《精品》20182019学年高一数学必修五《数列》单元过关B卷

第一章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若数列{√2n +1}的第k 项等于3,则第3k 项等于 ( )A.3B.5C.7D.9 解析:依题意√2k +1=3,所以k=4,因此第3k 项即第12项等于√2×12+1=5. 答案:B2.等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5=12,则{a n }的前7项和S 7=( )A.22B.24C.26D.28 解析:由等差数列的性质得a 3+a 4+a 5=3a 4=12,∴a 4=4,则S 7=7×(a 1+a 7)2=7a 4=28. 答案:D 3.等比数列{a n }中,a 2,a 6是方程x 2-34x+64=0的两根,则a 4等于( )A.8B.-8C.±8D.以上都不对解析:由已知得{a 2+a 6=34>0,a 2·a 6=64>0,所以a 2>0,a 6>0, 从而a 4>0,且a 42=a 2·a 6=64,故a 4=8.答案:A4.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=8,S 6=9,则a 7+a 8+a 9等于( )A.-18B.18C.578D.558解析:由于S 3,S 6-S 3,S 9-S 6成等比数列,又S 3=8,S 6=9,所以8,1,a 7+a 8+a 9成等比数列,故a 7+a 8+a 9=18.答案:B5.若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n-2),则a 1+a 2+…+a 10=( )A.15B.12C.-12D.-15 解析:∵a n =(-1)n (3n-2),∴a 1+a 2+…+a 10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15. 答案:A6.定义:在数列{a n }中,若满足a n+2a n+1−a n+1a n =d (n ∈N +,d 为常数),称{a n }为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{a n }中,a 1=a 2=1,a 3=3,则a 2 017a 2 015=( ) A.4×2 0172-1B.4×2 0182-1C.4×2 0152-1D.4×2 0162-1解析:因为a 1=a 2=1,a 3=3,所以a 3a 2−a 2a 1=2, 所以数列{a n+1a n }是以1为首项,2为公差的等差数列,所以a n+1a n =2n-1. 所以a 2 017a 2 015=a 2 017a 2 016·a 2 016a 2 015=(2×2 016-1)(2×2 015-1)=4×2 0152-1,故选C . 答案:C7.已知数列{a n }中,a n =12n+14,其前n 项和为S n ,则数列{1S n }的前8项和为( ) A.5845B.11645C.910D.95 解析:因为a n =12n+14,所以{a n }是等差数列.从而S n =n (34+12n+14)2=n (n+2)4, 于是1S n =4n (n+2)=2(1n -1n+2), 所以前8项和T 8=2(1-13+12-14+13-15+…+17-19+18-110)=11645. 答案:B8.在函数y=f (x )的图像上有点列(x n ,y n ),若数列{x n }是等差数列,数列{y n }是等比数列,则函数y=f (x )的解析:式可能为( )A.f (x )=2x+1B.f (x )=4x 2C.f (x )=log 3xD.f (x )=(34)x 解析:对于函数f (x )=(34)x 图像上的点列(x n ,y n ),有y n =(34)x n ,因为{x n }是等差数列,所以x n+1-x n =d.。

北师大版高中数学必修五习题课(1)课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题.2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，n ≥2.2．若数列{a n }为等差数列，则有： (1)通项公式：a n ＝__________；(2)前n 项和：S n ＝______________＝_________________________________________. 3．等差数列的常用性质(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则______________________． (2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则 S k ，S 2k －S k ，____________成等差数列．一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－82．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．273．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100 D ．－374．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A．120 B．105C．90 D．755．若{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则S n>0成立的最大自然数n为( )A．11 B．12C．13 D．146．在等差数列{a n}中，a1＝－2 008，其前n项和为S n，若S2 0082 008－S2 0062 006＝2，则S2 012等于( )A．－2 012 B．2 012C．6 033 D．6 036二、填空题7．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S p＝S q(p，q∈N＋且p≠q)，则S p＋q＝________. 9．等差数列{a n}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和S n取得最大值的自然数n是______．10．已知数列{a n}中，a1＝20，a n＋1＝a n＋2n－1，n∈N＋，则数列{a n}的通项公式a n＝________.三、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？12．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若数列{b n}是等差数列，且b n＝S nn＋c，求非零常数c.能力提升13．