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工程力学第03节 惯性矩的平行移轴公式

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材料力学平行移轴公式

材料力学平行移轴公式

材料力学平行移轴公式
材料力学平行移轴公式是指，在研究杆件（也可以是板件、壳体、筏板等）的受力、变形及稳定性时，如果一个平行于某一轴线的受力系统在该轴线上的合力为零，则可以通过平移该受力系统，将其作用点移到该轴线上，不影响杆件的静力平衡和变形，即满足等效原理，从而用该轴线作为该杆件的平移轴线。

在材料力学中，平行移轴公式应用广泛，特别是在弹性力学的应用中很常见。

根据平行移轴公式，如果一个杆件受到的作用力在某一轴线上的合力为零，那么这个杆件就可以在该轴线上进行平移，移动的距离可以确定为受力系统到该轴线距离的乘积除以作用在某一点上的合力，即：
s = (M/V) * r
其中，s代表杆件平移的距离，M代表作用在轴线上的合力矩，V 代表轴线上的截面积，r代表受力系统到轴线的距离。

通过这个公式，可以比较方便地计算出杆件的平移距离。

需要注意的是，平移轴线要求在平移前后，杆件的受力状态和形状是不变的。

如果平移后，杆件的受力状态和形状发生了变化，就不能使用平移轴公式计算了。

总之，平行移轴公式在材料力学中具有重要的作用，特别是在弹性力学的应用中，可以方便地计算杆件的平移距离，为分析各种力学问题提供了有力的支持。

M02资_惯性矩和惯性积的平行移轴定理

M02资_惯性矩和惯性积的平行移轴定理
iycxcxcxc6412xcxcyc便是形心主惯性矩轴便是形心主轴ycxc材料力学本章小结一知识点1熟练计算典型形状的静矩和形心2熟练计算典型形状的惯性矩惯性积惯性半径3掌握平行移轴公式的应用方法二重点内容1常见形状的二次矩计算2平行移轴公式
第5章 平面的几何性质 5
材料力学
本章主要内容
§5–1 面积矩与形心位置 惯性矩、惯性积、 §5–2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 §5–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 §5–4 惯性矩和惯性积的转轴定理 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
2 A
y
I y =∫ x 2 dA
二、极惯性矩： 极惯性矩： 矩。
A
x
dA y x
是面积对极点的二次
ρ
I ρ =∫ ρ 2 dA=I x +I y
A
材料力学
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。 惯性积：
I xy =∫ xydA
A
y 是对称轴， 如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0 x dA y x
x y
dA y1 x1 x
Ix+I y Ix−I y Ix1 = + α α 2 cos2 −Ixysin2 2
α
材料力学
Ix+I y Ix−I y − I y1 = α α 2 cos2 −Ixysin2 2 Ix−I y Ix1y1 = sin2 +Ixy圆对其切线AB的惯性矩。 y 解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； d O B x 二是用平行移轴定理等知识求。 建立形心坐标如图,求图形对形 心轴的惯性矩。
A
Iρ =
I P πd 4 I x =I y = = 2 64

M02资_惯性矩和惯性积的平行移轴定理

M02资_惯性矩和惯性积的平行移轴定理
第5章 平面的几何性质 5
材料力学
本章主要内容
§5–1 面积矩与形心位置 惯性矩、惯性积、 §5–2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 §5–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 §5–4 惯性矩和惯性积的转轴定理 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
材料力学
§5-1 静矩与形心位置
一、面积（对轴）矩：(与力矩类似) 面积（对轴） y 是面积与它到轴的距离之积。
I AB = I x + d 2 A=
π d 4 π d 4 5π d 4
64 + 4 = 64
材料力学
§5 - 4
惯性矩和惯性积的转轴定理、 惯性矩和惯性积的转轴定理、 截面的主惯性轴和主惯性矩
y y1 x1
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理
x 1 = x cos α + y sin α y 1 = − x sin α + y cos α
i i
1
1
2
A2
A
A1 + A2
x
5×(−70×110) = =−20.3 120×80−70×110
图(b)
材料力学
§5 - 2
惯性矩、惯性积、 惯性矩、惯性积、极惯性矩
是面积与它到轴的距离的平方之积。
与转动惯量类似） 一、惯性矩：(与转动惯量类似） 惯性矩： 与转动惯量类似
I x =∫ y dA
tg2 0=− α IxC−I yC
2IxC yC
形心主惯ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ矩：
IxC+I yC 2 2 IxC0 IxC+I yC ± ( ) +IxCyC = 2 2 I yC0
材料力学
3.求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系 ②计算面积和面积矩 ③求形心位置

