平面向量的基本概念和表示方法

第01讲_平面向量的基本概念

知识图谱

-向量的线性运算向量的概念向量的加减法及数乘向量向量共线的条件第01讲_平面向量的基本概念

错题回顾

向量的线性运算

知识精讲

一．向量的概念：

1．我们把既有大小又有方向的量叫向量.

向量的表示方法：

（1）用有向线段表示；

（2）用字母，等表示；

（3）用有向线段的起点与终点字母；

（4）向量的长度称为向量的模，记作.

2．有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段

有向线段的三个要素：起点、方向、长度.

3．零向量、单位向量概念：

（1）长度为0的向量叫零向量，记作.

的方向是任意的.

（2）长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

4．共线向量定义：

方向相同或相反的非零向量叫共线向量；

说明：我们规定与任一向量共线.

5．相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

（1）向量与相等，记作；

（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

6．共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.

（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

二．平面向量的加减法

方法：向量的加法可以运用三角形法则，要求两个向量首尾相对应，理解方法，比如说一个物体从A 点运动到B点，再从B点运动到C点，那么就相当于这个物体从A点直接运动到C 点．或者运用平行四边形法则，这个类似于物理里两个分力求合力的方法一样．向量的减法要求两个向量首首相对应，然后方向指向被减向量（前头那个向量）．

向量的加法 向量的减法

注：首尾相对

注：首首相对

平面向量的认识初中知识点总结

平面向量是初中数学中的一个重要概念，是在平面内表示有大小和方向的量的数学工具。平面向量通常用箭头或有向线段来表示，其中箭头指向向量的末端，有向线段则表示向量的起点和末点。

1. 向量的基本概念

在平面内表示有大小和方向的量，就是向量。向量有起点和终点，并用一个箭头表示。向量的大小就是它的长度，用 |AB| 表示。而向量的方向是由起点指向终点的方向。

2. 向量的性质

向量有很多性质，其中比较重要的有加减法和数量积。

2.1 向量加法

向量加法是指将两个向量合并在一起，得到一个新的向量的过程。向量加法的顺序对结果没有影响，即 A + B = B + A。同时，向量加法还有交换律、结合律和分配律，具体表达如下：

交换律：A + B = B + A

结合律：(A + B) + C = A + (B + C)

分配律：k(A + B) = kA + kB

2.2 向量减法

向量减法是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新向量的过程。向量减法的意义是指从 A 点前进到 B 点的方向向量减去从 O 点前进到 A 点的方向向量。

2.3 向量数量积

向量数量积是指两个向量相乘得到的一个数，即 A·B。其中，向量 A 的大小乘以向量 B 在向量 A 的方向上的投影的大小，就是向量数量积的大小，而向量数量积的正负表示向量 A 和向量 B 所成角度的大小。

3. 向量的运用

向量的应用十分广泛，可以用来描述物理运动，确定平面图形的位置和形状，计算平面内向量的分量以及解决平面内的三角函数问题等等。

3.1 平面内向量的分解和合成

向量可以被分解成两个分量，一个平行于指定方向的分量，一个垂直于该方向的分量。而向量的合成就是指将两个向量相加得到一个结果向量的过程。

3.2 向量的垂直、平行和夹角

如果两个向量的数量积为零，那么这两个向量就是垂直的。如果两个向量的夹角为零度或一百八十度，那么这两个向量就是平行的。如果两个向量的夹角不为零度或一百八十度，那么这两个向量就是不平行不垂直的。

平面向量的概念、运算及坐标表示（讲义）

➢ 知识点睛一、平面向量的基本概念

1. 定义：既有 ，又有 的量叫做向量．

表示：a， AB

模：向量 AB 的 叫做向量的模，记作 ．

2. 几个特殊的向量：

零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量二、平面向量的线性运算

1 （几何意义） 加法 减法 数乘

定义

求两个向量和的运算 向量a 加上向量b

的 ，

即 a+(-b)=a-b 实数与向量的

积是一个向量，

记作λa

法则

法则

法则

a =  a

当λ>0 时，λa 与 a

的方向 ；

当λ<0 时，λa 与 a

的方向 ；

当λ=0 时，λa=0

运算律

交换律：

λ(μa)=

(λ+μ)a=

λ(a+b)=

(-λ)a=

λ(a-b)= a+b=

结合律： a-b=a+(-b)

(a+b)+c=

λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b

三、向量相关定理

1.

共线向量定理：向量

a（a≠0）与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 ．

扩充：对空间三点 P，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线．

 ① PA  PB ；

  ②对平面任一点 O， OP  OA t AB ；

  ③对平面任一点 O， OP  x OA y OB（ x  y  1）．

2. 平面向量基本定理

（1） 基底：平面内 的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

（2） 定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，

那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a= ．

四、向量的坐标表示及运算

1. 坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底．对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 a=xi+yj．这样，平面内的任一向量 a 都可由 x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a= ．

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

平面向量

一、向量的基本概念与基本运算

1.向量的概念：

向量是既有大小又有方向的量。向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

② 零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。

③ 单位向量：模为1个单位长度的向量。向量a为单位向量｜a｜＝1.

④ 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

⑤ 相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为ab。大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.

2.向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法。设ABa，BCb，则a+b=ABBC=AC。

1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCD…+PQQRAR，但这时必须“首尾相连”。

3.向量的减法

① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。零向量的相反向量仍是零向量。