三角形有关的角知识点总结与随堂练(基础篇)

三角形角度问题知识点总结一、三角形内角的性质1. 三角形内角和三角形的内角和是180度。

对于任意一个三角形ABC，我们可以通过以下公式来计算三角形的内角和：∠A + ∠B + ∠C = 180°这个性质是三角形内角计算的基础，我们可以根据这个公式来解决一些与三角形内角相关的问题。

2. 等腰三角形内角在等腰三角形中，两个底边的角相等，即∠A = ∠B。

由于我们知道三角形的内角和是180度，在等腰三角形中，我们可以根据这个性质来计算另外一个角的度数。

3. 直角三角形内角在直角三角形中，有一个角是直角，即90度，其他两个角的内角和是90度。

我们可以利用这个性质来计算和证明直角三角形的相关问题。

4. 三角形内角之间的关系在三角形中，三个内角之间有一些特殊的关系。

例如，其中一角大于其他两角的和。

我们可以利用这些关系来解决一些与三角形内角之间的大小关系相关的问题。

二、三角形外角的性质1. 三角形外角和三角形的外角和等于360度。

对于任意一个三角形ABC，我们可以通过以下公式来计算三角形的外角和：∠A' + ∠B' + ∠C' = 360°这个性质是三角形外角的计算的基础，我们可以根据这个公式来解决一些与三角形外角相关的问题。

2. 三角形外角与对应内角的关系在三角形中，一个外角的度数等于与之相对的两个内角的和，即∠A' = ∠B + ∠C。

这个性质是三角形外角与内角之间的重要关系。

三、三角形角度计算和证明1. 三角形内角计算在计算三角形的内角时，一般可以通过已知的内角和性质来进行计算。

例如，根据等腰三角形的性质来计算等腰三角形的内角，或者利用直角三角形的性质来计算直角三角形的内角。

2. 三角形内角大小比较在比较三角形的内角大小时，可以利用三角形内角之间的关系来进行比较。

例如，我们可以通过比较三角形内角之间的关系来判断一个角是否大于另外一个角。

3. 三角形外角计算和证明在计算三角形的外角时，一般可以通过已知的外角和性质来进行计算。

初中数学知识点总结：与三角形有关的线段、角知识点总结一、三角形的有关概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。

三角形的特征：①不在同一直线上;②三条线段;③首尾顺次相接;④三角形具有稳定性。

2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高(1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段;②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形)，也可能在边上(直角三角形)，它们(或延长线)相交于一点。

二、三角形的边和角三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边。

由三边关系可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。

三、三角形内、外角的关系1.三角形的内角和等于180°。

2.直角三角形的两个锐角互余。

3.三角形的一外角等于和它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4.三角形的外角和为360°。

四、等腰三角形与直角三角形:1.等腰三角形：有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)。

说明：等边三角形是等腰三角形的特殊情况。

2.直角三角形：有一个角是直角的三角形是直角三角形，它的两个锐角互余。

五、三角形的分类：六、三角形的面积：1.一般计算公式2.性质：等底等高的三角形面积相等。

常见考法(1)考查三角形的性质和概念;(2)根据三角形内角和以及内、外角关系，给出已知两角，来求第三个角;(3)根据三角形内、外角的关系，比较两角大小的;(4)利用三边关系判断三条线段能否组成三角形或给出三角形的两边长，来确定第三边长的取值范围，亦或证明线段之间的不等关系。

第十三章:三角形中的边角关系,命题与证明第一节:三角形三边关系知识点:1、三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形；组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共断点叫做顶点；相邻两边组成的角叫做三角形的内角。

如图三角形可记做，读作“三角形ABC”2、角形的分类:,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,的三角形叫做等边三角形又叫做正三角形.边,两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做低角.3、三角形角的关系:三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形,有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形考点:(一)、会用符号表示三角形,了解什么是三角形的边、角、顶点,并且能用符号来表示;(二)、了解等腰三角形的腰,顶角,低角的概;(三)、运用两边之和大于第三边,两边之差小于第三边求范围和判断是否能围成三角形;(四)、运用三角形的内角和和直角三角形求角的度数例题:3、已知一个等腰三角形的一边长是5，一边长是12，求这个三角形的周长4、已知三角形的三边长分别是a、b、c，化简│a+b-c│-│b-a-c│的结果为————5、已知等腰∆ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围————6、三角形中最大角α的范围是——————，最小角β的范围是——————7、在下列空白出，分别填上“锐角”、“直角”、“钝角”（一）∆ABC中，∠A=∠B+∠C，则∆ABC是——————三角形（二）∆ABC中，∠A+∠B=20°，则∆ABC是——————三角形（三）∆ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，则∆ABC是——————三角形8、在∆ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A与∠B的和还要大30°，求∆ABC各角的度数。

