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勾股定理 拔高训练1.如图,P 是等边三角形ABC ∆内的一点，连结PA 、PB 、PC ，以BP 为边作60=∠PBQ ，且BQ=BP ，连结CQ 、PQ ，若PA ：PB ：PC=3：4：5，试判断PQC ∆的形状。
2.如图，ADC ∆和BCE ∆都是等边三角形，30=∠ABC ,试说明：222BC AB BD +=3.在等腰直角三角形中，AB=AC,点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。
（1）说明：222EF CF BE =+ （2)若BE=12,CF=5,试求DEF ∆的面积。
4。
为了美化环境，计划在某小区用草地铺设一个等腰三角形,使它的面积为30平方米且有一边长为10米，求另外两条边。
勾股定理提高训练(一）1、在Rt △ABC 中,若直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________．2、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm,则另一条直角边的长为（ ). A ．4cm B ．4cm 或cm 34 C ．cm 34 D ．不存在 4、在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 222AC BC ++的值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.85、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．6、如图,学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米）,却踩伤了花草．CDB第7题FEDCBA第9题BA6cm3cm 1cm第10题图CBA715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)7、如图,在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，D 是AB 的中点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则DE 的长是__. 8、把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．9．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与 A 点重合,则EB 的长是( )． A ．3B ．4 CD ．510、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要__cm ； ②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm ．勾股定理提高训练（二）1、如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点,则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°2、下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是（ ） A.9，12,15 B 。
第三章、勾股定理 一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形：a 2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2 。
符号语言：注意：前提一定是直角三角形.a ，b 也可能是斜边，分清斜边直角边.勾股定理的证明 ：勾股定理的证明方法很多，常见的的方法是面积相等---根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证勾股定理的适用范围 ： 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
cb aHG F EDCB A bacbac cabcab a bcc baED CBA（分类讨论，数形结合）最大边的平方＜最小边的平方+中间边的平方是锐角三角形 最大边的平方＞最小边的平方+中间边的平方是钝角三角形说明：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）分别求出c 2与a 2+b 2，判定c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
八年级勾股定理知识点总结归纳勾股定理是我们在学习数学中接触的一条非常重要的定理。
它是数学中的基础知识之一，也被广泛应用于各个领域。
在本文中，我将为大家总结并归纳八年级学生需要掌握的勾股定理知识点。
一、勾股定理的概念勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
可以表示为a² + b² = c²。
其中，a和b代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边。
二、勾股定理的证明1. 几何证明：通过构造几何图形，如正方形、等腰直角三角形等，可以证明勾股定理的正确性。
2. 代数证明：使用代数方法，通过展开平方和或者利用勾股定理的向量形式等，也可以证明勾股定理的正确性。
三、勾股定理的应用1. 求解直角三角形的边长：已知两条直角边的长度，可以利用勾股定理求解斜边的长度。
2. 判断三角形是否为直角三角形：已知三角形的三条边长，如果符合勾股定理，则可以判断该三角形为直角三角形。
3. 解决实际问题：勾股定理被广泛应用于测量和工程等领域，如测量建筑物的高度、解决航行和测量问题等。
四、勾股定理的相关定理1. 勾股数：满足勾股定理的三个正整数称为勾股数，如3、4、5就是一个勾股数。
2. 欧几里得算法：利用勾股定理的应用，可以解决两个正整数的最大公约数问题。