惯性矩的计算方法

惯性矩的计算方法

第1节静矩和形心4.1静矩和形心任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关.而口与构件截面的几何形状和尺寸有关.如：计算杆的拉伸与压缩变形时用到截面而积A ,计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩I?等.A、1?等是从不同角度反映了截而的几何特性，因此称它们为截而图形的几何性质.4.1静矩和形心设有一任意截而图形如图4 一1所示，其面积为A .选収直角坐标系yoz ,在坐标为（y,z）处取一微小而积dA ,定义微而积dA乘以到y轴的距离z ,沿整个截面的积分，为图形对y轴的静矩S?,其数学表达式(4 -la )同理，图形对z轴的静矩为□4-1图41截面静矩与坐标轴的选取有关•它随坐标轴y、z的不同而不同.所以静矩的数值可能足正，也可能足负或定零.静矩的虽纲为长度的三次方.确定截面图形的形心位置（图4-1中C点）:A (4-2b)第1页共30页式中T、"为截而图形形心的坐标值.若把式（4-2）改写成心"•儿，為"•乙（4 3）性质：・若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心.・若坐标轴通过截而形心，则截而对此轴的静矩必为零.・山于截而图形的对称轴必定通过截而形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。

4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是山若干简单图形（如矩形、圆形等）组合g而成的.对于这样的组合截而图形，计算静矩（S»‘ r）与形心坐标（y*、z '）时，可用以下公式1-1 2-1式中A— y i , z i分别表示第，个简单图形的面积及其形心坐标值，n为组成组合图形的简单图形个数.即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和.组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积.组合截面图形有时还可以认为是山一种简单图形减去另一种简单图形所组成的.例4J己知T形截面尺寸如图4-2所示，试确定此截面的形心坐标值.i-1 i-1 (4-5)图4-2解：(1)选参考轴为y 轴，z 轴为对称轴,(2)将图形分成I 、口两个矩形，则= 20 x 100加朋 S 右=(10 + 140)^^34 = 2Q X 14%/,22 二注型(3)代入公式(4・5)20x100x150+20x140x70 20x100 + 20x140此=°4.2惯性矩、惯性积和惯性半径设任一截面图形(图4-3),其而积为A ・选取直角坐标系yoz ,在坐标为(y 、z)处取一微小面积dA ,定义此微2面积dA 乘以到坐标原点o 的距离的平方Q ,沿整个截面积分，为截而图形的极惯性矩I?.做而积dA 乘以到坐标轴y 的2距离的平方2 ,沿整个截而积分为截面图形对y 轴的惯性矩I 》•极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩.j.l ~2Z4数学表达式为打=f p^dA极惯性矩“俎（4-6）对y轴惯性矩图4-3山图4-3看到“ =y +Z 9所以有打=\A^dA= £cy2 +/）曲二必+加必即；? （4-8）式（4-8）说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。

《材料力学 第2版》_顾晓勤第05章第3节 惯性矩的平行移轴公式

《材料力学 第2版》_顾晓勤第05章第3节 惯性矩的平行移轴公式

13500)mm4
2.04104 m4
I y0
2
I i1 iy0
30 3003 12
270 503 12
mm4
7.03105 m4
0 13500 150 9000 13500
mm
90mm
i 1
（2）计算 T 形截面对于 x0 轴和 y0 轴的惯性矩
查表 5-1，得到矩形Ⅰ、Ⅱ对y0 轴的惯性矩：
I1 y0
30 300 3 12
mm 4
I2 y0
270 503 12
mm4
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
已知任意形状的截面如 图所示，C 为此截面的形心，
xC 、yC 为一对通过形心的坐
标轴。则定义图形对于形心
轴 xC 和 yC 的惯性矩为
I xC A yC2 dA I yC A xC2 dA
若 x 轴 // xC 轴，且相距为a；若 y 轴// yC 轴，且相距为b
第五章 截面的几何性质
（1）在C1xy 坐标系计算整个截面的形心坐标 xC 和 yC
矩形Ⅰ：A1 300 30 9000 mm 2 , xC1 0, yC1 0
矩形Ⅱ：A2 50 270 13500 mm 2, xC2 0, yC2 150
2
xC 0,
yC
i1 Ai yCi
2
Ai
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
例 5-5 T 形截面几何尺寸如图所示，现取质心坐
标系 Cx0 y0 ，其中 x0轴沿水平方向，y0 轴沿垂直方向。 试计算 T 形截面对于 x0轴和 y0轴的惯性矩。