9、四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（）A.4B.3C.2D.1第二课时：三角形的角平分线、中线、高知识点：（一）、三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线（二）、三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线三角形的任意一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形（三）、从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫三角形的高。

三角形知识点总结八年级上册数学三角形知识点总结（通用7篇）我们在学习数学的过程中，会学习各种各样的图形，其中在八年级的时候我们重点学习了三角形的定理知识。

下面是店铺为大家整理的八年级上册数学三角形知识点总结，希望对大家有用!三角形知识点总结篇11. 三角形的边角关系：(1)三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

(2)三角形内角和等于180°。

(3)三角形的任一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

2. 证明线段相等的方法：(1)可证明它们所在的两个三角形全等。

(2)角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。

(3)等角对等边。

(4)等腰三角形的三线合一的性质。

(5)垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

(6)等式的性质。

(7)中点的定义。

3. 证明角相等的方法：(1)同角(等角)的余角相等。

(2)同角(等角)的补角相等。

(3)平行线的性质：①两直线平行，同位角相等。

②两直线平行，内错角相等。

(4)全等三角形的对应角相等。

(5)等边对等角。

(6)角平分线的定义。

(7)等式的性质。

(8)对顶角相等。

4. 证明垂直的方法(1)证邻补角相等。

(2)证和已知直角三角形全等。

(3)勾股定理的逆定理。

三角形知识点总结篇2轴对称1.如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。

对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.2.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3.角平分线上的点到角两边距离相等。

4.对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.5.线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上.6.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

α α的对边α的邻边 斜边解直角三角形基础知识 锐 角 三 角 函 数（一）基础知识：1、正弦、余弦、正切、余切概念：在直角三角形中，∠α的正弦： ，∠α的余弦： ， ∠α的正切： ，∠α的余切：例1、如图，已知△ABC 中，∠C=90°，BC=6，CD ⊥AB 于D ，AC=8。

（1）求sinA 和sinB 的值；（2）求cos ∠ACD 的值。

训练①在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=3，b=4，则sinA= ，cosA= ；②在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=1，b=2，则cosA=( )A 、12B 、3C 、5D 、5③在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=12，c=13，分别求∠A 、∠B④如图，点P 的坐标为P （3，4），则sin ∠POA 的值为 ；解 直 角 三 角 形（一）基础知识：解直角三角形： ； 解直角三角形运用的知识：边的关系： ； 角的关系： ； 边角关系： 。

（二）例题与训练：例1、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：(1)∠A=60°，b=4(2)a=19，c=训练①在Rt △ABC 中，∠C=90°，，，则sinA= ，cosA= ；②Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ∶BC=1AB=6，则∠B= ，AC= ；③Rt △ABC 中，∠C=90°，a=b=，则c= ，∠A= ；④在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知a 及∠A ，则c 应为（ ） A 、asinA B 、sin a A C 、acosA D 、cos a A例2、等边三角形的边长为8，它的面积为 。

训练①已知等腰△ABC 的顶角∠A=120°，底边BC=24，那么腰上的高BD 及腰AB 的长分别为（ ）A 、9和15B 、12和C 、5和13D 、②等腰三角形的底边长为10，周长为36，那么底角的余弦为（ ） A 、513 B 、1213 C 、1013 D 、512③等腰梯形的底角为60°，上底长为2，下底长为6，则梯形面积为（ ）A 、B 、C 、D 、AC E AC例3、如图，甲、乙两建筑物的水平距离为30米，以A 点测得C 点的仰角为60°，测得D 点的俯角为30°，求建筑物甲的高CD 。

有关三角形知识点(大全)有关三角形知识点 (大全)三角形是一种基本的几何形状，由三条线段组成，形成一个封闭的平面图形。

在数学中，三角形有许多重要的性质和知识点。

本文将为您介绍有关三角形的知识点，如下所示：一、三角形的分类1.按照角度分类：- 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形。