在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且|a10|<a11，S n为{a n}的前n项的和，则下列结论正确的是( )A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………………根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是______________．1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．习题课(1) 答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.(1)a 1＋(n －1)d (2)na 1＋n(n －1)d 2 n(a 1＋a n )2 3.(1)a m ＋a n ＝a p＋a q (2)S 3k －S 2k 作业设计 1．A2．C [∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝26.]3．C [设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′，则a 2＋b 2＝(a 1＋d)＋(b 1＋d ′)＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′)＝100. 又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0.∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d)＋(b 1＋36d ′)＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100.] 4．B [∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d>0， ∴a 1a 2a 3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80， ∴d ＝3，a 1＝2.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d)＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105.] 5．A [S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d<0，S 12＝(a 1＋a 12)·122＝0，n<12时，S n >0.]6．D [S n n ＝a 1＋(n －1)d2，∴S 2 0082 008－S 2 0062 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2. ∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 0112×2＝2 012×3＝6 036.] 7．80解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80. 8．0解析 设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q . 知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－b a.∴S p ＋q ＝a(p ＋q)2＋b(p ＋q)＝a(－b a )2＋b(－b a )＝b 2a －b2a＝0.9．5或6解析 d<0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>…. ∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值． 10．n 2－2n ＋21解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…， a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)． ∴a n ＝20＋(n －1)(2n －2)2＝n 2－2n ＋21.11．解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意， 有2n ＋n(n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有 2n ＋n(n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d>0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117， 又公差d>0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n(n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－nn ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．13．D [∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0，S 20＝20(a 1＋a 20)2.而a 1＋a 20＝a 10＋a 11，∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11， ∴a 10＋a 11>0，∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.又∵d ＝a 11－a 10>0. ∴S n >0 (n ≥20)．] 14.n 22－n 2＋3解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n ≥3)行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n2＋。

