2016年高二人教A版必修5系列教案：3.4基本不等式2

[学习目标]1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．基本不等式求最值的条件：(1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一利用基本不等式求最值例1(1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有() A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____． (3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为____． 答案(1)D(2)－2(3)3解析(1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎡⎦⎤（x －2）＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2， 当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立， ∴y 的最小值为－2.(3)xy ＝12·⎝⎛⎭⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 422 ＝12·⎝⎛⎭⎫122＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立， ∴xy 的最大值为3.反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪训练1(1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是() A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________． 答案(1)D(2)3＋2 2解析(1)a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝a (a －b )＋1a （a －b ）＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y≥3＋2y x ·2x y＝3＋22， 当且仅当y x ＝2x y， 即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立． 题型二基本不等式的综合应用例2(1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy () A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e答案C 解析由题意得⎝⎛⎭⎫142＝14ln x ln y ， ∴ln x ln y ＝14， ∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0，又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1，∴xy ≥e ，即xy 有最小值为e.(2)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围． 解设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3， ∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15， ∴a ≥15. 反思与感悟将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：(1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .跟踪训练2(1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为() A ．2B ．4C ．1D.12(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________．答案(1)B(2)18解析(1)由题意得，3a ·3b ＝(3)2，即a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立． (2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)，代入得－2m －n ＋1＝0，∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝⎛⎭⎫2m ＋n 22＝18， 当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立． 题型三基本不等式的实际应用例3要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9000.①广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0.广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18500＋25a ＋40b ≥18500＋225a ×40b＝18500＋21000ab ＝24500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24500，故广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24500cm 2. 反思与感悟利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值．(4)正确写出答案．跟踪训练3一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．答案8解析设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v 202v ＝400v ＋16v 400≥2400v ×16v 400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v 400，即v ＝100时，等号成立， 此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是() A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0＜x ＜π) C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81答案C解析A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C.2．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于() A ．1＋2B ．2C ．3D ．4答案B解析y ＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1 ≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A ．6.5mB ．6.8mC ．7mD ．7.2m答案C解析设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C.4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________．答案2解析①当x ∈(0，2)时，x ，4－2x ＞0，f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎡⎦⎤2x ＋（4－2x ）22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立．②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________． 答案1解析∵x ＜54，∴4x －5＜0， ∴y ＝4x －5＋14x －5＋3 ＝－⎣⎡⎦⎤（5－4x ）＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋p x(p >0)的单调性求得函数的最值．2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。

3.4 基本不等式2b a ab +≤地 點：合肥26中學班 級 ：高一（四）授課人：代詩平3.4 基本不等式ab ≤2b a + [教學目標]1. 探索並瞭解基本不等式的證明過程。

2. 從基本不等式的證明過程瞭解不等式證明的常用思路：由條件到結論，或由結論到條件。

3. 能利用基本不等式進行簡單的應用。

4. 通過對問題的探究思考、廣泛參與，培養學生嚴謹的思維習慣和數形結合的思想。

5. 通過對問題的引入培養學生的愛國主義情操。

[重 點]： 應用數形結合的思想理解基本不等式，並從不同角度探究基本不等式2b a ab +≤。

[難 點]：從不同角度探索基本不等式的證明過程。

[教學方法]：啟發、引導、講解。

[教學準備]：Z+Z 課件[教學過程]：一、 導入新課（多媒體展示24屆國際數學家大會會標）問：你能在這個圖中找出一些相等關係或不等關係嗎？如何尋找？（引導學生作出其幾何圖形，多媒體展示該幾何圖形。

）問：四個全等的直角三角形的面積之和與大正方形的面積有什麼關係呢？ 答：四個全等的直角三角形的面積之和不大於大正方形的面積。

（多媒體動態演示變化過程，引導學生注意何時相等。

）問：同學們已學過從具體情境中抽象出不等關係並把其表示出來的相關練習，請同學們用不等式表示上述不等關係。

為了表示方便，我們可設直角三角形的兩直角邊的長分別為b a ,。

答：四個全等的直角三角形的面積之和為ab 2，大正方形的面積為22b a +,則 ab b a 222≥+當直角三角形變為等腰直角三角形,即b a =時,正方形EFGH 縮為一個點時有ab b a 222=+。