- 钝角三角形：至少有一个内角是钝角的三角形。

- 直角三角形：其中一个内角是直角的三角形。

2.按照边长分类：- 等边三角形：三条边的边长完全相等的三角形。

- 等腰三角形：两条边的边长相等的三角形。

- 普通三角形：三条边的边长都不相等的三角形。

二、三角形的性质1.内角和定理：三角形的三个内角和等于180度。

证明：设三角形的三个内角分别为A、B、C，则角A、角B和角C的补角分别为180°-A，180°-B和180°-C。

由于角的补角互补，所以有(180°-A)+(180°-B)+(180°-C)=540°。

而三角形的三个内角之和和为180°，所以有A+B+C=180°。

2.外角和定理：三角形的一个内角的外角等于其他两个内角的和。

证明：设三角形的一个内角为A，则该内角的外角为180°-A。

另外两个内角的外角分别为180°-B和180°-C。

根据外角和定理，有(180°-A)+(180°-B)+(180°-C)=360°，即180°-A=180°-B+180°-C。

3.等腰三角形的性质：等腰三角形的底边上的两个角是相等的。

证明：设等腰三角形的两边边长相等，底边的两个角分别为A和B。

由于等腰三角形的两条腰相等，所以角A和角B的对边也相等。

根据对应角相等的性质，可以得出角A=角B。

4.直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

三角形知识点全面总结1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL （RtA^RtA）2、等腰三角形的判定及性质性质：①两腰相等②等边对等角（即“等腰三角形的两个底角相等”）③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）结论总结：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰【即：DE+DF=CP，（D为BC上的任意一点）】3、等边三角形的性质及判定定理性质：①三条边都相等②三个角都相等，并且每个角都等于60度③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）④等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角 形。

③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

结论总结：①高二亘边【即： AD =巨AB 】 2 2②面积二三3边2【即：S=三3AB 2】4 A ABC 4 4、直角三角形的性质及判定 性质：①两锐角互余②勾股定理③30°角所对的直角边等于斜边的一半。

④斜边中 线等于斜边一半判定：①有一个内角是直角的三角形是直角三角形②勾股定理的逆定理（即“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

”）5、线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定：①定义法②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（2）三角形三边的垂直平分线的性质③一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形结论总结：直角三角形斜边上的高二 直角边的乘积 斜边（1）线段垂直平分线的性质及判定【即:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线：分别以线段的两个端点人、B 为圆心， 以大于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点乂、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段 AB 的垂直平分线。

三角形知识点复习归纳总结三角形是几何学中的基本图形之一，其性质和特点的掌握对于解决与三角形相关的问题非常重要。

以下是对于三角形知识点的复习归纳总结：一、基本概念：1.三角形：由三条边和三个角组成的图形。

2.顶角：三角形的顶点所对应的角。

3.边：三角形的两个顶点所连接的线段。

4.外角：三角形的一个内角的补角。

二、分类：1.按边的关系分类：（1）等边三角形：三条边长度相等。

（2）等腰三角形：两条边长度相等。

（3）普通三角形：三边长度都不相等。

2.按角的关系分类：（1）钝角三角形：一个角度大于90°。

（2）直角三角形：一个角度等于90°。

（3）锐角三角形：三个角度都小于90°。

三、性质与定理：1.内角和定理：三角形的三个内角和等于180°。

2.外角和定理：三角形的一个内角与其相邻的外角补角相等。

3.外角定理：一个三角形的外角等于另外两个内角之和。

4.中位线定理：三角形的三条中位线交于一点。

5.高线定理：三角形的三条高线交于一点。

6.中心定理：三角形的三个角的内心、外心和重心都在一条直线上。

7.角平分线定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且与该点到三个顶点的距离相等。

8.边平分线定理：三角形的三个内角的边平分线交于一点，且与该点到三个顶点的距离成比例。

9. 正弦定理：对于一个三角形ABC，AB=c，BC=a，AC=b，A、B、C分别为三角形的内角，那么有sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R，其中R 为三角形外接圆的半径。

10. 余弦定理：对于一个三角形ABC，AB=c，BC=a，AC=b，A、B、C 分别为三角形的内角，那么有c^2=a^2+b^2-2ab*cosC。

11.面积公式：三角形的面积等于1/2底边乘以高。

12.海伦公式：对于一个三角形ABC，AB=c，BC=a，AC=b，s为三边之和的一半，那么三角形的面积等于根号下[s(s-a)(s-b)(s-c)]。

八年级数学上册三角形知识点专题复习一、三角形相关概念1．三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形。

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示：通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。

3．三角形中的三种重要线段：三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量。

而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点。

这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画。

（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②锐角三角形三条高线的交点在三角形内部，直角三角形的三条高线的交点在直角顶点上，钝角三角形三条高线的交点在三角形外部。

