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3．2 函数的基本性质 3．2.1 函数的单调性与最值教材要点要点一 函数最大(小)值设D 是函数f (x )的定义域，I 是D 的一个非空的子集．(1)如果有a ∈D ，使得不等式f (x )≤f (a )对一切x ∈D 成立，就说f (x )在x ＝a 处取到最大值M ＝f (a )，称M 为f (x )的最大值，a 为f (x )的最大值点；(2)如果有a ∈D ，使得不等式f (x )≥f (a )对一切x ∈D 成立，就说f (x )在x ＝a 处取到最小值M ＝f (a )，称M 为f(x )的最小值，a 为f (x )的最小值点．状元随笔 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y ＝－x 2(x ∈R )的最大值是0，有f (0)＝0.要点二 增函数与减函数的定义状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1＜x 2； (3)属于同一个单调区间． 要点三 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)________，区间I 叫作y ＝f (x )的________．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，+∞)上单调递减．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f (x )≤1恒成立，则f (x )的最大值是1.( )(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，+∞).( )(4)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y ＝f (x )在区间[a ，c ]上在x ＝b 处有最小值f (b )．( )2．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调递减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(−∞，34]D ．[34，+∞)3．(多选)如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的是( )A ．f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2＞0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0C ．f (a )≤f (x 1)＜f (x 2)≤f (b )D ．f (x 1)＞f (x 2)4．函数f (x )在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．题型1 利用图象求函数的单调区间例1 已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.(1)将函数写成分段函数的形式；(2)画出函数的图象；(3)根据图象写出它的单调区间．方法归纳(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间．(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．跟踪训练1 (1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3，1)∪(1，4)B．(－5，3)∪(−1，1)C．(－3，－1)，(1，4)D．(－5，－3)，(－1，1)(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是__________，递减区间是__________________．题型2 函数的单调性判断与证明例2 用定义证明函数f(x)＝x＋k(k＞0)在(0，＋∞)上的单调性．x方法归纳利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 已知函数f (x )＝xx 2+4，判断并用定义证明f (x )在(0，＋∞)上的单调性．题型3 函数单调性的应用 角度1 比较大小例3 已知函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数，则( ) A ．f (34)＞f (a 2－a ＋1) B ．f (34)＜f (a 2－a ＋1)C ．f (34)≥f (a 2－a ＋1) D ．f (34)≤f (a 2－a ＋1)状元随笔 利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．角度2 解不等式例4 f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，若f (m －1)＞f (2m －1)，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．0＜m ＜32 C ．－1＜m ＜3D ．－12＜m ＜32状元随笔 利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所有自变量都必须在函数的定义域内．角度3 利用函数的单调性求参数的取值范围例5 若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝2m在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范围x+1是( )A．(－∞，0)∪(0，1] B.(−1，0)∪(0，1]C．(0，＋∞) D．(0，1]方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．