目缩小后，再改用正交设计或 析因设计，作详细研究
今欲考虑这些金属含量（包括它们的交互作用） 对老鼠寿命的影响，观测指标为老鼠身上某种细 胞的死亡率


由于U*17(175)只有5列，最多能安排五个因素，故 选择U17(178)均匀表

均匀设计

均匀设计
2019/1/11 12
7.2.3 使用均匀设计表
* 偏差D可对任一均匀设计表 U n 或 U n 中任意二列、任 意三列、…进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使 用列，从而形成使用表。
如下表就是 U 7 (76 ) 的使用表，s表示因子数。 均匀设计表 U 7 (76 ) 的使用表
若从中选出5列使用，就会使偏差D过大，故建议不使 用，把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可以得到 U 7 (7 4 ) 及其使用表。
i 2n ，i 1,2, , n
Un(n m)中n个试验点变换成C m=[0，1]m中的n个点。 考虑Un(n m)中n个试验点的均匀性等价于考虑在 [0，1]m中 的均匀性。
2019/1/11 10
（3）设
是[0，1]m中任一点，则
为多维矩形的体积，且 0 V ( x) 1 。 （4）记 nx 为n个点 x1 , x2 ,, xn 落在多维矩形的个数， 则 n x / n 表示有多少比例的点落在矩形中。 若此n个点在[0，1]m中均匀散布，则 n x / n 与该多维 矩形的体积 相差不大。 （5）设 x1 , x2 ,, xn 是[0，1]m中的n个点，则称
2019/1/11 1
王元
方开泰
中国科学院数学研究所 中国科学院院士
中国科学院应用数学研究所 北京师范大学－ 香港浸会大学联合国际学院 美国数理统计科学院终身院士 美国统计学会终身院士
2
2019/1/11
§7.1 均匀设计表
7.1.1 均匀设计概述
例7.1 为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重
金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，考察 老鼠体内某种细胞的死亡率。将每一种重金属看成一个

《均匀设计与分析》PPT课件

《均匀设计与分析》PPT课件

(1.1.1)
The SAS System • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
23:13 Tuesday, October 26, 2004 1
The GLM Procedure Number of observations 7 The SAS System 23:13 Tuesday, October 26, 2004 2 The GLM Procedure Dependent Variable: y Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model 3 0.04877010 0.01625670 3.29 0.1773 Error 3 0.01483761 0.00494587 Corrected Total 6 0.06360771 R-Square Coeff Var Root MSE y Mean 0.766732 18.87608 0.070327 0.372571 Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F x1 1 0.01045289 0.01045289 2.11 0.2420 x2 1 0.00032411 0.00032411 0.07 0.8145 x3 1 0.03799310 0.03799310 7.68 0.0695 Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F x1 1 0.00454233 0.00454233 0.92 0.4086 x2 1 0.00219572 0.00219572 0.44 0.5529 x3 1 0.03799310 0.03799310 7.68 0.0695 Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Intercept 0.2023641775 0.09932934 2.04 0.1344 x1 0.0371834416 0.03880000 0.96 0.4086 x2 -.0034469697 0.00517333 -0.67 0.5529 x3 0.0769480519 0.02776302 2.77 0.0695

均匀设计(版本1)

均匀设计(版本1)
首先，考虑线性回归模型:
y 0 1x1 2 x2 3 x3
(1.1.1)
使用回归分析中变量筛选的方法，比如‘向后法’，得到 推荐的模型为：
ˆ y 0.2142 0.0792x3
这个结果与人们的经验不符。
(1.1.2)
15
然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据：
2 2 y 0 1 x1 2 x2 3 x3 11 x12 22 x2 33 x3
12 x1 x2 13 x1 x3 23 x2 x3
(1.1.3)
使用‘向前’的变量选择法，我们发现适宜的模型：
2 ˆ y 0.06232 0.25x3 0.06x3 0.0235 1 x3 x
华罗庚
王元
3
4
均匀设计是一种试验设 计 方法。它可以用较少的试 验次数，安排多因素、多水平 的析因试 验，是在均匀性的 度量下最好的析因试验设计方 法。均匀设计也是仿真试验设 计和稳健设计的重要方法。
5
Introduction to
入門
(PPT)
策划:方开泰
执笔:王柱
6
-1-
使用方法
7
我们通过制药工业中的一个实例, 来看均匀 设计表的使用方法。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2 5 6 3 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 3 2 3 2 2 1 1 1 3 2 7 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2

