江苏省扬州中学2021-2022学年度第一学期期中试题数学试题及答案
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江苏省扬州中学2021－2022学年度第一学期期中试题
高二数学 2021.11
试卷满分：150分，考试时间：120分钟
注意事项：
1.作答第Ⅰ卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码．
2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
3.考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.直线30()xyaaR的倾斜角为（ ）
A.30° B.60° C.150° D.120°
【答案】B
2.已知方程221104xytt表示的曲线是椭圆，则t的取值范围为（ ）
A.（4，7） B.（4，10） C.（7，10） D.（4，7）（7，10）
【答案】D
3.已知等差数列na的前n项和为nS，且4610aa，则9S（ ）
A.36 B.38 C.45 D.50
【答案】C
4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线的标准方程为（ ）
A.y2＝16x或x2＝－12y B.y2＝16x或x2＝12y
C.y2＝－16x或x2＝12y D.y2＝－12x或x2＝16y
【答案】A
5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见初行行里数，请公仔细算相还．其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到达目的地．”则此人第一天走了（ ）
A.192里 B.148里 C.132里 D.124里 【答案】A
6.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线与直线l：x＋2y＝2平行，则此双曲线的离心率是（ ）
A.5 B.52 C.32 D.3
【答案】B
7.已知圆C：x2＋（y－5）2＝4和两点A（－a，0）、B（a，0）（a＞0），若圆C上存在点M，满足MA⊥MB，则实数a的取值范围是（ ）
A.（3.5） B.[3，5] C.[3，7] D.[4，7]
【答案】C
8.如图，O是坐标原点，P是双曲线E：22221(0,0)xyabab右支上的一点，F是双曲线E的右焦点，延长PO、PF分别交双曲线E于Q、R两点，已知QF⊥FR，且||2||QFFR，则双曲线E的离心率为（ ）
A.174 B.173 C.214 D.213
【答案】B
【解】如图，有 PFQF是矩形，
设||FRm，则||2,||22,2,||32PFFQmPFmaRFmaPRma，
在RtFPR中，222(2)(32)(2)mmama，解得43am或m＝0（舍去），
从而有82,||,Δ33aaPFPFRtFPF中，22282433aac，整理得221717,93cceaa，
所以双曲线E的离心率为173． 故选：B
二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.若直线ax＋y－2＋a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值可能是（ ）
A.1 B.－1 C.2 D.－2
【答案】AC
10.在公比q为整数的等比数列na中，nS是数列na的前n项和，若1418aa，2312aa，则下列说法正确的是（ ）
A.q＝2 B.数列2nS是等比数列
C.8510S D.数列lgna是公差为2的等差数列
【答案】ABC
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值(1)的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．己知在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0）、B（4，0），点P满足12PAPB，点P所构成的曲线记为曲线C，则下列结论正确的是（ ）
A.曲线C的方程为（x＋4）2＋y2＝16
B.在曲线C上存在点D，使得||1AD
C.在曲线C上存在点M，使M在直线x＋y－2＝0上
D.在曲线C上存在点N，使得22||||4NONA
【答案】AD
12.已知椭圆C：22221(0)xyabab的左右焦点分别为12FF、，长轴长为4，点(2,1)P在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A.离心率的取值范围为10,2 B.当离心率为24时，1QF的最大值为222
C.不存在点Q，使得210QFQF D.1241QFQF的最小值为94
【答案】BCD
【解】由题设，a＝2，则22214xyb，又(2,1)P在椭圆内部，则21112b，即224b，
222420,22abbea，故A错误；
当24e时，有272b，易得1222,0,,022FF．
∴由124QFQF，则1222442222QFQF，故B正确；
由222420cbb，即c＜b，以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，
∴椭圆上不存在点Q使得210QFQF，故C正确；
换1法可求1241QFQF的最小值为94，故D正确．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.在数列na中，12a，12nnaa，则数列na的通项公式为 ．
【答案】22nan
14.设直线1:60lxmy和2:(2)320lmxym，若12ll∥，则m＝ ．
【答案】－1
15.过点P（－3，1）作直线m（x－1）＋n（y－1）＝0的垂线，垂足为点M，若定点N（3，4），那么||MN的最小值为 ．
【答案】3
16.我国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，除了1之外的每个数字都等于上一行的左右两个数字之和，且第n行的所有数字之和为12n．若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的第12项为
，前35项和为 ．
【答案】15，995
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）已知直线m：2x－y－3＝0与直线n：x＋y－3＝0的交点为P．
（1）若直线l过点P，且点A（1，3）、B（3，2）到l的距离相等，求直线l的方程；
（2）若直线1l过点P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线1l的方程．
【解】（1）由23030xyxy得21xy即交点P（2，1）．
由直线l过点P，且点4（1，3）和点B（3，2）到直线l的距离相等，
可知l//AB或l过AB的中点．
当由l//AB得321132lABkk，
所以直线l的方程为11(2)2yx即240xy．
当直线l过AB的中点52,2时，直线l的方程为x＝2.
综上：直线l的方程为x＋2y－4＝0或x＝2.
（2）由题可知直线1l的横、纵截距a，b都存在，且a＞0，b＞0，
则1:1xylab．又直线1l过点P（2，1），△ABO的面积为4，
所以211142abab，解得42ab， 故直线1l的方程为142xy，即240xy．
18.（12分）已知双曲线C：22221(0,0)yxabab的离心率为103，抛物线D：y2＝2px（P＞0）的焦点为F，准线为l，直线l交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，△MNF的面积为3．
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）求抛物线D的方程．
【解】（1）由题意，双曲线C：22221yxab的离心率为103
可得21013cbeaa，解得13ba可得3ab，
所以C的渐近线方程为3yx．
（2）由抛物线D：y2＝2px，可得其准线方程为l：2px，
代入渐近线方程得33,,,2222ppppMN，所以||3MNp，
则1332MFNSpp，解得2p，
所以曲线D的方程为222yx．
19.（12分）在数列na中，112,431nnaaannN．
（1）求证：数列nan是等比数列；
（2）求数列na的前n项和nS．
【解】（1）由已知得1(1)4nnanan，
又1110,a数列nan是公比为4的等比数列，
（2）由（1）得11114,4nnnnanaan
14(1)41(1),14232nnnnnnnSnN．
20.（12分）已知椭圆C的标准方程为：22221(0)xyabab，若右焦点为(2,0)F，且离心率为63． （1）求椭圆C的方程；
（2）设M、N是椭圆C上不同的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2相切，且M、N、F三点共线，求线段||MN的长．
【解】（1）由题意，椭圆半焦距2c且63cea，则3a，
2221bac，
∴椭圆方程为2213xy；
（2）由（1）得，曲线为221(0)xyx
当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不合题意；
当直线MN的斜率存在时，设1122,,,MxyNxy又M，N，F三点共线，
可设直线MN：(2)ykx，即20kxyk，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1（x＞0）相切可得2|2|11kk，，解得1k，
联立22(2)13yxxy，得246230xx，则1212323,24xxxx，
21212||1143MNxxxx．
21.（12分）椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为12，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线60xy相切．
