当前位置：文档之家 › 《2014挑战中考数学压轴题》1.4 因动点产生的平行四边形问题

《2014挑战中考数学压轴题》1.4 因动点产生的平行四边形问题

  • 格式：doc
  • 大小：665.00 KB
  • 文档页数：16

1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题如图1，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (0, 1)、B (4, 3)两点． （1）求抛物线的解析式； （2）求tan ∠ABO 的值；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB 于点N ，交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“13松江24”，拖动点N 在直线AB 上运动，可以体验到，以M 、N 、C 、B 为顶点的平行四边形有4个，符合MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB 只有一个．请打开超级画板文件名“13松江24”，拖动点N 在直线AB 上运动，可以体验到，MN 有4次机会等于3，这说明以M 、N 、C 、B 为顶点的平行四边形有4个，而符合MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB 只有一个．思路点拨1．第（2）题求∠ABO 的正切值，要构造包含锐角∠ABO 的角直角三角形． 2．第（3）题解方程MN ＝y M －y N ＝BC ，并且检验x 的值是否在对称轴左侧．满分解答（1）将A (0, 1)、B (4, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得1,164 3.c b c =⎧⎨-++=⎩解得92b =，c ＝1．所以抛物线的解析式是2912y x x =-++． （2）在Rt △BOC 中，OC ＝4，BC ＝3，所以OB ＝5． 如图2，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为H ．在Rt △AOH 中，OA ＝1，4sin sin 5AOH OBC ∠=∠=，所以4sin 5AH OA AOH =⋅∠=． 图2 所以35OH =，225BH OB OH =-=．在Rt △ABH 中，4222tan 5511AH ABO BH ∠==÷=．（3）直线AB 的解析式为112y x =+．设点M 的坐标为29(,1)2x x x -++，点N 的坐标为1(,1)2x x +，那么2291(1)(1)422MN x x x x x =-++-+=-+．当四边形MNCB 是平行四边形时，MN ＝BC ＝3．解方程－x 2＋4x ＝3，得x ＝1或x ＝3．因为x ＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M 的坐标为9(1,)2（如图3）．图3 图4考点伸展第（3）题如果改为：点M 是抛物线上的一个点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．那么求点M 的坐标要考虑两种情况：MN ＝y M －y N 或MN ＝y N －y M ．由y N －y M ＝4x －x 2，解方程x 2－4x ＝3，得2x =5）．所以符合题意的点M 有4个：9(1,)2，11(3,)2，(2，(2．图5例2 2012年福州市中考第21题如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD //BC ，交AB 于点D ，联结PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．（1）直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝_______，PD ＝_______；（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点M 所经过的路径长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点P 运动，可以体验到，PQ 的中点M 的运动路径是一条线段．拖动右图中的点Q 运动，可以体验到，当PQ //AB 时，四边形PDBQ 为菱形．请打开超级画板文件名“12福州21”，拖动点Q 向上运动，可以体验到，PQ 的中点M 的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q 的速度变成1.07，可以体验到，当PQ //AB 时，四边形PDBQ 为菱形．点击动画按钮的中部，Q 的速度变成1.思路点拨1．菱形PDBQ 必须符合两个条件，点P 在∠ABC 的平分线上，PQ //AB ．先求出点P 运动的时间t ，再根据PQ //AB ，对应线段成比例求CQ 的长，从而求出点Q 的速度．2．探究点M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M 的路径．满分解答（1）QB ＝8－2t ，PD ＝43t ．（2）如图3，作∠ABC 的平分线交CA 于P ，过点P 作PQ //AB 交BC 于Q ，那么四边形PDBQ 是菱形．过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，那么BE ＝BC ＝8． 在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10． 图3在Rt △APE 中，23cos 5AE A AP t ===，所以103t =． 当PQ //AB 时，CQ CP CB CA =，即106386CQ -=．解得329CQ =．所以点Q 的运动速度为3210169315÷=． （3）以C 为原点建立直角坐标系．如图4，当t ＝0时，PQ 的中点就是AC 的中点E (3，0)． 如图5，当t ＝4时，PQ 的中点就是PB 的中点F (1，4)． 直线EF 的解析式是y ＝－2x ＋6．如图6，PQ 的中点M 的坐标可以表示为（62t -，t ）．经验证，点M （62t-，t ）在直线EF 上．所以PQ 的中点M 的运动路径长就是线段EF 的长，EF ＝图4 图5 图6考点伸展第（3）题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数： 当t ＝2时，PQ 的中点为(2，2)．设点M 的运动路径的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，代入E (3，0)、F (1，4)和(2，2)，得930,4,42 2.a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得a ＝0，b ＝－2，c ＝6． 所以点M 的运动路径的解析式为y ＝－2x ＋6．例3 2012年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (1, 0)、C (3, 0)、D (3, 4)．以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ．（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E 作EF ⊥AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P 在AB 上运动，可以体验到，当P 在AB 的中点时，△ACG 的面积最大．观察右图，我们构造了和△CEQ 中心对称的△FQE 和△ECH ′，可以体验到，线段EQ 的垂直平分线可以经过点C 和F ，线段CE 的垂直平分线可以经过点Q 和H ′，因此以C 、Q 、E 、H 为顶点的菱形有2个．请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P 在AB 上运动，可以体验到，当P 在AB 的中点时，即t=2，△ACG 的面积取得最大值1．观察CQ ，EQ ，EC 的值，发现以C 、Q 、E 、H 为顶点的菱形有2个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。

