量子力学基础入门
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量子力学基础知识
一个吸收全部入射线的表面称为黑体表面。 一个带小孔的空腔可视为黑体表面。它几乎完全 吸收入射幅射。通过小孔进去的光线碰到内表面 时部分吸收，部分漫反射，反射光线再次被部分 吸收和部分漫反射……，只有很小部分入射光有 机会再从小孔中出来。如图1－1所示
图 1－ 2表 示在四种不同 的温度下，黑 体单位面积单 位波长间隔上 发射的功率曲 线。十九世纪 末，科学家们 对黑体辐射实 验进行了仔细 测量，发现辐 射强度对腔壁 温度 T的依赖 关系。
玻尔
Bohr
他获得了 1922年的 诺贝尔物 理学奖。
玻尔
Bohr(older)
1.1.3
--- 德布罗意物质波
Einstein为了解释光电效应提出了光子说， 即光子是具有波粒二象性的微粒，这一观点在科 学界引起很大震动。1924年，年轻的法国物理学 家德布罗意（de Broglie）从这种思想出发,提 出了实物微粒也有波性,他认为：“在光学上,比 起波动的研究方法，是过于忽略了粒子的研究方 法；在实物微粒上，是否发生了相反的错误？是 不是把粒子的图像想得太多，而过于忽略了波的 图像？” 他提出实物微粒也有波性，即德布罗意波。
为了解释以上结果，玻尔综合了普朗克的量子论， 爱因斯坦的光子说以及卢瑟福的原子有核模型，提出著 名的玻尔理论： （1）原子中有一些确定能量的稳定态，原子处于定态 不辐射能量。 （2）原子从一定态过渡到另一定态，才发射或吸收能量。
E E2 E
1
h
（3）各态能量一定，角动量也一定( M=nh/2π ) 并且是量子化的，大小为 h/2π 的整数倍。
E =
h v , p = h / λ
1927年，戴维逊（Davisson）与革末 （Germer）利用单晶体电子衍射实验，汤姆逊 （Thomson）利用多晶体电子衍射实验证实了德 布罗意的假设。 光（各种波长的电磁辐射）和微观实物粒 子（静止质量不为0的电子、原子和分子等）都 有波动性（波性）和微粒性（粒性）的两重性 质，称为波粒二象性。 戴维逊(Davisson)等估算了电子的运动速度， 若将电子加压到1000V,电子波长应为几十个pm， 这样波长一般光栅无法检验出它的波动性。他 们联想到这一尺寸恰是晶体中原子间距，所以 选择了金属的单晶为衍射光栅。
第一章 量子力学基础知识
《结构化学基础》讲稿第一章孟祥军第一章 量子力学基础知识 （第一讲）1.1 微观粒子的运动特征☆ 经典物理学遇到了难题：19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ◆ Newton 力学 ◆ Maxwell 电磁场理论 ◆ Gibbs 热力学 ◆ Boltzmann 统计物理学上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。
1.1.1 黑体辐射与能量量子化黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。
黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。
黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。
★经典理论与实验事实间的矛盾：经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。
按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。
按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线：Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。
Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。
经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。
• 1900年，Planck （普朗克）假定：黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。
• h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J •S•按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合：●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。
能量波长黑体辐射能量分布曲线 ()1/8133--=kt h c h eE ννπν1.1.2 光电效应和光子学说光电效应：光照射在金属表面，使金属发射出电子的现象。
量子力学基础
4 绝对黑体
任何温度下都能全部吸收 入射其表面的所有波长的辐射 能的物体。
即 a(λ, T) ≡ 1
黑体模型 不透明空腔表面开小孔
讨论 黑体是黑洞吗？ 黑体能辐射吗？
5 基尔霍夫辐射定律
热平衡条件下， 即辐射的能量=吸收的能量
M1(,T ) M 2 (,T ) ... M B (,T )
a1(,T ) a2 (,T )
11.1 热辐射 11.2 光电效应
一、 热辐射与黑体辐射
电磁辐射
1 热辐射
由热运动引起的电磁波辐射。 一切物体都在不停地热辐射。 辐射电磁波波长成分与温度密切相关。
黄白色 亮黄色 暗黄色 亮红色 橙红色 赤褐色
1250-1300
1150-1250 1050-1150 830-880 780-800 580-650
2 光电效应的实验规律
(1)照达射到光红频限率频v率必v须0才达有到电临子界逸频出率(红限频率)v0才 能使电子逸出金属，否则无论照射光强度多大， 照射时间多长，都不会逸出光电子。
金属 铯 钠 锌 铱 铂 临界频率
0 /1014 Hz 4.545 5.50 8.065 11.53 19.29
(2) 光电子逸出金属表面时的初动能与光强度无关 ，只取决于照射光频率。
MB (,T ) c15ec2 T
维恩线
灾 难
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 μm
2 普朗克量子假设
普朗克公式:
Mo(,T )
2
c
2h
5
e hc /
1
kT
1
与实验完全符合!
