挑战中考数学压轴题——平行四边形存在性问题
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教师： 学生： 时间：2017年 月 日
课题内容 平行四边形存在性问题
专题攻略
一、解平行四边形的存在性问题一般分三个步骤
第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算.
二、难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使
计算又准又快.
三、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点以已知三个定点为
三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点.
四、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.
灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便.
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典型例题
例1．如图，抛物线：y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B（A在B左侧），A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为C（1，﹣2）
（1）求过A、B、C三点的圆的半径．
（2）在抛物线上找点P，在y轴上找点E，使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E的坐标．
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标准文档 （1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（1，﹣2），∴AB=3﹣（﹣1）=4，
AC==2，BC==2，∴AB2=16，AC2+BC2=8+8=16，
∴AB2=AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，AB是直径，故半径为2；
（2）①当AB是平行四边形的边时，PE=AB=4，且点P、E的纵坐标相等，
∴点P的横坐标为4或﹣4，∴y=×42﹣4﹣=，或y=×42+4﹣=，
∴点P、E的坐标为P1（4，）、E1（0，）或P2（﹣4，）、E2（0，），
②如图，当AB是平行四边形的对角线时，PE平分AB，∴PE与x轴的交点坐标D（1，0），
过点P作PF⊥AB，则OD=FD，∴点F的坐标为（2，0），∴点P的横坐标为2，
y=×22﹣2﹣=﹣，∴点P的纵坐标为，∴点P、E的坐标为P3（2，﹣）、E3（0，），
综上所述，点P、E的坐标为：P1（4，）、E1（0，）或P2（﹣4，）、E2（0，）或P3（2，﹣）、E3（0，）．
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标准文档 例2．将抛物线沿c1：y=﹣x2+沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示．
（1）请直接写出拋物线c2的表达式．
（2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
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标准文档 方法一：
（1）根据翻折的性质可求拋物线c2的表达式；
（2）①求出拋物线c1与x轴的两个交点坐标，分当AD=AE时，当BD=AE时两种情况讨论求解；
②存在．理由：连接AN，NE，EM，MA．根据矩形的判定即可得出．
方法二：
（1）求出翻折后抛物线顶点坐标，并求出抛物线表达式．
（2）①抛物线c1平移m个单位长度后，求出点A，B，D，E的坐标，并分类讨论点B在点D左侧和右侧的两种情况，进而求出m的值．
②以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，则AN⊥EN，利用黄金法则二，可求出m的值．
【解答】方法一：
解：（1）y=x2﹣．
（2）①令﹣x2+=0，得x1=﹣1，x2=1
则拋物线c1与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（1，0）．
∴A（﹣1﹣m，0），B（1﹣m，0）．同理可得：D（﹣1+m，0），E（1+m，0）．
当AD=AE时，（﹣1+m）﹣（﹣1﹣m）=[（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，
∴m=．
当BD=AE时，（1﹣m）﹣（﹣1+m）=[（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，∴m=2．
故当B，D是线段AE的三等分点时，m=或2．
②存在．
理由：连接AN，NE，EM，MA．依题意可得：M（﹣m，），N（m，﹣）．
即M，N关于原点O对称，∴OM=ON．
∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE
∴四边形ANEM为平行四边形．
∵AM2=（﹣m﹣1+m）2+（）2=4，ME2=（1+m+m）2+（）2=4m2+4m+4，
AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4，若AM2+ME2=AE2，则4+4m2+4m+4=4m2+8m+4，∴m=1，
此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°．
∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．
方法二： 实用文案
标准文档 （1）略，
（2）①抛物线C1：y=﹣x2+，
与x轴的两个交点为（﹣1，0），（1，0），顶点为（0，），抛物线C2：y=﹣x2﹣，
与x轴的两个交点也为（﹣1，0），（1，0），顶点为（0，﹣），抛物线C1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为（﹣m，），与x轴的两个交点为A（﹣1﹣m，0）、B（1﹣m，0），AB=2，
抛物线C2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为（m，﹣），与x轴的两个交点为D（﹣1+m，0）、E（1+m，0），∴AE=（1+m）﹣（﹣1﹣m）=2（1+m），B、D是线段AE的三等分点，有两种情况．
1、B在D的左侧，AB=AE=2，AE=6，
∴2（1+m）=6，m=2，
2、B在D的右侧，AB=AE=2，AE=3，
∴2（1+m）=3，m=．
（3）若A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，
∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣）、M（﹣m，），
∴点A，E关于原点对称，点N，M关于原点对称，
∴A、N、E、M为顶点的四边形是平行四边形，
则AN⊥EN，KAN×KEN=﹣1，
∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣），
∴=﹣1，
∴m=1．
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标准文档 强化训练
1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；
（3）连结CM，BN，当m为何值时，以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？
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标准文档 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，1）和点B（3，），
∴，∴，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（0，1），B（3，），
∴，∴直线AB的解析式为y=x+1，
∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP=m，
∴P（m，0），M（m，m+1），∴PM=m+1；
（3）由题意可得：N（m，﹣m2+m+1），
∵MN∥BC，
∴当MN=BC时，四边形BCMN为平行四边形，
当点P在线段OC上时，MN=﹣m2+m，
又∵BC=，
∴﹣m2+m=，
解得m1=1，m2=2；
当点P在线段OC的延长线上时，MN=m2﹣m，
∴m2﹣m=，
解得 m1=（不合题意，舍去），m2=，
综上所述，当m的值为1或2或时，以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．
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标准文档 2．如图，已知二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0），C（2，﹣6）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标；
（3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（﹣1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积为时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