均匀设计表及其使用表的构造

均匀设计表及其使用表的构造

4、设计行和列
根据实验需求和因子水平，将各个因子的水平分配到表格的行和列中。例如， 如果有3个因子，每个因子有3个水平，那么可以设计一个3行3列的表格。
5、确定细胞数
根据均匀设计表的要求，每个因子每个水平的实验次数应该相同。因此，可以 根据因子数和每个因子的水平数计算出每个单元格应该出现的次数，进而确定 表格的大小。
参考内容
在复杂的商业交易和法律关系中，表见代理是一个重要且棘手的问题。表见代 理是指一方当事人虽然没有授权，但因其行为使得另一方有合理理由相信其有 代理权，因此该方当事人的代理行为有效。本次演示将深入探讨表见代理体系 构造，包括其定义、形成、特点、与相关概念的区别，以及在商业和法律中的 应用。
一、表见代理体系构造的概念
一、均匀设计表的构造
要构造一个均匀设计表，需要确定实验的因子和水平，以及选择合适的均匀设 计表类型。下面我们将从这几个方面具体介绍。
1、确定因子和水平
首先，需要明确实验中涉及的因子和每个因子的水平。因子是指实验中需要控 制或研究的变量，水平是指每个因子的取值。例如，在材料科学实验中，因子 可能是不同的成分比例、温度、压力等，而水平则可能是各种成分比例、不同 温度和压力条件等。
三、表见代理的特点
表见代理具有以下特点：
1、无权代理：表见代理的本质是无权代理，即代理人没有代理权或超越代理 权范围进行代理行为。
2、客观表象：表见代理的表象是代理人具有代理权的客观表象，如合同签署、 盖章、口头承诺等。
3、相对人信赖：表见代理的重要特点是相对人对代理人的信赖，这种信赖应 当是合理的。
表见代理体系构造是指将表见代理的原理、原则、规则等，通过一定的逻辑结 构和方法，运用到具体的商业和法律实践中，以解决相关问题。
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1 12 4 10 6 2 13 9 5 3 1 3
S
2
1
3
1
4
1
试验次数序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
列号
3
3
4
2
3
D
0.0962
0.1442
4
0.2076
因素1选用水平 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
因素2选用水平 9 4 13 8 13 12 7 2 11 6 13 10 5
2.2 均匀设计表的构造方法（续2）
这时 n一定可以表示为不同数的方幂积，即： n=p1l1p2l2…psls,这里p1,…,ps 为不同的素数， l1,…,ls为正整数，这时E(n)=n(1-1/p1)…(11/ps),例如n=12可表为n=22×3,于是E(12)=12(11/2)(1-1/3)=4,即U12最多可能有4列。上述的三 种情形中以 n为素数时最好，最多可以有n-1列， 非素数时表的结构中永远不可能有 n-1列，比如 E(6)=2，则最多只能安排两个试验因素，为此, 王元和方开泰建议，用 Un+1 表划去最后一行构造 形成新的Un*表，如U6*(66)可有6列之多。
359
1 359 2 6 10 7 3 945 4 193 5 431 6 7 8 10 7 10 2 8 8 276 9 514 10 8 6 2
123
1 35 2 654 3 923 4 152 5 421 6 745 7 10 1 4 8 243 9 512 10 8 3 1
3 均匀设计的应用方法
1 什么是均匀设计
均匀设计的概念 均匀设计的特点
1.1 均匀设计的概念