经典理论：辐射体由带电谐振子组成，谐振 子能量正比于振幅的二次方和频率的二次方； 给定频率的谐振子可以具有任意连续的能量 值。
任何温度下都能全部吸收 入射其表面的所有波长的辐射 能的物体。
即 a(λ, T) ≡ 1
黑体模型 不透明空腔表面开小孔
讨论 黑体是黑洞吗？ 黑体能辐射吗？
5 基尔霍夫辐射定律
热平衡条件下， 即辐射的能量=吸收的能量
M1(,T ) M 2 (,T ) ... M B (,T )
a1(,T ) a2 (,T )
11.1 热辐射 11.2 光电效应
一、 热辐射与黑体辐射
电磁辐射
1 热辐射
由热运动引起的电磁波辐射。 一切物体都在不停地热辐射。 辐射电磁波波长成分与温度密切相关。
黄白色 亮黄色 暗黄色 亮红色 橙红色 赤褐色
1250-1300
1150-1250 1050-1150 830-880 780-800 580-650
2 光电效应的实验规律
(1)照达射到光红频限率频v率必v须0才达有到电临子界逸频出率(红限频率)v0才 能使电子逸出金属，否则无论照射光强度多大， 照射时间多长，都不会逸出光电子。
金属 铯 钠 锌 铱 铂 临界频率
0 /1014 Hz 4.545 5.50 8.065 11.53 19.29
(2) 光电子逸出金属表面时的初动能与光强度无关 ，只取决于照射光频率。
MB (,T ) c15ec2 T
维恩线
灾 难
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 μm
2 普朗克量子假设
普朗克公式:
Mo(,T )
2
c
2h
5
e hc /
1
kT
1
与实验完全符合!
经典理论：辐射体由带电谐振子组成，谐振 子能量正比于振幅的二次方和频率的二次方； 给定频率的谐振子可以具有任意连续的能量 值。
量子力学基础
量子力学基础
量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论。
它基于几个重要的基
本概念：
1. 粒子的波粒二象性：根据量子力学，微观粒子（如电子、光子等）既具有波动特性也具有粒子特性。
这意味着粒子的运动和行为可以通
过波动的方式来描述。
2. 不确定性原理：由于波粒二象性，确定粒子的位置和动量同时存
在的精确值是不可能的。
不确定性原理表明，我们无法同时准确测量
粒子的位置和动量，只能得到它们的概率分布。
3. 波函数：波函数是描述量子系统状态的数学函数。
它包含了粒子
的所有可能位置和动量的信息。
根据波函数，可以得出粒子的概率分布。
4. 算符和观测量：在量子力学中，物理量（如位置、动量、能量等）被表示为算符，而不是直接的数值。
物理系统的状态和性质可以通过
算符的作用来描述和测量。
5. 薛定谔方程：薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系
统的时间演化。
它通过波函数的时间导数和能量算符之间的关系来表示。
量子力学的基础原理提供了一种独特而全面的方式来理解微观世界
的行为。
它已经在许多领域获得了成功应用，如原子物理、核物理、
量子化学和量子计算等。
量子力学基础
第二章 Theoretical description of NMR spectroscopy同Bloch 方程不同，density matrix formalism 可以严格描述核自旋体系的动力学过程。
2.1 量子力学基础一 基本假设第一条基本假设：微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可得出体系的所有性质。
波函数一般应满足连续性、有限性和单值性。
第二条基本假设：力学量用厄密算符表示。
1 算符：运算符号，作用于函数，结果还是函数2 如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表达式中将动量p 换成算符i ∇得出。
L r p L r p i r =⨯→=⨯=-⨯∇ 3 厄密算符满足：对于任意的两个函数，ψ,φ ψφψφ**⎰⎰= ( )F dx F dx4 本征值方程： Fφλφ= F 在本征态中的观察值为其本征值。
本征函数族满足正交性，厄密算符的本征函数族有完备性。
厄密算符的本征值为实数。
第三条假设：态迭加原理：当φ1、φ2、…φn …是体系的可能状态时，它们的线性迭加ψ也是体系的一个可能的状态；也可以说，当体系处于态ψ时，体系部分地处在φ1、φ2、…φn …中。
将体系的状态波函数ψ用厄密算符 F 的本征函数φn 展开 ( F n n nφλφ=)： ψ=∑c n n nφ 则在态ψ中测量力学量F 得到结果为λn 的几率是c n 2，力学量F 的平均值为 F F d d c n n n ==**⎰⎰∑ψψτψψτλ 2第四条基本假设：体系的状态波函数满足薛定谔方程：i tH ∂ψ∂ψ=H 是体系的哈密顿算符。
第五条基本假设:在全同粒子所组成的体系中, 两全同粒子相互调换不改变体系的状态。
波函数满足一定的对称性。
二 算符的对易关系及测不准关系两个算符对易 ⇔ 两个算符有组成完备系的共同的本征函数集若 ( )( )FG GF ik F F G G k-=⇒-⋅-≥2224 (测不准关系)三 算符的矩阵表示描述状态可用直角坐标系，也可用其他坐标系（表象）选择一本征系：Q 表象，有分立本征值 ()()Qu x Q u x m m m =可用u 1(x), ... u m (x) 作为新坐标系 (Hilbert 空间)F u x Fu x dx nm n m =*⎰() () 此即F 在Q 表象中的矩阵表示算符在自身表象中的矩阵表示为对角阵四 Dirac 符号经典力学中常用矢量表示一个物理量，而不用具体坐标系类似地，量子力学中也常用类似的矢量方式描述波函数，而不用具体的表象m ，m 被分别称为左矢和右矢，或刁矢和刃矢 (bra, ket)这二类矢量不能相加，相应的各个分量互为共轭复数矢量分解 A A n n =∑标量积 A B正交归一化条件 F F i j ij =δ厄密算符表示为：对于任意的两个函数，ψ,φ ψφψφ F F = 