2018-2019学年人教B 版必修5 第2单元 数列 单元测试1．在数列1,2,,…中,是这个数列的第A ．16项B ．24项C ．26项D ．28项2．数列13,13-,527,781-,…的一个通项公式是 A ．a n =(-1)n+1213n n - B ．a n =(-1)n213n n - C ．a n =(-1)n+1213nn - D ．a n =(-1)n213nn - 3．若数列中,,则的值为 A ． B ． C ．D ．4．若数列的前项和,则它的通项公式是A ．B ．C ．D ．5．如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是A ．21n +B ．3nC ．222n n +D ．2322n n ++6．在数列中==则＝A ．B ．C ．D ．7．已知数列的通项为258n na n =+，则数列的最大值为AB ．7107C ．461D ．不存在8．已知函数=()633,7,7x a x x ax -⎧--≤⎨>⎩,若数列{}满足=,且{}是递增数列,则实数a 的取值范围是 A ．B ．C ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭9．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.根据下列四个图形及相应的正方形的个数的变化规律,第n 个图形中有_________个正方形.10．若数列{}n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ___________． 11．已知数列的前项和为,且=213n⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则 ．12．已知{a n }是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围为__________. 13．已知首项为2的数列的前项和为，且，若数列满足()*113212n n n n b a n --=+∈N ，则数列中最大项的值为__________．14．已知数列{a n }的通项公式为a n =3n 2-28n .(1)写出数列的第4项和第6项;(2)-49是否为该数列的一项?如果是,是哪一项?68是否为该数列的一项呢?15．已知数列{a n }的通项公式a n =n 2-7n-8.（1）数列中有多少项为负数?（2）数列{a n }是否有最小项?若有,求出其最小项.16．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*21n n S a n =-∈N ．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）已知数列{}n b 满足12b =，1n n n b a b +=+，求数列{}n b 的通项公式．17．已知数列{}n a 满足112a =，其前n 项和2n n S n a =，求其通项公式n a ．18．设数列的前项和为，点均在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和.1．（2018新课标全国Ⅰ理科）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_________． 2．（2015江苏）数列满足且,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为 .3．（2015新课标全国Ⅰ理科）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知a n >0,.（1）求{a n }的通项公式； （2）设11n n n b a a +=.求数列{b n }的前n 项和.1．【答案】A【解析】①②③逐一写出为0，1，0，1，0，1，0，1，…，④逐一写出为，不满足，故选A.2．【解析】（1）令，则.（2）由（1），知()()2112121212121n a n n n n n ==-+-+-+， 设数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前项和为n S ，则12111111211352133521212121n n a a a n S n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 3．【解析】（1）将代入，得，4．【答案】B 【解析】由题意得,,,,,所以数列是周期为4的周期数列，所以.选B ．5．【解析】（1）由已知11n n a a S S =+，可得当1n =时，2111a a a =+，可解得10a =或12a =， 当2n ≥时，由已知可得1111n n a a S S --=+，1．【答案】C【解析】数列1,2,,…可化为,,…,则由,解得2．【答案】C【解析】对于选项A,当n=2时,a2=12,不满足题意,所以A不正确;对于选项B,当n =1时,a 1=13-,不满足题意,所以B 不正确; 对于选项D,当n =2时,a 2=13,不满足题意,所以D 不正确; 当n =1,2,3,4时,a n =(-1)n+1213n n -均满足题意,C 正确.3．【答案】C 【解析】因为,所以,所以,所以,即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列,又,所以7．【答案】C 【解析】258n na n =+=158n n≤+，但，则取不到，又727758a =+=7107，828858a =+=461，a 7＜a 8，∴数列{a n }的最大项为a 8461=．故选C ． 8．【答案】B【解析】因为{}是递增数列,所以函数单调递增.当时,=单调递增,可得,解得;当时,=单调递增,可得，所以.而{}是递增数列,所以=，解得，所以23a <<,即实数a的取值范围是.故选B. 9．【答案】()12n n + 【解析】设数列为，由图知，所以由此猜想：()11232n n n a n +=++++=,故填()12n n +. 10．【答案】1211．【答案】15,1312,233n n n -⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【解析】n=1时,时,11233n -⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以15,1312,233n n n -⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 12．【答案】(-3,+∞)【解析】由{a n }为递增数列,得a n+1-a n =(n+1)2+λ(n+1)-n 2-λn =2n+1+λ>0恒成立,即λ>-2n-1在n ≥1时恒成立,令f (n )=-2n-1,n ∈*N ,则f (n )max =-3. 只需λ>f (n )max =-3即可.故实数λ的取值范围为(-3,+∞). 13．【答案】43 【解析】∵，∴当时，，当时，，两式相减可得，时也适合，∴当时，最大，最大值为43，故答案为43. 14．【解析】(1)a4=3×16-28×4=-64,a6=3×36-28×6=-60.(2)令3n2-28n=-49,解得n=7或n=(舍去),∴n=7,即-49是该数列的第7项.令3n2-28n=68,解得n=或n=-2.∵∉N*,-2∉N*,∴68不是该数列的项.15．【解析】（1）令a n<0,即n2-7n-8<0,得-1<n<8.又n∈N*,所以n=1,2,3, (7)故数列从第1项至第7项均为负数,共7项.（2）函数y =x 2-7x-8图象的对称轴为x =72=3.5,所以当1≤x ≤3时,函数单调递减; 当x ≥4时,函数单调递增, 所以当n =3或4时,数列{a n }有最小项,且最小项a 3=a 4=-20.16．