③画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理：①三角形两边之和大于第三边。

故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边。

故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：（四）三角形的内角：结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（1）构造平角①可过A点作MN∥BC(如图)②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．（五）三角形的外角：1．定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中，∠ACD=∠A+∠B , ∠ACD>∠A , ∠ACD>∠B.③三角形的一个外角与之相邻的内角互补3．外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．（六）多边形1.多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。

第一章图形的初步认识考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

角的平分线有下面的性质定理：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

3垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

简称：垂线段最短。

考点二、平行线1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。

4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补。

考点三、投影与视图1、投影投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。

平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。

中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。

2、视图当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。

物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。

俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。

左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。

第二章三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

初二三角形所有知识点总结和常考题知识点：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n-条对角线，把多边形分成(2)n-个三角形.②n边形共有(3)2n n-条对角线.常考题：一．选择题（共13小题）1．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm2．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130° D．180°3．已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270°C．180° D．135°4．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．5．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°7．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（）A．150°B．130°C．120° D．100°8．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）A．20米B．15米C．10米D．5米9．将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°10．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D．5411．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A．内角和增加360°B．外角和增加360°C．对角线增加一条 D．内角和增加180°12．一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形13．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（）A．13 B．14 C．15 D．16二．填空题（共13小题）14．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．15．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米．16．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．17．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．18．若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是．19．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=．20．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是．21．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．22．在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B=度．23．如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC 和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=度．24．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=度．25．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=度．26．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=．三．解答题（共14小题）27．如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．28．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．29．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC 于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．30．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．31．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．32．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，∠AFD=158°，求∠EDF的度数．33．如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA．（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B=50°，∠CAD：∠E=1：3，求∠E的度数．34．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=，∠XBC+∠XCB=．（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．35．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD=∠ABD时，x=；当∠BAD=∠BDA时，x=．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．36．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD 的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．37．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．38．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=°；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：．39．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．40．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是．（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2008?福州）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，即9﹣4=5，9+4=13．∴第三边取值范围应该为：5＜第三边长度＜13，故只有B选项符合条件．故选：B．【点评】本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．2．（2013?河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130° D．180°【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．3．（2010?西藏）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270°C．180° D．135°【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．4．（2015?长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．5．（2014?达州）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题．6．（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'D﹣∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°﹣∠A=40°，从而求出∠A′DB的度数．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°，∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，∵∠CA'D是△A'BD的外角，∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°．故选：D．【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．7．（2004?陕西）如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（）A．150°B．130°C．120° D．100°【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是360°求得．【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEB=90°，∴∠BPC=∠DPE=180°﹣50°=130°．故选B．【点评】主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是360度．注意∠BPC与∠DPE互为对顶角．8．（2009?黑河）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）A．20米B．15米C．10米D．5米【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围，看哪个数值不在范围即可．【解答】解：∵15﹣10＜AB＜10+15，∴5＜AB＜25．∴所以不可能是5米．【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：＞已知的两边的差，而＜两边的和．9．（2014?临沂）将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案．【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）?180°，n+1边形的内角和是（n﹣1）?180°，因而（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（n﹣1）?180°﹣（n﹣2）?180=180°．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．10．（2015?莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D．54【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．【解答】解：设这个内角度数为x°，边数为n，∴（n﹣2）×180﹣x=1510，180n=1870+x=1800+（70+x），∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．【点评】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．11．（2011春?滨城区期末）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A．内角和增加360°B．外角和增加360°C．对角线增加一条 D．内角和增加180°【分析】利用多边形的内角和定理和外角和特征即可解决问题．【解答】解：因为n边形的内角和是（n﹣2）?180°，当边数增加一条就变成n+1，则内角和是（n﹣1）?180°，内角和增加：（n﹣1）?180°﹣（n﹣2）?180°=180°；根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变．故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和特征．先设这是一个n边形是解题的关键．12．（2012?滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【分析】已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型．【解答】解：三角形的三个角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形．【点评】本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为180°×＞90°．本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180，解得x=15，所以最大角为7×15°=105°．13．（2014?