本征值方程表示为： F φλφ=其共轭形式为：λφ F = 态迭加原理：ψ=∑c n n n此处c m m =ψ (归一化的基)故ψψψ===∑∑∑c n n n n n n n n n即n n E n∑=此处E 是单位算符 n n 称为投影算符，因为 n n c n n ψ=薛定谔方程：i t H ∂ψ∂ψ=五 角动量算符经典角动量算符为 L r p L r p i r =⨯→=⨯=-⨯∇角动量算符的一般定义:L L i L ⨯=即 [] , L L i L x y z = [] , L L i L y z x = [] , L L i L z x y =其中 [] , A B AB BA =-L 2和 , , L L L x y z 都是对易的，即[][][] , , , L L L L L L x y z 2220===其中 L L L L x y z 2222=++自旋角动量算符： S S i S ⨯=电子自旋 s ＝1/2引进一个算符 σ，它和 S 的关系是S = σ2自旋算符的矩阵形式：, , S S S i i z x y =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 2100120110200, , σσσz x y i i =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥10010110002.2 密度算符1. 密度算符: 设m 是哈密顿算符的本征态，任意力学量F 的期望值为F F d F c c m F n m n m n===**⎰∑ψψψψ ,τ此处c m m =ψ实际的核磁系统不是纯态，而是混合态，故还需要进行系综平均 F c c m F n m n m n=*∑ ,设 c c n m m n mn *== ρρ有 F Tr F =()ρ其中ρ即为密度算符，确定了体系的性质，矩阵形式称密度矩阵。
量子力学基础知识
¾ 1900年，Planck（普朗克）假定，黑体中原子或 分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率
为ν,能量为ε = hν的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν的振子，发射的能量只能是0hν ，1hν ， 2hν ，……，nhν （n为整数）。
¾按Planck假定，算出的辐射能Ev与实验观测到的
黑体辐射能非常吻合：
ε = hν，p＝h/λ
Â左边为粒子性，右边为波动性。 Â光是波动性和微粒性的矛盾统一体，不连续的粒子性和连续的
波动性是事物对立的两个方面。传播时呈波动性，与物质作用
时呈粒子性。
e f 3
11
1.1 微观粒子的运动特征
实物微粒的波粒二象性 de Broglie(德布罗意)波
¾1924年， L.V. de Broglie（德布罗意）认为辐射的波粒二象性 (wave-particle duality )同样适用于实物微粒(静止质量不为零的粒 子，如电子、质子、原子、分子等)。 波以某种方式伴随电子和 其他粒子, 正如波伴随着光子一样.
1.3 阱中粒子的量子特征
一维无限深势阱中的粒子 三维无限势箱中的粒子
e f 3
2
1.1 微观粒子的运动特征
经典物理学遇到了难题
z19世纪末，经典物理学已相当完善： Newton力学 Maxwell电磁场理论 Gibbs热力学 Boltzmann统计物理学
z 上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的 新现象： 黑体辐射问题、光电效应、原子光谱和原子结构等问题
e f 3
19
1.1 微观粒子的运动特征
¾ 测不准关系式的导出：
OP－AP＝OC＝λ/2
狭缝到底片的距离比狭缝的宽度大得多当 CP＝AP时，∠PAC,∠PCA,∠ACO均接
第一章量子力学基础知识.doc
第一章 量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征基本内容一、微观子的能量量子化1. 黑体辐射黑体:是理想的吸收体和发射体.Plank 假设:黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动,它只能发射或吸收频率为ν,数值为ε=hν整数倍的电磁波,及频率为ν的振子发射的能量可以等于:0hν,1 hν,2 hν,3 hν,…..,n hν.由此可见，黑体辐射的频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能为hν的倍数，称为能量量子化。
2. 光电效应和光子光电效应:是光照射在金属样品表面上,使金属发射出电子的现象。
金属中的电子从光获得足够的能量而逸出金属，称为光电子。
光电效应的实验结果:(1) 只有当照射光的频率超过某个最小频率ν时金属才能发射光电子，不同金属的ν值也不同。
(2) 随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。
(3) 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。
光子学说的内容如下：(1) 光是一束光子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位称为光子，光子的能量与光子的频率成正比即：νεh =0(2) 光子不但有能量，还有质量（m ），但光子的静止质量为零。
按相对论质能联系定律，20mc =ε,光子的质量为:c h c m νε==2，所以不同频率的光子有不同的质量。
(3) 光子具有一定的动量(p) p=mc=c h ν=λh(4) 光子的强度取决于单位体积内光子的数目即光子密度:ττρτd dNN =∆∆=→∆0lim将频率为ν的光照射到金属上,当金属中的一个电子受到一个光子撞击时,产生光电效应,并把能量hν转移给电子。
电子吸收的能量，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子动能。