【解析】（1）11a =，22a =，34a =.（2）因为()*21n n S a n =-∈N ，所以，当2n ≥时，有1121n n S a --=-，17．【解析】因为2n n S n a = ①，所以211(1)(1,)n n S n a n n --=->∈*N ②，-①②得221=(1)n n n a n a n a ---， 即11(1,)1n n a n n n a n --=>∈+*N ．故21a a ⋅32a a ⋅43a a ⋅L 1n n a a -⋅12342134561n n n n --=⨯⨯⨯⨯⨯⨯+L ，即()121n a a n n =+， 又11,2a =所以n a =()11n n +(1,)n n >∈*N ， 当n =1时，()1111112a ==⨯+成立， 所以()1()1n a n n n =∈+*N ． 18．【解析】（1）∵点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数的图象上，1．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列， 所以()66126312S --==--，故答案是63-.【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.2．【答案】2011【解析】因为且，所以,则11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,所以数列的前10项和为11111202122223101111⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =b 1+b 2+…+b n =()1111111[()()()]235572123323n n n n -+-++-=+++.。

绝密★启用前2018-2019学年人教A 版数学必修5第二章 数列单元综合测试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下列各组数成等比数列的是( )①1，－2,4，－8；②－ 2，2，－2 2，4；③x，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4. A ． ①② B ． ①②③ C ． ①②④ D ． ①②③④ 2．数列1，－3，5，－7，…的一个通项公式为( ) A ． a n ＝2n －1 B ． a n ＝(－1)n ＋1(2n －1) C ． a n ＝(－1)n(2n －1) D ． a n ＝(－1)n(2n ＋1)3．等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝16，a 4＝6，则公差d 的值是( ) A ． 1 B ． 2 C ． －1 D ． －24．在等比数列{a n }中，已知a 3＝2，a 15＝8，则a 9等于( ) A ． ±4 B ． 4 C ． －4 D ． 165．已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若a 1＝2，S 3＝12，则S 4＝( ) A ． 10 B ． 16 C ． 20 D ． 246．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 47．在等比数列中，已知a 1a 83a 15＝243，则a93a 11的值为( )A ． 3B ． 9C ． 27D ． 818．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是( )…○…※※…○…A ． a n ＝2(n 2＋n ＋1) B ． a n ＝3·2n C ． a n ＝3n ＋1 D ． a n ＝2·3n9．数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n －1，…的前n 项和为（ ）A ．2n －n －1B ．2n+1－n －2C ．2nD ．2n+1－n10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=−2018,S 20182018−S 20162016=2，则a 2＝( )A ． －2 016B ． －2 018C ． 2 018D ． 2 01611．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ． 1B ． －1C ．D ． 212．设等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为S n .若对任意的n ∈N *，有S 2n ＜3S n ，则q 的取值范围是（ ）A ． (0,1]B ． (0,2)C ． [1,2)D ． (0， 2)……○______班……○第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13． 2＋1与 2－1的等比中项是________．14．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________．15．在等差数列{a n }中，a 3＝－12，a 3，a 7，a 10成等比数列，则公差d 等于________． 16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，且每过滤一次可使杂质含量减少13，则要使产品达到市场要求，至少应过滤________次．(取lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) 三、解答题17．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81． （1）求a n ；（2）设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，b n ＝a n －30， (1)求通项公式a n ；(2)求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．19．购买一件售价为5 000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付款一次，如此下去，到第12次付款后全部付清．如果月利率为0.8%，每月利息按复利计算(上月利息计入下月本金)，那么每期应付款多少元？(精确到1元)20．（13分）已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝（a n ＋1）2． （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n {b n }的前n 项和为T n21．