角度4 求函数的最值例6 已知函数f(x)＝2(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．x−1方法归纳1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 图象的对称轴为直线x ＝2，则下列关系式正确的是( )A ．f (－1)＜f (1)＜f (2)B ．f (1)＜f (2)＜f (－1)C ．f (2)＜f (1)＜f (－1)D ．f (1)＜f (－1)＜f (2)(2)函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )＞f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，+∞)(3)已知函数f (x )＝|2x －a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________． (4)已知函数f (x )＝32x−1，求函数f (x )在[1，5]上的最值．易错辨析 忽视函数的定义例7 已知函数f (x )＝{−x 2−ax −5(x ≤1)，ax(x ＞1)，是R 上的增函数，则a 的取值范围是( )A ．－3≤a ＜0B ．a ≤－2C ．a ＜0D ．－3≤a ≤－2解析：函数f (x )＝{−x 2−ax −5(x ≤1)，ax (x ＞1)，是R 上的增函数，则f (x )＝－x 2－ax －5(x ≤1)单调递增，故它的对称轴－a 2≥1，即a ≤－2，此时f (x )＝ax (x ＞1)也单调递增，所以a ＜0，要保证在R 上是增函数．还需在x ＝1处满足－12－a ×1－5≤a1，即a ≥－3.综上所述，－3≤a ≤－2.答案：D 易错警示课堂十分钟1．(多选)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y ＝f (x )的图象，则下列关于函数f (x )的说法正确的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1，4]上单调递增C ．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减D ．函数在区间[－5，5]上没有单调性 2．函数y ＝1x−1的单调减区间是( )A ．(－∞，1)，(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(1，+∞) C{x ∈R |x ≠1}D ．R3．函数y ＝2x+1在[2，3]上的最小值为( ) A ．1B ．13 C ．23D ．124．设关于x 的函数y ＝(k －2)x ＋1是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 5．已知f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，求x 的取值范围．3．2 函数的基本性质3．2.1 函数的单调性与最值新知初探·课前预习要点二f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 增函数减函数要点三单调性单调区间[基础自测]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√，+∞).2．解析：借助图象得y＝－2x2＋3x的单调减区间是[34答案：D3．解析：由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C、D不正确．故选AB.答案：AB4．解析：由图象知点(1，2)是最高点，点(－2，－1)是最低点，∴y max＝2，y min＝－1.答案：－1，2题型探究·课堂解透例1 解析：(1)f (x )＝x 2－4|x |＋3＝{x 2−4x +3，x ≥0，x 2+4x +3，x <0.(2)如图．(3)由图象可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2)．跟踪训练1 解析：(1)在某个区间上，若函数y ＝f (x )的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．(2)y ＝－x 2＋2|x |＋3＝{−x 2+2x +3，x ≥0，−x 2−2x +3，x <0.画出函数图象如图，由图可知函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递增区间是：(－∞，－1]，(0，1].递减区间是：[－1，0]，[1，＋∞)．答案：(1)C (2)(－∞，－1]，(0，1] [－1，0]，[1，＋∞) 例2 证明：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1+k x 1)−(x 2+k x 2)＝(x 1－x 2)＋(k x 1−k x 2)＝(x 1－x 2)＋k ·x 2−x1x 1x2＝(x 1－x 2)－k ·x 1−x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)·x 1x 2−k x 1x 2，因为0<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0.当x 1，x 2∈(0，√k ]时，x 1x 2－k <0⇒f (x 1)－f (x 2)>0，此时函数f (x )为减函数； 当x 1，x 2∈(√k ，＋∞)时，x 1x 2－k >0⇒f (x 1)－f (x 2)<0，此时函数f (x )为增函数． 综上，函数f (x )＝x ＋kx (k >0)在区间(0，√k ]上为减函数，在区间(√k ，＋∞)上为增函数．跟踪训练2 解析：f (x )在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减． 