2021mv h E w h k +=+=νν 当νh <w 时,光子没有足够的能量,使电子逸出金属,不发生光电效应,当νh =w 时,这时的频率时产生光电效应的临阈频率0ν,当νh >w 时从金属中发射的电子具有一定的动能,它随ν的增加而增加,阈光强无关。
大学物理理论：量子力学基础
大学物理理论：量子力学基础1. 介绍量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观粒子的行为和性质。
本文将介绍一些关于量子力学的基本概念和原理。
2. 原子结构和波粒二象性2.1 光电效应光电效应实验证明了光具有粒子性。
解释光电效应需要引入光量子（光子）概念，并讨论能量、动量和波长之间的关系。
2.2 德布罗意假设德布罗意假设认为微观粒子也具有波动性。
通过计算微观粒子的德布罗意波长，可以得出与经典物理不同的结果。
3. 波函数和不确定性原理3.1 波函数及其统计解释波函数描述了一个系统的状态，并包含了关于该状态各个可观测量的信息。
通过波函数，可以计算出一系列平均值，用来描述系统的特征。
3.2 不确定性原理不确定性原理指出，在某些情况下，无法同时准确地确定一个粒子的位置和动量。
这涉及到测量的本质和粒子与波的性质之间的关系。
4. 玻尔模型和量子力学4.1 玻尔模型玻尔模型是描述氢原子中电子运动的经典物理学模型。
它通过量子化角动量来解释氢原子光谱，并提供了首个对原子结构和能级分布的定性解释。
4.2 泡利不相容原理泡利不相容原理说明电子在同一能级上必须具有不同的状态。
这为填充多电子原子如何达到稳态提供了解释。
5. 薛定谔方程及其解析方法5.1 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程。
它描述了波函数随时间演化的规律，以及如何通过波函数求得可观测量的平均值。
5.2 解析方法介绍几种求解薛定谔方程的解析方法，如分离变量法、变换法等，并通过示例问题演示其使用过程和计算结果。
6. 哈密顿算符与算符方法6.1 哈密顿算符哈密顿算符是用于描述系统总能量的数量。
介绍哈密顿算符的概念和性质，并讨论如何通过其本征值和本征函数求解问题。
6.2 算符方法算符是量子力学中描述可观测量的数学工具，介绍常见的一些算符，如位置算符、动量算符等，并讨论它们之间的对易关系。
结论量子力学作为现代物理学的基石，为我们理解微观世界提供了全新的视角。
第一章量子力学基础
RH 1 1 ～ 1 1 ＝ 2 ＝ RH 2 2 2 hc n1 n2 n n 2 1
～
实物微粒的波粒二象性
德布罗意假说： ε＝ hν＝hu/λ p = h/λ ρ= K|Ψ|2 or ρ∝|Ψ|2
h/ p
h 2meT 1.226nm T / eV
ν/1014s-1
黑体辐射实验曲线
黑体辐射的解释
瑞利· 金斯公式 （麦克斯韦理论） ： 8 2 kT E ( , T )d d 3
c
普朗克· 金斯公式：
左
8h 3 d E ( , T )d c 3 e h / kT 1
维恩公式
（统计热力学理论） ：
第一章 量子力学基础
量子力学产生的背景 经典物理学的困难与旧量子论的诞生；实 物微粒的波粒二象性；不确定关系。 量子力学基本原理 波函数与微观粒子的状态；力学量和算符； 量子力学的基本方程；态叠加原理；电子自旋。 量子力学基本原理的简单应用 势箱中运动的粒子；线性谐振子；量子力 学处理微观体系的一般步骤与量子效应。
黑体辐射
黑体辐射模型
5 4
m-2 E (vT)/10-9J·
λБайду номын сангаас
2000K
3
维恩位移定律
T定，辐射频率：v v+dv 辐射能量：E(v,T)dv。辐射最强的 频率λmax随温度升高而发生位移： λmaxT=2.9×10－3 m· K
2
1500K
1
1000K
0 0 1 2 3
斯忒蕃公式
总辐射能量：E=σT4
爱因斯坦光子学说（1905年）
光是一束光子流。每一种频率的光能量都有一最小单位， 即为光子的能量ε： ε＝ hν 光的能量是量子化的，不连续的。 一束光的能量是hν的N微粒形式出现的集合体。 即: E = Nhν 光子密度： ρ= LinΔΝ/Δτ=dN/dτ Δτ→0 光子的能量和动量： 相对质能联系定律： εo = mc2，m = hν/c2 ＝h/cλ， 动量： p = mc = hν/c , p = h/λ 光子与电子相碰时服从能量守恒和动量守恒定律 hν＝W + T = hνo + ½ mv2，T = ½ mv2 = hν- hνo 光波强度与光子密度的关系：I = ρhν, ρ= dN/dτ I = Eo2/8π＋Ho2/8π＝Ψ2/4π (麦克斯韦方程） ρhν= Ψ2/4π ρ= K|Ψ|2
01第一章量子力学基础
2
sin
n
x
a
(
x)
均所 值以
， 只 能 求 位 置 的 平
x
* ( x )x ( x )dx
0
2
0
x
sin
2
n
xdx
2
0
x
1
cos
2n
2
x dx
1
(
0
x
x
cos
2n
x )dx
1
[
x2 2
0
2n
0
xd
sin
2n
x]
1
[
2 2
2n
1
2n
( x sin 2
x
1 2n
cos 4
x) ]
E h
E E2 E1
h
h
实物粒子的波粒二象性
de Broglie关系式为: ν= E / h λ= h / p λ= h / mv
λ h/ 2mT
不确定原理
量子力学公设
公设1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函 数Ψ（q, t）描述，Ψ（q, t）决定了体系的全部 可测物理量.
波函数应具有品优性: 单值性、 连续性、 平方可积性.
n=4
n=3 n=2 n=1
波函数
概率密度
1.3.2 三维无限深势阱中的粒子
1.3.2 三维无限深势阱中的粒子
能量本征方程为：
本 征 函 数 与 本 征 值
三维无限深正方体势阱中粒子的简并态
三维无限深正方体势阱中粒子的波函数
定理：
简并本征函数的任意线性组合仍是原算符的具有同样 本征值的本征函数.