五、勾股定理的拓展1. 平面几何拓展：勾股定理不仅适用于直角三角形，在平面几何中也会有类似的定理，如正三角形的边长关系等。
2. 空间几何拓展：勾股定理也可以推广到空间几何中，应用于解决立体图形的相关问题。
六、勾股定理的思考1. 与勾股定理相关的数学问题：在学习勾股定理的过程中，可以思考如何证明其他数学定理或解决其他几何问题。
2. 勾股定理在日常生活中的应用：可以回顾日常生活中哪些场景中涉及到勾股定理，如家具摆放、地图测距等。
通过对八年级勾股定理的知识点总结和归纳，我们对勾股定理的概念、证明、应用、拓展和思考都有了一定的了解。
勾股定理拓展与拔高勾股定理拓展与拔尖二.知识点回顾1、勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c）（2）验证c2与a2b2是否具有相等关系（3）若c2= a2b2，则△ ABC是以/ C为直角的直角三角形；若c2工a2b2 则厶ABC不是直角三角形。
3.勾股数：满足a2b2= c2的三个正整数，称为勾股数如（1）3, 4, 5; （2）5, 12，13; （3）6, 8, 10; （4）8, 15, 17 （5）7, 24, 25 （6）9, 40, 41三.典型题剖析：针对训练、延伸训练考点一证明三角形是直角三角形1、在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点,1且EC= 4 BC,求证：EFA=90 .FE针对训练：1、已知：在厶ABC中，/ A、/ B、/ C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c试判断△ ABC的形状.考点二运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰△ ABC中，底边BC= 20, 为AB 上A 一点，CD = 16, BD = 12, 求厶ABC的周长。
针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD , AD II BC, AB=4, BC=6, CD=5, AD=3.求：四边形ABCD的面积. yA考点三勾股定理的折叠问题例、如图，在矩形ABC冲，AB=3 BC=5在CD上任取一点E，连接BE将厶BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为针对训练：1、如图，在矩形ABCD中，BC=6 , CD=3，将ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1考点四勾股定理的卡车通过大门问例、某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以的半圆，其中AD = 2.3 m，AB = 2 m，现有一辆装满货物的大卡车，宽1.6m，试猜想这辆大卡车能否通过厂门？请说明理由.题AB为直径高 2.5C考点五勾股定理的探究和应用问题例、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10 cm,宽为4 cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另一直角边PF 与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2 cm?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.针对训练：1观察下列图形，回答问题：问题（1 ）:若图①中的△ DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为。
勾股定理高级勾股定理是初等数学中的一条重要定理，也是平面几何中的基础知识之一。
它由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，并以他的名字命名。
勾股定理应用广泛，可以解决各种三角形的边长和角度问题。
然而，作为一个高级数学定理，勾股定理还有许多更深入的应用和演绎。
1. 勾股定理的表述与证明勾股定理可以表述为：在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方之和。
即对于一个直角三角形，设直角边a和b，斜边为c，则有a² + b² = c²。
证明勾股定理的方法有多种，最常见的是几何证明和代数证明。
几何证明基于几何图形的性质和关系，而代数证明则通过代数运算来推导出结论。
无论采用哪种证明方法，勾股定理的正确性都能得到证实。
2. 勾股定理的应用勾股定理在解决三角形问题时非常有用。
通过已知的两条边求解第三条边，或者利用斜边和某个角度求解其他边长，都可以借助勾股定理来实现。
此外，勾股定理还可以用于判断一个三角形是否为直角三角形。
勾股定理的应用不仅仅局限于三角形，它还可以推广到平面几何和立体几何中。
在平面几何中，可以通过勾股定理计算两点之间的距离；在立体几何中，勾股定理可以帮助计算空间中的距离、角度和体积等。
3. 勾股定理的拓展与推广勾股定理在数学发展史上有着重要的地位，它不仅是数学中的基本定理，还是许多其他数学理论的基础。
勾股定理的拓展与推广主要体现在以下几个方面：3.1 三元数学在勾股定理的基础上，可以引入三元组的概念，即数学中的三个有序数组合。
三元数学研究勾股定理的拓展，尤其关注满足勾股定理的三元组的特点、性质和应用。
3.2 勾股数与勾股数列勾股数是指满足勾股定理的正整数解，例如3、4、5就是一个勾股数。
勾股数列则是指满足勾股定理的正整数解所构成的数列，例如3、4、5；5、12、13等。
研究勾股数和勾股数列有助于深入理解勾股定理的数学本质。
3.3 范围推广勾股定理最初是针对直角三角形而言的，但随着数学的发展，人们发现勾股定理在非直角三角形和其他几何形状中也有应用价值。
勾股定理知识点总结勾股定理是数学中一个著名的定理，也是初中数学学习的重点内容之一。
它描述了直角三角形中三条边的关系，并且可以应用于解决许多与三角形和几何有关的问题。
本文将对勾股定理的相关知识点进行总结和探讨。
一、勾股定理的表述和公式勾股定理的表述是：“直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和。