证明如下：∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝x 1x +124－x2x +224＝x 1(x +224)－x2(x +124)(x +124)(x +224)＝(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x +124)(x +224)，因为0<x 1<x 2，所以x 2−x 1>0，(x +124)(x 22＋4)>0.当x >2时，x 1x 2−4>0，(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x +124)(x +224)>0，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时f (x )单调递减． 当0<x <2时，x 1x 2−4<0，(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x +124)(x +224)<0，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，此时f (x )单调递增．所以，f (x )在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．例3 解析：∵a 2－a ＋1＝(a −12)2＋34≥34.又∵函数y ＝f (x )在[0，＋∞)是减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f (34).故选C.答案：C例4 解析：由题意知{−2<m −1<2，−2<2m −1<2，m −1<2m −1，解得0<m <32.故选B.答案：B例5 解析：函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1，g (x )＝2m x+1的图象由y ＝2m x 的图象向左平移一个单位长度得到的，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得m 的取值范围是(0，1].故选D.答案：D例6 解析：∀x 1，x 2∈[2，6]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1−1−2x 2−1＝2[(x 2−1)−(x 1−1)](x 1−1)(x 2−1)＝2(x 2−x 1)(x 1−1)(x 2−1). 由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以，函数f (x )＝2x−1在区间[2，6]上单调递减．因此，函数f (x )＝2x−1在区间[2，6]的两个端点处分别取得最大值与最小值．在x ＝2时取得最大值，最大值是2；在x ＝6时取得最小值，最小值是0.4.跟踪训练3 解析：(1)因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x ＝2，所以f (x )在(－∞，2]上单调递减，因为2>1>－1，所以f (2)<f (1)<f (－1)．故选C.(2)因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.故选C.(3)f (x )＝|2x －a |＝{2x −a ，x ≥a 2−2x +a ，x <a 2， 所以f (x )＝|2x －a |的单调递减区间是(−∞，a 2)，单调递增区间是[a 2，+∞)， 若函数f (x )＝|2x －a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 2＝3，解得a ＝6.(4)先证明函数f (x )＝32x−1的单调性，设x 1，x 2是区间(12，+∞)上的任意两个实数，且x 2>x 1>12， f (x 1)－f (x 2)＝32x1−1−32x 2−1＝6(x 2−x 1)(2x 1−1)(2x 2−1). 由于x 2>x 1>12，所以x 2－x 1>0，且(2x 1－1)·(2x 2－1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )＝32x−1在区间(12，+∞)上是单调递减的，所以函数f (x )在[1，5]上是单调递减的，因此，函数f (x )＝32x−1在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f (1)＝3，最小值为f (5)＝13.答案：(1)C (2)C (3)6 (4)见解析 [课堂十分钟]1．解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不一定能用“∪”连接．故选ABD.答案：ABD2．解析：单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C ，D 不对，B 表达不当．故选A.答案：A3．解析：∵函数y ＝2x+1在[2，3]上单调递减，∴当x ＝3时，y ＝2x+1有最小值12. 故选D.答案：D4．解析：f (x )为R 上的增函数，则k －2>0，k >2.答案：(2，＋∞)5．解析：∵f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，∴{−1≤x −2≤1，−1≤1−x ≤1，x −2<1−x ，解得1≤x <32， 所以x 的取值范围为1≤x <32.。
第三章 连接的构造与计算1、下图中I32a 牛腿用对接焊缝与柱连接。
钢材为Q235钢，焊条为E43型，手工焊，用II 级焊缝的检验质量标准。
对接焊缝的抗压强度设计值2215/w f f N mm =，抗剪强度设计值2125/w v f N mm =。
已知：I32a 的截面面积267.12A cm =；截面模量3692.2x W cm =，腹板截面面积225.4w A cm =。
试求连接部位能承受的外力F 的最大值（施焊时加引弧板）。