平行轴定理公式

平行轴定理公式

平行轴定理公式
平行轴定理公式是力学中的一个基本公式，它描述了同一物体绕不同轴旋转时转动惯量的关系。

它表明，对于一个质量为m的刚体，绕距离为R的平行轴旋转的转动惯量I和绕通过质心的轴旋转的转动惯量I0之间有如下关系：
I = I0 + mR²
其中，I0是绕通过质心轴旋转的转动惯量，m是物体的质量，R是距离质心的平行轴距离。

平行轴定理公式的应用非常广泛。

在机械制造、物理学、工程学等领域中，经常使用这一公式来计算刚体的转动惯量。

了解平行轴定理公式的应用可以帮助我们更好地理解物体的旋转运动，为实际问题的解决提供更为科学的方法和工具。

平行移轴公式


IyC , IzC , IyCzC￣ 截面对形心轴 yC , zC的惯性矩
和惯性积。
z
zC
I yC z12dA z z1 b
z1
I y z2dA
b
C(a,b)
z yC
y
(z1 b)2dA
Oa
平行移轴公式
(z12 2z1b b2 )dA
A z12dA
A 2z1bdA
b2dA
A
I yC
?
b2 A
A 2z1bdA 2b A z1dA
z
zC
2bSyC
0
b
C(a,b)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱOa
z1 z yC
y
平行移轴公式
I y I yC b2 A Iz IzC a2 A
I yz I yCzC abA
z
zC
b
C(a,b)
Oa
z1 z yC
y
截面对形心轴的惯性矩最小， 但惯性积不能确定是否最小
平行移轴公式
二、组合截面的惯性矩和惯性积
n
I y I yi i 1
n
Iz Izi i 1
n
I yz I yzi i 1
I yi , Izi , I yzi —第 i个简单截面对 y, z 轴的惯性矩
和惯性积。
平行移轴公式
平行移轴公式
一、 平行移轴公式
zzC
y, z —任意一对坐标轴；
b
C(a,by)C
C ―截面形心；
y
Oa
(a , b ) ―形心C在 yOz坐标系下的坐标；
yC , zC —过截面的形心 C 且与 y, z轴平行 的坐标轴(形心轴）。

平行移轴公式

平行移轴公式
平行移轴公式
同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。

定义/平行移轴公式编辑
由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴
或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形
(A
证明：
图形微面积dA在y,z坐标系中的位置可以表示为（y c+a , z c+b），则
I z= ∫A y2dA= ∫A(a2+2ay c+y c2)dA=a2A+2aS z+I zc
其中S z为图形对形心轴的静矩，其值应等于零，则得
I z= I zc+ Aa2
同理可证图中的其它两式。

结论：从平行移轴公式中可以看出，图形对形心轴的惯性矩最小。

另外，在使用惯性积移轴公式时应注意 a ,b 的正负号。

惯性矩总结含常用惯性矩公式

常用图形的惯性矩：
2.圆形截面
由对称性
3.环形截面
常用图形的惯性矩：
惯 性 矩——对某一轴而言
极 惯 性 矩——对某一点而言
特别指出：
——图形对 x 轴的惯性半径
单位：m
三、惯性半径
在力学计算中，有时把惯性矩写成
即：
——图形对 y 轴的惯性半径
注意：
试问：
即：
三、惯性半径
四、平行移轴Байду номын сангаас式
一、定理推导
二、应用
一、定理推导
即：
§A.3 平行轴定理
显然：
性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩
中，以对形心轴的惯性矩为最小。
同理
——惯性矩和惯性积的平行轴定理
一、定理推导
解：
而
二、应用
解：
教学目的和要求
惯性矩 惯性半径
一、惯性矩
二、惯性矩与极惯性矩的关系
三、惯性半径
四、平行移轴公式
1、惯性矩、极惯性矩的概念和计算方法；2、平行移轴公式。
教学重点
平行移轴公式的应用。
教学难点
一、惯性矩
整个图形 A 对x 轴的惯性矩
整个图形 A 对 y 轴的惯性矩
y2dA——微面积dA对 x 轴的惯性矩
x2dA——微面积dA对 y 轴的惯性矩
定义：
其值：+
单位：m4
1.惯性矩
二、惯性矩与极惯性矩的关系
即：
平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过
该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和
性质 ：
若 x 、 y 轴为一对正交坐标轴
§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径