毕节市）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（）A．13 B．14 C．15 D．16【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．【解答】解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得（n﹣2）180°=2340°，解得n=15，原多边形是15﹣1=14，故选：B．【点评】本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键．二．填空题（共13小题）14．（2015?资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是8．【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）?180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）?180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是8．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．15．（2006?镇江）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了120米．【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．【解答】解：∵360÷30=12，∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．故答案为：120．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．16．（2014?随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75度．【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解．【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．【点评】考查三角形内角之和等于180°．17．（2013?上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．【解答】解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°﹣100°﹣50°=30°，故答案为：30°．【点评】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．18．（2013?遂宁）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是9．【分析】根据多边形内角和定理及其公式，即可解答；【解答】解：∵一个多边形内角和等于1260°，∴（n﹣2）×180°=1260°，解得，n=9．故答案为9．【点评】本题考查了多边形的内角定理及其公式，关键是记住多边形内角和的计算公式．19．（2015?北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．【分析】首先根据图示，可得∠1=180°﹣∠BAE，∠2=180°﹣∠ABC，∠3=180°﹣∠BCD，∠4=180°﹣∠CDE，∠5=180°﹣∠DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形ABCDE 的内角和是多少，再用180°×5减去五边形ABCDE的内角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少即可．【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）=900°﹣（5﹣2）×180°=900°﹣540°=360°．故答案为：360°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）?180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．20．（2014?自贡）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是9．【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是3×360°+180°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，设这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）?180°=3×360°+180°，解得：n=9．则这个多边形的边数是9．故答案为：9．【点评】考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．21．（2015?徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是9．【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，360°÷40°=9．故答案为：9．【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．22．（2013?黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B=60度．【分析】先整理得到∠A+∠C=2∠B，再利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．【解答】解：∵∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，∴∠A+∠C=2∠B，又∵∠A+∠C+∠B=180°，∴3∠B=180°，∴∠B=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出∠A+∠C=2∠B是解题的关键．23．（2013?达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=度．【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，由于∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…，以此类推可知∠A2013=∠A=°．【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1+∠ABC，∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=∠A，∴∠A1=m°，∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…以此类推∠A2013=∠A=°．故答案为：．【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并能找出规律．24．（2012春?金台区期末）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD ⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=74度．【分析】利用三角形的内角和外角之间的关系计算．【解答】解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°，∵CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，∴∠BCE=34°，∠BCD=90﹣72=18°，∵DF⊥CE，∴∠CDF=90°﹣（34°﹣18°）=74°．故答案为：74．【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；（3）三角形的一个外角＞任何一个和它不相邻的内角．注意：垂直和直角总是联系在一起．25．（2006?临安市）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=36度．【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC==108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC=∠BCA=36度．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．n边形的内角和为：180°（n﹣2）．26．（2015?河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=24°．【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．【解答】解：正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5﹣2）×180°÷5=3×180°÷5=540°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6﹣2）×180°÷6=4×180°÷6=720°÷6=120°，则∠3+∠1﹣∠2=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）=30°+12°﹣18°=24°．故答案为：24°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）?180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．三．解答题（共14小题）27．（2013春?临清市期末）如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，再根据三角形外角的性质求出∠BDF的度数．【解答】解：因为∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠A=180°﹣67°﹣74°=39°，所以∠BDF=∠A+∠AED=39°+48°=87°．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是外角和内角的关系．28．（2013?湖州校级模拟）如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F 交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．【解答】解：∵∠AFE=90°，∴∠AEF=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°，∴∠CED=∠AEF=55°，∴∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠D=180°﹣55°﹣42°=83°．答：∠ACD的度数为83°．【点评】三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．29．（2015秋?全椒县期中）已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．【解答】证明：∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD⊥AB，∴∠2+∠4=90°，又∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF．【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．30．（2010春?横峰县校级期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，∠BED=∠ABE+∠BAE=75°；（2）三角形高的基本作法：用圆规以一边两端点为圆心，任意长为半径作两段弧，交于角的两边，再以交点为圆心，用交轨法作两段弧，找到两段弧的交点，连接两个交点，并过另一端点作所成直线的平行线，叫该边所在直线一点，连接该点和另一端点，则为高线；（3）我们通过证明不难得出三角形中线将三角形分成面积相等的两个三角形，那么可依据D是BC中点，E是AD中点，求出三角形BED的面积．三角形BDE中，E到BD的距离就是BD边上的高，有了三角形BDE的面积，BD的长也容易求得．那么高就求出来了．【解答】解：（1）∠BED=∠ABE+∠BAE=75°；（2）CH为所求的高．（3）解：如图，过点E作EF⊥BD于点F，∵AD是BC的中线∴BD=CD=S△ACD==×60=30∴S△ABD同理S=S△ABE==×30=15△BED=BD?EF=×5EF=15又∵S△BED∴EF=6即点E到BC边的距离为6．【点评】本题主要考查了基本作图中，三角形高的作法，三角形的内角和外角等知识点．31．（2015春?单县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．【分析】（1）中，首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；（2）中，根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．【解答】解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=30°，∴∠ADC=65°，∴∠E=25°；（2）．设∠B=n°，∠ACB=m°，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2=∠BAC，∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∵∠B=n°，∠ACB=m°，∴∠CAB=（180﹣n﹣m）°，∴∠BAD=（180﹣n﹣m）°，∴∠3=∠B+∠1=n°+（180﹣n﹣m）°=90°+n°﹣m°，∵PE⊥AD，∴∠DPE=90°，∴∠E=90°﹣（90°+n°﹣m°）=（m﹣n）°=（∠ACB﹣∠B）．【点评】运用了三角形的内角和定理以及角平分线的定义．特别注意第（2）小题，由于∠B和∠ACB的大小不确定，故表达式应写为两种情况．32．（2010春?朝阳区期末）如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，∠AFD=158°，求∠EDF的度数．【分析】要求∠EDF的度数，只需求出∠BDE和∠FDC的度数即可，由FD⊥BC，得∠FDC=90°；而∠BDE在Rt△BDE中，故只需求出∠B的度数．因∠B=∠C，只需求出∠C 的度数即可．因∠AFD是△CDF的外角，∠AFD=158°∴∠C=∠AFD﹣∠FDC=158°﹣90°=68°．【解答】解：∵FD⊥BC，所以∠FDC=90°，∵∠AFD=∠C+∠FDC，∴∠C=∠AFD﹣∠FDC=158°﹣90°=68°，∴∠B=∠C=68°．∵DE⊥AB，∵∠DEB=90°，∴∠BDE=90°﹣∠B=22°．又∵∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠EDF=180°﹣∠BDE﹣∠FDC=180°﹣22°﹣90°=68°．【点评】考查三角形内角和定理，外角性质，垂直定义等知识．33．（2014春?岱岳区期末）如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA．（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B=50°，∠CAD：∠E=1：3，求∠E的度数．【分析】（1）由于AD平分∠BAC，根据角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，结合已知条件可得∠EAC与∠B相等；（2）若设∠CAD=x°，则∠E=3x°．根据（1）中的结论以及三角形的内角和定理及其推论列方程进行求解即可．【解答】解：（1）相等．理由如下：。