思路点拨1．把△ACG 分割成以GE 为公共底边的两个三角形，高的和等于AD ． 2．用含有t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．3．构造以C 、Q 、E 、H 为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．满分解答（1）A (1, 4)．因为抛物线的顶点为A ，设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2＋4， 代入点C (3, 0)，可得a ＝－1．所以抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3．（2）因为PE //BC ，所以2AP AB PE BC ==．因此1122PE AP t ==． 所以点E 的横坐标为112t +．将112x t =+代入抛物线的解析式，y ＝－(x －1)2＋4＝2144t -．所以点G 的纵坐标为2144t -．于是得到2211(4)(4)44GE t t t t =---=-+．因此22111()(2)1244ACG AGE CGE S S S GE AF DF t t t ∆∆∆=+=+=-+=--+．所以当t ＝1时，△ACG 面积的最大值为1．（3）2013t =或20t =- 考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为FE //QC ，FE ＝QC ，所以四边形FECQ 是平行四边形．再构造点F 关于PE 轴对称的点H ′，那么四边形EH ′CQ 也是平行四边形．再根据FQ ＝CQ 列关于t 的方程，检验四边形FECQ 是否为菱形，根据EQ ＝CQ 列关于t 的方程，检验四边形EH ′CQ 是否为菱形．1(1,4)2E t t +-，1(1,4)2F t +，(3,)Q t ，(3,0)C ．如图2，当FQ ＝CQ 时，FQ 2＝CQ 2，因此2221(2)(4)2t t t -+-=．整理，得240800t t -+=．解得120t =-220t =+．如图3，当EQ ＝CQ 时，EQ 2＝CQ 2，因此2221(2)(42)2t t t -+-=．整理，得213728000t t -+=．(1320)(40)0t t --=．所以12013t =，240t =（舍去）．图2 图3例4 2011年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图象上，且MO ＝MA ．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数334y x=+的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点B在y轴上点A下方运动，四边形ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上．思路点拨1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C 的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．满分解答（1）当x＝0时，3334y x=+=，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3．如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为32．将32y=代入32y x=，得x＝1．所以点M的坐标为3(1,)2．因此AM=（2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M3(1,)2，所以3,31.2cb c=⎧⎪⎨++=⎪⎩解得52b=-，3c=．所以二次函数的解析式为253 2y x x=-+．（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入253 2y x x=-+，得23216103m m m -=-+．解得12m =或者m ＝0（舍去）．因此点C 的坐标为（2，2）．图2 图3考点伸展如果第（3）题中，把“四边形ABCD 是菱形”改为“以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图4，点C 的坐标为727(,)416．图4例5 2011年江西省中考第24题将抛物线c1：2y=x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11江西24”，拖动点M向左平移，可以体验到，四边形ANEM可以成为矩形，此时B、D重合在原点．观察B、D的位置关系，可以体验到，B、D是线段AE 的三等分点，存在两种情况．思路点拨1．把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程．3．根据矩形的对角线相等列方程．满分解答（1）抛物线c2的表达式为2y=（2）抛物线c1：2y=x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为．抛物线c2：2y=x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为(0,．抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为(m-，与x轴的两个交点为(1,0)A m--、(1,0)B m-，AB＝2．抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为(,m，与x轴的两个交点为(1,0)D m-+、(1,0)E m+．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：情形一，如图2，B在D的左侧，此时123AB AE==，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．情形二，如图3，B在D的右侧，此时223AB AE==，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得12m=．图2 图3 图4②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如图4）．考点伸展第（2）题②，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB△ABM是等边三角形．同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合．因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．例6 2010年山西省中考第26题在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10山西26”，拖动点M可以在直线DE上运动．分别双击按钮“DO、DM为邻边”、“ DO、DN为邻边”和“DO为对角线”可以准确显示菱形．思路点拨1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边．满分解答(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．(2) 因为OE＝2EB，所以223E Bx x==，243E By y==，E(2,4)．设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入D (0,5)，E (2,4)，得5,2 4.b k b =⎧⎨+=⎩ 解得12k =-，5b =．所以直线DE 的解析式为152y x =-+．(3) 由152y x =-+，知直线DE 与x 轴交于点F (10,0)，OF ＝10，DF ＝①如图3，当DO 为菱形的对角线时，MN 与DO 互相垂直平分，点M 是DF 的中点．此时点M 的坐标为(5,52)，点N 的坐标为(－5,52)． ②如图4，当DO 、DN 为菱形的邻边时，点N 与点O 关于点E 对称，此时点N 的坐标为(4,8)．③如图5，当DO 、DM 为菱形的邻边时，NO ＝5，延长MN 交x 轴于P ．由△NPO ∽△DOF ，得NP PO NODO OF DF==，即510NP PO ==．解得NP =，PO =N 的坐标为(-．图3 图4考点伸展如果第（3）题没有限定点N 在x 轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．图5 图6例7 2009年江西省中考第24题如图1，抛物线322++-=xxy与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．图1动感体验请打开几何画板文件名“09江西24”，拖动点P在BC上运动，可以体验到，四边形PEDF 可以成为平行四边形．观察△BCF的形状和S随m变化的图象，可以体验到，S是m的二次函数，当P是BC的中点时，S取得最大值．思路点拨1．数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 2．当四边形PEDF 为平行四边形时，根据DE =FP 列关于m 的方程． 3．把△BCF 分割为两个共底FP 的三角形，高的和等于OB ．满分解答（1）A （－1，0），B （3，0），C （0，3）．抛物线的对称轴是x ＝1． （2）①直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3．把x ＝1代入y ＝－x ＋3，得y ＝2．所以点E 的坐标为（1，2）． 把x ＝1代入322++-=x x y ，得y ＝4．所以点D 的坐标为（1，4）． 因此DE =2．因为PF //DE ，点P 的横坐标为m ，设点P 的坐标为)3,(+-m m ，点F 的坐标为)32,0(2++-m m ，因此m m m m m FP 3)3()32(22+-=+--++-=．当四边形PEDF 是平行四边形时，DE =FP ．于是得到232=+-m m ．解得21=m ，12=m （与点E 重合，舍去）．因此，当m =2时，四边形PEDF 是平行四边形时．②设直线PF 与x 轴交于点M ，那么OM +BM =OB =3．因此BM FP OM FP S S S S CPF BPF BCF ⋅+⋅=+==∆∆∆2121 m m m m 29233)3(2122+-=⨯+-=． m 的变化范围是0≤m ≤3．图2 图3考点伸展在本题条件下，四边形PEDF 可能是等腰梯形吗？如果可能，求m 的值；如果不可能，请说明理由．如图4，如果四边形PEDF 是等腰梯形，那么DG =EH ，因此E P F D y y y y -=-． 于是2)3()32(42-+-=++--m m m ．解得01=m （与点CE 重合，舍去），12=m （与点E 重合，舍去）．因此四边形PEDF 不可能成为等腰梯形．图4。