問：如何證明 ab b a 222≥+，當且僅當b a =時取等號。

答：由()02222≥-=-+b a ab b a ，所以ab b a 222≥+ 當且僅當()02=-b a ，即b a =時取等號。

[板書]：一般的，對於任意實數b a ,，都有ab b a 222≥+，當且僅當b a =時取等號。

§3.42a b ab + (2) 班级 姓名 学号 学习目标 通过例题的研究，2a b ab +，并会用此定理求某些函数的最大、最小值. 学习过程一、课前准备 复习1：已知0m >，求证：24624m m +≥.复习2：若0x >，求9()4f x x x =+的最小值二、新课导学※ 学习探究 探究1：若0x <，求9()4f x x x =+的最大值.探究2：求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值.※ 典型例题例1某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.例2 已知0,0x y>>，满足21x y+=，求11x y+的最小值.总结：注意“1”妙用.※动手试试练1. 已知a，b，c，d都是正数，求证：()()4ab cd ac bd abcd++≥.练2. 若0x >，0y > ，且281x y+=，求xy 的最小值.总结提升规律技巧总结:利用基本不等式求最值时，各项必须为正数，若为负数，则添负号变正. ※知识拓展1. 基本不等式的变形：222()_____2a b a b ++；222()____22a b a b ++；22___2a b ab +；2___()2a b ab +；2()____4a b ab + 2. 一般地，对于n 个正数12,,,(2)n a a a n ≥，都有，121n n a a a a n ++≥12n a a a ===时取等号）3. 222(,,)a b c ab ac bc a b c R ++≥++∈当且仅当a b c ==时取等号）1. 在下列不等式的证明过程中，正确的是（ ）.A ．若,a b R ∈，则2a b b a +≥B ．若,a b R +∈，则lg lg a b +≥C ．若x R -∈，则2222x x x +≥-=-D ．若x R -∈，则332x x -+≥2. 已知54x <，则函数14245y x x =-+-的最大值是（ ）. A ．2 B ．3 C ．1 D ．123. 若,x y R +∈，且1x y +=，则11x y+的取值范围是（ ）. A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞C．(4,)+∞D．[4,)+∞4. 若,x y R+∈，则14()()x yx y++的最小值为.5. 已知3x>，则1()3f x xx=+-的最小值为.1. 已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？2. 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为122m，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

人教版高中必修5-3.4 基本不等式教学设计一、教学目标1.理解基本不等式的概念和性质，掌握基本不等式的证明方法。

2.领会基本不等式的应用，能够解决与基本不等式相关的实际问题。

二、教学重难点1.基本不等式的概念、性质和证明方法。

2.基本不等式的应用，特别是在解决实际问题中的应用。

三、教学过程1. 导入（5分钟）•出示几组不等式，让学生讨论它们的大小关系，并引出不等式的概念。

•引导讨论：如何比较两个式子的大小？如何证明一个不等式？2. 概念解释（10分钟）•讲解基本不等式的含义和特征，例如：等式左边是次数相同的若干个正数的积，等式右边是它们的算术平均数。

•比较若干个不等式，引导学生进一步理解基本不等式。

3. 性质讲解（10分钟）•讲解基本不等式的性质，如：等号成立的条件是什么？如何把一个不等式化成另一个等价的不等式？•强调基本不等式在数学证明中的重要性，并且说明它在实际问题中的作用。

4. 证明方法（20分钟）•讲解基本不等式的证明方法，包括：归纳法证明、换元法证明、逆证法证明等。

•强调证明方法的逻辑性和连续性，让学生理解证明过程中的思路和方法。

5. 应用实例（25分钟）•提供几组实际问题，让学生运用基本不等式解决问题。

•让学生在小组内讨论，并结合具体案例，演示基本不等式的应用过程。

6. 思考拓展（5分钟）•提出思考题：你能否思考出基本不等式的一些扩展形式？它们有什么应用场景？•让学生结合实际情况，思考基本不等式的推广和拓展，激发学生的创造性思维。