0基础量子力学入门
0基础量子力学入门
量子力学是一门研究微观粒子行为和性质的自然科学领域。
它描述了微观粒子的波粒二象性，即微观粒子既可以呈现波动性质，又可以表现出颗粒性质。
以下是0基础入门量子力学的几个关键概念：
1. 波函数：量子力学中用来描述微观粒子状态的函数，通常用Ψ表示。
波函数的平方值（|Ψ|²）给出了在各个空间位置上发现粒子的概率密度。
2. 定态与非定态：定态是指波函数在时间上不变的状态，对应于特定的能量。
非定态则表示波函数在时间上会发生变化的状态。
3. 不确定性原理：由于微观粒子的波粒二象性，无法同时准确确定粒子的位置和动量。
不确定性原理告诉我们，这两个测量指标存在一定的不确定度。
4. 测量与观察：在量子力学中，测量不仅仅是获得某个物理量的数值结果，而是会导致波函数的坍缩，从而使得粒子处于确定的状态。
5. 叠加态与干涉：当两个或更多的波函数叠加时，它们会形成叠加态，即所有可能结果的线性组合。
在观察时，这种叠加会导致干涉现象的出现。
这只是量子力学的一些基本概念，入门量子力学需要更深入地
学习这些概念，并理解它们的数学表达和实验观察的关系。
量子力学也涉及更多的主题，如量子力学中的算符和态矢量、量子力学中的力学量等。
第一章 量子力学基础知识
dx
(2)
d
2 2
(3x x )
3 2
d dx
(9 x 2 x) 18 x 2 (3x x )
2 3 2
dx
2013-3-22
3
第一章 量子力学基础知识
ˆ ˆ 将总能量算符 H 代入本征方程 A a ， ˆ 则得方程 H E —— Schrodinger 方程
2
通解为： ( x) A cos x B sin x
2013-3-22
11
第一章 量子力学基础知识
根据边界条件确定方程的特解 边界条件为： (0) (l ) 0
(0) 0
A cos 0 B sin 0 0
A0 B0
( x) B sin x
2013-3-22 27
第一章 量子力学基础知识
掌握几重要个算符； 对于给定体系，会求： 本征态：物理量的确定值； 任意态：物理量的平均值；
A
2013-3-22
ˆ * A d
* d
或 A
ˆ * A d
28
第一章 量子力学基础知识
3. 掌握一维势相粒子的处理结果
2
] 0
B
2
l
2
B
2 l
( x)
2 l
Sin
nx l
一维势箱波函数
2013-3-22
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第一章 量子力学基础知识
三、解的讨论
1、能级 A. 能量量子化 粒子的能量是不连续的，随n 不同，能量取一 系列不连续的分立值。
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E
n h 8ml
2
量子力学的一些基础
我们不能将力学量直接作用在波函数上，我 们要将力学量用算符来表示才能迚行运算，它是 厄米算符，即 F+=F 然后将力学量作用在波函数上，从而得到一 系列力学量的本征函数和本证值，这些本征函数 组成希尔伯特空间的一个基底，它是一组完备的 基底，任意 的波函数都可以用这些本征函数展开。 所以也可以用矩阵来处理量子力学中的计算。F+ 的矩阵的转置共轭就是F的矩阵。
当我们测量粒子的位置时，波函数会瞬间塌缩，
这个速度超过光速，这是量子力学的一个佯谬。 对于H不含时的薛定谔方程 H ψ(r)=E ψ 解这个方程可以得到 ψ(r,0)= ∑cn φn, 加入时间就是 ψ(r,t)= ∑cn φn(r)e-iEnt/ħ, 所以我能只要知道了0时刻 的波函数，就知道了t 时刻的波函数。不同的ψn之间是相互正交的。如果 此时的表象是能量的话，那么ψn就是基底，cn就是 波函数。
氨分子的三个H原子在一个平面上，N原子
可能在H原子的左边，也可能在H原子的右 边，N原子可以通过隧穿效应从左边到右边， 因为势能是对称的，所以氨分子可以对称的 波函数χs和反对称的波函数χa描述，这两种 波函数对应的能量本征值是
n n n n n Hχ s Esn χ s , Hχ a Ea χa
Ψ= 1 eipx/-Et/ 2
但是这样的波函数是不存在的，因为它无法归一
化，实际 的波函数是不同的动量本征函数叠加而 成的,从而可以归一化。
实物粒子的运动是由波函数来描述，波函数遵守
薛定谔方程
iħ∂ψ/∂t=Hψ，波函数得在某个表象上 描述，动量表象的基底是δ（p-p0），坐标表象的 基底是δ（x-x0），动量和坐标表象的基底都是连 续的，也可以是能量表象，能量表象的基底可能 不是连续的。我们在测量粒子的位置时，粒子在 某个位置出现的概率等于波函数的平方，但是波 函数在迚行相加时是概率幅的相加，而不是概率 幅平方的相加，从而产生干涉现象。
量子力学基础
i 2 i 2 xpx Et xpx Et A exp h x h
第一章 量子力学基础知识
i 2 i 2 i 2 xpx Et px A exp p x h h h
z
e2
第一章 量子力学基础知识
e1
不考虑核的运动
r1 r12 r2
z
2 p12 p2 2e 2 2e 2 e2 E 2m1 2m2 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r12
e2
ˆ 2 2 2e 2e e H 1 2 2m1 2m2 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r12
第一章 量子力学基础知识
合格（品优）波函数
由于波函数的概率性质，所以波函数必须满足下 列条件： • 单值的，即在空间每一点 只能有一个值；