合集下载

因动点产生的平行四边形问题中考压轴题精编版

因动点产生的平行四边形问题中考压轴题精编版

因动点产生的平行四边形问题中考压轴题精编版MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】因动点产生的平行四边形问题 例 1 2012年福州市中考第21题如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD 思路点拨1．菱形PDBQ 必须符合两个条件，点P 在∠ABC 的平分线上，PQ //AB ．先求出点P 运动的时间t ，再根据PQ //AB ，对应线段成比例求CQ 的长，从而求出点Q 的速度．2．探究点M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M 的路径．满分解答（1）QB ＝8－2t ，PD ＝43t ． （2）如图3，作∠ABC 的平分线交CA 于P ，过点P 作PQ //AB 交BC 于Q ，那么四边形PDBQ 是菱形．过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，那么BE ＝BC ＝8．在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10． 图3在Rt △APE 中，23cos 5AE A AP t ===，所以103t =． 当PQ //AB 时，CQ CP CB CA =，即106386CQ -=．解得329CQ =． 所以点Q 的运动速度为3210169315÷=． （3）以C 为原点建立直角坐标系．如图4，当t ＝0时，PQ 的中点就是AC 的中点E (3，0)．如图5，当t ＝4时，PQ 的中点就是PB 的中点F (1，4)．直线EF 的解析式是y ＝－2x ＋6．如图6，PQ 的中点M 的坐标可以表示为（62t -，t ）．经验证，点M （62t -，t ）在直线EF 上．所以PQ 的中点M 的运动路径长就是线段EF 的长，EF ＝25．图4 图5 图6考点伸展第（3）题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t ＝2时，PQ 的中点为(2，2)．设点M 的运动路径的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，代入E (3，0)、F (1，4)和(2，2)，得930,4,42 2.a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得a ＝0，b ＝－2，c ＝6．所以点M 的运动路径的解析式为y ＝－2x ＋6．例 2 2012年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (1, 0)、C (3, 0)、D (3, 4)．以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ．（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E 作EF ⊥AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P 在AB 上运动，可以体验到，当P 在AB 的中点时，△ACG 的面积最大．观察右图，我们构造了和△CEQ 中心对称的△FQE 和△ECH ′，可以体验到，线段EQ 的垂直平分线可以经过点C 和F ，线段CE 的垂直平分线可以经过点Q 和H ′，因此以C 、Q 、E 、H 为顶点的菱形有2个．请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P 在AB 上运动，可以体验到，当P 在AB 的中点时，即t=2，△ACG 的面积取得最大值1．观察CQ ，EQ ，EC 的值，发现以C 、Q 、E 、H 为顶点的菱形有2个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。

