北京市东城区普通高中示范校2012届高三12月综合练习（一）（数学理）2011.12学校： 班级： 姓名： 成绩： 一、选择题：本大题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若,0>>b a 则下列不等式不成立的是（ ）A.ba 11< B.b a > C.a b +< D.ba ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21212．已知函数R ∈-=x x x x f ,cos sin 3)(，若1)(≥x f ，则x 的取值范围为（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,3 B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,232C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,656 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,65262 3．已知向量(2,3)=a ，(1,2)=-b ，若m n +a b 与2-a b 共线，则n m等于（ ）A ．2-；B ．2C ．21-D ．214．设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()20f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．()()2,02,-+∞UB ．()(),20,2-∞-UC ．()(),22,-∞-+∞UD ．()()2,00,2-U5. 双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r 等于（ ） A ．3 B ．2 C ．3 D ．6 6. 规定{}⎩⎨⎧<<=,,,,,min a b b b a a b a 若函数{}()min ,f x x x t =+的图象关于直线21-=x 对称，则t 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．1 7.若R ∈x ，*∈Nn ，定义：)2)(1(++=x x x M nx )1(-+n x Λ，例如：55-M =(-5)(-4)(-3)(-2)(-1) =-120,则函数199)(-=x xM x f 的奇偶性为（ ）A ．是偶函数而不是奇函数B ．是奇函数而不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数8、非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a 、b G ∈，都有G b a ∈⊕；（2）存在c G ∈，使得对一切a G ∈，都有a c c a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”。
现给出下列集合和运算：①G ={非负整数}，⊕为整数的加法。
②G ={偶数}，⊕为整数的乘法。
③G ={平面向量}，⊕为平面向量的加法。
④G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法。
其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．②④二.填空题(每题5分,共6小题)9．“2x <”是“220x x --<”的 条件． 10．函数ϕωϕ+ω=,,(),sin()(A x A x f 是常数，)0,0>ω>A 的部分图象如图所示，则=)0(f .11．设y x ,是满足42=+y x 的正数，则y x lg lg +的最大值是 ．12．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．13．定义在R 上的运算：(1)x y x y *=-，若不等式()()1x y x y -*+<对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是 .14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项按如下规律排列： 1121231234121,,,,,,,,,,,,,,,2334445555n n n n-L L L 有如下运算和结论： ①243;8a =②数列12345678910,,,,a a a a a a a a a a ++++++L 是等比数列；xyO③数列12345678910,,,,a a a a a a a a a a ++++++L 的前n 项和为2;4n n nT +=④若存在正整数k ，使1510,10,.7k k k S S a +<≥=则 其中正确的结论有 .（将你认为正确的结论序号都填上） 三、解答题15 （本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos 2A =，3AB AC ⋅=u u ur u u u r ．（I ） 求ABC ∆的面积； （II ） 若6b c +=，求a 的值．16. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =PD 21．（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （II ）求二面角C BP Q --的余弦值．17.（本小题满分13分）已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f . （I ）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值；（II ）对一切)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分13分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(20)M -，的直线l 与圆221x y +=交于P ，Q 两点．（I ）若12OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ，求直线l 的方程；（Ⅱ）若OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，求直线l 的斜率．19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足411=a ，()),2(2111N ∈≥--=--n n a a a n n n n ． （Ⅰ）试判断数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a 11是否为等比数列，并说明理由； （Ⅱ）设2)12(sinπ-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，32<n T ．20．（本小题满分14分）若()113x p f x -=，||2232)(p x x f -⋅=，R ∈x ，21,p p 为常数，且⎩⎨⎧>≤=).()(),(),()(),()(212211x f x f x f x f x f x f x f（Ⅰ）求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件（用12,p p 表示）； （Ⅱ）设,a b 为两实数，a b <且12,p p ∈(),a b ,若()()f a f b = 求证：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）．