均匀设计(Uniform Design)是一种试验设计 方法(Experimental Design Method),称为均匀 设计(Uniform Design)或均匀设计试验法 (Uniform Design Experimentation)。所有的试 验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选 代表性点的方法，均匀设计也不例外，它是只考 虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计 方法。它由方开泰教授和数学家王元在1978年共 同提出，是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的 一个应用。
2.3 均匀设计表的使用表的产生方法
每个均匀设计表都规定了它的使用表，用于 进行试验各因素水平组合的具体安排。这样做的 原因是：从均匀设计表Un(nm)中选出 s列, 则可能 的选择有(ms)种， 但不同列组合起来所代表的点 集的均匀性是不同的，所设计试验的效果也是不 同的，因而如何选用均匀设计表中的列必须引入 一个判别表的均匀性好坏的准则。度量均匀性的 准则很多,其中偏差(discrepancy)是使用历史最 久、最为广泛接受的方法，均匀设计也同样采用 偏差来衡量其设计表的均匀性，偏差越小，则设 计表的均匀性越好。
因素3选用水平 11 8 5 2 13 10 7 4 1 12 9 6 3
2.4 混合水平均匀设计表的产生方法
上面介绍的是各试验因素水平数相等情况下 的均匀设计表，若各因素的水平数不等，则需要 采用混合水平的设计表进行试验设计。将均水平 的设计表转换为混合水平的表的方法可采用常用 的拟水平法。一个试验次数为 n的设计表，试验 因素中某个或几个因素的水平数不足n,为m(n 必 须为 m的整数倍),则将设计表中代表该因素的水 平合并，具体的合并方法是：设 i为该试验因素 的第 i水平(i=1,2,…,n)，将 i从小到大分成 m 组，每组有n/m个i,用 i所在的组的数值 m代替 设计表中的 i,这样就形成了混合水平设计表混 合水平的设计表的例子如下：
1.2 均匀设计的特点
均匀设计遵从和具有试验设计方法的共性及 本质内容，它能从全面试验点中挑选出部分代表 性的试验点，这些试验点在试验范围内充分均衡 分散，但仍能反映体系的主要特征。例如正交设 计 (Orthogonal Design)是根据正交性来挑选代 表点的，它在挑选代表点时有两个特点: 均匀分 散，整齐可比。“均匀分散”使试验点均衡地布 在试验范围内，让每个试验点有充分的代表 性,“整齐可比” 使试验结果的分析十分方便， 易于估计各因素的主效应和部分交互效应，从而 可分析各因素对指标的影响大小和变化规律。但 是，为了
均匀设计表U11(116)和它的使用表
均匀设计表 U11(116)
U11(116)的使用表
123456
1 1 2 3 5 7 10 2 2 4 6 10 3 9 3 3 6 9 4 10 8 4 481967 5 5 10 4 3 2 6 6 617895 7 7 3 10 2 5 4 8 852713 9 975182 10 10 9 8 6 4 1 11 11 11 11 11 11 11
S
列号
2 15
3 145
4 1345
5 12345
6 123456
D 0.1632 0.2649 0.3528 0.4286 0.4942
说明：设计表中的列代表的是各因素的水平，但具体代表 的是哪个因素的水平，需按使用表确定，使用表s一栏的数 字是试验的因素数，它后面的数字指定了各种因素数进行 试验时该如何选择设计表的列；使用表中D栏代表不同因素 数选择设计表的不同列时均匀设计的偏差，偏差越小，均 匀性越好，试验成功的几率和结果的可靠性越大。
3.1 试验设计的共性问题（续1）
均匀设计和正交设计相似，也是通过一套精 心设计的表来进行试验设计的。均匀设计表用 Un(qs)或 Un*(qs)表示,其中Ｕ代表均匀设计,ｎ代 表要做的试验次数,ｑ代表每个因素有ｑ个水平， ｓ代表该表有ｓ列，有＊和无＊代表的是用两种 不同类型的均匀设计表,＊类型表是由Un+1类型的 表构造形成的，后面再具体说明其形成方法。以 下用均匀设计表U11(116)、U9*(94)和它们各自的 使用表介绍一下表的各部分代表的意义(表中未 用列已经删除)：