【初中数学】因动点产生的平行四边形问题

【初中数学】因动点产生的平行四边形问题

例 2014年河南省中考第23题如图1，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B (5, 0)两点，直线334y x =-+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，点P 是x 轴上方的抛物线上的一个动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E ．设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE ＝5EF ，求m 的值；（3）若点E ′是点E 关于直线PC 的对称点，是否存在点P ，使点E ′落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 图1动感体验请打开几何画板文件名“14河南23”，拖动点P 运动，可以体验到，PE 与EF 的比值，有两个时刻等于5．当点E ′落在y 轴上时，四边形PE ′CE 是菱形．思路点拨1．用含有m 的式子表示PE 、EF 的长，注意EF 存在两种情况．2．第（3）题我们这样来思考：假如点E ′落在了点C 上方的某个位置，那么∠EC E ′其实是确定的，作角平分线就得到了点P 的位置．点P 确定了，就可以确定点E 、E ′的准确位置．此时比较容易观察到菱形PE ′CE ．根据EC ＝EP 解方程的时候，转化为m 的四次方程，把这个四次方程用开平方法转化为两个二次方程．解得到m 的四个根．这四个根的几何意义是当点E ′在C 上方时，角平分线所在直线与抛物线有两个交点；当点E ′在C 下方时，角平分线所在直线与抛物线也有两个交点．注意舍去x 轴下方的解． 满分解答（1）因为抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B (5, 0)两点，所以y ＝－(x ＋1)(x －5)＝－x 2＋4x ＋5．（2）点P 的横坐标为m ，那么P (m ,－m 2＋4m ＋5)，E (m ,334m -+)，F (m , 0)． 所以22319(45)(3)244PE m m m m m =-++--+=-++． 若PE ＝5EF ，存在两种情况：如图2，当E 在F 上方时，334EF m =-+．解方程219325(3)44m m m -++=-+， 得m ＝2，或132m =（点P 在x 轴下方，舍去）． 如图3，当E 在F 下方时，334EF m =-．解方程219325(3)44m m m -++=-，得m =m =（点P 在x 轴下方，舍去）．图2 图3（3）点P 的坐标为111(,)24-，或(4,5)，或(33)． 考点伸展第（3）题的思路是这样的：如图4，当点E ′落在y 轴上时，四边形PE ′CE 是菱形．这是因为：根据对称性，CE ＝CE ′，∠PCE ＝∠PCE ′．又因为PE //CE ′，所以∠PCE ＝∠CPE ′．所以∠PCE ′＝∠CPE ′．所以CE ′＝PE ′．所以四边形PE ′CE 是平行四边形．所以四边形PE ′CE 是菱形．由E (m ,334m -+)、C (0, 3)，得2222325()416EC m m m =+-=．而21924PE m m =-++，由EP ＝EC ，可得两个方程： 解方程2195244m m m -++=，得12m =-，或m ＝4（如图4所示）．解方程2195244m m m -++=-，得3m =或3m =+P 在x 轴下方，舍去）（如图5所示）．图4 图5例 2014年连云港市中考第26题已知二次函数y＝x2＋bx＋c，其图像抛物线交x轴于A(1, 0)、B(3, 0)两点，交y轴于点C．直线l过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与A、B重合）．（1）求此二次函数关系式；（2）若直线l1经过抛物线的顶点D，交x轴于点F，且l1//l，则以C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由；（3）若过点A作AG⊥x轴，交直线l于点G，联结OG、BE，试证明OG//BE．动感体验请打开几何画板文件名“14连云港26”，拖动点E在抛物线上运动，可以体验到，以C、D、E、F为顶点的四边形有四次机会成为平行四边形．