4. 总结反思（5分钟）•点评学生的表现，并对基本不等式的学习做一个简要总结，强调它在数学学习和实际生活中的重要性。

四、教学评价•采取小组讨论和集体评价方法，对学生进行综合评价。

•对学生在基本不等式的理解、应用和创造性思维等方面进行评价，以期提高学生数学思维和实际问题解决能力。

五、教学反馈•教师根据学生的反馈情况，及时调整教学方法和教学策略，以达到更好的教学效果。

第一課時 3.4基本不等式 2a b ab +≤（一） 教學要求：通推導並掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，並掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等； 教學重點：應用數形結合的思想理解不等式並從不同角度探索不等式2a b ab +≤的證明過程；教學難點：理解“當且僅當a=b 時取等號”的數學內涵教學過程：一、復習準備：1. 回顧：二元一次不等式（組）與簡單的線形規劃問題。

2. 提問：如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。

你能在這個圖案中找出一些相等關係或不等關係嗎？二、講授新課：1. 教學：基本不等式 2a b ab +≤①探究：圖形中的不等關係，將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD 中右個全等的直角三角形。

設直角三角形的兩條直角邊長為a,b 那麼正方形的邊長為22a b +。

這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab ，正方形的面積為22a b +。

由於4個直角三角形的面積小於正方形的面積，我們就得到了一個不等式：222a b ab +≥。

當直角三角形變為等腰直角三角形，即a=b 時，正方形EFGH 縮為一個點，這時有222a b ab +=。

（教師提問→學生思考→師生總結）②思考：證明一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式：如果a>0,b>0,我們用分別代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我們把上式寫作：(a>0,b>0)2a b ab +≤④從不等式的性質推導基本不等式2a b ab +≤： 用分析法證明：要證 2a b ab +≥(1)， 只要證 a+b ≥ (2)， 要證（2），只要證 a+b- ≥0（3）要證（3）， 只要證（ - ）2（4）， 顯然，（4）是成立的。

3.42a b +≤ (2)一、学习目标(一)知识与技能目标1、进一步掌握基本不等式;2、会应用此不等式解决一些有关证明及求最值的问题;(二)过程与方法目标1、通过学生对问题的探究和归纳总结出一般性的解题方法和规律，进一步使学生掌握所学知识点的结构特征和取“=”条件.2、理解基本不等式的几何意义，并能解决一些简单实际问题.(三)情感态度与价值观目标通过运用公式的熟练变形提高学生分析问题和解决问题的能力.二、阅读要求与检测预习课本92-101页并回答下列问题：22810,,,.x x x x ≠=+已知当时的值最小最小值是三、要点精讲与典型例题2223331:,().222:,,,3().:,,,0,0.3:,,,).3a b a b ab ab a b c R a b c abc a b c a b c R a b c a b c a b c a b c R a b c +++++≤≤∈++≥==∈++<++≥++∈≥==、公式的等价变形、定理如果那么当且仅当时取等号说明这里若就不能保证此公式成立的充要条件为、推论如果那么当且仅当时取等号问题一：利用均值不等式求函数最值-----注意变形途径2,.11(1)(0);(2)(3);2313(3)(13)(0);(4)2(0)3x y x x y x x x x y x x x y x x x=+<=+>-=-<<=+>例1、求下列函数的最值并求出相应的值211:(1)[()]22()1(0)2211(2)(3)3353313(3)453113(13)1(3)(13)3(13)()3321213136y x x x x x x x y x y x x x x x x x y x x x y x x x x x x x y =+=--+≤-=-=<=-=+=+-+≥=--=->=-+-=-=-≤==-=解当且仅当即取最大值当且仅当即时取最小值当且仅当即时22221123333(4)0,20,02232232,.,32x x y x x x x x x x x x y x >∴>>∴=+=++≥===取最大值当且仅当即故当有最小值 2311,().1x x x f x x -+>-=+变式一、当时求的值域222:1,10.31(1)5(1)55()(1)55111(1)51"".()5,).x x x x x x f x x x x x x x f x >-∴+>-++-++∴===++-≥++++===∴+∞解当且仅当，即时取的值域为111,.x y R x y u x y+∈+==+变式二、已知、且求的取值范围 111:24,"".211[4,).x y x y x y u x y x y x y y x u x y ++=+=+=++≥===∴=++∞解当且仅当取号的取值范围为42(1),,(2)1,1100,lg lg (3)21,24x y x x a a xx y xy x y x y +≥>>=+=+例、若对一切正数都成立则的最大值为 已知且满足则的取值范围是 已知则的取值范围是2222:(1)4lg lg lg()2(2)lg lg ()()()110222(0,1]1(3)24223)x y x y x y xy x y x y x y +≤=====+=+≥====+∞解当且仅当等号成立故取值范围是等号成立故取值范围是问题二:利用均值不等式解决实际问题23,4800,3.150,120,??m m 例、某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池其容积为深为如果池底每平方米的造价为元池壁每平方米的造价为元怎样设计水池能使总造价最低最低总造价是多少3:,,,,4800z=150120(2323)240000720()34800,348001600,240000720()240000720240000720297600,40,,xm ym z x y x y m xy xy x y z z x y x y ⨯+⨯+⨯=++=⇒=++≥+⨯≥+⨯≥===解设底面的长为宽为水池总造价为元根据题意有由容积为可得由基本不等式与不等式的性质可得即当即时等号成立所以将水,297600池的地面设计成边长为40m 的正方形时总造价最低最低总造价是元四、自主练习题11sin (0)2sin y x x xπ=+<<、函数 5,.a b ab a b ab =++2、已知正数、满足求的取值范围:55501)7[7)ab a b ab ab ab =++≥∴-≥≥≤∴≥+++∞解即的取值范围是五、点评及总结1.利用均值定理证明不等式时,往往需要拆(添)项,其目的：一是创设一个应用基本不等式的条件(如正数、定值等)；二是使等号（或不等号）成立的条件.:(1)(2)(3).2.平均值定理主要解决的问题和与平方和与乘积之间的关系；利用定理进行放缩变换；利用定理求最值 六、课后作业：见作业本。