• 连续的，即 的值不出现突跃； 对x, y, z的 一级微商也是连续函数；
• 平方可积的，即 在整个空间的积分
* d
为一个有限数，通常要求波函数归一化，即
态函数的形式与光波的方程类似，习惯上称之为 波函数。如： 平面单色光的波动方程： A exp i 2 x t E hv, p h 代人波粒二象性关系： i 2 得单粒子一维运动波函数： A exp xpx Et
h
定态波函数：当微观粒子的运动状态不随时 间而变时，其波函数可以写作：
x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 , t
or
or
1,2,3, t
q1 , q2 , q3 , t ,
<关于波函数的一些概念和说明> 波函数是体系中所有粒子的坐标和时间的函数。
量子力学基础
量子力学基础量子力学是描述微观世界中物质和能量行为的一门科学，它在20世纪初由物理学家们逐步建立起来。
量子力学是现代物理学的基石，对于理解原子、分子、固体、核反应等现象具有重要意义。
本文将介绍一些量子力学的基础知识。
1. 波粒二象性量子力学将微观粒子既可以表现为粒子，又可以表现为波的特性称为波粒二象性。
这一概念是量子力学的核心之一。
例如，电子不仅可以具有粒子的位置和动量，还可以像波动一样干涉和衍射。
这对于解释实验数据和理解微观效应非常关键。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要原理，由海森堡于1927年提出。
不确定性原理指出，在某些物理量的测量中，无法同时准确测量其位置和动量，或者能量和时间。
这是因为测量过程会对被测量的系统产生干扰，从而使得同时准确测量两个互相联系的物理量成为不可能。
3. 波函数和波函数坍缩波函数是量子系统在给定时刻的状态描述，它是与量子力学中的各个物理量相对应的一组数学函数。
波函数可以用来计算某个物理量的概率分布，从而预测实验测量结果。
当对一个物理量进行测量时，波函数会发生坍缩，即系统会塌缩到某个确定的状态上。
4. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出。
薛定谔方程描述了量子系统的演化规律，可用来计算波函数随时间的变化。
薛定谔方程是解释原子、分子、凝聚态物质等现象的重要工具。
5. 超越边界和量子隧穿效应在经典物理学中，粒子的运动受到势能的限制，当粒子的能量低于势垒时，无法跨越势垒。
然而，在量子力学中，由于波粒二象性，粒子可以通过量子隧穿效应，以概率的形式穿越势垒，即使其能量低于势垒。
6. 基态和激发态在量子力学中，系统的能量可以分为不同的离散能级。
基态是系统的最低能量状态，而激发态是高于基态的能量状态。
通过向系统提供能量，可以使系统从基态跃迁到激发态，这在原子和分子的能级转移中起着重要作用。
总结：量子力学作为现代科学的重要分支，为我们理解微观世界提供了重要的工具和理论框架。
量子力学的基础知识
量子力学的基础知识
1.波粒二象性：物质既有粒子性又有波动性，既可以表现为粒子，又可以表现为波。
2.可观察量和算符：量子力学中的物理量称作可观察量，其对应的数学操作符称作算符。
3.薛定谔方程：描述量子系统演化的基本方程，它可以用来计算系统的波函数。
4.波函数：描述量子系统状态的函数，包含了系统所有的信息。
5.不确定原理：由于波粒二象性的存在，同一物理量的不同测量结果有一定的不确定性。
6.量子叠加态和纠缠态：量子系统可以处于多个状态的叠加态，同时这些状态之间可以相互影响并产生纠缠。
7.算符的本征值和本征态：算符作用于某个态时，可以得到一个数值和一个相应的本征态，它们是算符所描述的量子系统的重要特征。
8.量子力学的统计解释：许多量子现象都可以用统计方法来解释和描述。
量子力学入门
量子力学入门量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它描述了微观粒子的行为和性质。
本文将带领您进入量子力学的奇妙世界，介绍其基本原理和应用。
1. 历史回顾量子力学的起源可以追溯到20世纪初。
曾有许多科学家做出了重要贡献，其中包括普朗克、爱因斯坦、玻尔等人。
他们的研究揭示了微观粒子行为的非经典性质，为量子力学的发展奠定了基础。
2. 波粒二象性量子力学的一个核心概念是波粒二象性。
根据波动理论，微观粒子具有波动性质，可以表现为波动的形式；同时，它们也具备粒子性质，可以作为离散的点粒子进行计算和描述。
这一概念对于理解微观世界的奇异现象具有重要意义，如光的干涉和电子的双缝实验。
3. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要基石，由海森堡提出。
简而言之，不确定性原理认为，在某些测量中，我们无法同时准确地确定一粒子的位置和动量，精确的测量必然会对另一项属性产生不确定度。
这个原理颠覆了经典物理学中可确定性的概念，引发了对微观世界的新认识。
4. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，表征了量子系统的时间演化。
它描述了粒子的波函数随时间的变化规律，从而使我们能够预测和计算微观粒子的性质和行为。
薛定谔方程的解对于解释原子、分子和凝聚态物质等的结构和性质具有重要意义。
5. 量子纠缠量子纠缠是量子力学的一项重要现象，涉及两个或更多微观粒子之间的关联性。
当两个粒子发生纠缠后，它们的状态将无法独立地描述，即使它们被远离彼此。
量子纠缠在量子通信和量子计算等领域具有广泛应用，为未来的科技发展带来了巨大潜力。
6. 应用领域量子力学在许多领域都有广泛的应用。