”这就是我们通常所说的勾股定理。
勾股定理的公式可以表示为：a² + b² = c²其中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表直角三角形的斜边。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，在此我们以几何证明和代数证明为例进行说明。
几何证明：通过图形的构造和推理来证明勾股定理。
一种常见的几何证明方法是构造以a、b、c为边长的正方形，然后计算正方形的面积，从而证明等式成立。
代数证明：通过数学计算和变换来证明勾股定理。
一种常见的代数证明方法是将直角三角形的三条边的平方进行计算，然后将其相加和化简，最终得到等式成立的结果。
三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是一个数学定理，还有着广泛的应用。
1. 解决三角形的边长和角度问题：通过勾股定理，我们可以已知两条边长来求解第三条边长，或者已知两条边长和一个角度来求解其他角度。
2. 判断三角形的形状：我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，从而进一步研究和分析三角形的性质。
3. 解决几何问题：勾股定理还可以应用于解决一些几何问题，例如求解两条直线的交点坐标、求解平面图形的面积、判断是否存在重合图形等等。
四、勾股定理的推广除了直角三角形，勾股定理还可以推广到其他形状的图形。
1. 平方和定理：平方和定理是勾股定理的推广，它描述了非直角三角形中三条边平方的关系。
2. 多边形的对角线：在多边形中，通过某个顶点可以连接其他顶点，形成对角线。
对角线之间的关系也可以通过勾股定理进行研究和计算。
3. 空间中的勾股定理：在空间几何中，勾股定理可以推广到三维空间，描述直角棱柱、直角锥等图形的三条棱或边之间的关系。
勾股定理一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 ２.勾股定理的证明常见的是拼图的方法， 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定b a cb a cc a b c a b cbaHG F EDCB Aa bcc baED CBA理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 5、利用勾股定理作长为的线段 作长为、、的线段。
勾股定理知识要点及重点题型一、知识梳理（一）勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么222a b c +=即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
1．用面积法证明勾股定理：（1）如图，将四个全等的直角三角形拼成正方形。
（Ⅰ）ab c b a S ABCD 214)(22⨯+=+=正方形。
(Ⅱ) ab b a c S EFGH 214)(22⨯+-==正方形。
∴222c b a =+∴222b a c +=.2.勾股定理各种表达式：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c.则222b a c +=，222b c a -=，222a c b -=。
3.勾股定理的面积表示法（如右图） 4．勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）利用勾股定理解决实际问题。
（3）用于证明平方关系的问题。
（二）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
即：在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 为Rt △。
1.满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常用的勾股数组如：3，4,5；6,8,10；···若a ，b ，c 为一组勾股数，那么ka ，kb ，kc （k 为正整数）也是勾股数． 2．如何判定一个三角形是否是直角三角形。
①首先求出最大边（如c ）；②验证2c 与22b a +是否具有相等关系。
若222b ac +=，则△ABC 是以∠C ＝90°的直角三角形； 若222c b a >+，则三角形是锐角三角形； 若222c b a <+，则三角形是钝角三角形。
二、重难点突破1、重点：（1）勾股定理的性质和判定。
高中勾股定理知识点总结一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方。
具体表达为：设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有a^2 + b^2 = c^2。
其中，a、b、c分别代表直角三角形的三条边的长度。
二、勾股定理的应用1. 检验直角三角形：当我们已知一个三角形的三条边的长度时，可以通过勾股定理来判断这个三角形是否为直角三角形。
如果已知a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形一定是直角三角形。
2. 求直角三角形的未知边长：当我们已知一个直角三角形的其中两条边的长度时，可以通过勾股定理来求解第三条边的长度。
根据a^2 + b^2 = c^2，可以利用这个公式求解出c的值。
3. 解决几何问题：在一些几何问题中，勾股定理也经常发挥重要作用。
例如，在求解直角三角形的面积、周长等问题时，可以先利用勾股定理求解出各边的长度，然后再进行进一步的计算。
三、勾股定理的证明勾股定理最早是由古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，所以也被称为毕达哥拉斯定理。
在数学中，勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的就是几何证明和代数证明。
1. 几何证明：几何证明是利用几何图形和性质来证明勾股定理。