东城区示范校综合练习(一)高三数学答案 （理） 2011年12月一、选择题 1．C 2．B 3．C4．D5．A6．D7．A8．B二、填空题9．必要非充分条件 10．26 11．2lg12．1 13．)23,21(- 14．①③④三、解答题15 （本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 2A =，3AB AC ⋅=u u ur u u u r ．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．解：（I ）因为cos2A =，所以53cos =A ，又π<<A 0,所以54sin =A . 由3AB AC ⋅=u u u r u u u r，得cos 3,bc A =所以5=bc .故2sin 21==∆A bc S ABC . ………6分 （II ）由5bc =，且6b c +=，解得⎩⎨⎧==,1,5c b 或⎩⎨⎧==.5,1c b由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，故52=a . ………………13分16. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =PD 21．（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （II ）求二面角C BP Q --的余弦值．解：（I ）如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系xyz D -.依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）. 则)0,1,1(),1,0,0(),0,1,1(-===PQ DC DQ . 所以0,0=⋅=⋅DC PQ DQ PQ . 即DC PQ DQ PQ ⊥⊥,, 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ . …………6分 （II ）依题意有B （1，0，1），)0,0,1(=CB ,)1,2,1(--=BP .设),,(z y x n =是平面PBC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0BP n CB n 即⎩⎨⎧=-+-=.02,0z y x x因此可取)2,1,0(--=n .设m 是平面PBQ 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0PQ m BP m可取)1,1,1(=m ,所以515,cos -=n m .故二面角C BP Q --的余弦值为515-. ………………13分 17. （本小题满分13分）已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f . （I ）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值；（II ）对一切)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）)(x f 定义域为()+∞,0，1ln )(+='x x f ， 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0,0)(<'x f ,)(x f 单调递减，当),1(+∞∈ex ，)(,0)('x f x f >单调递增. ……………………………………2分①当t e t t ,120<+<<无解；……………………………………………………………3分 ②当210+<<<t e t ，即e t 10<<时，e e f x f 1)1()(min -==； …………4分③当21+<≤t t e 即et 1≥时，)(x f 在[]2,+t t 上单调递增，t t t f x f ln )()(min ==；………5分所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=.1,ln ,10,1)(min e t t t e t e x f ………6分（2）3ln 22-+-≥ax x x x ，则xx x a 3ln 2++≤，对一切()+∞∈,0x 恒成立.……7分设)0(3ln 2)(>++=x x x x x h ，则2)1)(3()('xx x x h -+=， 当)(,0)('),1,0(x h x h x <∈单调递减，当)(,0)('),,1(x h x h x >+∞∈单调递增. …………10分)(x h 在),0(+∞上，有唯一极小值)1(h ，即为最小值.所以4)1()(min ==h x h ，因为对一切)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成成立，所以4)(min =≤x h a . ……………………………13分 18.（本小题满分13分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(2,0)M -的直线l 与圆221x y +=交于Q P ,两点．（Ⅰ）若12OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ，求直线l 的方程；（Ⅱ）若OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，求直线l 的斜率． 解：（Ⅰ）依题意，直线l 的斜率存在，因为 直线l 过点(2,0)M -，可设直线l ：(2)y k x =+．因为Q P ,两点在圆221x y +=上，所以 1OP OQ ==u u u r u u u r，因为 12OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ，所以 1cos 2OP OQ OP OQ POQ ⋅=⋅⋅∠=-u u u r u u u r u u u r u u u r .所以 120POQ ︒∠= 所以 O 到直线l 的距离等于12．所以12=，得k =±所以 直线l的方程为20x +=或20x ++=． …………6分（Ⅱ）因为OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，所以2MQ MP =u u u u r u u u r，设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，所以 22(2,)MQ x y =+u u u u r ，11(2,)MP x y =+u u u r．所以⎩⎨⎧=+=+,12122),2(22y y x x 即⎩⎨⎧=+=.12122),1(2y y x x （*）因为 P ，Q 两点在圆上，所以⎩⎨⎧=+=+.1,122222121y x y x 把（*）代入得⎩⎨⎧=++=+.14)1(4,121212121y x y x 所以11788x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩， 故直线l的斜率9MP k k ==±，即9k =±． ………13分 19、（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足411=a ，()),2(2111N ∈≥--=--n n a a a n n n n ． （Ⅰ）试判断数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a 11是否为等比数列，并说明理由； （Ⅱ）设2)12(sinπ-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，32<n T ．