初二三角形知识点总结和常考题一、三角形的基本概念。

1. 定义。

- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形的边、顶点、内角。

- 组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

3. 三角形的表示方法。

- 三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

二、三角形的分类。

1. 按角分类。

- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。

直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角所对的边叫做斜边，另外两条边叫做直角边。

- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

2. 按边分类。

- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。

- 等腰三角形：有两边相等的三角形。

相等的两边叫做腰，另外一边叫做底边；两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

等腰三角形中，三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。

三、三角形的三边关系。

1. 定理。

- 三角形两边的和大于第三边。

2. 推论。

- 三角形两边的差小于第三边。

四、三角形的高、中线与角平分线。

1. 高。

- 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

三角形的三条高所在直线相交于一点。

2. 中线。

- 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。

3. 角平分线。

- 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形的三条角平分线相交于一点。

五、三角形的内角和定理及推论。

1. 内角和定理。

- 三角形三个内角的和等于180°。

2. 推论。

- 直角三角形的两个锐角互余。

- 有两个角互余的三角形是直角三角形。

六、三角形的外角。

1. 定义。

- 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

初中三角形有关知识点总结及习题大全一、三角形内角和定理一、选择题40°1.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°????B°C2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角?等于（）A．75 B．60 C．45D． ?∠1=55?，∠2=45?，3.如图，直线m∥n，则∠3的度数为（）A．80? B．90?C．100? D．110?【解析】选C. 如图，由三角形的外角性质得?4??1??2?550?450?1000，由m∥n，得?3??4?10005.（xx·中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，?1?30°，?2?50°，则?3的度数等于（） A．50°B．30°C．20°D．15°【解析】选C 在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°，所以∠3=20°；6.（xx·朝阳中考）如图，已知AB∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C等于（）. A.20°B. 35°C. 45°D.55°【解析】选D 因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB＝55o，又因为AB∥CD,所以∠C＝∠EFB＝55o；7.（xx·呼和浩特中考）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（） A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形或锐角三角形【解析】选B 因为△ABC的一个外角为50°，所以与△ABC的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形. 8.（xx·聊城中考）如图，?1?100?，?2?145?，那么?3?（）6A．55°B．65°C．75°D．85°答案：选B 二、填空题9.（xx·常德中考）如图，已知AE//BD，∠1=130o，∠2=30o，则∠C=．【解析】由AE//BD得∠AEC=∠2=30o，∴∠C=180°-∠1-∠AEC=180°-130o-30o=20o 答案：20o10.（xx·邵阳中考）如图，AB//CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30,则∠PFC=__________。