一种常见的几何证明方法是构造一个正方形，然后证明正方形的对角线长度分别为a+b和c，从而得到a^2 + b^2 = c^2。
2. 代数证明：代数证明是利用代数运算和方程推导来证明勾股定理。
代数证明的思路更加抽象和数学化，需要运用代数知识进行推理和计算。
四、勾股定理的推广除了直角三角形外，勾股定理还可以推广到其他类型的三角形中。
其中最重要的就是斜三角形的勾股定理。
斜三角形的勾股定理表达为：a^2 + b^2 = c^2 - 2ab*cosC。
其中，a、b、c分别代表三角形的三条边的长度，C代表三角形的斜边对应的角的余弦值。
这个定理在解决一些非直角三角形的问题时也具有重要的作用。
高考数学中的勾股定理及其扩展应用在数学领域中，勾股定理是最为著名的定理之一。
这个定理也被称作毕达哥拉斯定理，在数学教育中被广泛地使用。
在高中数学中，勾股定理是必学的知识之一。
这篇文章将探讨高考数学中的勾股定理及其扩展应用。
勾股定理的基本原理是什么？勾股定理是一个简单而又经典的数学定理，它是数学中三角函数、几何和代数的基础，被广泛应用于实际问题的解决中。
从根本上来说，勾股定理表明了三角形中三条边与其对应角之间的关系。
在具体的数学表达式上，勾股定理可以被描述为：$ a^{2} + b^{2} = c^{2} $其中a、b、c是表示直角三角形的三条边长的变量，c表示斜边的长度。
勾股定理如何应用于高考数学？在高考数学中，勾股定理是必须学习掌握的知识之一。
首先，它是基于三角形基础定理中最重要的一条，这个基础定理也是高中数学学习的核心。
除此之外，勾股定理还被用于测量和计算几何的问题。
例如，如果数学家需要测量一座房屋的高度，可以利用勾股定理在地上和房屋之间建立一个直角三角形。
另外，对于计算几何学生来说，勾股定理还将被用于寻找平行线、点到直线的距离以及验证等等问题。
勾股定理在数学领域的更广泛应用尽管勾股定理经常被用于高考数学和实际问题的解决中，还有一些更深入的应用。
例如，勾股定理可以用于证明多个数学问题，如以下两个例子：1. 三角形的相似性质三角形是代数和几何学的基础。
勾股定理的应用可以帮助学生证明三角形相似的定理。
例如，如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
勾股定理可以帮助用于证明这个乘法的等式。
2. 圆的特性勾股定理也可以被用于研究圆的特性。
圆可以被认为是一种非常特殊的三角形，其中两个半径相等的边缘形成一个直角。
因此勾股定理可以被应用于获得圆的特性及推导式子。
总结：勾股定理是高中数学学习中的重点，但它也有广泛的应用于实际问题的解决中和数学领域的其他学科中。
当然，学习这个定理需要一定的时间和精力，但掌握它可以引领学生开发更深层次数学问题的解决技巧。
勾股定理(讲义) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1勾股定理一、知识归纳1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222+=a b c2．勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形3．勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC∠=︒，则c=b=，a=∆中，90C②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系二、题型题型一：直接考查勾股定理例１. 在ABC∠=︒∆中，90C⑴已知6BC=．求AB的长AC=，8⑵已知17AC=，求BC的长AB=，15解：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABCBC=cm，CD AB⊥于D，CD＝AB=cm，3∠=︒，5∆中，90ACB⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为21DCB AAB CD E例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m三、勾股定理的逆定理知识归纳 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
2. 常用的平方数112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．注意.如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
勾股定理知识点归纳一、勾股定理的定义如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a²＋b²＝ c²。
这就是勾股定理。
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是解决直角三角形相关问题的重要工具。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明方法有很多种，常见的有以下几种：1、赵爽弦图法通过四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间形成一个小正方形。
大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，从而证明勾股定理。
2、毕达哥拉斯证明法以直角三角形的斜边为边长作正方形，再分别以两条直角边为边长作正方形。
通过计算三个正方形的面积关系来证明勾股定理。
3、总统证法通过将直角三角形拼成梯形，利用梯形面积等于三个三角形面积之和来证明勾股定理。
三、勾股定理的应用1、已知直角三角形的两条直角边，求斜边例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3 和4，根据勾股定理，斜边 c ＝√（3²＋ 4²) ＝ 5 。
2、已知直角三角形的一条直角边和斜边，求另一条直角边比如，直角三角形的斜边为 5，一条直角边为 3，则另一条直角边 b ＝√（5² 3²) ＝ 4 。
3、实际生活中的应用（1）测量问题在无法直接测量某些长度时，可以构建直角三角形，利用勾股定理来计算。