思路点拨1．四个点C、D、E、F中，C、D是确定的，以CD为分类标准，分两种情况讨论平行四边形．CD为对角线时，CF//ED；CD为边时，CD//EF．2．在坐标平面内，如果有平行线，那么构造直角边与坐标轴平行的直角三角形，通过三角比进行运算比较简便．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A(1, 0)、B(3, 0)两点，所以y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3．（2）由y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，得顶点D的坐标为(2,－1)．如图1，如果CF//ED，过点E作x轴的垂线，过点D作x轴的平行线，两条直线交于点H，那么△EDH≌△CFO．所以EH＝CO＝3，DH＝FO．设FO的长为m，那么点E的坐标可以表示为(2＋m, 2)．将E(2＋m, 3)代入y＝(x－2)2－1，得m2－1＝2．解得m所以点E的坐标为(2（如图1），或(2（如图2）．图1 图2如图3，如果CD//EF，那么△EFN≌△CDM．因此EN＝CM＝4，FN＝DM＝2．设OF＝m，那么点E的坐标可以表示为(m－2, 4)．所以(m－4)2－1＝4．解得m＝4．所以点E 的坐标为(2, 4)（如图3），或(2,4)（如图4）．图3 图4（3）如图5，设点E 的坐标为(x , x 2－4x ＋3)．过点G 、E 分别向y 轴作垂线，垂足分别为G ′、E ′，那么''''CG CE GG EE =． 所以233(43)1G y x x x ---+=．解得y G ＝x －1．过点E 作EK ⊥x 轴于K ． 因为24313EK x x x BK x -+==--，1GA x OA =-，所以EK GABK OA =．因此tan ∠EBK ＝tan ∠GOA ．所以∠EBK ＝∠GOA ，OG //BE ．图5考点伸展第（3）题也可以这样思考：如图5，设过点C (0, 3)的直线l 的解析式为y ＝kx ＋3．联立抛物线的解析式y ＝x 2－4x ＋3，可以将点E 的坐标表示为(k ＋4, k 2＋4k ＋3)． 点G 是直线x ＝1和直线y ＝kx ＋3的交点，所以G (1,k ＋3)． 于是243343EK k k k BK k ++==++-，3GA k OA =+，所以EK GABK OA =．例 2014年日照市中考第24题已知抛物线2y bx =++A (2, 0)，顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ． （1）求b 的值，求出点P 、B 的坐标；（2）如图1，在直线y =上是否存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，使△AMP ≌△AMB ？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“14日照24”，拖动点D 运动，可以体验到，四边形OPBD 可以成为平行四边形．拖动点M 运动，可以体验到，当△AMP ≌△AMB 时，点M 落在∠BAP 的平分线上．思路点拨1．有平行四边形，必然可以构造出两个全等的直角三角形，直角边与坐标轴平行．2．△AMP 与△AMB 有公共边AM ，如果△AMP ≌△AMB ，那么直线AM 就是对称轴． 满分解答（1）将A (2, 0)代入2y x bx =++得20b +=．解得b =-．所以2y -+2812)x x -+2)(6)x x =--24)x --因此(4,P -，(6,0)B ．（2）如图2，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ．由于tan ∠OBP ＝PE BE =，所以BP 与直线y =平行．因此当BD//PO时，四边形OPBD为平行四边形．因此OD＝PB．过点D作DF⊥x轴，垂足为F．因为BP＝OD，所以DF＝PE＝OF＝BE＝2．所以点D的坐标为(2,．图2 图3 图4（3）如图4，由A(2, 0)、(4,P-、(6,0)B，得AB＝4，AP4．所以AB＝AP．因此∠BAP的平分线与抛物线的交点M，就满足△AMP≌△AMB．考点伸展第（3）题也可以用方程来解：设点D的坐标为()x．由OD＝PB，得OD2＝PB2．所以x2＋3x2＝16．解得x＝±2．当x＝2时，如图2所示。