3.4基本不等式2b a ab +≤ 一、三維目標： 1、知識與技能： 理解基本不等式的內容及其證明，能應用基本不等式解決求最值、證明不等式、比較大小、求取值範圍等問題 2、過程與方法：能夠理解並建立不等式的知識鏈3、情感、態度與價值觀：通過運用基本不等式解答實際問題，提高用數學手段解答現實生活中的問題的能力和意識4、本節重點：應用數形結合的思想，理解基本不等式，並從不同角度探索基本不等式的證明過程5、本節難點：應用基本不等式求最值二、課程引入：第24屆世界數學家大會在北京召開，會標設計如圖：四個以a ，b 為直角邊的直角△ABC ，組成正方形ABCD則22b a DA CD BC AB +====22b a S ABCD += ab S ABE 21=∆ 如圖可知：ABE ABCD S S ∆≥4 即ab b a 222≥+當且僅當小正方形EFGH 面積為0時取等號，即b a b a ==-,0時取得等號三、新課講授：（一）基本不等式的推證：1、重要不等式與基本不等式由引入中提到的重要不等式ab b a 222≥+，將其中的b a ,用b a ,代換，得到基本不等式2b a ab +≤，當且僅當b a =時，即b a =時取得等號。

特別注意，重要不等式ab b a 222≥+的適用範圍是全體實數，而基本不等式2b a ab +≤的使用需要0,0>>b a 2、基本不等式的幾種表述方式平均數角度：兩正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數（均值不等式定理） 數列角度：兩正數的等差中項不小於它們的等比中項探究：基本不等式的幾何表示：半徑不小於半弦長3、分析法推證基本不等式要證2b a ab +≤，只需證明ab b a 2≥+（2）。

要證明（2）只需證明02≥-+ab b a （3）。

要證明（3）只需證明0)(2≥-b a （4）。

（4）式顯然成立，故得證。

（二）基本不等式的應用與提高：1、你是設計師！（1）春天到了，學校決定用籬笆圍一個面積為100平米的花圃種花。

第二课时 基本不等式（二） 一、教学目标（1）知识与技能：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题（2）过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。

（3）情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性二、教学重点、教学难点教学重点：正确运用基本不等式教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件三、教学流程（一）复习引入1．基本不等式：如果ab b a b a 2R,,22≥+∈那么)""(号时取当且仅当==b a 如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数．我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：练习)0_______(___432)()1(>--=x xx x f 两两两)0_____(___sin 21sin )2(<<-+x xx π两两两.24)(22)3(b a x f b a b a 两两两两两两两两两两两+==+,4)(15.0222422222224)(222的最小值是所以时取等号，即且当且仅当解：x f b a b a b a x f b a b a b a ===+===≥+=+=+小结：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a ＝b 时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立.（二）举例分析例1、（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。