在原子、分子和凝聚态物质领域，量子力学为我们揭示了物质的微观结构和性质；在量子信息科学中，量子力学为我们提供了更安全的通信和更强大的计算能力；在核物理学和高能物理学中，量子力学帮助我们研究更深层次的物质构成和相互作用。
7. 未来展望随着科技的发展和对量子力学认识的深入，人们对于量子力学的应用前景充满期待。
量子力学入门
高估增强幅度，特别是短波长的部分。瑞利－金斯定律符合实验数据
中的长波长部分。但在短波长部分，经典物理预测炽热物体所发射出 的能量会趋于无穷大。这个被称为紫外灾难的结果显然是错的。
• 第一个能够完整解释热辐射光谱的模型是由马克斯·普朗克于1900年 提出的普朗克把热辐射建立成一群处于平衡状态的谐振子模型。为了 符合实验结果，普朗克不得不假设每一个谐振子必定以自身的特征频 率为能量单位的整数倍，而不能随意发射出任意量的能量。也就是说， 每一个谐振子的能量都经过“量子化”。每一个谐振子的能量量子与 谐振子的频率成一比例，这个比例常数就称为普朗克常数。普朗克常 数的符号为h，其值为 6.63×10−34 J s，频率f的谐振子能量E为
比如我们从表面覆盖着油膜的水坑里看见光反射出各种颜色。
普朗克的公式适用于任意的波长和频率的情况下，同时限制了发散的能量传输。
振动的能量仅仅取决于其振幅，而振幅的大小是没有任何限制的。
• 我们不看“看见”单独的光子（事实上我们的观测就是利用光子来进行的），我们只能间接的观察它们的一些性质。 这远个红被 外•称线为摄不紫影外机同灾可难捕温的捉度结到果这下显些然辐的是射黑错。的体。 所辐射出的总能量和峰值波长。经典电磁理论过份从光 Nhomakorabea学开始的突破
• 当一束白光通过光学棱镜，光栅，锥面镜或者是雨后的彩 虹时，它就被分解成了各种颜色的光。这样的光谱说明了， 白光是由所有频率的有色光组成的。
• 1873年，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦给出了著名的麦克斯韦 方程，在理论上证明振荡的电路能够产生电磁波，这使得 纯粹的通过电磁测量手段来测量电磁波的速度成为了可能。 而测量结果显示电磁波的速度非常的接近于光速。也就是 说，光也是一种电磁波。亨里克·赫兹制作了一个能够产 生低于可见光频率的电磁波（现在我们称之为微波）的仪 器。早期研究的争议在于如何解释电磁辐射的本质，一些 人认为这是因为其的粒子性，而另一些人宣称这是一种波 动现象。在经典物理里，这两种思想是完全相悖的。
中的长波长部分。但在短波长部分，经典物理预测炽热物体所发射出 的能量会趋于无穷大。这个被称为紫外灾难的结果显然是错的。
• 第一个能够完整解释热辐射光谱的模型是由马克斯·普朗克于1900年 提出的普朗克把热辐射建立成一群处于平衡状态的谐振子模型。为了 符合实验结果，普朗克不得不假设每一个谐振子必定以自身的特征频 率为能量单位的整数倍，而不能随意发射出任意量的能量。也就是说， 每一个谐振子的能量都经过“量子化”。每一个谐振子的能量量子与 谐振子的频率成一比例，这个比例常数就称为普朗克常数。普朗克常 数的符号为h，其值为 6.63×10−34 J s，频率f的谐振子能量E为
比如我们从表面覆盖着油膜的水坑里看见光反射出各种颜色。
普朗克的公式适用于任意的波长和频率的情况下，同时限制了发散的能量传输。
振动的能量仅仅取决于其振幅，而振幅的大小是没有任何限制的。
• 我们不看“看见”单独的光子（事实上我们的观测就是利用光子来进行的），我们只能间接的观察它们的一些性质。 这远个红被 外•称线为摄不紫影外机同灾可难捕温的捉度结到果这下显些然辐的是射黑错。的体。 所辐射出的总能量和峰值波长。经典电磁理论过份从光 Nhomakorabea学开始的突破
• 当一束白光通过光学棱镜，光栅，锥面镜或者是雨后的彩 虹时，它就被分解成了各种颜色的光。这样的光谱说明了， 白光是由所有频率的有色光组成的。
• 1873年，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦给出了著名的麦克斯韦 方程，在理论上证明振荡的电路能够产生电磁波，这使得 纯粹的通过电磁测量手段来测量电磁波的速度成为了可能。 而测量结果显示电磁波的速度非常的接近于光速。也就是 说，光也是一种电磁波。亨里克·赫兹制作了一个能够产 生低于可见光频率的电磁波（现在我们称之为微波）的仪 器。早期研究的争议在于如何解释电磁辐射的本质，一些 人认为这是因为其的粒子性，而另一些人宣称这是一种波 动现象。在经典物理里，这两种思想是完全相悖的。
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为了说明将我们的宏观世界间思想实验 移动到微观量子世界可能产生的荒谬的 结果，薛定谔描述了一个关于猫的思想 实验：
薛定谔的猫被放在一个与周围环境 完全隔离的箱子内。这个箱子内有一瓶 致命的氰化物，还有一些处于发射状态 的放射性原子衰变。放射性衰变遵循量 子力学定律，因而它处于发射和未发射 的叠加状态。因此，猫处于活着和死了 的叠加状态。现在，如果你窥视箱子内 部，你等于杀死了猫，因为量子叠加态 对环境作用非常敏感，观察猫的瞬间， 猫的“世界线”会“塌缩”到出现死或 者活两种结果中的一种。在薛定谔看来， 这个思想实验导致了一个荒谬的结论。 它在说明他应该向出现的量子道歉。
单个物质粒子包括光子，经典力学不适 用，粒子表现出量子性。然而长久以来， 单个粒子不能从脱离周围环境直接观测 到，科学家只能通过思想实验验证它奇 异的表现。
他们的发明开辟了量子物理学的新时代；他们成功地观测到非常脆弱 的量子态，在不破坏单个粒子的前提下直接观察它们的特性；他们的 工作为制造新型超高速基于量子物理的计算机迈出了第一步。也可以 用来制造极精准时钟，用于未来的时间标准，比现有的铯原子钟精确 百倍。