均匀设计和均匀设计软件
Uniform Design and it’s Software
王玉方 2003年6月16日
报告的主要内容
均匀设计的概念、特点、原理 均匀设计的具体应用方法 均匀设计软件
关键词
均匀设计 Uniform Design
试验法
Experimentation
均匀设计软件 Uniform Design Software
2.3 均匀设计表的使用表的产生方法(续2)
均匀设计表U13*(134)和它的使用表及3因素时各次试验的因素水平组合方式
1 2 34
1
2 3 1 5 9 11 4 2 10 4 8 5 3 1 13 5 64 6 82 7 5 11 3 13 8 6 2 12 10 97 7 77 1 8 12 2 4 0 9 3 11 1 1 10 8 6 12 1 11 13 1 9
试验设计的共性问题 均匀设计的应用方法 具体问题的解决方法
3.1 试验设计的共性问题
试验设计（如正交试验设计、回归正交试验 设计、旋转设计、D-最优设计等）过程必然离不 开试验基础内容的构思（试验的评价指标；试验 的因素、水平的选择和试验次数的拟定）、试验 结果数据的分析等共性方面的问题。试验的因素 和水平的选择关系到一个试验能否成功的关键， 下列的注意事项和建议对使用试验设计（当然也 包括均匀设计）的人员应该是有益的：
2.3 均匀设计表的使用表的产生方法（续1）
由于这个报告的目的是向大家介绍这种试验 方法，而且关于偏差计算的内容也很多，因而关 于均匀性偏差的计算方法和具体产生使用表的方 法在此不做介绍（有特别需要者可以参见参考文 献[1] ）使用者只需要按每个均匀设计表所附的使 用表进行试验安排即可。比如，欲进行一个３因 素、每因素13水平的试验，可以选用均匀设计表 U13*(134)，使用表中推荐的列为1,3,4,则所有13 次试验时各因素的水平组合为：
1.2 均匀设计的特点（续3）
时，因素偏回归平方和的大小也体现了它对试验 指标影响的重要性。这些一般都要借助计算机才 能完成。
2 均匀设计的原理
均匀设计表和使用表各部分的含义 均匀设计表的构造方法 均匀设计表的使用表的产生方法 混合水平均匀设计表的产生方法
2.1 均匀设计表和使用表各部分的含义
1.2 均匀设计的特点（续2）
的最大不同之处。采用均匀设计，每个因素的每 个水平仅做一次试验，当水平数增加时，试验数 随水平数增加而增加，若采用正交设计，试验数 则随水平数的平方数而增加。例如用正交设计需 做961次5因素31水平的试验，采用均匀设计只需 做31次试验，其效果基本相同。由于均匀设计不 再考虑正交试验的整齐可比性，因此其试验结果 的处理要采用回归分析方法—线性回归或多项式 回归分析。回归分析中可对模型中因素进行回归 显著性检验，根据因素偏回归平方和的大小确定 该因素对回归的重要性；在各因素间无相关关系
2.2 均匀设计表的构造方法（续1）
用上述方法生成的表记作Un(nm),例如n=11时， 可以形成象前面介绍的U11(116)表。向量h称为该 表的生成向量，可以将Un(nm)记成Un(h)。给定n, 相应的 h可以用上面的方法求得，从而 m也就确 定了，所以 m是 n的一个函数，称为欧拉函数， 记为E(n)。这个函数告诉我们均匀设计表最多可 能有多少列。根据数论结果可知：(1)当n为素数 时,E(n-1)=n-1;(2)当n为素数幂时,即n可表示成 n=pl,这里p为素数,l为正整数，E(n)=n(1-1/p)， 如n=9,可表为n=32,于是 E(9)=9(1-1/3)=6,即U9 最多可以有6列;(3)若 n不属于上述两种情况，
均匀设计表U9*(94)和它的使用表
均匀设计表U9*(94)
U9*(94)的使用表
1234
s
列号
1 1379
2
1