明目标、知重点 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．1．用基本不等式求最值的结论(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值为s 24.(2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值为2p . 2．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．[情境导学]前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把a ＋b2叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫做正数a 、b 的几何平均数．本节我们就最值问题及生活中的实际例子研究它的重要作用． 探究点一 基本不等式与最值思考1 已知x ，y 都是正数，若x ＋y ＝s (和为定值)，那么xy 有最大值还是最小值？如何求？ 答 xy 有最大值．由基本不等式，得s ＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤s 24，当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24.思考2 已知x ，y 都是正数，若xy ＝p (积为定值)，那么x ＋y 有最大值还是最小值？如何求？ 答 x ＋y 有最小值．由基本不等式，得x ＋y ≥2xy ＝2p .当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p .例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x ，即x 2＝4，x ＝2时取等号．∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32. ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6， 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以x ＋4x －2的最小值为6.(4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y ＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2(x －1)(y －9)＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝12， 当且仅当3x ＝12x ，即x ＝2时取等号．∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0.∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3 ＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.(3)方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝8y x ＋2xy＋10≥2 8y x ·2xy＋10＝18. 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.探究点二 基本不等式在实际问题中的应用例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解 (1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ， 则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y ) m. 由x ＋y2≥xy ，可得x ＋y ≥2100，2(x ＋y )≥40. 等号当且仅当x ＝y 时成立，此时x ＝y ＝10.因此，这个矩形的长、宽都为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m ；(2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．跟踪训练2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨． 由题意可知，面粉的保管等其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少元？解 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003x m.又设水池总造价为y 元，根据题意，得 y ＝150×4 8003＋120×(2×3x ＋2×3×4 8003x )＝240 000＋720×⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x ≥240 000＋720×2x ·1 600x＝297 600(元)，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，y 取得最小值297 600.答 水池底面为正方形且边长为40 m 时总造价最低，最低总造价为297 600元．反思与感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则 t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v202v ＝400v ＋16v400≥2 400v ×16v400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时等号成立，此时t ＝8小时．1．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2 答案 C解析 由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C. 2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1答案 D解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －2)＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C.4．已知0<x <1，则f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x的最大值是________． 答案 2－25解析 当0<x <1时，log 2x <0， 所以f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 2x )＋5－log 2x ≤2－2 5. 当且仅当－log 2x ＝5－log 2x ，即(log 2x )2＝5，亦即x ＝2－5时，等号成立．[呈重点、现规律] 1．用基本不等式求最值(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px (p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．一、基础过关1．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.14答案 A解析 ∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0， lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2， 即x ＝y ＝100时取等号．2．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在 答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立．3．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4 答案 B解析 ∵x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2 (x －1)·1x －1＋6＝8. ∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．4．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5答案 C解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1.∴1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(a ＋b 2)＝52＋(2a b ＋b 2a )≥52＋2 2a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a ＝43时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.5．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为______． 答案 14解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a 、b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14.6．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨． 答案 20解析 总运费与总存储费用之和 f (x )＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1 600x≥24x ·1 600x＝160，当且仅当4x ＝1 600x，即x ＝20吨时，f (x )最小．7．设0<x <2，求函数y ＝3x (8－3x )的最大值． 解 ∵0<x <2，∴0<3x <6,8－3x >2>0， ∴y ＝3x (8－3x )≤3x ＋(8－3x )2＝82＝4，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号．∴当x ＝43时，y ＝3x (8－3x )有最大值4.8．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)? 解 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知， 得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x ，即y ＝1＋10x ＋x10(x ∈N *)．由基本不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元． 二、能力提升9．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋yx ≥1＋1＋2＝4. 当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号． 10．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3 答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 11．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________． 答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥ 2 t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9. 12．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N )， f (x )＝50x ＋20 000x＋3 000 ≥2 50x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)．当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时上式取“＝” 因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．三、探究与拓展13．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解 (1)设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则由条件知：4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .方法一 由于2x ＋3y ≥26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272， 即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．方法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y . ∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎫9－32y y ＝32(6－y )·y . ∵0<y <6，∴6－y >0，∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6－y )＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .方法一 ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．方法二 由xy ＝24，得x ＝24y .∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6⎝⎛⎭⎫16y ＋y≥6×2 16y ·y ＝48.当且仅当16y ＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．。