比如测量旗杆的高度，可以在旗杆底部向外量出一段距离，然后测量这段距离以及在这个点观测旗杆顶部的仰角，通过勾股定理计算旗杆高度。
（2）航海问题在航海中，确定船只的位置和航向时，经常会用到勾股定理。
（3）建筑问题在建筑施工中，计算建筑物的高度、角度等也会用到勾股定理。
四、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据。
五、勾股数满足 a²＋ b²＝ c²的三个正整数，称为勾股数。
AB Ca b c弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤 ① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题+基础练习1. 勾股定理．【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2 2. 等腰直角三角形．【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．三、课堂练习1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二、经典例题+基础练习1.勾股定理的逆定理．【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用：方向角．【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C 地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．三、课堂练习1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．四、能力提升1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．勾股定理中的折叠问题一、经典例题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。
梳理勾股定理知识点总结1. 勾股定理的表述勾股定理可以表述为：直角三角形的两条边的平方和等于斜边的平方。
用公式来表示就是：a² + b² = c²。
其中a和b表示两条直角边的长度，c表示斜边的长度。
2. 勾股定理的证明勾股定理可以通过几何法和代数法来证明。
几何法的证明是比较直观的，通过构造图形和运用几何学知识来证明；而代数法则是通过数学运算来证明。
无论采用哪种方法，都需要一定的推理和逻辑来证明。
几何法证明使用了平行线、相似三角形、内角和等于180度等几何性质，通过构造图形将直角三角形的三条边与角联系在一起，最终推导出勾股定理。
代数法证明则是通过数学公式和运算来证明，通过代数运算将三角形的边的关系进行运算转化最终得出结论。
3. 勾股定理的应用勾股定理在数学和实际生活中都有广泛的应用，它是数学中一个基本的几何定理，对于理解三角形的性质和关系非常重要。
勾股定理可以用来解决直角三角形中的各种问题，如求三角形的边长、求三角形的面积、判断三角形的类型等等。
在实际生活中，勾股定理也被广泛应用在建筑工程、地理测量、导航系统等领域，如勾股定理可以用来计算建筑物的高度、测量地理距离、制作地图、定位导航等。
4. 勾股定理的推论勾股定理还有一些重要的推论，例如：(1) 如果一个三角形的三条边满足勾股定理的条件，那么这个三角形就是直角三角形。
(2) 当三角形的三条边的长度是一个勾股数的倍数时，这个三角形是直角三角形。
(3) 如果一个整数是两个数的平方和，那么这个数可以表示成两个整数的平方和。
(4) 勾股定理可以用来解决勾股数的问题，如寻找勾股数、判断某个数是否为勾股数等。
5. 勾股定理的拓展勾股定理不仅仅局限于直角三角形，它还可以拓展到其他类型的三角形或者其他几何图形中。
例如在锐角三角形或者钝角三角形中，可以通过勾股定理来判断三角形的性质或者进行计算。
此外，勾股定理也可以拓展到立体几何中，如计算棱锥、棱台等的体积和表面积。
专题13 勾股定理知识框架重难突破一、勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.备注：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，2、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.3、勾股定理的应用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题；3. 利用勾股定理，作出长为的线段.例1．（2019·安徽省定远县第二初级中学初二月考）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是（ ）A ．365B ．1225C ．94D ．4【答案】A【解析】设点C 到AB 距离为h ．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，∴222AC BC AB +=∵9AC =，12BC =∴15AB == ∵1122∆==ABC S AC BC AB h ∴12936==155⨯h ． 故选：A ．练习1．（2019·安徽省初二期末）如果一个直角三角形的两条边长分别为6和10，那么这个三角形的第三边长为（ ）A ．8B ．10C ．D ．8或 【答案】D【解析】当6和10是两条直角边时，第三边324 ，当6和10分别是一斜边和一直角边时，第三边=8，所以第三边可能为8或．故选：D ．例2．（2019·安徽省初二期中）下列各组数中，是勾股数的为（ ）A ．1，1，2B ．1.5，2，2.5C ．7，24，25D ．6，12，13【答案】C【解析】解：A 、∵12+12≠22，∴不是勾股数，此选项错误；B 、1.5和2.5不是整数，此选项错误；C 、∵72+242=252，∴是勾股数，此选项正确；D 、∵62+122≠132，∴不是勾股数，此选项错误．故选C ．练习1．