与三角形有关的角知识点总结与经典练习三角形是我们初中数学中重要的几何形状之一，而与三角形有关的角也是我们必须掌握的基础知识。

本文将从三角形的内角与外角、同位角、同旁内角以及三角形内角和定理等几个方面来总结与三角形有关的角的知识点，并配以一些经典练习题，帮助读者更好地理解与掌握这些知识点。

一、三角形的内角与外角1. 内角是三角形的内部两条边之间的角，我们以A、B、C分别表示三角形的三个内角。

2. 外角是由一条边与其延长线构成的角，我们以D、E、F分别表示三角形的三个外角。

3. 三角形的内角和为180度，即A + B + C = 180°。

4. 三角形的外角和等于360度，即D + E + F = 360°。

经典练习题：1. 已知三角形ABC的内角A = 60°，B = 70°，求C的度数。

2. 三角形DEF的外角D = 90°，E = 120°，求F的度数。

二、同位角1. 同位角是指两条平行线被一条第三线所截得的对应角，它们的度数相等。

2. 在三角形中，同位角可以应用于同位旁内角、同位同旁内角及同位角的性质等方面。

经典练习题：1. 如图，在△ABC中，AB//DE，BC//EF，EF//AD。

若∠BAC = 40°，∠BCA = 70°，求∠EFD和∠EDF的度数。

三、同旁内角1. 同旁内角是指两条平行线被一条第三线所截得的内角，它们的度数互补。

2. 在三角形中，同旁内角可以应用于内角和定理等方面。

经典练习题：1. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB = 70°，求∠A 的度数。

四、三角形内角和定理1. 对于任意一个三角形ABC，有内角和定理：∠A + ∠B + ∠C = 180°。

2. 内角和定理可以应用于解三角形内角的问题，判断三角形是否存在等方面。

经典练习题：1. 已知三角形ABC满足∠A + ∠B = 100°，∠A - ∠B = 30°，求∠C 的度数。

解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)解直角三角形》专题复一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。

几何表示：因为∠C=90°，所以∠A+∠B=90°。

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

几何表示：因为∠C=90°，且∠A=30°，所以BC=AB。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何表示：因为∠ACB=90°，D为AB的中点，所以CD=AB=BD=AD。

4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

几何表示：在Rt△ABC中，因为∠ACB=90°，所以a²+b²=c²。

5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。

即：因为∠ACB=90°，CD⊥AB，所以CD²=AD•BD，AC²=AD•AB，BC²=BD•AB。

6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。

（a•b=c•h）由上图可得：AB•CD=AC•BC。

二、锐角三角函数的概念在△ABC中，∠C=90°，锐角A的正弦、余弦、正切、余切分别为sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a。

锐角三角函数的取值范围：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.三、锐角三角函数之间的关系1）平方关系：同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1，即sin²A+cos²A=1.2）倒数关系：互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数，即tanA•tan(90°—A)=1，cotA•cot(90°—A)=1.3）弦切关系：tanA= sinA/cosA，cotA=cosA/sinA。

与三角形相关的角知识点总结一、知识要点1、三角形的基本概念：了解三角形的定义、分类、性质及基本要素。

2、角的度量：掌握角度的基本单位，学会使用量角器和三角尺测量角度。

3、三角形的内角和：理解三角形的内角和为180度的定理，并能够灵活运用。

4、三角形外角的性质：掌握三角形外角的性质，并能够利用其解决相关问题。

5、全等三角形的判定：掌握全等三角形的概念和判定方法，能够判断两个三角形是否全等。

6、直角三角形的性质：理解直角三角形的特殊性质，如勾股定理等。

7、三角形边与角的关系：理解三角形边与角之间的相互制约关系，如三角形两边之和大于第三边等。

8、三角形的高、中线和角平分线：了解三角形的高、中线和角平分线的定义和性质，并能够画出相应线段。

二、重难点精析1、三角形内角和定理的证明和应用：通过几何证明的方式理解三角形的内角和为180度的定理，并能够在实际问题中灵活运用。

2、全等三角形的判定方法：掌握全等三角形的判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS等，能够准确判断两个三角形是否全等。