（2014•长安区校级三模）设数列{a n }的前n 项和为Sn ，且S n =4a n ﹣p ，其中p 是不为零的常数．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）当p=3时，若数列{b n }满足b n+1=b n +a n （n ∈N *），b 1=2，求数列{b n }的通项公式．22．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n +12＝S n ＋1＋S n .(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =a 2n −1⋅2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .参考答案1．C【解析】【分析】根据等比数列定义判断即可.【详解】由等比数列的定义，知①②④是等比数列．③中当x＝0时，不是等比数列．【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，属于容易题.2．B【解析】【分析】根据所给前几项，找到规律写出通项公式即可【详解】1，3，5，7，…是奇数列，通项公式a n＝2n－1，又因为偶数项为负，奇数项为正，故所求通项公式a n＝(－1)n＋1(2n－1)．【点睛】本题主要考查了数列的通项公式，属于容易题.3．B【解析】【分析】利用等差数列性质可求a5，利用相邻两项的差即可求出.【详解】因为{a n}为等差数列，所以a2＋a8＝2a5＝16，解得a5＝8.所以d＝a5－a4＝8－6＝2.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的定义，属于中档题.4．B【解析】【分析】根据等比中项的性质即可求出.因为a 9是a 3和a 15的等比中项，又在等比数列中奇数项的符号相同，所以a 9＝ a 3a 15＝4. 【点睛】本题主要考查了等比数列中等比中项的性质，属于中档题. 5．C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式，即可求出. 【详解】 因为S 3＝3a 1＋3×22d ＝6＋3d ＝12，解得d ＝2，所以S 4＝4a 1＋4×32d ＝20.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 6．B 【解析】∵a 1＋a 5＝10，a 4＝7，∴ 2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7⇒d ＝27．B 【解析】 【分析】根据等比中项的性质求出a 8，再根据等比中项性质，化简a 93a 11=a 9a 7a 11a 11=a 9a 7=a 82即可.【详解】因为a 1a 15＝a 82，所以a 85＝243＝35，所以a 8＝3，所以a 93a 11=a 9a 7a 11a 11=a 9a 7=a 82＝9.【点睛】本题主要考查了等比数列中等比中项性质的灵活运用，属于中档题. 8．D 【解析】 【分析】根据题意可得s n −1=32a n −3，两式相减即可得a nan −1=3，可证明数列为等比数列，从而写出【详解】由a n ＝S n －S n －1＝(32a n －3)－(32a n －1－3)(n≥2)，得a n a n −1=3，又a 1＝6，所以{a n }是以a 1＝6，q ＝3的等比数列，所以a n ＝2·3n. 【点睛】本题主要考查了根据递推关系求数列的通项公式，，属于中档题. 9．B【解析】因为根据题意可知，1+2+22+…+2n －1和等比数列的和，利用等比数列和等差数列的前n 项和得到和式为2n+1－n －2，选B. 10．A 【解析】 【分析】根据题意可知{S nn }为等差数列，从而可写出通项，求出s22，求出a 2.【详解】因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，所以{Sn n }为等差数列，且首项为－2 018.又因为S 20182018−S 20162016=2，所以公差为1，所以s22＝－2 018＋1＝－2 017.所以S 2＝a 1＋a 2＝－2017×2.即a 2＝－2 016. 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式及前n 项和的概念，属于中档题. 11．D 【解析】 【分析】由题意可知a n ＋1－1＝λa n －2＝λ(a n −2λ)，根据{a n －1}是等比数列从而求出结果. 【详解】由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ(a n −2λ).由于数列{a n －1}是等比数列， 所以2λ＝1，得λ＝2.本题主要考查了等比数列的定义，及递推关系，属于中档题.12．A【解析】若q=1,则S2n=2na1<3na1=3S n,所以q=1符合要求;当q≠1时,<,若q>1,则可得q2n-3q n+2<0,即(q n-1)(q n-2)<0,即1<q n<2,而q>1不可能对任意n值都有q n<2,所以q>1不符合要求;当0<q<1时,可得(q n-1)(q n-2)>0,即q n<1,由于0<q<1,所以对任意n值都有q n<1,所以q<1符合要求.综合可得q的取值范围是(0,1].13．±1【解析】【分析】根据等比数列的等比中项即可求解.【详解】2＋1与2－1的等比中项是±(2+1)(2−1)=±1.【点睛】本题主要考查了等比数列的等比中项，属于容易题.14．2n−1【解析】【分析】设公差为d，由a2＝1＋d，a3＝1＋2d，代入方程即可求出d，写出通项公式.【详解】设公差为d，则a2＝1＋d，a3＝1＋2d，代入a3＝a22－4得1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d＝2或d＝－2(舍去)，所以a n＝2n－1.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于容易题.15．0或34【解析】【分析】根据等差数列通项知，a7＝a3＋4d，a10＝a3＋7d，再根据a3，a7，a10成等比数列即可求出d.由{a n }为等差数列，得a 7＝a 3＋4d ，a 10＝a 3＋7d ，又a 3，a 7，a 10成等比数列，所以a 72＝a 3a 10， 即(a 3＋4d)2＝a 3(a 3＋7d)，整理后，得12d ＝16d 2，解得d ＝0或d ＝34. 【点睛】本题主要考查了等比数列的等比中项，等差数列的通项公式，属于中档题. 16．8 【解析】 【分析】设原有溶液a ，含杂质2%a ，经过n 次过滤，含杂质2%a×(1－13)n，建立不等式，求解即可.【详解】设原有溶液a ，含杂质2%a ，经过n 次过滤，含杂质2%a×(1－13)n.