（2018·合肥市第四十二中学初二期中）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =∠BCD = 90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S 1+ S 4= 100，S 3= 36，则S 2=（ ）A ．136B ．64C ．50D ．81【答案】B 【解析】由题意可知：S 1=AB 2，S 2=BC 2，S 3=CD 2，S 4=AD 2，如果连接BD ，在直角三角形ABD 和BCD 中，BD 2=AD 2+AB 2=CD 2+BC 2，即S 1+S 4=S 3+S 2，因此S 2=100-36=64，故选B ．例3．（2019·安徽省初二期末）在平面直角坐标系中，点()43P ,-到坐标原点O 的距离是______.【答案】5【解析】点P 到原点O 5．故答案为：5练习1．（2019·安徽省初二期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°．AC=BC ．边AC 落在数轴上，点A 表示的数是1，点C 表示的数是3，负半轴上有一点B₁，且AB₁=AB ，点B₁所表示的数是（ ）A ．-2B ．-C ．-1D ．1-【答案】D 【解析】解：根据题意，AC=3-1=2，∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴AB ==，∴B 1到原点的距离是-1．又∵B′在原点左侧，∴点B1表示的数是1-．故选D．例4．（2018·安徽省初二期末）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（）A．32B．3C．1D．43【答案】A【解析】∵AB=3，AD=4，∴DC=3∴根据勾股定理得AC=5根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，∴D′C=DC=3，DE=D′E设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2，解得：x=3 2故选A.练习1．（2018·安徽省初二期末）如图，Rt△ABC中，AB=6，BC=4，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．53B．52C．83D．5【答案】C【解析】解：设NB=x，则AN=6−x由翻折的性质可知：ND=AN=6−x ∵点D是BC的中点，∴BD=12BC=12×4=2在Rt△NBD中，由勾股定理可知：ND²=NB²+DB²，即(6−x) ²=x²+2²，解得：x=8 3∴BN=8 3故选C例5．（2019·安徽省初二期末）我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)2的值为()A．13B．19C．25D．169【答案】C【解析】解：小正方形面积开方,得边长1,则有b-a=1大正方形边长的平方为其面积即13,则在三角形中有a2+b2=13将b-a=1两边平方,得a2+b2−2ab=1将a2+b2=13代入,得13-2ab=1故ab=6由a2+b2=13与2ab=12两式相加,得a2+b2+2ab=25(a+b)2=25故选C练习1．（2019·安徽省初一期末）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形。
勾股定理拓展与拔尖二. 知识点回顾1、 勾股定理的应用： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、如何判定一个三角形是直角三角形（1） 先确定最大边（如c ）（2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系（3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。
3. 勾股数： 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41三．典型题剖析：针对训练、延伸训练考点一 证明三角形是直角三角形1、 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ，求证：∠EFA=90︒.针对训练：1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状. AB DCFE考点二运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12，求△ABC的周长。
针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.考点三勾股定理的折叠问题例、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD 边上的点F处，则CE的长为．针对训练：1、如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（）A．3 B．C．5 D．考点四勾股定理的卡车通过大门问题例、某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以AB为直径的半圆，其中AD＝2.3 m，AB＝2 m，现有一辆装满货物的大卡车，高2.5 m，宽1.6 m，试猜想这辆大卡车能否通过厂门？请说明理由．考点五勾股定理的探究和应用问题例、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF 与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.针对训练：1观察下列图形，回答问题：问题（1）：若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为。
