北京市东城区2017届高三5月综合练习(二模)理科数学试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精

北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模)

数学理试题

第Ⅰ卷（共60分)

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1。 已知集合2|40Axx，则ACR= （ ）

A．|2xx或2x B．|2xx或2x

C．|22xx D．|22xx

2。 下列函数中为奇函数的是( ）

A．cosyxx B．sinyxx

C．yx D．xye

3。 若,xy满足1000xyxyy,则2xy的最大值为（ )

A．1 B．0 C．12

D．2

4。 设,ab是非零向量，则“,ab共线"是“abab”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5。 已知等比数列na为递增数列，nS是其前n项和.若152417,42aaaa，则6S（ ）

A．2716 B．278 C. 634

D．632

6。 我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作《数学必求其心得，业必贵于专精

书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法。如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输人的5,1,2nx,则程序框图计算的是( )

A．5432222221 B．5432222225

C. 654322222221 D．43222221

7。 动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周，,AP两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是（ )

A． B． C. D．

8. 据统计某超市两种蔬菜,AB连续n天价格分别为123,,,...,naaaa和123,,,...,nbbbb,令

|,1,2,...,mmMmabmn，若M中元索个数大于34n,則称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：AB ,现有三种蔬菜,,ABC下列说法正学必求其心得，业必贵于专精

确的是（ ）

A．若,ABBC,则 AC B．若,ABBC同时不成立，则AC不成立

C。 ,ABBA可同时不成立 D．,ABBA可同时成立

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题(每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上）

9. 复数i2i在平面内所对应的点的坐标为

．

10。 在极坐标系中，直线cos3sin10与圆2cos0aa相切，则a

．

11. 某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门。若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有

种。（用数字作答）

12. 如图，在四边形ABCD中，145,30,1,2,cos4ABDADBBCDCBCD,则BD ；三角形ABD的面积为 ．

13。在直角坐标系中xOy中，直线l过抛物线24yx的焦点F,且与该抛物线相交于,AB两点，其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60，则OA ．

14。 已知函数1,0,2min1,3,2,4min3,5,4,xxfxxxxxxx。

①若fxa有且只有1个实根，则实数a的取值范围是 ． 学必求其心得，业必贵于专精

②若关于x的方程fxTfx有且只有3个不同的实根，则实数T的取值范闱是

．

三、解答题 (本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15。已知函数3sin2cos2(fxxaxaR)。

（1)若26f，求a的值；

（2）若fx在7,1212上单调递减，求fx的最大值.

16。 小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园,根据旅游局统计数据,该主題公园在此期间“游览舒适度”(即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，0040以下为舒适，000040~60为一般，0060以上为拥挤),情况如图所示，小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天。

（1）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；

（2)设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；

（3）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明） 学必求其心得，业必贵于专精

17。 如图，在几何体ABCDEF 中，平面ADE平面ABCD,四边形ABCD为菱形,且

60,2,//,DABEAEDABEFEFABM为BC中点.

(1）求证://FM平面BDE；

（2)求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；

（3）在棱CF上是否存在点G，使BGDE？若存在，求CGCF的值；若不存在，说明理由.

18. 设函数2(xfxxaxaeaR）。

(1)当0a时，求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；

(2）设21gxxx,若对任意的0,2t，存在0,2s使得fsgt成立，求a的取值范围.

19。 已知椭圆2222:10xyCabab的短轴长为23，右焦点为1,0F，点M时是椭圆C上异于左、右顶点,AB的一点.

（1）求椭圆C的方程；

(2）若直线AM与直线2x交于点N，线段BN的中点为E。证明：点B关于直线EF的对称点在直线MF上.

20. 对于n维向量12,,...,nAaaa，若对任意1,2,...,in均有0ia或1ia，则称A为n维T向量。 对于两个n维T向量,AB定义1,niiidABab。

（1）若1,0,1,0,1,0,1,1,1,0AB, 求(,)dAB的值； 学必求其心得，业必贵于专精

（2）现有一个5维T向量序列：123,,,...AAA若11,1,1,1,1A且满足：1,2,iidAAiN，求证:该序列中不存在5维T向量0,0,0,0,0。

(3） 现有一个12维T向量序列:123,,,...AAA若1121,1,...,1A且满足:1,,,1,2,3,...iidAAmmNi，若存在正整数j使得120,0,...,0,jjAA为12维T向量序列

中的项，求出所有的m.

北京市东城区2017届高三5月综合练习(二模）数学理

试题参考答案

一、选择题 学必求其心得，业必贵于专精

1—4: ABCB 5—8: DACC

二、填空题

9.1,2 10.1 11。14 12.2

31

13。21 14.1, 4,22,4

三、解答题

15。 解：(1）因为3sin2cos22666fa，所以31222a，所以1a。

（2）由题意22233sin2cos233afxaxxaa23sin2ax。

其中tan3a，所以T,且712122，所以当12x时，

2max3sin126yfa，所以23kkZ。

所以tan333aa,所以23sin23fxx，所以fx的最大值为23。

16。 解：设iA表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主題公园”1,2,...9i，根据题意，19iPA，且ijAAij.

（1）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”。则47BAA，所以

474729PBPAAPAPA.

（2）由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2.且478478103PXPAAAPAPAPA；

35693569419PXPAAAAPAPAPAPA；

1212229PXPAAPAPA，所以X的分布列为

X 0 1 2

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故X的期望14280123999EX。

（3）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大。

17. 解：（1)取CD中点N，连接,MNFN，因为,NM分别为,CDBC中点，所以//MNBD，又

BD平面BDE且MN平面BDE。所以//MN平面BDE,因为//,2EFABABEF，所以//,EFCDEFDN，所以四边形EFND为平行四边形，所以//FNED。又ED平面BDE且FN平面BDE。所以//FN平面BDE。又FNMNN,所以平面//MFN平面BDE，又FM平面MFN，所以//FM平面BDE.

（2） 取AD中点O，连结,EOBO，因为EAED,所以EOAD，因为平面ADE平面ABCD，所以EO平面,ABCDEOBO，因为,60ADABDAB，所以ADB为等边三角形，因为O为AD中点，所以ADBO。因为,,EOBOAO两两垂直，设4AB，以O为原点,,,OAOBOE为,,xyz轴，

如图建立空间直角坐标系Oxyz.由题意,得2,0,0,0,23,0,4,23,0,2,0,0ABCD，