第二章 背景知识 —量子力学
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2012年诺贝尔物理学奖
10月9日下午，2012年诺贝尔物理学奖揭晓。 瑞典皇家科学院诺贝尔奖评审委员会将奖项授予给了量子光学领域的两位科学 家——法国物理学家塞尔日·阿罗什与美国物理学家戴维·瓦恩兰，以奖励他 们“提出了突破性的实验方法，使测量和操控单个量子系统成为可能”。
萨布兰卡，目前居住于巴黎。1971年在法国皮埃 尔与玛丽·居里大学，即巴黎第六大学取得博士 学位。现任法国巴黎高等师范学院教授和法兰西 学院教授，兼任量子物理系主任。他还是法国物 理学会、欧洲物理学会和美国物理学会的会员， 被认为是腔量子电动力学的实验奠基者。曾获洪 堡奖、阿尔伯特·迈克尔逊勋章、查尔斯·哈 德·汤斯奖、法国国家科学研究中心金奖等诸多 奖项。其主要研究领域为通过实验观测量子脱散 （又称量子退相干），即量子系统状态间相互干 涉的性质会随时间逐步丧失。脱散现象可对量子 信息科学形成两方面的影响：一是涉及量子计算 领域，另一方面则与量子通信相关。
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在势阱中控制单个离子 在科罗拉多州博尔德市，大卫-维因兰德维因兰德的实验室内，带电原子
或离子被置于电场内的势阱中。该实验在真空和低温条件下进行，使粒子远离 热和辐射干扰。
维因兰德实验的秘诀是使用激光脉冲。他用激光压制离子在势阱中的热运 动，使离子停留在最低能量状态，从而观测势阱中离子的量子现象。一个细致 调节好的激光束可以使离子进入叠加态，该形态使一个离子同时存在于两种不 同状态。例如，一个离子可以同时处于两种能量值。它开始处于较低能量的状 态，激光的作用仅仅是向高能量状态轻轻推它，能够使它停留在两种状态的叠 加中实用，文进档 入任何一种状态有相等的可能性。这样可以研究离子的量子叠加状态。
利用相似的方法，阿罗什和他的团队可以数空腔内的光子。光子不容易数，任何和外 界接触就会破坏。借助这个方法，阿罗什和他的团队设计后期方案一步一步实现单个量子 状态的测量。
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量子力学悖论
量子力学描绘了一个肉眼 无法观测的微观世界，很多与我 们的期望和在经典物理中的经验 相反。
量子世界本身具有不确定 性。例如叠加态，一个量子可以 有多重形态。我们通常不会认为 一块大理石同时是“这样”也是 “那样”，除非是一块量子大理 石。叠加态的大理石只能确切地 告诉我们大理石是每一种形态的 概率。
在势阱中控制单个光子 塞尔日-阿罗什和他的研究小组在巴黎的实验室里，微波光子在相距3厘米的镜片之间
反弹。镜片用超导材料制作，被冷却到刚刚超过绝对零度。这是世界最闪耀的超导镜片， 单个的光子在它们之间的空腔反弹超过十分之一秒的时间，直到它丢失或被吸收。这意味 着光子能够穿越40000千米的长度，相当于环绕地球一周。
量子操纵可以通过势阱中的光子演示。阿罗什运用特殊调制的原子，叫做Rydberg 原 子，完成控制和测量空腔内微波光子的任务。
Rydberg原子穿越空腔并离开，留下光子，但之间的相互作用使原子的量子相位发生 改变，就像一阵波。当Rydberg原子离开空腔时，相位改变能测量得到，从而暗示空腔中 光子的存在或逃逸。
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2012年的两位物理学奖获得者能够映射到当外 界环境参与时量子猫的状态。他们设计了创新 实验，详细说明观测这一行为实际上如何导致 量子状态的崩溃并失去其叠加特性的。阿罗什 和 维因兰德并没有用量子物体尽 管宏观上没有猫那样的形状，但相对于量子尺 度仍然足够大。
在阿罗什的空腔中，不同相位的微波光子 被同时放置在像猫一样的叠加态中，像同时有 很多顺时针或逆时针旋转的秒表。空腔用 Rydberg原子探测。结果出现了另一个难以理解 的称为纠缠态的量子效应。纠缠也被薛定谔描 述过，可以发生在两个或多个量子之间，他们 彼此没有直接接触，却可以读取或影响对方的 属性。微波场中量子的纠缠态和Rydberg原子的 运动让阿罗什映射生活和死亡的猫一样的状态， 进而一步一步，经历了从量子叠加态到被完全 定义的经典物理态的过渡。
年入选美国国家科学院。曾获得阿 瑟·肖洛奖（激光科学）、美国国家科 学奖章（物理学）、赫伯特·沃尔特奖、 本杰明·富兰克林奖章（物理学）等。 他的主要工作包括离子阱的激光冷却， 以及利用囚禁的离子进行量子计算等， 因此被认为是离子阱量子计算的实验奠
基者。
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塞尔日·阿罗什1944年9月11日出生于摩洛哥卡
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诺奖官方网站称，塞尔日·阿罗什与戴维·瓦恩兰两人分别 发明并发展出的方法，让科学界得以在不影响粒子量子力学 性质的情况下，对非常脆弱的单个粒子进行测量与操控。他 们的方式，在此前一度被认为是不可能做到的。
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戴维·瓦恩兰1944年2月24日出生于美国 威斯康星州密尔沃基。1970年在美国哈 佛大学取得博士学位。现任美国国家标 准技术研究所研究员和组长，美国科罗 拉多大学波德分校教授。他还是美国物 理学会、美国光学学会会员，并于1992