°图 牛腿连接示意图解：T V 707.0=，T N 707.0=)(4.141200707.0mm N T T M ⋅=⨯=(1) 221125104.25707.0mm N T A V w =⨯==τ )(1049.4707.0104.25125521N T ⨯=⨯⨯=∴(或：2211251095.032707.0mm N T A Vw =⨯⨯==τ )1037.551N T ⨯=∴(2) 2222154.141707.0mm N WT A T =+=σ2232215)102.6924.1411012.67707.0(mm N T =⨯+⨯∴ )(1094.652N T ⨯=∴(3) 折算应力（在顶部中点亦可）()2151.11.1000555.0000278.03000276.03)000233.0104.30707.0( 000278.0104.25707.0000276.01605.26160102.6924.1411012.67707.03322212133213321333231⨯=≤=⨯+=+=⨯==⨯==-⨯⨯+⨯=w f f T T T T T T T T T τσττσ或得：)(1.4263KN T ≤ （KN T f T 3wf 33.484 1.10.000488≤≤或）由T 1、T 2、T 3中取最小值，得T ＝426.1（KN ）m KN M Nmm ⋅=⨯⨯=4104105 N V 5104⨯=f ff f h h W M 6.4283.93331046=⨯==σ22.1=f β， f ff f h h A V 6.14282801045=⨯==τ 2002.1471)6.1428()22.16.428()(2222≤=+=+ff f f f f h h h τβσ mm h f 4.7≥，取mm h f 8=.3、如图所示的牛腿用角焊缝与柱连接。
第3章第2节[基础达标]题组一目的基因的筛选与获取1．在基因工程的基本操作程序中，目的基因的获取途径不包括()A．从基因文库中获取目的基因B．利用PCR技术扩增目的基因C．人工合成目的基因D．利用DNA分子杂交技术，获取目的基因【答案】D【解析】可以从基因文库中获取目的基因，A不符合题意；获取目的基因的方法之一是PCR技术，B不符合题意；可以通过人工合成的方法获取目的基因，C不符合题意；DNA 分子杂交技术不能用于获取目的基因，D符合题意。
2．(2023·广东广州阶段练习)PCR是一种体外迅速扩增DNA片段的技术。
PCR过程一般经历下述30多次循环：95 ℃下使模板DNA变性、解链→55 ℃下复性(引物与DNA模板链结合)→72 ℃下引物链延伸(形成新的DNA链)。
下列有关PCR过程的叙述中不正确的是() A．变性过程中破坏的是DNA分子内碱基对之间的氢键B．复性过程中引物与DNA模板链的结合是依靠碱基互补配对原则完成C．延伸过程中需要DNA聚合酶、A TP、四种核糖核苷酸D．PCR与细胞内DNA复制相比所需酶的最适温度较高【答案】C【解析】变性是DNA分子解旋，该过程中破坏的是DNA分子内碱基对之间的氢键，A 正确；复性过程中引物与DNA模板链的结合是依靠碱基互补配对原则完成的，B正确；延伸是合成DNA的子链，所以该过程中需要DNA聚合酶、A TP、四种脱氧核糖核苷酸，C错误；PCR与细胞内DNA复制相比所需酶的最适温度较高，因为PCR过程需要高温变性，即使在复性时的温度也比较高，D正确。
题组二基因表达载体的构建3．下列对基因表达载体构建的叙述，不正确的是()A．需要限制酶和DNA连接酶等特殊工具B．基因表达载体中有的含有启动子和密码子C．标记基因不一定是抗生素抗性基因D．基因表达载体的构建是基因工程的核心【答案】B【解析】基因表达载体是目的基因与载体的结合，在此过程中通常用同一种限制酶切割目的基因与载体，用DNA连接酶将相同的末端连接起来，A正确；基因表达载体含有启动子、终止子、标记基因和目的基因，密码子位于mRNA上，B错误；抗生素抗性基因可作为标记基因，但标记基因不都是抗生素抗性基因，C正确；基因表达载体的构建是基因工程的核心，在细胞外进行，使目的基因在受体细胞中稳定存在并且可以遗传给下一代并表达和发挥作用，D正确。
第三章习题解答3.1 简述数据链路层的功能。
答：数据链路层是在物理层提供的比特流传送服务的基础上，通过一系列的控制和管理，构成透明的、相对无差错的数据链路，向网络层提供可靠、有效的数据帧传送的服务。
其主要功能包括：链路管理，帧定界，流量控制，差错控制，数据和控制信息的识别，透明传输，寻址。
3.2 试解释以下名词：数据电路，数据链路，主站，从站，复合站。
答：数据电路是一条点到点的，由传输信道及其两端的DCE构成的物理电路段，中间没有交换节点。
数据电路又称为物理链路，或简称为链路。
数据链路是在数据电路的基础上增加传输控制的功能构成的。
一般来说，通信的收发双方只有建立了一条数据链路，通信才能够有效地进行。
在链路中，所连接的节点称为“站”。
发送命令或信息的站称为“主站”，在通信过程中一般起控制作用；接收数据或命令并做出响应的站称为“从站”，在通信过程中处于受控地位。
同时具有主站和从站功能的，能够发出命令和响应信息的站称为复合站。
3.3 数据链路层流量控制的作用和主要功能是什么？答：流量控制简称“流控”，是协调链路两端的发送站、接收站之间的数据流量，以保证双方的数据发送和接收达到平衡的一种技术。
在计算机网络中，由于接收方往往需要对接收的信息进行识别和处理，需要较多的时间，通常发送方的发送速率要大于接收方的接收能力。
当接收方的接收处理能力小于发送方的发送能力时，必须限制发送方的发送速率，否则会造成数据的丢失。
流量控制就是一种反馈机制，接收方随时向发送方报告自己的接收情况，限制发送方的发送速率。
保证接收方能够正常、有序地接收数据。
3.4 在停止-等待协议中，确认帧是否需要序号？为什么？答：在停止-等待协议中，由于每次只确认一个已经发送的帧，确认帧可以不需要序号。
但在一些特殊情况下会出现问题。
如果发送方在超时重发一个帧后又收到了迟到的确认，就不能确定该应答是对哪一个帧的确认，并可能导致随后的传送过程重新差错。
3.5 解释为什么要从停止-等待协议发展到连续ARQ协议。