解（1）()()()111112121121-------=--=--=n nn n nn n nn n a a a a a a a 得由已知, ()()()]112[21211111----+-=--⋅=-+n n n n n n a a a .又043111≠-=-a ，故()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a 11为公比为-2的等比数列. …………7分 （2）由（1）得()11)2(3)2()14(11---⋅=-⋅-=-+n n nna . 所以()nn n a 1)2(311---⋅=-，()n n n a 1)2(311---⋅=-， ()11112311231)1(1)2(312)12(sin----⋅<+⋅=-⋅---⋅=-=n n n n n n n n a c π. 所以32])21(1[32211])21(1[31<-=--<n n n T . …………14分20．（本小题满分14分）若()113x p f x -=，()2223x p f x -=g ，R ∈x ，21,p p 为常数，且⎩⎨⎧>≤=).()(),(),()(),()(212211x f x f x f x f x f x f x f（Ⅰ）求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件（用12,p p 表示）； （Ⅱ）设,a b 为两实数，a b <且12,p p ∈(),a b ,若()()f a f b = 求证：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）．解：（Ⅰ）()()1f x f x =恒成立⇔()()12f x f x ≤⇔12323x p x p --≤g ⇔123log 233x p x p ---≤;⇔1232x p x p log ---≤（*）因为()()121212x p x p x p x p p p ---≤---=-, 所以，故只需12p p -32log ≤（*）恒成立.综上所述，()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件是12p p -32log ≤. ………4分 （Ⅱ）1°如果12p p -32log ≤，则的图象关于直线1x p =对称．因为()()f a f b =，所以区间[],a b 关于直线1x p = 对称．因为减区间为[]1,a p ，增区间为[]1,p b ，所以单调增区间的长度和为2b a-. ………6分 2°如果12p p -32log >.（1）当12p p -32log >时.()[][]111113,,3,,x pp x x p b f x x a p --⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，()[][]2323log 222log 223,,3,,x p p x x p b f x x a p -+-+⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩当[]1,x p b ∈，()()213log 2102331,p p f x f x --=<=因为()()120,0f x f x >>，所以()()12f x f x <，故()()1f x f x ==13x p -.当[]2,x a p ∈，()()123log 2102331,p p f x f x --=>=因为()()120,0f x f x >>，所以()()12f x f x >，故()()2f x f x ==23log 23p x -+.因为()()f a f b =，所以231log 233p a b p -+-=，所以123log 2,b p p a -=-+即123log 2a b p p +=++.当[]21,x p p ∈时，令()()12f x f x =，则231log 233x p p x-+-=，所以123log 22p p x +-=，当1232log 2,2p p x p +-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x ≥，所以()()2f x f x ==23log 23x p -+; 1231log 2,2p p x p +-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x ≤，所以()()1f x f x ==13p x -.()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和12312log 22p p b p p +--+-=123log 2222p p a b b ab b +++--=-=. …………10分（2）当21p p -32log >时.()[][]111113,,3,,x pp x x p b f x x a p --⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，()[][]2323log 222log 223,,3,,x p p x x p b f x x a p -+-+⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩当[]2,x p b ∈，()()213log 2102331,p p f x f x --=>=因为()()120,0f x f x >>，所以()()12f x f x >，故()()2f x f x ==23log 23x p -+.当[]1,x a p ∈，()()123log 2102331,p p f x f x --=<=因为()()120,0f x f x >>，所以()()12f x f x <，故()()1f x f x ==13p x-.因为()()f a f b =，所以231log 233b p p a-+-=，所以123log 2a b p p +=+-.当[]12,x p p ∈时，令()()12f x f x =，则231log 233p x x p -+-=，所以123log 22p p x ++=，当1231log 2,2p p x p ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()()12f x f x ≤，所以()()1f x f x ==13x p -; 1231log 2,2p p x p ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x ≥，所以()()2f x f x ==23log 23p x -+;()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和12321log 22p p b p p ++-+-=123log 2222p p a b b ab b +-+--=-=. 综上得()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-. …………14分。