问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是；（用图中字母表示）问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积．考点六勾股定理的设计问题例、国家电力总公司为了改善农村用电费用过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某村六组有四个村庄A，B，C，D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．针对训练：1如图所示，铁路上有A、B两点（看做直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看做两个点），AD⊥AB，BC垂直AB，垂足分别为A、B，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？考点七勾股定理的最短路径问题例、在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）针对训练：1如图，是一块长、宽、高分别是4cm，2cm和1cm的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．5cm B．5.4cm C．6.1cm D．7cm考点八勾股定理的勾股数问题常见的勾股数及几种通式有：(1) （3， 4， 5）, （6， 8，10）…… 3n,4n,5n (n是正整数)(2) （5，12，13） ,（ 7，24，25）, （ 9，40，41）……(3) (8，15，17), (12，35，37) ……(4)m 2－n 2,2mn,m 2＋n 2 (m 、n 均是正整数，m>n) 简单列出一些：课堂小测试（8分钟）1. 一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ ）A.第三边一定为10B.三角形的周长为24C.三角形的面积为24D.第三边有可能为10 2．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或253．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2, c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6, b=8, c=10 D 、a=3,b=4,c=5 3．三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是( ) A ．4 B ．310 C.25 D ．512 5．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2 6、直角三角形中，斜边长为5cm ，周长为12cm ，则它的面积为( )。
A ．122cm B ．62cm C ．82cm D ．92cm7．等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为（ ） A 、56 B 、48 C 、40 D 、328．Rt △一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则Rt △的周长为（ ） A 、121 B 、120 C 、90 D 、不能确定9．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 、25海里 B 、30海里 C 、35海里 D 、40海里10. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）。
A 、600米 B 、800米 C 、1000米 D 、不能确定勾股定理独立作业（20分钟）1．下列各组数据中，可以构成直角三角形的是（ ）A ．13、16、19B ．17、21、23C ．18、24、36D ．12、35、372．有长度为9cm 、12cm 、15cm 、36cm 、39cm 的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．在△ABC 中，AB=12cm ，BC=16cm ，AC=20cm ，则S △ABC 为（ ） A ．96cm 2 B ．120 cm 2 C ．160 cm 2 D ．200 cm 2 4．若线段a 、b 、c 能组成直角三角形，则它们的比可以是（ ） A ．1︰2︰4 B ．1︰3︰5 C ．3︰4︰7 D ．5︰12︰13 5．若直角三角形的两直角边的长分别是10cm 、24cm ，则斜边上的高为（ ）A ．6cmB ．17cmC ．24013cm D ．12013cm6．有下面的判断：①△ABC 中，222a b c +≠，则△ABC 不是直角三角形。
②△ABC 是直角三角形，∠C=90°，则222a b c +=。
③若△ABC 中，222a b c -=，则△ABC 是直角三角形。
④若△ABC 是直角三角形，则2a b a b c （+）(-)=。
以上判断正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．Rt △ABC 的两边长分别是3和4，若一个正方形的边长是△ABC 的第三边，则这个正方形的面积是（ ）A ．25B ．7C ．12D ．25或78．一个三角形的三边之比是3︰4︰5，则这个三角形三边上的高之比是（ ） A ．20︰15︰12 B ．3︰4︰5 C ．5︰4︰3 D ．10︰8︰2 9．在△ABC 中，如AB=2BC ，且∠B=2∠A ，则△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定10．如图是一个边长为60cm 的立方体ABCD —EFGH ，一只甲虫在菱EF 上且距F 点10cm 的P 处，它要爬到顶点D ，需要爬行的最近距离是（ ）A ．130B ．157C ．97D ．不确定11．若△ABC 中，∠A=2∠B=3∠C ，则此三角形的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定12．如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，下面等式错误的是（ ）A ．222AC +DC =ADB ．222AD DE AE -= C ．222AD =DE +AC D ．2221BD BE BC 4-=。