3、直角三角形的特殊性质：理解直角三角形的勾股定理及其应用，掌握其在实际问题中的解决策略。

4、三角形边与角的关系：理解三角形边与角之间的相互制约关系，如三角形两边之和大于第三边等，并能够在实际问题中灵活运用。

5、三角形的高、中线和角平分线的作法及其性质：掌握三角形的高、中线和角平分线的作法及其性质，能够在解题过程中准确使用。

三、实践应用1、能够在实际问题中识别三角形及其相关要素，并能够根据问题需求进行分类讨论。

2、能够利用三角形内角和定理、全等三角形的判定方法、直角三角形的特殊性质等知识解决复杂问题。

3、能够利用三角形的高、中线和角平分线的性质解决与这些要素相关的问题。

4、能够通过所学知识对生活中的三角形相关问题进行探索和解决，如测量建筑物的高度、判断三角形的稳定性等。

四、拓展提高1、了解三角形的起源和发展历程，加深对这一基本几何形状的认识。

小学四年级数学三角形的分类(知识点梳理+典型例题)------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx三角形的相关概念考点一【三角形的特性】三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连)叫做三角形三角形的高:从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线,顶点和垂足之间的线段三角形的底: 这条对边叫做三角形的底三角形的性质:①物理特性:三角形具有稳定性（不易变形)②三边的特性:三角形任意两边的和大于第三边知识典例题型一：画出三角形的底边上的高例１：画出下面每个三角形底边上的高.例2：画三条不同的高题型二:三角形的内角和用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，这个三角形可以表例1、王爷爷家的屋顶是一个等腰例2、根据三角形的内角和是180°,三角形(如图)，求顶角的度数。

你能求出下面五边形的内角和吗?40°例3、一个三角形两个内角的度数分别为3５°，6７°，另一个内角的度数是（)°,这是一个( ）三角形。

例4、在一个直角三角形中，一个锐角是75°，另一个锐角是( )。

题型三：等腰三角形和等边三角形的性质例1。

一个三角形三条边的长度分别为７厘米,８厘米,7厘米,这个三角形是（ )三角形.例2.等腰三角形的底角是７5°，顶角是( )，等边三角形的每个内角都是( ).例3。

一个等腰三角形的一边长５厘米,另一边长４厘米,围成这个等腰三角形至少需要（）厘米长的绳子。

例4。

在一个三角形的三个角中,一个是5０度,一个是80度,这个三角形既是( ）三角形,又是( )三角形。

题型四、求出三角形各个角的度数。

三角形的分类考点一【三角形的分类】三角形（按角来分）锐角三角形：三个角都是锐角的三角形直角三角形：有一个角是直角的三角形钝角三角形：有一个角是钝角的三角形三角形（按边来分）三边不等三角形：三条边都不相等等腰三角形：有两条边相等等边三角形（正三角形）：三条边都相按照角大小来分：三角形，三角形, 三角形。

第13章，三角形的边角关系，命题与证明基础知识总结一、三角形的分类及其重要线段1,三角形的分类。

（1）按边分：三角形（2）按角分：三角形 2、三角形的高、中线、角平分线。

△的高、中线、角平分线几何符号语言表示（1）∵AD 是△ABC 的边BC 上的高，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°（2）∵AE 是△ABC 的边BC 上的中线，∴BE = EC = ，S △ABE = S △AEC = 。

（3）∵AF 是△ABC 的角平分线，∴∠1=∠2 = ∠ 。

（4）△的高、△的中线、△的角平分线都是（选填‘线段、射线和直线’）（5）交点情况：a.三条高所在的直线交于一点：△是锐角三角形时交点位于△的内部；△是直角三角形时，交点位于直角三角形的直角顶点；△是钝角三角形时，交点位于三角形的外部。

b.△的三条中线交于一点，交点位于△的内部;交点叫重心。

c.△的三条角平分线交于一点，交点位于△的内部。

例题：1、图中共有（ ）个三角形。

A ：5 B ：6 C ：7 D ：8 2、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF3、三角形一边上的高（ ）。

A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。

A ：三角形的角平分线B ：三角形的中线C ：三角形的高线D ：以上都不对6、具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）。

A ：∠A+∠B=∠CB ：∠A=∠B=12∠C C ：∠A=90°-∠B D ：∠A-∠B=90 7、如右图,△ABC 的周长为24，面积是32，BC=10，AD 是△ABC 的中线，且被分得的两个三角形的周长差为2，求AB 和AC 的长和S △ABD 。

212121C D F E E B C F D 等腰三角形（特例：等边三角形） 不等边三角形 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 斜三角形 A B C D二、三角形的性质1、三边关系:三角形任何两边的和 第三边. 三角形任何两边的差 第三边.例题：1、以下列线段为边不能组成等腰三角形的是（ ）。