惯性矩和平行移轴公式.ppt


xC1
a1 57.5 xC
a2 57.5 xC2
I x I xC a2 A
同理
I y I yC b2 A I xy I xC yC abA
——惯性矩和惯性积的平行轴定理
显然：
I x I xC
I y I yC
性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩
中，以对形心轴的惯性矩为最小。
二、应用
解： 例 求 I和xC I yC
200 y
A
h y2 bdy bh3
0
3
y dy
_h_
2
dA y
C
yx
_h_
2
O
_b_ _b_
x1
22
常用图形的惯性矩：
2.圆形截面
D4
I x I y Ip 32
由对称性
y
O
x
Ix
Iy
1 2
Ip
D4
64
d
D
3.环形截面
Ix
Iy
1 2
Ip
(D4 64
d
4
)
D4 (1 4 )
64
特别指出： 惯 性 矩——对某一轴而言 极 惯 性 矩——对某一点而言
三、惯性半径
在力学计算中，有时把惯性矩写成
即：
Ix
A
i
2 x
Iy
A
i
2 y
ix
I x ——图形对 x 轴的惯性半径 A
iy
I y ——图形对 y 轴的惯性半径 A
单位：m
三、惯性半径
试问： 即： 注意：
I x
A
y 2dA
A
i
2 x
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I x A y2dA I y A x2dA
I x A y2dA I y A x2dA
依据两个坐标系 的关系，则有
x xC b y yC a
Ix A（yC a)2dA A yC2dA 2aA yCdA a2 AdA
I y A（xC b)2dA A xC2dA 2bA xCdA b2 AdA
已知任意形状的截面
如图，C 为此截面的形
心，xC 、yC 为一对通过形
心的坐标轴。则截面对形
心轴的 xC 、yC惯性矩分别
为
I xC A yC2 dA
I yC A xC2 dA
若 x轴平行于 xC ，且两者
的距离为 a ；y 轴平行于yC，且
两者的距离为 b，则截面 x、y
轴惯性矩分别为
解 首先将截面分为两个 矩形，如图所示 （1）矩形 I、矩形 II
A1 9000 mm 2 xC1 0 , yC1 0
A2 13500 mm 2 xC2 0 , yC2 150mm
整个截面形心 C 坐标
xC 0 2
Ai yCi
yC

i 1 2
90mm
Ai
i 1
I2x0 I2xC2 C2C2 A2
运用叠加法公式，得到截面
x0
对 x0 轴的惯性矩
I x0
2
Iix0 i 1
（300 303 12
902 9000）
（50 2703 602 13500）
12
2.04104 m4
运用叠加法公式，得到截面 对 x0 轴的惯性矩
y0 x0
（2）以0截面13形5心00C1为50原m点m，
建立 Cx0y900坐00标系13500
得到矩形 I、
II 对 y0 轴的惯 性矩
I1y0
பைடு நூலகம்

30 3003 12
mm4
I2 y0

270 503 12
mm4
应用惯性矩的平行移轴公式
计算矩形I、II对 x0 轴的惯性矩
y0
I1x0 I1xC1 C1C2 A
依据截面对 形心轴的面积 矩等于零，有
SxC A yCdA 0 截面对形心 SyC A xCdA 0 轴的面积矩
I x I xC a2 A I y I yc b2 A
惯性矩的平 行移轴公式
例 8-5 T 形截面几何尺寸如图所示，现取质心
坐标系 Cx0y0 ，其中x0轴沿水平方向，y0轴沿垂直方 向，试计算T形截面对于其 x0 轴和 y0 轴的惯性矩。
2
I x0 Iix0 2.04104 m4 i 1 2
I y0 Iiy0 i 1
30 3003 270 503 mm4
12
12
7.03105 m4
y0 x0