1.4 因动点产生的平行四边形问题

1.4 因动点产生的平行四边形问题

例 2010年河南省中考第23题在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A (－4,0)、B (0,－4)、C (2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．图1 图2 动感体验请打开几何画板文件名“10河南23”，拖动点M 在第三象限内抛物线上运动，观察S 随m 变化的图像，可以体验到，当D 是AB 的中点时，S 取得最大值．拖动点Q 在直线y ＝－x 上运动，可以体验到，以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形有4种情况可以成为平行四边形，双击按钮可以准确显示．请打开超级画板文件名“10河南23”，思路点拨1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．2．把△MAB 分割为共底MD 的两个三角形，高的和为定值OA ．3．当PQ 与OB 平行且相等时，以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，按照P 、Q 的上下位置关系，分两种情况列方程．满分解答(1) 因为抛物线与x 轴交于A (－4,0)、C (2,0)两点，故可设y ＝a (x ＋4)(x －2)．代入点B (0,－4)，求得12a =． 所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--． 所以2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++． 因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4． (3) 设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-． ①如果PQ //OB ，那么PQ ＝OB ＝4．当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得225x =-±． 此时点Q 的坐标为(225,225)-+-（如图3），或(225,225)--+（如图4）．当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=． 解得4x =-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）． ②如果PO //BQ ，那么PO ＝BQ ＝4．此时点Q 的坐标为(4, －4) （如图5）．图3 图4 图5 考点伸展在本题情境下，以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形能成为直角梯形吗？如图6，Q (2,－2)；如图7，Q (－2,2)；如图8，Q (4,－4)．图6 图7 图8。

2014年中考数学压轴题动点问题（学生）

2014年中考数学压轴题动点问题（学生）

2014年中考数学压轴题动点问题（学生）1. （2014上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．2. （2014福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）3. （2014甘肃兰州12分）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝23x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝52上．(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD 的周长最小，求出P点的坐标；(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M 点的坐标；若不存在，说明理由．4. （2014广东省9分）如图，抛物线213y=x x 922--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．5. （2014贵州毕节16分）如图，直线l 1经过点A （－1，0），直线l 2经过点B(3，0), l 1、l 2均为与y 轴交于点C(0，，抛物线2y=a x+bx+c(a 0)≠经过A 、B 、C 三点。