要使n 次过滤后杂质含量不超过0.1%，则2%×（23）na×100%≤0.1%，即（23）n≤120，n≥1+lg 2lg 3−lg 2=1+0.30100.4771−0.3010≈7.387 8，所以至少应过滤8次． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，指数不等式的解法，属于中档题.17．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）因为是等比数列，所以可由得出关于首项和公比的方程组，解出和的值，进而得到的通项；（2）由可得的通项，再由等差数列的前项和公式求出．试题解析： （1）设的公比为，依题意得，解得因此，．（2）因为，所以数列的前项和=考点：1、等差数列的通项；2、等差数列前项和．视频18．(1)a n =4n −2 ； （2）−225.【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n项和公式，解方程组即可（2）分析数列的项符号的变化，知其所有负数项的和最小.【详解】(1)由a3＝10，S6＝72，得a1+2d=10,6a1+15d=72,解得所以a n＝4n－2.(2)由(1)知b n＝a n－30＝2n－31.由题意知得≤n≤.因为n∈N＋，所以n＝15.所以{b n}前15项为负值时，T n最小．可知b1＝－29，d＝2，T15＝－225.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，属于中档题.19．439元【解析】【分析】设每期应付款x元，则第一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)11元，依次写出其余各期付款所生利息之和，求各期付款连同利息之和等于所购商品的售价及其利息之和为5 000×1.00812即可求出.【详解】设每期应付款x元，则第一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)11元；第二期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)10元；…第十一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)元；第十二期付款已没有利息问题，即为x元．所以各期付款连同利息之和为x(1＋1.008＋1.0082＋…＋1.00811)＝x.又所购商品的售价及其利息之和为5 000×1.00812， 于是有x ＝5 000×1.00812，所以x≈439元．答：每期应付款约439元． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n 项和公式，以及数列在实际问题中的应用，属于难题.20．（1）12-=n a n ；（2 【解析】试题分析：（1）属于常规的已知数列的前n 项和，求通项的问题，借助于⎩⎨⎧-=-11n n n s s s a 21≥=n n ，具体步骤，当1=n 时，1`1s a =求首项，当2≥n 时，令1-=n n ，然后两式相减，得到递推公式，d a a n n =--1常数，所以数列是等差数列，写通项．（2）根据上一问，求数列{}n b 的通项，取得采用裂项相消法求和．所以利用的公式试题解析：（1）因为（a n ＋1）2＝4S n ，所以S nSn ＋1所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1即4a n ＋1＝n n a a212-+＋2a n ＋1－2a n ，∴2（a n ＋1＋a n ）＝（a n ＋1＋a n ）（a n ＋1－a n ）．（4分） 因为a n ＋1＋a n ≠0， 所以a n ＋1－a n ＝2，即{a n }为公差等于2的等差数列．由（a 1＋1）2＝4a 1，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1．（6分）（2）由（1）知b n∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n考点：1．已知n s 求n a ；2．裂项相消法求和． 21．（1）见解析； （2）见解析． 【解析】试题分析：（1）通过S n =4a n ﹣p ，利用a n =S n ﹣S n ﹣1，求出，利用等比数列的定义证明数列{a n }是等比数列；（2）当p=3时，若数列{b n }满足b n +1=b n +a n （n ∈N *），b 1=2，推出，利用b n =b 1+（b 2﹣b ′1）+（b 3﹣b 2）++（b n ﹣b n ﹣1），求数列{b n }的通项公式． 证明：（1）证：因为S n =4a n ﹣p （n ∈N *），则S n ﹣1=4a n ﹣1﹣p （n ∈N *，n≥2）， 所以当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=4a n ﹣4a n ﹣1，整理得．由S n =4a n ﹣p ，令n=1，得a 1=4a 1﹣p ，解得．所以a n 是首项为，公比为的等比数列． （2）解：因为a 1=1，则，由b n+1=a n +b n （n=1，2，），得，当n≥2时，由累加得b n =b 1+（b 2﹣b ′1）+（b 3﹣b 2）+…+（b n ﹣b n ﹣1）=，当n=1时，上式也成立．考点：数列递推式；等比关系的确定．22．(1)a n=n(n∈N+)；（2）T n=(2n−3)⋅2n+1+6.【解析】【分析】（1）a＝S n＋1＋S n①，当n≥2时，a＝S n＋S n－1②，①－②得a－a＝a n＋1＋a n可推出a n＋1－a n＝1，即可求解（2）利用错位相减法求和即可.【详解】(1)因为a＝S n＋1＋S n，①所以当n≥2时，a＝S n＋S n－1，②①－②得a－a＝a n＋1＋a n，即(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n)＝a n＋1＋a n，因为a n>0，所以a n＋1－a n＝1，所以数列{a n}从第二项起，是公差为1的等差数列．由①知a＝S2＋S1，因为a1＝1，所以a2＝2，所以当n≥2时，a n＝2＋(n－2)×1，即a n＝n.③又因为a1＝1也满足③式，所以a n＝n(n∈N*)．(2)由(1)得b n=a2n−1⋅2a n＝(2n－1)·2n，T n＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，④2T n＝22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，⑤④－⑤得－T n＝2＋2×22＋…＋2×2n－(2n－1)·2n＋1，所以－T n＝2＋23(1−2n−1)1−2－(2n－1)·2n＋1，故T n＝(2n－3)·2n＋1＋6.【点睛】本题主要考查了数列前n项和S n与a n的关系，错位相减法求和，以及由递推关系求通项，属于难题.。