圆锥曲线常用的二级结论
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圆锥曲线常用的二级结论
椭圆与双曲线对偶结论
椭圆 双曲线
标准方程
焦半径
焦半径范围
通径 x2 + y2 = 1(a > b > 0)
a2 b2
焦点 1F (c, 0), F2 (c, 0)
PF = a + ex PF = a ex
e 为离心率， x0 为点 P 的横坐标.
a c PF a + c
P 为椭圆上一点， F 为焦点.
过焦点与长轴垂直的弦称为通径 .
2b2
通径长为
a
如图，直线 l 过焦点 1F与椭圆相交于 A, B
两点.则△ABF2 的周长为 4a .
(即 F2 A + F2B + AB = 4a ) x2 y2 = 1(a > 0, b > 0)
a2 b2
焦点 1F (c, 0), F2 (c, 0)
PF = ex + a , PF = ex a
e 为离心率， x0 为点 P 的横坐标.
PF > a c
P 为双曲线上一点， F 为焦点.
过焦点与实轴垂直的弦称为通径 .
2b2
通径长为
a
如图，直线 l 过焦点 1F与双曲线相交于
A, B 两点.则 F2 A + F2B AB = 4a .
1 0 , 2 0 1 0 2 0
焦点弦 倾斜角为 的直线l 过焦点 F 与椭圆相交
于 A, B 两点.
2ab2
焦点弦长 AB = (a2 b2 )sin2 + b2 .
最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径 . 倾斜角为 的直线l 过焦点 F 与双曲线相
交于 A, B 两点.
2ab2
焦点弦长 AB = (a2 + b2 )sin2 b2 .
AF 与 BF
数量关系
直线l 过焦点 F 与椭圆相交于 A, B 两点，
1 1 2a
则 + = 直线l 过焦点 F 与双曲线相交于 A, B 两点
1 1 2a
，则 + =
已知点 P 是椭圆上一点， O 坐标原点，
则b PO a . 已知点 P 是双曲线上一点， O 坐标原点，
则 PO > a .
如图， P 是椭圆上异于长轴端点的一点，
已知 三FPF = 9 ， 三PF F = ，
三PF2 1F = b ，则
9
(1) S = b2 tan ；
△PF1F2 2
sin9
(2)离心率 e = . sin + sin b 如图， P 是双曲线上异于实轴端点的一点
，已知 三FPF = 9 ， 三PF F = ，
三PF2 1F = b ，则
9 b2
(1) S = b2 cot = ；
△PF1F2 2 9
tan
2
sin9
(2)离心率 e = . sin sin b
AF BF b2 . AF BF b2 .
1 2 1 2
1 2 1 2 焦三角形
如图，已知直线 l 与双曲线相交于 A, B 两
如图，已知直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点
，点 M 为 AB 的中点， O 为原点，则
2
k k =
a
垂径定理 点，点 M 为 AB 的中点， O 为原点，则
2
k k =
OM AB 2 .
(注：直线 l 与双曲线的渐近线相交于
A, B 两点，其他条件不变，结论依然成立 ) b
b
OM AB 2 . a
如图，已知点 A, B 椭圆长轴端点(短轴端
点)， P 是椭圆上异于 A, B 的一点，
b2
则 kPAkPB = - 2 .
如图，已知点 A, B 双曲线实轴端点， P 是
双曲线上异于 A, B 的一点，
b2
则 kPAkPB = 2 .
周角定理
推广：如图，已知点 A, B 是椭圆上关于原
点对称的两点， P 是椭圆上异于 A, B 的一
点，若直线 PA, PB 的斜率存在且不为零
，
b2
kPAkPB = - 2 推广：如图，已知点 A, B 是双曲线上关于
原点对称的两点， P 是双曲线上异于 A, B
的一点，若直线 PA, PB 的斜率存在且不
为零，
b2
kPAkPB = 2 .
a a a a
切线方程 直线l 过焦点 F(c, 0)与椭圆相交于 A, B
( a2 )
两点，点 P|( c , 0)|，
则三APF = 三BPF (即 kPA + kPB = 0 ) .
已知点 P(x0 , y0 )是椭圆上一点，则椭圆
在点 P 处的切线方程为 x x0 + y y0 = 1 .
a2 b2 直线l 过焦点 F(c, 0)与双曲线相交于
( a2 )
A, B 两点，点 P| , 0 |，
则三APF = 三BPF (即 kPA + kPB = 0 ) .
已知点 P(x0 , y0 )是双曲线上一点，则双
曲线在点 P 处的切线方程为
x0 x - y0 y = 1 .
a2 b2 ( c )
双曲线的结论
1 ．过定点(定点在双曲线外且不在渐近线上)的直线与双曲线交点个数问题：
设斜率为 k 的直线l 过定点 P(0, t )(t 丰 0) ，双曲线方程为 x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) ，过点 P 与双曲
a2 b2
线相切时的斜率为 k0 .
(1)当 0 k < 时，直线 l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上； a
b
(3)当 < k < k0 时，直线 l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；
(4)当 k = k0 时，直线 l 与双曲线只有一个交点；
(5)当 k > k0 时，直线 l 与双曲线没有交点 .
2．如图， F (c, 0)是双曲线 x
22 1(a > 0, b > 0) 的焦点，过点 F 作 FH 垂直双曲线的其中一条
渐近线，垂足为 H， O 为原点，则 OH = a, FH = b .
3．点 P 是双曲线 ax22 by22 = 1(a > 0, b > 0)上任意一点，则点 P 到双曲线的渐近线的距离之积为定值
a2b2
a2 + b2 . (2)当 k = 时，直线 l 与双曲线只有一个交点； a
b b
a
a b 4．点 P 是双曲线 ax22 by22 = 1(a > 0, b > 0)上任意一点，过点 P 作双曲线的渐近线的平行线分别与渐
ab 2 近线相交于 M , N 两点， O 为原点，则平行四边形 OMPN 的面积为定值 .
抛物线的结论
如图，抛物线方程为 y = 2px(p > 0)，准线 x = 一 2p 与 x 轴相交于点 P ，过焦点 F(|(2p , 0))| 的直线l 与
抛物线相交于 A(x1 , y1 )， B (x2 , y2 )两点， O 为原点，直线 l 的倾斜角为 议 .
( p2
1．〈|lx1y1x2y2 4一p ,2 .
2 ．焦半径： AF = x1 + 2p， BF = x2 + 2p， AB = x1 + x2 + p .
2p
sin2 议 .
4． AF, BF 的数量关系： + = ， AF . BF = . AF BF p sin2 议
2
5．三角形 AOB 的面积 S△ AOB = 2sin 议 .
6．以焦点弦 AB 为直径的圆与准线相切；以焦半径 AF 为直径的圆与 y 轴相切.
7．直线 PA, PB 的斜率之和为零( kPA + kPB = 0 )，即 三APF = 三BPF .
8．点 A, O, N 三点共线；点 B, O,M 三点共线.
9．如图，点 A, B 是抛物线 y = 2px(p > 0)， O 为原点，若
三AOB = 90o ，则直线 AB 过定点(2p, 0). p 1 1 2 p2
3 ．焦点弦： AB =
