行程问题中的图示解法

行程问题中的图示解法一、S-T图竖轴表示路程，一般为出发后的每一时刻离出发的距离，出发时此距离为0。

横轴表示时间，一般从出发开始计时，出发点处时间为0。

图形中的每个点均表示在某一时刻时的位置。

如下图，小明从家出发去上学，家和学校的距离为2千米。

规定竖轴为离家的距离，横轴为出发的时间。

其中A点表示出发5分钟后小明在离家1千米的位置，B点表示出发10分钟后小明在离家2千米的位置，即到达学校。

可以看到B点之后，随着时间的改变小明的位置并未发生改变，即这个阶段小明均在学校里，距离家都是2千米。

在S-T图中，每个点的路程数值和时间数值的比值即为速度。

图中OB为一条直线，由三角形相似的知识我们可以知道，此直线上的任意一点的路程与时间的比值都相等，即由O到B这个阶段速度是不变的。

我们可以用OB上任意一点的数据求出速度，如看A点，路程为1千米，时间为5分钟，速度为1÷5=0.2千米/分钟。

二、柳卡图法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士。

在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。

轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。

问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？”(此即著名的“柳卡趣题”)【分析】法一：推理从哈佛开出的轮船遇到的纽约开来的轮船有两类，一类是该船出发前已从纽约发出且尚未到达哈佛的轮船，即该船出发前7天内纽约发出的轮船，除出发时纽约刚到达伦敦的一艘船外途中共遇到6艘。

另一类是该船出发后从纽约发出的轮船，即该船出发后7天内纽约发出的轮船，除到达伦敦时刚发出的船外途中共遇到7艘。

行 程 问 题行程问题为小学和初中数学学习的重要应用问题，在行程问题中，除特别指出外，都假定速度是常数，即匀速运动，匀速运动的基本公式十分简单： 路程=时间⨯速度但是由于路程的多样化，时间前后的差别，以及速度的变化，使得行程问题变得复杂而丰富多彩。

行程问题虽然是实际问题的初级近似，但地，由于它的各色各样的变化，使得中小学的数学知识中的许多知识点能有趣而生动地融汇其中，而成为学生能力培养的有力工具。

在各届华杯赛中，行程问题是各类问题出现频率最高的问题之一。

求解行程问题一般分如下步骤：1。

审题 2。

画示意图 3。

找关键要素 4。

列关系式 5。

分析 6。

给出答案。

下面将通过具体的问题来解释这六个步骤。

行程问题中的方程方法列方程求解行程问题是最通常的方法，也是最为有效的方法。

多数行程问题可以用列方程解方程的方法来求解。

列方程就是上述步骤中第四步中建立一个或几个含有未知数的条件等式，而第五步中的分析就是解方程。

例1．甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6小时后相遇。

如果二人的速度每小时个增加1千米，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。

问：甲、乙二人速度个多少？解。

设甲的速度为每小时v 千米。

因为，两人6小时相遇，所以，二人的速度和为10千米。

乙的速度为每小时10-v 千米。

二人的速度个增加1千米，速度和为12千米，因此，需要小时）(51260=相遇。

第一次甲的行程为6v ，第二次甲的行程为5（v +1）,相差1千米： .6 ,1)1(56==+-v v v答。

二人的速度分别为每小时6千米和每小时4千米。

例2． 快、中、慢三辆车同时从同一地出发， 沿一公路追赶前面一个骑自行车的人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑自行车的人。

现知快车每小时走24千米，中车每小时走20千米。

那么慢车每小时走多少千米？解。

设自行车速度为每小时v 千米，慢车每小时a 千米，三车出发时自行车在他们前面L 千米。

行程问题中的图示解法一、S-T图竖轴表示路程，一般为出发后的每一时刻离出发的距离，出发时此距离为0。

横轴表示时间，一般从出发开始计时，出发点处时间为0。

图形中的每个点均表示在某一时刻时的位置。

如下图，小明从家出发去上学，家和学校的距离为2千米。

规定竖轴为离家的距离，横轴为出发的时间。

其中A点表示出发5分钟后小明在离家1千米的位置，B点表示出发10分钟后小明在离家2千米的位置，即到达学校。

可以看到B点之后，随着时间的改变小明的位置并未发生改变，即这个阶段小明均在学校里，距离家都是2千米。

在S-T图中，每个点的路程数值和时间数值的比值即为速度。

图中OB为一条直线，由三角形相似的知识我们可以知道，此直线上的任意一点的路程与时间的比值都相等，即由O到B这个阶段速度是不变的。

我们可以用OB上任意一点的数据求出速度，如看A点，路程为1千米，时间为5分钟，速度为1÷5=0.2千米/分钟。

二、柳卡图法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士。

在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。

轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。

问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？”(此即著名的“柳卡趣题”)【分析】法一：推理从哈佛开出的轮船遇到的纽约开来的轮船有两类，一类是该船出发前已从纽约发出且尚未到达哈佛的轮船，即该船出发前7天内纽约发出的轮船，除出发时纽约刚到达伦敦的一艘船外途中共遇到6艘。

另一类是该船出发后从纽约发出的轮船，即该船出发后7天内纽约发出的轮船，除到达伦敦时刚发出的船外途中共遇到7艘。

行程问题画图分析的方法与技巧————向量构图法列方程解应用题可简单概括为“审、析、列、算、查”五个步骤。

即“审题、分析、列式、计算、检查”。

其中找等量关系式就是解题的关键,然而较复杂的行程应用题的等量关系式就是很难一下子找出来的,这就需要我们在“审题”的基础上认真分析,通过不断地把未知量用含未知数的代数式表示出来,即不断地扩大已知,使等量关系“水到渠成”。

在解行程应用题时,采取画图分析的方法不仅能有利的协调学生左、右脑(科学用脑),锻炼学生分析问题的能力,而且能激发学生的学习兴趣,培养学生的创新能力。

此外,通过对物体运动、联系、发展、变化的分析与再现,也为学生不断形成辩证唯物主义世界观打下良好的基础。

⒈图的构成:行程问题都与物体的位移有着直接的关系,而速度就是既有大小,又有方向的量,所以图的主要构成就是向量。

此外,一幅完整的图还应包括图标、数据、文字、注解等,其中构成向量的有向线段有虚实、粗细及不同颜色的变化。

⒉绘图原则:在画图过程中应坚持的原则有:⑴要坚持认真审题。

审题就是解答应用题的第一步,能否顺利、准确的分析,审清题目的已知条件与问题就是基础。

⑵在认真审题基础上,“边读边画,兼顾协调”的原则。

即:在审清题目的已知条件与问题后,边读边画,并兼顾题中数据的比例关系、前后联系及隐含条件等,展开联想,合理安排。

⑶画图力求简洁与清晰明了,防止混淆不清。

在画图时要坚持画彩色图并利用有向线段的粗细与虚实等合理区分,防止混淆不清。

⑷根据题目的特点,灵活创新。

⒊绘图技巧⑴“速度、路程(数值型)”分别标在对应向量的“上、下”。

一般情况下,含未知数的代数式所表示的路程标在它们中间。

⑵用同种颜色表达同一事物及变化。

⑶用“粗细”搭配来区分物体的“同时性”与否。

同时运动的物体,用较粗的有向线段来表示。

⑷用虚、实来区分物体的“假设运动”与“真实运动”等。

1.5·V 甲 千米 1·V甲千米 2、5 V 甲千米/时30千米说明:通过运用相同较粗的有向线段表示同时性,不仅表达出了题目中的隐含条件(同时的路程),而且有利于我们联想出“相同时间内,路程比=速度比”,为解答此题提供依据。